2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(一)

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2019年高考理科数学考前30天--填空题专训(一)含答案

2019年高考理科数学考前30天--填空题专训（一）题组一填空题：本大题共4小题，每小题5分．1．等比数列各项均为正数，，则 __________．【答案】20【解析】由，得，所以．2．已知实数、满足，则的最大值为_______．【答案】4【解析】可行域如图所示，当动直线过点时，有最大值，又由得，故的最大值为4．故填4．{}n a 384718a a a a +=1210333log log log a a a ++⋯+=384718a a a a +=479a a=121033log log a a a ++⋯+=555101210110473333)log )log )log 2log 320a a a a a a a ⋯=====x y 2035000x y x y x y -⎧⎪-+⎪⎨>⎪⎪>⎩≤≥2z x y =+20x y z +-=A 2350y xx y =⎧⎨-+=⎩()1,2A3．两个不共线向量、的夹角为，、分别为线段、的中点，点在直线上，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】因为、、三点共线，所以，所以，，，表示原点与直线动点的距离的平方，它的最小值为，填． 4．若函数对定义域内的每一个，都存在唯一的，使得成立，则称为“自倒函数”．给出下列命题：①是自倒函数；OA OB q M N OA OB C MN (),OA OB OC x y x y =+∈R 22x y +18C M N ()1122t t OC OM ON OA t t OB -=+-=+2tx =12t y -=12x y +=22x y +102x y +-=218=⎝⎭18()y f x =D 1x 2x D ∈()()121f x f x ⋅=()f x ()ππsin 2,22f x x x ⎫⎡⎤=+∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎭②自倒函数可以是奇函数； ③自倒函数的值域可以是；④若，都是自倒函数，且定义域相同，则也是自倒函数．则以上命题正确的是________（写出所有正确命题的序号）．【答案】①②【解析】为上的单调函数，否则方程不止一个实数解．对于①，在是单调增函数，且其值域为，对于任意的，则，故在有唯一解，①正确；对于②，取，，的值域为，因为在和都是单调减函数，故对于，有唯一解，，为“自倒函数”，②正确；对于③，如果的值域为，取，无解，③不正确；④取，，其中，它们都是“自倒函数”，但是，这是常数函数，它不是“自倒函数”．题组二1．在中，若，则．【解析】由正弦定理得，∴可设，，，∴．()f x ()f x R ()y f x =()y g x =()()y f x g x =⋅()f x D ()()11f x f x =()sin f x x =ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦221⎡⎤⎣⎦21t ⎡⎤∈⎣⎦121t ⎤∈⎦()1f x t =ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2x x =()1f x x =()(),00,x ∈-∞+∞()f x ()(),00,-∞+∞()1f x x=(),0-∞()0,+∞()(),00,t ∈-∞+∞()f x t =2x x =()1f x x=()(),00,x ∈-∞+∞()f x R ()10f x =()201f x ⨯=()f x x =()1g x x=()(),00,x ∈-∞+∞()()()1F x f x g x =⋅=ABC △sin :sin :sin 3:4:6A B C =cos B =::3:4:6a b c =3a k =4b k =()60c k k =>2229361629cos 23636k k k B k k +-==⨯⨯【答案】2．若，则．【解析】∵，∴，， ∴，，∴．【答案】5933．若的展开式中的系数为20，则．【解析】∵的展开式中的系数为，∴．【答案】4．已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则．【解析】由题可知四面体的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，如图所示，设，，，，，∴，∴．【答案】2936()()2332log log log log 2x y ==x y +=()()2332log log log log 2x y ==3log 4x =2log 9y =4381x ==92512y ==81512593x y +=+=()()512x a x ++3x a =()()512x a x ++3x 23554C 8C 20a +=14a =-14-ABCD 9πO AB CD a ==5AC AD BC BD ====a =ABCD AF x =BF y =CF z =22225x z y z +=+=22224π9πx y z ++⨯=⎝⎭2x y ==2=2a =。

2019年高考(理科)数学考前必做基础30题(解析版)

