课题学习：韦达定理
认识韦达定理：什么是韦达定理？如何应用？
**韦达定理的认识与应用**一、韦达定理的定义与来源韦达定理，也称为韦达公式，是一元二次方程的重要定理之一，由法国数学家弗朗索瓦·韦达在1615年提出。
韦达定理指出，对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其两个根x₁和x₂满足以下关系：1. x₁ + x₂ = -b/a2. x₁ × x₂ = c/a韦达定理不仅是一元二次方程根与系数之间关系的体现，更是代数学中的基本定理之一，具有广泛的应用价值。
二、韦达定理的详细阐述1. 根与系数的关系韦达定理最核心的内容是一元二次方程的根与系数之间的关系。
对于一个标准形式的一元二次方程ax²+bx+c=0，其两个根x₁和x₂与系数a、b、c之间存在确定的数学关系。
具体来说，就是x₁和x₂的和等于-b除以a，x₁和x₂的乘积等于c除以a。
2. 定理的证明韦达定理的证明主要依赖于一元二次方程的求根公式。
对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其求根公式为x=(−b±√(b²-4ac))/(2a)。
通过这个求根公式，我们可以直接计算出x₁和x₂的值，然后验证它们与系数a、b、c之间的关系是否满足韦达定理。
三、韦达定理的应用场景1. 解一元二次方程韦达定理最直接的应用就是解一元二次方程。
通过韦达定理，我们可以根据一元二次方程的系数直接得出其根的和与积，这在某些情况下比使用求根公式更加简便。
2. 判断根的情况通过韦达定理，我们还可以判断一元二次方程根的情况。
例如，如果系数b²-4ac大于0，则一元二次方程有两个不相等的实数根；如果b²-4ac等于0，则一元二次方程有两个相等的实数根；如果b²-4ac小于0，则一元二次方程没有实数根。
3. 解决其他问题除了解决一元二次方程本身的问题外，韦达定理还可以应用于其他数学问题和实际问题中。
例如，在代数式求值、方程组的求解、几何问题的计算等方面都可以看到韦达定理的应用。
韦达定理详细讲解初中
韦达定理详细讲解初中1. 韦达定理的基本概念嘿，大家好！今天咱们聊聊一个有趣的数学小知识，那就是韦达定理。
你可能会问，韦达是谁呀？其实，他是个很牛的数学家，专门研究方程的。
韦达定理主要是讲关于二次方程的根和系数之间的关系。
简单来说，如果你有一个形如 (ax^2 + bx + c = 0) 的方程，韦达定理告诉我们根的和和根的积是怎么回事。
听起来有点复杂，但别担心，咱们一步一步来，保证你听得明白！1.1. 根的和与根的积首先，咱们来看看根的和。
设这个方程的两个根是 (x_1) 和 (x_2)，那么根据韦达定理，它们的和就是 (frac{b{a)。
哦，别以为这就完了！根的积也很重要，两个根的积是(frac{c{a)。
这就像你找朋友聚会，知道总共有多少人（和）和几对情侣（积），就能推算出不少事情来。
1.2. 实际例子来个实际例子，让你更容易理解。
假设我们有个方程 (2x^2 4x + 2 = 0)。
这里 (a = 2)，(b = 4)，(c = 2)。
根据韦达定理，根的和是 (frac{4{2 = 2)，根的积是 (frac{2{2 = 1)。
哇，这样一算，感觉根的关系就像你和你最好的朋友一样，彼此心知肚明呢！2. 韦达定理的应用说到这儿，可能有的小伙伴会想：“这理论有啥用呢？”别急，让我给你讲讲韦达定理在实际生活中的妙用。
其实，这个定理在解决各种实际问题时简直是个好帮手！比如说，你想找出一个水池的水位变化，或者解决一些最优化问题，韦达定理都能派上用场，帮助你理清思路。
2.1. 在几何中的应用不仅如此，韦达定理在几何学里也大显身手哦！想象一下，一个三角形的顶点坐标，你可以用韦达定理来帮助你计算出某些重要的点，简直就是数学界的瑞士军刀，功能强大到不行。
2.2. 数学竞赛中的好帮手另外，韦达定理在数学竞赛中也是一大法宝。
许多题目都能通过它轻松解出，比如求解二次方程的根，甚至能帮助你推导出一些新的数学性质。
韦达定理——精选推荐
则两根与系数关系（韦达定理）1212b x x ac x x a ì+=-ïïíï·=ïî。
推导过程：由求根公式可得2142b b ac x a -+-=，2242b b acx a ---=。
1、2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a-+-----+=+==-；2）1211x x +； （3）2112x xx x +； （4）12x x -。
一元二次方程的根与系数关系一、一元二次方程的根与系数关系（一、一元二次方程的根与系数关系（韦达定理韦达定理）如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹的两个的两个实数实数根分别是12,x x 。
、22222122244()(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a aa-+-------·=·===。
二、一元二次方程的根与系数关系定理的主要应用：应用条件：240b ac D =-³。
1、已知一元二次方程的一个根，求另一个根或、已知一元二次方程的一个根，求另一个根或字母字母系数。
系数。
例1、已知关于x 的方程226250x x m m -+-+=的一个根是2，求方程的另一个根及m 的值。
的值。
2、不、不解方程解方程，求关于一元二次方程两根的某些代数式的值。
，求关于一元二次方程两根的某些代数式的值。
例2、已知方程22310x x +-=的两根是12,x x ，利用根与系数的关系求下列各式的值：，利用根与系数的关系求下列各式的值： （1）2212x x +； （2）求作一个一元二次方程，使它的两根分别是122-+和122--；（23、已知、已知一元二次方程一元二次方程的两个根，求这个方程。
的两个根，求这个方程。
例3、解下列各题：、解下列各题：（1）求作一个以2的相反数和2的倒数为根的一元二次方程。
韦达定理教案
韦达定理教案教案标题：探索韦达定理教学目标：1. 了解并理解韦达定理的概念和应用。
2. 掌握使用韦达定理解决三角形相关问题的方法。
3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学重点：1. 韦达定理的定义和基本概念。
2. 韦达定理在解决实际问题中的应用。
教学难点：1. 学生对于韦达定理的应用理解深度。
2. 学生在解决实际问题时的思考和分析能力。
教学准备：1. 教师准备教学投影仪，展示相关示意图和计算过程。
2. 准备课本和练习题集等教材资料。
3. 给学生准备纸和笔，以及计算器。
教学过程：引入（5分钟）：1. 教师可以通过一个简单有趣的问题来引起学生对韦达定理的兴趣。
