拉格朗日中值定理 大全
拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若)(x f 满足在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，则在()b a ,内至少存在一点ξ使得()()()'f b f a f b a-=-ξ 几何意义：割线斜率必等于中间某点的切线斜率推论1： 若在区间()b a ,内导函数0)('≡x f ，则在区间()b a ,内)(x f 为一常数推论2： 若在区间()b a ,内函数)(x f ，)(x g 满足)()(''x g x f =，则在区间()b a ,内有c x g x f +=)()(，c 为常数典例剖析例题1证明：y x y x -≤-sin sin例题2 试证明：当[)+∞∈,1x 时，2ln 11ln ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x例题3 已知)0(,21ln )(2>+=a x x a x f ，对于任意两个不等的正数21,x x 都有 2)()(1212>--x x x f x f 恒成立，求a 的取值范围例题4 已知二次函数)(x f 满足：①在1=x 时有极值，②图像过点（0，-3）且在该点处的切线与直线02=+y x 平行（1）求)(x f 的解析式（2）若)(x e f y =上任意两点的连线斜率恒大于a a 1+，求a 的取值范围。
例题5 已知x a xx x f ln 2)(2++=，0>x ，)(x f 的导函数为)('x f ，对于任意两个不等 正数21,x x ，当4≤a 时，证明：212'1')()(x x x f x f ->-例题6 设)(x f 在[]1,0可导，且1)(0<<x f ，又对于()1,0内所有的点x 满足1)('-≠x f ，证明：方程01)(=-+x x f 在()1,0内有唯一实数根。
强化训练1.已知)1(,21)(,ln )(2>-==b bx x x g x x f ，对于区间()2,1内任意两个不等正数21,x x 都有)()()()(2121x g x g x f x f ->-恒成立，求b 的取值范围2.已知1ln )1()(2+++=ax x a x f（1）讨论)(x f 的单调性（2）设1-<a ，如果对于任意()∞+∈，0,21x x ，都有21214)()(x x x f x f -≥-，求a 的取值范围。
双变量：拉格朗日中值定理(专业版)
2、已知函数 f(x)=x+lnx+ x ,若 g(x)=f’(x),问是否存在实数 K，使得 g(x)上任意不同两点连线的斜率都 不小于 K,若存在，求出 k 的范围；若不存在，说明理由。
3、设函数 f(x)=ex-e-x,证明：对任意 x≥0,都有 f(x)≥ax,则 a 的取值范围为（-∞，2]. 4、（2017•新课标Ⅱ）设函数 f（x）=（1﹣x2）ex ，当 x≥0 时，f（x）≤ax+1，求 a 的取值范围． 5、求证：当 a>ln2-1 且 x>0 时，ex>x2-2ax+1 6、(2007 年安徽卷）设 a≥0,求证：当 x>1 时，x>ln2x-2alnx+1 恒成立。
1<a<5,则对任意
x1，x2Є（0，+∞），且
x1≠x2,有
f
( x1 ) x1Leabharlann f (x2 ) x21
。
解：∵f(x)在（0，+∞）任意两点间的斜率等效于 f(x)在（0，+∞）上的导数 f’(x) ∴原式等价于证明 f’(x)>-1, xЄ（0，+∞）,1<a<5. 即证 f’(x)= x-a +(a-1)/x>-1, 即(f’(x))min>-1 f’(x)= x-a +(a-1)/x≥ 2 a -1 - a ∴ （f '(x))min = 2 a -1 - a > -1，得1 < a < 5,证毕。
一、拉格朗日中值定理:
1、定理：若函数 f(x)满足以下条件：
（ⅰ）f(x)在闭区间[a,b]上连续；
（ⅱ）f(x)在开区间（a,b）内可导；
拉格朗日中值定理
一拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。
拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。
在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。
拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。
拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。
发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。
用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即这就是非常著名的费马定律，当一个函数在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则′。
著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。
在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。
最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点和，并且函数在此闭区间内是连续的，′的最大值为A，′最小值为B，则的值必须是A和B之间的一个值。
这是拉格朗日定理最初的证明。
下述就是拉格朗日中值定理所要求满足的条件。