2019年高考（理科）数学考前必做基础30题1．已知集合，，则（） A.B.C.D.2．已知全集U 是实数集R ，右边的韦恩图表示集合{}2M x x =与{|13}N x x =<<的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（）A ．{|2}x x <B ．{|12}x x <<C ．{}3x x D ．{|1}x x ≤ 3．若变量满足约束条件，则的最小值是（）A.B.C.D.4．已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()2120f x f x ++-<的解集是（） A ． 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B ． 1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ． ()3,+∞D ． (),3-∞5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ： 2221x y -=，过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积（）A ．4 B ．2 C ．8 D ．166．已知为定义在上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为（）A. B. C. D.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积等于（）A ．B ．3πC ．8πD ．12π8．如图，分别以,A C 为圆心，正方形ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（）A.12 B. 22π- C. 14 D. 24π-9．将函数()22sin cos f x x x x =-(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（） A ．23π B ． 3π C ． 2π D ． 6π10．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，则选中的花中没有红色的概率为（）A ．B ．C ．D ．11．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A. -2B. -1C. 12-D. 1212．已知向量，且，则等于__________．13．在正项等比数列{}n a 中， 26,a a 是231030x x -+=的两个根，则242611a a a ++=__________． 14．已知1112ni i =-+，其中n 是实数， i 虚数单位，那么n =__________． 15．下面茎叶图记录了甲、乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为13，乙班数据的中位数为17，那么x 的位置应填__________， y 的位置应填__________．16．若的展开式中的系数为80，则_______.17．已知2,a b =是单位向量，且a 与b 夹角为60°，则()·a a b -等于__________． 18．函数()sin (0,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的最大值为2，它的最小正周期为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()cos g x x f x =⋅，求()g x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.19．已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小； (2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长.20．已知直线l 的参数方程是2{x y ==+（t 是参数），圆C 的极坐标方程为4cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．21．某钢厂打算租用A ，B 两种型号的火车车皮运输900吨钢材， A ，B 两种车皮的载货量分别为36吨和60吨，租金分别为1.6万元/个和2.4万元/个，钢厂要求租车皮总数不超过21个，且B 型车皮不多于A 型车皮7个，分别用x ，y 表示租用A ，B 两种车皮的个数.（Ⅰ）用x ，y 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）分别租用A ， B 两种车皮的个数是多少时，才能使得租金最少？并求出此最小租金.22．如图，在各棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中， D ， E 分别为棱11A B 与1BB 的中点， M ， N 为线段1C D 上的动点，其中， M 更靠近D ，且1MN C N =.（1）证明： 1A E ⊥平面1AC D ；（2）若NE 与平面11BCC B ，求异面直线BM 与NE 所成角的余弦值.23．某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有1张印有“一等奖”的卡片， 2张印有“二等奖”的卡片， 3张印有“新年快乐”的卡片，抽中“一等奖”获奖200元，抽中“二等奖”获奖100元，抽中“新年快乐”无奖金.（1）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回.假如小张一定要P A的值；将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记A表示“小张恰好抽奖4次停止活动”，求()（2）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取2张卡片.P B的值；①%2记B表示“小王参加抽奖活动中奖”，求()②设X表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求X的分布列和数学期望.24．如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知AO面EFD．FA⊥平面,=为BC的中点, //CE OABC2,AB=2,AF=3,(1)求BD的长；(2)求证：面EFD⊥面BCED；(3)求平面DEF与平面ACEF相交所成锐角二面角的余弦值．25．如图1，四边形ABCD 中， AC BD ⊥， 2222CE AE BE DE ====，将四边形ABCD 沿着BD 折叠，得到图2所示的三棱锥A BCD -，其中AB CD ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面BAD ；（2）若F 为CD 中点，求二面角C AB F --的余弦值．12BA ⎛= ⎝⎭，31,,02BF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量(),,u a b c =，由0u BA ⋅=及0u BF ⋅=得10,2{30,2a b a b +=+= 26．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a （a 为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a ，求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望. 27．四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的菱形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,BCD ∠=60°,PA PD ==E 是BC 中点,点Q 在侧棱PC 上.（Ⅰ）求证: AD PB ⊥;（Ⅱ）是否存在Q ,使平面DEQ ⊥平面PEQ ？若存在,求出,若不存在,说明理由.（Ⅲ）是否存在Q ,使//PA 平面DEQ ？若存在,求出.若不存在,说明理由.28．如图，D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点，AC ．（I ）若30DAC ∠=，求角B 的大小；（II ）若2BD DC =，且AD =DC 的长．29．某企业有甲、乙两条生产线生产同一种产品，为了检测两条生产线产品的质量情况，随机从两条生产线生产的大量产品中各抽取了 40件产品作为样本，检测某一项质量指标值，得到如图所示的频率分布直方图，若，亦则该产品为示合格产品，若，则该产品为二等品，若，则该产品为一等品.（1）用样本估计总体的思想，从甲、乙两条生产线中各随机抽取一件产品，试估计这两件产品中恰好一件为二等品，一件为一等品的概率；（2）根据图1和图2，对两条生产线从样本的平均值和方差方面进行比较，哪一条生产线更好；（3）从甲生产线的样本中，满足质量指标值在的产品中随机选出3件，记为指标值在中的件数，求的分布列和数学期望•30．已知曲线的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）求曲线与交点的平面直角坐标；（Ⅱ）两点分别在曲线与上，当最大时，求的面积(为坐标原点).2019年高考（理科）数学考前必做基础30题答案及解析1．已知集合，，则（） A. B. C.D.【答案】D2．已知全集U 是实数集R ，右边的韦恩图表示集合{}2M x x =与{|13}N x x =<<的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（）A ．{|2}x x <B ．{|12}x x <<C ．{}3x x D ．{|1}x x ≤ 【答案】D【解析】阴影部分表示的集合为()U M N ⋃ð，由题{}1M N x x ⋃=，所以(){|1}U M N x x ⋃=≤ð，故选择D ． 3．若变量满足约束条件，则的最小值是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．由得．平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值．由解得，故点．∴．故选B ．4．已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()2120f x f x ++-<的解集是（） A ． 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B ． 1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ． ()3,+∞D ． (),3-∞ 【答案】D5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ： 2221x y -=，过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积（）A ．4 B ．2 C ．8 D ．16【答案】C6．已知为定义在上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为（）A. B. C.D.【答案】D 【解析】当时，，则在上是增函数，且当]时，， ∵，∴的周期为2．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积等于（）A ．B ．3πC ．8πD ．12π【答案】D【解析】根据三视图可画出该空间几何体，如下图所示．其中2AB BD CD ===，AB BCD ⊥平面，BD CD ⊥，所以外接球的直径为AC =2412ππ=8．如图，分别以,A C 为圆心，正方形ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（）A.12 B. 22π- C. 14 D. 24π- 【答案】B【解析】设正方形的面积为1，阴影部分由两个弓形构成，每个弓形的面积为11212224ππ-⨯⨯-= 故所求的概率为222412ππ-⨯-= 9．将函数()22sin cos f x x x x =-(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（） A ．23π B ． 3π C ． 2π D ． 6π【答案】D10．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，则选中的花中没有红色的概率为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】从红、黄、白、紫种颜色的花中任选种花种在一个花坛中共有中，其中选中的花中没有红色共有种，故其概率为，故选A ．11．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A. -2B. -1C. 12-D. 12【答案】B 【解析】若输入2S =-，则执行循环得1313,2;,3;2,4;,5;,6;3232S k S k S k S k S k =====-=====132,7;,8;,9;32S k S k S k =-=====结束循环，输出32S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入1S =-，则执行循环得11,2;2,3;1,4;,5;2,6;22S k S k S k S k S k =====-===== 11,7;,8;2,9;2S k S k S k =-=====结束循环，输出2S =，符合题意；若输入12S =-，则执行循环得212,2;3,3;,4;,5;3,6;323S k S k S k S k S k =====-=====12,7;,8;3,9;23S k S k S k =-=====结束循环，输出3S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入12S =，则执行循环得12,2;1,3;,4;2,5;1,6;2S k S k S k S k S k ===-======-=1,7;2,8;1,9;2S k S k S k =====-=结束循环，输出1S =-，与题意输出的2S =矛盾；综上选B. 12．已知向量，且，则等于__________．【答案】13．在正项等比数列{}n a 中， 26,a a 是231030x x -+=的两个根，则242611a a a ++=__________．【答案】133【解析】因为{}n a 为等比数列，所以2264a a a =，又262610,1a a a a +==，所以24261011133113a a a ++=+=，填133．14．已知1112ni i =-+，其中n 是实数， i 虚数单位，那么n =__________．【答案】12【解析】()()111111122i i i i i -==-++-，根据复数相等的充要条件可知，12n =.15．下面茎叶图记录了甲、乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为13，乙班数据的中位数为17，那么x 的位置应填__________， y 的位置应填__________．【答案】 3 8【解析】甲班平均数8913151020136x ++++++=，解得3x =；乙班共6个数据，中位数应为10106172y +++=，解得8y =.16．若的展开式中的系数为80，则_______.【答案】【解析】分析：先求出二项式的通项，然后通过组合的方法得到展开式中的系数后求得的值．详解：二项式展开式的通项为，故展开式中的系数为，由题意得，解得．17．已知2,a b =是单位向量，且a 与b 夹角为60°，则()·a a b -等于__________．【答案】3【解析】()21||42132a ab a a b ⋅-=-⋅=-⨯⨯=18．函数()sin (0,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的最大值为2，它的最小正周期为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()cos g x x f x =⋅，求()g x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】（1）()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）详见解析. 【解析】（1）由已知()f x 最小正周期为2π，所以22ππω=，解得1ω=.因为()f x 的最大值为2，所以2A =，所以()f x 的解析式为()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.19．已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小； (2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长.【答案】(1)(2).【解析】（1）由题意，所以（2）因为所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，20．已知直线l的参数方程是2{x t y ==+（t 是参数），圆C 的极坐标方程为4cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅱ）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为=≥，∴直线l上的点向圆C 引的切线长的最小值为21．某钢厂打算租用A ，B 两种型号的火车车皮运输900吨钢材， A ，B 两种车皮的载货量分别为36吨和60吨，租金分别为1.6万元/个和2.4万元/个，钢厂要求租车皮总数不超过21个，且B 型车皮不多于A 型车皮7个，分别用x ，y 表示租用A ，B 两种车皮的个数.（Ⅰ）用x ，y 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）分别租用A ， B 两种车皮的个数是多少时，才能使得租金最少？并求出此最小租金. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）分别租用A 、B 两种车皮5个，12个时租金最小，且最小租金为36.8万. 【解析】（Ⅰ）由已知x ， y 满足的数学关系式为3660900,21,{7,0,0.x y x y y x x y +≥+≤-≤≥≥该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分所示.22．如图，在各棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为棱11A B 与1BB 的中点， M ， N 为线段1C D 上的动点，其中， M 更靠近D ，且1MN C N =.（1）证明： 1A E ⊥平面1AC D ；（2）若NE 与平面11BCC B，求异面直线BM 与NE 所成角的余弦值.【答案】（1）见解析（2（2）解：取BC 的中点O ， 11B C 的中点1O ，则AO BC ⊥， 1OO BC ⊥，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0B ， ()0,1,1E ， ()10,1,2C -，1,22D ⎫⎪⎪⎝⎭，设11C N C D λ=3,,02λ⎫=⎪⎪⎝⎭，则11NE C E C N =- ()30,2,1,,02λ⎫=--⎪⎪⎝⎭3,2,12λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，易知()1,0,0n =是平面11BCC B 的一个法向量，∴cos ,NE n==，解得13λ=.∴33,,12NE ⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭， 112C M C D λ= ⎫=⎪⎪⎝⎭， 11BM BC C M =+1,2⎫=-⎪⎪⎝⎭，， ∴cos ,NE BM132---==∴异面直线NE 与BM23．某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有1张印有“一等奖”的卡片， 2张印有“二等奖”的卡片， 3张印有“新年快乐”的卡片，抽中“一等奖”获奖200元，抽中“二等奖”获奖100元，抽中“新年快乐”无奖金.（1）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回.假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记A 表示“小张恰好抽奖4次停止活动”，求()P A 的值；（2）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取2张卡片. ①%2记B 表示“小王参加抽奖活动中奖”，求()P B 的值；②设X 表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）320；（2）见解析【解析】（1）()11333346320C C A P A A ⋅⋅== （2）①()2326415C P B C =-=②由题意可知X 可取的值为0， 100， 200， 300，则()2326105C P X C ===； ()11232621005C C P X C ===()212326420015C C P X C +===； ()1226230015C P X C ===因此X 的分布列为X 的数学期望是()124240001002003005515153E X =⨯+⨯+⨯+⨯=24．如图所示的几何体是由以等边三角形ABC 为底面的棱柱被平面DEF 所截而得，已知FA ⊥平面,ABC 2,AB = 2,AF = 3,CE O =为BC 的中点, //AO 面EFD ．(1)求BD 的长；(2)求证：面EFD ⊥面BCED ；(3)求平面DEF 与平面ACEF 相交所成锐角二面角的余弦值．【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3【解析】（1）取ED 的中点P ，连接,PO PF ,则PO 为梯形BCED 的中位线，322BD CE BD PO ++==又//,//PO BD AF BD ,所以//PO AF所以,,,A O P F 四点共面,因为//AO 面EFD ，且面AOPF ⋂面EFD PF =所以//AO PF所以四边形AOPF 为平行四边形， 2PO AF ==所以1BD =（2）由题意可知平面ABC ⊥面BCED ；又AO BC ⊥且AO ⊂平面ABC 所以AO ⊥面BCED ，因为//AO PF 所以PF ⊥面BCED 又PF ⊂面EFD ，所以面EFD ⊥面BCED ；.设平面的法向量为(),,1n x y =， ()()1,0,1,PE PF ==由·0{·0n PF n PE ==得0{ 1y x ==- 所以()1,0,1n =-所以6cos ,BQ n BQ n BQ n⋅==-，由所求二面角为锐二面角角，所以平面与平面ACEF 相交所成锐角二面角的余弦值． 25．如图1，四边形ABCD 中， AC BD ⊥， 2222CE AE BE DE ====，将四边形ABCD 沿着BD 折叠，得到图2所示的三棱锥A BCD -，其中AB CD ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面BAD ；（2）若F 为CD 中点，求二面角C AB F --的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）5【解析】（Ⅰ）因为AE BD ⊥且BE DE =，可得ABD ∆为等腰直角三角形，则AB AD ⊥，又AB CD ⊥，且A D C D ⊂、平面ACD ， AD CD D ⋂=，故AB ⊥平面ACD ，又AB ⊂平面BAD ，所以平面ACD ⊥平面BAD .（Ⅱ）以E 为原点，以EC 的方向为x 轴正方向， ED 的方向为y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.过A 点作平面BCD 的垂线，垂足为G ，根据对称性，显然G 点在x 轴上，设AG h =.由题设条件可得下列坐标：()0,0,0E ，()2,0,0C ，()0,1,0B -，()0,1,0D，)Ah ，11,,02F ⎛⎫⎪⎝⎭.()1BA h=，()2,1,0DC =-，由于A BC D ⊥，所以210B A D C h ⋅=-=，解得h =，则A 点坐标为1,0,22A ⎛⎝⎭.由于12BA ⎛= ⎝⎭，31,,02BF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量(),,u a b c =，由0u BA ⋅=及0u BF ⋅=得10,2{30,2a b a b +=+=26．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a （a 为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a ，求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望. 【答案】(1)1314 (2) ()132E X a =【解析】（1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A ，则()()4548131114C P A P A C =-=-=（2）由题意可得： 5,6,7,8X a a a a =.()()312235354488513035,67014707C C C C P X a P X a C C ========, ()()1343554488303517,87077014C C C P X a P X a C C ========.()13311356781477142E X a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯= 27．四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的菱形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,BCD ∠=60°, PA PD ==E 是BC 中点,点Q 在侧棱PC 上.（Ⅰ）求证: AD PB ⊥;（Ⅱ）是否存在Q ,使平面DEQ ⊥平面PEQ ？若存在,求出,若不存在,说明理由. （Ⅲ）是否存在Q ,使//PA 平面DEQ ？若存在,求出.若不存在,说明理由.【答案】（I ）详见解析；（II ）详见解析；（III ）详见解析.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知, ,BO AD PO AD ⊥⊥,因为侧面PAD ⊥底面A B C D ,且平面PAD ⋂底面A B C D A D =,所以PO ⊥底面A B C D .以O 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系O xyz -.则()()()()1,0,0,,0,0,1,D E P C ---,因为Q 为PC 中点,所以12Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.所以()10,3,0,0,2DE DQ ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,所以平面DEQ 的法向量为()11,0,0n =. 因为()11,3,0,0,22DC DQ ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,设平面DQC 的法向量为()2,,n x y z =,则220{0DC n DQ n ⋅=⋅=,即301022xy y z -+=+=. 令3x =,则1,y z ==即(23,1,n =.所以12121221cos ,n n n n n n ⋅==. 由图可知,二面角E DQ C --为锐角,所以余弦值为7. （Ⅲ）设()01PQ PC λλ=≤≤由（Ⅱ）可知()()2,3,1,1,0,1PC PA =--=-. 设(),,Q x y z ,则(),,1PQ x y z =-,又因为()2,PQ PC λλλ==--,所以2{ 1x y z λλ=-==-+,即()2,1Q λλ--+.所以在平面DEQ 中, ()()0,3,0,12,1DE DQ λλ==--, 所以平面DEQ 的法向量为()11,0,21n λλ=--, 又因为//PA 平面DEQ ,所以10PA n ⋅=, 即()()()11210λλ-+--=,解得23λ=. 所以当23λ=时, //PA 平面DEQ28．如图，D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点，AC =．（I ）若30DAC ∠=，求角B 的大小；（II ）若2BD DC =，且AD =DC 的长．【答案】（I ）60B ∠=°；（II ）2.29．某企业有甲、乙两条生产线生产同一种产品，为了检测两条生产线产品的质量情况，随机从两条生产线生产的大量产品中各抽取了 40件产品作为样本，检测某一项质量指标值，得到如图所示的频率分布直方图，若，亦则该产品为示合格产品，若，则该产品为二等品，若，则该产品为一等品.（1）用样本估计总体的思想，从甲、乙两条生产线中各随机抽取一件产品，试估计这两件产品中恰好一件为二等品，一件为一等品的概率；（2）根据图1和图2，对两条生产线从样本的平均值和方差方面进行比较，哪一条生产线更好；（3）从甲生产线的样本中，满足质量指标值在的产品中随机选出3件，记为指标值在中的件数，求的分布列和数学期望•【答案】（1）（2）乙生产线更好（3）见解析（2）设两条生产线样本的平均值分别为，则，，由频率分布直方图可知，甲生产线的数据较为分散，乙生产线的数据较为集中，所以甲生产线的数据方差大于乙生产线的数据方差，所以乙生产线更好.（3）甲生产线样本质量指标值在的件数为，质量指标值在的件数为，由题意可知的取值为0，1，2，3；所以，，，.所以的分布列为：的数学期望.30．已知曲线的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）求曲线与交点的平面直角坐标；（Ⅱ）两点分别在曲线与上，当最大时，求的面积(为坐标原点). 【答案】（1）；（2）．由平面几何知识可知，当依次排列且共线时，最大，此时，到的距离为，∴的面积为.2019年高考（理科）数学考前必做基础30题（解析版）第（31）页。

