建立二次函数模型
第十二课时建立二次函数模型
第十二课时教学内容:建立二次函数模型(P21-22)教学目标1、通过探索得出二次函数的概念。
2、熟练地把二次函数化成一般式，并分清二次项、一次项及其系数和常数。
教学重点和难点教学重点：二次函数的概念。
教学难点：二次函数y＝ax2＋bx＋c中的隐含条件a≠0的应用。
教学方法启发式。
教学手段投影仪、投影片。
教学过程一、创设问题情境，探索建立二次函数模型。
（出示投影1）动脑筋：问题一：植物园的面积随着砌法的不同怎样变化？学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形植物园，如图2—1所示，现在已备足可以砌100m长的墙的材料，大家来讨论对应于不同的砌法，植物园的面积会发生什么样的变化。
有没有一种统一的以包括一切可能砌法的探讨方法呢？学生独立思考上述问题，并把结果与同伴交流。
教师针对学生存在的问题予以指正并板书：设与围墙相邻的每一面墙的长度为xm，则与围墙相对的一面墙的长度为（100－2x）m，于是矩形植物园的面积s为s＝x（100－2x），0＜x＜50，即 s＝－2x2＋100x，0＜x＜50，①有了公式①，我们对植物园的面积s随着砌法的不同而变化的情况就了如指掌了。
（出示投影2）动脑筋：电脑的价格。
一种型号的电脑两年前的销售价为6000元，现在的售价为y元，如果每年的平均降价率为x，那么降价率变化时，电脑的售价怎样变化呢？学生独立思考上述问题，并把结果与同伴交流。
教师针对学生存在的问题予以指正并边讲边在黑板上板书：y＝6000（1－x）2，0＜x＜1即y＝6000x2－12000x＋6000，0＜x＜1。
②教师引入：在上面的两个例子吕，矩形植物园的面积s与相邻于围墙面的每一面墙的长度x的关系式①，电脑价格y与平均降价率x的关系式②有什么共同点？像关系式①、②那样，如果函数的解析式是自变量的二次多项式，那么这样的函数称为二次函数，它的一般形式是：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），其中a、b、c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项。
浅谈二次函数建模方法
评注： 经过对 解析式 的分析 ， 画上 图 像 ，并通过 图像将生活与数学联系起来 ， 要知晓这样几个条件 ：１）排球运行 的最 （
方法二 ： 分析 解析式入 手 ， 从 探讨 图 本题是这类 题中最具代表性 的． 解决本题
在二次函数有关的实际问题 中，有些 大高度 即为 函数 的最大值 ；２ （ ）运动员扣
１ Ｏ２ Ｏ ｍ．
解得 ： —０３ ｚ ． ｔ ． １ ｔ 一１７
有 ：Ｏ－ ｔ ２ ． １ ｔ５ ＝ ． ２ ５
（ ）计算 距 离桥 两 端 主塔 分 别 为 ２
１ Ｏ 、０ Ｏ ｍ ５ ｍ处垂直钢 索的长 （ 精确到 ｍ） ． 分析 ： 本题看似 复杂 ， 只要仔细 理 但
像（ 如上 图 ） 可以看 出抛物线开 口向下 ， 当
ｘｌ ＝ ０时 ， 有最大值 １ ０ 即围成 矩形 的长 。， 是 １ ｍ时 ，围成矩 形 水面 面积最 大 ， ０ 是
函数模 型 ， 析解决实际 问题 的能力 ， 分 因 而往往 存在一个共 同的特征 ，就是 题 目 的 条件 并非传统地给 出 ，解题时总是 需 要我们通过 图像或解析式 的观 察 、 析 ， 分 学会联 系实际 ， 住 问题 中的数量关系 ， 抓 把 实际 问题转 化为 数学 问题来 解决 ， 这 个过程实际上也就是我们说的 “ 模”下 建 ．
垒
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浅谈二次函数建模方法
翻安徽省枞阳县义津初级中学 汪东一
关键 词 ：二次 函数 形结合 二次 函数是反映现 实世界 中变量问 的关系和变化规律 的一种 常见的数 学模
型 ，也是近年来 中考考查的热点题型． 这 类题型侧重考查学生 应用数学知 识建立
建模方 法
数
寻 找等 量关 系的能 力． 有这样 ， 只 才能 建 立正确 的数学模型． 像 性质 ， 解决实际问题 ．
二次函数弓形模型
二次函数弓形模型二次函数是一种常见的数学模型，它的图像形状可以是一条抛物线，也可以是一个弓形。
二次函数的一般形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c 是常数，且a不等于0。
本文将探讨二次函数弓形模型的特点、应用以及解析方法。
首先，我们来讨论二次函数弓形模型的特点。
当a大于0时，二次函数的图像开口朝上，形状为一个弓形。
当a小于0时，二次函数的图像开口朝下，形状也是一个弓形。
无论开口朝上还是朝下，二次函数的图像都具有对称轴，对称轴的方程为x=-b/2a。
对称轴将图像分为两个对称的部分，称为左半部分和右半部分。
弓形模型的顶点是二次函数图像的最低点（当a大于0时）或最高点（当a小于0时），顶点的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
其次，我们来探讨二次函数弓形模型的应用。
弓形模型常用于描述一些现实生活中的问题，例如抛物线的轨迹、物体的运动轨迹等。
在物理学中，二次函数弓形模型可以用来描述自由落体运动中物体的高度随时间的变化，以及抛体的轨迹。
在经济学中，二次函数弓形模型可以用来描述成本、收益、供求关系等。
在工程学中，二次函数弓形模型可以用来描述一些曲线的形状，例如拱桥的形状等。
