平面汇交力系PPT课件
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第二章平面汇交力系ppt课件
⑴选箱盖为研究对象， 画它的受力图
⑵三个力必汇交于吊环 中心A。
⑶画力三角形
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
a TAC
30° W 45° c
b
TAB
如果力三角形的几何 关系不复杂，可以选 用数解法，运用三角 公式来计算:
O
F1
A
O
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
(2)平面汇交力系的合成:
应用力的多边形法则:
设刚体上受到F1、F2、F3及F4等许多力的作用， 它们的作用线在同一平面内，正汇交于O点。 (如图所示)
R RX 2 RY2 (417)20(275)20500N0
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
⑵合力的方向:
cos RX
R
4170
0.834
5000
Y RX O
Rα
X
RY
RX = ∑FX = - 4170N
⑴ 按比例先画出封闭的力多边形 ⑵ 用尺和量角器在图上直接量得所要求的
未知量
也可采用数解法，即根据图形的边角关系， 用三角公式计算出所要求的未知量。
例1 起重机吊起的减速箱盖重W＝900 N， 两根钢丝绳AB和AC与沿垂线的夹角分别为 α＝45°， β ＝30°试求箱盖匀速吊起时， 钢丝绳AB和AC的张力。
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
第2章平面汇交力系.ppt
112.3 N
17
§2-2 汇交力系合成与平衡的解析法
例题1
合力FR的大小：
FR FR2x FR2y 171.3 N
合力FR的方向：
y
F2
FR
cos FRx 0.754
FR
cos FRy 0.656
FR
则，FR与x，y 轴的夹角分别为：
60o 30o F1
线过各力的汇交点。其大小和方向为力系
中各个力的矢量和。即
FR Fi
7
§2-1 汇交力系合成与平衡的几何法
力多边形
F2
= F1
F3
=
F4 FR
A
FR
几何意义：平面汇交力系的合力即为力多边形的封闭边。
注意：在力多边形中，各分力矢首尾相接，环绕同一 方向，而合力矢则反向封闭力多边形。
8
§2-1 汇交力系合成与平衡的几何法
45o O 45o
x
F3
F4
40.99
49.01
18
§2-2 汇交力系合成与平衡的解析法
例题2
连杆机构OABC受力P和力F作用而在图示位置平 衡。已知P=4kN，不计杆自重，求力F的大小。
B
解：“B”
FA
P
Fy =0
1200
O
C 600
P ·cos600 - FAB·cos600 = 0
静力学
第二章 力系的等效与简化
1
第二章 力系的等效与简化
基本内容： 1、平面汇交力系的合成 2、平面力偶系的合成 3、平面任意力系的合成
2
第二章 力系的等效与简化
基本要求：
理论力学-平面汇交力系
第一篇
静力学
第二章
平面力系
第二章
平面力系
主要内容
1. 2. 3. 4. 5. 平面汇交力系的合成与平衡 平面力偶系的合成与平衡 平面任意力系的合成与平衡 静定与超静定 ·物系的平衡 平面简单桁架的内力计算
第二章
平面力系
§2-1 平面汇交力系
§2-1 平面汇交力系
何谓平面汇交力系？
作用在刚体上的力都在同一平面上，
C B
D y
二力杆
Fx 0, Fy 0,
FA cos FC cos 45 0
FA
A
E
FA sin FC sin 45 F 0
C
F
45o
B x
5. 解得： FA =22.4kN FC =28.3kN
FC
§2-1 平面汇交力系
解题技巧及说明
1、通常，对于只受三个力作用而平衡的物体，且角 度特殊时用几何法比较简便。- 解力三角形 2、对于受多个力作用平衡的物体，均用解析法。 3、投影轴的选择原则：与未知力垂直或平行，最好 使每个方程中只有一个未知数。 4、解析法解题时，如果力的指向不能确定，可任意 假定，如求出负值，说明力的实际方向与假设方 向相反。 如：对于二力构件，可先预先设为拉力。
— 力多边形
含义：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和， 合力的作用线通过各分力的汇交点。
§2-1 平面汇交力系 2、平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要条件是：
FR = 0 , 即
F2 F1
F3
F5 = FR
F = 0
i
相应地，从几何角度上讲，如何？ 平面汇交力系平衡的充要条件是：
静力学
第二章
平面力系
第二章
平面力系
主要内容
1. 2. 3. 4. 5. 平面汇交力系的合成与平衡 平面力偶系的合成与平衡 平面任意力系的合成与平衡 静定与超静定 ·物系的平衡 平面简单桁架的内力计算
第二章
平面力系
§2-1 平面汇交力系
§2-1 平面汇交力系
何谓平面汇交力系？
作用在刚体上的力都在同一平面上，
C B
D y
二力杆
Fx 0, Fy 0,
FA cos FC cos 45 0
FA
A
E
FA sin FC sin 45 F 0
C
F
45o
B x