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(六)

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（六）17．已知是正项数列的前项和，，．（1）证明：数列是等差数列；（2）当时，，求数列的前项和．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）当时，有，∴，∴，又∵，∴，当时，有，∴，∴，∴数列是以为首项，为公差的等差数列．（2）由（1）及，得，∴， n S {}n a n 2a λ=()2112n n n S a a n λλ+++=-∈N {}n a 2λ=()2n n n a b n +=∈N {}n b n n T 1222n n nn T +--=2n ≥2112122n n n n n n S a a S a aλλλλ++-⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩221122n n n n n a a a a a λλλ++=--+()()()1112n n n n n n a a a a a a λ+++-+=+0n a >12n n a a λ+-=1n =2212222S a a λλλ=-=12a λ=212a a λ-={}n a 12a λ=2d λ=2λ=n a n =2n nn b =则，，， ∴．18．在某公司的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如图所示．食堂某天购进了90个面包，以（个）（其中）表示面包的需求量，（元）表示利润．（1）根据直方图计算需求量的中位数；（2）估计利润不少于100元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求的数学期望．【答案】（1）85个；（2）0.75；（3）142．【解析】（1）需求量的中位数（个）（其它解法也给分）．（2）由题意，当时，利润，()123123*2222n n n T =+++⋅⋅⋅+()2311121**22222n n n n n T +-=++⋅⋅⋅++()()12311111111111122***1122222222212n n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎝⎭-==+++⋅⋅⋅+-=-=---111222222n n n n nn n T +---=--=x 60110x ≤≤T T T 8090852+=6090x ≤≤()51903904180T x x x =+⨯--⨯=-当时，利润，即．设利润不少于100元为事件，利润不少于100元时，即， ∴，即，由直方图可知，当时，所求概率：．（3）由题意，由于，，，故利润的取值可为：80，120，160，180，且，，，，故得分布列为：利润的数学期望：． 19．如图，在三棱锥中，，、分别为线段、上的点，且，，，．（1）求证：平面；90110x <≤590390180T =⨯-⨯=()()4180609018090110x x T x -⎧⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤T A T 4180100x -≥70x ≥70110x ≤≤70110x ≤≤()()()110.02570600.75P A P A =-=-⨯-=46518080⨯-=475180120⨯-=485180160⨯-=T ()800.25P T ==()1200.15P T ==()1600.20P T ==()1800.40P T ==()800.251200.151600.201800.4020183272142E T =⨯+⨯+⨯+⨯=+++=P ABC -24AB BC ==AC =D E AB BC 3AD DB =3CE EB =PD AC ⊥PE BC ⊥CD ⊥PAB（2）若与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2．【解析】（1）证明：连接，据题知，，，， ∵在中，，，∴，且∴，∴，即，又，，∴平面，∴，又，，∴平面，∴，∵在中，，∴，则，∴，∵，，，∴平面．（2）由（1）知，，两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系，PA ABC π4PAC PDE DE 3AD =1DB =32CE =12EB =ABC △3AD DB =3CE ED =DE ACP 14DE AC ==222221122DE EB DB ⎛⎛⎫+=+== ⎪ ⎝⎭⎝⎭π2DEB ∠=DE BC ⊥PE BC ⊥PE DE E =IBC ⊥PDE BC PD ⊥PD AC ⊥AC BC C =I PD ⊥ABC PD AB ⊥CED △π2CED ∠=222223322CD CE DE ⎛⎛⎫=+=+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭22223312AD CD AC +=+==AD CD ⊥AD CD ⊥CD PD ⊥PD CD D =I CD ⊥PAB PD CD AB D xyz -且与平面所成的角为，有，则，，，，∴，，，又∵由（1）知，，∴平面，∴为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则， ∴，令，， ∴为平面的一个法向量，∴，故平面与平面的锐二面角的大小为． 20．已知椭圆的左，右焦点分别为，．过原点的直线与椭圆交于，两点，点是椭圆上的点，若，，且的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆在点处的切线记为直线，点、、在上的射影分别为、PA ABC π43PD =()0,3,0A -)C()0,1,0B ()0,0,3P ()CB =u u u r )AC =u u u r )3PC =-u u u rAB DE ⊥AB PE ⊥CB ⊥DEP ()CB =u u u rDEP PAC (),,n x y z =r0n AC n AC n PC n PC ⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎩⎩r u u u r r u u u rr u u u r r u u ur 3030y z +=-=x =1y =-1z =)1,1n =-r PAC cos ,n CB n CB n CB⋅<>===⋅r u u u rr u u u r r u u u r PAC PDE arccos5()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F O l M N P C 14PM PN k k =-110F N F M ⋅=u u u u r u u u u r1F MN △4+C P l '1F 2F O l 'A、，过作的垂线交轴于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）1．【解析】（1）设，则，∴，设，由，，，将，代入，整体消元得：，∴，由，且，∴，由椭圆的对称性知，有，则， ∵，综合①②③可得：，，∴椭圆的方程为：．（2）由（1）知，，直线的方程为：， B D P l 'x Q 12F A F BOD PQ⋅2214x y +=(),M m n (),N m n --22221m n a b+=()00,P x y 00PMy n k x m -=-00PN y n k x m +=+()2200022000*PM PN y n y n y n k k x m x m x m-+-⋅=⨯=-+-2222002b y b x a =-22222b n b m a=-()*2214PM PNb k k a ⋅=-=-224a b =⋅⋅⋅⋅⋅⋅①110F N F M ⋅=u u u u r u u u u r OM ON =112OF MN c ==12OF NOF M △≌△12F N F M=11122224F N FM MN F N F M c a c ++=++=+=+②222a b c =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅③24a =21b =C 2214x y +=()1F )2F l '0014x xy y +=即：，所以，，∴． ∵，∴的方程为，令，可得，∴，则，又点到直线的距离为，∴．∴．当直线平行于轴时，易知，结论显然成立．综上，． 21．已知函数．（1）当时，证明：有两个零点；00440x x y y +-=1F A ==2F B ==2012201631163x F A F B x -⋅===-PQ l '⊥PQ ()00004y y y x x x -=-0y =034x x =03,04x Q ⎛⎫⎪⎝⎭PQ ===O l 'OD =1PQ OD ⋅==121F A F BOD PQ⋅=l 'x 121F A PQ OD F B ====121F A F BOD PQ⋅=()()ln 3f x x k x k =-≥3k =()f x（2）已知正数，满足，若，使得，试比较与的大小．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【解析】（1）据题知，求导得：，令，有；令，得；所以在上单调递减，在上单调递增， ∴，令，有；令，有，故在和各有1个零点．∴有两个零点．（2）由，而， ∴，令，，则，由，可得或；α()βαβ≠()()110αβ-->0x ∃∈R ()()()0f f f x αβαβ-'=-αβ+02x ()()3ln 0f x x x x =->()331x f x x x-'=-=()0f x '>3x >()0f x '<03x <<()f x ()0,3()3,+∞()()min 333ln30f x f ==-<1x =()110f =>2e x =()22e e 60f =->()f x ()1,3()23,e ()f x ()()()()0ln ln 1f f k f x αββααβαβ--'==+--212k f αβαβ+⎛⎫'=-⎪+⎝⎭()()()0ln ln 22ln 2k k k f x f βααβαββαβαβαβααβ--⎡⎤+⎛⎫''-=+=+⎢⎥ ⎪-+-+⎝⎭⎣⎦t βα=()()21ln 1t h t t t -=++()()()()()()2221111011t t t h t t t t t -+--⎡⎤-⎣⎦'=+=>++()()110αβ-->0101αβ<<⎧⎨<<⎩11αβ>⎧⎨>⎩①当时，（I ）当时，，则函数在上单调递增，故，∴，又∵在上是增函数，∴，即．（II ）当时，，则函数在上单调递增，故，∴，又∵在上是增函数，∴，即． ②当时，同①理可证；综上所述，．0101αβ<<⎧⎨<<⎩αβ<()1,t βα=∈+∞()h t ()1,+∞()()10h t h >=()()02ln 02k f x f αβαββαβααβ-⎡⎤+⎛⎫''-=+<⎢⎥ ⎪-+⎝⎭⎣⎦()1k f x x '=-()1,+∞02x αβ+<02x αβ<+αβ>()0,1t βα=∈()h t ()0,1()()10h t h <=()()02ln 02k f x f αβαββαβααβ-⎡⎤+⎛⎫''-=+<⎢⎥ ⎪-+⎝⎭⎣⎦()1k f x x '=-()0,102x αβ+<02x αβ<+11αβ>⎧⎨>⎩02x αβ<+。