例子：在平面内，有三条线段，它们分别连接一个点和一个普通的五边形的三个顶点。
这三个线段的长度分别是3、4和5，那么这个五边形的面积是多少呢？2. 引导学生思考可能的解决方法，引出韦达定理。
讲解与示范（15分钟）：1. 通过示意图和具体的数学推导，讲解韦达定理的定义和公式表达方式。
2. 给出韦达定理的一些示例问题，并详细解答过程。
3. 强调韦达定理在解决实际问题中的应用，如测量三角形的边长、面积等。
实践与巩固（20分钟）：1. 学生个别或分组完成一些练习题，检验对韦达定理的理解和应用能力。
2. 提供不同难度的问题，鼓励学生运用韦达定理解决实际场景中的三角形问题。
总结与拓展（10分钟）：1. 教师与学生总结韦达定理的要点和应用方法。
2. 引导学生思考并讨论韦达定理的拓展应用，如四边形、多边形等。
课后作业：1. 布置一些与韦达定理相关的作业题，以巩固学生的学习成果。
2. 鼓励学生在实际生活中观察和应用韦达定理。
教学资源：1. 教师投影仪、示意图PPT等。
2. 课本和练习题集等教材。
3. 白板和彩色笔等。
评估与反馈：1. 教师针对学生的课堂表现和作业完成情况进行评估，并及时给予反馈。
2. 针对学生对韦达定理的理解程度和问题解决能力，进行个别指导和辅导。
(完整版)韦达定理及其应用
韦达定理及其应用高一数学 B 段教学目的：1．掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法2．培养分类讨论、转化的能力，综合分析、解决问题的能力；3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神 教学重点：用韦达定理解“含参二次方程的实根分布”问题的基本方法 教学难点：韦达定理的正确使用一、 知识要点1、若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。
则ab x x -=+21 ac x x =•21，； 2、以1x ，2x 为两根的方程为()021212=•+++x x x x x x3、用韦达定理分解因式()()2122x x x x a a c x a b x a c bx ax --=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++ 二、例题1、 不解方程说出下列方程的两根和与两根差：（1）01032=--x x （2）01532=++x x （3）0223422=--x x2. 若1x 、2x 是方程2x +2x-17=0的两根，试求下列各式的值.（1）2221x x + （2）2111x x +学生练习： （1）=--)5)(5(21x x（2）=-21x x反思：韦达定理求值，应熟练掌握以下等式变形:()2122122212x x x x x x -+=+ 2111x x +=2121x x x x + ()212212214)(x x x x x x -+=- 21221214)(x x x x x x -+=-3.已知关于x 的方程x 2 + kx －6= 0的一个根是2，求另一个根及k 的值练习．已知关于x 的方程2x -(m+1)x+1-m=0的一根为4，求它的另一个根及m 的值.4 .当m 取什么实数时，方程0)5()2(42=-+-+m x m x 有两个正实根。
练习（引申变形一）：若方程有一正根和一负根，求m 取值范围。
三、练习1、 在关于x 的方程()()07142=-+--m x m x 中，（1）当两根互为相反数时m 的值；（2）当一根为零时m 的值；（3）当两根互为倒数时m 的值2、 求出以一元二次方程0232=-+x x 的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。
韦达定理初中教案
韦达定理初中教案教学目标：1. 理解并掌握韦达定理的内容及应用；2. 能够运用韦达定理解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 韦达定理的表述及证明；2. 韦达定理的应用。
教学难点：1. 韦达定理的推导过程；2. 灵活运用韦达定理解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，展示韦达定理的推导过程和应用实例；2. 学生准备笔记本，记录重要的知识点和解题步骤。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾一元二次方程的根与系数的关系；2. 提问：你们认为一元二次方程的根与系数之间有什么联系呢？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍韦达定理的背景和意义；2. 讲解韦达定理的表述及证明过程；3. 通过例题展示韦达定理的应用。
三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成；2. 挑选几位学生的作业进行讲解和分析。
四、拓展与应用（15分钟）1. 引导学生思考：如何利用韦达定理解决实际问题？2. 举例讲解如何利用韦达定理解决实际问题；3. 让学生分组讨论，提出自己遇到的实际问题，共同解决。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结韦达定理的表述和应用；2. 提问：你们认为韦达定理在数学中有什么重要性？教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性；2. 学生练习题的完成情况；3. 学生对实际问题的解决能力。
教学反思：本节课通过讲解韦达定理的表述及证明，让学生了解并掌握韦达定理的内容及应用。
在课堂练习环节，学生能够独立完成练习题，对韦达定理有一定的理解。
但在拓展与应用环节，部分学生对如何将韦达定理应用于实际问题还存在一定的困难。
在今后的教学中，可以更多地举一些实际例子，让学生更好地理解和运用韦达定理。
韦达定理经典例题及解题过程
韦达定理经典例题及解题过程韦达定理经典例题及解题过程一、概述韦达定理是初中数学中的一个重要定理，它是数学中的基本原理之一，广泛应用于初中数学和高中数学的相关知识点中。
韦达定理通过等比的概念，可以解决一些复杂的代数方程问题，具有很强的普适性和实用性。
本文将重点介绍韦达定理的相关概念、经典例题及解题过程，希望能让读者对韦达定理有更深入的理解。
二、韦达定理的相关概念1. 韦达定理的基本概念韦达定理是数学上一个重要的定理，它通过等比的概念，解决了关于代数方程的一些问题。
韦达定理的基本说法是：对于一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0，如果它有三个不等实根，那么这三个根分别是p、q、r，那么有以下等式成立：p+q+r=-b/apq+qr+rp=c/apqr=-d/a2. 韦达定理的证明韦达定理的证明可以通过多种方式来完成，其中一种比较常见的方法是使用代数方程的解法和数学归纳法。
