高考数学难点突破难点33 函数的连续及其应用

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高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用

高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用函数的连续及其应用是高考数学中的一个重要难点，对于很多学生来说，理解和掌握这个知识点是比较困难的。

本文将分为三个部分进行讲解，首先是函数连续的概念和定义；其次是连续函数的性质和判断方法；最后是函数连续的应用。

一、函数连续的概念和定义在数学中，函数连续是指函数在一些点上没有突变、断层，即在该点上没有跳跃，也没有突变的现象。

具体来说，对于函数f(x)在点x=a处连续，需要满足以下三个条件：1.函数在点x=a处存在；2.函数在点x=a处的左极限和右极限存在且相等；3.函数在点x=a处的极限等于函数在该点的函数值。

符号化表示如下：f(a-)=f(a+)=f(a)二、连续函数的性质和判断方法1.连续函数的四则运算性质：如果函数f(x)和g(x)在点x=a处连续，则它们的和、差、积、商也在点x=a处连续。

2.连续函数的复合函数性质：如果函数f(x)在点x=a处连续，函数g(x)在点x=b处连续，并且a是g(x)的定义域内特定点的函数值，则复合函数f(g(x))在点x=b处连续。

3.连续函数的初等函数性质：初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，它们在其定义域上都是连续的。

对于函数连续的判断方法，可以通过根据定义依次检查函数是否满足连续的条件，也可以利用函数的性质进行判断。

三、函数连续的应用1.函数连续与导数的关系：对于连续函数f(x)，在其定义域内的每个点上都有导数存在。

2.函数连续与极值的关系：对于连续函数f(x)，在闭区间[a,b]上，如果f(x)在内部点取得最大值或最小值，则必然在[a,b]的边界点或者内部存在极值。

3.函数连续与介值定理的关系：对于连续函数f(x)，如果[a,b]上f(a)和f(b)异号，那么在(a,b)内必然存在一些点c，使得f(c)=0。

4.函数连续与零点存在性的关系：对于连续函数f(x)，如果f(a)和f(b)异号，则在(a,b)内必然存在一些点c，使得f(c)=0。

解决高考数学中的函数极限与连续性难题的方法

解决高考数学中的函数极限与连续性难题的方法在高考数学考试中，函数极限与连续性是一道难题，许多学生常常感到头疼。

然而，只要掌握正确的解题方法和技巧，这类题目不再是难题。

本文将介绍一些解决高考数学中的函数极限与连续性难题的方法，帮助学生们更好地应对这一考点。

一、关于函数极限函数极限是高考数学中常见的考点之一。

在解决函数极限难题时，一般可以采取以下步骤：1. 确定x趋于的值：首先，需要明确x的变化趋势，是否趋于无穷大、无穷小或某一特定值。

根据情况，选择使用不同的极限判断方法。

2. 分解式并化简：对于复杂的函数，可以通过分解式和化简的方式来更好地理解题目，找到解题的突破口。

将函数拆解成更简单的形式，有助于快速求解。

3. 利用常用极限公式：高考中涉及到的函数极限问题中，有许多常用的极限公式可以利用。

例如极限值为自然对数e、三角函数极限、指数函数极限等。

4. 利用洛必达法则：洛必达法则是许多函数极限问题中的常用技巧。

当遇到函数间的极限形式为“无穷与无穷相除”、“0/0”、“∞/∞”等不确定形式时，可使用洛必达法则将问题转化为求导数的形式，进一步求解。

5. 利用夹逼定理：夹逼定理是函数极限问题中常用的判断方法。

当某一函数趋于极限时，可以找到两个已知函数，一个极限值较小，一个极限值较大，通过这两个函数夹逼待求函数，从而确定其极限。

二、关于函数连续性函数连续性是另一个常见的考点，解决函数连续性难题可以采取以下方法：1. 确定函数的定义域：首先，需要明确函数的定义域，即x的取值范围。

根据定义域的特点，确定函数在该范围内是否连续。

2. 利用函数连续性的性质：函数连续性的性质是解决连续性问题的关键。

例如，有界闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值等。

3. 分段讨论函数的连续性：对于分段函数，可以将函数分为不同的区间，并分别讨论每个区间上的连续性。

通过分段讨论，可以更好地理解函数在不同区间上的连续性特点。

4. 利用介值定理和零点定理：介值定理和零点定理是解决连续性问题的重要定理。

函数的连续性及极限的应用

函数的连续性1.函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，0lim x x →f (x )存在，且limx x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续.2．.函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f (x )在点x =x 0处有定义； (2)0lim x x →f (x )存在；(3)0lim x x →f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值.如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算:①若f(x)，g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，)()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续。

②若u(x)都在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x 0处连续。

4.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数.f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )， f (x )在(a ，b )内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f (a )，在b 点处左极限存在等于f (b ). 5.函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义：如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有+→ax lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有-→bx lim f (x )=f (b ),就说函数f (x )在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数. 6. 最大值最小值定理如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值7.特别注意：函数f(x)在x=x 0处连续与函数f(x)在x=x 0处有极限的联系与区别。

高考第一轮复习数学函数的连续性及极限的应用

又x=0也不是连续点,故选D
答案：D
3.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是
A.①B.②③C.①④D.③④
答案：A
4.四个函数:①fx= ;②gx=sinx;③fx=|x|;④fx=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是____________.把你认为正确的代号都填上
答案：②③④
●典例剖析
图丁表示的是 fx存在,但它不等于函数在这一点处的函数值fx0.
●教师下载中心
教学点睛
1.函数fx在点x0处连续与fx在点x0处有极限的联系与区别:
其联系是:它要求 fx存在.
其区别是:函数在某点处连续比在此点处有极限所具备的条件更强.首先,fx在点x0处有极限,对于点x0而言,x0可以属于fx的定义域,也可以不属于fx的定义域,即与fx0是否有意义无关,而fx在点x0处连续,要求fx在点x0及其附近都有定义;其次,fx在点x0处的极限值与fx在点x0处的函数值fx0可以无关,而fx在点x0处连续,要求fx在点x0处的极限值等于它在这一点的函数值fx0.我们通常说“连续必有极限,有极限未必连续”,正是针对上述事实而言的.
1.函数fx在点x0处连续反映到函数fx的图象上是在点x=x0处是不间断的.一般地,函数fx在点x0处不连续间断大致有以下几种情况如下图所示.
图甲表示的是fx在点x0处的左、右极限存在但不相等,即 fx不存在.
图乙表示的是fx在点x0处的左极限存在,而右极限不存在,也属于 fx不存在的情况.
图丙表示的是 fx存在,但函数fx在点x0处没有定义.
2.函数fx在点x0处连续必须具备以下三个条件:
函数fx在点x=x0处有定义;
函数fx在点x=x0处有极限;