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(十四)

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十四）17．已知在中，，，分别为内角，，的对边，且．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．【解析】（1及正弦定理得，，即，又，所以，又，所以．（2）由（1）知，又，易求得，在中，由正弦定理得，所以．所以的面积为．18．如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，点为上一动点．（1）是否存在一点，使得线段平面？若存在，指出点ABC △a b c A B C cos sin cos A a A C +sin cos 0c A A +=A a =12B π=ABC △cos sin cos A a A C +sin cos0c A A +=sin (sin cos cos sin )A A C A C +cos B A =sin sin()A A C +cos B A =sin()sin 0AC B +=>tanA =(0,)A ∈π23A π=23A π=12B π=4C π=ABC △2sin sin 123b =ππb =ABC △1sin 2S ab C =132224-==111ABC A B C -90BAC ∠=︒2AB AC ==M 11A C N 1AB N MN ∥11BB C C N的位置，若不存在，请说明理由．（2）若点为的中点且，求二面角的正弦值．【解析】（1）存在点，且为的中点．证明如下：如图，连接，，点，分别为，的中点，所以为的一条中位线，，又平面，平面，所以平面．（2）设，则，，，由，得，解得N 1AB CM MN ⊥M CN A --N N 1AB 1A B 1BC M N 11A C 1A B MN 11A BC △MN BC ∥MN ⊄11BB C C 1BC ⊂11BB C C MN ∥11BB C C 1AA a =221CM a =+22414a MN +=+284a +=22220544a a CN +=+=CM MN ⊥222CM MN CN +=a =由题意以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得，，，，故，，，．设为平面的一个法向量，则得令，得平面的一个法向量，同理可得平面的一个法向量为，故二面角的余弦值为．故二面角．19．某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过站的地铁票价如下表：A AB x AC y 1AA z (0,0,0)A (0,2,0)C 1,0,2N ⎛ ⎝⎭M 1,0,2AN ⎛= ⎝⎭(0,2,0)AC =1,2CN ⎛=- ⎝⎭(0,CM =-(,,)x y z =m ANC 0,0,AC AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 20,0,2y x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩1x =-ANC (=-m MNC (3,=n M CN A --cos ,<>=m n =M CN A --15=30现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过站．甲、乙乘坐不超过站的概率分别为，；甲、乙乘坐超过站的概率分别为，．（1）求甲、乙两人付费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望．【解析】（1）由题意知甲乘坐超过站且不超过站的概率为，乙乘坐超过站且不超过站的概率为，设“甲、乙两人付费相同”为事件，则，所以甲、乙两人付费相同的概率是．（2）由题意可知的所有可能取值为：，，，，．，，，，30101413201213X X 10201111424--=10201111333--=A 1111()4343P A =⨯+⨯111233+⨯=13X 69121518111(6)4312P X ==⨯=11(9)43P X ==⨯111436+⨯=111(12)432P X ==⨯+11113433⨯+⨯=111(15)432P X ==⨯+1134⨯=．因此的分布列如下：所以的数学期望．20．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的上顶点和右焦点，的面积为，直线与椭圆交于另一个点，线段的中点为．（1）求直线的斜率；（2）设平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，且与直线交于点，求证：存在常数，使得．【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以，即，，所以，，所以，所以，所以椭圆的方程为．直线的方程为，联立消去得，所111(18)236P X==⨯=XX11()69126E X=⨯+⨯11121534+⨯+⨯1511864+⨯=xOy22221(0)x ya ba b+=>>2A F AOF△12AFB AB POPOP l C D AF QλQC QD QA QBλ⋅=⋅22a=222a b= 2222c a b b=-=(0,)A c(,0)F c21122c=1c=2212xy+=AF1y x=-+221,21,xyy x⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩y2340x x-=以或，所以，从而得线段的中点．所以直线的斜率为．（2）由（1）知，直线的方程为，直线的斜率为，设直线的方程为．联立得所以点Q 的坐标为．所以，．所以．联立消去得，由已知得，又，得．设，，则，， 43x =0x =41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭AB 21,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭OP 1132203-=-AF 1y x =-+OP 12l 1(0)2y x t t =+≠1,21,y x t y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩22,321.3t x t y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩2221,33t t -+⎛⎫ ⎪⎝⎭2222,33t t QA --⎛⎫= ⎪⎝⎭2222,33t t QB ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭28(1)9QA QB t ⋅=-221,21,2x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y 22322202x tx t ++-=24(32)0t ∆=->0t≠6,00,22t ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11(,)C x y 22(,)D x y 1112y x t =+2212y x t =+，．所以，，故．所以．所以存在常数，使得．21．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）证明：．【解析】（1）由题易知，当时，，当时，，所以的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）的定义域为，要证，即证．1243t x x +=-212443t x x -=112221,33t t QC x y -+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭112211,323t t x x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222211,323t t QD x x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭12222233t t QC QD x x --⎛⎫⎛⎫⋅=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1211112323t t x x --⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1212555()46t x x x x -=++25(1)9t -+=25445544363t t t --⨯-⨯25(1)9t -+258(1)49t =⨯-54QC QD QA QB ⋅=⋅54λ=QC QD QA QB λ⋅=⋅e ()xf x x=()ln 1g x x =+()f x 3()()x f x g x >2(1)e '()xx f x x -=(,0)(0,1)x ∈-∞或'()0f x <(1,)x ∈+∞'()0f x >()f x (,0)(0,1)-∞，(1,)+∞g()x (0,)+∞3()()x f x g x >3e ln 1x x x x +>由（1）可知在上递减，在上递增，所以．设，，因为，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，而，所以．()f x (0,1)(1,)+∞()(1)e f x f ≥=3ln 1()x h x x +=0x >423ln '()xh x x --=23(0,e )x -∈'()0h x >23(e ,)x -∈+∞'()0h x <()h x 23(0,e )-23(e ,)-+∞223e ()(e )3h x h -≤=2e e 3>3()()x f x g x >。

