云南省曲靖市第二中学、大理新世纪中学2021届高三第一次模拟考试数学(理)试卷 Word版含解析

2021届高三第一次模拟考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}21log 0,33xA x xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭∣∣，则A B =（ ）A. {01}xx <<∣ B. {11}x x -<<∣ C. {0}xx >∣ D. R【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合,A B ，再求AB 得解.【详解】{}21log 0{01},3{1}3xA x x x xB x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=<<=<=>-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭∣∣∣∣， 则{01}A B xx ⋂=<<∣. 故选：A【点睛】易错点睛：解不等式2log 0x <容易漏掉函数的定义域{|0}x x >，从而得到1x <，导致出错.解答函数的问题，要注意“定义域优先”的原则.2. 已知,a b ∈R ，若a i +与3bi -互为共轭复数，则2()a bi -=（ ） A. 86i + B. 86i - C. 86i -- D. 86i -+【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数定义求得3,1a b ==,再计算2()a bi -即可.【详解】因为a i +与3bi -互为共轭复数故3,1a b ==,所以22(3)9286i i i i -=-+=-. 故选：B【点睛】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力.3. 定义：10000100010010abcde a b c d e =++++，当五位数abcde 满足a b c <<，且c d e >>时，称这个五位数为“凸数”.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为（ ） A.16B.110C.112D.120【答案】D 【解析】 【分析】由列举法列举出满足条件的基本事件，即可根据古典概型的概率公式求出结果.【详解】由题意，由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：12543,13542,14532,23541,24531,34521,共6个基本事件， 所以恰好为“凸数”的概率为61P 12020==. 故选D【点睛】本题主要考查古典概型，列举法求古典概型的概率只需熟记古典概型的概率公式即可求解，属于基础题型. 4. 若1cos 36πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且263ππα<<，则7sin 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 12-B.12C.12-D.12【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系,结合题中α的范围求出sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭,由两角和的正弦公式即可求解. 【详解】因为263a ππ<<，所以23ππαπ<+<，sin 03πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭2135166⎛⎫--= ⎪⎝⎭， ∴7sin sin sin cos cos sin12343434πππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭352126262=⨯-⨯=70212-.故选：B【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系和两角和的正弦公式;考查运算求解能力;熟练掌握象限角的三角函数符号和两角和的正弦公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.5. 若22n xdx =⎰，则1()2nx x-的展开式中常数项为（ ） A.12B. 12-C.32D. 32-【答案】C 【解析】 试题分析：因为,而,令,故,故,常数项为,应选C ．考点：定积分的计算及二项式定理的运用．6. 函数()3cos x x f x x x -=+在-22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性，以及特殊值即可判断.【详解】因为()33()()()cos cos()x x x xf x f xx x x x----==-=--+-+-又定义域关于原点对称，故该函数为奇函数，排除B和D.又21124fππ⎛⎫=->⎪⎝⎭，故排除C.故选：A.7. 某三棱锥的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1)，则该三棱锥的体积为（）A.23B.43C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积即可. 【详解】由题意，该几何体的直观图为三棱锥A BCD-，如下图，其中AB⊥底面BCD，2AB=，在△BCD中，1BD=，BD边上的高为2，所以三棱锥A BCD-的体积为11121223323BCDV S AB=⋅=⨯⨯⨯⨯=.