高考数学难点突破与解题方法

高考数学难点突破与解题方法随着高考日益逼近，数学作为一门重要的科目，成为许多考生头疼的难题。

其中，存在着一些难点，对于许多考生来说是必须要突破的难关。

本文将介绍一些高考数学难点的突破方法和解题技巧，帮助考生在考试中取得更好的成绩。

一、代数与函数代数与函数是高考数学中的一大难点，其中包括方程、函数和不等式。

首先，要熟练掌握基本的代数知识，比如一元二次方程、分式方程等，切忌死记硬背，要通过大量的练习来加深理解。

其次，要了解各类函数的性质，包括基本初等函数的图像、性质和变化规律等。

高考中常见的函数类型有线性函数、二次函数和指数函数等，掌握它们的性质和变化规律能够解决不少难题。

最后，对于不等式的解法，要掌握常见的不等式性质，比如绝对值不等式、二次式不等式等，通过画图或代入法来解决。

二、立体几何立体几何也是高考数学中的难点之一。

在解题时，要注重对图形性质的理解和几何关系的把握。

了解常见几何图形的特征和性质，包括正方体、正四面体和圆锥等，会对解题有很大帮助。

同时，还需要掌握立体几何的投影问题，如求柱体、圆柱和圆锥的截面面积和体积等。

通过多做一些相关的题目进行练习，能够提高解决立体几何难题的能力。

三、概率与统计概率与统计在高考数学中占有一定的比重，也是一些考生容易忽视的部分。

在解题时，要注意理解概率与统计的基本概念和原理。

掌握概率计算的方法，包括排列组合、事件的计算和条件概率等。

对于统计的问题，要熟悉常见统计量的计算，如均值、中位数和标准差等。

此外，还要注意对数据的分析与解读，包括直方图和折线图的解读，以及数据的比较和推断分析。

四、解题技巧在考试时，掌握一些解题技巧对于突破数学难点是非常有效的。

首先，要学会研读题目，理解题目所给的条件和要求，抓住关键信息。

其次，学会尝试多种解题方法，从不同的角度入手，比较其优劣并选择最合适的方法。

此外，要善于归纳总结，在做题过程中，记录解题思路和方法，方便日后进行复习和总结。

高考数学中的函数极限与连续性应用技巧

高考数学中的函数极限与连续性应用技巧数学作为高考重要科目之一，其中的函数极限与连续性是一项重要的考察内容。

函数极限与连续性的应用在高考中占据较大的比重，下面将介绍一些应用技巧，帮助同学们更好地应对高考数学考试。

一、一元函数极限的应用技巧在高考数学中，一元函数极限的应用经常涉及到函数的极限值、极值问题以及其他相关应用。

为了解决这些问题，以下是一些技巧和方法。

1. 利用函数极限求函数的极值：当函数极限存在时，可以通过极限的定义来求取函数的极值。

首先，找到函数的定义域和极限的边界条件；然后通过求导、求导数的零点以及边界点等方法，判断函数的极值存在性及其取值。

2. 利用函数极限解决趋向问题：对于一些趋向问题，我们可以利用函数极限的定义来解决。

一般来说，我们可以先将问题转化为数学表达式，然后通过函数极限的性质和操作方法来求取问题的解。

3. 利用函数极限推导变量间的关系式：在一些复杂的高考数学问题中，函数极限的应用可以帮助我们建立变量间的关系式。

通过对特定函数的极限进行分析，可以得到一定的关系式，进而解决问题。

二、连续函数的应用技巧连续性是高考数学中另一个重要的概念，相对于函数极限，连续函数的应用要略显复杂。

以下是一些应用技巧。

1. 利用连续函数求函数值：当一个函数是连续的时，可以通过直接将自变量的值代入函数表达式中，求得函数的函数值。

对于较复杂的函数，可以利用函数的性质和运算法则进行简化。

2. 利用连续函数解决函数存在性与唯一性问题：对于给定的方程或不等式，我们可以通过构造连续函数来解决其存在性与唯一性问题。

通过建立恰当的连续函数，并利用连续函数不变性、介值定理等技巧，可以判断给定方程或不等式是否存在解，以及解的个数和范围。

3. 利用连续函数解决极值问题：在高考中，我们常常遇到一些求函数的最大值和最小值的问题。

对于连续函数来说，可以通过求取函数的导数，找到导函数的零点和定义域的边界点，来判断函数的极值点和取值。

高中数学的解析如何应用极限概念求解函数的连续性

高中数学的解析如何应用极限概念求解函数的连续性高中数学中，解析几何和极限概念是数学学习中的两个重要内容。

解析几何研究了平面和空间中的点、直线、曲线等几何图形的性质，而极限概念则是数列、函数等的重要性质之一。

本文将探讨如何运用极限概念来解析高中数学中的函数连续性问题。

一、函数的极限和连续性在开始讨论如何应用极限概念求解函数的连续性前，我们首先需要了解函数的极限和连续性的概念。

函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。

通常用极限符号来表示，例如lim（x→a）f(x)。

当函数在某点的左右极限存在且相等时，即lim（x→a⁻）f(x) = lim（x→a⁺）f(x)，则该函数在该点是连续的。

换句话说，函数f(x)在x=a处连续，意味着f(x)在x=a处的函数值和极限值相等。

二、极限概念在连续性证明中的运用当我们需要证明一个函数在某个区间内连续时，可以通过运用极限概念来进行推导和证明。

以函数f(x)在区间[a, b]上连续为例，我们可以按照以下步骤来证明：1. 首先，我们要证明函数f(x)在[a, b]上是无间断的。

为此，我们需要先证明f(x)在[a, b]的每个点x=a和x=b处的函数值和极限存在且相等。