2019年高考数学考前30天---选择题专训(一)含答案

M=⎨x+=1⎬，N=⎧⎨x x+y=1⎫⎬，则M⎪⎩9⎪⎭⎩32⎭⎪⎪M=⎨x+=1⎬=[-3,3]，N=⎧⎨x x+y=1⎫⎬=R，所以M ⎪⎪⎭⎩-2，∴λ<2019年高考数学考前30天---选择题专训（一）选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A．∅【答案】D ⎧x2y2⎫4B．{(3,2),(2,0)}C．{3,2}N=（）D．[-3,3]【解析】⎪94⎪⎩32⎭N=[-3,3]，选D．2．已知i与j为互相垂直的单位向量，a=i-2j，b=i+λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）221 A．(-2,)(,+∞)B．(,+∞)332【答案】C11 C．(-∞,-2)(-2,)D．(-∞,)22【解析】由题意得a⋅b>0，且a与b不共线，所以1-2λ>0，1≠λ12，λ≠-2，选C．3．已知倾斜角为θ的直线l与直线x+2y-3=0垂直，则cos2θ的值为（）A．35B．-35C．15D．-15【答案】B【解析】由题意得 - tan θ = -1 ，∴ t an θ = 2 ， cos θ =12 1 - tan 2 θ 1 - 43 = =- 1 + tan 2 θ 1 +4 5，选 B ．4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金簪，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1尺，重 4 斤，在细的一端截下 1 尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则中间 3 尺重量为（）A ．9 斤B ．9.5 斤C ．6 斤D ．12 斤【答案】A3【解析】由等差数列性质得中间 3 尺重量为 (4 + 2) = 9 ，选 A ．25．6 个棱长为 1 的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的主视图与俯视图如图所示，则其侧视图不可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】如图（1）所以，A 正确；如图（2）所示，B 正确；如图（3）所示，C 正确，故选 D ．A ． RB ． (-∞,C ． (-D ． (-= 1 的焦点， y =16．已知点 P(1,2) 和圆 C : x 2 + y 2 + kx + 2 y + k 2 = 0 ，过点 P 作圆 C 的切线有两条，则 k 的取值范围是（）【答案】C2 3 2 3 2 3 3 3 3) , ) 2 3 3,0)【解析】由题意得点 P(1,2) 在圆 C 外，∴1 + 4 + k + 4 + k 2> 0 ， k 2+ 4 - 4k 2> 0 ，∴-选 C ．2 3 2 3< k < ， 3 37．已知 F ，F 2 是双曲线 M : y 2 x 2 2 5 3- x 是双曲线 M 的一条渐近线，离心率等于4 m 25 4的椭圆 E 与双曲线 M 的焦点相同，P 是椭圆 E 与双曲线 M 的一个公共点，设 PF ⋅ PF = n ，则 n 的1 2值为（）A ． n = 12C ． n = 36【答案】A【解析】由题意得2m B ． n = 24D ． n ≠ 12 且 n ≠ 24 且 n ≠ 36= 5 ， c = 4 + 5 = 3 ，∴ a = 4 ， PF + PF = 2a = 8 ， PF - PF = 2 ⨯ 2 = 4 ，1 2 1 24 PF ⋅ PF = 82 - 42 ，∴ n = 12 ，选 A ．8．已知函数 f ( x ) = ⎨，若 a ， b ， c 互不相等，且 f (a) = f (b ) = f (c) ，则 a + b + c 的取 log x, x > 1⎩ x 1 1 4c 2= 16a2+ 4a2 - 2 ⨯ 4a ⨯ 2a ⨯ cos ，因此 ⎪ = 5 - 2 2 ，选 B ．1 1⎧sin π,0≤x ≤1 2017值范围是（）A ． (1,2017) 【答案】DB ． (1,2018)C ． [2,2018]D ． (2,2018)【解析】由正弦函数图像得 a + b = 2 ⨯ 12= 1 ，所以 0 < log 2017 c < 1 ，∴1 < c < 2017 ，a + b + c ∈ (2,2018) ，选 D ．9．设双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2= 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F 、 F 2 ，离心率为 e ，过 F 2 的直线与双曲线的右支交于 A 、 B 两点，若△F AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则 e 2 = （）A ． 3 + 2 2B ． 5 - 2 2C ．1 + 2 2D ． 4 - 2 2【答案】B【解析】设 AF 2 = x ，则 AF = x + 2a ，所以 BF 2 = 2a ，也就是 BF = 4a ，故π ⎛ c ⎫2 4 ⎝ a ⎭10．如图，半径为2的圆内有两条半圆弧，一质点M自点A开始沿弧A－B－C－O－A－D－C做匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度v=g(t)的图像大致为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由图象可知：由A-B-C和C-O-A所走的弧长不一样，所以用的时间也不一样，从A-B-C用的时间长，而从C-O-A的时间短，对于A选项：这两断的时间都是2个单位时间，时间一样长，所以不符合题意；对于B选项：第一段用的时间是2个单位时间，第二段用的是1个单位时间，所以符合题意；对于C选项：第一段用的是1个单位时间，第二段用的时间是2个单位时间，所以不符合题意；(' x ) = f ' x e x- f x e x = f ' x - f x < 0 ，故 F (x ) 为 R 上的减函数， ⎪ g (x ) = ⎨ 1 ，若函数 h (x ) = f (x )- g (x ) 在 [ -6, +∞) 上有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是⎪- , x < 0⎝ 7 ⎭ (7, +∞ ) A ． 0, ⎪⎝ 9 7 ⎦ [7,9 )B ． , ⎥⎣ 9 7 ⎭ (7,9 ]C ． ⎢ , ⎪⎣ 9 ⎭(1,9]D ． ⎢ ,1⎪7 < a ≤9 或 ≤a <点，故 ⎨ ，解的 log 9 ≥19 7对于 D 选项：第一段用的是 1 个单位时间，第二段用的是 1 个单位时间，所以不符合题意；综上可知，答案选 B ．11．已知定义在 R 上的可导函数 f (x ) 的导函数为 y = f ' (x ) ，满足 f ' (x ) < f (x ) ， f (0) = 1 ，则不等式 f (x ) < e x 的解集为（）A ． (0, +∞)【答案】AB ． (1,+∞)C ． (-2, +∞)D ． (4, +∞)【解析】令 F (x ) =f (x )e x，则 F ( ) ( ) ( ) ( )e 2 x e x有 f (x ) < e x 等价于 F (x ) < 1，即 F (x ) < F (0)，故不等式的解 (0, +∞) ．12．已知定义在 R 的函数 y = f (x ) 对任意的 x 满足 f (x + 1) = - f (x ) ，当 -1≤x < 1 ， f (x ) = x 3 ．函数 ⎧ log x , x > 0a⎩ x（）⎛ 1 ⎫⎛ 1 1 ⎤⎡ 1 1 ⎫⎡ 1 ⎫【答案】C【解析】因为 f (x + 2) = - f (x + 1) = f (x ) ，故 f (x ) 是周期函数且周期为 2 ，如图 f (x ) 的图像与y =- 1(x < 0) 的图像在 [ -6,0 ) 有两个不同的交点，故f (x ) 的图像与g (x )在 (0, +∞) 有 4 个不同的交 x⎧⎪ log 7 < 1 1 1a ⎪⎩a，选 C ．。

2019年高考数学考前30天选择题专训一x

选择题专训（一）年高考数学考前30天---2019分，在每小题给出的四个选项中，只有一项5选择题：本大题共12小题，每小题是符合题目要求的. 22xy y x1 x M ），则1.已知集合,(MN1 N x9423 C. A. BD 3,2(3,2),(2,0)3,3][ D【答案】22xy xy3,3][ M x 1 D 【解析】所以，，选3,3] MN [RN x—4923夹角为锐角，与，且2.已知与为互相垂直的单位向量，，a i b j2i a=j jb =i贝U实数）的取值范围是（11221 . . D. C A. B) ),2,)( ( , )( 2,(, )2)((,UU 23322C【答案】1 ,，所以，，，【解析】由题意得且与不共线，a 2 0 1 20>ba b 1-—22 C.选）3.已知倾斜角为垂直，则的直线与直线的值为(cos2I O 3 x2y1133 D B . . C. A.-5555B【答案】2 3 1 tan411 cos .,【解析】由题意得，，选B2 tan 1 tan _______________ - 2 5 1 tan412重四斤，斩本一尺，有如下问题：我国古代数学著作《九章算术》“今有金簪，长五尺，4.“现有一根金杖，一头粗，一头细，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：问依次每一尺各重多少斤？” 斤；重斤，4在细的一端截下1尺，2重1在粗的一端截下尺，尺重量为（根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则中间 3 ）1A. 9斤B. 9.5斤C. 6 斤D . 12斤A【答案】3【解析】由等差数列性质得中间3尺重量为，选A. 9 （4 2卜2该几何体的主视图与俯视图如图所的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，6个棱长为15.）示，则其侧视图不可能为（【答案】正确，故C3)所示，2)所示，B正确；如图(【解析】如图(1)所以, A正确；如图(D .选222的取作圆的切线有两条，则6•已知点和圆，过点0 kx 2yk:Cx yCk(1,2)PP ) 值范围是(卫Z二/Z二£二£22333223 . D. CB. A. ,0)(,( ) ),( R3333C【答案】，由析【解】题圆在点意得，外，222C(1,2)P0 4 1k4 0 k 4kk4 22 C.，选k 3322、xy52的焦点，，7.已知是双曲线是双曲线的一条渐近线，FF1 M: yx M ------------ 21 ------------------ 2m453的一个公共点，与双曲线与双曲线的焦点相同，离心率等于是椭圆的椭圆MMEEP— 4 )设，贝U的值为(n I In PF PF21 . BA. 24n n 12 且且.C. D36n 24 n12n 36 n A【答案】2 ------- 『,,,,【解析】由题意得3c 4 I I 5 8aPF PF 24 a 21m• ••22，选A , , | | | | 48 4PF PF 12n | 4 PF2 PF2 21211 <x<sin n x,0 则且，.已知函数，若，，互不相等，8b c )f(x a c ab)cf(f(b) (fa) 1 logx,x 2017) 的取值范围是(D. BA. . C. (2,2018)[2,2018](1,2017)(1,2018)D【答案】1,以图数像得，，所正解【析】由弦函1 logc 02017 c 1 1 ab 2 2。

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(三)

