四川省蓉城名校联盟2020-2021学年高一上学期期末联考数学试卷 (解析版)

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2021届四川省成都市蓉城名校联盟高三第一次联考数学(理)试题(解析版)

2021届四川省成都市蓉城名校联盟高三第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知全集为实数集R ，集合{}=04A x x ≤≤，{}28150B x x x =-+>，则()AB =R（）A ．[]4,5B ．[]0,3C ．[]3,4D ．()3,4【答案】C【分析】由一元二次不等式解得集合B,根据补集的定义求出B R，根据交集的定义，计算求得结果.【详解】由281503x x x -+>⇒<或5x >，则[]3,5RB =，则()[]3,4R A B ⋂=,故选：C.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查补集、交集的运算，属于基础题. 2．已知复数21z i=-，则z =（）A ．1BCD ．2【答案】B【分析】先对复数化简，再利用模的公式求解即可【详解】由()()()()22121211111i i z i i i i i ++====+--+-，则z =故选：B【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模的计算，属于基础题 3．命题:p “0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin tan x x <”的否定p ⌝为（） A ．0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin tan x x ≥B ．0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin tan x x > C ．00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00sin tan x x ≥ D ．00,2x π⎛⎫∃∉ ⎪⎝⎭，00sin tan x x ≥ 【答案】C【分析】全称命题的否定：将∀→∃，否定结论即可.【详解】由原命题p 可知：其否定为0:0,2p x π⎛⎫⌝∃∈ ⎪⎝⎭，00sin tan x x ≥. 故选：C【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于简单题.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3a ，7a 是方程28130x x --=的两根，则9S =（） A ．36 B ．40 C ．72 D ．80【答案】A【分析】由根与系数的关系可得378a a +=，再利用等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质可求得结果【详解】因为3a ，7a 是方程28130x x --=的两根，所以378a a +=，所以()()19379993622a a a a S ++===，故选：A【点睛】此题考查等差数的性质的应用，考查等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题5．已知311tan 4e dx x πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭⎰，则2sin cos cos sin αααα+=-（） A ．4- B ．4 C ．5 D ．5-【答案】D【分析】由定积分得tan 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭可得tan 2α=，再由2sin cos 2tan 1cos sin 1tan αααααα++=--即可求解. 【详解】由()()()331311ln ln ln13e e dx x C e C C x⎰=+=+-+=，则tan 1tan 341tan πααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，则tan 2α=，由2sin cos 2tan 15cos sin 1tan αααααα++==---故选：D.【点睛】本题考查定积分的计算，三角函数的诱导公式的应用及正余弦齐次式计算，属于基础题.6．已知随机变量X 服从二项分布()4,B p ，其期望()3E X =，随机变量Y 服从正态分布()1,2N ，若()0P Y p >=，则()02P Y <<=（） A ．23B ．34C ．14D ．12【答案】D【分析】由()3E X =得到p ，根据正态分布的性质再由()0P Y >得到()01P Y <<及()02P Y <<可得答案.【详解】由()3434E X p p ==⇒=，则()304P Y >=，则()31101424P Y <<=-=，则()()1022012P Y P Y <<=<<=，故选：D.【点睛】本题考查二项分布的期望与正态分布的概率，属于基础题。

【市级联考】四川省成都市2020-2021学年高一上学期期末调研考试数学试题答案和解析

【市级联考】四川省成都市【最新】高一上学期期末调研考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3A =，则U C A =（） A ．{}1,2,3B ．{}4,5,6C ．{}1,2D ．{}5,62．已知向量()1,2a =，()1,1b =-，则2a b -=（） A ．()3,0B ．()2,1C ．()3,3-D ．()3,33．半径为3，圆心角为4π的扇形的弧长为（） A ．38π B ．98π C ．34π D ．94π 4．下列四组函数中，()f x 与()g x 相等的是（） A ．()1f x =，0()g x x = B ．2()ln f x x =，()2ln g x x =C ．()f x x =，2()g x =D ．()f x x =，()g x =5．若函数log (3)a y x =+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（） A ．(2,0)-B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(3,0)-6．已知tan 3α=，则2sin cos 2cos 3sin αααα+-的值是（）A ．53 B ．1C ．1-D ．53-7．已知关于x 的方程230x ax -+=有一根大于1，另一根小于1，则实数a 的取值范围是（） A ．(4,)+∞B ．(,4)-∞C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞8．设0.45a =，50.4b =，5log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<9．若函数()f x 唯一的一个零点同时在区间(0,2)，(0,4)，(0,8)，(0,16)内，则下列命题中正确的是（）A ．函数()f x 在区间(0,1)内有零点B ．函数()f x 在区间[2,16)上无零点C ．函数()f x 在区间(1,16)内无零点D ．函数()f x 在区间(0,1)或(1,2)内有零点10．如图，在正方形ABCD 中，F 是边CD 上靠近D 点的三等分点，连接BF 交AC 于点E ，若BE mAB nAC =+(,)m n R ∈，则m n +的值是（）A ．15-B ．15C ．25-D ．2511．已知0>ω，2πϕ≤，在函数()()sin f x x ωϕ=+，()()cos g x x ωϕ=+的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，则ϕ的取值范围是（） A ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知函数2ln ,0(),0x x f x x mx x ⎧>=⎨-+≤⎩和()g x a =（a R ∈且为常数）.有以下结论：①当4a =时，存在实数m ，使得关于x 的方程()()f x g x =有四个不同的实数根；②存在[]3,4m ∈，使得关于x 的方程()()f x g x =有三个不同的实数根；③当0x >时，若函数2()()()h x f x bf x c =++恰有3个不同的零点1x ，2x ，3x ，则1231x x x =；④当4m =-时，关于x 的方程()()f x g x =有四个不同的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，若()f x 在234[,]x x 上的最大值为ln 4，则1234sin(3354)1x x x x π+++=.其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 13．求值:2cos3π=______.14．已知幂函数()a f x x （α为常数）的图象经过点，则α的值是__________． 15．若将函数()sin()6f x x πω=+(07)ω<<的图象向右平移3π个单位后恰与()f x 的图象重合，则ω的值是__________．16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，(),011,123,2x x f x x x x -≤≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩.若对任意的x R ∈，不等式()()f x f x >恒成立，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题17．计算：（1）(√3−1)0+√(3−π)2+(18)−13；（2）2lg5+lg 25+2log 23. 18．已知函数21()f x x =. （1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）用函数单调性的定义证明函数()f x 在(0,)+∞上是减函数.19．某公司在【最新】承包了一个工程项目，经统计发现该公司在这项工程项目上的月利润P 与月份x 近似的满足某一函数关系.其中2月到5月所获利润统计如下表：（1）已知该公司的月利润P 与月份x 近似满足下列中的某一个函数模型：①()2P x ax bx c =++；②()x P x a b c =⋅+；③()log b P x a x c =+.请以表中该公司这四个月的利润与月份的数据为依据给出你的选择（需要说明选择该模型的理由），并据此估计该公司【最新】8月份在这项工程项目中获得的利润；（2）对（1）中选择的函数模型()P x ，若该公司在【最新】承包项目的月成本符合函数模型()Q x =，求该公司【最新】承包的这项工程项目月成本的最大值及相应的月份. 20．已知函数()2()f x sin x (0,)2πωϕ><的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()y f x =的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到()y g x =函数的图象.求当[0,]x π∈时，函数()y g x =的单调递增区间. 21．已知点(0,0)O ，(0,1)B ，(cos ,sin )C m x x ，其中0m ≠，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. （1）若OC BC =，求x 的值；（2）若函数()f x OC BC =⋅的最小值为()g m ，求()g m 的表达式. 22．