a) 对于x=a，我们可以计算lim（x→a⁺）f(x)和lim（x→a⁻）f(x)。

如果这两个极限存在且相等，且和f(a)相等，则f(x)在x=a处满足连续性。

b) 对于x=b，同样计算lim（x→b⁺）f(x)和lim（x→b⁻）f(x)。

如果这两个极限存在且相等，且和f(b)相等，则f(x)在x=b处满足连续性。

2. 其次，我们需证明对于区间[a, b]内的任意一点x，lim（x→c）f(x)存在，且lim（x→c）f(x) = f(c)，其中c∈(a, b)。

这意味着函数f(x)在[a, b]内的每个点都满足连续性。

通过以上步骤，我们可以得出函数f(x)在区间[a, b]上连续的结论。

高考数学难点突破——函数运用

高考数学难点突破——函数运用函数是高考数学中的一个重要难点，在解题中经常需要运用函数的性质和相关的理论。

下面我将从函数的图像与性质、函数的应用以及函数方程的解法等方面进行详细讲解，以帮助你突破高考数学中的函数难题。

首先，要理解函数的图像与性质。

在高考中，常常会涉及到函数的图像特征、最值、奇偶性、周期性等性质。

对于一元函数，首先要掌握函数的图像画法以及与函数图像有关的性质，如函数与坐标轴的交点、函数的极值点等。

其次，要了解如何通过函数的图像来判断函数的单调性和奇偶性。

对于二元函数，要掌握如何画出函数的等值线图，以及如何根据等值线图来判断函数的最值点等性质。

这些知识点在解题中经常会出现，掌握好这些函数的图像与性质，能够帮助你更好地理解题意和解题思路。

其次，函数的应用也是高考数学中关于函数难点的重要内容。

函数的应用包括函数的实际意义、函数的模型建立和解决实际问题等。

在高考中，经常会出现通过给定的条件，建立函数模型并解决问题的情况。

在解决函数应用问题时，要先明确问题所涉及到的变量和条件，然后建立函数模型，最后通过函数模型进行运算计算出解答。

这里需要特别注意的是实际问题中的函数模型往往需要灵活运用数学知识来进行转化和抽象。

对于这一部分的难点，要多进行实际问题的应用练习，加强练习题的理解和解答，提高解决实际问题的能力。

最后，函数方程的解法也是高考数学中涉及到的一个重要难点。

对于函数方程的解法，要根据题意确定方程的求解方法，如利用函数的性质和图像解方程、利用函数的定义域和值域解方程等。

特别是在高等数学中，对于函数方程的求解方法要更加深入和复杂。

解决这一类问题，我们需要熟练掌握函数方程性质和运算法则，灵活运用函数的性质和等式的性质，确定方程的解的范围和具体的求解方法。

通过多进行函数方程的解一类题目的练习，能够帮助我们对函数方程的解法有更深入的理解。

综上，函数是高考数学中的一个难点，突破函数难题需要在函数的图像与性质、函数的应用以及函数方程的解法等方面进行系统的学习。

函数的连续性及其在实际问题中的应用

函数的连续性及其在实际问题中的应用连续性是数学中一个非常重要的概念，它描述了一个函数在某个点的变化是否平滑，是否存在断裂点或者跳跃点。

在实际问题中，连续性的概念有着广泛的应用，涉及到物理、经济、工程等多个领域。

本文将从连续性的定义与性质出发，探讨连续性在实际问题中的具体应用。

首先，我们来定义连续性。

一个函数在某个点x处连续，意味着函数在该点的极限存在，且与该点处的函数值相等。

即lim (x→x0) f(x) = f(x0)。

如果函数在定义域的每个点都连续，我们称该函数在该定义域上连续。

连续性在实际问题中的应用之一是用于分析函数的极限。

在物理学中，当我们研究一个物理过程或者现象时，往往涉及到物理量的变化与时间或者空间的关系。

而这种变化可以通过函数来描述，而函数的连续性则能够帮助我们对这个过程进行分析。

例如，当我们研究一个物体的运动时，我们可以用函数来描述它的位置随时间的变化。

通过观察这个函数在某个时间点的连续性，我们可以判断物体在该点是否存在瞬时速度或者加速度的突变。

如果函数在该点连续，那么说明物体在该点的速度或者加速度是平滑变化的；如果函数在该点不连续，那么说明物体在该点的速度或者加速度发生了突变。

连续性还广泛应用于经济学领域。

在经济模型中，我们经常需要利用连续性来分析经济变量之间的关系。

例如，假设有一个模型描述了某种商品的需求量与价格之间的关系。

通过分析函数的连续性，我们可以得到在不同价格水平下，需求量的变化趋势。

另一个应用连续性的例子是工程领域中的优化问题。

在很多工程问题中，我们需要找到一个函数的最大值或最小值，以满足一定的约束条件。

这种问题可以通过函数的连续性来进行求解。

我们可以首先找到函数的连续区间，然后再利用极值定理来确定最大值或最小值所在的点。

除了以上应用，连续性还在其他领域中有着重要的作用。

在生物学中，连续性可以用于描述生物体在生长过程中的变化；在计算机科学中，连续性可以用于图像处理和数据分析等领域。

函数的连续性知识点及例题解析

函数的连续性知识点及例题解析1. 函数的连续性概念在数学中，函数的连续性指的是当自变量的值变化时，函数值的变化趋势和自变量的变化趋势相一致。

如果在某个区间内，函数在该区间的任意一点都存在极限，并且极限与该点的函数值相等，则称该函数在该区间内连续。

2. 函数的连续性条件函数f(x)在点x=a处连续的条件是：- 函数在点x=a处存在- 函数在点x=a处的左极限等于右极限- 函数在点x=a处的极限与函数在该点的函数值相等3. 函数的连续性的判定方法3.1 图像法：通过观察函数的图像来确定函数是否连续。