5. 解得： FA =22.4kN FC =28.3kN
FC
§2-1 平面汇交力系
解题技巧及说明
1、通常，对于只受三个力作用而平衡的物体，且角 度特殊时用几何法比较简便。- 解力三角形 2、对于受多个力作用平衡的物体，均用解析法。 3、投影轴的选择原则：与未知力垂直或平行，最好 使每个方程中只有一个未知数。 4、解析法解题时，如果力的指向不能确定，可任意 假定，如求出负值，说明力的实际方向与假设方 向相反。 如：对于二力构件，可先预先设为拉力。
— 力多边形
含义：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和， 合力的作用线通过各分力的汇交点。
§2-1 平面汇交力系 2、平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要条件是：
FR = 0 , 即
F2 F1
F3
F5 = FR
F = 0
i
相应地，从几何角度上讲，如何？ 平面汇交力系平衡的充要条件是：
1§2-1 平面汇交力系
Ry
Fiy
§2-1 平面汇交力系
2、平面汇交力系合成的解析法 4）在直角坐标系中平面汇交力系合力的解析表达式
FR FRx FRy FRx i FRy j Fix i Fiy j
大小： FR
FRx FRy
2
R
2
F cos F , i
ix
§2-1 平面汇交力系 例2.3 已知：AC=CB，P=10kN，各杆自重不计。 求：CD杆及铰链A的受力。 解：CD为二力杆，AB杆受力如图。
1 arctan 2 M A ( Fi ) 0 FC sin 45 2 P 0 FC 28.28KN
M
C
( Fi ) 0 FA sin P 0 FA 22.36 KN
§2-1 平面汇交力系
特点：所有力的作用线都在同一平面内，并汇交于一点。 简化方法：几何法和解析法两种 1、平面汇交力系合成的几何法——力多边形法则 1）二汇交力的合成——力的三角形法则，与公理2等价。
合力作用点：在二力汇交点； 方向：矢量平移； 大小：按比例测量。
FR F1 F2 F2 F1
§2-1 平面汇交力系
1、平面汇交力系合成的几何法——力多边形法则 3）平面汇交力系平衡的几何条件
平衡的充要条件：
F R Fi 0 力多边形自行封闭
即平衡时，力多边形中最后一力的终点与第一力的起点重合。
§2-1 平面汇交力系
2、平面汇交力系合成的解析法 1）力在轴上的投影
Fx F cosθ Fy F cosβ
方向余弦：
F cos F , j
R
FR
iy
FR
作用点：力的汇交点。
Fiy
§2-1 平面汇交力系
2、平面汇交力系合成的解析法 4）在直角坐标系中平面汇交力系合力的解析表达式
FR FRx FRy FRx i FRy j Fix i Fiy j
大小： FR
FRx FRy
2
R
2
F cos F , i
ix
§2-1 平面汇交力系 例2.3 已知：AC=CB，P=10kN，各杆自重不计。 求：CD杆及铰链A的受力。 解：CD为二力杆，AB杆受力如图。
1 arctan 2 M A ( Fi ) 0 FC sin 45 2 P 0 FC 28.28KN
M
C
( Fi ) 0 FA sin P 0 FA 22.36 KN
§2-1 平面汇交力系
特点：所有力的作用线都在同一平面内，并汇交于一点。 简化方法：几何法和解析法两种 1、平面汇交力系合成的几何法——力多边形法则 1）二汇交力的合成——力的三角形法则，与公理2等价。
合力作用点：在二力汇交点； 方向：矢量平移； 大小：按比例测量。
FR F1 F2 F2 F1
§2-1 平面汇交力系
1、平面汇交力系合成的几何法——力多边形法则 3）平面汇交力系平衡的几何条件
平衡的充要条件：
F R Fi 0 力多边形自行封闭
即平衡时，力多边形中最后一力的终点与第一力的起点重合。
§2-1 平面汇交力系
2、平面汇交力系合成的解析法 1）力在轴上的投影
Fx F cosθ Fy F cosβ
方向余弦：
F cos F , j
R
FR
iy
FR
作用点：力的汇交点。
理论力学课件-平面汇交力系
o
9
（2）确定合力的大小和方向 ）
FR = FRx 2 + FRy 2 = 129.32 + 112.32 N = 171.3N
FRx ∑ Fix 129.3 cos α = = = = 0.7548 FR FR 171.3
cos β =
FRy FR
∑F =
FR
ix
112.3 = = 0.6556 171.3
FAC
2 4 = P−F⋅ 5 3
FBC
3 1 4 = F− P−F⋅ 5 5 3
为使两根绳索保持张紧， 为使两根绳索保持张紧，则 FAC > 0，且 FBC > 0 由此得到F 的取值范围为: 由此得到 的取值范围为 290.34 N < F < 667.5 N
17
y
：（1） 解：（ ）计算合力的投影 由合力投影定理，得合力的投影 由合力投影定理，
F2
60 45o
o
FR F 1
30o
45o
x
F4
F3
o o o
FRx = F1 cos 30 − F2 cos 60 − F3 cos 45 + F4 cos 45 = 129.3N
FRy = F1 sin 30o + F2 sin 60o − F3 sin 45o − F4 sin 45o = 112.3N
F = Fx + Fy = Fx i + Fy j