最后，我们来介绍二次函数弓形模型的解析方法。
对于给定的二次函数y=ax^2+bx+c，我们可以通过以下步骤来解析该函数的图像：1.计算对称轴的坐标：对称轴的方程为x=-b/2a，计算得到对称轴的x坐标为-b/2a。
2.计算顶点的坐标：将对称轴的x坐标代入二次函数的表达式中，计算得到顶点的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
3.计算y轴截距：将x=0代入二次函数的表达式中，计算得到y轴截距为c。
4.根据对称轴、顶点和y轴截距的坐标，绘制二次函数的图像。
当我们了解了二次函数弓形模型的特点、应用和解析方法后，就可以更好地理解和应用这一数学模型。
无论是在学术研究中还是在实际应用中，二次函数弓形模型都具有重要的地位和作用。
它不仅可以帮助我们理解自然界和社会现象中的规律，还可以用于解决一些实际问题，为我们的生活和工作带来便利和效益。
二次函数解析式和表达式的区别
二次函数解析式和表达式的区别摘要：1.二次函数解析式的定义和表达式的定义2.二次函数解析式和表达式之间的区别3.二次函数解析式和表达式在实际问题中的应用4.如何从实际问题中得出二次函数的解析式和表达式正文：在数学中，二次函数解析式和表达式是常用的表示二次函数的方式，但它们之间存在着明显的区别。
首先，我们来了解一下二次函数解析式和表达式的定义。
二次函数解析式是指用字母表示二次函数的关系式，通常形式为y=ax+bx+c（a、b、c为常数），它直接揭示了自变量x与因变量y之间的关系。
而二次函数表达式则是指用数值表示二次函数的方式，它通常是通过将二次函数解析式中的字母换成数值来实现的。
其次，二次函数解析式和表达式之间的区别在于，解析式强调的是函数的关系，而表达式强调的是函数的值。
例如，对于二次函数y=ax+bx+c，当我们知道a、b、c的值后，就可以通过解析式计算出y与x的关系。
而表达式则直接给出了函数在不同x值下的y值，便于我们进行数值计算和图形绘制。
在实际问题中，二次函数解析式和表达式都有广泛的应用。
例如，在物理中，二次函数解析式可以用来表示物体的运动轨迹，而表达式则可以用来计算物体的位置、速度和加速度等物理量。
在工程中，二次函数解析式和表达式常用于建模和优化问题，如曲线拟合、参数估计等。
那么，如何从实际问题中得出二次函数的解析式和表达式呢？一般来说，我们可以通过以下步骤：1.分析实际问题，找出其中的数学关系。
例如，在物体运动问题中，我们可以通过测量物体的位移、时间等数据，找出位移与时间的关系。
2.建立二次函数模型。
根据实际问题中的数学关系，我们可以建立二次函数模型，如y=ax+bx+c。
3.利用已知数据求解二次函数参数。
将实际问题中的数据代入二次函数模型，通过最小二乘法等方法求解出a、b、c等参数。
4.得出二次函数的解析式和表达式。
在求解出二次函数参数后，我们就可以得到二次函数的解析式和表达式。
总之，二次函数解析式和表达式是表示二次函数两种常见的方式，它们在实际问题中有着广泛的应用。
利用二次函数解决问题步骤
利用二次函数解决问题步骤正文：
二次函数在数学和实际问题中有着广泛的应用。
利用二次函数解决问题的步骤可以帮助我们更好地理解和解决各种实际情况中的数学难题。
下面将介绍利用二次函数解决问题的一般步骤。
1. 确定问题，首先，需要明确问题的背景和要求，明确所要解决的具体问题是什么，例如寻找最大值、最小值，或者确定某个变量的取值范围等。
2. 建立二次函数模型，根据问题的特点，建立二次函数模型。
二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 分别为二次项系数、一次项系数和常数项。
根据问题的特点，确定二次函数的具体形式。
3. 求解问题，利用二次函数的性质和相关知识，对建立的二次函数模型进行分析和求解。
可以通过求导数、配方法、公式法等方式，找到函数的极值点、零点等关键信息。
4. 验证和解释，在求解出结果后，需要对结果进行验证和解释，确保结果符合实际情况，并能够清晰地解释结果的意义和影响。
5. 应用实际问题，最后，将得到的结果应用到实际问题中，解
决实际情况中的数学难题，验证二次函数的有效性和实用性。
通过以上步骤，我们可以利用二次函数解决各种实际问题，提
高数学建模和问题解决能力，为实际生活和工程技术提供有效的数
学支持。
同时也可以更好地理解和掌握二次函数的性质和应用，为
进一步深入学习数学打下坚实的基础。
二次函数建立二次函数模型课件
确定实际问题中的自变量和因变量。
转化条件
将实际问题中的条件转化为数学方程中的 限制条件。
建立方程
根据实际问题中的条件和规律，建立二次 函数方程。
求解模型
利用数学知识和计算方法，求解二次函数 模型，得到解或最优解。
04
求解二次函数模型
利用公式求解二次函数模型
了解二次函数的标准形式 理解二次函数系数a、b、c的含义及其对函数图像的影响
二次函数建立二次函数模型 课件
2023-11-05
目录
• 引言 • 二次函数的概念及表达式 • 建立二次函数模型 • 求解二次函数模型 • 案例分析
学生们已经学习了一次函数，对于函数的图像、性质及表达 式有了初步的了解。
在此基础上，进一步学习二次函数，掌握其图像、性质及表 达式的特点和规律。
案例二：交通流量问题
总结词
二次函数模型可以用来描述交通流量的变 化。
VS
详细描述