我们可以通过对一元三次方程的通解进行分析，最终得到韦达定理的结论。
这个过程需要一定的代数方程知识和数学推理能力。
三、经典例题及解题过程为了更好地理解韦达定理，我们将通过几个经典例题来演示解题过程。
例题一：已知一元三次方程x³-6x²+11x-6=0的根为p、q、r，求p+q+2r的值。
解题过程：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：p+q+r=6pq+qr+rp=11pqr=6根据题目中的要求，我们需要求p+q+2r的值，所以我们可以先求出p+q+r的值，然后再将r的值替换为2r即可。
通过代数方程的解法，我们可以求得p+q+r=6，再将r替换为2r，得到p+q+2r=6+2r的值。
例题二：已知一元三次方程2x³-7x²+7x-3=0的根为p、q、r，求p²+q²+r²的值。
解题过程：同样地，根据韦达定理我们可以得到以下等式：p+q+r=7/2pq+qr+rp=7/2pqr=3/2题目中要求的是p²+q²+r²的值，我们可以通过(p+q+r)²-2(pq+qr+rp)的公式来求得。
韦达定理详解
韦达定理详解韦达定理是解决几何中求未知量问题的重要工具之一。
它可以用来求平面上的三角形中各边平方和、角度数等问题。
本文将详细介绍韦达定理的原理、使用方法以及实例计算。
一、韦达定理的原理韦达定理是指：对于一个三角形ABC，它的三个内角所对应的边分别为a、b、c，则有以下公式成立：a²=b²+c²-2bc*cosA其中，cosA、cosB和cosC是表示对应角度余弦值的函数。
该公式由法国数学家韦达在1821年提出。
二、韦达定理的使用方法使用韦达定理时，首先需要明确已知的量和未知的量。
根据已知与未知，可以选择使用上述公式中的哪个。
一般情况下，需要根据题目条件，先确定一个角对应的两条边，再使用韦达公式求出未知边或角。
三、韦达定理的实例计算下面通过几个实例来演示韦达定理的计算方法。
1.已知三角形的三边长分别为3、4、5，求其内角度数。
解：将a=3，b=4，c=5带入公式，得到9=41-40×cosA所以∠A=cos⁻¹0.8≈36.87°，同理可得∠B≈53.13°，∠C=90°。
2.已知一个直角三角形，其中直角边为5，斜边为13，求另一条直角边长。
解：由题目条件可知a=5，c=13。
将这两个数带入公式：5²=b²+13²-2×b×13×cos90°25=b²+169b²=144∴b=12所以，另外一条直角边长为12。
解：将b=12，c=16，角A=120°代入公式：a²=144+256-384×(-0.5)a²=400∴a=20所以，第三边的长度为20。
总之，韦达定理是解决几何问题的常见方法。
通过运用韦达公式，可以求出三角形中的各边长度、角度大小等未知量，帮助我们更好地理解和掌握几何知识。
韦达定理概念(一)
韦达定理概念(一)韦达定理（Vera’s Theorem）概念简介•韦达定理，又称为Vera定理，是一种在高等数学中常用的定理。
•该定理主要用于求解多项式方程的根，对于解析几何中的问题也有广泛应用。
•韦达定理的核心思想是通过已知根的信息，推导出多项式方程的其他根的一种方法。
定理表述•给定一个n次多项式方程a n⋅x n+a n−1⋅x n−1+⋯+a1⋅x+ a0=0，其中a n≠0，并且已知其中一个根为x1。
•那么可以通过除法求余的方法，将该多项式方程除以(x−x1)，得到一个n-1次的新多项式方程a n⋅x n−1+a n−1⋅x n−2+⋯+a2⋅x+a1=0。
•韦达定理指出，该新多项式方程的根与原多项式方程的其他根是相同的。
推论•韦达定理的推论是，如果已知一个多项式方程的一个根，那么可以通过迭代运用韦达定理，逐步降低多项式的阶次，从而找到该多项式方程的所有根。
•在实际应用中，可以通过对多项式进行因式分解，得到一个一次项的乘积形式，进而求得方程的所有根。
应用举例•这里举一个简单的实例来说明韦达定理的应用：–给定一个三次多项式方程x3−7x2+14x−8=0，已知其中一个根为x1=2。
–我们可以通过除法求余的方法，将该多项式方程除以(x−2)，得到一个二次的新多项式方程x2−5x+4=0。
–根据韦达定理，该新多项式方程的根为原多项式方程的其他根，即x2、x3。
–解二次方程x2−5x+4=0可得x2=1、x3=4。
–因此，原三次多项式方程的根为x1=2、x2=1、x3=4。
总结•韦达定理是一种重要的工具，在数学领域中广泛应用于求解多项式方程的根。
•通过已知根的信息，韦达定理可以帮助我们推导出其他根的值，从而解决实际问题。
•在实际应用中，熟练掌握韦达定理可以极大地简化解方程的过程，提高求解效率。
05.韦达定理学案
2016届自主招生数学教学内容05．韦达定理学案【教学目标】1．通过具体特例获得韦达定理，从而渗透归纳猜想的思想．2．会用韦达定理解有关一元二次方程根与系数关系的问题，渗透化归的思想． 【教学重点】通过具体特例获得韦达定理，从而渗透归纳猜想的思想． 【教学难点】会用韦达定理解有关一元二次方程根与系数关系的问题． 【教学过程】 一．复习引入 1．问题（1）解方程0322=--x x ；051892=+-x x ，并分别求两根之和21x x +与两根之积21x x ．问题（2）分别考察21x x +与21x x 方程系数的关系．2．归纳猜想：若21,x x 是一元二次方程)04,0(022≥-≠=++ac ba c bx ax 的两个根，则21x x +, 21x x 与c b a ,,的关系．二．韦达定理 1．韦达定理：若21,x x 是一元二次方程)04,0(022≥-≠=++ac b a c bx ax 的两个根，则ab x x -=+21,ac x x =21．反之，如果ab x x -=+21,ac x x =21，则21,x x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 两个根． 2．学生给出证明：3．练习1：若下列方程有解，试分别写出两根之和与两根之积．（1）06322=-+x x ； （2）01442=+-x x ； （3）06322=++x x ．练习2：：已知方程022=++c bx x 两根和为23-，两积为-3，求a , b 的值．三．定理应用例1．已知21,x x 是方程02=++m mxx 的两个根．（1）求m 的取值范围；（2）当2-=m 时，求2221x x +的值；（3*）求2221x x +的取值范围．例2．已知抛物线322-+-=mx x y 与x 轴交于不同两点A 、B ．（1）若A 点横坐标为1，求B 点的横坐标； （2）若A 、B 两点间距离为1，求m 的值．