6
二、合力投影定理
y
d2 c2 e2 b2 a2
d
c
F2
F3
F4
e
FR
FR x = F x + F2x + F x + F4x 1 3
平面汇交力系的合成几何法.ppt
小
结
平面汇交力系合成的几何法、平衡的几何条件 力在轴上的投影 汇交力系合成的解析法、平衡的解析条件 平衡方程的应用
NA
O
空间汇交力系
力在坐标轴上的投影：
力的矢量表示式
F Xi Yj Zk
1. 直接投影法
z
Z X
x
F Y
y
已知：力的大小 F，力与坐标轴的夹角 , ,
X F cos Y F cos Z F cos z
2. 二次投影法
Z
F
已知：F, 仰角, 方位角
X
Y y
x
先投影到平面上
Fxy F cos
联立解得
TBC 735N TBD 1094N RA 1500N
作业：
墙角处吊挂支架由两端铰接杆OA、OB和软绳OC构成，二杆分 别垂直于墙面且由绳OC维持在水平面内，如图3-34所示。结点O 处悬挂重物，重量W=500N，若OA=300mm，OB=400mm，OC绳 与水平面的夹角为30°，不计杆重。试求绳子拉力和二杆所受的 压力。
y x
Y 0 SBC sin 45 T1 T2 cos30 0 SBC
SBC
T1
T2 cos30 sin 45
2.64KN
（压力）
T2
T1
SAB (SBC cos45 T2 cos60 ) 1.37KN （拉力）
例.提升铰车具有棘轮插爪构成的止逆装置，已知提升重量
G=500N，图中尺寸d1=42cm，d2=24cm，a=12cm，h=5cm，
2
例. 已知简易起重架ABC，重物重P=1KN，滑轮
B大小、尺寸和杆AB、BC重均忽略不计，滑轮
的轴承光滑。求：杆AB及BC的受力。
平面汇交力系与平面力偶理论(精品资料)PPT
一、力在坐标轴上的投影
设力F作用于物体的A点。在力F作用线 所在的平面内任取直角坐标系Oxy。 力在轴上的投影是个代数量，并规定其 投影的指向与轴的正向相同时为正值， 反之为负值。那么有：
α、β分别是力F与X、Y轴的夹角
假设把力F沿X、Y轴分解，得到两个正交分力Fx、Fy。 显而易见，投影X的绝对值等于分力Fx的大小，投影X的 正负号指明力Fx是沿X轴的正向还是负向。可见利用力在 轴上的投影，可以同时说明力沿直角坐标轴分解时分力 的大小和方向。
F2= 50 N ，力的作用线也通过点A，尺寸如图。 平面汇交力系解析法作题的主要步骤：
例 如图 2-2a 所示，固定在墙壁上的圆环受3 条绳索的拉力作用，力F1 沿水平方向，力F3 沿铅直方向，力F2 与水平线成40°角。
二、平面汇交力系合成与平，F2，…，Fn个力作用的平面汇交力系同样成立。
〔1〕由几何关系数解
根据平面汇交力系平衡的几何条件P、NB和F三个力组成一 个封闭的力三角形，如下图。从图中可知，力三角形是一个 直角三角形，应用三角公式求得
由几何关系，可得
F=Ptanα NB=P/cosα
代入上式可得：
由作用力和反作用力关系可知，碾子对障碍物的压力N’B也等
于23.1kN。
〔2〕图解法
将啮合力P平正交面分解为汇圆周交力P和力径向系力Pr合，(图成(b))，的结果是一个合力，合力的作
例 物体重 P=20 kN，用绳子挂在支架的滑轮B 上，绳子的另1 端接在绞车D 上，如图a 所示。
用线通过力系的汇交点，其大小和方向可由力多 3 个力的大小分别为F1=2 000 N，F2=2 500 N，F3=1 500 N。
定 义：是指各力的作用线位于同一平面内且汇交于同一点的力系
设力F作用于物体的A点。在力F作用线 所在的平面内任取直角坐标系Oxy。 力在轴上的投影是个代数量，并规定其 投影的指向与轴的正向相同时为正值， 反之为负值。那么有：
α、β分别是力F与X、Y轴的夹角
假设把力F沿X、Y轴分解，得到两个正交分力Fx、Fy。 显而易见，投影X的绝对值等于分力Fx的大小，投影X的 正负号指明力Fx是沿X轴的正向还是负向。可见利用力在 轴上的投影，可以同时说明力沿直角坐标轴分解时分力 的大小和方向。
F2= 50 N ，力的作用线也通过点A，尺寸如图。 平面汇交力系解析法作题的主要步骤：
例 如图 2-2a 所示，固定在墙壁上的圆环受3 条绳索的拉力作用，力F1 沿水平方向，力F3 沿铅直方向，力F2 与水平线成40°角。
二、平面汇交力系合成与平，F2，…，Fn个力作用的平面汇交力系同样成立。
〔1〕由几何关系数解
根据平面汇交力系平衡的几何条件P、NB和F三个力组成一 个封闭的力三角形，如下图。从图中可知，力三角形是一个 直角三角形，应用三角公式求得
由几何关系，可得
F=Ptanα NB=P/cosα
代入上式可得：
由作用力和反作用力关系可知，碾子对障碍物的压力N’B也等
于23.1kN。
〔2〕图解法
将啮合力P平正交面分解为汇圆周交力P和力径向系力Pr合，(图成(b))，的结果是一个合力，合力的作
例 物体重 P=20 kN，用绳子挂在支架的滑轮B 上，绳子的另1 端接在绞车D 上，如图a 所示。
用线通过力系的汇交点，其大小和方向可由力多 3 个力的大小分别为F1=2 000 N，F2=2 500 N，F3=1 500 N。
定 义：是指各力的作用线位于同一平面内且汇交于同一点的力系
第2章：平面汇交力系
A B
30°
30°
C
P
a
y
SAB B
x
30°
SBC Q 30° P
b
