最优化理论与算法 fibonacci法
最优化理论
最优化理论一维搜索:1精确一维搜索精确一维搜索可以分为三类：区间收缩法、函数逼近法（插值法）、以及求根法。
区间收缩法：用某种分割技术缩小最优解所在的区间(称为搜索区间)。
包括：黄金分割法、成功失败法、斐波那契法、对分搜索法以及三点等间隔搜索法等。
优化算法通常具有局部性质，通常的迭代需要在单峰区间进行操作以保证算法收敛。
确定初始区间的方法：进退法①已知搜索起点和初始步长；②然后从起点开始以初始步长向前试探，如果函数值变大，则改变步长方向；③如果函数值下降，则维持原来的试探方向，并将步长加倍。
1.1黄金分割法：黄金分割法是一种区间收缩方法(或分割方法)，其基本思想是通过取试探点和进行函数值比较，使包含极小点的搜索区间不断缩短以逼近极小值点。
具有对称性以及保持缩减比原则。
优点：不要求函数可微，除过第一次外，每次迭代只需计算一个函数值，计算量小，程序简单；缺点：收敛速度慢；函数逼近法（插值法）：用比较简单函数的极小值点近似代替原函数的极小值点。
从几何上看是用比较简单的曲线近似代替原的曲线，用简单曲线的极小值点代替原曲线的极小点。
1.2牛顿法：将目标函数二阶泰勒展开，略去高阶项后近似的替代目标函数，然后用二次函数的极小点作为目标函数的近似极小点。
牛顿法的优点是收敛速度快，缺点是需要计算二阶导数，要求初始点选的好，否则可能不收敛。
1.2抛物线法：抛物线法的基本思想就是用二次函数抛物线来近似的代替目标函数，并以它的极小点作为目标函数的近似极小点。
在一定条件下，抛物线法是超线性收敛的。
1.3三次插值法：三次插值法是用两点处的函数值和导数值来构造差值多项式，以该曲线的极小点来逼近目标函数的极小点。
一般来说，三次插值法比抛物线法的收敛速度要快。
精确一维搜索的方法选择：1如目标函数能求二阶导数：用Newton法，收敛快。
2如目标函数能求一阶导数：1如果导数容易求出，考虑用三次插值法，收敛较快；2对分法、收敛速度慢，但可靠；3只需计算函数值的方法：1二次插值法, 收敛快，但对函数单峰依赖较强；2黄金分割法收敛速度较慢，但实用性强，可靠；4减少总体计算时间：非精确一维搜索方法更加有效。
最优化理论与算法(第一章)
最优化理论与算法（数学专业研究生）第一章 引论§1.1引言一、历史与现状最优化理论最早可追溯到古老的极值问题，但成为一门独立的学科则是在20世纪四十年代末至五十年代初。
其奠基性工作包括FritzJohn 最优性条件（1948），Kuhn-Tucker 最优性条件（1951），和Karush 最优性条件(1939)。
近几十年来最优化理论与算法发展十分迅速，应用也越来越广泛。
现在已形成一个相当庞大的研究领域。
关于最优化理论与方法，狭义的主要指非线性规划的相关内容，而广义的则涵盖：线性规划、非线性规划、动态规划、整数规划、几何规划、多目标规划、随机规划甚至还包括变分、最优控制等动态优化内容。
本课程所涉及的内容属于前者。
二、最优化问题的一般形式 1、无约束最优化问题min ()nx Rf x ∈ （1.1） 2、约束最优化问题min ()()0, ..()0, i i f x c x i E s t c x i I=∈⎧⎨≥∈⎩ （1.2）这里E 和I 均为指标集。
§1.2数学基础一、范数 1.向量范数max i xx ∞=（l ∞范数） （1.3）11ni i x x ==∑（1l 范数） （1.4）12221()ni i x x ==∑（2l 范数） （1.5）11()np pi pi x x ==∑（p l 范数） （1.6）12()TAxx Ax =（A 正定） （椭球范数） （1.7）事实上1－范数、2－范数与∞-范数分别是 p －范数当 p ＝1、2和p →∞时情形。