在交通工程中，二次函数模型可以用来描 述交通流量与时间的关系。例如，假设初 始流量为Q0，流量变化率为k，那么交通 流量Q可以通过二次函数模型表示为 Q=Q0-kt^2。这个模型可以帮助交通工 程师更好地规划交通网络，提高交通效率 。
转化条件
将实际问题中的条件转化为数学方 程中的限制条件。
利用二次函数解决实际问题
01
02
03
分析实际问题
分析实际问题的特点，确 定需要解决的问题和目标 。
建立数学模型
根据实际问题的特点，建 立二次函数模型。
求解模型
利用数学知识和计算方法 ，求解二次函数模型，得 到解或最优解。
建立二次函数模型的步骤
案例三：房屋按揭贷款问题
二次函数模型
函数模型一二次函数模型一价格竞争[问题提出]：甲乙两个加油站位于同一条公路旁，为在公路上行驶的汽车提供同样的汽油，彼此竞争激烈。
一天，甲站推出“降价销售”吸引顾客，结果造成乙站的顾客被拉走，影响了乙站的赢利。
我们知道，利润是受销售价和销售量的影响及控制的，乙站为挽回损失，必须采取降价销售这一对策来争取顾客。
那么，乙站如何决定汽油的价格，既可以同甲站竞争，又可以获取尽可能高的利润呢？[分析]：在这场“价格战”中，我们将站在乙站的立场上为其制定价格对策，因此需要组建一个模型来描述甲站汽油价格下调后乙站销售量的变化情况，从而得到乙站的销售利润。
[引入参数]：为描述汽油价格和销售量间的关系，引入指标：1）价格战前，甲、乙两站汽油的正常销售价格为P（元/升）；2）降价前乙站的销售量均为L(升)；3）汽油的成本价格为W（元/升）；4）降价后乙站的销售价格为x(元/升)，这是变量；5）降价后甲站的销售价格为y(元/升)。
[模型假设]：影响乙站汽油销售量的因素，主要有以下几个：1)甲站汽油降价的幅度；2)乙站汽油降价的幅度；3)甲乙两站之间汽油销售价格之差（x-y）。
我们知道，随着甲站汽油降价幅度的增加，乙站汽油销售量随之减小；而随着乙站汽油降价幅度的增加，乙站汽油销售量随之增大；同时，随着两站之间汽油销售价格之差（x-y）的增加，乙站汽油销售量也随之减小。
假设1：在这场价格战中，假设汽油的正常销售价格保持不变；假设2：以上各因素对乙加油站汽油销售量的影响是线性的,比例系数分别为a,b,c（均为正常数）。
[建立模型]：由假设2，乙站的汽油销售量为L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)，所以，乙站的利润函数R(x,y)=(x-W)[L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)]。
[模型求解]：当y确定时，利润函数R(x,y)=(x-W)[L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)]是关于x的二次函数。
求出R(x,y)的最大值点为x*=[L+(a+c)y-P(a-b)+W(b+c)]/2(b+c)。
二次函数的最值与优化应用题的解决思路
二次函数的最值与优化应用题的解决思路在解决二次函数的最值与优化应用题时，我们需要遵循一定的解决思路。
本文将介绍如何分析和求解这类问题，并提供一些实际应用的例子。
1. 分析问题：首先，我们需要理解问题陈述，并将其转化为数学语言。
通常，这种问题会涉及到二次函数的具体形式以及限制条件。
我们可以通过以下步骤进行分析：- 确定变量和目标：明确问题中涉及的变量，以及我们希望优化的目标。
- 建立模型：利用已知条件建立二次函数模型，并将目标函数化为数学表达式。
- 分析限制条件：将限制条件翻译为数学不等式或等式，并将其添加到模型中。
- 确定求解范围：确定函数的定义域和最值可能出现的范围。
2. 求解问题：有了正确的分析，我们可以使用以下方法来求解二次函数的最值和优化问题：- 求导法：对二次函数进行求导，找到导数等于零的点，并分析这些点的性质以确定最值的位置。
- 完成平方法：通过将二次函数转化为完全平方形式，从而直接得到最值点的位置。
- 利用性质法：利用二次函数的性质，如对称性、平移等，来简化求解过程。
- 图像分析法：通过绘制函数的图像，直观地找到最值点的位置。
3. 应用实例：下面是一些二次函数最值与优化应用题的解决示例：题目1：围墙建造某人想围建一个矩形花园，但他只有50米的围墙材料。
问他能建造的最大花园面积是多少？解决思路：设矩形长为x米，宽为y米。
建立问题的模型：- 目标：最大化花园的面积A，即A = x*y。
- 限制条件：围墙总长度不能超过50米，即2x + 2y <= 50。
通过求解目标函数的最值，我们可以得到最大化花园面积的解。
题目2：喷水装置一个花坛的形状是一个长为12米、宽为8米的矩形，需要在花坛中央安装一台喷水装置。
装置的效果范围是一个以装置为中心，半径为r米的圆形区域。
求喷水装置的半径，使得覆盖的花坛面积最大。
解决思路：设喷水装置的半径为r米。
建立问题的模型：- 目标：最大化喷水装置覆盖的花坛面积A，即A = πr²。
二次函数的实际模型
二次函数的实际模型二次函数是数学中一类重要的函数形式，其形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不等于零。
二次函数在实际问题中的应用非常广泛，可以描述许多自然现象和工程实践。
本文将介绍二次函数的实际模型，并讨论其在不同领域的应用。
一、二次函数的基本形式二次函数的基本形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。
二次函数的图像为一个抛物线，其开口方向由a的正负决定。
当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