如果函数的图像没有跳跃、断裂或间断现象，那么该函数在相应区间内是连续的。

3.2 极限法：通过计算函数的极限来判定函数是否连续。

如果函数在某个点的极限存在并与函数在该点的函数值相等，则该函数在该点连续。

4. 函数的连续性例题解析例题1：考虑函数：\[ f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{if } x \leq 0 \\ x-1, & \text{if } x > 0 \end{cases} \]问：函数f(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即$\lim_{x\to0^-}f(x) = 0+1 = 1$和$\lim_{x\to0^+}f(x) = 0-1 = -1$。

由于左极限和右极限不相等，所以函数在x=0处不连续。

例题2：考虑函数：\[ g(x) = \begin{cases} \sin(x), & \text{if } x \neq 0 \\ 1, & \text{if } x = 0 \end{cases} \]问：函数g(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即$\lim_{x\to0}g(x) = \lim_{x\to0}\sin(x) = \sin(0) = 0$。

新型高考模式“3XX3”和知识点总结

新型高考模式“33"和知识点总结数学对大多数的学生来说，无疑为一场噩梦.大多数学生的数学成绩似乎都不太理想.这也意味着，只要能把数学成绩提上来，总成绩也就能从众多学生中脱颖而出。

相对于语文英语等大科来说,数学想要提分也是最容易的,只要能多拿下一个选填题就能多拿下五分。

要想总成绩能名列前茅，数学必须要有13５以上。

所以对高中生来说，数学是一定要攻克下来的难关.下面就来说说怎么在高三这一年里一点一点的拿下数学。

高考数学想考好这些难关,一定要攻克！必修一第一章：集合和函数的基本概念错误基本都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就是五分没了。

次一级的知识点就是集合的韦恩图，会画图，集合的并、补、交、非也就解决了,还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。

在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，最好的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。

第二章：基本初等函数:指数、对数、幂函数三大函数的运算性质及图像函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现,单调性、增减性、极值、零点等等。

这三大函数的运算公式，多记多用,多做一点练习基本就没多大问题.函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等.对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及函数值的大小关系，这也是常考常错点。

另外指数函数和对数函数的对立关系及其相互之间要怎样转化问题也要了解清楚。

第三章：函数的应用主要就是函数与方程的结合。

其实就是的实根，即函数的零点,也就是函数图像与X轴的交点。

这三者之间的转化关系是这一章的重点,要学会在这三者之间的灵活转化,以求能最简单的解决问题。

证明零点的方法，直接计算加得必有零点，连续函数在x轴上方下方有定义则有零点等等,这是这一章的难点，这几种证明方法都要记得,多练习强化。

高考数学中的函数极限与连续性理解与应用

高考数学中的函数极限与连续性理解与应用函数是数学中一个非常重要的概念，而数学中的函数极限与连续性是函数理论中的核心内容。

在高考数学中，函数极限与连续性的理解与应用是考生们必须掌握的知识点。

本文将深入探讨函数极限与连续性的概念、性质以及应用，帮助读者更好地理解与应用这一知识。

一、函数极限函数极限是函数理论中的重要概念，它描述了函数随着自变量趋近于某一特定值时的变化情况。

函数极限的计算需要借助计算方法和理论，下面以一些典型的例子来介绍函数极限的概念与计算方法。

例1：计算函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 1 在 x = 2 处的极限。

解：要求函数在 x = 2 处的极限，可以使用直接代入法。

将 x = 2 代入函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 1 中，得到 f(2) = 2*2^2 + 3*2 - 1 = 13。

因此，函数 f(x) 在 x = 2 处的极限为 13。

对于一些特殊的函数，无法使用直接代入法来计算极限。

这时，我们需要使用极限的定义与性质，通过近似与比较来求取极限的值。

例2：计算函数 g(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) 在 x = 2 处的极限。

解：将 x = 2 代入函数 g(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) 中，得到 g(2) = 0/0。

这时我们无法直接计算极限。

通过因式分解，我们可以将函数 g(x) 化简为 g(x) = x + 2，那么在 x = 2 处的极限即为 g(2) = 4。

这两个例子展示了函数极限的计算方法，但实际问题中的函数极限更多是通过近似与推导来求取的，需要借助函数极限的性质与定义进行计算。

二、函数连续性函数连续性是函数在定义域内没有突变或断裂的性质，它描述了函数图像在定义域内的连续变化。

函数连续性的理解与判断需要借助连续函数的定义与性质，下面将对函数连续性进行详细讨论。

连续性的定义：函数 f(x) 在点 x = a 处连续，是指在 x = a 处的函数值等于极限值，即f(a) = lim(x→a) f(x)。

高三数学专题函数连续性问题

高三数学专题函数连续性问题函数连续性是高中数学中一个重要的专题，它和函数的性质有着密切的关系。

函数连续性问题主要包括函数的连续性、间断点和间断性等内容。

下面将重点介绍函数连续性问题的相关概念和解题方法。

1. 函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域内的每一个点都存在极限，并且函数在这些点上的极限等于函数在这些点上的函数值。

也就是说，如果函数在某一点的左极限和右极限存在且相等，那么函数在这一点就是连续的。

函数的连续性可以用数学定义来表示，如下所示：定义：设函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 的某一个邻域内有定义，如果 $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 连续。

设函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 的某一个邻域内有定义，如果 $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 连续。

2. 间断点和间断性当函数在某一点上不连续时，该点就被称为间断点。

间断点的种类有三种：1. 可去间断点：也称为去除不连续点，指的是在某一点上存在极限，只需要对函数在该点进行修正或定义，就可以使函数连续。

2. 跳跃间断点：也称为绝对不连续点，指的是在某一点上的左极限和右极限存在，但两者不相等。

3. 无穷间断点：指的是在某一点上的左极限或右极限为无穷大，或者两者中至少有一个不存在。

3. 解题方法在解决函数连续性问题时，可以采用以下方法：1. 观察函数的定义域和值域，找出函数可能的间断点；2. 分析间断点的性质，并确定其类型；3. 运用极限的相关定理或其他相关数学知识，来判断函数在间断点是否连续；4. 根据函数在不同区间的连续性情况，综合判断函数的连续性。