如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着一点，使得′ξ.拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。
例1：函数，即′。
当在开区间∞时，有′，在开区间∞单调递增；当在开区间∞时，有′，f(x)在开区间∞单调递减。
在，有′，。
由上述例子说明，想要确定一个函数的单调性可以通过求得这个函数的一阶导数来求得判断单调区间。
拉格朗日中值定理(可编辑修改word版)
x ‒ x 一 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。
拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。
在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。
拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。
拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。
发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。
用现代的语言来描述，在一个自变量x 从x 变为x+1 的过程中，如果函数f(x) 本身就是一个极限值，那么函数 f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和 f(x)的值近似相等，即f(x + 1) ‒ f(x)1≈ 0这就是非常著名的费马定律，当一个函数f(x)在 x=a 处可以取得极值，并且函数是可导函数，则f '(x) = 0。
著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。
在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。
最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数 f(x)在闭区间[a,b]内任取两点x 0和x 1，并且函数f(x)在此闭区间内是连续的，f ' (x)的最大值为 A ，f '(x)最小值为 B ，则f(x 1) ‒ f(x 0)的值必须是 A 和 B 之间的一个值。
1 0这是拉格朗日定理最初的证明。
下述就是拉格朗日中值定理所要求满足的条件。
如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数 f 在闭区间[a ，b]上连续； （2）函数 f 在开区间（a ，b ）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着f(b) ‒ f(a)一点尉，使得f'(ξ) =b ‒ a.拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。
拉格朗日中值定理
拉格朗⽇中值定理⼀拉格朗⽇中值定理拉格朗⽇中值定理，⼜被称为有限增量定理，是微积分中的⼀个基本定理。
拉格朗⽇中值公式的形式其实就是泰勒公式的⼀阶展开式的形式。
在现实应⽤当中，拉格朗⽇中值定有着很重要的作⽤。
拉格朗⽇中值定理是所有的微分中值定理当中使⽤最为普遍的定理。
拉格朗⽇中值定理的形成和发展过程都显⽰出了数学当中的⼀个定理的发展是⼀个推翻陈旧，出现创新的⼀个进程。
发现⼀些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级⾛向⾼级。
⽤现代的语⾔来描述，在⼀个⾃变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本⾝就是⼀个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是⼀个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即这就是⾮常著名的费马定律，当⼀个函数在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则。
著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。
在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗⽇中值定理。
最初的拉格朗⽇中值定理和现在成熟的拉格朗⽇中值定理是不⼀样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点，并且函数在此闭区间内是连续的，的最⼤值为A，最⼩值为B，则的值必须是A和B之间的⼀个值。
这是拉格朗⽇定理最初的证明。
下述就是拉格朗⽇中值定理所要求满⾜的条件。
如果存在⼀个函数满⾜下⾯两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内⾄少存在着⼀点，使得.拉格朗⽇中值定理是导数的⼀个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。
例1：函数f(x)在开区间在由上述例⼦说明，想要确定⼀个函数的单调性可以通过求得这个函数的⼀阶导数来求得判断单调区间。
当⼀个函数在某个确定的区间内，存在着；内时，那么这⼀点就是这个函数的极值点。
在例1中，当1在拉格朗⽇中值定理中，有两个要求条件，⼀个是在⼀个闭区间内连续，⼀个是在相同期间开区间可导，不满⾜这两个条件，拉格朗⽇中值定理在此种情况下是没有意义的。
拉格朗日中值定理
三、定理推广推论 如果函数 f(x)在区间[a,b]上的导数 f'(x)恒为零，那 么函数 f(x)在区间[a,b]上是一个常数。