b决定了抛物线的对称轴位置，c则是y轴截距。
二、1. 物理学中的自由落体模型自由落体是物体在无空气阻力作用下下落的运动。
根据牛顿的第二定律，物体的运动满足F=ma，其中F为物体所受的合力，m为物体的质量，a为加速度。
在自由落体运动中，物体所受的合力为重力，可以表示为F=mg，其中g为重力加速度。
假设一个物体从高度h自由落下，我们可以建立二次函数模型来描述物体的高度和时间的关系。
考虑时间t为自变量，物体的高度h为因变量，我们可以得到二次函数的实际模型为h=-gt^2+vt+h0，其中v为物体的初始速度，h0为物体的初始高度。
2. 经济学中的成本函数模型在经济学中，每个企业都需要考虑生产过程中的成本。
成本函数可以用二次函数来近似描述。
假设一个企业的固定成本为c，变动成本为q^2，其中q为企业的产量。
则企业的总成本为C=c+q^2，可以用二次函数来表示。
二次函数模型可以帮助企业分析成本与产量之间的关系，从而找到最优的生产策略。
对成本函数进行求导，可以得到边际成本函数，帮助企业制定最优产量。
3. 生物学中的生长模型生物的生长过程中，通常会存在一个生长极限。
在一定条件下，生物的生长速率与其规模呈二次函数关系。
例如，人体的身高与年龄之间的关系可以用二次函数来描述。
假设一个个体的身高h和年龄t之间存在二次函数关系，可以表示为h=at^2+bt+c。
通过研究二次函数的系数，可以得到个体的生长速率、生长极限等信息。
二次函数的模型建立与解题技巧分享
二次函数的模型建立与解题技巧分享二次函数是一种常见的数学函数，广泛运用于各个领域。
在建立二次函数的模型时，需要考虑诸多因素，并掌握一些解题技巧。
本文将分享一些关于二次函数模型建立与解题的技巧和方法。
1. 二次函数模型建立二次函数的一般形式是：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
建立二次函数模型时，需要根据具体问题中的已知条件，确定函数的具体形式。
首先，我们需要找到二次函数的顶点，即函数曲线的最高或最低点。
若已知顶点的坐标为(h, k)，则二次函数的一般形式可以简化为：f(x) =a(x - h)^2 + k。
通过确定顶点坐标，我们可以快速确定函数的形状。
其次，我们需要根据已知条件来确定二次函数的系数。
已知条件可以是函数经过某点的坐标，函数的对称轴，或者函数的导数等。
根据这些已知条件，可以得到一系列的方程，通过求解这些方程来确定a、b、c的值。
最后，通过将得到的系数代入二次函数的一般形式，就可以建立起具体的二次函数模型。
2. 解题技巧分享（1）寻找函数的顶点：通过求解二次函数的导数，可以得到函数的极值点，从而确定函数的顶点。
具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，导数为f'(x) = 2ax + b。
将f'(x) = 0，解得x = -b/(2a)，代入原函数，即可求得顶点的坐标。
（2）确定函数的对称轴：二次函数的对称轴是函数曲线的镜像轴，使得函数关于对称轴对称。
对称轴的方程为x = -b/(2a)，通过这个方程可以方便地确定函数的对称轴。
（3）求解函数与坐标轴的交点：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，当x = 0时，可以求得函数与x轴的交点为(0, c)。
而当y = 0时，可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0，来确定函数与y轴的交点。
（4）应用完全平方式解题：在某些情况下，我们可以通过完全平方式，将二次函数转化为完全平方的形式。
2.1 建立二次函数模型湘教版九年级下册
此式表示了多边形的对角线总数d与边数n之间的关系，
对于n的每一个值,d都有一个对应值，即d是n的函数.
一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函
数叫做x的二次函数其中,ax2叫二次项，a叫做二次项系
数，bx叫做一次项， b叫做一次项系数，c叫做常数项.
如：y=-5x2+100x+60000
是二次函数关系式
【例1】写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数
（1）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的 函数关系； （2）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积 S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
x2 【解析】(1)由题意得 y ( x 0) 其中y是x的二次函数； 4
y=（4+x）（3+2x）=2x2+11x+12
3.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x
2
是 不是 是 不是
1 ( 2) y 2 x (3) y x(1 x) (4) y ( x 1) 2 x 2
先化简后判断
4.关于x的函数 y (m 1) x 解: 由题意可得
(4) y x 2 2 x 3
(
)
(5) y ( x 2)( x 2) ( x 1) 2
(
否
)
4.若函数 y=(m -1)x
2
m2 -m
为二次函数，求m的值.