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（三）17．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【解析】（1）由题意得：，解得，故的通项公式为，．（2）由（1）得：，，······① ，······② ①－②得：，故． 18．（本小题满分12分）已知函数． {}n a n n S 73=a 999=S {}n a ()2nn n a b n *=∈N {}n b n n T 1127989992a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩⎩⎨⎧==231d a {}n a 21n a n =+n *∈N 212n nn b +=23435792122222n n n T +=++++⋅⋅⋅+234113572121222222n n n n n T +-+=+++⋅⋅⋅++2341131111212(2222222n n n n T ++=++++⋅⋅⋅+-125225++-=n n 2552n nn T +=-()2sin cos f x x x x =-⋅+（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，求的值．【解析】（1），函数的单调递增区间为：；（2），，，．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，．交于点．（1）证明：平面⊥平面；（2）若，求二面角的余弦值．【解析】（1）底面是菱形，，又，，，平面，平面，又平面，平面平面．（2）不妨设，作于，连结，由（1）知，平面，故，()f x ()035f x =0π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0cos 2x ()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x ()7πππ,π1212k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ()002π3sin 235f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭0π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦02π4cos 235x ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭002π2π4134cos 2cos 233525210x x ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=-⨯-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦P ABCD -ABCD PD AC ⊥AC BD O PBD PAC DP DA DB PB===A PBC --Q ABCD AC BD ∴⊥PD AC ⊥PD BD D =I PD BD ⊂PBD AC ∴⊥PBD AC ⊂PAC ∴PBD ⊥PAC PB =1DP DA DB ===AE PB ⊥E CE AC BP ⊥PB ⊥AEC CE PB ⊥则即二面角的平面角，在中，，，，．（另解：也可以以为原点建立空间坐标系，并注意，建系过程未说明扣2分．）20．（本小题满分12分）已知抛物线上点处的切线方程为．（1）求抛物线的方程；（2）设和为抛物线上的两个动点，其中且，线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值．【解析】（1）设点，由得，求导，因为直线的斜率为，所以且，解得，所以抛物线的方程为．（说明：也可将抛物线方程与直线方程联立，由解得）（2）设线段中点，则，，， AEC ∠A PB C --ACE △AC =OP =PA =AE CE==11cos 13AEC ∠=-O 30DBP ∠=︒2(0)x py p =>P 10x y ++=11(,)A x y 22(,)B x y 12y y ≠122y y +=AB l y T ABT △PQ 1-021x p=-20010x x p ++=4p =24x y =0=∆AB ()00,M x y 1202x x x +=1202y y y +=()222102112212114442ABx x x y y k x x x x x x --===+=--∴直线的方程为，即，过定点．联立，得，设到的距离，当且仅当，即时取等号，的最大值为．（另解：可以令，构造函数，求导亦可）21．（本小题满分12分）已知函数有两个零点，．l21()y x xx-=--2(3)0x x y+-+=l∴(0,3)T022002:1()224024xAB y x xx xx xx y⎧-=-⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩2200044(24)022x x x∆=--⇒-＞＜＜12AB x=-==()0,3T AB d=12ABTS AB d∴=⋅=△==2200482x x+=-)2,2(332-∈±=xABTS∴△924t x=+S=23()8g x t t=-1()ln()1(1)2mf x mx mx=+->1x212()x x x<（1）求实数的取值范围；（2）证明：．【解析】（1）， ∴， ∴在单调递减，在单调递增，∴， ∴，又，， ∴满足函数有两个零点．（2）令由（1）知在，，令，， m 12111x x m+>1()ln()1(1)2m f x mx m x =+->2212()22m x m f x x x x -'=-+=()f x ()0,2m ()2,m +∞21(2)ln(2)1022m f m m m =+-<22e m <1m ∴<<2211(2)ln(22)11024222e m f m m m m m -=+-->->--2222211(2e )ln(2e )1ln e 102e 22m f m m m m +=++->-=+1m <<111()(ln ln 1.22g x f mx x m x ==-+-()g x 1(0,2m ↓1(,)2m+∞↑11()()()22G x g x g x m m =--+1(0,2x m∈，在单调递增，，，令的零点为，，，，， ∴， ∴，，所以．222211111()()()22(1)01222144G x g x g x m m m m m m x x m '''=--+=-=--∴+>-()G x ∴10,2m ⎛⎫⎪⎝⎭()(0)0G x G ∴>=11()()22g x g x m m∴->+111()()ln ln 122g x f mx x m x ==-+-1t 2t 121(0)2t t m<<<11(0,2t m ∈2112(0,22t m m-∈1222211111()()()()()2222g t g t g t g t g t m m m m m ⎛⎫⎛⎫==-->+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭121t t m >-121t t m+>12111x x m +>。

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(八)

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（八）17．（本小题满分12分）已知的面积为，．（1）若的图象与直线相邻两个交点间的最短距离为2，且，求的面积；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）的图象与直线相邻两个交点间的最短距离为，，即：，解得，，，即：，是的内角，，，设的三个内角的对边分别为，，，，从而是直角三角形，由已知得，从而，．（2）由（1）知，，设的外接圆半径为，则，解得，故的最大值为． 18．（本小题满分12分）ABC △S AB AC S ⋅=3AC AB -=()()()2cos 0f xx B ωω=+>2y =116f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ABC △S cos S B C+2ABC S =△()()()2cos 0f x x B ωω=+>2y=T 2T∴=2π2ω= πω=()()2cos πfx x B =+1π2cos 166f B ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1cos 62B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ABC △π 6B ∴=AB AC S ⋅=ABC △,,ab c 1cos sin 2A bc A = tan A =π3A =ABC △3AC AB -=3BC a ==b =122ABC S ab ==△π3A =3a =ABC △R 2sin a R A ===R =()1cos sin cos cos 2sin cos S B C bc A B C B CB C B C B C ∴+=+=+=+=-，cos S B C +如图：已知平面平面，平面平面，，，，为等边三角形，是线段上的动点．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的最大值；（3）是否存在点，使得？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3）不存在．【解析】（1）平面平面，在平面内作，则平面，同理，在平面内作，则平面，，即，重合，平面，取中点，连结，以为原点，为轴正方向建立坐标系，则，，，，，可得平面的法向量为，ABCD ⊥BCE ABE ⊥BCE AB CD 4AB BC ==2CD =BEC △P CD ABE ⊥ADE AB APE P AP BD⊥π4ABCDBCE BC =ABCD AM BC ⊥AM ⊥BCE ABE AN BE ⊥AN ⊥BCE AMAN ∴AM AN AB ⊥BCEBE AE 、O F 、 O C OF 、O OE OC OF 、、x y z ，，()2,0,4A -()2,0,0B-()C ()D ()2,0,0EABE ()0,OC =设面的一个法向量为，则，可得，从而，平面平面．（2）设，则，设面的一个法向量为，则，可得．设直线与面所成角为，则，所以，从而直线与平面所成角的最大值为．（3）由（2）知，则，，，，故不存在点，使得． 19．（本小题满分12分）2016年国家已全面放开“二胎”政策，但考虑到经济问题，很多家庭不打算生育二孩，为了解家庭收入与生育二孩的意愿是否有关，现随机抽查了某四线城市50个一孩家庭，他们中有二孩计划的家庭频数分布如下表：二孩计划与家庭收入有关？说明你的理由．ADE (),,m x y z =440220m AE x z m DE xz ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩()1,0,1m =0m OC ⋅=ABE ⊥ADE CP d =()P dAPE (),,n m n k=44020n AE m kn PE m dk ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩n ⎛⎫= ⎪⎝⎭AB APE θsin AB n AB nθ⋅==⋅()max sin 2θ=AB APE π4()P d ()4AP d =-()2,2BD =40AP BD d ⋅=+=40d =-<P AP BD ⊥计划的家庭为“好字”家庭的概率为，且每个家庭是否为“好字”家庭互不影响，设收入在8千~1万的3个有二孩计划家庭中“好字”家庭有个，求的分布列及数学期望．下面的临界值表供参考：【答案】（1）见解析；（2）；．【解析】（1）依题意得：，，，；，因此有95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关．12X X ()13322E X =⨯=12a =18b =14c =6d =()2501261814225 4.327 3.8413020262452K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯（2）由题意知，，的可能取值为0，1，2，3；，，，，的分布列为：．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）直线是圆的任意一条切线，与椭圆交于、两点，若以为直径的圆恒过原点，求圆的方程，并求出的取值范围．【答案】（1）；（2）圆的方程为，的取值范围是．【解析】（1），，设直线与椭圆交于，两点．不妨设点为直线和椭圆在第一象限的交点，又，，，又，解得，，椭圆方程为． 13,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭X ()311028P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()2131131C 228P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2231132C 228P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()311328P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭X ()13322E X =⨯=xOy ()2222:10x y C a b a b+=>>2y x=C 3C l 222:O x y r +=l C A B AB O AB 22184x y +=O 2283x y +=AB ⎣2c e a ==222a b ∴=P Q P P ∴⎝⎭2288133a b ∴+=222a b =28a =24b =∴22184x y +=（2）（i ）当切线的斜率不存在时，设（或），代入椭圆方程得：，，以为直径的圆恒过原点，，，，圆的方程为，此时（同理当时，上述结论仍然成立）（ii ）当切线的斜率存在时，设方程为：，与圆相切，，即，将直线方程代入椭圆方程并整理得：设，，则，是方程①的两个解，由韦达定理得：，，，以为直径的圆恒过原点，，，，，，又，，，此时，代入②式后成立，圆的方程为，此时：l x r =x r =-y =A r ⎛∴ ⎝,B r ⎛ ⎝AB OA OB ∴⊥22802r r -∴-=283r ∴=∴O 2283x y +=AB ==x r =-l l y kx m =+l O r =()2221m k r =+()22222124280840k x kmx m k m ⎧+++-=⋅⋅⋅⋅⎪⎨∆=+->⋅⋅⋅⋅⎪⎩①②()11,A x y ()22,B x y 1x 2x 122412km x x k +=-+21222812m x x k -=+()()()222212121212812m k y y kx m kx m k x x km x x m k-∴=++=+++=+AB OA OB ∴⊥12120x x y y ∴+=222228801212m m k k k--∴+=++223880m k ∴--=()22381m k ∴=+()2221m k r =+()()2223181k r k ∴+=+283r ∴=()22813m k =+∴O 2283x y +=i ）若，则， ii ）若，则综上，圆的方程为，的取值范围是． 21．（本小题满分12分）已知，且曲线在点处的切线斜率为1．（1）求实数的值；（2）设在其定义域内有两个不同的极值点，，且，已知，若不等式恒成立，求的范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），由题意知，即：，解得．（2）因为等价于．由题意可知，分别是方程即的两个根，即，，所以原式等价于，因为，，所以原式等价于．22133AB k =====+==0k=AB =0k≠33AB ⎛= ⎝O 2283x y +=AB ⎣()ln f x x x mx =+()y f x =()()1,1f m ()()()22a g x f x x x a a =--+∈R 1x 2x 12x x <0λ>112e x x λλ+<⋅λ0m =1λ≥()1ln f x x m '=++()11f '=11m +=0m =112e x x λλ+<⋅121ln ln x x λλ+<+1x 2x ()0g x '=ln 0x ax -=11ln x ax =22ln x ax =()12121ax ax a x x λλλ+<+=+0λ>120x x <<121a x x λλ+>+又由，作差得，，即．所以原式等价于，因为，原式恒成立，即恒成立．令，，则不等式在上恒成立．令，又，当时，可见时，，所以在上单调增，又，在恒成立，符合题意．当时，可见时，，时，所以在时单调增，在时单调减，又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以．11ln x ax =22ln x ax =()1122ln x a x x x =-1212lnx x a x x =-121212ln1x x x x x x λλ+>-+120x x <<()()1212121ln x x x x x x λλ+-<+12x t x =()0,1t ∈()()11ln t t t λλ+-<+()0,1t ∈()()()11ln t h t t t λλ+-=-+()()()()()()2222111t t h t t t t t λλλλ+--'=-=++21λ≥()0,1t ∈()0h t '>()h t ()0,1t ∈()10h =()0h t <()0,1t ∈21λ<()20,t λ∈()0h t '>()2,1t λ∈()0h t '<()h t ()20,t λ∈()2,1t λ∈()10h =()h t ()0,1t ∈112e x x λλ+<⋅21λ≥0λ>1λ≥。