四、例题 设 f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导 证明:在(a,b)内至少存在一点 g，使得 [b×f(b)-a×f(a)]÷(b-a)= f(g)+g×f'(g) 分析:先把等式右边的 g 换成 x 通过观察，得出右端是 x×f(x)的导数，左端刚好也符合定理结论。 证明:令 F(x) =x×f(x),则 F(x)在闭区间[a,b]上连续， 在开区间(a,b)内可导.由拉格朗日定理知， 在(a,b)内至少存在一点 g,使得 F(b)-F(a)=F'(g)×(b-a) 即[b×f(b)-a×f(a)]÷(b-a )= f(g)+g×f'(g)
拉格朗日中值定理
定义、原理推论和例题
拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中 的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整 体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。
拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同 时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形 式一阶展开。法国数学家拉格朗日于1797年在其著解 析函数论的第六章提出了该定理，并进行了初步证明， 因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。
一、定理表述 如果函数 f(x)满足: (1)在闭区间[a,b]上连续; (2)在开区间(a,b)内可导; 那么在开区间(a,b)内，至少有一点 e(e 大于 a,小于 b) 使等式 f(b)-f(a)=f'(e)×(b-a)成立。
二、验证推导 辅助函数法: 已知 f(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，构造 辅助函数 g(x)=f(x)-f(a)-[f(b)-f(a)]×(x-a)÷(b-a) 可得 g(a)=g(b)又因为 g(x)在[a,b]上连续，在开区间 (a,b)内可导，所以根据罗尔定理可得必有一点 e 属于(a,b) 使得 g'(e)= 0 可得 g'(e)= f'(e)-[f(b)-f(a)]÷(b-a)=0 变形得 f(b)-f(a)=f'(e)×(b-a) 定理证毕。
拉格朗日微分中值定理
拉格朗日微分中值定理的概念、证明和应用拉格朗日微分中值定理，又称拉氏定理、有限增量定理，是微分学中的基本定理之一，反映了可导函数闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。
它是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。
定理的内容和几何意义令f为闭区间[a,b]上的一个连续函数，且在开区间(a,b)内可导，其中a<b。
那么在(a,b)上存在某个ξ使得f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a此定理称为拉格朗日中值定理，也简称均值定理。
在几何上，这表示曲线y=f(x)上存在一点(ξ,f(ξ))其切线的斜率等于由两点(a,f(a))和(b,f(b))所连接的直线的斜率。
如下图所示：定理的证明在不失去一般性的条件下，设对所有x∈[a,b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)；因为f是闭区间[a,b]上的连续函数，取得最大值M和最小值m。
令g(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−a(x−a)那么g在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且g(a)=g(b)=f(a)由罗尔定理，存在至少一点ξ∈(a,b)，使得g′(ξ)=0即f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a定理的应用拉格朗日中值定理在微分学中有着广泛的应用，例如：证明函数单调性、极值、凹凸性等性质；估计函数误差、求函数极限、判断函数收敛性等问题；推导洛必达法则、泰勒公式、积分第一中值定理等重要结论。
下面举几个例子说明。
例1：证明函数单调性设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且对任意x∈(a,b)有f′(x)>0，则f(x)在[a,b]上单调递增。
证明：任取x1,x2∈[a,b]且x1<x2，由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(x1,x2)使得f′(ξ)=f(x2)−f(x1) x2−x1由于f′(ξ)>0且x2−x1>0，所以有f(x2)−f(x1)>0即f(x2)>f(x1)这说明f(x)在[a,b]上单调递增。
高等数学拉格朗日中值定理
高等数学拉格朗日中值定理高等数学拉格朗日中值定理是微积分中的一项重要定理，它被广泛应用于求解函数的极值、证明函数的性质以及推导其他数学定理等方面。
拉格朗日中值定理是法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日于18世纪提出的，它建立在导数的基础上，描述了函数在某个区间内的平均变化率与其导数在该区间内某点的值之间的关系。
拉格朗日中值定理的表述如下：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。