故选：A ．【点睛】本题考查三视图和几何体之间的转换，考查三棱锥的体积，考查学生的推理能力与计算能力，属于基础题型.8. 抛物线2:(0)C y ax a =>的焦点F 是双曲线22221y x -=的一个焦点，过F 且倾斜角为60︒的直线l 交C 于,A B ，则||AB =（ ）A.4323+ B. 432+ C.163D. 16【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的焦点是双曲线的一个焦点可求出参数a ,由题意写出直线l 的方程然后和抛物线方程联立,再由直线与圆锥曲线的交点弦弦长公式()22121214AB k x x x x =++-即可求出答案.【详解】由抛物线C:2y ax =(0a >)可知焦点F(0,14a),由双曲线22221y x -=的上焦点坐标为(0,1),且抛物线的焦点F(0,14a )是双曲线22221y x -=的一个焦点,可得114a =,得14a =,得抛物线方程为214y x =，由题意得直线l 的方程为y 31x =+,设A ()11,x y ,B ()22,x y联立23114y x y x⎧=+⎪⎨=⎪⎩消y 化简得24340x x --=,则有:12 43x x +=12 4x x =-,所以由弦长公式()()()()222212121413434416AB k x x x x =++-=+--=.故选:D.【点睛】本题考查了抛物线与双曲线焦点的求法,直线方程式的求法以及直线圆锥曲线交点弦弦长公式应用,考查了学生的综合运算能力,这是高考题常见题型,属于一般难度的题.9. 杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在欧洲，帕斯卡（1623～1662）在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了393年.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是( )A. 153B. 171C. 190D. 210【答案】C 【解析】 【分析】根据“杨辉三角”找出数列1，2，3，3，6，4，10，5，…之间的关系即可。

【详解】由题意可得从第3行起的每行第三个数：312,6123,101234=+=++=+++，所以第k (3)k ≥行的第三个数为()122,k +++-在该数列中，第37项为第21行第三个数，所以该数列的第37项为()1919112191902⋅++++==故选：C【点睛】本题主要考查了归纳、推理的能力，属于中等题。

10.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 3cos a B b A c C +=，sin sin sin 0a A c C b A -+=，则ba=（ ） A.53B.73 C.72D.52【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理及cos cos 3cos a B b A c C +=，先求得1cos 3C =，又由正弦定理及sin sin sin 0a A c C b A -+=，得22a c ab -=-，结合余弦定理222cos 2a b c C ab+-=，即可求得本题答案.【详解】在ABC 中，由正弦定理及cos cos 3cos a B b A c C +=， 得sin cos cos sin 3sin cos A B A B C C +=， ∴sin()sin 3sin cos A B C C C +==， 又sin 0C ≠，∴1cos 3C =； 由正弦定理及sin sin sin 0a A c C b A -+=，得22a c ab -=-，又由余弦定理得22221cos 223a b c b ab C ab ab +--===，所以213b a -=，得53b a =． 故选：A【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，考查学生的转化能力和运算求解能力.11. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数0)y x =的图象交于点P ，若函数y =的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点(4,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）A.44B.34C.24D.14【答案】D 【解析】 【分析】设P 的坐标为(m ，函数的导数()f x '=，根据条件可得()4k f m m '===+，可解得4m =，即(4,2)P ，再根据双曲线的定义可求出其a ，从而得到离心率.【详解】设P 的坐标为(m ，由左焦点(4,0)F -，所以PF k =函数的导数()f x '=，则在P 处的切线斜率()4k f m m '===+， 即42m m +=，得4m =，则(4,2)P ，设右焦点为(4,0)A ，则2||||1)a PF PA =-==，即1a =，4c =，∴双曲线的离心率14c e a ==. 故选：D12. 已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有()()2x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x +'>，若()()211ae f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是（ ）A. