拉格朗日中值定理 大全

几何解释: y
yf(x)
A
B
O
C
a
bx
实际上, C点处的切线与弦 AB 平行.
把上图做一旋转，得到下图：
y
yf(x)
B
A
C
a
bx
O
C点处的切线与弦线 AB 平行.
f()f(b)f(a)
ba
拉格朗日（Lagrange）中值定理
如果函数 f ( x)满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导；
拉格朗日中值定理
罗尔定理
微
拉格朗日中值定理
分
中
值
柯西中值定理
定
理
泰勒中值定理
罗尔（Rolle）定理
如果函数 f (x) 满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导； （3） 且在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b)；
则在(a, b)内至少有一点(a b),使得函数 f ( x)在 该点的导数等于零，即 f ' () 0
（三）课时安排
拉格朗日中值定理和函数的单调性可安排 两课时。本节作为第一课时，重在探求拉格朗 日中值定理，理解拉格朗日中值定理的几何意 义和定理的条件，体会该定理在研究函数性态 应用中的作用。
二. 教法分析
（一）学情分析 （二）教学方法 （三）学法分析 （四）具体措施
二. 教法分析
（一）学情分析
公式对 b a 也成立.
拉格朗日中值公式
【注】：（1）定理的几何意义：在 y f (x) 上至少有一点 C ，使得 曲线在 C 点处的切线平行于弦 AB 弦.
（2）若附加条件 f (b) f (a) ，则成为 Rolle 定理.
（3）定理只论证了 的存在性， (a, b) ，不知道 的准确数值，但并不妨碍它的应用.
课
讲 授
定理：如果函数y=(x)满足， 10.在（a、b)上连续
20.在（a、b)内可导，则至少存在一点 (a、b)
使等式f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)成立。
推论：如果y=(x)在区间（a、b)内有f'(x)≡0
则在此区间内f(x)≡c(常数）。
注：这个推论是常数的导数是零的逆定理。
例题与练习
(a)
x ，则
(x) 在[a,b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且
(a) f (a) f (a) f (b) a bf (a) af (b) (b)
ba
ba
由罗尔定理，则至少存在一点 (a, b) ，使得( ) 0 .
即
f
( )
f
(b) b
f a
(a)
0
，
由此得，
f (b) f (a) f ( )(b a).
证明
证明
在(a、b)内任取两点x1,x2且x1<x2.则在[x1、x2]上 函数y=f(x)满足拉格朗日中值定理的条件。
∴f(x2)-f(x1)=f’(ξ)(x2-x1)
ξ∈(x1、x2)
若f’(x)>0,则f’(ξ)>0 又x2-x1>0
∴f(x2)>f(x1) ∴y=f(x)在[a、b]上单调增加
1)f(x)=ln(1+x)
2)f(x)=|x|
3)f(x)3 x
4)f(x)=arctanx
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二.函数单调性的判定法
y
B
yA
y=f(x)
y=f(x)
A
B
0a
bx
几何特征：
f '(x)>0
0a
bx
f '(x)<0
定理：设函数y=f(x)在[a、b]上连续,在（a、b)内可导.
1）若在(a、b)内f’(x)>0，则y=f(x)在[a、b]上单调增加。 2）若在(a、b)内f’(x)<0，则y=f(x)在[a、b]上单调减少。
同理可证：若f'(x)<0 ,则函数f(x)在[a、b]上单调减少
注：1）上述定理中间区间[a、b]若改为(a、b)或无限区间 结论同样成立。
2）若f(x)在(a、b)内的个别点的导数为零，其余的点 都有f '(x)>0(或 f '(x)<0)，则f(x)在(a、b)内满足单调 增加(单调减少).