解：
1. 取滑轮B 轴销作为研究对象。
2. 画出受力图（b)。
§2–4 共点力系合成与平衡的解析法
3. 列出平衡方程：
y
Fx 0 SBCcon 30 SAB Qsin 30 0 Fy 0 SBCcos 60 P Q cos 30 0
FB
A
α
x
a
b
x
§2–3 力的投影.力沿坐标轴的分解
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fx
F
cos Fy
F
cos Fz
F
§2–3 力的投影.力沿坐标轴的分解
二、力在平面上的投影：
由力矢F 的始端A 和末端B向投影平面oxy引
SAB B
30°
x
4. 联立求解，得
SAB 54.5kN
SBC Q 30° P
b
SBC 74.5kN
反力SAB 为负值，说明该力实际指向与图上假
定指向相反。即杆AB 实际上受拉力。
§2–4 共点力系合成与平衡的解析法
例题 2-4-3 如图所示，用
起重机吊起重物。起重杆的A
端用球铰链固定在地面上，
证明：
以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力
F1、F2、F3 如图。
F1 A
ห้องสมุดไป่ตู้F2 F3
F1 A
B F2 C
R D F3
x
(a)
(b)
§2–4 共点力系合成与平衡的解析法
平面汇交力系课件PPT
物体在平面上匀速运动
当物体在平面上匀速运动时，受到的 牵引力和阻力可以构成一个平面汇交 力系。
02
平面汇交力系的合成与平衡
合成法则
平面汇交力系合成的几何法
利用力的平行四边形法则，通过几何作图将多个力合成一个 或几个力的过程。
平面汇交力系合成的解析法
通过数学解析的方式，将多个力的矢量合成表示为一个或几 个矢量的过程。
比较测力计读数与理 论值，分析误差产生 的原因。
THANKS
感谢观看
03
平面汇交力系的应用
工程实例分析
桥梁受力分析
通过平面汇交力系分析桥 梁在不同负载下的受力情 况，确保桥梁安全。
建筑结构稳定性
利用平面汇交力系分析建 筑结构的稳定性，预防因 受力不均导致的结构破坏 。
机械零件强度评估
通过平面汇交力系分析机 械零件在各种工况下的受 力情况，确保零件的强度 和可靠性。
特点
01
02
03
力系平衡
平面汇交力系可以处于平 衡状态，即所有力的矢量 和为零。
力的方向
平面汇交力系的各个力的 方向都在同一平面内，且 相交于一点。
力的作用点
平面汇交力系的各个力的 作用点都在同一平面内， 且相交于一点。
实例
物体在平面上静止
当物体在平面上静止时，受到的重力 和支持力可以构成一个平面汇交力系 。
力的分解与合成
力的正交分解
将一个力分解为两个相互垂直的分力 ，便于分析受力情况。
力的合成
根据力的作用效果，将多个分力合成 一个合力，简化受力分析。
力矩的计算
力矩的定义
力矩的计算公式
力矩是力和力臂的乘积，表示力对物 体转动效果的量度。
当物体在平面上匀速运动时，受到的 牵引力和阻力可以构成一个平面汇交 力系。
02
平面汇交力系的合成与平衡
合成法则
平面汇交力系合成的几何法
利用力的平行四边形法则，通过几何作图将多个力合成一个 或几个力的过程。
平面汇交力系合成的解析法
通过数学解析的方式，将多个力的矢量合成表示为一个或几 个矢量的过程。
比较测力计读数与理 论值，分析误差产生 的原因。
THANKS
感谢观看
03
平面汇交力系的应用
工程实例分析
桥梁受力分析
通过平面汇交力系分析桥 梁在不同负载下的受力情 况，确保桥梁安全。
建筑结构稳定性
利用平面汇交力系分析建 筑结构的稳定性，预防因 受力不均导致的结构破坏 。
机械零件强度评估
通过平面汇交力系分析机 械零件在各种工况下的受 力情况，确保零件的强度 和可靠性。
特点
01
02
03
力系平衡
平面汇交力系可以处于平 衡状态，即所有力的矢量 和为零。
力的方向
平面汇交力系的各个力的 方向都在同一平面内，且 相交于一点。
力的作用点
平面汇交力系的各个力的 作用点都在同一平面内， 且相交于一点。
实例
物体在平面上静止
当物体在平面上静止时，受到的重力 和支持力可以构成一个平面汇交力系 。
力的分解与合成
力的正交分解
将一个力分解为两个相互垂直的分力 ，便于分析受力情况。
力的合成
根据力的作用效果，将多个分力合成 一个合力，简化受力分析。
力矩的计算
力矩的定义
力矩的计算公式
力矩是力和力臂的乘积，表示力对物 体转动效果的量度。
平面汇交力系与平面力偶系(工程力学课件)
F
sin
cos
F1 F cot
A
yFAB F'AB
x FDA
F
B F1 C
B F1 FCB
力对点之矩、合力矩定理
力对点之矩、合力矩定理
一、力对点之矩
M O (F ) Fd
说明：
＋
－
① 平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且 与矩心位置有关。 ② 当F=0或d=0时，MO (F ) 0
C
h A
d
l Fy
F 解：1.求MA(F)
D
Fx
F力对A点力臂d的几何关系较复杂不宜确定， 用合力矩定理。
B
M A (F ) M A (Fx ) M A (Fy )
F cos h F sin l
F (cos h sin l)
力对点之矩、合力矩定理
例：图示刚架ABCD, 在D点作用F力,已知力F的方向角为。 求：1.F力对A点的力矩, 2. B点约束力对A点的力矩。