解：因为该函数为二次函数，
m 2 -m=2 则 2 m -1 0 ① ②
解①得：m=2或m=-1,
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
二次函数的模型建立与解决实际问题
二次函数的模型建立与解决实际问题二次函数是数学中重要的一个概念，也被广泛应用于实际问题的建模和解决。
本文将介绍二次函数的基本形式、模型的建立方法，以及如何利用二次函数解决实际问题。
一、二次函数的基本形式二次函数一般可以写成以下形式：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
其中，a不等于0，否则称为一次函数。
二次函数的图像一般是一个抛物线。
二、二次函数的模型建立方法建立二次函数模型的关键在于确定函数中的系数a、b、c。
常用的方法包括根据已知点建立方程、根据已知的函数值建立方程，以及根据图像特征建立方程等。
下面以几个具体的例子来说明。
例1：已知抛物线上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求二次函数的模型。
由于已知两个点的坐标，可以建立两个方程：y1 = ax1^2 + bx1 + cy2 = ax2^2 + bx2 + c可以解这个方程组得到a、b、c的值，从而得到二次函数的模型。
例2：已知二次函数过定点(0, c)和与正轴交于点C(x, 0)，求二次函数的模型。
由于已知两个点的坐标，可以建立两个方程：c = a * 0^2 + b * 0 + c0 = a * x^2 + b * x + c可以解这个方程组得到a、b、c的值，从而得到二次函数的模型。
例3：已知抛物线的顶点为V(h, k)，求二次函数的模型。
由于已知顶点的坐标，可以将二次函数写成顶点形式：y = a(x - h)^2 + k其中，h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。
三、利用二次函数解决实际问题二次函数的模型可以应用于多个实际问题的解决中，例如抛物线的轨迹问题、最值问题、运动问题等。
在抛物线的轨迹问题中，可以根据已知的条件建立二次函数模型，通过求解二次函数的顶点、判别式、根等，得到抛物线的特征，进而解决具体的问题。
在最值问题中，可以根据已知的限制条件建立二次函数模型，通过求解二次函数的最值，得到问题的最优解。
初中数学_22.3实际问题与二次函数教学设计学情分析教材分析课后反思
“实际问题与二次函数”（第1课时）教学设计教学任务分析教学目标知识技能通过探究实际问题与二次函数关系，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法．数学思考1．通过研究生活中实际问题，让学生体会建立数学建模的思想．2．通过学习和探究“矩形面积”“销售利润”问题，渗透转化及分类的数学思想方法．解决问题通过研究生活中实际问题，体会数学知识的现实意义，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题．情感态度通过将“二次函数的最大值”的知识灵活用于实际，让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣．重点探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法．难点如何将实际问题转化为二次函数的问题．教学流程安排教学课程设计的方法是否理解；（2）学生是否能全面的分析问题．学情分析：我所任教的九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图像的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还是不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
效果分析：活动一：绝大部分学生能够较积极地参与，认真思考，从而列出函数式，解决问题。
活动二：老师提出问题以后，好多同学积极动脑，分析条件和问题的内在关系，相互交流讨论，有少数同学感到困惑，有些茫然。
教师的及时引领与点拨，优秀学生的板演展示，起到了很好的作用，使问题化难为易，降低难度，学生们易于接受和学习。
活动三：在以上环节的启示下，同学们总结了解题方法和规律，能够较熟练的列出函数式，解决实际问题。
活动四：在新学习的知识基础上，学生们能够效仿，把所学运用到课堂上，不过，有的学生在解题步骤和规范做题格式上，需要加以引导和指导。
总之，这节课，我自己感觉还不错，基本能够达到课标要求，收到较理想的教学效果。
二次函数解决实际问题归纳
二次函数解决实际问题归纳及练习一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤：1、基本思路：理解问题→分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→用函数关系式么最大（最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②问的求解依靠配方法或最值公式而不是解方程。
（1）利用二次函数解决利润最大问题此类问题围绕总利润=单件利润×销售总量，设未知数时，总利润必然是因变量y，而自变量有两种情况：①自变量x是所涨价多少或降价多少；②自变量x是最终销售价格。
例：商场销售M型服装时，标价75元/件，按8折销售仍可获利50%，现搞促销活动，每件在8折的基础上再降价x元，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x(x﹥0)①求M型服装的进价②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。
（2）利用二次函数解决面积最值例：已知正方形ABCD边长为8，E、F、P分别是AB、CD、AD上的点（不与正方形顶点重合），且PE⊥PF，PE=PF问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小，最小面积多少？1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？2：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m，顶部C离地面的高度为4.4m，现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.7m，装货宽度为2.4m。
这辆汽车能否顺利通过大门?若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由.3、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？4、某公司试销某种“上海世博会”纪念品,每件按30元销售，可获利50％，设每件纪念品的成本为a 元。
人教版初三数学：实际问题与二次函数—知识讲解(提高)
实际问题与二次函数—知识讲解（提高）1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．【要点梳理】要点一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.要点二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．要点诠释：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：①首先必须了解二次函数的基本性质；②学会从实际问题中建立二次函数的模型；③借助二次函数的性质来解决实际问题.【典型例题】类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值1. （2016•黔东南州）凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18﹣10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．（1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？