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. [)0,+∞D. (],0-∞【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()xg x e f x =，根据题意，可得函数()g x 的奇偶性，根据0x <时()()0f x f x +'>，对函数()g x 求导，可得函数()g x 的单调性，将()()211a e f a f a +≥+，左右同乘1a e +，可得()()211211a a e f a e f a +++≥+，即()()211g a g a +≥+，利用()g x 的性质，即可求得答案.【详解】∵()()2x f x e f x -=，∴()()()x x xf xe f x e f x e --==-， 令()()xg x e f x =，则()()g x g x -=，即()g x 为偶函数，当0x <时()()0f x f x +'>，∴()()()'0x x e f x f x g '+⎡⎤⎣⎦>=，即函数()g x 在(),0-∞上单调递增.根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知()g x 在()0,∞+上单调递减， ∵()()211ae f a f a +≥+，∴()()211211a a ef a e f a +++≥+，∴()()211g a g a +≥+，即211a a +≤+， 解得，203a -≤≤， 故选：B .【点睛】解题的关键是将题干条件转化为()()()x x xf x e f x e f x e --==-，根据左右相同的形式，构造函数()()xg x e f x =，再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于()()211a e f a f a +≥+，不符合函数()g x 的形式，需左右同乘1a e +，方可利用函数()g x 的性质求解，属中档题.第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知函数3()(21)2x f x m x e =+-，若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线与直线420x y +-=平行，则m =__________.【答案】13- 【解析】 【分析】先求导2()6(21)2e ,(0)62xf x m x f m ''=+-=-，再根据导数的几何意义，有(0)4f '=-求解.【详解】因为函数3()(21)2xf x m x e =+-， 所以2()6(21)2e ,(0)62xf x m x f m ''=+-=-， 所以624m -=-，解得13m =-. 故答案为：13-【点睛】本题考查导数的几何意义，还考查运算求解能力以及数形结合思想，属于基础题.14. 已知函数3log (1)2,0()(3),0x x f x f x x +-≥⎧=⎨+<⎩，则(2020)f -=________．【答案】1- 【解析】 【分析】根据题意，由函数解析式可得(2020)(23674)(2)f f f -=-⨯=，进而计算得到答案. 【详解】根据题意，当0x <时，()(3)f x f x =+， 所以(2020)(23674)(2)f f f -=-⨯=， 当0x ≥时，3()log (1)2f x x =+-， 所以3log (21)(22)1f +-=-=. 故答案为：1-.【点睛】本题主要考查函数值的计算，涉及分段函数的应用和对数计算，属于基础题.15. 设实数x ，y 满足不等式211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，当3z x y =+时取得最小值时，直线3z x y =+与以(1,1)为圆心的圆相切，则圆的面积为________． 【答案】52π 【解析】 【分析】由实数x ，y 满足不等式211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，作出可行域，将3z x y =+变形为3y x z =-+，平移直线3y x =-，找到最优点，得到z 的最小值，从而得到直线方程，再利用直线与圆相切求解.【详解】由实数x ，y 满足不等式211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，作出可行域如图所示阴影部分，将3z x y =+变形为3y x z =-+，平移直线3y x =-，当直线过点()1,2A -时，在y 轴上的截距最小，此时，3z x y =+取得最小值1-， 直线方程为310x y ++=，圆心到直线的距离为：31110210r d ++===， 所以圆的面积为252S r ππ==． 故答案为：52π【点睛】本题主要考查线性规划求最值以及直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.16. 已知三棱锥P ABC -外接球的表面积为15π，ABC 是边长为3的等边三角形，且平面ABC ⊥平面PAB ，则三棱锥P ABC -体积的最大值为______．【答案】278【解析】 【分析】取AB 中点D ，由题设条件推导出当棱锥P ABC -体积取最大值时，PD AB ⊥，PD ⊥平面ABC ，画出图象，数形结合，由此能求出结果． 