（或条件改为：方程0322=-+-mx x两根为21,x x ）练习：已知方程06322=-+x x 两根为21,x x ，分别求221)(x x -；2221x x +；1221x x x x +；3231x x +的值．例3*．已知方程01)1(2=+-+x m x 有两个不同的实数解21,x x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）若0,021>>x x ，求m 的取值范围．四．小结与作业1．小结：韦达定理实质：反映了一元二次方程)04,0(022≥-≠=++ac b a c bx ax 根与系数的关系，在解决实际问题过程中，往往不通过求解方程的根而解决问题．注意的是：定理的前提是：方程有解（如例1、例3）． 今后常会碰到：用a , b , c 表示2221x x +；||21x x -等．2．可给出韦达定理其他证明： （1）0,0122121=++=++c bx ax c bx ax 两式相减求得21x x +（注意21x x =的讨论）；两式相加可得21x x ． （2）由))((212x x x x a c bxax --=++比较可得．3．作业：见讲义。
初中数学的韦达定理
初中数学的韦达定理一、韦达定理的内容1. 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，设它的两个根为x_{1}，x_{2}。
- 韦达定理指出：x_{1}+x_{2}=-(b)/(a)，x_{1}x_{2}=(c)/(a)。
二、韦达定理的推导1. 由一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，设方程的两个根为x_{1}=frac{-b + √(b^2)-4ac}{2a}，x_{2}=frac{-b-√(b^2)-4ac}{2a}。
2. 计算x_{1}+x_{2}：- x_{1}+x_{2}=frac{-b + √(b^2)-4ac}{2a}+frac{-b-√(b^2)-4ac}{2a}- 通分得到x_{1}+x_{2}=frac{-b+√(b^2)-4ac-b - √(b^2)-4ac}{2a}- 化简后x_{1}+x_{2}=-(b)/(a)。
3. 计算x_{1}x_{2}：- x_{1}x_{2}=frac{-b + √(b^2)-4ac}{2a}×frac{-b-√(b^2)-4ac}{2a}- 根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，这里a=-b，b=√(b^2)-4ac，则x_{1}x_{2}=frac{(-b)^2-(√(b^2)-4ac)^2}{4a^2}- 进一步化简x_{1}x_{2}=frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=(4ac)/(4a^2)=(c)/(a)。
三、韦达定理的应用1. 已知方程的一个根，求另一个根- 例如，已知方程x^2-3x - 4 = 0的一个根为x_{1}=4，设另一个根为x_{2}。
- 对于方程x^2-3x - 4 = 0，这里a = 1，b=-3，c=-4。
- 根据韦达定理x_{1}+x_{2}=-(b)/(a)=3，因为x_{1}=4，所以x_{2}=3 - 4=-1。
初中数学韦达定理
初中数学韦达定理韦达定理是初中数学中的重要内容之一，它被广泛应用于代数求解和几何问题中。
韦达定理又称为韦达三角法则，它的基本思想是通过构造一个带有重心的三角形，利用各边与重心的连线之间的比例关系来求解未知量。
本文将详细介绍韦达定理的定义、原理以及应用实例。
一、定义和原理韦达定理是指在一个三角形中，确定三个顶点所对应边的长度和重心之间的关系。
其中，重心是指三角形三条中线的交点，它将全部三条中线按照长度等分。
韦达定理表示如下：设在一个三角形ABC中，AD为三角形的一条中线，将其分为两条相等的线段，由D可以构造三条平行于三边的线段BE、CF和AG，那么有以下关系成立：AB + AC = 2ADBC + BA = 2BECA + CB = 2CF二、韦达定理的证明我们来证明一下韦达定理。
设三角形ABC的重心为G，连接GD，并且延长至与AB相交于E，与AC相交于F。
由于G是三条中线的交点，所以AG=2GD。
同样的，通过类似的角度对应关系可以得到BE=2AB、CF=2AC。
根据平行线原理，我们知道三角形AGB与三角形GCF是相似的，所以可以写出一个比例等式：AB/AG = GC/CF将AG和CF的值代入后，我们得到：AB/2GD = GC/2AC通过移项可以得到：AC/GD = GC/AB同理，可以得到：AB/GD = GB/AC将这两个等式相加，我们得到：AC/GD + AB/GD = GC/AB + GB/AC化简后得到：(AB + AC)/GD = (GC + GB)/AB再次移项可得：AB + AC = 2GD同样的方法可以得到BC + AB = 2BE和CA + CB = 2CF，证明韦达定理成立。
三、韦达定理的应用实例韦达定理在代数求解和几何问题中具有广泛的应用。
下面给出几个具体的应用实例。
1. 已知三边长求重心若已知一个三角形的三条边的长度为a、b、c，可以利用韦达定理求解重心的坐标。
设重心的坐标为(x, y)，我们可以得到以下关系：x = (ax1 + bx2 + cx3)/(a + b + c)y = (ay1 + by2 + cy3)/(a + b + c)其中，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)分别是三个顶点的坐标。
韦达定理教案（大全五篇）
韦达定理教案（大全五篇）第一篇：韦达定理教案教案：韦达定理一、教学目标1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
培养逻辑思维及创新思维能力。
二、教学重点、难点1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导．2．教学难点：韦达定理的灵活应用．三、教学过程（一）定理的发现及论证提出问题：已知α，β是方程2x2-3x-1=0的两根，如何求α3+β3的值1.你能否写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为1）2和3 2）—4和7问题1：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？观察、思考、探索：2x-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积与各项系数之间有什么关系？请猜想？ 2问题2；对于一元二次方程的一般式ax+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？22结论1．如果ax+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-bc,x1x2=aa结论2．如果方程x+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．（二）定理的应用例1、关于x的方程x-2x+m=0 的一根为2，求另一根和m的值。