2．矩阵范数定义1.1方阵A 的范数是指与A 相关联并记做A 的一个非负数，它具有下列性质： ①对于0A ≠都有0A >，而0A =时0A =； ②对于任意k R ∈，都有kA k A =； ③A B A B +≤+； ④AB A B ≤； 若还进一步满足： ⑤pp AxA x ≤则称之为与向量范数p 相协调（相容）的方阵范数。
最优化理论与算法(第二章)
§2.1. 引言
一、精确与非精确一维搜索
如前所述，最优化算法的迭代格式为：
因而算法的关键就是选择合适的搜索方向，然后再确定步长因子 。若设
现在的问题是从 出发，沿 方向搜索，希望找到 ，使得 ，这就是所谓的一维搜索或称为线搜索(line search)问题。
⑴ 若求得的 ，使目标函数沿方向 达到最小，即使得
单峰函数的定义
定义2.2设 ， 。若存在 ，使得函数 在 上单调下降，而在 上单调上升，则称 是函数 的单峰区间， 是 上的单峰函数（准确地说应是单谷函数）。
单峰函数还可以等价地定义如下
定义2.3如果存在唯一的 ，使得对于任意的 且 ，有
⑴若 ，则 ；
⑵若 ，则 。
则称 是 上的单峰函数。
下面定理表明，对单峰函数，可以通过简单地比较函数值，缩小搜索区间。
⑴若极小点位于 中，由于我们仅可在此区间中再计算 次函数值。故有
⑵若极小点位于 中，由于除可再计算 次函数值外，还可利用 处的函数值。因而
由此立即得
于是有
2．Fabonacci数列
由下述递归关系式给出的数列称为Fabonacci数列：
， ，
由上一段分析，显然有 。
因此若某种取点方式能保证在计算函数值 次后，能将长度为 的初始区间缩短为1，或等价地，把搜索区间缩减为最初区间的 ，那么就有理由认为这种取点方式是最优的。分数法根据Fabonacci数列来构造、选取试验点，它恰好具有上述所希望的性质。因而是最优选点方式，故称之为优选法。
设 的上确界为 ，（ ），即 表示当允许计算 次函数值时，初始区间长度的上确界（当然最终区间长度为1）。显然，要缩短区间，至少需计算两次下面考虑允许计算 次函数值时，初始区间 的长度的上确界 。设最初的两个试探点为 ，那么余下还可计算 次函数值，而极小点可能位于 或 。
最优化方法：第3章 线性搜索与信赖域方法
（I） 若f(x1)≥f(x2)，x*∈[x1,b] (II) 若f(x1) < f(x2), x*∈[a,x2]
f(x)
f(x)
a x1 x2 x*
bx
a
x* x1 x2 b x
(I) 消去[a, x1 ]
(II) 消去[x2, b]
在单峰函数的区间内，计算两个点的函数值，比较大小后，就
能把搜索区间缩小。在已缩小的区间内，仍含有一个函数值，
fibonacci数列满足fibonacci法中的计算公式为?21111k10???????kfffffkk11kkknknkkabffa????????显然这里相当于黄金分割法中的每次缩短率满足这里n是计算函数值的次数即要求经过n次计算函数值后最后区间的长度不超过即121121111?????????????????nkabffankabffakkknknkkkkknknkk????1???knknff111kkknknkkabffab???????????nnab由于故有从而3215111111132211121abfabffffffabffabnnnnnnn???????????????1111abfn?11abfn??给出最终区间长度的上界由3
若 (0 h0 ) (0 )
则下一步仍以α0为出发点, 沿反方向同样搜索, 直到 目标函数上升就停止.这样便得到一个搜索区间.这种 方法叫进退法.
进退法步骤
算法3.1.1 步1. 选取初始数据.α0∈[0, ∞) , h0>0, 加倍系数t >1(一般取t=2), 计算(0 ) , k =0.