【详解】三棱锥P ABC -外接球的表面积为15π，设外接球半径为R根据球的表面积公式可得：2415R ππ= 解得：15R =取AB中点D ，连结PD ，ABC 是边长为3的等边三角形， 3AB BC CA ===∴3333,.22AB CD AD ===根据正弦定理可得：设ABC 外接圆圆心为M ，半为223sin 603AB r ︒=== 可得3r =，由r R <，可知ABC 在球的小圆上(即ABC 外接圆心不与球心O 重合) 根据题意画出图象：过P 作ABC 的垂线，垂足是AB 的中点D 时 所求三棱锥的体积最大，又1332DE DM ==，233CE DM == 222OP OE PE =+，所以22153()()322PE =-= 2222153()(3)2OM OC CM =-=-=所以PD PE DE =+=三棱锥P ABC -体积()211273338ABCV S PD =⋅== 故答案为：278． 【点睛】本题主要考查了球内接三棱锥体积最值问题，解题关键是掌握球内接三棱锥体积最值的求法和椎体体积计算公式，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知数列{}n a 的前n 项和为()()31*1227n n S n N +=-∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2log n n b a =，求12231111n n b b b b b b +++⋯+. 【答案】（1）322()n n a n N -*=∈；（2）31+nn . 【解析】试题分析：（1）根据1n n n a S S -=-得出递推关系式，再计算1a ，从而可求出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）得数列{}n b 的通项公式，结合裂项相消法即可求得12231111n n b b b b b b +++⋯+. 试题解析：（1）当2n ≥时，()()3+132321112222277n n n n n n a S S ---=-=---= 当1n =时，112a S == 312=2⨯-，符合上式 所以()32*2n n a n N -=∈.（2）由（1）得322log 2=32n n b n -=-. ∴12231111111111111[(1)()()]1447(32)(31)34473231n n b b b b b b n n n n +++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-⨯⨯-+-+11(1)33131nn n =-=++． 点睛：本题主要考查等比数列的通项以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查曲靖市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到22⨯列联表如下：（1）将上22⨯列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为X ，求X 的分布列及期望.0.455（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++）（其中n a b c d =+++）【答案】(1)列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为支付方式与年龄有关.；(2)分布列见解析，125. 【解析】 【分析】（1）先补全22⨯列联表，求出2K 的值，根据临界值表得出判断；（2）根据分层抽样，可知35岁以下(含35岁)的人数为8人，35岁以上的有2人，所以获得奖励的35岁以下(含35岁)的人数为X ，则X 的可能为1，2，3，求出概率，得到分布列，求出期望.【详解】(1)根据题意及22⨯列联表可得完整的22⨯列联表如下:根据公式可得22100(40401010)36 6.63550505050K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为支付方式与年龄有关. (2)根据分层抽样，可知35岁以下(含35岁)的人数为4010850⨯=人，35岁以上的有2人， 所以获得奖励的35岁以下(含35岁)的人数为X ， 则X 的可能为1，2，3，且122138282833310101085656(1),(2),(3)12010120C C C C C P X P X P X C C C =========，其分布列为1231201201205EX =⨯+⨯+⨯=.19. 如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是菱形，AC =BC =2，∠CBB 1=3π，点A 在平面BCC 1B 1上的投影为棱BB 1的中点E ．（1）求证：四边形ACC 1A 1为矩形； （2）求二面角E -B 1C -A 1的平面角的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）217- 【解析】 【分析】（1）通过勾股定理得出1CE BB ⊥，又1AE BB ⊥，进而可得1BB ⊥平面AEC ，则可得到1AA AC ⊥，问题得证；（2）如图，以E 为原点，EC ，1EB ，EA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，求出平面1EB C 的法向量和平面11A B C 的法向量，利用空间向量的夹角公式可得答案. 