2例2.已知α,β是方程2x2-3x-1=0的两根,不解方程，求下列各式的值.11(1)+(2)(α+1)(β+1)αβ(3)α2+β2（5）α+β33(4)|α-β|例2、已知x1,x2是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根且x1x2-(x1+x2)=115，求k值。
例3已知实数a,b分别满足a+2a=2,b+2b=2且a≠b,求222211+的值 ab（三）总结一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行．它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，为进一步学习使用打下坚实基础．韦达定理的内容2①如果ax+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=- ba，1·2=xxca②如果方程x+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么 x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2第二篇：韦达定理代数式的值教案根与系数的关系2教学目标：1、会利用韦达定理求出与根有关的代数式的值2、学会灵活多变的代数式变形3、会求作新方程一、知识回顾1、设、代数式是方程=。
韦达定理复习课件
选择题
A. -4 B. -2
C. 0
选择题
D. 2
答案4：D. 2
解答题
总结词
考察韦达定理的综合应用
题目5
已知一元二次方程 x^2 - (k + 1)x + k = 0 的两个根为 x1 和 x2， 且 x1 + x2 = 3，求 k 的值。
答案5
解得 k = 2 或 k = -4。
THANKS
02
韦达定理的内容
韦达定理的公式
韦达定理公式
对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，其解的公式为 x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)。
解释
该公式用于求解一元二次方程的 根，其中 a、b、c 是方程的系数 ，b^2 - 4ac 是判别式。
。
解释
通过一系列代数变换， 将方程的解表示为根号 下的形式，从而得出解
的公式。
韦达定理的特例
01
02
03
04
特例1
当 b = 0，c = 0 时，方程变 为 ax^2 = 0，其解为 x = 0
。
特例2
当 a = 0 时，方程退化为线 性方程，不适用韦达定理。
特例3
当 b = 0，且 a 与 c 不相等 时，方程有两个相等的实根，
分式方程的实例
总结词
分式方程的解与系数的关系
详细描述
对于分式方程 $frac{x^2}{a} + frac{y^2}{b} = 1$，其解为 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$，则有 $x_1 cdot x_2 = pm frac{a}{sqrt{a^2 - b}}$ 和 $y_1 cdot y_2 = pm frac{b}{sqrt{a^2 - b}}$。
最新教案韦达定理
教案：韦达定理（一）王伟光一、教学目标1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
培养逻辑思维及创新思维能力。
二、教学重点、难点1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导．2．教学难点：韦达定理的灵活应用．（一）定理的发现及论证问题1：对于一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？x 1+x2=-，x1·x2=，如何推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系？设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．∴a acbbx24 21-+-=，aacbbx2422---=.()042≥-acb由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）—韦达定理三：韦达定理内容：韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212b cx +x =x x =a a-⋅，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。
其逆命题：如果12x x ，满足1212bc x +x =x x =a a-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。
四：韦达定理应用：韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。
金鼎培训将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值；⑤韦达（法国1540－1603）在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用等。
（1）、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。
例题1：若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣7x-2007=0的两根，则x 1+x 2与x 1•x 2的值分别是【 】练习：①下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【 】A ．x 2+2x ﹣4=0B ．x 2﹣4x+4=0C ．x 2+4x+10=0D ．x 2+4x ﹣5=0②若关于x 的方程022=+-m x x 的一个根为1-，则另一个根为【 】 A ．3- B ．1- C ．1 D ．3（2）、求对称代数式的值：应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