（2）求写出该文具店一次销售x（x＞10）只时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？【思路点拨】（1）设一次购买x只，由于凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，而最低价为每只16元，因此得到20﹣0.1（x﹣10）=16，解方程即可求解；（2）由于根据（1）得到x≤50，又一次销售x（x＞10）只，因此得到自变量x的取值范围，然后根据已知条件可以得到y与x的函数关系式；（3）首先把函数变为y=﹣0.1x2+9x=﹣0.1（x﹣45）2+202.5，然后可以得到函数的增减性，再结合已知条件即可解决问题．【答案与解析】解：（1）设一次购买x只，则20﹣0.1（x﹣10）=16，解得：x=50．答：一次至少买50只，才能以最低价购买；（2）当10＜x≤50时，y=[20﹣0.1（x﹣10）﹣12]x=﹣0.1x2+9x，当x＞50时，y=（16﹣12）x=4x；综上所述：y=；（3）y=﹣0.1x2+9x=﹣0.1（x﹣45）2+202.5，①当10＜x≤45时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．②当45＜x≤50时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．且当x=46时，y1=202.4，当x=50时，y2=200．y1＞y2．即出现了卖46只赚的钱比卖50只赚的钱多的现象．当x=45时，最低售价为20﹣0.1（45﹣10）=16.5（元），此时利润最大．【点评】本题考查了二次函数的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=﹣时取得．举一反三：【高清课程名称：实际问题与二次函数高清ID 号：356777 关联的位置名称（播放点名称）：例4】【变式】某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y （件）与销售单价x （元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润为P 元，求P 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；根据题意判断：当x 取何值时，P 的值最大？最大值是多少？（总利润=总销售额-总成本）【答案】（1）设y 与x 的函数关系式为：y kx b =+（k≠0），∵函数图象经过点（60，400）和（70，300）∴⎩⎨⎧+=+=bk bk 7030060400 解得⎩⎨⎧=-=100010b k∴100010+-=x y（2）)100010)(50(+--=x x P500001500102-+-=x x P （50≤x ≤70）∵752015002=--=-a b ，10-=a ＜0∴函数500001500102-+-=x x P 图象开口向下， 对称轴是直线x=75∵50≤x ≤70，此时y 随x 的增大而增大, ∴当x =70时，6000=最大值P .类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题2.（2014秋•涿州市校级月考）某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽为4m ，顶部距离地面的高度为4.4m ，现有一辆满载货物的汽车欲通大门，其装货宽度为2.4m ，该车要想过此门，装货后 的最大高度应是多少m ？【思路点拨】因为校门是抛物线形，不妨将这一问题转化为二次函数进行研究，建立适当的直角坐标系，将已知数据转化为点的坐标，从而确定函数关系式，再根据关系式求高．【答案与解析】解：建立如图平面直角坐标系：设抛物线的解析式为y=ax2，由题意得：点A的坐标为（2，﹣4.4），∴﹣4.4=4a，解得：a=﹣1.1，∴抛物线的解析式为y=﹣1.1x2，当x=1.2时，y=﹣1.1×1.44=﹣1.584，∴线段OB的长为1.584米，∴BC=4.4﹣1.584=2.816米，∴装货后的最大高度为2.816米，故答案为：2.816米．【点评】利用二次函数解决抛物线形建筑问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题3. 如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐，已知篮筐中心到地面的距离为3.05 m，若该运动员身高1.8 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?【答案与解析】如图所示，在直角坐标系中，点A(1.5，3.05)表示篮筐，点B(0，3.5)表示球运行的最大高度，点C表示球员篮球出手处，其横坐标为-2.5，设C 点的纵坐标为n ，过点C 、B 、A 所在的抛物线的解析式为2()y a x h k =-+，由于抛物线开口向下，则点B(0，3.5)为顶点坐标，∴ 23.5y ax =+． ∵ 抛物线23.5y ax =+经过点A(1.5，3.05)， ∴ 3.05＝a ·1.52+3.5， ∴ 15a =-． ∴ 抛物线解析式为21 3.55y x =-+． ∴ 21( 2.5) 3.55n =-⨯-+，∴ n ＝2.25．∴ 球出手时，球员跳离地面的高度为2.25-(1.8+0.25)＝0.20(米)．【点评】首先要建立适当的平面直角坐标系，构造函数模型，将已知数据转化为点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式求出抛物线上已知横坐标的点的纵坐标，结合已知条件，得到实际问题的解．类型四、利用二次函数求图形的边长、面积等问题4. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD 为直径的半圆O ，下部是一个矩形ABCD ．(1)当AD ＝4米时，求隧道截面上部半圆O 的面积；(2)已知矩形ABCD 相邻两边之和为8米，半圆O 的半径为r 米．①求隧道截面的面积S(m)2关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r 的取值范围)；②若2米≤CD ≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S 的最大值．(π取3.14，结果精确到0.1米) 【思路点拨】①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式；②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值． 【答案与解析】(1)2S π=半圆(米2)；(2)①∵ AD ＝2r ，AD+CD ＝8，∴ CD ＝8-AD ＝8-2r ， ∴ 2221112(82)416222S r AD CD r r r r r πππ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭． ②由①知，CD ＝8-2r ，又∵ 1.2米≤CD≤3米，∴ 2≤8-2r≤3，∴ 2.5≤r≤3．由①知，214162S r r π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭228642.4316 2.434 2.43 2.43r r ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭≈． ∵ -2.43＜0，∴ 函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴83.32.43r =≈， 又2.5≤r≤3，由函数图象知，在对称轴左侧S 随r 的增大而增大，故当r ＝3时，S 有最大值．21431632S π⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪⎝⎭最大1 3.14494826.12⎛⎫⨯-⨯+ ⎪⎝⎭≈≈(米2)．【点评】解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积．