F'
d
aO
＝ MO(F，F')
F
力偶、力偶系的合成与平衡 力偶的性质
③力偶可在其作用平面内任意搬移，而不改变它对物体的转动效应。 ④只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力 的大小和力臂的长短，而不会改变力偶对物体的转动外效应。
25kN 4m
25kN
力偶、力偶系的合成与平衡
力偶的等效
Fy 0 : FBC sin 30 G 0
A
30° B FAB G 30°
B
C
FCB G
x
FBC
G sin 30
2G
210
20kN
《平面力系》PPT课件_OK
解力三角形：
FN
F
cos
又：
cos
R2
(Rh)2 R
1 R
h(2Rh)
FN
FR h (2R h)
9
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
再研究球，受力如图： 作力三角形
解力三角形：
P FN sin
又sin
Rh R
FN FN
FNB= 0时为
球离开地面
P FN sin
F R R h P F(Rh)
（2）力偶对作用面内任一点的矩，与矩心的位置无关。
力偶对点O的矩为Mo（F，F′）,则
M o (F , F ) M o (F ) M o (F ) F(x d) Fx Fd
力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的 大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的 转向：一般以逆时针转向为正，反之为负。
记为M（F，F′） 简记为M。
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
[例] 已知 P=2kN ，求CD所受的力和A处的约束反力。
解：①以AB杆为研究对象 ②画受力图 ③列平衡方程求解
F x 0 RA cos SCD cos 450 0
F y 0 PRAsin SCD sin450 0
tan EB 0.4 1
AB 1.2 3
M Fd 2 AABC
力偶矩的单位：N·m。
Fix 0 Fiy 0
称为平面汇交力系的平衡方程。
14
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
例：如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并 以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略 摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。
力学课件-平面汇交力系
tanθ=
RY = 426
RX
1030
=1115N
θ=22.50
=0.4136
3.3 平面汇交力系平衡的解析法
平面汇交力系平衡的解析条件
力系中各力两个坐标轴上投影代数和均为零。
R Rx2 Ry2 ( X )2 ( Y )2 0
平面汇交力系的平衡方程
X 0
Y 0
3.3 平面汇交力系平衡问题
MA = - 4×2×1 = -8 kN ·m MB = 4×2×1 = 8 kN ·m
例2
R
R
R1 R2
MA（q）=-R•d=-1/2×2×3×1=-3KN•m
MA（q）=-R•d=-4×3×1.5=-28KN•m MA（q）=MA（R1）+MA（R2）=-R1•d1-R2•d2
=-2×3×1.5-1/2×2×3×2 =-1.5KN•m
合力矩定理
平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩 等于该力系中的各分力对该点之矩的代数和
MO(R)=MO(F1)+MO(F2)+… +MO(Fn） =∑MO（Fi）
例
MA（R）=MA（F1）+MA（F2） =F1•h/3-F2•b =Rcos300•h/3-Rsin300•b =146.4KN•M
堂上练习
试求F1 、F2、F3力的合力
Rx=∑X
= F1cos450+F2cos300 =(600×cos450+700×cos300)N
=1030N
பைடு நூலகம்RY=∑Y
=F1 sin450一F2sin30°一F3
=(600×sin450一700×sin300一500)N
=-426N
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刚体静力学中平面汇交力系可以简化为平面共 点力系。 本章研究的两个问题：
平面汇交力系的合成（简 化）和平面汇交力系的平衡。
研究方法： 几何法和解析法。
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平面汇交力系
4
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
1. 合成
连续应用力的三角形法则，将各力依次合成。
ABCD称为力多边形。用几何作图求合力的方法，
称为几何法。
F RF 1F2F3
FRF1F2... Fn
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5