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x ，且()()xf xg x e +=.（1）求函数()f x ，()g x 的解析式；（2）设函数()12112g x F x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⎛⎫- ⎪⎝⎭，记()1231n H n F F F F n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()*,2n N n ∈≥.探究是否存在正整数()2n n ≥，使得对任意的(]0,1x ∈，不等式()()()2g x H n g x >⋅恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数n 的值；若不存在，请说明理由.参考答案1．B 【解析】【分析】由补集的定义可得答案. 【详解】集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3A =，则{}4,5,6,U C A = 故选：B 【点睛】本题考查集合的补集的运算，属于简单题. 2．D 【分析】由向量坐标的减法运算即可得结果. 【详解】向量()1,2a =，()1,1b =-，则2a b -=2()()()()1,21,121,413,3--=+-= 故选D 【点睛】本题考查向量坐标的加减法运算，属于简单题. 3．C 【分析】由扇形的弧长公式直接计算即可得结果. 【详解】扇形的弧长l αr =, 又半径为3，圆心角为4π，则3l αr 344ππ==⨯=故选C 【点睛】本题考查扇形弧长公式的应用. 4．D 【解析】【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．【详解】选项A,f(x)定义域为R,g(x)定义域为{}|0x x ≠,故两个函数不相等；选项B,f(x)定义域为{}|0x x ≠，g(x)定义域为{}0x x ,故两个函数不相等；选项C,f(x)定义域为R ，g(x)定义域为{}|0x x ≥,故两个函数不相等；选项D,化简函数g(x)=x 与函数f(x)相同，故两个函数相等；故选：D 【点睛】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数． 5．A 【解析】【分析】由对数的性质知，当真数为1时，对数值一定为0，由此性质求函数图象所过的定点即可. 【详解】当x+3=1时，即x=-2时此时y=0,则函数()log 3a y x =+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点P （-2,0）故选：A 【点睛】本题考查有关对数型函数图象所过的定点问题，涉及到的知识点是1的对数等于零，从而求得结果，属于简单题. 6．C 【解析】【分析】将所求式子的分子分母同时除以cos α，得到关于tan α的式子，将tan 3α=代入即可得到结果. 【详解】将分子分母同时除以cos α，2sin cos 2tan 171,2cos 3sin 23tan 7αααααα++===----故选：C 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，常用方法：(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sin cos αα; 形如asinx bcosxcsinx dcosx++,a sin 2x+b sin x cos x+c cos 2x 等类型可进行弦化切；（2）“1”的灵活代(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ,(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2的关系进行变形、转化. 7．A 【解析】【分析】利用二次函数图像的性质，只需满足x=1处的函数值小于0即可. 【详解】∵关于x 的方程230x ax -+=的一根大于1，另一根小于1，令f （x ）＝23x ax -+，开口向上，只需f （1）＝1-a+3=4-a ＜0，得a >4，故选：A ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题． 8．D 【解析】【分析】由对数函数的图像可知c<0,由指数函数图像可判断出a,b 与1的关系，从而得到a,b,c 的大小关系. 【详解】由指数函数图像可知0.4551,0?0.4a b =><=<1,由对数函数图像可知c<0,即可得到c<b<a, 故选：D 【点睛】本题考查指数函数图像和对数函数图像的应用，属于简单题. 9．B 【解析】【分析】由题意可确定f （x ）唯一的一个零点在区间（0，2）内，故在区间[2，16）内无零点．其他不能确定．【详解】由题意函数()f x 唯一的一个零点同时在区间()0,2，()0,4，()0,8，()0,16内, 可确定零点在区间（0，2）内，故在区间[2，16）内无零点．其中A 和C 不能确定，由题意零点可能为1，故D 不正确，故选：B ．【点睛】本题考查对函数零点的判定定理的理解，属基础知识的考查．属基础题． 10．C 【分析】由题意知，B,E,F 三点共线，则,BE BF μ=用BC BA 和表示出BE ，根据E,C,A 三点共线，可得到μ值，整理化简即可得到m 和n 值，从而可得答案. 【详解】由题意知，B,E,F 三点共线，F 是边CD 上靠近D 点的三等分点，则22,33BE BF BC BA BC BA μμμμ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭又E,C,A 三点共线则25133μμμ+==，即35μ=，则()32323,55555BE BC BA AC AB AB AB AC =+=--=-+ 所以m=-1,n=35,故m+n=25-故选C【点睛】本题考查平面向量基本定理的简单应用，考查三点共线的应用，考查分析推理能力. 11．D 【分析】由()()f x g x =得()()sin cos x x ωϕωϕ+=+，所以()tan 1x ωϕ+=，可求得()4k x k Z ππϕω+-=∈，再利用，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，可得2x ππω∆==，即可得2ω=，再利用正弦函数图象的特点，可得032πϕπϕπ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即可求出ϕ的取值范围.【详解】由()()f x g x =得()()sin cos x x ωϕωϕ+=+，所以()tan 1x ωϕ+=，可得：()4x k k Z πωϕπ+=+∈，所以因为相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2x ππω∆==，所以2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，当,64x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，232x ππϕϕϕ-+<+<+，要满足函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，需满足方程032πϕπϕπ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩ ，解得32ππϕ≤≤，故选：D 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题. 12．C 【分析】根据不同的条件画出不同的函数图像，由图像结合函数的性质逐个检验即可得到答案. 【详解】对①，当y=2x mx -+的对称轴小于0即m<0且最大值大于4时可知g(x)=4与函数f(x)有四个不同的交点，满足题意；对②，由图像可知，f(x)=a 不可能有三个实数根，故错误；对③，函数()()()2h x fx bf x c =++恰有3个不同零点1x ，2x ，3x ，令t=f(x),则2bt c 0t ++=有两个不等的实数根，其中120,0t t =>当10t =时对应的根11x =，当20t >时，对应的根为2x ，3x ，当|ln 2x |=|ln 3x |时，有-ln 2x =ln 3x 即满足23x x =1，则1231x x x =，故正确；当④，当m=-4时图像如图，由图像可知341,x x =则23241x x =<3x ,即()f x 在234,x x ⎡⎤⎣⎦上的最大值为()223332422,f x lnx lnx ln ln ====则312x =,42x =,由对称性可知124x x +=-，则()12345sin 3354sin(1282x x x x π+++=-++)π=sin 2π=1,故正确；故选C【点睛】本题考查方程与函数问题，考查数形结合的思想，考查对数函数图像和二次函数图像性质的综合应用，属于中档题.13．12- 【分析】利用三角函数的诱导公式()cos cos παα-=-，即可求出结果.【详解】21cos cos cos 3332ππππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭. 故答案为：12-. 【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式()cos cos παα-=-的用法，属于基础题.14．12【分析】将点(代入函数解析式，即可得到α的值.【详解】已知幂函数()a f x x =（α为常数）的图象经过点(, 1233α==，则12α=，故答案为12【点睛】本题考查幂函数定义的应用，属于简单题.15．6【分析】将函数()f x 图象向右平移3π个单位得y ＝sin （ωx ﹣3πω+6π）的图象，由已知条件只需满足3πω＝2k π，从而得到ω值.【详解】将函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（ω＞0，x ∈R ）的图象向右平移3π个单位长度后，可得y ＝sin （ωx ﹣3πω+6π）的图象．根据所得的图象与原函数图象重合， ∴3πω＝2k π，k ∈Z ，即ω＝6k ，k ∈Z ，又0＜ω＜7则ω为6，故答案为6．【点睛】本题考查三角函数图像变换和终边相同的角的意义，属于基础题.16．()+∞【解析】【分析】利用函数奇偶性画出函数f(x)的图像，然后将题中的恒成立问题转为函数f(x)的图像始终在函数()f x 的图像的上方，观察图像即可得到答案.【详解】由已知条件画出函数f(x)的图像(图中实线)，若对任意的x R ∈，不等式()()f x f x >恒成立，即函数f(x)的图像始终在函数()f x 的图像的上方，当a<0时，将函数f(x)图像向左平移，不能满足题意，故a>0，将函数f(x)图像向右平移时的临界情况是当D 点与B 点重合，且临界情况不满足题意，由图个单位应大于66,>解得a>故答案为：()+∞【点睛】本题考查函数恒成立问题的解决方法，考查函数图像即数形结合的应用，属于中档题. 17．（1）π；（2）4【分析】由指数幂的运算和对数运算即可得到答案.【详解】（1）原式=1+|3−π|+2=1+π−3+2 =π（2）原式=lg25+lg 25+3 =lg (25×25)+3 =4.【点睛】本题考查指数幂和对数的运算性质的应用，属于简单题.18．