给出最终区间长度的上界δ, 由(3 .2 .15) 求出 Fibonacci 数Fn, 再根据Fn确定出n, 从而搜索一直进 行到第n个搜索点为止
最优化理论与方法
课程报告题目最优化理论与方法学生姓名学号院系专业二Ｏ一二年十一月十日最优化理论与方法综述最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化方法的主要研究对象是各种管理问题及其生产经营活动。
最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。
实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。
这就是我理解的整个课程的流程。
在这整个学习的过程当中，当然也会遇到很多的问题，不论是从理论上的还是从实际将算法编写出程序来解决一些问题。
下面给出学习该课程的必要性及结合老师讲解以及在作业过程中遇到的问题来阐述自己对该课程的理解。
20世纪40年代以来，由于生产和科学研究突飞猛进地发展，特别是电子计算机日益广泛应用，使最优化问题的研究不仅成为一种迫切需要，而且有了求解的有力工具。
因此最优化理论和算法迅速发展起来，形成一个新的学科。
至今已出现线性规划、整数规划、非线性规划、几何规划、动态规划、随机规划、网络流等许多分文。
最优化理论与算法包括线性规划单纯形方法、对偶理论、灵敏度分析、运输问题、内点算法、非线性规划K-T条件、无约束最优化方法、约束最优化方法、参数线性规划、运输问题、线性规划路径跟踪法、信赖域方法、二次规划路径跟踪法、整数规划和动态规划等内容。
最优化理论所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。
这类问题普遍存在。
例如，工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案满足设计要求，又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；城建规划中，怎样安排基本单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产稳产，发挥地区优势；军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局；在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。
最优化及最优化方法讲稿
最优化的发展简史
最优化是一个古老的课题。长期以来， 人们对最优化问题进行着探讨和研究。
公元前 500年古希腊在讨论建筑美学中就已 发现了长方形长与宽的最佳比例为1. 618,称为 黄金分割比。其倒数至今在优选法中仍得到广泛 应用。在微积分出现以前，已有许多学者开始研 究用数学方法解决最优化问题。例如阿基米德证 明：给定周长，圆所包围的面积为最大。这就是 欧洲古代城堡几乎都建成圆形的原因。
组合最优化
在给定有限集的所有具备某些条件的子集中，按某种目 标找出一个最优子集的一类数学规划。又称组合规划。 从最广泛的意义上说，组合规划与整数规划这两者的领 域是一致的，都是指在有限个可供选择的方案的组成集 合中，选择使目标函数达到极值的最优子集。
组合最优化发展的初期，研究一些比较实用的基本上属 于网络极值方面的问题 ，如广播网的设计 、开关电路设 计、航船运输路线的计划、工作指派、货物装箱方案等。 自从拟阵概念进入图论领域之后，对拟阵中的一些理论 问题的研究成为组合规划研究的新课题，并得到应用。 现在应用的主要方面仍是网络上的最优化问题，如最短 路问题、最大（小）支撑树问题、最优边无关集问题、 最小截集问题、推销员问题等。
学习该课程的需要具备的基本知识
高等数学 线性代数
学习该课程的要求
态度决定一切 正确理解基本概念和原理 掌握最优化方法的思想 能够运用最优化方法分析解决实际问题
最优化问题
最优化问题的数学模型一般形式 minf((x) max) (1 .1 )（目标函数）
s .t. g ix 0 ,i 1 ,2 ,L m , 1 .2 （不等式约束）
D x g i x 0 , i 1 , 2 , L m , h j x 0 , j 1 , L , p , x R n
最优化理论与方法第一章
约束条件的处理方法
转化法
将约束条件转化为无约束的形式，通过引入新的变量或等价变换，将约束问题转化为无 约束问题求解。
参数法
将约束条件作为参数引入目标函数中，构造新的目标函数，通过求解新的目标函数得到 最优解。
约束优化问题的求解方法
拉格朗日乘子法
通过引入拉格朗日乘子，将约束优化问题转 化为无约束优化问题，通过求解无约束优化 问题得到最优解。
最优化问题广泛应用于各个领域，如 经济、工程、科学计算等，是解决资 源分配、生产调度、投资决策等实际 问题的关键工具。