2. 平衡 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是合力为零， 即: FR=0 ；在几何法中，合力为零即为力多边形自 行封闭。
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6
3. 三力平衡汇交定理
若刚体受三个力作用而平衡，且其中两个力的 作用线相交于一点，则其余一个力的作用线必汇交 于同一点，而且三个力的作用线在同一平面内。
平面汇交力系
12
由图知，若已知力 的 大小为F 及其与x轴、y轴的
夹角为a、b，则
FxFcoas
F yF co b s F sa in
即力在某个轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的
正向间夹角的余弦。当a、b 为锐角时，Fx、Fy 均 为正值；当a、b 为钝角时，Fx、Fy 为负值。故力
在坐标轴上的投影是个代数量。
由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两 个未知量。
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19
例 题 2- 3
重物质量m =10 kg, 悬挂在支架铰接点 B 处， A、C 为固定铰支座，杆 件位置如图示，略去支 架杆件重量，求重物处
于平衡时，AB、BC 杆
所受的力。
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20
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16
2. 合力投影定理
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投 影的代数和。
x1 ab, x2 bc,FRx ac FRx x1 x2 FRy y1 y2
同理
FRx x1x2xn FRy y1y2yn
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3. 合成
FR FRx2FRy2
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例 题 2- 1
平面汇交力系
7
利用三力平衡汇交定理确定铰A 处约束力的方位。
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8
思 考 题 2- 1
试指出图示各力多边形中，哪些是自行封闭的？ 哪些不是自行封闭的？如果不是自行封闭，哪个矢 量代表合力？哪些矢量代表分力？
(a)
(b)
(c)
(d)
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21
例 题 2- 3
由于求出的 FAB和 FCB都是正值，所以原先假设 的方向是正确的，即 BC 杆承受拉力，AB 杆承受压
力。若求出的结果为负值，则说明力的实际方向与
原假定的方向相反。
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22
注意：为避免解联立方程，可把一个轴放在与一个 未知力的作用线相垂直的位置上，这个未知力在轴 上的投影为零，于是投影方程中就只有一个未知数， 不必解联立方程。如在下例中
tan a FR y
FR x
FRx Fx
A
FR y
F y
应用合力投影定理，用解析计算的方法求合力 的大小和方向，称为解析法。
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18
4. 平衡
F RF Rx2F Ry20
FRx Fx 0
A
FRy
F 0 y
即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在 x轴和y轴上的投影之代数和均等于零。
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例 题 2- 4
平面汇交力系
24
图(a)
图(b) 这样建立坐标系 FT 和FN相互耦合
图(c) ∑Fx=0, FT－P ·sin30°=0 可求得FT
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平面汇交力系
23
思 考 题 2- 3
重量为 P 的钢管C 搁在斜槽中，如图所示。试
问平衡时是否有 FA = P cosq，FB = P cosq ？为什么？
答: FA=P/(2cosq)
例 题 2- 3 解：取铰B为研究对象，其上作用
有 及三AB个杆力的：约重束力力P；（BF设CA杆为B 的压约力束）力，列FC出B（平设衡为方拉程力）
Fx0, FCcBo3s0FAcBo4s50 Fy0, PFCsBin30FAsBin450
Pmg 联立上述两方程，解得：
FAB= 88.0 N， FCB= 71.8 N。
第 二 章 平面汇交力系
山西农业大学工学院
.
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2
第 2 章 平面汇交力系
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