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)先判断函数定义域关于原点对称，然后利用奇偶性定义即可判断；（2）任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，利用函数单调性的定义作差分析即可得到证明.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞.对于定义域内的每一个x ，都有()()2211f x x x -==-， ()()f x f x ∴-=.∴函数()f x 为偶函数（2）设任意()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则()()12221211f x f x x x -=- 22212212x x x x -== ()()21212212x x x x x x +-. 由120x x <<，得120x x +>，210x x ->，22120x x >于是()()120f x f x ->，即()()12f x f x >.∴函数()f x 在()0,+∞上是减函数.【点睛】本题考查函数奇偶性和函数单调性定义的应用，属于基础题.19．（1）8月份所获利润约为65亿元；（2）月成本的最大值约为11亿元，相应的月份为2月【分析】（1）由表中的数据知利润有增有减不单调可知模型①适合，然后将表中数据代入可得函数解析式，再将x=8代入可得结果；（2）由二次函数图像的性质可得最值.【详解】（1）易知0a ≠.因为()xP x a b c =⋅+，()log b P x a x c =+为单调函数，由所给数据知，满足条件的函数不单调，所以选取()2P x ax bx c =++进行描述. 将表中三组数据代入()P x ，得到8942909389164a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩.解方程组，得1681a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩.所以该公司月利润P 与月份x 近似满足的函数为()2681P x x x =-++， []1,12x ∈，*x N ∈.当8x =时，得65P =（亿元）.所以估计8月份所获利润约为65亿元.（2）()Q x = =. 所以月成本的最大值约为11亿元，相应的月份为2月.【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数模型的建立，考查求函数最值问题. 20．（1）()2sin(3)4f x x π=+；（2）见解析【分析】(1)由函数最值求得A,由周期得到ω，再将特殊点代入解析式可求ϕ，即可得到函数解析式；（2）由图像变换得到函数g(x)解析式，然后利用正弦函数图像的性质可得函数g(x)在R 上的单调增区间，对k 取值即可得当[]0,x π∈时的单调递增区间. 【详解】（1）由图可知17A 221243T πππ==-=，，23Tπω∴==. 由图知，当4x π=时，有f(4π)=0,则 324k πϕππ+=+即24k πϕπ=+，2k Z πϕ∈<，.4πϕ∴=. ()2sin 34f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭. （2）由题意，知()32sin 24g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 由22k ππ-+≤ 324x π+≤ 22k ππ+，k Z ∈. 解得，442363k k x ππππ-+≤≤+，k Z ∈. []0,x π∈， ∴当0k =时，26x ππ-≤≤；当1k =时，5362x ππ≤≤. ∴当[]0,x π∈时，函数()y g x =的单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查()()f x Asin x ωϕ=+由的部分图像求函数的解析式，考查正弦函数图像的单调性和函数的图像变换，属于基础题.21．（1）6π；（2）见解析【分析】 (1)由向量的模的公式和同角三角函数关系式化简即可得到x 值；（2）由向量的数量积坐标公式得到函数f(x)，通过换元，将三角函数式转为求二次函数在区间上的最小值问题.【详解】（1）()cos ,sin OC m x x =，()cos ,sin 1BC m x x =- OC BC== 1sin 2x ∴=. ,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，6x π∴= （2）()222cos sin sin f x m x x x =+-. 令sin x t =，[]1,1t ∈-则()()2221h t m t t t =-+- ()2221m t t m =--+. （1）当1m ±时，()1h t t =-..()()min 0g m h t ∴==（2）当1m ≠±时，（i ）210m -<，即1m >或1m <-时，对称轴()21021t m =<-. ()()()min 10g m h t h ∴===. （ii ）210m ->.①当()210121m <<-，即22m -<<时， ()()min g m h t ∴== ()()()222241112141m m h m m ⎛⎫-- ⎪= ⎪--⎝⎭.②当()21121m ≥-，即1m -<≤1m ≤<时， ()()()min 10g m h t h ∴===.综上所述，()()()2220,411,002241m m g m m m m m m ⎧≤≥⎪⎪=⎨--⎪-<<<<⎪-⎩或.【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，向量模的计算，考查化归转化思想，属于中档题. 22．（1）见解析；（2）2,3n =【分析】(1)已知()()x f x g x e +=，结合函数的奇偶性可得()()x f x g x e --=，解方程组即可得函数解析式；（2）由函数奇偶性的性质可知()()g x f x 为奇函数，图象关于()0,0对称，则()12112g x F x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于点1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，利用对称性可得()H n ，然后利用恒成立问题解()()()2g x H n g x >⋅即可.【详解】（1）()()x f x g x e +=，()()x f x g x e --+-=函数()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴ ()()x f x g x e --=，()2x x e e f x -+∴=，()2x xe e g x --=. （2）易知()()g xf x 为奇函数，其函数图象关于()0,0中心对称，∴函数()12112g x F x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于点1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，即对任意的x R ∈，()()12F x F x -+=成立.()12H n F F n n ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 31n F F n n -⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()12n n H n F F n n --⎛⎫⎛⎫∴=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 31n F F n n -⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 两式相加，得()112n H n F F n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2233n n F F F F n n n n ⎡⎤⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 11n F F n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 即()()221H n n =-.()1H n n ∴=-.()()()2g x H n g x ∴>⋅，即()()221x x x x e e n e e --->--.()()()10x x x x e e e e n --⎡⎤∴-+-->⎣⎦. (]0,1x ∈，0x x e e -∴->1x x e e n -∴++>恒成立.令x t e =，(]1,t e ∈. 则11y t t =++在(]1,e 上单调递增. 1x x y e e -∴=++在(]0,1上单调递增.3n ∴≤.又已知2n ≥，2,3n ∴=.【点睛】本题考查由函数奇偶性求函数解析式，考查由函数的对称性求值问题，考查恒成立问题的解法，属于中档题.。

四川省蓉城名校联盟2020-2021学年第一学期高中2020级高一期中联考数学科解析版

蓉城名校联盟2020～2021学年度上期高中2020级期中联考数学科（学生版）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间为120分钟.2.请将各题答案写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：必修一全部内容.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,0,1,2=--A ，{}Z 11=∈-≤≤B x x ，则=A B （）A.{}1,0,1-B.{}0,1C.{}1,1-D.{}0,1,22.下列函数与()f x x =是同一函数的是（）A ．2()x f x x=B．()f x =C ．22()log xf x = D ．2log ()2xf x =3.下列函数在(0,)+∞上为增函数的是（）A ．2()f x x =B ．2()f x x=C ．()lg(2)f x x =-D ．()24f x x =-+4.若函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)a ≠的图像恒过定点P ,则P 的坐标是（）A.)0,3(B.4,0（）C.(3,1)D.(4,1)5.已知函数3log 2,0,()1,0,3x x x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩则((2))f f -的值为（）A.4-B.2-C.0D. 26.已知函数)(x f y =的定义域为),1[+∞，则函数xx f x g -+-=41)32()(的定义域为( )A ．]4,1[-B ．)4,1[-C ．]4,2[D ．)4,2[7.已知关于x 的方程0822=+-ax x 的两个实根1x ，2x 满足221>>x x ，则实数a 的取值范围为 ( )A ．)3,22(B ．),2(∞+C ．),22(∞+D ．)3,22(-8.已知函数()(2)46,12,1x a x a x f x a x -+-⎧=⎨+>⎩≤满足对于任意的1x ，212()x x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（）A ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦9.