需要注意的是，解决函数连续性问题时，可以利用函数在不连续点附近的局部性质来分析，同时还需要注意避免除数为零等数学错误。

结论函数连续性问题是高中数学中的重要内容之一，它涉及到函数的连续性、间断点和间断性等概念。

高中数学考试的重点和难点有哪些？

高中数学考试的重点和难点有哪些？高中数学考试是学生高考升学的重要关卡，也是检验学生数学能力的重要指标。

本文将从教育专家的角度，深入分析高中数学考试的重点和难点，帮助学生更好地把握考试重点，突破学习难点。

一、高考数学考试重点1. 基础知识：高考数学考试以考察基础知识为主，函数的定义、导数、积分、数列、三角函数、向量、解析几何等基本概念和公式的理解和应用是考试的重中之重。

2. 逻辑推理：高考数学注重考查学生的逻辑推理能力，包括对数学概念的理解、分析问题的能力、运用数学工具解决问题的能力等。

3. 解题技巧：高考数学考试除了对基础知识的考核，还考查解题技巧。

例如，利用函数图像求最值，运用导数求极值，借用积分求面积等。

4. 应用能力：高考数学考试越来越重视对数学知识的实际应用。

例如，运用数学模型研究问题，利用数学方法解决经济、科技等领域的实际问题。

二、高考数学考试难点1. 抽象思维：高中数学很多概念比较抽象，例如函数、极限、导数、积分等，学生理解起来比较困难。

2. 逻辑推理：高中数学的逻辑推理难度相对较高，例如证明题、几何证明题，需要学生具备较强的逻辑思维能力。

3. 综合运用：高考数学考试经常将多个知识点融合在一起，要求学生能综合运用所学的知识解决问题。

4. 时间压力：高考数学考试时间有限，学生需要在有限的时间内完成大量题目，这就要求学生具备熟练的解题技巧和快速分析问题的能力。

三、如何应对考试重点与难点的方案1. 夯实基础：掌握基础知识是应对考试的最重要前提。

要认真学习教材，理解概念，记忆公式，并通过练习巩固知识。

2. 增强逻辑训练：要加强逻辑推理能力的训练，例如进行逻辑推理题的练习、分析数学证明过程、总结解题思路等。

3. 掌握解题技巧：学习并掌握各种解题技巧，例如函数图像法、导数法、积分法等，并通过练习将技巧应用自如。

4. 注重实际应用：平时学习过程中要重视数学知识的实际应用，将数学模型应用于实际问题，利用数学方法解决现实生活中的问题。

高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用

高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用函数的连续及其应用1.函数的连续性函数的连续性是指在其定义域上，函数在任意一点的左右极限存在且相等，即函数在这一点处没有跳跃或间断现象。

具体来说，函数f(x)在x=a处连续，是指当x无限接近于a时，f(x)无限接近于f(a)。

要判断函数的连续性，可以通过求函数的极限来进行判断。

设函数f(x)定义域为D，x=a是D的一个聚点，则函数f(x)在x=a处连续的充要条件是：lim┬(x→a)⁡f(x)=f(a)在求函数的极限时，可以运用极限的性质，如四则运算、复合函数的极限、三角函数的极限等。

2.应用题在高考中，经常会出现与函数的连续性相关的应用题，下面我们通过例题来具体分析：例1：设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续，且f(1)=2，f(2)=4，f(3)=5，则方程f(x)=3的根的个数为（）。

解析：根据题目中给出的条件，我们知道函数f(x)在x=1、x=2和x=3处的函数值，而函数在这些点上连续。

由于函数在这些点的函数值没有间断现象，所以可以用插值法求解方程f(x)=3的根。

由于f(1)=2，f(2)=4，f(3)=5，我们可以直观地发现，函数在x=2和x=3之间有一个根，所以方程f(x)=3的根的个数为1例2：已知函数f(x)在[-1,1]上连续，且f(x)满足f(x^2)=f(x)，则f(0)的值为（）。

解析：根据题目中给出的条件，我们可以看出函数f(x)存在关于x的对称性，即函数关于x轴对称。

所以，我们只需要找到函数f(x)在[0,1]上的值即可。

由于函数在[-1,1]上连续，所以可以得到f(1)=f((-1)^2)=f(-1)，即f(1)=f(-1)。

由对称性可得f(0)=f(1)=f(-1)。

所以f(0)的值为f(1)=f(-1)。

因此，f(0)的值在题目中是无法确定的。

通过以上两个例题的分析，我们可以看出，对于函数的连续性应用题，需要根据题目中给出的条件来进行具体分析。

高考数学难点突破_难点34__导数的运算法则及基本公式应用

高考数学难点突破_难点34__导数的运算法则及基本公式应用导数的运算法则是研究导数的基本运算规则和规律，包括加法、减法、乘法、除法、复合函数等运算法则。

基于这些运算法则，我们可以快速准确地求出导数。

一、加法法则（1）导数的加法法则：设函数f(x)和g(x)都在点x处可导，则它们的和函数(f+g)(x)在点x处的导数等于f(x)在点x处的导数与g(x)在点x处的导数的和。

即：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)（2）减法法则：设函数f(x)和g(x)都在点x处可导，则它们的差函数(f-g)(x)在点x处的导数等于f(x)在点x处的导数减去g(x)在点x处的导数。

即：(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)二、乘法法则（1）导数的乘法法则：设函数f(x)和g(x)都在点x处可导，则它们的积函数(f·g)(x)在点x处的导数等于f(x)在点x处的导数乘以g(x)，再加上f(x)乘以g(x)在点x处的导数。

即：(f·g)'(x)=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)三、除法法则（1）导数的除法法则：设函数f(x)和g(x)都在点x处可导，且g(x)≠0，则它们的商函数(f/g)(x)在点x处的导数等于[f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)]/(g(x))^2即：(f/g)'(x)=[f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)]/(g(x))^2四、复合函数的求导法则记y=f(u)，u=g(x)，即y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)都是可导函数，则复合函数y的导数可以通过链式法则求得。

链式法则：若y = f(u)，u = g(x)，则dy/dx = dy/du · du/dx，即d y/dx = f'(u) · g'(x)以上是导数的基本运算法则及其应用。