分类
线性与非线性
根据目标函数是否为线性函数，可以 分为线性最优化和非线性最优化问题 。线性最优化问题是指目标函数和约 束条件都是线性函数的问题，而非线 性最优化问题则是指目标函数或约束 条件中至少有一个是非线性函数的问 题。
最优化理论与方法在各个领域都有广 泛的应用，如经济、金融、工程、物 流等。随着科技的发展和大数据时代 的到来，最优化理论与方法在数据挖 掘、机器学习等领域也发挥着越来越 重要的作用。
掌握最优化理论与方法对于提高个人 和组织的竞争力具有重要意义，也是 当前社会对高素质人才的基本要求之 一。
章节概述
本章将介绍最优化理论与方法的基本概念、原理和应用，包括线性规划、非线性规划、动态规划、整 数规划等。
03
最优化方法概述
一阶方法：梯度法、最速下降法等
梯度法
基于目标函数的梯度信息，通过沿着负梯度的方向搜索，寻找函数的最小值。适用于目标函数连续且可微的情况。
最速下降法
利用目标函数的负梯度方向作为搜索方向，逐步逼近函数的最小值点。适用于凸函数或非凸函数，但需要满足一 定的收敛条件。
二阶方法：牛顿法、拟牛顿法等
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化理论是一种用于解决实际问题的有效方法。
它可以帮助我们找到解决实际问题的最佳解决方案。
本文将介绍最优化理论的基本概念，以及它的特点和应用。
最优化理论的基本概念是：最优化理论旨在求解一个或多个变量的最优解，使得系统的某种目标函数的值达到最优。
最优化理论的目标函数可以是最大化或最小化函数。
最优化理论具有非常强大的表达能力，可以通过不同的方式来求解最优解。
最优化理论具有三个主要特点：第一，它拥有解决问题的高效率和精确性；第二，它可以有效地处理多变量优化问题；第三，它可以通过数学模型有效地实现最优解的有效求解。
最优化理论应用非常广泛，它可以应用于工程，金融，计算机，经济，生物技术，社会科学等。
在工程领域，最优化理论可以用来解决资源分配问题，能源分配问题，分布式计算问题和工程优化问题；在金融领域，它可以用来解决财务优化问题，保险业绩优化问题和金融模拟优化问题；在计算机领域，它可以用于解决计算机视觉问题和搜索算法等；在经济领域，它可以用于解决交易问题，价格优化问题，风险优化问题，以及经济模型优化问题；在生物技术领域，它可以用于研究蛋白质结构及其疾病发病机制；在社会科学领域，它可以用于研究社会现象及其规律。
在任何领域，最优化理论都拥有以上优势，可以提高系统性能和精确度，特别是在现代计算机技术竞争激烈的时代，最优化理论的应用更加广泛。
最优化理论可以有效地满足多个变量的最佳解，以提高系统性能。
综上所述，最优化理论是一种有效的求解多变量优化问题的理论，能够有效地提高系统性能和精确度。
它具有高效率，准确性，可扩展性，应用范围广泛等优点。
最优化理论是一种在许多领域，尤其是工程，金融，经济，计算机，生物技术和社会科学领域都有广泛应用的理论和方法。
它的应用已经使系统的性能和精确度得到了极大的提升，为解决实际问题提供了有效的理论和方法。
上海理工大学研究生课程(试题类)试卷 (题库)
33.设 ui (i 1, 2,..., n) 是一组关于 n n 维正定矩阵 A 共轭的向量' (u i ) ' Au i
34.设 ui (i 1, 2,..., n) 是一组沿正定二次函数 f(x)最优下降路径共轭的向量,
k i 1 证明:对于所有的 i , 1 i n ， (u , f ( x )) 0, k 1,..., i
Dn ，计算 Dn 效率。
18.用三点等分区间搜索法求 f ( x) x2 4 x 2 在区间[0,10]上的最小值， 完 成前两次迭代。 19.利用牛顿法计算函数 f ( x) 4 x12 2 x1x2 2 x22 x1 x2 的最小值。 20.对于三点等分区间法，求使最终期间和初始区间之间的比为△L 时的 最小计算次数 N。 21.Fibonacci 要将区间缩小到 104 即 Ln / L 104 ， 函数要迭代计算多少次？ 22.证明：黄金分割法和斐波那契搜索法的渐近收敛率是一致的。 23.对于二次函数 f ( x) xT Qx ，当用最优梯度法求解其最小值时，求每一 步迭代过程中的最优步长 k . 24.运用最优梯度算法，确定步长 k ，使 f ( x) 在 k 次迭代中每次都下降一
2 f ( x ) 0
6. 证明：二次函数 f ( x) aT x xT Ax 严格凸的充要条件是 A 是正定阵。 7. 用凸函数的定义证明：函数 在 x 0 是严格凸函数，在 x 0 是严格凹 函数。 8. 用凸函数的定义证明 x 2 是凸函数。 9. 证明：凸函数的和仍为凸函数。 10.判断下列函数是否为严格凸函数
2 2 (1) f ( x1 , x2 ) 2 x1 2 x2 2 x1x2 x2 1