已知函数)45(log )(221-+-=x x x f 在区间]1,[+m m 上是减函数，则m 的取值范围 ( )A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．5,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.设)(x f 是定义域为R 的偶函数，且在)0(∞+，单调递减，则 ( )A ．)31(log )3()3(24334f f f >>--B ．)3()3()31(log 34432-->>f f fC ．)3()3()31(log 43342-->>f f fD ．)31(log )3()3(23443f f f >>--11.已知函数2(1)1()|4|1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，，，，则关于x 的方程2()()0(03)f x af x a -=<<的所有实数根的和为（）A.3B.6C.9D.1212.已知不等式2112x x --≤的解集为M ，关于x 的不等式210ax x -+>的解集为N ，且M N N ⊆，则实数a的取值范围为（）A ．()0,+∞B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把【答案】填在答题卡中的横线上.13.若{}21,a a ∈，则a = ． 14.不等式236212()2xxx --≥的解集为________． 15.设偶函数()f x 在()0-∞，上为增函数，且(3)0f =，则不等式()0x f x ⋅<的解集为 16.已知()221x x mf x +=+，若对1x ∀，2x ，3x ∈R ，总有()1f x ，()2f x ，()3f x 为某个三角形的三边边长，则实数m 的取值范围是_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求下列各式的值：（1）2log 3232lg25lg8log 27log 223+-⨯+（2）()212323313(0.008)3850---⎛⎫⎛⎫+÷-π- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭18.已知集合{}2540A x x x =-+≤，1282x B x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，若R 为全体实数集合．（1）求()AB R；（2）若{}23C x m x m =<≤+，()C AB ⊆，求m 的取值范围．19.已知函数2()3f x x ax a =++-，[]2,4x ∈-. （1）当2a =时，写出函数()f x 的单调区间和值域；（2）求()f x 的最小值()g a 的表达式.20.节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中每立方米的污染物数量为04y mg =，首次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为1 3.94y mg =．设第n 次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为n y ，可由函数模型 1.5001()5(,*)n b n y y y y b n +=--⨯∈∈R N 给出，其中n 是指改良工艺的次数．（1）求b 的值；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2.08mg ，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．(参考数据：取lg20.3≈) 21.若函数4()221x f x =-+. （1）判断函数()f x 的单调性并且用定义法证明；（2）若关于x 的不等式(())(1)0f f x f t +-<有解，求实数t 的取值范围. 22.已知函数()42+=x xbf x 为奇函数.（1）求实数b 的值；（2）若对任意的[]0,1∈x ，有()23202--+<f x kx k 恒成立，求实数k 的取值范围；（3）设()()log 44-⎡⎤=+-⎣⎦x x m g x mf x （0>m ，且1≠m ），问是否存在实数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.蓉城名校联盟2020～2021学年度上期高中2020级期中联考数学科（解析版）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间为120分钟.2.请将各题答案写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：必修一全部内容.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,0,1,2=--A ，{}Z 11=∈-≤≤B x x ，则=A B （）A.{}1,0,1-B.{}0,1C.{}1,1-D.{}0,1,2【答案】 A. 【解析】∵{}{}Z 111,0,1=∈-≤≤=-B x x ，则{}1,0,1=-AB ，故选A.2.下列函数与()f x x =是同一函数的是（）A ．2()x f x x=B ．()f x =C ．22()log xf x =D ．2log ()2xf x =【答案】 C ．【解析】由题意得，()f x x =的定义域为R ，A ：2()x f x x=的定义域为()()-00∞+∞，，，与()f x x =的定义域不一样，排除A ．B ：()f x =R ，但是()f x x =，排除B ，D ：2log ()2xf x =的定义域为()0+∞，，排除D ，所以正确答案选C . 3.下列函数在(0,)+∞上为增函数的是（）A ．2()f x x =B ．2()f x x=C ．()lg(2)f x x =-D ．()24f x x =-+【答案】 A ．【解析】2()f x x =在(0,)+∞上为增函数，A 正确；2()f x x=在(0,)+∞上为减函数，B 错误； ()lg(2)f x x =-为在(2,)+∞上为增函数，C 错误；()24f x x =-+在(0,)+∞上为减函数，D 错误；故选A ．4.若函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)a ≠的图像恒过定点P ,则P 的坐标是（）A.)0,3(B.4,0（）C.(3,1)D.(4,1)【答案】 D. 【解析】∵函数()log (0,a f x x a =>且1)a ≠的图像恒过点(1,0)，则令31,x -=得4x =，此时log (3)11a y x =-+=，∴函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)x ≠的图像恒过点P (4,1)，故选D. 5.已知函数3log 2,0,()1,0,3x x x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩则((2))f f -的值为（）A.4-B.2-C.0D. 2【答案】 C. 【解析】由题意知：21(2)93f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，3((2))(9)log 92220f f f -==-=-=.6.已知函数)(x f y =的定义域为),1[+∞，则函数xx f x g -+-=41)32()(的定义域为( )A ．]4,1[-B ．)4,1[-C ．]4,2[D ．)4,2[【答案】 D 【解析】由题意得⎩⎨⎧>-≥-04132x x ，解得42<≤x ；选D.7.已知关于x 的方程0822=+-ax x 的两个实根1x ，2x 满足221>>x x ，则实数a 的取值范围为 ( )A ．)3,22(B ．),2(∞+C ．),22(∞+D ．)3,22(-【答案】 A 【解析】因为方程有两个不等实根，所以0814)2(2>⨯⨯-=∆a ，解得22>a 或22-<a ；又221>>x x ，所以212x x a +=，所以22>a ，且2232)2(222>--=a a x ，解得3<a ，所以322<<x ，选A. 8.已知函数()(2)46,12,1x a x a x f x a x -+-⎧=⎨+>⎩≤满足对于任意的1x ，212()x x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（）A ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B ．【解析】根据题意，对于任意的1212,()x x x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->- 成立则函数()(2)46,12,1x a x a x f x a x -+-⎧=⎨+>⎩≤在R 上是增函数∴1201(2)1462a a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-⨯+-≤+⎩，解得52,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故选B ．9.已知函数)45(log )(221-+-=x x x f 在区间]1,[+m m 上是减函数，则m 的取值范围 ( )A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．5,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】由0452>-+-x x 得函数)(x f 的定义域为)4,1(，根据复合函数的单调性得⎪⎩⎪⎨⎧≤<<2541x x ，解得251≤<x ，∵函数)(x f 在区间]1,[+m m 上是减函数，∴]1,[+m m ⊆51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，⎪⎩⎪⎨⎧≤+>2511m m ，解得231≤<m ；选C. 10.设)(x f 是定义域为R 的偶函数，且在)0(∞+，单调递减，则 ( )A ．)31(log )3()3(24334f f f >>--B ．)3()3()31(log 34432-->>f f fC ．)3()3()31(log 43342-->>f f fD ．)31(log )3()3(23443f f f >>--【答案】A 【解析】∵)(x f 是定义域为R 的偶函数，∴)3(log )3log ()31(log 222f f f =-=，又x y 3=是R 上的增函数，∴3log 13324334<<<--，因为)(x f 在)0(∞+，单调递减，所以)31(log )3()3(24334f f f >>--；选A.11.已知函数2(1)1()|4|1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，，，，则关于x 的方程2()()0(03)f x af x a -=<<的所有实数根的和为（）A.3B.6C.9D.12【答案】C. 【解析】由题可知：函数()f x 为分段函数，则此题可分情况讨论方程根的问题.若1x ≤时，2()(1)f x x =+，代入方程2()()0(03)f x af x a -=<<有42(1)(1)0x a x +-+=. 