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(七)

第 1 页共 6 页2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（七）17．（10分）已知直线的方程为，求的方程，使得：（1）与平行，且过点；（2）与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）设，∵过点，∴．∴方程为．（2）设，设与轴交于点，与轴交于点， ∴，∴，∴， ∴方程为或．18．（12分）已知直线的斜率是2，且被圆截得的弦长为8，求直线的方程．【答案】【解析】设即，由， 1l 34120x y +-=2l 2l 1l ()1,3-2l 1l 2l 3490x y +-=430x y -+=430x y --=2:340l x y m ++=2l ()1,3-9m =2l 3490x y +-=2:430l x y n -+=2l x ,04n A ⎛⎫- ⎪⎝⎭y 0,3n B ⎛⎫ ⎪⎝⎭14243AOB n n S =⋅=△296n=n =±2l 430x y -+=430x y --=l 2225x y +=l 2y x =±:2l y x b =+20x y b --=22225y x b x y =+⎧⎨+=⎩第 2 页共 6 页得，设，，∴，， ∴， ∴∴直线方程为．19．（12分）设函数．（1）求函数的最小正周期及最大值；（2）求函数的单调递增区间．【答案】（1），最大值为1；（2）．【解析】（1），当，即时，取最大值为1．2254250x bx b ++-=()11,A x y ()22,B x y 1245b x x +=-212255b x x-=8AB==b =±2y x =±()2sin cos f x x x x =+()f x T ()f x T π=()5πππ,π1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ())1cos21sin222x f x x +=+1πsin2sin 223x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭πT =ππ22π32x k +=+()ππ12x k k =+∈Z ()f x第 3 页共 6 页（2）令， ∴的单调增区间为． 20．（12分）在中，，，的对边分别为，若，（1）求的大小；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2），或，．【解析】（1）由已知得， ∴，∵，∴，∵，∴，．（2）∵，即，∴，()πππ2π22π232k x k k -+++∈Z ≤≤()f x ()5πππ,π1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ABC △A ∠B ∠C ∠a b c ，，()cos 2cos b C a c B =-B b =4a c +=,a c π3B =1a =3c =3a =1c =sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =⋅-⋅()sin 2sin cos B C A B +=⋅πB C A +=-sin 2sin cos A A B =⋅(),0,πA B ∈1cos 2B =π3B =2222cos b a c ac B =+-()273a c ac =+-31679ac =-=。

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(十九)

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十九）17．（12分）在等差数列中，，公差，记数列的前项和为．（1）求；（2）设数列的前项和为，若，，成等比数列，求．【解析】解：（1）∵，∴，∴，∴．……3分∴，．……6分（2）若，，成等比数列，则，即，∴．……8分∵，∴．……12分18．（12分）如图，在底面为矩形的四棱锥中，．（1）证明：平面平面PCD ；（2）若异面直线与所成角为，，，求二面角的大小．{}n a 3412a a +=2d ={}21n a -n n S n S 1n n n a S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 2a 5a m a m T 3412a a +=112521012a d a +=+=11a =21n a n =-()21221143n a n n -=--=-()214322n n n S n n+-==-2a 5a m a 225m a a a =()23219m -=14m =()()()11111212122121n n n a S n n n n ⎛⎫==- ⎪+-+-+⎝⎭141111111114112335272922929m T T ⎛⎫⎛⎫==-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P ABCD -PB AB ⊥PBC ⊥PC BD 60︒PB AB =PB BC ⊥B PD C --【解析】（1）证明：由已知四边形ABCD 为矩形，得，，，平面PBC ，又，平面PBC ，平面PCD ，平面平面PCD ； …..4分（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，则，，，，……5分所以，，则，即，解得（舍去）．……7分设是平面的法向量，则即，可取，设是平面的法向量，则即，可取，所以， AB BC ⊥PB AB ⊥PB BC B =AB ∴⊥CD AB ∥CD ∴⊥CD ⊂∴PBC ⊥B B xyz -1PB AB ==()0BC a a =>()0,0,0B ()0,0,C a ()1,0,0P ()0,1,D a ()1,0,PC a =-uu u r ()0,1,BD a =uu u r cos 60PC BD PC BD⋅=︒uu u r uu u ruu u r uu u r 22112a a =+1a =1a =-()111,,n x y z =r PBD 00n BP n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu rr uu u r11100x y z =⎧⎨+=⎩()0,1,1n =-r()222,,m x y z =u r PCD 00m PD m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uu u ru r uu u r222200x y z y -+==+⎧⎨⎩()1,0,1m =u r 1cos ,2n m n m n m⋅<>==-r u rr u r r u r由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为．……12分19．（12分）共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态，一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：车辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙：．（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：，称为相应于点的残差（也叫随机误差））；B PDC --B PD C --60︒(1)4ˆ 1.1yx =+(2)26.4ˆ 1.6yx=+ˆˆi i i e y y =-ˆi e (,)i i x y②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较，的大小，判断哪个模型拟合效果更好．（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6，0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.4，0.6．问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润＝收入－成本）．【解析】解：（1）①经计算，可得下表：…..3分②，，…..5分，故模型乙的拟合效果更好．…..6分（2）若投放量为8千辆，则公司获得每一辆车的收入期望为，所以一天的总利润为（元），…..8分若投放量为1万辆，由（1）可知，1Q2Q1Q2Q()22210.10.10.10.03Q=+-+=220.10.01Q==12Q Q>100.660.48.4⨯+⨯=()8.4 1.7800053600-⨯=每辆车的成本为（元）， …..9分每辆车一天收入期望为， …..10分所以公司一天获得的总利润为（元）， …..11分因为，所以投放1万辆能获得更多利润，应该增加到投放1万辆． …..12分20．（12分）如图，设椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右顶点，为右焦点．直线与的交点到轴的距离为．过点做轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆．（1）求的方程；（2）若直线与的另一个交点为，证明：直线与圆相切．【解析】（1）解：由题可知，∴，．……1分设椭圆的方程为，……2分26.41.6 1.66410+=100.460.67.6⨯+⨯=()7.6 1.6641000059360-⨯=5936053600>()2222:10x y C a b a b+=>>12A B C F 6y x =C y 27B x l D l B BD EC AD C P PFE 12c a =2a c =223b c =C 2222143x y c c+=由得，∴，，，故的方程为．……5分（2）证明：由（1）可得，设圆的圆心为，则，圆的半径为．……6分直线的方程为．……7分（方法一）由，得，……8分由，得，，直线的方程为，即．…10分∵点到直线的距离为，∴直线与圆相切．……12分（方法二）设过与圆相切的直线方程为，22221,436x y c c y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩2277c x ==1c =2a =23b =C 22143x y +=()1,0F E ()()2,0t t ≠()2,2D t E R t =AD ()22ty x =+()2213242x y t y x ⎧=+⎪=⎨+⎪⎪⎪⎩()2222344120t x t x t +++-=2241223P t x t --=+22623Pt x t -=+()26223P P t t y x t =+=+PF ()()22226231162113tt t y x x t t t+=-=----+()22120tx t y t +--=()2,E t PF()2211t t d t t +====+PF E F E 1x ky =+，整理得，……8分由，得，……10分又∵，……11分∴直线与圆相切． ……12分 21．（12分）已知函数的图象在处的切线过点．（1）若函数，求的最大值（用表示）；（2）若，，证明：．【解析】（1）解：由，得，……1分的方程为，又过点，∴，解得．……3分 ∵，t =212t k t-=()211222t y t t y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎩+⎪22262363t x t t y t -=+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2222261362433t t t t +⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎝⎭=⎭PF E ()21ln 12f x x ax bx =-++1x =l 11,22⎛⎫⎪⎝⎭()()()()10g x f x a x a =-->()g x a 4a =-()()12121232f x f x x x x x ++++=1212x x +≥()1f x ax b x'=-+()11f a b '=-+l ()()11112y a b a b x ⎛⎫--++=-+- ⎪⎝⎭l 11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭()111111222a b a b ⎛⎫⎛⎫--++=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0b =()()()()211ln 112g x f x a x x ax a x =--=-+-+∴，……4分当时，，单调递增；当时，，单调递减；……6分故．……7分（2）证明：∵，∴，∴．……9分令，，，令得；令得． ∴在上递减，在上递增，∴，∴，，解得．……12分()()()()21111110a x x ax a x a g x ax a a x x x⎛⎫--+ ⎪-+-+⎝⎭'=-+-==>10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x '>()g x 1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0g x '<()g x ()()2max111111ln 11ln 22g x g a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫==-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4a =-()()22121212112212123ln 21ln 213f x f x x x x x x x x x x x x x ++++=++++++++=()()212121212ln 222x x x x x x x x ++++-+=()()2121212122ln x x x x x x x x +++=-()120x x m m =>()ln m m m ϕ=-()1m m mϕ-'=()0m ϕ'<01m <<()0m ϕ'>1m >()m ϕ()0,1()1,+∞()()11m ϕϕ=≥()2121221x x x x +++≥120x x +>1212x x +≥。

