建立二次函数模型

过往船只在桥下顺利航行．
解： (1)设抛物线的解析式为 y＝ ax2. ∵在正常水位时， B 点坐标为(10，－ 4)， 1 ∴－4＝ a× 10 ，∴a＝－ . 25
2
1 ∴Βιβλιοθήκη Baidu抛物线的解析式为 y＝－ x2. 25
(2)当水位上升 h m 时， D 点的纵坐标为－ (4－ h)． 1 2 设 D 点的横坐标为 x(x>0)，则有－ (4－ h)＝－ x ， 25 ∴ x＝ 5 4－ h， x＝－ 5 4－ h(舍去 )． ∴ d＝ 2x＝ 10 4－ h. (3)当桥下水面宽为 18 m 时，得 18＝ 10 4－ h， 81 ∴ h＝ 4－ ＝ 0.76. 25 又 ∵ 2＋ 0.76＝ 2.76 m， ∴桥下水深超过 2.76 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行．
1.5 二次函数的应用
第1课时
建立二次函数模型
知识管理
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建立二次函数模型解决简单实际问题 步 骤：(1)恰当地建立直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数的关系式； (4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式； (5)利用关系式求解问题．
注
意：(1)将已知条件转化为点的坐标时，应注意距离与坐标 的关系； (2)设函数关系式应根据题目条件合理选择3种函数关
例1答图
有一座抛物线形状的拱桥，正常水位时桥下水面宽度 为20 m，拱顶距离水面4 m.
图 1－ 5－ 2 (1)在如图1－5－2所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解
析式．
(2)在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽
度为d(m)，求出将d表示为h的函数解析式．
(3)设正常水位时桥下的水深为2 m，为保证过往船只顺利航 行，桥下水面的宽度不得小于18 m，求水深超过多少时就会影响
图 1－ 5－ 3
2．图1－5－4(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l
时，拱桥(拱桥洞的最高点)离水面2 m，水面宽4 m．如图1－5
－4(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式 ( C )
图 1－ 5－ 4
A．y＝－2x2 1 2 C．y＝－ x 2 B．y＝2x2 1 2 D．y＝ x 2
【解析】 设抛物线的关系式为：y＝ ax2(a≠0)， 1 由 (2，－2)在抛物线上，得－2＝ 4a，∴ a＝－ ， 2 1 2 ∴抛物线的解析式为 y＝－ x .故选 C. 2
系式中的一种；
(3)求解问题时防止正、负弄错，能合理地将点的坐标 正确地转化为距离或高度．
类型
建立二次函数模型解决实际问题
如图1－5－1所示，公园要建
造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面 处安装一个高1.25 m的柱子OA，水流在各
个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为
图 1－ 5 － 1 使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1 m处达到
距水面最大高度2.25 m．若不计其他因素，那么水池的半径至少 要达到多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
解：以O为原点，OA为y轴建立直角坐标系，
设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C (如例1答图所示)，
由题意，得A(0，1.25)，B(1，2.25)，因此，
设抛物线为y＝a(x－1)2＋2.25. 将A(0，1.25)代入上式， 得1.25＝a(0－1)2＋2.25， 解得a＝－1. 所以，抛物线的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25. 当y＝0时，解得x1＝－0.5(不合题意，舍去)，x2＝2.5， 所以C(2.5，0)，即水池的半径至少要2.5 m. 【点悟】 结合所给图形，恰当建立坐标系是解这类题的关键．
1．如图 1－ 5－ 3 所示，桥拱是抛物线形，其函数 1 2 的表达式为 y＝－ x ， 当水位线在 AB 位置时， 4 水面宽 12 m， 这时水面离桥顶的高度为( D ) A． 3 m B． 2 6 m C． 4 3 m D． 9 m
【解析】 由 AB＝ 12 m 可知点 B 的横坐标为 6. 1 把 x＝ 6 代入 y＝－ x2，得 y＝－ 9.即水面离桥顶 4 的高度为 9 m，故选 D.