难点33函数的连续及其应用

难点33函数的连续及其应用函数的连续及其应用是高等数学中的一个重要概念，也是函数论的基础。

连续性可以用来描述函数在特定点附近的变化情况，并且在实际问题中有广泛的应用。

首先，我们来介绍连续的定义。

设函数f(x)在点x=a处有定义，则当x自变量无论怎样地从a的左边或右边逼近a时,函数值f(x)极限总存在，并且与a相等,则称函数f(x)在点x=a处连续。

接下来，我们来讨论几个与连续性相关的重要定理。

首先是函数连续性的四则运算。

根据连续性的定义，我们可以证明如果函数f和g在特定点x=a处连续，则函数f+g、f-g、f*g和f/g也在该点连续。

这个定理可以通过极限的定义和运算法则来证明。

其次是函数的复合的连续性。

如果函数f(x)在点x=a处连续，函数g(y)在点y=b处连续，并且f(a)=b，则复合函数g(f(x))在点x=a处连续。

这个定理也是通过连续性的定义和极限的性质来证明的。

再次是闭区间上连续函数的性质。

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在该区间上有界且一致连续。

也就是说，闭区间上的连续函数在该区间上的取值是有限的，并且对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当，x1-x2，<δ时，f(x1)-f(x2)，<ε。

最后，我们来介绍函数连续的应用。

函数的连续性在实际问题中有广泛的应用。

例如，在经济学中，连续函数的概念可以用来描述市场供需曲线的变化情况，帮助我们分析市场的均衡点和价格变动。

在物理学中，连续函数的概念可以用来描述物体的运动轨迹和变化速度。

在工程学中，连续函数的概念可以用来描述电路中电流和电压的变化情况，帮助我们分析电路的稳定性和性能。

总结起来，函数的连续及其应用是高等数学中的一个重要概念。

通过理解函数的连续性定义和相关的定理，我们可以更好地理解和应用函数的性质。

同时，函数的连续性也在实际问题中有广泛的应用，帮助我们分析并解决各种实际问题。

高考数学冲刺策略函数的极限与连续性

高考数学冲刺策略函数的极限与连续性高考数学冲刺策略：函数的极限与连续性在高考数学的征程中，函数的极限与连续性无疑是一座重要的山峰，需要我们勇敢攀登并成功征服。

对于即将面临高考的学子们来说，掌握有效的冲刺策略，在这一板块取得高分，是实现数学成绩突破的关键。

首先，让我们来理解一下函数的极限到底是什么。

简单来说，函数的极限就是当自变量无限接近某个值时，函数值所趋近的一个确定的数。

这就好像你朝着一个目标不断靠近，虽然可能永远无法真正到达，但却越来越接近那个目标所代表的数值。

连续性则是函数的一种良好性质。

一个连续的函数就像是一条没有断裂的曲线，能够在其定义域内平滑地过渡，不会出现突然的跳跃或者断开。

那么，在冲刺阶段，我们该如何攻克这一难关呢？第一，回归教材，夯实基础。

教材是知识的根源，里面的定义、定理和例题都是经过精心编排的。

对于函数的极限与连续性的定义，一定要逐字逐句地理解，牢记于心。

比如极限的定义：对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当 0 ＜｜x x₀| ＜δ 时，｜f(x) A| ＜ε，其中 A 就是函数 f(x) 在 x 趋近于 x₀时的极限。