举一反三：【高清课程名称：实际问题与二次函数高清ID 号：356777 关联的位置名称（播放点名称）：例3】 【变式】（2015•泗洪县校级模拟）如图，矩形纸片ABCD ，AD=8，AB=10，点F 在AB 上，分别以AF 、FB 为边裁出的两个小正方形纸片面积和S 的取值范围是 ．【答案】50≤S ≤68．【解析】解：设AF=x ，则BF=10﹣x ，由题意，得S=x 2+（10﹣x ）2， S=2x 2﹣20x+100， S=2（x ﹣5）2+50． ∴a=2＞0，∴x=5时，S 最小=50． ∵2≤x ≤8，当x=2时，S=68，当x=8时，S=68．∴50≤S≤68．故答案为：50≤S≤68．附录资料：弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r ，侧面展开图中的扇形圆心角为n °，则圆锥的侧面积2360l S rl ππ=扇n =， 圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB 切⊙O 于点B ，OA=23，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC 的弧长为（ ）． A ．33π B ．32πC ．πD ．32π图（1） 【答案】A.【解析】连结OB 、OC ，如图（2）则0OBA ∠︒＝9，OB=3，0A ∠︒＝3，0AOB ∠︒＝6， 由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=︒＝， 所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠︒＝6. 则劣弧BC 的弧长为6033=1803ππ，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：.CBAO举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)【答案】R=40mm，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm．【高清ID号：359387 高清课程名称：弧长扇形圆柱圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】2．如图，⊙O的半径等于1，弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OACB的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB和半径OC互相平分，∴OC⊥AB，OM=MC=OC=OA．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120°∴S扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【高清ID号：359387 高清课程名称：弧长扇形圆柱圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】【变式】如图（1），在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）．A．449-π B．849-π C．489-π D．889-πAEB F P图（1）【答案】连结AD，则AD⊥BC，△ABC的面积是：BC•AD=×4×2=4，∠A=2∠EPF=80°．则扇形EAF的面积是：2 8028=. 3609ππ⨯故阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形EAF的面积=84-9π．图（2）故选B．类型二、圆锥面积的计算3．（2014秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r与母线R之比；（2）圆锥的全面积．【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．【答案与解析】解：（1）由题意可知∴，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在Rt△AOC中，∵R2=r2+h2∴，4r2=r2+27r2=9，r=±3∵r＞0∴r=3，R=6.∴S侧=πRr=18π（cm2）（cm2）∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π（cm2）．【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．类型三、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC==2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。
二次函数的应用于医学问题
二次函数的应用于医学问题在医学领域，二次函数是一种经常被使用的数学模型，它可以帮助研究人员分析和解决各种与身体机能和疾病相关的问题。
本文将探讨二次函数在医学问题中的应用，并通过具体案例来说明其在这一领域中的重要性和价值。
一、体温变化的二次函数模型体温是衡量身体状况的重要指标之一，二次函数可以很好地描述体温的变化规律。
我们以发烧为例，假设一个人在发烧前体温为正常值37℃，发烧后体温开始升高，并在一定时间后达到峰值。
然后体温逐渐下降，恢复到正常水平。
设t为时间（单位小时），T为体温（单位℃），我们可以建立如下的二次函数模型：T = a(t - t0)^2 + T0其中，a代表发烧的严重程度和恢复的速度，t0为发烧开始的时间，T0为发烧前的体温水平。
通过调整参数a、t0和T0的值，我们可以根据实际数据去拟合体温变化曲线，进而预测病情的发展趋势以及恢复时间。
二、血糖变化的二次函数模型血糖是糖尿病患者关注的重点指标之一，也可以使用二次函数进行建模。
在某些情况下，糖尿病患者的血糖水平可能会出现波动，特别是在餐后。
通过建立血糖变化的二次函数模型，可以更好地了解血糖的变化规律，以便根据实际情况进行药物管理和饮食调节。
例如，假设一个糖尿病患者在进食后血糖水平开始上升，并在一定时间后达到最高峰值，然后逐渐下降返回基准水平。
可以使用如下的二次函数模型来描述血糖的变化过程：G = a(t - t0)^2 + G0其中，G代表血糖水平，a代表血糖的波动幅度，t0为进食后的时间，G0为进食前的基准血糖水平。
通过调整参数a、t0和G0的值，可以更准确地预测血糖的变化趋势，从而帮助患者更好地管理疾病。
三、药物浓度的二次函数模型在药物治疗过程中，了解药物在体内的浓度变化对于确定药物的用量和用时非常重要。
二次函数可以帮助模拟和预测药物浓度的变化。
设t表示时间（单位小时），C表示药物在血液中的浓度（单位毫克/升），可以构建以下二次函数模型：C = a(t - t0)^2 + C0其中，a表示药物的分布速度和排泄速度，t0表示药物给药的时间，C0表示给药前的血药浓度。
实际问题与二次函数教学反思
实际问题与二次函数教学反思二次是函数是函数中的重点、难点，它比较复杂，一般来说我们研究它是先研究其本身性质、图象，进而扩展到应用，它在现实中应用较广，我们在教学中要紧密结合实际，让学生学有所用，在教学中应注意以下几个问题：（一）把握好课标。
九年义务教育初中数学教学大纲却降低了对二次函数的教学要求,只要求学生理解二次函数和抛物线的有关概念,会用描点法画出二次函数的图像;会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴;会用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式。
（二）把实际问题数学化。
首先要深入了解实际问题的背景，了解影响问题变化的主要因素，然后在舍弃问题中的非本质因素的基础上，应用有关知识把实际问题抽象成为数学问题，并进而解决它。
（三）函数的教学应注意自变量与函数之间的变化对应。
函数问题是一个研究动态变化的问题，让学生理解动态变化中自变量与函数之间的变化对应，可能更有助于学生对函数的学习。
（四）二次函数的教学应注意数形结合。
要把函数关系式与其图像结合起来学习，让学生感受到数和形结合分析解决问题的优势。
（五）建立二次函数模型。
利用二次函数来解决实际问题，重在建立二次函数模型。