最优化方法课程设计 斐波那契法分析与实现
2. 斐波那契法分析
斐波那契法的一维搜索过程是建立在一个被称为斐波那契数列的基础上进 行的.在此之前，有必要知道区间缩短率以及斐波那契数列的概念. ·2.1 区间缩短率 定义 2.1.1 在逐次缩短区间时，设
b1 a1 1 0 1 1 , ba
b2 a 2 2 0 2 1 , b1 a1
……
2
bk a k k 0 k 1 , bk 1 a k 1
称 k k 1,2, 为区间缩短率. 对于上面的 k 不外乎两种情况，要么 k c ，要么 k c ( c 为常数).第一种 情况就可以引入前面提到的黄金分割法， 第二种情况就是下面要分析的斐波那契 法. ·2.2 斐波那契数列 斐波那契数列是 13 世纪,由意大利的数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)提出的，当时和兔子的繁殖问题有关，它是一个很重要的数学模型. 斐波那契数列，又被称为“黄金分割数列” ，它指的是这样的一个数列：数列的 第一个和第二个数都为 1，接下来每个数都等于前面两个数的和. 在数学上，斐波那契数列有如下的递归定义：
f x1 f x 2 ， 则 对 x a, x1 ， 有 f x f x 2 ； 如 果 f x1 f x 2 ， 则 对 x x 2 , b ，有 f x f x1 .
证明： （反证法）先证第一种情形.假设当 f x1 f x 2 时， x a, x1 ，使得
关键字：一维搜索
斐波那契法
单峰函数
黄金分割法
MATLAB
Abstract
Mathematical sciences is a major trend in contemporary scientific development, optimization theory and algorithms is an important branch of mathematics, the problems it was discussed in numerous research programs in the best of what programs and how to find the optimal solution . One-dimensional search is the best method of seeking functions of one variable on the merits of a certain interval. Such methods not only have practical value, but also a large number of multi-dimensional optimization methods rely on a series of one-dimensional optimization article on Fibonacci the one-dimensional search method carried out a detailed analysis, and successful in MATLAB Fibonacci method for solving unimodal function minimization problem. Fibonacci method of one-dimensional search process is based on the Fibonacci sequence is called a Fibonacci conducted on, Fibonacci method successfully achieved a unimodal function extreme range reduction. Theory , Fibonacci method accuracy is higher than the golden section method, but the number of times due to the Fibonacci method to calculate function values to know in
数学中的优化理论与最优化方法
数学中的优化理论与最优化方法一、优化理论概述1.优化理论的定义：优化理论是研究如何从一组给定的方案中找到最优方案的数学理论。