例题
2) f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)
令 f'(x)=0 得x1=1 x2=2 3)列表：
x (-∞、1) 1 （1、2） 2 (2、+∞)
y'
+
0
-
0
+
y 4）由表可知：函数的单调增区间为（-∞、1]∪[2、+∞）
单调减区间为（1、2）。
(B)练习2：确定函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间。
通过数形结合的思想的具体运用来探讨定理的条件， 使学生思维达到严谨，了解科学的思维方法。
三. 教学目标
培养情感态度与价值观
在拉格朗日中值定理的探讨过程中，渗透逼近和数形结 合的思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系，激发 学生勇于探索、勤于思考的精神；
二. 教法分析
（四）具体措施
根据以上的分析，本节课采用教师引导与学生 自主探究相结合，交流与练习相穿插的活动课 形式，以学生为主体，教师创设和谐、愉快的 环境及辅以适当的引导。同时，利用多媒体形 象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性， 以提高课堂效率。教学中注重数形结合，从形 的角度对概念理解和运用。在这个过程中培养 学生分析解决问题的能力，培养学生讨论交流 的合作意识。
则在则在(a, b)内至少有一点(a b),
使等式 f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 :与罗尔定理去 相掉 比 f(了 a条 )f件 (b).中
结论亦 f(b)可 f(a)写 f( 成 ). 此条件太苛刻 ba
弦AB斜率
切线斜率
[分析]：如何利用罗尔定理来证明？关键是构造辅助函数，怎样构造
(A)例1.判定y=x3的单调性
解： y'=3x2 当x=0时 y'=0 当x≠0时 y'>0 ∴x∈(-∞,+∞) y单调增加
y
(A) 例2.判断下列函数的单调性
(1)f(x)x3 1 x
(2)f(x)x2
0
x
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(B)例 3.确定f(函 x)2 数 x39x21x 23
的单调区间。
解： 1） 定义域为(-∞、+∞)
学生已经学习了导数的概念和导数的运算，对微分的定 义及运算有了直观的认识和理解。通过体会导数的思想和实 际背景，已经具备一定的微分思想，但是发现函数与其导数 是两个不同的概念；而导数只是反映函数在一点的局部特征； 而函数反映在其定义域上的整体性态，如何建立两者之间的 联系呢？多数同学对此有相当的兴趣和积极性。学生在学习 时可能会遇到以下困难，发现连接曲线两端点的直线段有时 与曲线上某点的切线是平行的，但是又不知是否对所有曲线 都满足?
拉格朗日中值定理 函数单调性的判定法
拉格朗日中值定理 函数单调性的判定法
引入新课
新课讲授 小结与作业
引
入
导数的几何意义：
新
课
y
y=f(x)
α
0
x0
x
f'(x0)k切tan
例题
引例.(A) 已知曲 yl线 nx上点 A(1， 0)、 B(e， 1),在 AB
上求一 P，点 使过 P的点 切线平行 AB 。 于
三. 教学目标
掌握知识与技能
通过实验探求拉格朗日中值定理条件， 理解拉格朗日中值定理在研究函数性态 中的作用，培养学生分析、抽象、概括 等思维能力。
三. 教学目标
体会过程与方法
在寻找存在某直线与连接曲线两端点的线段平行的过 程中，使学生通过认识用导数来研究函数形态，发现 数学的美，数学知识的融会贯通；
+
y
4） 由表可知函数的单调增区间为(-∞、-2)∪(0、+∞) 单调减区间为（-2、-1）∪（-1、0）。
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小
结
三.小结与作业
与
作 1.拉格朗日中值定理及推论。
业
2.函数单调性的判定方法与步骤。
3.作业：<教与学>
P40 : (A)1.(1) (B)3.(3) (4) (C)3.(6)
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拉格朗日中值定理 函数单调性的判定法
解：
y
PB
0A
x
KABxyB BxyA A
1 e1
又 设 P (K x0 切 、 y0 K )AB 则 K 切 y'|xx0x 1 0
1 1 x0 e 1
x0 e1
y0lne(1) 点 P e 1 、 ln e 1 ( )
注：这个例题反映了一个一般事实，可以写成下面的定理。
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新
一.拉格朗日中值定理
证
f( b ) f( a ) f()b ( a )
若 f ( x ) 0 ,x I .则 x 1 , x 2 I , 有
f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( ) x 1 ( x 2 ) 0 , f(x 1)f(x 2).