但是在解决最值问题时得注意，有时理论上的最大值（或最小值）不是实际生活中的最值，得考虑实际意义。
（六）注重二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系。
利用二次函数的图像可以得到对应一元二次方程的解、一元二次不等式的解集。
反思二：实际问题与二次函数教学反思这节课我是采用先让学生按照学案的提示，自主预习课本，受到课本所给出的分析过程的思维限制，很容易把问题解决了，但没有放手让学生从不同角度去尝试建立坐标系，体会各种情况下所建立的坐标系是否有利于点的表示，没有激发学生学习的热情，没有给予学生以启迪。
用二次函数知识解决实际问题是本章学习的一大难点，遇到实际问题学生往往无从下手，学生在解题过程中遇到一个新的问题该如何去联想？联想什么？怎样联想？这与课堂教学过程中老师解题方法的讲授至关重要，老师在课堂教学过程中应如何引导学生判断、分析、归类。
二次函数回归方程公式
二次函数回归方程公式y = ax^2 + bx + c其中，a、b和c是常数，x是自变量，y是对应的因变量。
Step 1: 收集和整理数据首先，需要收集一组自变量和因变量之间的实际观测数据。
这些数据可以来自于实验或现实世界的观测。
Step 2: 构建二次函数回归模型根据收集到的数据，我们可以假设二次函数回归模型为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b和c是待定系数。
Step 3: 确定残差残差是实际观测值与回归模型预测值之间的差异。
我们定义残差e为：e = y - ax^2 - bx - cStep 4: 最小化残差的平方和最小二乘法的核心思想是使得残差的平方和最小化。
也就是要最小化以下目标函数：∑(e^2)其中，∑表示求和运算。
Step 5: 求解参数为了最小化目标函数，需要对参数a、b和c求导，并令导数等于零。
通过求解导数方程组，可以得到参数的解析解。
具体求解过程比较繁琐，可以使用数学软件或计算机程序来进行求解。
在实际应用中，一般使用现有的统计软件或编程语言来拟合二次函数回归方程。
例如，在Python编程语言中，可以使用NumPy、Scipy等库来进行二次函数回归的求解。
以下是Python代码的一个示例：```pythonimport numpy as npfrom scipy.optimize import curve_fit#自变量数据x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])#因变量数据y = np.array([3, 7, 12, 18, 25])#定义二次函数模型def quadratic_func(x, a, b, c):return a * x**2 + b * x + c#使用最小二乘法拟合数据params, params_covariance = curve_fit(quadratic_func, x, y)a, b, c = params#打印拟合结果print("a =", a)print("b =", b)print("c =", c)```这段代码使用了Scipy库中的curve_fit函数来拟合二次函数回归方程。
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例1答图
有一座抛物线形状的拱桥，正常水位时桥下水面宽度 为20 m，拱顶距离水面4ห้องสมุดไป่ตู้m.
图 1－ 5－ 2 (1)在如图1－5－2所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解
析式．
(2)在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽
度为d(m)，求出将d表示为h的函数解析式．
(3)设正常水位时桥下的水深为2 m，为保证过往船只顺利航 行，桥下水面的宽度不得小于18 m，求水深超过多少时就会影响
系式中的一种；
(3)求解问题时防止正、负弄错，能合理地将点的坐标 正确地转化为距离或高度．
类型
建立二次函数模型解决实际问题
如图1－5－1所示，公园要建
造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面 处安装一个高1.25 m的柱子OA，水流在各
个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为
图 1－ 5 － 1 使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1 m处达到
1.5 二次函数的应用
第1课时
建立二次函数模型
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建立二次函数模型解决简单实际问题 步 骤：(1)恰当地建立直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数的关系式； (4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式； (5)利用关系式求解问题．
注
意：(1)将已知条件转化为点的坐标时，应注意距离与坐标 的关系； (2)设函数关系式应根据题目条件合理选择3种函数关
距水面最大高度2.25 m．若不计其他因素，那么水池的半径至少 要达到多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
解：以O为原点，OA为y轴建立直角坐标系，
设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C (如例1答图所示)，
由题意，得A(0，1.25)，B(1，2.25)，因此，
设抛物线为y＝a(x－1)2＋2.25. 将A(0，1.25)代入上式， 得1.25＝a(0－1)2＋2.25， 解得a＝－1. 所以，抛物线的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25. 当y＝0时，解得x1＝－0.5(不合题意，舍去)，x2＝2.5， 所以C(2.5，0)，即水池的半径至少要2.5 m. 【点悟】 结合所给图形，恰当建立坐标系是解这类题的关键．
图 1－ 5－ 3
2．图1－5－4(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l
时，拱桥(拱桥洞的最高点)离水面2 m，水面宽4 m．如图1－5
－4(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式 ( C )
图 1－ 5－ 4
A．y＝－2x2 1 2 C．y＝－ x 2 B．y＝2x2 1 2 D．y＝ x 2
【解析】 设抛物线的关系式为：y＝ ax2(a≠0)， 1 由 (2，－2)在抛物线上，得－2＝ 4a，∴ a＝－ ， 2 1 2 ∴抛物线的解析式为 y＝－ x .故选 C. 2
1．如图 1－ 5－ 3 所示，桥拱是抛物线形，其函数 1 2 的表达式为 y＝－ x ， 当水位线在 AB 位置时， 4 水面宽 12 m， 这时水面离桥顶的高度为( D ) A． 3 m B． 2 6 m C． 4 3 m D． 9 m
【解析】 由 AB＝ 12 m 可知点 B 的横坐标为 6. 1 把 x＝ 6 代入 y＝－ x2，得 y＝－ 9.即水面离桥顶 4 的高度为 9 m，故选 D.
过往船只在桥下顺利航行．
解： (1)设抛物线的解析式为 y＝ ax2. ∵在正常水位时， B 点坐标为(10，－ 4)， 1 ∴－4＝ a× 10 ，∴a＝－ . 25
2
1 ∴该抛物线的解析式为 y＝－ x2. 25
(2)当水位上升 h m 时， D 点的纵坐标为－ (4－ h)． 1 2 设 D 点的横坐标为 x(x>0)，则有－ (4－ h)＝－ x ， 25 ∴ x＝ 5 4－ h， x＝－ 5 4－ h(舍去 )． ∴ d＝ 2x＝ 10 4－ h. (3)当桥下水面宽为 18 m 时，得 18＝ 10 4－ h， 81 ∴ h＝ 4－ ＝ 0.76. 25 又 ∵ 2＋ 0.76＝ 2.76 m， ∴桥下水深超过 2.76 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行．