2.优化问题的类型：–无约束优化问题–有约束优化问题3.优化问题的目标函数：–最大值问题–最小值问题二、无约束优化方法1.导数法：–单调性：函数在极值点处导数为0–凸性：二阶导数大于0表示函数在该点处为凸函数2.梯度下降法：–基本思想：沿着梯度方向逐步减小函数值–步长：选择合适的步长以保证收敛速度和避免振荡3.牛顿法（Newton’s Method）：–基本思想：利用函数的一阶导数和二阶导数信息，构造迭代公式–适用条件：函数二阶连续可导，一阶导数不间断三、有约束优化方法1.拉格朗日乘数法：–基本思想：引入拉格朗日乘数，将有约束优化问题转化为无约束优化问题–适用条件：等式约束和不等式约束2.库恩-塔克条件（KKT条件）：–基本思想：优化问题满足KKT条件时，其解为最优解–KKT条件：约束条件的斜率与拉格朗日乘数相等，等式约束的拉格朗日乘数为03.序列二次规划法（SQP法）：–基本思想：将非线性优化问题转化为序列二次规划问题求解–适用条件：问题中包含二次项和线性项四、最优化方法在实际应用中的举例1.线性规划：–应用领域：生产计划、物流、金融等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、产能限制等2.非线性规划：–应用领域：机器人路径规划、参数优化等–目标函数：最大化收益或最小化成本–约束条件：物理限制、技术限制等3.整数规划：–应用领域：人力资源分配、设备采购等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、整数限制等4.动态规划：–应用领域：最短路径问题、背包问题等–基本思想：将复杂问题分解为多个子问题，分别求解后整合得到最优解5.随机规划：–应用领域：风险管理、不确定性优化等–基本思想：考虑随机因素，求解期望值或最坏情况下的最优解数学中的优化理论与最优化方法是解决实际问题的重要工具，掌握相关理论和方法对于提高问题求解能力具有重要意义。
《最优化方法》课程教学标准
《最优化方法》课程教学标准第一部分：课程性质、课程目标与要求《最优化方法》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的选修课程，是系统地培养数学及其应用人才的重要的课程之一，它与工农业生产等实际问题紧密联系。
本课程的目的是利用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等其他数学科学的知识，来对各种实际问题建立优化模型，并构造优化算法，使学生学会和掌握本课程的基本优化模型、基础理论和方法，为他们解决实际问题提供思想与方法；同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本优化方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣，做好准备。
教学时间应安排在第六学期或第七学期。
这时，学生已学完线性代数，基本学完数学分析等课程，这是学习《最优化方法》课程必要的基础知识。
同时，建议在条件允许的情况下，介绍利用常用的数学软件解决优化问题的基本方法和技能，使学生初步体会计算机在解决数学及其应用问题的重要作用，增强使用数学方法和计算机解决问题的意识和能力。
第二部分：教材与学习参考书本课程拟采用由孙文瑜、徐成贤和朱德通编写的、高等教育出版社2004年出版的《最优化方法》一书，作为本课程的主教材。
为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：1、最优化方法，施光燕、董加礼，高等教育出版社，19992、最优化理论与算法，陈宝林，清华大学出版社，1989第三部分：教学内容纲要和课时安排第一章基本概念主要介绍优化问题的基本模型、凸集和凸函数的概念和性质、最优性条件及最优化方法概述。
本章的主要教学内容（教学时数安排：6学时）：§1.1最优化问题简介§1.2凸集和凸函数§1.3 最优性条件§1.4 最优化方法概述第二章线性规划本章介绍线性规划的基本性质及其对偶理论，求解线性规划的单纯形方法和对偶单纯形方法以及内点算法。
最优化基础理论与方法
最优化基础理论与方法
最优化是研究一类具有其中一种特定性质的非线性函数最优解的一门数学理论，其主要目的是在一定的条件下寻找出该问题的最优解以及最优解的性质。
最优化基础理论及其实用方法在现代应用中起着重要作用，其业绩远远超出其他数学理论。
最优化的基础理论可以分为两个方面，其一是的理论，主要研究的是最优解的存在性以及最优解的求解方法；其二是分析的理论，主要研究的是最优解的特征和性质，以及最优解的结构。
一般来说，最优化的基本理论有最优化方程的存在性，拉格朗日最优性条件，最优解的单调性特征，最优解的松弛性特征等。
而最优化的实用方法可以分为两类，即精确解法和近似解法。
精确解法是指采用数学计算的方法，通过满足最优化函数的拉格朗日最优性条件，结合相应的形式化变量，直接求得最优解的精确解法。
近似解法是指在求解最优解时因为一些原因而没有找到最优解，改进最优解及其相关性质的一类优化方法。
它们从未被求解的问题出发，通过构建近似问题在一定程度上求解未知的最优解。
常见的近似解法有拟牛顿法，迭代割线法，拟合序列法等。
第1讲最优化理论与方法概述
第1讲最优化理论与方法概述