九年级上册数学暑假第七节—韦达定理
一个伟大的发现—韦达定理【知识要点】1．若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根分别为1x , 2x ，则：1x +2x =-b/a ；1x .2x =c/a2．若1x , 2x 是某一元二次方程的两根，则该方程可以写成：x 2-(1x +2x )x+1x 2x =0.【经典例题】【例1】已知1x ,x2为方程x 2+px+q=0的两根，且1x +x 2=6, 1x 2+2x 2=20，求p 和q 的值.【例2】 已知：方程12212+=x x 的两根为1x ，2x ，不解方程求下列各式的值：(1)(x1-x2)2；(2) 321231x x x x +【例3】 已知：关于x 的方程x 2-3x+2k-1=0的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且1+2k>0,求满足上述条件的k 的整数值.【例4】 已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+--)12(0212x k y y x kx (x,y 为未知数)，有两个不同的实数解 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2211,y y x x y y x x (1)求实数k 的取值范围； (2)若,3112121=++x x y y 求实数k 的值.【例5】 已知，关于x 的方程(n-1)x 2+mx+1=0①有两个相等的实数根.(1)求证：关于y 的方程m 2y 2-2my-m 2-2n 2+3=0②必有两个不相等的实数根；(2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m 2n+12n 的值.【方法总结】1.利用韦达定理求一元二次方程的两根之和与两根之积.(1)容易忘记除以二次项系数；(2)求两根之和时易弄错符号.2.已知两根，求作一元二次方程时，也容易弄错一次项系数的符号.3.应用韦达定理时，注意不要忽略题中的隐含条件，比如隐含的二次方程必有实数根的条件.【经典练习】一、选择题1.下列说法中不正确的是 ( )A.方程x 2+2x-7=0的两实数根之和为2B.方程x 2-3x-5=0的两实数根之积为-5C.方程x 2-2x-7=0的两实数根的平方和为18D.方程x 2-3x-5=0的两实数根的倒数和为3/52.若x1,x2是一元二次方程2x 2-3x+1=0的两个根，则x12+x22 的值是( )A.5/4B.9/4C.11/4D.73.已知关于x 的一元二次方程X 2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m 的值是( )A.5B.-1C.5或-1D.-5或14.方程x 2-3x-6=0与方程x 2-6x+3=0的所有根的乘积为 ( )A.-18B.18C.-3D.35.若一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为-3和-1，则抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点横坐标为( )A.-2B.2C.3D.-16.已知：a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，那么方程cx 2+(a+b)x+c/4=0的根的情况是 ( )A.无实数根B.有两个不相等的正实根C.有两个不等的负实根D.有两个异号的实根二、填空题1.请写出一个二次项系数为1，两实根之和为3的一元二次方程： 。
4(新课)高一数学暑假班教案-韦达定理 -学生版
高中数学韦达定理1、概念：形如()002≠=++a c bx ax 的方程为一元二次方程；2、配方法：对一元二次方程进行配方得到方程：222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+3、判别式∆从配方之后的方程可以看出：原方程有没有解，取决于代数式ac b 42-的正负；基于ac b 42-的重要性，令ac b 42-=∆称为该一元二次方程的判别式，它决定了一元二次方程解的个数问题；（1）若0>∆，原方程有两个不等的实数根，这两个根是a ac b b x 2421-+-=a ac b b x 2422---=；（2）若0=∆，原方程有两个相等的实数根，ab x x 221-==；（3）若0<∆，原方程没有实根；4、韦达定理当上述一元二次方程有实数解时，a ac b b x 2421-+-=a ac b b x 2422---=，（两个相等实根的情形也可以写成这样的形式）现在考察21x x +，21x x ⋅；利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-12121211x x x x x x ++=22121212()()4x x x x x x -=+-12||x x -=教学目标1、了解一元二次方程，并会用配方法求解一元二次方程；2、掌握一元二次方程的根的判别式∆，熟知根与∆之间的关系；3、掌握根与系数之间的关系——韦达定理；4、会用根与系数关系进行更深一层次的研究.重点1、根与系数之间的关系——韦达定理；2、韦达定理常见题型及解题思路．难点1、根与系数之间的关系——韦达定理；2、韦达定理常见题型及解题思路．（一）判别式，方程的解，韦达定理，运用韦达定理求值例1、若关于x 的一元二次方程210kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是____________.例2、按指定的方法解方程()21(9)250x +-=(直接开平方法)()226160x x --=(配方法)()()()33121x x x -=-(因式分解法)()242720x x -+=(公式法)例3、已知关于x 的方程()24110x m x m +++-=.（1）求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程两根分别为1x 和2x ，且满足12111x x +=，求m 的值.例4、求证：若1x 和2x 分别是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，则ax x ∆=-21（其中ac b 42-=∆）.例5、设12x x ，是方程22630x x -+=的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．