【最新】版高中全程复习方略配套课件：7.7空间向量及其运算(数学理·福建专用)

【即时应用】 (1)思考：对于实数a,b，若ab=0，则一定有a=0或b=0，而对于 向量a,b，若a·b=0，则一定有a=0或b=0吗？ 提示:不一定，因为当a≠0且b≠0时，若a⊥b，也有a·b=0.
(2)已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜=｜b｜=4，那么 b·(2a+b)等于______. 【解析】b·(2a+b)=2b·a+b2=2×4×4cos120°+42=0. 答案:0
ab
共面向量 平行于同一个平__面__的向量
2.空间向量的加、减、数乘运算 空间向量的加、减、数乘运算是平面向量运算的推广. 如图，设a,b是空间任意两向量， 若 OA AC a,AB b， P∈OC， ①加法：OB OA AB =_a_+_b_， ②减法：BC AC AB=_a_-_b_, ③数乘：OP =_λ_a__(λ∈R).
3.空间向量的数量积 两个空间向量a,b,从空间任意一点O出发作 OA a，OB b， 则θ=∠AOB就是_a_，__b_所__成__的__角__，a,b的数量积a·b= _|_a_|_|_b_|_c_o_s_θ__. 特别地，a2=a·a=|a|2，|a|= a2 ； a·b=0⇔a⊥b.
空间向量的数量积满足如下运算律: (1)(λa)·b=_λ__(_a_·__b_)_. (2)a·b=_b_·__a_. (3)a·(b+c)=_a_·__b_+_a_·__c_.
4.空间向量的分解与坐标
定理1 设 e1,e2 ,e3 是空间中三个_两__两__垂__直__的_单__位__向量,则
(1)空间中任意一个向量 可以写成这三个向量的线性组合： =_x_e_1___ye_2___ze_3_. (2)上述表达式中的系数x,y,z由 唯一决定.即 如果 xe1 ye2 ze3 xe1 ye2 ze3 , 则_x_=_x_′__，__y_=_y_′__,_z_=_z_′_.Байду номын сангаас其中 e1,e2,e3 组成空间的一组基，有序数组(x,y,z)称为 在这 组基下的坐标.
【即时应用】 (1)已知a=(2，-1,3)，b=(-1,4，-2)，c=(7,5，λ)，若a,b,c 三个向量共面，则实数λ=______. (2)已知a=(λ+1,0,2λ),b=(6,2μ-1,2)，若a∥b，则 λμ=________. (3)已知向量a,b,c是空间中三个两两垂直的单位向量，向量 a+b,a-b,c组成空间的一组基，若向量p在基向量a+b,a-b,c 下的坐标为( 3 , 1 ,3)，则向量p在基向量a,b,c下的坐标为____.
(1)空间任意五边形ABCDE，则 AB BC CD DE EA 0 ( )
(2)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行
()
(3)空间任意两非零向量a、b共面
()
(4)空间向量a平行于平面α，则a所在直线平行于平面α ( )
【解析】由向量加法知(1)正确；当a∥b时，a与b所在直线平 行或重合，故(2)是错误的；由于向量可平移，因此空间任意 两非零向量都可平移到同一起点，故空间任意两非零向量共 面，即(3)是正确的；a所在的直线可能在平面α内，故(4)是 错误的. 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)×
1.空间向量的概念
名称 空间向量 零向量 单位向量 相等向量 相反向量
概念 空间中既有_大__小_又有__方__向__的量
模为_0__的向量
表示
AB或a 0
长度（模）为_1__的向量 方向_相__同_且模__相__等_的向量
ab
方向_相__反_且模_相__等_的向量
a的相反向量为 a
共线向量
表示空间向量的有向线段所 在的直线互相平__行__或__重__合__的向量
空间向量加法、数乘运算满足的运算律 ①交换律：a+b=_b_+_a_， ②结合律：(a+b)+c=_a_+_(_b_+_c_)_， λ(μa)=_(_λ__μ__)_a_(λ∈R,μ∈R)，
③分配律：λ(a+b)=_λ__a_+_λ__b_(λ∈R).
【即时应用】
判断下列命题的正误(请在括号内填“√”或“×”).
第七节 空间向量及其运算
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三年10考 高考指数:★★★ 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义， 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积 判断向量的共线与垂直.
1.空间向量的坐标表示是用空间向量解决空间平行、垂直、角 问题的基础. 2.以向量及其运算为工具证明平行、垂直以及求空间角是高考 的热点；题型多以解答题的形式出现，考查学生的运算能力及 分析问题、解决问题的能力.
定理2 (空间向量基本定理)设 e1,e2,e3 是空间中三个_不__共__面__ 的_单__位__向量，则 (1)空间中任意一个向量 υ 可以写成这三个向量的线性组合：
υ _x_e1___y_e_2___ze_3.
(2)上述表达式中的系数x,y,z由 υ 唯一决定. 即：如果 υ xe1 ye2 ze3 xe1 ye2 ze3, 则_x_=_x_′__，__y_=_y_′__,_z_=_z_′_.
22
【解析】(1)由于a,b,c三个向量共面，所以存在实数m,n使得
7 2m n
c=ma+nb，即5 m 4n，
3m 2n
解得 m 33 , n 17 , 65 .
777
1 6k
(2)由a∥b得a=kb，从而得 0 k 2解得1,
2 2k
k 1 ,故 λμ1=, .
1
52
10
(3)由条件得 p 3 a b 1 a b 3c a 2b 3c，
2
2
故向量p在基向量a,b,c下的坐标为(1,2,3).
答案:(1) 65 (2) (13)(1,2,3)
7
10
5.点的坐标与向量坐标 (1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向 线段的_终__点__的坐标减去_起__点__的坐标. (2)两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)的距离