当1x =-时，()0f x =，则方程恒成立，∴这是方程其中一个根，当1x ≠-时，2()(1)0f x x =+>，∴方程两边可同时除以2(1)x +，则方程变为2(1)0x a +-=，又知03a <<，则该方程有两根，∴方程展开有2210x x a ++-=，由韦达定理得122x x +=-；若1x >时，()|4|f x x =-，代入方程2()()0(03)f x af x a -=<<有2|4||4|0x a x ---=. 当4x =时，()0f x =，则方程恒成立，∴这是方程其中一个根，又|4|0x ->，方程两边可同时除以|4|x -，则方程变为|4|0x a --=，当4x >时，方程为40x a --=，∴=4x a +，∴这是方程其中一个根，当14x <<时，方程为40x a --=，∴=4x a -，∴这是方程其中一个根，综上所述：方程的实根有，1-，1x ，2x ，4，4a +，4a -，则所有实根之和为9，故选C. 12.已知不等式2112x x --≤的解集为M ，关于x 的不等式210ax x -+>的解集为N ，且M N N ⊆，则实数a的取值范围为（）A ．()0,+∞B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】 B ．【解析】()()()213031011221x x x x x x x --⇒⇒--≠--≤≤≤且，故(]1,3M = ∵MN N ⊆，∴M N ⊆，由题意可得：210ax x -+>在(]1,3x ∈上恒成立即21x a x ->在(]1,3x ∈上恒成立，故只需2max1x a x -⎛⎫> ⎪⎝⎭ 22211111124x x x x x -⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当112x =即2x =时，2max 114x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故14a >，故选B ．第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把【答案】填在答题卡中的横线上.13.若{}21,a a ∈，则a = ．【答案】1-．【解析】由题意可知：1a =或21a =，故1a =±.当1a =时，21a a ==不满足元素的互异性，故舍去；当1a =-时，{}{}2,1,1a a =-符合题意.14.不等式236212()2x xx --≥的解集为________．【答案】(][),23,-∞+∞．【解析】不等式236212()2xxx --≥⇔232622x x x --≥，再由函数2x y =在定义域内单调递增，从而可得： ()()(][)22326560230,23,x x x x x x x x -≥-⇒-+≥⇒--≥⇒∈-∞+∞．15.设偶函数()f x 在()0-∞，上为增函数，且(3)0f =，则不等式()0x f x ⋅<的解集为【答案】()()3,03,-+∞.【解析】由题可知：()f x 是偶函数，且在()0-∞，上为增函数，∴()()f x f x -=，易知()f x 的图象关于y 轴对称， ∴()f x 在()0+∞，上为减函数，又()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=，则有(3)(3)0f f -==， ∴()3,0x ∈-时，()0f x >，0x <，则()0x f x ⋅<， ∴()3,x ∈+∞时，()0f x <，0x >，则()0x f x ⋅<，综上所述：不等式()0x f x ⋅<的解集为()()3,03,-+∞.16.已知()221x x mf x +=+，若对1x ∀，2x ，3x ∈R ，总有()1f x ，()2f x ，()3f x 为某个三角形的三边边长，则实数m 的取值范围是_______．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】由题意可得：对1x ∀，2x ，3x ∈R ，总有()()()123f x f x f x +>恒成立，只需()()min max 2f x f x > ()2112121x x xm m f x +-==+++， ①当1m =时，()1f x =，满足题意；②当1m >时，()f x 在R 上单调递减，()1f x m <<，故需21m ⨯≥，即12m <≤；③当1m <时，()f x 在R 上单调递增，()1m f x <<，故只需21m ≥，即112m <≤，综上所述，m 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求下列各式的值：（1）2log 3232lg25lg8log 27log 223+-⨯+（2）()212323313(0.008)3850---⎛⎫⎛⎫+÷-π- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）2 （2）139【解析】（1）原式232lg 27lg 23lg3lg 2lg5lg 232(lg5lg 2)323323lg 2lg3lg 2lg3=+-⨯+=+-⨯+=-+=（2）原式222213333227185011251812527--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-=+÷ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22241351213599⎛⎫=+⨯=+-= ⎪⎝⎭4219=+-139=18.已知集合{}2540A x x x =-+≤，1282x B x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，若R 为全体实数集合．（1）求()AB R；（2）若{}23C x m x m =<≤+，()C AB ⊆，求m 的取值范围．【答案】（1）[]3,4；（2）[)1,13,2⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦．【解析】(1)由题得：()()254014014x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤，即[]1,4A =；同理：131282222x x -≤<⇔≤<，由函数2x y =在定义域内单调递增，可得[)1,3x ∈-．即[)1,3B =-．从而有()[]3,4RAB =．(2)分类讨论集合C 是否为空集． ①当C =∅时，则233m m m ≥+⇒≥；②当C ≠∅时，由()C AB ⊆可得：231341221m m m m m <+⎧⎪⎪+≤⇒-≤≤⎨⎪≥-⎪⎩．综上所述：m 得取值范围为：[)1,13,2m ⎡⎤∈-+∞⎢⎥⎣⎦．19.已知函数2()3f x x ax a =++-，[]2,4x ∈-.（1）当2a =时，写出函数()f x 的单调区间和值域；（2）求()f x 的最小值()g a 的表达式.【答案】（1）[]0,25（2）273,4()3,844193,8a a a g a a a a a -≥⎧⎪⎪=--+-<<⎨⎪+≤⎪⎩. 【解析】（1）当2a =时，2()21f x x x =++，对称轴：1x =-，∴()f x 在[]2,1--上单调递减，在[]1,4-上单调递增.∴min ()(1)0f x f =-=，max ()(4)25f x f ==，故函数的值域为[]0,25.（2）∵2()3f x x ax a =++-的对称轴：2a x =-， ①若22a -≤-时，即4a ≥，()f x 在[]2,4-上单调增，∴min ()(2)73f x f a =-=-； ②若42a -≥时，即8a ≤-，()f x 在[]2,4-上单调减，∴min ()(4)193f x f a ==+； ③若242a -<-<-时，即84a -<<，()f x 在2,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调减，在,42a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调增， ∴2min ()()322a a f x f a =-=--+； ∴综上所述：273,4()3,844193,8a a a g a a a a a -≥⎧⎪⎪=--+-<<⎨⎪+≤⎪⎩．20.节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中每立方米的污染物数量为04y mg =，首次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为1 3.94y mg =．设第n 次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为n y ，可由函数模型 1.5001()5(,*)n b n y y y y b n +=--⨯∈∈R N 给出，其中n 是指改良工艺的次数．（1）求b 的值；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2.08mg ，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．(参考数据：取lg20.3≈)【答案】（1） 1.5-.（2）3.【解析】（1）由题意得04y =，1 3.94y =，所以当1n =时， 1.51001()5b y y y y +=--⨯，即 1.53.944(4 3.94)5b +=--⨯，解得 1.5b =-.（2）由（1）得排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为 1.5 1.540.065n n y -=-⨯；所以 1.5 1.540.065.208n n y -=≤-⨯，整理得， 1.5 1.5 1.9250.06n -，即 1.5 1.5532n -，两边同时取常用对数，得5lg32lg 25lg 21.5 1.5lg5lg51lg 2n -==-，将lg20.3=代入，得5lg 230211 5.31lg 27⨯+=+≈-，又因为*n N ∈，所以 2.43n ，所以3n =.综上，至少进行3次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．21.若函数4()221x f x =-+. （1）判断函数()f x 的单调性并且用定义法证明；（2）若关于x 的不等式(())(1)0f f x f t +-<有解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）减函数；（2）()1,3-.【解析】（1）判断：减函数，证明：任取1x ，2x ，假设12x x <，∴()()212144=222121x x f x f x ---+++()()()12124222121x x x x -=++， ∵12x x <，()()1221210x x ++>，()124220x x -<，∴()()210f x f x -<，∴函数()f x 在定义域上单调递减.（2）函数的定义域为R ，∵22224()22=()212121x x x x f x f x ---⨯⎛⎫-=-==--- ⎪+++⎝⎭， ∴()f x 是奇函数，∵(())(1)0f f x f t +-<，∴()(())1f f x f t <-，又∵()f x 在定义域上单调递减，∴()1f x t >-，所以，存在1()t f x >-，等价于()min 1()t f x >-，又∵()()2,2f x ∈-，()1()1,3f x -∈-∴ 1.t >-22.