优化理论与方法是科学技术、工程技术及社会经济领域最基本的理论与方法之一，它包括有效管理信息、数据资源、计算资源、计算方法及其运用于完成一定任务的整个过程。
优化理论与方法的基本特征是求解问题的最优解，即能够以最少的代价实现最大的效果。
因此，这门学科也有时被称为优化算法、优化方法、最优化理论与方法等。
优化理论与方法一般涉及到分析、求解、估算、定制和能力提升等基本活动。
它主要是通过分析、提取、重新组合有效信息，以最少的费用实现最大效益，系统地实现数据决策的动态过程，最终达到给定目标的一种科学过程。
优化理论与方法的应用范围十分广泛，既可以应用到工业管理、经济管理等领域，也可以应用到物理、化学、生物和生态学中，甚至可以用于地理系统分析和空间规划等方面。
在求解优化问题时，可以采取数学优化方法，也可以采用模拟优化方法，或利用一组算法和经验性算法等复杂技术来实现多目标的最优化。
常见的优化方法包括数学规划、非线性规划、半定规划、综合规划、多目标优化法、博弈论、动态规划、多变量优化及经验性算法等，这些方法可以根据具体问题，选择最合适的解决办法。
最优化理论与算法课件 (13)
3.置ak 1 k , bk 1 bk , k 1 k ,
k 1 ak 1 0.618(bk 1 ak 1 ), 计算f ( k 1 )，转5。
4.置ak 1 ak , bk 1 k , k 1 k ,
k 1 ak 1 0.382(bk 1 ak 1 ), 计算f (k 1 )，转5。
x
性质：通过计算区间[a, b]内两个不同点处的函数值， 就能确定一个包含极小点的子区间。 定理：设f ( x)是[a, b]上的单峰函数，x1 , x2 [a, b]且 x1 x2，
若f ( x1 ) f ( x2 )，则对任意x [a, x1 ]，有 f ( x) f ( x2 )， 若f ( x1 ) f ( x2 )，则对任意x [ x2 , b]，有 f ( x) f ( x1 )。
2
得
1 5 2 1 5 0, 0.618 2
k ak 0.382(bk ak ) k ak 0.618(bk ak )
[a1,b1],L>0
1 a1 0.382(b1 a1 ) 1 a1 0.618(b1 a1 ) 计算f (1 ), f ( 1 )，k 1
5.置k k 1，返回2。
优点:不要求函数可微,甚至当函数不连续时，
0．618法仍可应用。
缺点：收敛比较慢，0．618法只适用于单
峰函数，所以需要先确定单峰区间， 再使用0．618法的计算公式。
k 1 2 3 4 5 6 7 8
例： min e x 5 x (1 x 2), L 0.04. ak bk k k f ( k ) f (k ) 1 2 1.382 1.618 2.928 3.048 1.382 2 1.618 1.764 3.048 2.985 1.382 1.764 1.528 1.618 3.032 3.048 1.528 1.764 1.618 1.674 3.048 3.037 1.528 1.674 1.584 1.618 3.046 3.048 1.584 1.674 1.618 1.640 3.048 3.046 1.584 1.640 1.605 1.618 3.048 3.048 1.584 1.618
最优化理论与算法完整版课件
n
xij ai
j
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2, , m
j 1, 2, n i 1, 2, , m j 1, 2, n
TP SHUAI
15
3 税下投资问题
• 以价格qi 购买了si份股票i,i=1,2,…,n
• 股票i的现价是pi
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12
1. 食谱问题（续）
令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写 成如下的数学形式：
Min 3x +2.5y s.t. 2x + 4y 40
3x + 2y 50 x, y 0.
极小化目标函数
可行区域（单纯形） 可行解
运筹学工作者参与建立关于何时出现最小费用 （或者最大利润）的排序，或者计划，早期被标示为programs。 求最优安排或计划的问题，称作programming问题。
29
基本概念
Df 1. 1 设f(x)为目标函数，S为可行域，x0S,若对 每一个x S,成立f(x)f(x0),则称x0为极小化问题min f(x),
x S的最优解（整体最优解）
Df 1.2 设f(x)为目标函数，S为可行域，
若存在x0的邻域 N (x0 ) {x | x x0 , 0} 使得对每个x S N (x0),成立f (x) f (x0)
称为可行点,全体可行点组成的集合称为 可行集或可行域.如果一个问题的可行域 是整个空间,则称此问题为无约束问题.