高考理科数学考前30天--计算题专训(一)

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（一）17．已知的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，当时，适合上式，．（2）解：令，所以，，两式相减得：，故．18．在中，内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，已知，．（1）求的值；（2）若，D 为AB 边上的点，且，求CD 的长．{}n a n 24n S n n =-{}n a 72n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 52n a n =-1362n n n T -+=-2n ≥()()221441152n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦1n =113a S ==52n a n ∴=-17122n n n n a n b --+==23213451222222nn n n n T --+=++++⋅⋅⋅++23112341222222n n n n n T -+=+++⋅⋅⋅++2111111111322131222222212nn n n n n n n n T -⎛⎫- ⎪+++⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=+-=--1362n n n T -+=-ABC △sin cos a B b A =3cos 5B =cos C 15a =2AD BD =【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由得：，A 、B 、C 是的内角，，因此，，故．由得：．又；也就是．（2）解：由得：，由正弦定理得：，，在中，，． 19．如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．21013CD =sin cos a B b A =sin sin sin cos A B B A =ABC △sin 0B ∴≠tan 1A =π4A =3cos 5B =234sin 155B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()()cos cos πcos C A B A B =-+=-+⎡⎤⎣⎦ππ2cos cos cos sin sin 4410C B B =-+=2cos 10C =2272sin 11010C ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭15π72sin 4=21c ⇒=2143BD c ∴==ABC △22231514215141695CD =+-⨯⨯⨯=13CD ∴=12AE CD =（1）求证：平面；（2）求出该几何体的体积．【答案】（1）见解析；（2）4．【解析】（1）为的中点，取中点，连接、、；则，且，且，故四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面．（2）解：由己知，，，，且，平面，，又，平面，是四棱锥的高，梯形的面积，，即所求几何体的体积为4．20．动点到定点的距离比它到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线C ，过点F 的直线交曲线C 于A 、B 两个不同的点，过点A 、B 分别作曲线C 的切线，且二者相交于点M ．//EM ABC M DB BC G EM MG AG //MG DC 12MG DC =//MG AE ∴MG AE =AGME //EM AG ∴AG ⊂ABC EM ⊄ABC //EM ∴ABC 2AE =4DC =AB AC ⊥2AB AC ==EA ⊥ABC EA AB ∴⊥AB AC ⊥AB ∴⊥ACDE AB ∴B ACDE -ACDE ()()242622AE DC S AC ++⨯=⨯==143B ACDE V S AB -∴=⨯=P ()0,1F 2y =-P（1）求曲线C 的方程；（2）求证：；（3）求△ABM 的面积的最小值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）4．【解析】（1）由已知，动点在直线上方，条件可转化为动点到定点的距离等于它到直线距离，动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为．（2）证：设直线的方程为：，由得：，设，，则，．由得：，，直线的方程为：···①，直线的方程为：···②， ①－②得：，即，将代入①得：，，故，，，，．10AB MF ⋅=24x y =P 2y =-P ()0,1F 1y =-∴P ()0,1F 1y =-24x y =AB 1y kx =+241x yy kx ⎧=⎨=+⎩2440x kx --=(),A A A x y (),B B B x y 4A B x x k +=4A B x x ⋅=-24x y =214y x =12y x '∴=∴AM ()21214A A A x x y x x =--BM ()21214B B B x x y x x =--()()()2222112142B A A B B A x x x x x x x -=-+-22A B x x x k +==2A Bx x x +=22114214124B A A A A B A x x x x x x x y -⎛⎫==- ⎪⎝⎭-114A B x y x =∴=-()2,1M k -()2,2MF k ∴=-()(),B A B A AB x x k x x =--()()220B A B A AB MF k x x k x x ∴⋅=--=+-AB MF ∴⊥（3）解：由（2）知，点到的距离，，，当时，的面积有最小值4． 21．已知函数（m 、n 为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线方程是．（1）求m 、n 的值；（2）求的最大值；（3）设（其中为的导函数），证明：对任意，都有．（注：）【答案】（1），；（2）；（3）见解析．【解析】（1）由，得，由已知得，解得．又，，．（2）解：由（1）得：，当时，，，所以；M AB 221d MF k ==+()22444A B A B AB AF BF y y k x x k =+=++=++=+()()3222211412141422S AB d k k k ∴=⋅=⨯+⨯+=+≥∴0k =ABM △()ln exm x nf x +=e 2.71828=⋅⋅⋅()yf x =()()1,1f 2ey =()f x ()()()e ln 12x x g x f x +'=⋅()f x '()f x 0x >()21e g x -<+()1ln 11x x '+=⎡⎤⎣⎦+2n =2m =()max 2ef x =()ln e x m x n f x +=()()ln 0exm nx mx xf x x x --'=>()10em nf -'==m n =()21e e n f ==2n ∴=2m =()()21ln exx x x f x x --'=()0,1x ∈10x ->ln 0x x ->1ln 0x x x -->当时，，，所以， ∴当时，；当时，，的单调递增区间是，单调递减区间是，时，．（3）证明：．对任意，等价于，令，则，由得：， ∴当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以的最大值为，即．设，则， ∴当时，单调递增，，故当时，，即，，∴对任意，都有．()1,x ∈+∞10x -<ln 0x x -<1ln 0x x x --<()0,1x ∈()0f x '>()1,x ∈+∞()0f x '<()f x ∴()0,1()1,+∞1x ∴=()max 2ef x =()()()()()()e ln 11ln ln 102x x x x x xg x f x x x+--+'=⋅=>0x >()21e g x -<+()()21e 1ln ln 1x x x x x -+--<+()()1ln 0p x x x x x =-->()ln 2p x x '=--()ln 20p x x '=--=2e x -=()20,ex -∈()0p x '>()p x ()2e ,x -∈+∞()0p x '<()p x ()p x ()22e1ep --=+21ln 1e x x x ---+≤()()ln 1q x x x =-+()01xq x x '=>+()0,x ∈+∞()q x ()()00q x q >=()0,x ∈+∞()()ln 10q x x x =-+>()1ln 1xx >+()()221e 1ln 1e ln 1x x x x x --+∴--+<+≤0x >()21e g x -<+。

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(十九)

第 1 页共 9 页 2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十九）17．（12分）在等差数列中，，公差，记数列的前项和为．（1）求；（2）设数列的前项和为，若，，成等比数列，求．【解析】解：（1）∵，∴，∴，∴．……3分∴，．……6分（2）若，，成等比数列，则，即，∴．……8分∵，∴．……12分18．（12分）如图，在底面为矩形的四棱锥中，．（1）证明：平面平面PCD ；（2）若异面直线与所成角为，，，求二面角{}n a 3412a a +=2d ={}21n a -n n S n S 1n n n a S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 2a 5a m a m T 3412a a +=112521012a d a +=+=11a =21n a n =-()21221143n a n n -=--=-()214322n n n S n n+-==-2a 5a m a 225m a a a =()23219m -=14m =()()()11111212122121n n n a S n n n n ⎛⎫==- ⎪+-+-+⎝⎭141111111114112335272922929m T T ⎛⎫⎛⎫==-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P ABCD -PB AB ⊥PBC ⊥PC BD 60︒PB AB =PB BC ⊥第 2 页共 9 页的大小．【解析】（1）证明：由已知四边形ABCD 为矩形，得，，，平面PBC ，又，平面PBC ，平面PCD ，平面平面PCD ；…..4分（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，则，，，，……5分所以，，则，即，解得（舍去）．……7分设是平面的法向量，则即，可取，设是平面的法向量，则即， B PD C --AB BC ⊥PB AB ⊥PB BC B =AB ∴⊥CD AB ∥CD ∴⊥CD ⊂∴PBC ⊥B B xyz -1PB AB ==()0BC a a =>()0,0,0B ()0,0,C a ()1,0,0P ()0,1,D a ()1,0,PC a =-uu u r ()0,1,BD a =uu u r cos 60PC BD PC BD⋅=︒uu u r uu u ruu u r uu u r 22112a a =+1a =1a =-()111,,n x y z =r PBD 00n BP n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu rr uu u r11100x y z =⎧⎨+=⎩()0,1,1n =-r()222,,m x y z =u r PCD 00m PD m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uu u ru r uu u r222200x y z y -+==+⎧⎨⎩可取，所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为．……12分19．（12分）共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态，一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：车辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙：．（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：，称为相应于点的残差（也叫随机误差））；()1,0,1m =u r 1cos ,2n m n m n m⋅<>==-r u rr u r r ur B PD C --B PD C --60︒(1)4ˆ 1.1yx =+(2)26.4ˆ 1.6yx=+ˆˆi i i e y y =-ˆi e (,)i i x y。