【详解】（1）因为AE ⊥平面11BB C C ，所以1AE BB ⊥， 又因为1112BE BB ==，2BC =，3EBC π∠=，所以3CE = 因此222BE CE BC +=，所以1CE BB ⊥， 因此1BB ⊥平面AEC ，所以1BB AC ⊥，从而1AA AC ⊥，又四边形11ACC A 为平行四边形， 则四边形11ACC A 为矩形；（2）如图，以E 为原点，EC ，1EB ，EA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，所以11(0,0,1),(0,2,1),(0,1,0),(3,0,0)A A B C ，平面1EB C 的法向量(0,0,1)m =，设平面11A B C 的法向量(,,)n x y z =， 由1(,,)(3,1,0)03n CB x y z y x ⊥⇒⋅-=⇒=， 由11(,,)(0,1,1)00n B A x y z y z ⊥⇒⋅=⇒+=， 令13,3x y z =⇒==-，即(1,3,3)n =-，所以，321cos ,17m n -<>==-⨯， 所以，所求二面角的余弦值是217-.【点睛】本题考查空间垂直关系的证明，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力，是中档题.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3，且椭圆C 过点32,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 右焦点的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且与圆22:2O x y +=交于E F 、两点，求2||||AB EF ⋅的取值范围.【答案】(1)22132x y +=；(2)163,1633⎡⎢⎣. 【解析】 【分析】（1）先利用离心率得到,a b 的关系，再利用点在椭圆上得到,a b 另一个关系，解方程即得椭圆方程；（2）先讨论斜率不存在时2||||AB EF ⋅的值，再设斜率存在时的直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理求弦长||AB ，再利用几何法求圆中的弦||EF 的长，最后计算2||||AB EF ⋅的取值范围即可.【详解】解：（1）由已知可得33c a =，所以2213c a =，故222223b a c a =-=，即2232a b =， 所以椭圆的方程为2222132x y b b +=，将点32,22⎛⎫ ⎪⎝⎭带入方程得22b =，即23a =，所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=；（2）由（1）知，21c =，故椭圆的右焦点为(1,0)， ①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =，则23231,,1,,(1,1),(1,1)A B E F ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以2243163||,||4,||||AB EF AB EF ==⋅=； ②若直线l 的斜率存在，设直线l 方程为(1)y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线l 与椭圆方程()221321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得()2222236360k x k x k +-+-=， 则2122623k x x k+=+，21223623k x x k -=+， 所以)22123k AB k +===+， 因为圆心()0,0到直线l 的距离d =，所以在圆22:2O x y+=中由21||2EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭知，()()222222242||44211k kEF r d k k +⎛⎫=-=-= ⎪++⎝⎭，所以)())2222222221422222312333k k k k AB EF k k k k ++++⋅=⋅==++++243123k ⎫⎪=+⎪ ⎪+⎝⎭，因为[)20k ∈+∞，，则222,33k ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭，230,2213k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦+，故(]20,22433k ∈+，(]24311,323k +∈+243123k ⎫⎪+∈⎪⎝ ⎪+⎝⎭，即2||AB EF ⋅∈⎝，综上，2||AB EF ⋅∈⎣.【点睛】思路点睛：求解椭圆中的弦长问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及弦长公式，即可求出结果；有时也可由直线与椭圆方程联立求出交点坐标，根据两点间距离公式求出弦长.21. 已知函数()ln ,xe f x a x ax a R x=--+∈.（1）当0a <时，讨论()f x 的单调性；（2）设()()()g x f x xf x '=+，若关于x 的不等式2()(1)2xxg x e a x ≤-++-在[1,2]上有解，求a 的取值范围.【答案】(1)()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；(2)(,0]-∞. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，得到()2(1)()xax e x f x x--'=，由0a <判定0xax e-<恒成立，进而可确定函数单调性；（2）先得到()ln 2xg x a x e ax a =--+-，根据题中条件，得出存在0[1,2]x ∈，使得2000ln (1)02x a x a x a -++--≤成立，令2()ln (1),[1,2]2x h x a x a x a x =-++--∈，对其求导，讨论1a ≤，12a <<，2a ≥三种情况，分别判定函数单调性，求出最值，列出对应不等式求出a 的值，即可得出结果.