简单来说，拉格朗日中值定理告诉我们，对于任意一段曲线，至少存在一个点，该点的切线斜率等于该曲线两个端点间的斜率之差。
为了更好地理解拉格朗日中值定理，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个汽车在某段时间内行驶了一段距离，我们希望知道在这段时间内汽车的平均速度与某一刻的瞬时速度之间的关系。
根据拉格朗日中值定理，平均速度等于瞬时速度。
具体而言，在某一刻，汽车的瞬时速度等于汽车在该段时间内的总位移除以该段时间的长度，即平均速度。
拉格朗日中值定理的应用远不止于此，它可以用于证明很多重要的数学定理。
例如，利用拉格朗日中值定理，我们可以证明柯西中值定理、罗尔中值定理和费马定理等。
这些定理在微积分中具有重要的地位，并且被广泛应用于求解极值问题、证明函数的性质以及推导其他数学定理。
总之，高等数学拉格朗日中值定理是微积分中的一项基础且重要的定理。
通过该定理，我们可以了解函数在某个区间内的平均变化率与其导数在该区间内某点的值之间的关系。
此外，拉格朗日中值定理还可以用于证明其他重要的数学定理，为我们研究函数的性质和求解实际问题提供了有力的工具。
(完整版)拉格朗日中值定理
一拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。
拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。
在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。
拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。
拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。
发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。
用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即f(x+1)−f(x)≈01这就是非常著名的费马定律，当一个函数f(x)在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则f′(x)=0。
著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。
在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。
最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点x0和x1，并且函数f(x)在此闭区间内是连续的，f′(x)的最大值为A，f′(x)最小值为B，则f(x1)−f(x0)的值必须是A和B之间的一个x1−x0值。
这是拉格朗日定理最初的证明。
下述就是拉格朗日中值定理所要求满足的条件。
如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着.一点，使得f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。
例1：函数f(x)=2x2−8，即f′(x)=4x。
当x在开区间(0,+∞)时，有f′(x) >0，f(x)在开区间(0,+∞)单调递增；当x在开区间(−∞,0)时，有f′(x)<0，f(x)在开区间(−∞,0)单调递减。
拉格朗日中值定理-资料大全
多维空间中的拉格朗日中值定 理的应用
在解决多维空间中的几何、代数和微分方程问题时，可 以利用多维空间中的拉格朗日中值定理来研究函数的性 质和行为。
与其他数学定理的联系
拉格朗日中值定理与泰勒定理的联系
泰勒定理是研究函数在某一点附近的性质的定理，而拉格朗日中值定理则是研究函数在某一点的斜率的定理，两 者之间存在密切的联系。
推论三：泰勒公式
总结词
泰勒公式是拉格朗日中值定理的一个重要推论，它可 以用来近似表达一个函数的值。
详细描述
泰勒公式是由英国数学家泰勒在18世纪末提出的。这个 公式可以用来近似表达一个函数在一个点的值，精度取 决于所选取的项数。一般来说，项数越多，近似精度越 高。泰勒公式的一般形式为f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + f'''(a)(x - a)^3/3! + ...，其中f'(a)、 f''(a)、f'''(a)等表示函数在点a的导数。
04 拉格朗日中值定理的应用 实例
应用实例一：证明不等式
要点一
总结词
利用拉格朗日中值定理证明不等式，需要找到与不等式相 关的函数和区间，并利用定理推导出所需的不等式关系。
要点二
详细描述
在证明不等式时，我们通常选择两个函数，一个在区间上 单调递增，另一个在区间上单调递减。然后，利用拉格朗 日中值定理在这两个函数之间建立一个联系，从而证明不 等式。
拉格朗日中值定理与微积分基本定理的联系
微积分基本定理是微积分学中的基本定理之一，它建立了积分与微分之间的联系，而拉格朗日中值定理则是微分 学中的基本定理之一，两者之间存在密切的联系。
§15-1拉格朗日中值定理、函数单调性判定
课时讲授§15-1 拉格朗日中值定理函数单调性的判定方法1.了解拉格朗日中值定理及其几何解释。
2.熟练掌握函数单调性的判定方法。
拉格朗日中值定理函数单调性的判定定理拉格朗日中值定理函数单调性的判定定理无P109.A.1、2、3、4拉格朗日中值定理较抽象，学生不容易理解。
§ 15-1拉格朗日中值定理一、拉格朗日中值定理：定理（拉格朗日中值定理）：如果函数()f x 满足条件：（1）在闭区间[],a b 上连续；（2）在开区间(),a b 内可导，那么在(),a b 内至少有一点ξ，使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立。