已知函数()42+=x x b f x 为奇函数. （1）求实数b 的值；（2）若对任意的[]0,1∈x ，有()23202--+<f x kx k 恒成立，求实数k 的取值范围；（3）设()()log 44-⎡⎤=+-⎣⎦x x m g x mf x （0>m ，且1≠m ），问是否存在实数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）1=-b ；（2）32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,；（3）不存在m 满足条件，理由见解析. 【解析】（1）∵函数()42+=x xb f x 的定义域为R ，且为奇函数， ∴()010=+=f b ，解得1=-b .（2）∵()44112222+-===-x x x x x xb f x ， ∴()f x 在R 上单调递增，且()131222-=-=-f . ∵()23202--+<f x kx k ，则()()23212--<-=-f x kx k f ，又函数()f x 在R 上单调递增，则221--<-x kx k 在[]0,1∈x 上恒成立，∴()12141>++-+k x x 在[]0,1∈x 上恒成立，设()()12141=++-+g x x x ，则()()max 312==<g x g k ， ∴实数k 的取值范围为32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,. （3）不存在，理由如下，设22-=-x x t ，38,23⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，()()2log 2=-+m h t t mt , ∴220-+>t mt 在38,23⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t 上恒成立， ∴min 2⎛⎫<+ ⎪⎝⎭m t t ，则176<m ，∵1≠m ，则()170,11,6⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m . 对于二次函数()22=-+d t t mt ，开口向上，对称轴为2=m t ，∴11170,,22212⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ∴对称轴一直位于38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦的左侧，则二次函数()22=-+d t t mt 在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()min 3317224⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭d t d m ，()max 8882329⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭d t d m ，假设存在满足条件的实数m ，则当()0,1∈m 时，由复合函数的单调性判断方法，可知()()2log 2=-+m h t t mt 为减函数， ∴()max 0=h t ，则()()2min min 21=-+=d t t mt ，∴33171224⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭d m ， ∴()160,13=∉m （舍），同理可知，当171,6⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m 时，73171,246⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭m （舍），综上所述，不存在实数m 满足条件成立.。

2020-2021学年四川省成都市蓉城名校联盟高一上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年四川省成都市蓉城名校联盟高一上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x∈R|y=lg(4−x2)}，则M∩N∗=()A. (−1,1]B. {1}C. (0,2)D. {0,1}2.函数的定义域为，若对任意的，当时，都有，则称函数在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③.则()A. B. C. D.3.函数的单调递减区间为()A. (−∞,−3)B. (−∞,−1)C. (1,+∞)D. (−3,−1)4.已知a=log20.3，b=0.31.3，c=21.3，则a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. c<a<bC. b<c<aD. b<a<c5.已知函数f(x)=1−√2−3x,g(x)=2lnx，对任意x1∈(−∞,23]，都存在x2∈(0,+∞)，使得f(x1)−g(x2)=14，则x1−x2的最大值为()A. −2548B. −2348C. −13−ln2 D. −12−ln36.函数的定义域为()A. [π4,+∞) B. [π4,5π4]C. D.7.若关于x不等式kx2−kx+1>0的解集为R，则实数k的取值范围是()A. (0,4)B. [0,+∞)C. (0,+∞)D. [0,4)8.定义区间，，，的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，的长度.用表示不超过的最大整数，记，其中.设，，若用分别表示不等式，方程，不等式解集区间的长度，则当时，有( )A. B. C.D.9.函数f(x)=log 12(−x 2−2x +3)的单调减区间为( ) A. (−∞,−1] B. (−3,−1] C. [−1,1) D. [−1,+∞)10. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，若对于x ≥0，都有f(x +2)=f(x)，且当x ∈[0,2]时，f(x)=e x −1，则f(2 013)+f(−2 014)=( )．A. 1−eB. e −1C. −1−eD. e +111. 已知函数f (x )=则函数f (x )的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知函数f(x)(x ∈R)满足f(1)=1，且f′(x)<12，则f(x)<x2+12的解集为( )A. {x|−1<x <1}B. {x|x >−1}C. {x|x <−1或x >1}D. {x|x >1}二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 下列关系式中，正确的关系式有______个①√2∈Q ②0∉N ③2∈{1,2} ④⌀={0} ⑤{a}⊆{a}．14. 光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原来的10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a ，则通过3块玻璃板后的强度变为______ ． 15. 已知f(x)=(x+1)2x 2+1+sinx ，若f(m)=2，则f(−m)的值是______ ．16. 函数f(x)=|x −2|−lnx 的零点个数为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 化简下列式子：(1)sin(α−5π2)⋅cos(3π2−α)⋅tan(π+α)⋅cos(π2−α)sin(2π−α)⋅tan(α−π)⋅sin(−α−π)(2)2lg3+log 0.114cos0+12lg0.36(3)已知tana=23，求1sinαcosα．18.已知全集U=R，集合A={x|−1<x<1}，B={x|1≤4x≤8}，C={x|−4<x≤2a−7}．(1)A∩(∁U B)；(2)若A∩C=A，求实数a的取值范围．19.已知关于x的二次函数f(x)=ax2−4bx+1，(1)设集合P={−1,1，2，3，4，5}和Q={−2,−1,1，2，3，4}，分别从集合P和集合Q中任取一个数作为a和b的值，求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率；(2)若a是从区间[1,3]任取的一个数，b是从区间[1,3]任取的一个数，求函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率．20.飞机每飞行1小时的费用由两部分组成，固定部分为4900元，变动部分P(元)与飞机飞行速度v(千米∕小时)的函数关系式是P=0.01v2，已知甲乙两地的距离为a(千米)．(1)试写出飞机从甲地飞到乙地的总费用y(元)关于速度v(千米∕小时)的函数关系式；(2)当飞机飞行速度为多少时，所需费用最少？21.已知函数f(x)是定义在(−4,4)上的奇函数，且f(2)=1，当−4<x≤0时，有f(x)=ax+bx+4．(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在区间(0,4)上的表达式，并利用定义判断其在该区间上的单调性．22.(本小题满分8分)已知函数(1)若函数的图象经过点，求的值；(2)判断并证明函数的奇偶性；(3)比较与的大小，并写出必要的理由．【答案与解析】1.答案：B解析：解：集合M={x∈R|y=lg(4−x2)}={x|4−x2>0}={x|−2<x<2}，M∩N∗={1}．故选：B．化简集合M，根据交集的定义写出M∩N∗．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.答案：D解析：试题分析：由，得，，由得，，，，故，选D．考点：抽象函数．3.答案：A解析：本题考查求复合函数单调区间，解答时需注意定义域，属于中档题．解：由x2+2x−3>0，得x<−3或x>1，的定义域为(−∞,−3)∪(1,+∞)．可看作由和u=x2+2x−3复合而成的，u=x2+2x−3=(x+1)2−4在(−∞,−3)上递减，在(1,+∞)上递增，又在定义域内单调递增，在(−∞,−3)上递减，在(1,+∞)上递增，所以的单调递减区间是(−∞,−3)，故选A．4.答案：A解析：解：∵log20.3<log21=0，0<0.31.3<0.30=1，21.3>2，∴a<b<c．故选：A．由log 20.3<0,0<0．31.3<1,21.3>2，即可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了对数函数和指数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：函数f(x)=1−√2−3x,g(x)=2lnx ，对任意x 1∈(−∞,23]，都存在x 2∈(0,+∞)，使得f(x 1)−g(x 2)=14，可得1−√2−3x 1−2lnx 2=14，即34−√2−3x 1=2lnx 2，可令34−√2−3x 1=2lnx 2=t(t ≤34)，即有x 1=2−(t−34)23，x 2=e t2，x 1−x 2=−13t 2+12t +2348−e t 2，t ≤34，令ℎ(t)=−13t 2+12t +2348−e t2，t ≤34，ℎ′(t)=−23t +12−12e t 2，t ≤34， ℎ″(t)=−23−14e t2<0，t ≤34， ℎ′(t)递减，可得ℎ′(t)≥ℎ′(34)， ℎ′(34)<0，ℎ′(0)=0，即t =0为极值点，且为最值点，当0<t <34时，ℎ(t)递减；当t <0时，ℎ(t)递增，可得t =0为最大值点，求得ℎ(0)=−2548．