只有把这些基础的定义理解透彻，才能在解题时游刃有余。

第二，多做真题，总结规律。

历年的高考真题是最好的复习资料。

通过做真题，我们可以了解高考在这部分内容的命题风格和考查重点。

在做题的过程中，要善于总结规律。

比如，对于求函数极限的题目，常见的方法有代入法、消去零因子法、有理化法、等价无穷小替换法等等。

每做完一道题，都要思考一下这道题考查的知识点是什么，用到了哪些方法和技巧，自己在哪些地方容易出错。

第三，建立错题本，查漏补缺。

把自己在练习和考试中做错的题目整理到错题本上，分析错误的原因，是概念不清、计算失误还是方法不对。

然后针对自己的薄弱环节进行有针对性的复习和强化训练。

比如，如果总是在等价无穷小替换的问题上出错，那就专门找一些相关的题目进行练习，加深对这一知识点的理解和掌握。

高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用

实用文档难点33 函数的连续及其应用函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系.●难点磁场(★★★★)已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+-<)51( )1(log )11( )1()1( 32x x x x x x(1)讨论f (x )在点x =－1,0,1处的连续性； (2)求f (x )的连续区间. ●案例探究［例1］已知函数f (x )=242+-x x ,(1)求f (x )的定义域，并作出函数的图象； (2)求f (x )的不连续点x 0;(3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数.命题意图：函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映.因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法.知识依托：本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图象.错解分析：第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续实用文档函数定义的了解.应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式.技巧与方法：对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答. 解：(1)当x +2≠0时，有x ≠－2因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞) 当x ≠－2时，f (x )=242+-x x =x －2,其图象如上图(2)由定义域知，函数f (x )的不连续点是x 0=－2.(3)因为当x ≠－2时，f (x )=x －2,所以)2(lim )(lim 22-=-→-→x x f x x =－4.因此，将f (x )的表达式改写为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧-=--≠+-2)( 4)2( 242x x x x则函数f (x )在R 上是连续函数.［例2］求证：方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个正根，且它不大于a +b . 命题意图：要判定方程f (x )=0是否有实根.即判定对应的连续函数y =f (x )的图象是否与x 轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可.本题主要考查这种解题方法.知识依托：解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正. 错解分析：因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图象观察，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用.证明：设f (x )=a sin x +b －x ,实用文档则f (0)=b ＞0,f (a +b )=a ·sin(a +b )+b －(a +b )=a ［sin(a +b )－1］≤0,又f (x )在(0,a +b ］内是连续函数，所以存在一个x 0∈(0,a +b ］，使f (x 0)=0,即x 0是方程f (x )=0的根，也就是方程x =a ·sin x +b 的根.因此，方程x =a sin x +b 至少存在一个正根，且它不大于a +b . ●锦囊妙计1.深刻理解函数f (x )在x 0处连续的概念：等式lim 0x x →f (x )=f (x 0)的涵义是：(1)f (x 0)在x =x 0处有定义，即f (x 0)存在；(2)lim 0x x →f (x )存在，这里隐含着f (x )在点x =x 0附近有定义；(3)f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值，即lim 0x x →f (x )=f (x 0).函数f (x )在x 0处连续，反映在图象上是f (x )的图象在点x =x 0处是不间断的. 2.函数f (x )在点x 0不连续，就是f (x )的图象在点x =x 0处是间断的.其情形：(1)lim 0x x →f (x )存在；f (x 0)存在，但lim 0x x →f (x )≠f (x 0);(2)lim 0x x →f (x )存在，但f (x 0)不存在.(3) lim 0x x →f (x )不存在.3.由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数f (x )在其定义区间内是连续的，点x 0是定义区间内的一点，那么求x →x 0时函数f (x )的极限，只要求出f (x )在点x 0处的函数值f (x 0)就可以了，即lim 0x x →f (x )=f (x 0).●歼灭难点训练一、选择题实用文档1.(★★★★)若f (x )=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则f (0)等于( ) A.23B.32C.1D.02.(★★★★)设f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<21 11 2110 x x x x 则f (x )的连续区间为( )A.(0，2)B.(0，1)C.(0，1)∪(1，2)D.(1，2)二、填空题3.(★★★★)xx x x arctan 4)2ln(lim 21--→ =_________.4.(★★★★)若f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--0 0 11x bx a x xx处处连续，则a 的值为_________. 三、解答题5.(★★★★★)已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0( 121211x x xx(1)f (x )在x =0处是否连续？说明理由；(2)讨论f (x )在闭区间［－1,0］和［0,1］上的连续性. 6.(★★★★)已知f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--)0()0(11x bx a x xx(1)求f (－x );实用文档(2)求常数a 的值，使f (x )在区间(－∞,+∞)内处处连续.7.(★★★★)求证任何一个实系数一元三次方程a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3=0(a 0,a 1,a 2,a 3∈R ,a 0≠0)至少有一个实数根.8.(★★★★)求函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤)1( )21(log )1( 2x x x x 的不连续点和连续区间.参考答案难点磁场解：(1)lim 1--→x f (x )=3, lim 1+-→x f (x )=－1,所以lim 1-→x f (x )不存在，所以f (x )在x =－1处不连续，但lim 1-→x f (x )=f (－1)=－1, lim 1--→x f (x )≠f (－1),所以f (x )在x =－1处右连续，左不连续lim 1-→x f (x )=3=f (1), lim 1+→x f (x )不存在，所以lim 1→x f (x )不存在，所以f (x )在x =1不连续，但左连续，右不连续.又lim 0→x f (x )=f (0)=0,所以f (x )在x =0处连续.(2)f (x )中，区间(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三个函数都是初等函数，因此f (x )除不连续点x =±1外，再也无不连续点，所以f (x )的连续区间是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5].歼灭难点训练一、1.解析：]11][11)1()[11(]11)1()[11)(11()(3332332-+++++++++++-+++=x x x x x x x x x f实用文档2311111)0(1111)1(323=+++=++++++=f x x x答案：A2.解析：11lim )(lim 11==++→→x x x f21)1(1)(lim ,1lim )(lim 111=≠===→→→--f x f x x f x x x 即f (x )在x =1点不连续，显知f (x )在(0,1)和(1,2)连续. 答案：C二、3.解析：利用函数的连续性，即)()(lim 00x f x f x x =→,π=--=--∴→11arctan 4)12sin(11arctan 4)2sin(lim 221x x x 答案：π121,0)(lim )(lim 21111lim 11lim)(lim :.400000=∴=+==-+=--=++---→→→→→a bx a x f x x x x f x x x x x 解析答案：21三、5.解：f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0(12111x x x(1) lim 10-→x f (x )=－1, lim 0+→x f (x )=1,所以lim 0→x f (x )不存在，故f (x )在x =0处不连续.(2)f (x )在(－∞,+∞)上除x =0外，再无间断点，由(1)知f (x )在x =0处右连续，所以f (x )在［－1，0］上是不连续函数，在［0,1］上是连续函数.实用文档6.解：(1)f (－x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-+)0( )0( 11x bx a x xx (2)要使f (x )在(－∞,+∞)内处处连续，只要f (x )在x =0连续，lim 0-→x f (x )= lim-→x x x--11=21111lim )11(lim00=-+=-+--→→xx x x x x lim 0+→x f (x )=lim 0+→x (a +bx )=a ,因为要f (x )在x =0处连续，只要lim 0+→x f (x )= lim 0+→x f (x )= lim 0+→x f (x )=f (0),所以a =217.证明：设f (x )=a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3,函数f (x )在(－∞,+∞)连续，且x →+∞时，f (x )→+∞;x →－∞时，f (x )→－∞,所以必存在a ∈(－∞,+∞),b ∈(－∞,+∞),使f (a )·f (b )＜0,所以f (x )的图象至少在(a ,b )上穿过x 轴一次，即f (x )=0至少有一实根.8.解：不连续点是x =1,连续区间是(－∞,1),(1,+∞)。