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基本概念
• 最优化问题可写成如下形式:
min f (x)
fibonacci优化法 例题
文章标题：深入探讨Fibonacci优化法—理论与实践一、引言在计算机算法与数据结构领域，Fibonacci优化法是一种非常重要的优化算法。
本文将从深度和广度两个方面进行全面评估，并根据具体例题展开讨论，分析其优点和适用场景。
二、Fibonacci优化法的理论基础Fibonacci优化法源自Fibonacci数列，其数学表达式为：F(1) = F(2) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n > 2)。
在计算机算法中，Fibonacci优化法主要用于解决递归或动态规划中的重叠子问题，通过存储中间结果，避免重复计算，进而提高算法效率和性能。
三、Fibonacci优化法的实际应用我们以斐波那契数列求解为例。
假设有一个常见的斐波那契数列求解问题，代码如下所示：```pythondef fibonacci(n):if n <= 2:return 1else:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)```在传统的递归算法中，存在大量的重复计算，导致性能低下。
而通过Fibonacci优化法，我们可以使用一个数组来存储中间结果，避免重复计算，大大提高了算法的效率。
```pythondef fibonacci_optimized(n):memo = [0] * (n+1)return fib(n, memo)def fib(n, memo):if n <= 2:return 1if memo[n] != 0:return memo[n]memo[n] = fib(n-1, memo) + fib(n-2, memo)return memo[n]```通过Fibonacci优化法，我们能够显著减少重复计算，提高了算法的效率和性能，尤其在大规模的计算任务中效果更为明显。
四、对Fibonacci优化法的个人观点和理解Fibonacci优化法作为一种重要的优化算法，在实际应用中展现出了巨大的价值。
斐波那契法(最优化一维搜索)
1•用斐波那契法求函数f(t) = t26t+2的近似极小点和极小值，要求缩短后的区间不大于区间［0,10］的5%1解：由题意5%，由斐波那契数列F n丄，则n=7，a0 0，b0 10所以选择t6为极小点, f (t6) 6.89。
60 35121'105・F&八、80 1 F6心130 t1 = b0 (b0 a0)= J t1 a0 L (b。
a°) , 5 F7 21 F7 21将t1和t1代入函数，比较大小有f(t1)f (t1)180 130 F5 50则有a1a00，t2 t1 ，b1 t1 t2 b1 (b1 aj21 21 F6 21将t2和t2代入函数，比较大小有f(t2)f (t2)-150 80 F430 则有a2 a1t3 t2 ，b2 t2 t3 b2 (b2 a?)21 21 F5 21将t3和t a代入函数，比较大小有f(t3)f (t s)，30 1 50 80 1 F3 60 则有a3 t3，t4 t3 ，b3 b2 t4 a3 (b3 a3)21 21 21 F4 21将t4和t4代入函数，比较大小有f(t4)f (t4)，50 1 60 , , 80 ' F2 、70则有a4 t4't5 t4 b b3 ，t5 a4 - (b4 a4 )21 21 21 F3 21将t5和t5代入函数，比较大小有f(t5)f (t5)，… 60 ，70 , , 80则有a5t5-，t6 t5 ，t>5 b421 21 2160 80 60 351 则令t6 a5 ( 1)(b5 a 15) (0.5 0.01) ( )F2 21 21 21 105将t6和t6代入函数，比较大小有f(t6)f (t6)，则a6 a5 60，b6 t6 351，区间为:21 1052.用斐波那契法求函数f(t)=cost 的近似极小点和极小值，要求缩短后的区间不大于区间［0,2 ］的0.08倍1解：由题意0.08，由斐波那契数列 F n，则n=6， a 0 0, b 0 2将t 1和t 1代入函数，比较大小有 f (tj f (t 1)将t 5和t 5代入函数，比较大小有f (t 5) f (t 5)，1012则有a 5t 5， b 5 b 4131310 12区间1313所以选择t 5 为极小点，f 住5)f(10) 0.913325t i b F5(b 0 a 。