几何意义：在满足（1）、（2）的曲线段AB 上，至少有一点处的切线平行于弦AB .推论：如果对区间(),a b 内任一点，都有()0f x '=，那么在此区间内()f x c =（常数）。
注：这个推论是常数的导数为零的逆定理。
例1：验证拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[]1,e 上的正确性。
二、函数单调性的判断定理：设函数()y f x =在[],a b 上连续，在(),a b 内可导：（1）如果在(),a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[],a b 上单调增加； （2）如果在(),a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[],a b 上单调减少。
例2、判定函数()31f x x x=-的单调性。
例3、判定函数()2f x x =的单调性。
例4、确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间。
练习一、求函数221y x x =++在区间[]1,3-上满足拉格朗日中值定理的ξ值练习二：确定下列函数的单调区间（1）3y x x =- （2）()ln 21y x =-小结：（略）§15-1拉格朗日中值定理 函数单调性的判定法新课一、拉格朗日中值定理定理（拉格朗日中值定理）：如果函数()f x 满足条件：（1）在闭区间[],a b 上连续；（2）在开区间(),a b 内可导，那么在(),a b 内至少有一点ξ，使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立。
拉格朗日中值定理洛必达法则
x x0 （或 x ）时，如果两个函数
那么极限 f ( x ), g( x ) 都是趋于零或都趋于无穷大，
f ( x) lim 可能存在、也可能不存在． x x0 g ( x )
( x )
通常称这种极限为未定式的极限，并分别简记
为
0 0
或
.
洛必达法则： 0 1、 型未定式 0
讨论分析
f x x2 2 x 在 [0, 2] 上满足拉格朗日定理么？ 例1 函数
如果满足，求出使定理成立的 的值。 解 f x x 2 x是初等函数， 故在闭区间[0, 2]
2
上连续，在开区间(0, 2)内可导， 所以函数在[0, 2]上满 足拉格朗日中值定理的条件． 又 f ( x ) 2 x 2, 令 f (2) f (0) f ( )
则
证 设 x1 , x2 为区间(a,b)上任意两点（不妨设x1 x2 )
显然，f ( x ) 在 [ x1 , x2 ]上满足拉格朗日中值定理的条件，
所以
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 )( x1 x2 )
由于 f ( ) 0, 则 f ( x2 ) f ( x1 ) 0, 即 f ( x2 ) f ( x1 ) 即函数f (x)在区间 (a,b)上任意两点的函数值相等，
ln x
0 0
(ln x )
1 x
讨论分析
注：洛必达法则对求未定式的极限并非始终有效，
有些未定式利用洛必达法则求不出极限．
如
1 x sin x lim x 0 sin x
2
0 是 型的未定式， 0
1 1 1 1 2 x sin ( x sin ) 2 x sin cos x lim x lim x x lim x0 x0 x0 sin x (sin x ) cos x
拉格朗日中值定理特殊形式
拉格朗日中值定理特殊形式
拉格朗日中值定理有多种特殊形式，以下是其中的两种：
1. 拉格朗日中值定理的弱形式：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可微，且f(a) = f(b)，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)。
2. 拉格朗日中值定理的强形式：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可微，且f(a) ≠f(b)，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)，且该点c唯一。
这两种特殊形式的拉格朗日中值定理都反映了函数在一个区间内的平均变化率与区间内某一点的局部变化率之间的关系。
弱形式的中值定理适用于连续函数，但要求函数在端点处的函数值相等，而强形式的中值定理适用于更广泛的函数，但要求函数在区间端点处的导数不相等。
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二. 教法分析
（二）教学方法
1、多媒体辅助教学 借助多媒体教学手段引导学生发现存在某点 的切线与连接两端点的线段是平行的，使问题变 得直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示 这一过程，体会逼近的思想方法。 2、探究发现法教学 让学生通过动手操作课件，经历“实验、探 索、论证、应用”的过程，体验从特殊到一般的 认识规律，通过学生“动手、动脑、讨论、演练” 增加学生的参与机会，增强参与意识，教给学生 获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正 成为教学主体。
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(C)例4：求函f数 (x) x2 的单调 1x
解： 1）定义域为(-∞、-1)∪（-1、+∞).