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116难点33 函数的连续及其应用函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系.●难点磁场(★★★★)已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+-<)51( )1(log )11( )1()1( 32x x x x x x(1)讨论f (x )在点x =－1,0,1处的连续性；(2)求f (x )的连续区间.●案例探究［例1］已知函数f (x )=242+-x x , (1)求f (x )的定义域，并作出函数的图象；(2)求f (x )的不连续点x 0;(3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数.命题意图：函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映.因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法.知识依托：本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图象.错解分析：第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解.应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式.技巧与方法：对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答.解：(1)当x +2≠0时，有x ≠－2因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞)当x ≠－2时，f (x )=242+-x x =x －2, 其图象如上图(2)由定义域知，函数f (x )的不连续点是x 0=－2.(3)因为当x ≠－2时，f (x )=x －2,所以)2(lim )(lim 22-=-→-→x x f x x =－4.因此，将f (x )的表达式改写为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧-=--≠+-2)( 4)2( 242x x x x则函数f (x )在R 上是连续函数.［例2］求证：方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个正根，且它不大于a +b .命题意图：要判定方程f (x )=0是否有实根.即判定对应的连续函数y =f (x )的图象是否与x 轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可.本题主要考查这种解题方法.知识依托：解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正.错解分析：因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图象观察，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用.117证明：设f (x )=a sin x +b －x ,则f (0)=b ＞0,f (a +b )=a ·sin(a +b )+b －(a +b )=a ［sin(a +b )－1］≤0,又f (x )在(0,a +b ］内是连续函数，所以存在一个x 0∈(0,a +b ］，使f (x 0)=0,即x 0是方程f (x )=0的根，也就是方程x =a ·sin x +b 的根.因此，方程x =a sin x +b 至少存在一个正根，且它不大于a +b .●锦囊妙计1.深刻理解函数f (x )在x 0处连续的概念：等式lim 0x x →f (x )=f (x 0)的涵义是：(1)f (x 0)在x =x 0处有定义，即f (x 0)存在；(2)lim 0x x →f (x )存在，这里隐含着f (x )在点x =x 0附近有定义；(3)f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值，即lim 0x x →f (x )=f (x 0).函数f (x )在x 0处连续，反映在图象上是f (x )的图象在点x =x 0处是不间断的.2.函数f (x )在点x 0不连续，就是f (x )的图象在点x =x 0处是间断的.其情形：(1)lim 0x x →f (x )存在；f (x 0)存在，但lim 0x x →f (x )≠f (x 0);(2)lim 0x x →f (x )存在，但f (x 0)不存在.(3) lim 0x x →f (x )不存在.3.由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数f (x )在其定义区间内是连续的，点x 0是定义区间内的一点，那么求x →x 0时函数f (x )的极限，只要求出f (x )在点x 0处的函数值f (x 0)就可以了，即lim 0x x →f (x )=f (x 0). ●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)若f (x )=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则f (0)等于( ) A.23 B.32 C.1 D.02.(★★★★)设f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<2111 2110 x x x x 则f (x )的连续区间为( ) A.(0，2)B.(0，1)C.(0，1)∪(1，2)D.(1，2)二、填空题 3.(★★★★)xx x x arctan 4)2ln(lim 21--→ =_________. 4.(★★★★)若f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--0 0 11x bx a x x x 处处连续，则a 的值为_________. 三、解答题1185.(★★★★★)已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-)0(1)0( 121211x x x x (1)f (x )在x =0处是否连续？说明理由；(2)讨论f (x )在闭区间［－1,0］和［0,1］上的连续性.6.(★★★★)已知f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--)0()0(11x bx a x x x (1)求f (－x );(2)求常数a 的值，使f (x )在区间(－∞,+∞)内处处连续.7.(★★★★)求证任何一个实系数一元三次方程a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3=0(a 0,a 1,a 2,a 3∈R ,a 0≠0)至少有一个实数根.8.(★★★★)求函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤)1( )21(log )1( 2x x x x 的不连续点和连续区间.参考答案难点磁场解：(1)lim 1--→x f (x )=3, lim 1+-→x f (x )=－1,所以lim 1-→x f (x )不存在，所以f (x )在x =－1处不连续，但lim 1-→x f (x )=f (－1)=－1, lim 1--→x f (x )≠f (－1),所以f (x )在x =－1处右连续，左不连续 lim 1-→x f (x )=3=f (1), lim 1+→x f (x )不存在，所以lim 1→x f (x )不存在，所以f (x )在x =1不连续，但左连续，右不连续.又lim 0→x f (x )=f (0)=0,所以f (x )在x =0处连续.(2)f (x )中，区间(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三个函数都是初等函数，因此f (x )除不连续点x =±1外，再也无不连续点，所以f (x )的连续区间是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5].歼灭难点训练一、1.解析：]11][11)1()[11(]11)1()[11)(11()(3332332-+++++++++++-+++=x x x x x x x x x f2311111)0(1111)1(323=+++=++++++=f x x x 答案：A2.解析：11lim )(lim 11==++→→x x x f119 21)1(1)(lim ,1lim )(lim 111=≠===→→→--f x f x x f x x x 即f (x )在x =1点不连续，显知f (x )在(0,1)和(1,2)连续.答案：C 二、3.解析：利用函数的连续性，即)()(lim 00x f x f x x =→,π=--=--∴→11arctan 4)12sin(11arctan 4)2sin(lim 221x x x 答案：π1 21,0)(lim )(lim 21111lim 11lim )(lim :.400000=∴=+==-+=--=++---→→→→→a bx a x f x x x x f x x x x x 解析答案：21 三、5.解：f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0(1)0(12111x x x(1) lim 10-→x f (x )=－1, lim 0+→x f (x )=1,所以lim 0→x f (x )不存在，故f (x )在x =0处不连续. (2)f (x )在(－∞,+∞)上除x =0外，再无间断点，由(1)知f (x )在x =0处右连续，所以f (x )在［－1，0］上是不连续函数，在［0,1］上是连续函数.6.解：(1)f (－x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-+)0( )0( 11x bx a x x x (2)要使f (x )在(－∞,+∞)内处处连续，只要f (x )在x =0连续，lim 0-→x f (x ) = lim 0-→x x x --11=21111lim )11(lim 00=-+=-+--→→xx x x x x lim 0+→x f (x )=lim 0+→x (a +bx )=a ,因为要f (x )在x =0处连续，只要lim 0+→x f (x )= lim 0+→x f (x ) = lim 0+→x f (x )=f (0),所以a =21 7.证明：设f (x )=a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3,函数f (x )在(－∞,+∞)连续，且x →+∞时，f (x )→+∞;x →－∞时，f (x )→－∞,所以必存在a ∈(－∞,+∞),b ∈(－∞, +∞),使f (a )·f (b )＜0,所以f (x )的图象至少在(a ,b )上穿过x 轴一次，即f (x )=0至少有一实根.8.解：不连续点是x =1,连续区间是(－∞,1),(1,+∞)。

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