故选：A ．由题意即34−√2−3x 1=2lnx 2，可令34−√2−3x 1=2lnx 2=t(t ≤34)，解得x 1，x 2，令ℎ(t)=−13t 2+12t +2348−e t 2，t ≤34，求得导数和单调性、可得极值和最值，即可得到所求最大值．本题考查函数的最值的求法，注意转化思想和构造函数法，考查导数的运用：求单调性和极值，属于难题．6.答案：C解析：解：由题意得：sin(x−π4)≥0，解得2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4，，故选C．根据二次根式以及三角函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查三角函数以及二次根式的性质，属于基础题．7.答案：D解析：解：当k=0，有1>0恒成立；当k≠0，令y=kx2−kx+1，∵y>0恒成立，>∴抛物线y=kx2−kx−1开口向上，且与x轴没公共点，∴k>0，且△=k2−4k<0，解得0<k<4；综上所述，k的取值范围为[0,4)．故选：D．先分类讨论：当k=0，有1>0恒成立；当k≠0，利用二次函数的性质求解，令y=kx2−kx+1，要y>0恒成立，则开口向上，抛物线与x轴没公共点，即k>0，且△<0，解不等式即可得到k的取值范围；最后取两者之并即可．本题考查了函数恒成立问题，着重考查二次函数的图象与性质，同时考查了分类讨论思想的运用和转化思想，易错点在于忽略当k=0的情形，属于中档题．8.答案：B解析：，，当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；所以在上的解集为，故；当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；所以在上的解集为，故；当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；所以在上的解集为，故；故答案选．考点：1.抽象函数及其应用；2.推理证明．9.答案：B解析：解：由−x2−2x+3>0，解得−3<x<1，(−x2−2x+3)的定义域为(−3,1)，∴函数f(x)=log12t为单调递减函数，令t=−x2−2x+3，则g(t)=log12由复合函数的单调性可知，f(x)的单调递减区间为t=−x2−2x+3在(−3,1)上的单调增区间．t=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，对称轴为x=−1，开口向下，∴t=−x2−2x+3的单调增区间为(−3,−1]．故选：B．(−x2−2x+3)的单调减区间为t=−x2−2x+3在定义域根据复合函数的单调性可知，f(x)=log12上的单调增区间，再根据一元二次函数的单调性求单调增区间即可．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．10.答案：B解析：由f(x+2)=f(x)可知函数的周期是2，所以f(2013)=f(1)=e−1，f(−2014)=−f(2014)=−f(0)=0，所以f(2013)+f(−2014)=e−1．11.答案：C解析：解决的关键是对于分段函数的各段的零点分别讨论求解得到结论，属于基础题。

3-3 幂函数(精讲)(解析版)

3.3 幂函数（精讲）思维导图常见考法考点一幂函数的概念【例1】（1）（2020·全国高一课时练习）在函数21y x=，22y x =，2y x x =+，1y =中，幂函数的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．3（2）．（2021·福建高一期末）若函数1()|1|m f x m x +=-是幂函数，则m =（） A ．0B ．1C ．0或2D ．1或2【答案】（1）B （2）C 【解析】（1）因为221y x x-==，所以是幂函数； 22y x =由于出现系数2，因此不是幂函数； 2y x x =+是两项和的形式，不是幂函数；01y x ==（0x ≠），可以看出，常数函数1y =的图象比幂函数0y x =的图象多了一个点(0,1)，所以常数函数1y =不是幂函数.故选：B .（2）若函数1()|1|m f x m x +=-是幂函数，则11m -=，解得：0m =或2m =，当0m =时，()f x x =符合题意，当2m =时3()f x x =符合题意，所以0m =或2，故选：C 【一隅三反】1．（2021·陕西高一期末）已知函数()()()2211 n n f x n n xn Z -+=--∈为幂函数，则()2f =___.【答案】8【解析】由于函数()()()2211 n n f x n n xn Z -+=--∈为幂函数，则211n n --=，即220n n --=，n Z ∈，解得1n =-或2，所以，()3f x x =，因此，()3228f ==.故答案为：8.2（2021年广东湛江）在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为【答案】1【解析】∵y ＝1x 2＝x －2，∵是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数． 3.（2021年广东潮州）已知y ＝(m 2＋2m －2)22m x-＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．【答案】见解析【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.考点二幂函数的三要素【例2】（1）（四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高一下学期开学考试数学试题）若幂函数()f x 的图象过点19,3⎛⎫⎪⎝⎭，则()12f =___________．（2）（2021·上海高一课时练习）在函数①75y x =；②56y x =；③47y x =；④25y x -=；⑤13y x -=；⑥23y x =中定义域与值域相等的有_________个. 【答案】（1）36（2）3 【解析】（1）设()f x x α=，则1(9)93f α==，12α=-，所以12()f x x -=，所以123(12)126f -==．故答案为：36（2）①75y x =的定义域为R ，值域为R .②56y x =的定义域为[)0+∞，，值域为[)0+∞，. ③47y x =的定义域为R ，值域为[)0+∞，. ④25y x -=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(0+)∞，. ⑤13y x-=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(,0)(0,)-∞+∞.⑥23y x =的定义域为R ，值域为[)0+∞，. 故定义域与值域相等的有①, ②和⑤ 故答案为：3 【一隅三反】1．（2021·安徽高一期末）已知点()4,8P 在幂函数()f x 的图象上，则()5f 等于_______________. 【答案】55【解析】由题意，可设()n f x x =，又()4,8P 在()f x 上，∴48n =，即32n =，∴32(5)555f ==，故答案为：55.2.．（专题4.3幂函数（A 卷基础篇））设α∈11,132⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，，，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为（） A ．1,3 B ．－1,1 C ．－1,3 D ．－1,1,3【答案】A【解析】当1α=-时，函数y ＝1x -的定义域为{}|0x x ≠，不是R ，所以1α=-不成立；当12α=时，函数y ＝12x 的定义域为{}|0x x ≥，不是R ，所以12α=不成立；当1α=或3α=时，满足函数y ＝x α的定义域为R ，故选：A.考点三幂函数的性质【例3】（1）（2021·广西高一期末）幂函数()f x x α=的图象过点(9,3)，那么函数()f x 的单调递增区间是（） A ．(2,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．[0,)+∞D ．(,2)-∞-（2）（2021·安徽高一开学考试）已知幂函数()()233mf x m m x =-+是偶函数，则()2f =________.（3）（2021·安徽省安庆九一六学校高一开学考试）已知幂函数()(1)n f x a x =-的图象过点(2,8)，且(2)(12)f b f b -<-，则b 的取值范围是（） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞（4）（2021·上海高一期末）幂函数1y x -=，及直线,1,1y x y x ===将直角坐标系第一象限分成八个“卦限： I, II, III,IV, V, VI, VII, VIII （如图所示），那么，而函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是（）A ． IV,VIIB ． IV,VIIIC ． III, VIIID ．III, VII 【答案】（1）C （2）4（3）C （4）B【解析】（1）因为幂函数过点(9,3)，所以()993f α==，解得12α=，所以()f x x =，那么可知函数的增区间为[0,)+∞．故选：C（2）因为函数()f x 为幂函数，所以2331m m -+=，解得1m =或2m =. 当1m =时，()f x x =，函数()f x 为奇函数，不合题意；当2m =时，()2f x x =，函数()f x 为偶函数，所以()24f =.故答案为：4.（3）因为幂函数()(1)n f x a x =-的图像过点(2,8)，所以1128n a -=⎧⎨=⎩，所以23a n =⎧⎨=⎩，所以3()f x x =，由于函数3()f x x =在R 上单调递增，所以(2)(12)212f b f b b b -<-⇔-<-，解得：1b <．故b 的取值范围是(,1)-∞.故选：C.（4）对于幂函数13y x -=，因为103-< ，所以13y x -=在第一象限单调递减，根据幂函数的性质可知：在直线1x =的左侧，幂函数的指数越大越接近y 轴，因为113->-，所以13y x -=的图象比1y x -=的图象更接近y 轴，所以进过第IV 卦限，在直线1x =的右侧，幂函数的指数越小越接近x 轴，因为1103-<-<，所以13y x -=的图象位于1y x -=和1y =之间，所以经过VIII 卦限，所有函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是IV,VIII ，故选：B【一隅三反】1．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）幂函数()()22222mf x m m x-=--在()0,∞+为增函数，则m 的值是（） A ．1- B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B 【解析】()f x 为幂函数，2221m m ∴--=，解得：1m =-或3m =；当1m =-时，()1f x x -=，则()f x 在()0,∞+上为减函数，不合题意；当3m =时，()7=f x x ，则()f x 在()0,∞+上为增函数，符合题意；综上所述：3m =.故选：B.2．（2021·重庆巴蜀中学高一期末）已知幂函数()()231mf x m m x =--在其定义域内不单调，则实数m =（）A ．