2）f'(x)x(1(xx)22) 令 f'( x ) 0 得 x 1 2 、 x 2 0
3)列表:
x (-∞、-2) -2 （-2、-1） （-1、0） 0 (0、+∞)
y’
+
0
-
-
0
二. 教法分析
（三）学法分析
自主、合作、探究
借助多媒体技术创设丰富的教学情境，激发学生的学习动机，培养学 习兴趣，充分调动学生的学习积极性，倡导学生采用自主、合作、探 究的方式学习。引导学生动手操作课件，指导学生讨论交流从而发现 规律，培养学生探究问题的习惯和意识以及勇于探索、勤于思考的精 神，提高学生合作学习和数学交流的能力。
通过数形结合的思想的具体运用来探讨定理的条件， 使学生思维达到严谨，了解科学的思维方法。
三. 教学目标
培养情感态度与价值观
在拉格朗日中值定理的探讨过程中，渗透逼近和数形结 合的思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系，激发 学生勇于探索、勤于思考的精神；
则在则在(a, b)内至少有一点(a b),
使等式 f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 :与罗尔定理去 相掉 比 f(了 a条 )f件 (b).中
结论亦 f(b)可 f(a)写 f( 成 ). 此条件太苛刻 ba
弦AB斜率
切线斜率
[分析]：如何利用罗尔定理来证明？关键是构造辅助函数，怎样构造
(A)例1.求函数f(x)=x2+2x在区间[0、1]内满足拉
格朗日中值定理的ξ值。
解： ff('( 1)) -f (( 02 )x =3 2 )|x f2 '( ) 2f(1)f(0)3
(B)练习1：∴2下ξ列+2函=3数中在区间∴ξ[-1、121]上满1足0拉格朗日中值
定理条件的是______
证
f( b ) f( a ) f()b ( a )
若 f ( x ) 0 ,x I .则 x 1 , x 2 I , 有
f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( ) x 1 ( x 2 ) 0 , f(x 1)f(x 2).
推论 2
若 f ( x ) g ( x ) x I , 则 f ( x ) g ( x ) C x I . ( C 为常数 )
三. 教学目标
掌握知识与技能
通过实验探求拉格朗日中值定理条件， 理解拉格朗日中值定理在研究函数性态 中的作用，培养学生分析、抽象、概括 等思维能力。
三. 教学目标
体会过程与方法
在寻找存在某直线与连接曲线两端点的线段平行的过 程中，使学生通过认识用导数来研究函数形态，发现 数学的美，数学知识的融会贯通；
公式对 b a 也成立.
拉格朗日中值公式
【注】：（1）定理的几何意义：在 y f (x) 上至少有一点 C ，使得 曲线在 C 点处的切线平行于弦 AB 弦.
（2）若附加条件 f (b) f (a) ，则成为 Rolle 定理.
（3）定理只论证了 的存在性， (a, b) ，不知道 的准确数值，但并不妨碍它的应用.
引入新课
新课讲授 小结与作业
拉格朗日中值定理 函数单调性的判定法
拉格
B
A
o a 1
D
2 b x
教材分析
教法分析
教学目标
教学过程
评价反思
一. 教材分析
（1） 教材的地位和作用 （2）重点难点 （3） 课时安排
一. 教材分析
（一）教材的地位和作用
微积分学是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了 2500多年震撼人心的智力奋斗的结果，它开创了向近代数学 过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法。微分 中值定理是微分学理论的重要组成部分，在导数应用中起着 桥梁作用，也是研究函数变化形态的纽带，在微分学中占有 很重要的地位.