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平面汇交力系
பைடு நூலகம்
3
平面汇交力系的定义：
若力系中各力的作用线在同一平面内且相交于 一点的力系，称为平面汇交力系。
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平面汇交力系
13
而如将力 F沿正交的
x、y 坐标轴方向分解，则 所 小得与分 力力F在相Fx应、轴Fy上的的大投 影Fx、Fy的绝对值相等。
但是当Ox、Oy 两轴不正
交时，则没有这个关系。
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14
思 考 题 2- 2
试分析在图示的非直角坐标系中，力 F沿 x、y
3. 作出相应的力三角形。
4. 由力三角形中量出：
FA = 17.0 kN
FB = 10.0 kN 用几何法可以求解两个未知量。
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§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
1. 力在坐标轴上的投影
图(a)平行光线照射 下物体的影子
图(b)力在坐标轴 上的投影
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例 题 2- 2
水平梁 AB 中点 C 作用着力 F，其大小等于 20 kN，方向与梁的轴线成 60º角，支承情况如图所 示，试求固定铰链支座 A 和活动铰链支座 B 的约束 力。梁的自重不计。
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10
例 题 2- 2
解：1. 取梁AB作为研究对象。
2. 画出受力图。
轴方向的分力的大小与力 F在x、y 轴上的投影的大
小是否相等？
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15
注意：力的投影是代数量，而力的分量是矢量；投 影无所谓作用点，而分力作用在原力的作用点。
F Fx2Fy2
cosa Fx
Fx2 Fy2
cosb Fy
Fx2 Fy2
式中cosa 和cosb 称为力 F的方向余弦。
平面汇交力系的合成（简 化）和平面汇交力系的平衡。
研究方法： 几何法和解析法。
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§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
1. 合成
连续应用力的三角形法则，将各力依次合成。
ABCD称为力多边形。用几何作图求合力的方法，
称为几何法。
F RF 1F2F3
FRF1F2... Fn
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2. 平衡 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是合力为零， 即: FR=0 ；在几何法中，合力为零即为力多边形自 行封闭。
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3. 三力平衡汇交定理
若刚体受三个力作用而平衡，且其中两个力的 作用线相交于一点，则其余一个力的作用线必汇交 于同一点，而且三个力的作用线在同一平面内。
平面汇交力系
12
由图知，若已知力 的 大小为F 及其与x轴、y轴的
夹角为a、b，则
FxFcoas
F yF co b s F sa in
即力在某个轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的
正向间夹角的余弦。当a、b 为锐角时，Fx、Fy 均 为正值；当a、b 为钝角时，Fx、Fy 为负值。故力
在坐标轴上的投影是个代数量。
由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两 个未知量。
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例 题 2- 3
重物质量m =10 kg, 悬挂在支架铰接点 B 处， A、C 为固定铰支座，杆 件位置如图示，略去支 架杆件重量，求重物处
于平衡时，AB、BC 杆
所受的力。
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2. 合力投影定理
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投 影的代数和。
x1 ab, x2 bc,FRx ac FRx x1 x2 FRy y1 y2
同理
FRx x1x2xn FRy y1y2yn
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3. 合成
FR FRx2FRy2
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例 题 2- 1