(1)221212x x x x +；(2)212()x x -；(3)122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(4)221211x x +.例6、（1）设a ，b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为；（2）已知α、β是方程2520x x ++=的两根，求+的值例7、关于x 的一元二次方程22(23)10x k x k --++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）求证：10x <，20x <；（3）若1212||||6x x x x --=，求k 的值．例8、已知关于x 的一元二次方程2(21)10x k x k -+++=有二个不相等的实根1x 和2x ，（1）若122152xx x x +=，求k 的值；（2）求22212(1)(1)22m x x k k =--++的最大值．1、(1)如果－5是方程25100x bx +-=的一个根，求方程的另一个根及b 的值；(2)如果2是方程240x x c -+=的一个根，求方程的另一个根及c 的值．2、1x 、2x 是方程22350x x --=的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）2212x x +（2）12x x -（3）2212233x x x +-3、设α、β是方程2201320x x +-=的两根，则22(20161)(20161)ααββ+-+-=．4、设α、β是方程(1)(4)5x x +-=-的两实数根，则33βααβ+=．5、已知一元二次方程220x x m -+=．（1）若方程有两个实数根，求m 的范围．（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且1233x x +=，求m 的值．6、已知关于x 的方程222320x mx m m +++-=有两个实数根1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）当m 为何值时，使得21212()x x x x ++的值为54．7、已知关于x 的方程22(2)04m x m x ---=．（1）求证：无论m 为何值，方程总有两个不相等实数根．（2）设方程的两实数根为1x ，2x ，且满足21212()||||2x x x x +=-+，求m 的值．（二）利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程例9、求方程组1128x yxy+=⎧⎨=⎩①②的解.例10、设02=+-qpxx的两实根为βα,，若以33,βα为根的一元二次方程仍是02=+-qpxx，求所有这样的方程.例11、设方程02=++bcaxx和方程02=++acbxx)0(≠abc，有且仅有一个公共根，求以其余两根为根的方程.例12、若实数,a b满足22850,850a ab b-+=-+=，则1111b aa b--+--的值是（）A．20-B．2C．2或20-D．12或20-例13、若1ab≠，且有25200190a a++=及29200150b b++=，则ab=，1ab+=．1、阅读材料：材料1．若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=材料2．已知实数m 、n 满足210m m --=、210n n --=，且m n ≠，求n m m n +的值．解：由题知m 、n 是方程210x x --=的两个不相等的实数根，根据材料1得1m n +=，1mn =-∴222()21231n m m n m n mn m n mn mn ++-++====--根据上述材料解决下面问题：（1）一元二次方程2430x x --=的两根为1x 、2x ，则12x x +=，12x x =．（2）已知实数m 、n 满足22210m m --=、22210n n --=，且m n ≠，求22m n mn +的值．（3）已知实数p 、q 满足232p p =+、2231q q =+，且2p q ≠，求224p q +的值．2、设实数,s t 分别满足2199910s s ++=，299190t t ++=并且1st ≠，求41st s t ++的值．3、已知实数m 、n 满足23650m m +-=，23650n n +-=，求m nn m +的值．。
课题学习：韦达定理
韦达定理的内容
• 设一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根 为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下 关系：x1+x2＝－，x1·x2＝.
曲径通幽
• 通过观察课件学习，请记录韦达定理的内 容，并理解记忆。 • （学习要求：组内伙伴比一比，看谁的记 忆力最棒!）
题里乾坤大，大显身手时
• （学习要求：组内讨论解决以下两个例题，推选 发言人在班内展示自己的学习成果。） • 例1、已知关于x的方程2x2-x+m=0的一个根是1， 求方程的另一个根。 • 例2、（2009年兰州）阅读材料：设一元二次方 程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则两根与 方程系数之间有如下关系：x1+x2＝－，x1·x2＝. 根据该材料填空：已知x1、x2是方程x2+6x+3＝0 的两实数根，则+的值为 ．
收获大家谈
• （学习要求：把你学习本节课的心得体会 写下来。）
通过对数学家的了解产生强烈的学好数学的思想感情充分调动学生的非智力因素激发学生的学习兴趣挖掘学生的思维潜力为进一步提高学生的数学成绩奠定知识基础
课题学习：韦达定理
学习目标
• 1、知识与技能目标：在学习一元二次方程解法 和根的判别式的基础上了解韦达定理，并应用 韦达定理解决数学问题。 2、过程与方法目标：通过自主学习、交流合作 的互动过程，学习应用韦达定理。 3、情感态度和价值观目标：在接近数学家韦达 的时候，体验数学来源于生活，又服务于生活。 通过对数学家的了解，产生强烈的“学好数学” 的思想感情，充分调动学生的非智力因素，激 发学生的学习兴趣，挖掘学生的思维潜力，为 进一步提高学生的数学成绩奠定知识基础。
解析几何专题：方法篇之韦达定理
解析几何专题之韦达定理一、 基本应用 直线与圆锥曲线相交相关的弦长、弦的中点、垂直等问题 例1、椭圆122=+byax 与直线01=-+y x 相交于A 、B ，点C 是AB 的中点，若22=AB ，OC 的斜率为22，求椭圆的方程。