推论 2
若 f ( x ) g ( x ) x I , 则 f ( x ) g ( x ) C x I . ( C 为常数 )
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(C)例4：求函f数 (x) x2 的单调 1x
解： 1）定义域为(-∞、-1)∪（-1、+∞).
2）f'(x)x(1(xx)22) 令 f'( x ) 0 得 x 1 2 、 x 2 0
3)列表:
x (-∞、-2) -2 （-2、-1） （-1、0） 0 (0、+∞)
y’
+
0
-
-
0
(A)例1.求函数f(x)=x2+2x在区间[0、1]内满足拉
格朗日中值定理的ξ值。
解： ff('( 1)) -f (( 02 )x =3 2 )|x f2 '( ) 2f(1)f(0)3
(B)练习1：∴2下ξ列+2函=3数中在区间∴ξ[-1、121]上满1足0拉格朗日中值
定理条件的是______
二. 教法分析
（三）学法分析
自主、合作、探究
借助多媒体技术创设丰富的教学情境，激发学生的学习动机，培养学 习兴趣，充分调动学生的学习积极性，倡导学生采用自主、合作、探 究的方式学习。引导学生动手操作课件，指导学生讨论交流从而发现 规律，培养学生探究问题的习惯和意识以及勇于探索、勤于思考的精 神，提高学生合作学习和数学交流的能力。
证
f( b ) f( a ) f()b ( a )
F ( x ) ( f ( x ) g ( x ) ) f ( x ) g ( x )
若 f( x ) g ( x )x I , 则 F ( x ) ( f ( x ) g ( x ) ) 0 ,x I ,
F ( x ) f( x ) g ( x ) C ,x I .
（4）拉格朗日（Lagrange）中值公式的其它写法：
() f (b) f (a) f (a (b a))(b a) ， 0 1。 () f (x x) f (x) f (x x) x ， 0 1。
有限增量公式
推论 1
若 f ( x ) 0 , x I , 则 f ( x )ห้องสมุดไป่ตู้ C , x I .
引入新课
新课讲授 小结与作业
拉格朗日中值定理 函数单调性的判定法
拉格朗日中值定理
几何直观
y
yf(x)
C
B
A
o a 1
D
2 b x
教材分析
教法分析
教学目标
教学过程
评价反思
一. 教材分析
（1） 教材的地位和作用 （2）重点难点 （3） 课时安排
一. 教材分析
（一）教材的地位和作用
微积分学是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了 2500多年震撼人心的智力奋斗的结果，它开创了向近代数学 过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法。微分 中值定理是微分学理论的重要组成部分，在导数应用中起着 桥梁作用，也是研究函数变化形态的纽带，在微分学中占有 很重要的地位.
拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量 联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态，如单 调性、变化快慢和极值等性态，这是本章的关键内容。
一. 教材分析 （二）重点与难点
教学重点：探求和理解拉格朗日中值定理。
教学难点：探求拉格朗日中值定理的条件；
运用定理研究函数单调性。
一. 教材分析
辅助函数？方法有很多种，我们介绍其中的一种:
f (b) f (a) f ( ) f ( ) k f ( ) k 0
ba
f (x) k x
0f
(x) kx ' x
0
可以看成洛尔定理的结论
设 (x) f (x) kx ，即为所找的辅助函数.
[证明]：构造辅助函数
(x)
f
(x)
f
(b) f ba
二. 教法分析
（二）教学方法
1、多媒体辅助教学 借助多媒体教学手段引导学生发现存在某点 的切线与连接两端点的线段是平行的，使问题变 得直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示 这一过程，体会逼近的思想方法。 2、探究发现法教学 让学生通过动手操作课件，经历“实验、探 索、论证、应用”的过程，体验从特殊到一般的 认识规律，通过学生“动手、动脑、讨论、演练” 增加学生的参与机会，增强参与意识，教给学生 获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正 成为教学主体。