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7
利用三力平衡汇交定理确定铰A 处约束力的方位。
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8
思 考 题 2- 1
试指出图示各力多边形中，哪些是自行封闭的？ 哪些不是自行封闭的？如果不是自行封闭，哪个矢 量代表合力？哪些矢量代表分力？
(a)
(b)
(c)
(d)
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21
例 题 2- 3
由于求出的 FAB和 FCB都是正值，所以原先假设 的方向是正确的，即 BC 杆承受拉力，AB 杆承受压
力。若求出的结果为负值，则说明力的实际方向与
原假定的方向相反。
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22
注意：为避免解联立方程，可把一个轴放在与一个 未知力的作用线相垂直的位置上，这个未知力在轴 上的投影为零，于是投影方程中就只有一个未知数， 不必解联立方程。如在下例中
tan a FR y
FR x
FRx Fx
A
FR y
F y
应用合力投影定理，用解析计算的方法求合力 的大小和方向，称为解析法。
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4. 平衡
F RF Rx2F Ry20
FRx Fx 0
A
FRy
F 0 y
即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在 x轴和y轴上的投影之代数和均等于零。
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例 题 2- 4
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24
图(a)
图(b) 这样建立坐标系 FT 和FN相互耦合
图(c) ∑Fx=0, FT－P ·sin30°=0 可求得FT
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23
思 考 题 2- 3
重量为 P 的钢管C 搁在斜槽中，如图所示。试
问平衡时是否有 FA = P cosq，FB = P cosq ？为什么？
答: FA=P/(2cosq)
例 题 2- 3 解：取铰B为研究对象，其上作用
有 及三AB个杆力的：约重束力力P；（BF设CA杆为B 的压约力束）力，列FC出B（平设衡为方拉程力）
Fx0, FCcBo3s0FAcBo4s50 Fy0, PFCsBin30FAsBin450
Pmg 联立上述两方程，解得：
FAB= 88.0 N， FCB= 71.8 N。
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第 2 章 平面汇交力系
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若力系中各力的作用线在同一平面内且相交于 一点的力系，称为平面汇交力系。
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13
而如将力 F沿正交的
x、y 坐标轴方向分解，则 所 小得与分 力力F在相Fx应、轴Fy上的的大投 影Fx、Fy的绝对值相等。
但是当Ox、Oy 两轴不正
交时，则没有这个关系。
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思 考 题 2- 2
试分析在图示的非直角坐标系中，力 F沿 x、y
3. 作出相应的力三角形。
4. 由力三角形中量出：
FA = 17.0 kN
FB = 10.0 kN 用几何法可以求解两个未知量。
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11
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
1. 力在坐标轴上的投影
图(a)平行光线照射 下物体的影子
图(b)力在坐标轴 上的投影
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9
例 题 2- 2
水平梁 AB 中点 C 作用着力 F，其大小等于 20 kN，方向与梁的轴线成 60º角，支承情况如图所 示，试求固定铰链支座 A 和活动铰链支座 B 的约束 力。梁的自重不计。
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例 题 2- 2
解：1. 取梁AB作为研究对象。
2. 画出受力图。
轴方向的分力的大小与力 F在x、y 轴上的投影的大
小是否相等？
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注意：力的投影是代数量，而力的分量是矢量；投 影无所谓作用点，而分力作用在原力的作用点。
F Fx2Fy2
cosa Fx
Fx2 Fy2
cosb Fy
Fx2 Fy2
式中cosa 和cosb 称为力 F的方向余弦。