【详解】(1)由题意知，()22(1)()xx x ax e x a xe e f x a x x x---'=--+=， 令()()(1)xF x ax ex =--，当0a <时，0xax e-<恒成立，∴当1x >时，()0<F x ，即()0f x '>；当01x <<时，()0F x >，即()0f x '<； ∴函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减.(2)因为2()()()ln xx x e a xe e g x f x xf x a x ax x a x x x ⎛⎫-'=+=--++--+ ⎪⎝⎭ln 2x a x e ax a =--+-，由题意知，存在0[1,2]x ∈，使得()02000(1)2x x g x e a x ≤-++-成立. 即存在0[1,2]x ∈，使得2000ln (1)02x a x a x a -++--≤成立； 令2()ln (1),[1,2]2x h x a x a x a x =-++--∈， ()(1)()1,[1,2]a x a x h x a x x x x'---∴=++-=-∈， ①当1a ≤时，对任意[1,2]x ∈，都有()0h x '≤，∴函数()h x 在[1,2]上单调递减，min ()(2)ln 20h x h a a ∴==-+≤成立，解得0a ≤，0a ∴≤；②当12a <<时，令()0h x '>，解得1x a <<；令()0h x '<，解得2a x <<，∴函数()h x 在[1,]a 上单调递增，在[],2a 上单调递减， 又1(1)2h =，(2)ln 20h a a ∴=-+≤，解得0,a a ≤∴无解； ③当2a ≥时，对任意的[1,2]x ∈，都有()0h x '≥，∴函数()h x 在[1,2]上单调递增，min 1()(1)02h x h ∴==>，不符合题意，舍去； 综上所述，a 的取值范围为(,0]-∞.【点睛】思路点睛：根据导数的方法研究不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=（1）若l 与C 相交于,A B 两点，()2,0P -，求PA PB ⋅；（2）圆M 的圆心在极轴上，且圆M 经过极点，若l 被圆M 截得的弦长为1，求圆M 的半径．【答案】（1）6；（2）13.【解析】【分析】（1）将直线参数方程代入圆C的直角坐标方程，利用12PA PB t t ⋅=求解得到结果；（2）写出l 的普通方程并假设圆M 的直角坐标方程，利用弦长为1建立a 与d 的关系，再结合圆心到直线距离公式得到方程，解方程求得a ，即为圆的半径.【详解】（1）由ρ=2210x y += 将122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2210x y +=，得2260t t --= 设,AB 两点对应的参数分别为12,tt ，则126t t =- 故126PA PB t t ⋅== （2）直线l 0y -+=设圆M 的方程为()()2220x ay a a -+=> 圆心(),0a 到直线l 的距离为d = 因为1=，所以()22232144a d a +=-= 解得：13a =或1a =-（舍）则圆M 的半径为13【点睛】本题考查直线参数方程中参数的几何意义、极坐标与直角坐标的互化、参数方程化普通方程.解决直线参数方程问题中距离之和或积的关键，是明确直线参数方程标准形式中的参数的几何意义，将距离问题转化为韦达定理的形式.选修4-5：不等式选讲23. 已知函数()3124f x x x =+--.（1）求不等式()3f x >的解集；（2）若对任意x ∈R ，不等式()228f x x t t --≤-恒成立，求t 的取值范围， 【答案】（1）4(,10),5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）(][),19,-∞-+∞【解析】【分析】 （1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式()3f x >的解集；（2）利用绝对值三角不等式求出()2f x x --的最大值，得出关于t 的不等式，求出解集即可．【详解】（1）当1x <-时，()3(1)(24)3f x x x =-++->，解得10x <-；当12x -≤≤时，()3(1)(24)3f x x x =++->，解得45x >，则425x <≤； 当2x >时，()3(1)(24)3f x x x =+-->，解得4x >-，则2x >.综上，不等式()3f x >的解集为4(,10),5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭； （2）()|2|3|1||24||2|f x x x x x --=+----3|1|3|2|x x =+--|33||36|x x =+--|33(36)|9x x ≤+--=，若对任意x ∈R ，不等式2()|2|8f x x t t --≤-恒成立，则289t t -≥，解得1t ≤-或9t ≥.因此，实数t 的取值范围是(][),19,-∞-+∞.【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用，同时考查了不等式恒成立问题，属于中档题．。