例2、已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率23=e ；直线l ：01=++y x 与椭圆E 交于Q P ，两点，且OQ OP ⊥，求椭圆E 的方程。
例3．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上。
（1）分别求A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积； （2）求证：直线AB 经过一个定点，求出该定点的坐标；（3）过定点(,0)M p 任作抛物线的一弦PQ ，求证：2211M P M Q+为定值。
二、综合应用 直线与椭圆相交问题：同一条直线上的线段之比问题、三角形及四边形面积问题、三点共线、定值定直线等问题4．如图，已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，P 为平 面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且Q P Q F F P F Q ⋅=⋅ 。
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于,A B 两点，交直线l 于点M ，已知1M A AF λ= ，2M B BF λ=， 求12λλ+的值。
例5．如图，已知椭圆22221(0)xya b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ,A 、B 、C 是椭圆上的三个动点，且111222,AF F B AF F C λλ==，若已知椭圆的离心率2e =。
（1）求12λλ+的值；（2）求△ABC 与△12AF F 的面积之比的最小值。
例6．如图，设抛物线214C y mx =：(0)m >的准线与x 轴交于1F ，焦点为2F ；以12F F 、为 焦点，离心率12e =的椭圆2C 与抛物线1C 在x 轴上方的一个交点为P 。
韦达定理 浙江版
韦达定理一. 本周教学内容：韦达定理二. 重点、难点：韦达定理与推论是重点。
难点是如何灵活应用韦达定理与推论。
三.知识回顾设方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根为x 11, x 2则x 11＋x 2＝a b -，x 11x 2＝a c ，这个方程的根与系数a,b,c 的关系叫做根与系数的关系定理，也叫韦达定理。
1. 若两个数x 11，x 2满足x 11＋x 2＝ab -，x 11x 2＝ac ，则x 11，x 2是方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，这个定理称为韦达定理的逆定理。
2. x 11，x 2是方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个实数根，则必有∆＝b 2-4ac 0≥,反之亦成立。
【典型例题】例1：已知x 11，x 2是方程x 2-3x+1=0的两个根，求x 21x 2+ x 11x 22的值。
解：∵x 1,32121==+x x x∴原式=x ()32121=+x x x例2：如果a ，b 是方程x 2＋x-1=0的两个实数根，求代数式a 3+a 2b+ab 2+b 3的值。
解：∵a+b=－1 , ab=－1 . 又a ()32222=-+=+ab b a b ∴原式=a ()()()()32222-=++=+++b a b a b a b b a例3. 若实数x ，y 满足（x+1）2=3－3(x+1), 3(y+1)=3－(y+1)2，求x y ＋yx 的值。
解：∵（x+1）()03132=-++x ,（y+1）()03132=-++y . 且021>=∆∴①若x y ≠.则x,y 为方程t 0152=++t 的两实根∴x+y=-5，xy=1原式=()232222=-+=+xy xy y x xy y x ②若x=y ，则原式=2 . ∴原式=2或23例4：验证x 11＝3＋1，x 2＝23－1为方程x 2－33x ＋5＋3＝0的实数根。
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学习目标
• 1、知识与技能目标：在学习一元二次方程解法 和根的判别式的基础上了解韦达定理，并应用 韦达定理解决数学问题。 2、过程与方法目标：通过自主学习、交流合作 的互动过程，学习应用韦达定理。 3、情感态度和价值观目标：在接近数学家韦达 的时候，体验数学来源于生活，又服务于生活。 通过对数学家的了解，产生强烈的“学好数学” 的思想感情，充分调动学生的非智力因素，激 发学生的学习兴趣，挖掘学生的思维潜力，为 进一步提高学生的数学成绩奠定知识基础。
收获大家谈
• （学习要求：把你学习本节课的心得体会 写下来。）
• •
重点难点
• 重点：韦达定理 • 难点：韦达定理的变式应用
合作学习
• 韦达是谁？ • 弗朗索瓦·韦达（法语：François Viète；1540年－1603年12月13日），法国 数学家，十六世纪最有影响的数学家之一， 被尊称为“代数学之父”。他是第一个引 进系统的代数符号，并对方程论做了改进 的数学家由于韦达做出了许多重要贡献， 成为十六世纪法国最杰出的数学家之一。
小试牛刀
• （学习要求：第一、二题为必做题，第三题为选 做做） • 一、（2009年济南）若是一元二次方程的两个根， 则的值是（ ） • A． B． C． D． • 二、（2009眉山）若方程的两根为、，则的值为 ( ) • A．3 B．－3 C． D． • 三、（2009年包头）关于的一元二次方程的两个 实数根分别是，且，则的值是（ ） • A．1 B．12 C．13 D．25
韦Байду номын сангаас定理的内容
• 设一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根 为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下 关系：x1+x2＝－，x1·x2＝.
曲径通幽
• 通过观察课件学习，请记录韦达定理的内 容，并理解记忆。 • （学习要求：组内伙伴比一比，看谁的记 忆力最棒!）
题里乾坤大，大显身手时
• （学习要求：组内讨论解决以下两个例题，推选 发言人在班内展示自己的学习成果。） • 例1、已知关于x的方程2x2-x+m=0的一个根是1， 求方程的另一个根。 • 例2、（2009年兰州）阅读材料：设一元二次方 程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则两根与 方程系数之间有如下关系：x1+x2＝－，x1·x2＝. 根据该材料填空：已知x1、x2是方程x2+6x+3＝0 的两实数根，则+的值为 ．