拉格朗日中值定理
罗尔定理
微
拉格朗日中值定理
分
中
值
柯西中值定理
定
理
泰勒中值定理
罗尔（Rolle）定理
如果函数 f (x) 满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导； （3） 且在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b)；
则在(a, b)内至少有一点(a b),使得函数 f ( x)在 该点的导数等于零，即 f ' () 0
（三）课时安排
拉格朗日中值定理和函数的单调性可安排 两课时。本节作为第一课时，重在探求拉格朗 日中值定理，理解拉格朗日中值定理的几何意 义和定理的条件，体会该定理在研究函数性态 应用中的作用。
二. 教法分析
（一）学情分析 （二）教学方法 （三）学法分析 （四）具体措施
二. 教法分析
（一）学情分析
辅助函数？方法有很多种，我们介绍其中的一种:
f (b) f (a) f ( ) f ( ) k f ( ) k 0
ba
f (x) k x
0f
(x) kx ' x
0
可以看成洛尔定理的结论
设 (x) f (x) kx ，即为所找的辅助函数.
[证明]：构造辅助函数
(x)
f
(x)
f
(b) f ba
拉格朗日中值定理 函数单调性的判定法
拉格朗日中值定理 函数单调性的判定法
引入新课
新课讲授 小结与作业
引
入
导数的几何意义：
新
课
y
y=f(x)
α
0
x0
x
f'(x0)k切tan
例题
引例.(A) 已知曲 yl线 nx上点 A(1， 0)、 B(e， 1),在 AB
上求一 P，点 使过 P的点 切线平行 AB 。 于
同理可证：若f'(x)<0 ,则函数f(x)在[a、b]上单调减少
注：1）上述定理中间区间[a、b]若改为(a、b)或无限区间 结论同样成立。
2）若f(x)在(a、b)内的个别点的导数为零，其余的点 都有f '(x)>0(或 f '(x)<0)，则f(x)在(a、b)内满足单调 增加(单调减少).
例题
1)f(x)=ln(1+x)
2)f(x)=|x|
3)f(x)3 x
4)f(x)=arctanx
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二.函数单调性的判定法
y
B
yA
y=f(x)
y=f(x)
A
B
0a
bx
几何特征：
f '(x)>0
0a
bx
f '(x)<0
定理：设函数y=f(x)在[a、b]上连续,在（a、b)内可导.
1）若在(a、b)内f’(x)>0，则y=f(x)在[a、b]上单调增加。 2）若在(a、b)内f’(x)<0，则y=f(x)在[a、b]上单调减少。
拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量 联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态，如单 调性、变化快慢和极值等性态，这是本章的关键内容。
一. 教材分析 （二）重点与难点
教学重点：探求和理解拉格朗日中值定理。
教学难点：探求拉格朗日中值定理的条件；
运用定理研究函数单调性。
一. 教材分析
2) f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)
令 f'(x)=0 得x1=1 x2=2 3)列表：
x (-∞、1) 1 （1、2） 2 (2、+∞)
y'
+
0
-
0
+
y 4）由表可知：函数的单调增区间为（-∞、1]∪[2、+∞）
单调减区间为（1、2）。
(B)练习2：确定函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间。
几何解释: y
yf(x)
A
B
O
C
a
bx
实际上, C点处的切线与弦 AB 平行.
把上图做一旋转，得到下图：
y
yf(x)
B
A
C
a
bx
O
C点处的切线与弦线 AB 平行.
f()f(b)f(a)
ba
拉格朗日（Lagrange）中值定理
如果函数 f ( x)满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导；
课
讲 授
定理：如果函数y=(x)满足， 10.在（a、b)上连续
20.在（a、b)内可导，则至少存在一点 (a、b)
使等式f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)成立。
推论：如果y=(x)在区间（a、b)内有f'(x)≡0
则在此区间内f(x)≡c(常数）。
注：这个推论是常数的导数是零的逆定理。
例题与练习
（4）拉格朗日（Lagrange）中值公式的其它写法：
() f (b) f (a) f (a (b a))(b a) ， 0 1。 () f (x x) f (x) f (x x) x ， 0 1。