23-B ．1C ．23D ．1-【答案】A【解析】由幂函数定义，2311m m --=，解得：23m =-或1m =，又()f x 在定义域内不单调，所以23m =-，故选：A ．3．（2021·四川高一期末）若幂函数()()223,p p f x qx q R p Z -++=∈∈在()0,∞+上是增函数，且在定义域上是偶函数，则p q +=（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】因为()()223,p p f x qx q R p Z -++=∈∈是幂函数，所以1q =；又()()223pp f x x p Z -++=∈在()0,∞+上是增函数，所以2230p p -++>，解得13p -<<，因为p Z ∈，所以0p =或1或2，当0p =时，()3f x x =，因为()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以()3f x x =是奇函数，不满足题意，舍去；当1p =时，()4f x x =，因为()()()44f x x x f x -=-==，所以()4f x x =是偶函数，满足题意；当2p =时，()3f x x =是奇函数，不满足题意，舍去；故1p =，所以2p q +=.故选：C.4．（2021·上海高一期末）在同一直角坐标系中，二次函数2y ax bx =+与幂函数(0)ba y x x =>图像的关系可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】对于A ，二次函数2y ax bx =+开口向上，则0a >，其对称轴bx 02a =->，则0b a<，即幂函数(0)bay x x =>为减函数，符合题意；对于B ，二次函数2y ax bx =+开口向下，则0a <，其对称轴bx 02a =->，则0b a<，即幂函数(0)b a y x x =>为减函数，不符合题意；对于C ，二次函数2y ax bx =+开口向上，则0a >，其对称轴12b x a=-=-，则2ba =，即幂函数(0)b a y x x =>为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；对于D ，二次函数2y ax bx =+开口向下，则0a <，其对称轴122b x a =->-，则01ba<<，即幂函数(0)b ay x x =>为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；故选：A5．（2021·全国高一课时练习）（多选）已知幂函数(*(),mnf x x m n =∈N，m ，n 互质），下列关于()f x 的结论正确的是（）A ．当m ，n 都是奇数时，幂函数()f x 是奇函数B ．当m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数C ．当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数D ．当01mn<<时，幂函数()f x 在(0,)+∞上是减函数【答案】AB【解析】()mn m n f x x x ==，当m ，n 都是奇数时，幂函数()f x 是奇函数，故A 中的结论正确；当m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数，故B 中的结论正确；当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 在0x <时无意义；故C 中的结论错误；当01mn<<时，幂函数()f x 在()0.+∞上是增函数，故D 中的结论错误．故选AB ．6．（2021·海南省）（多选）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（） A ．y x = B ．3y x =C ．1y x=-D ．4y x =【答案】AB【解析】对于选项A ：y x =是奇函数且是增函数，故选项A 正确；对于选项B ：3y x =是奇函数且是增函数，故选项B 正确；对于选项C ：1y x=-是奇函数，在(),0-∞和()0,∞+单调递增，但在定义域内不是增函数，故选项C 不正确；对于选项D ：4y x =是偶函数，不符合题意，故选项D 不正确；故选：AB7（2021·广东高一期末）已知幂函数21()m f x x +=过点(3,27)，若()23(98)0f k f k ++-<，则实数k 的取值范围是__________．【答案】(2,6) 【解析】幂函数21()m f x x +=过点(3,27)，21333m +∴=， 1m ∴=，幂函数3()f x x =，显然()f x 是奇函数，且在R 上单调递增．若2(3)(98)0f k f k ++-<，则不等式即2(3)(89)f k f k +<-，2389k k ∴+<-，26k ∴<<，故答案为：(2,6)．考点四幂函数的综合运用【例4】（2021·湖南高一月考）已知幂函数()()2144m f x m m x +=+-在区间0,上单调递增.（1）求()f x 的解析式；（2）用定义法证明函数()()()43m g x f x x+=+在区间()0,2上单调递减. 【答案】（1）()2f x x =；（2）证明见解析.【解析】（1）解：由题可知：2441+-=m m ，解得1m =或5m =-.若1m =，则()2f x x =在区间0,上单调递增，符合条件；若5m =-，则()4f x x -=在区间0,上单调递减，不符合条件.故()2f x x =.（2）证明：由（1）可知，()216g x x x=+. 任取1x ，()20,2x ∈，且12x x <，则()()()()22121212121212161616g x g x x x x x x x x x x x ⎡⎤-=+--=-+-⎢⎥⎣⎦. 因为1202x x <<<，所以120x x -<，124x x +<，12164x x >，所以()()121212160x x x x x x ⎡⎤-+->⎢⎥⎣⎦，即()()12g x g x >，故()g x 在区间()0,2上单调递减. 【一隅三反】1．（2021·福建仙游一中高一开学考试）若幂函数221()(22)m f x m m x +=+-在其定义域上是增函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若2(2)(4)f a f a -<-，求a 的取值范围.【答案】（1）3()f x x =；（2）{2a a >或}3a <-. 【解析】（1）因为221()(22)m f x m m x +=+-是幂函数，所以2221m m +-=，解得32m =-或1m =，又()f x 是增函数，210m +>即12m >-，1m ∴=，则3()f x x =；（2）因为()f x 为增函数，所以由2(2)(4)f a f a -<-可得224a a -<-，解得2a >或3a <-a ∴的取值范围是{2a a >或}3a <-.2．（2021·平罗中学高一期末）已知幂函数()()22122m f x m m x +=+-在()0,∞+上是增函数（1）求()f x 的解析式（2）若(2)(1)f a f a -<-，求a 的取值范围.【答案】（1）3()f x x =，（2）3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】（1）因为221()(22)m f x m m x +=+-是幂函数，所以2221m m +-=，解得32m =-或1m = 因为()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以210m +>，解得12m >-，则1m =，故3()f x x =（2）因为()f x 为R 上的增函数，因为(2)(1)f a f a -<-所以201021a a a a -⎧⎪-⎨⎪-<-⎩，解得：322a <，故a 的取值范围是3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦． 3．（2021·湖南高一月考）已知幂函数()()225222k k f x m m x -=-+（k ∈Z ）是偶函数，且在()0,∞+上单调递增．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围；（3）若实数a ，b （a ，b +∈R ）满足237a b m +=，求3211a b +++的最小值．【答案】（1）()2f x x =；（2）()1,1-；（3）2．【解析】（1）．2221m m -+=，1m ∴=2520k k ->，502k ∴<<（k ∈Z ）即1k =或2()f x 在()0+∞，上单调递增，()f x 为偶函数2k ∴=即()2f x x =（2）()()()()212212f x f x f x f x -<-⇒-<- 212x x ∴-<-，22(21)(2)x x -<-，21x <， ∴()1,1x ∈-（3）由题可知237a b +=，()()()()11213112164a b a b ++∴+++=⇒+= ()()()1132323111112211641141314a b b a a b a b a b ++⎡⎤++⎛⎫∴+=+⋅+=+⋅+≥+=⎢⎥ ⎪++++++⎝⎭⎣⎦，当且仅当()3112314131b a a b a b ++⋅=⇒=+++，即2a =，1b =时等号成立．所以3211a b +++的最小值是2．。

2020-2021学年四川省蓉城名校联盟高二上学期期末联考文科数学试题及答案

绝密★启用前四川省蓉城名校联盟2020-2021学年高二上学期期末联考文科数学注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“若两条直线平行，则这两条直线在同一个平面内”和它的逆命题、否命题、逆否命题，这四个命题中真命题的个数为（） A ．0 B ．2 C ．3 D ．2．袋中装有大小和材质均相同的红球4个，黄球2个，白球1个，从中随机取出一个球，记事件A 为“取出的是红球”，事件B 为“取出的是黄球”，则下列关于事件A 和事件B 的关系说法正确的是（）A ．不互斥但对立B ．不互斥也不对立C ．互斥且对立D ．互斥但不对立 3．命题“22,6x x x ∀+”的否定是（）A ．22,6x x x ∀+<B ．20002,6x x x ∃+< C ．22,6x x x ∀<+< D ．20002,6x x x ∃<+<4．平面内有两个定点A B 、和一个动点,||5,||||M AB MA MB a =+=（a 为常数）．若p 表示“6a >”，q 表示“点M 的轨迹是椭圆”．则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．若方程222450x y x ay a ++--=表示圆，则下列四个数中a 不能取的是（） A ．1- B ．2- C ．1 D ．26．某校高二年级有980名同学，编号为1到980，采用系统抽样的方法从中抽出49人，已知被抽出的编号中有一个为22，则下列编号中没有被抽中的是（） A ．82 B ．202 C ．372 D ．5627．圆22:(2)16M x y ++=与圆22:(4)(8)36N x y -++=的位置关系为（） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切8．从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中随机抽取一个，记事件A 为“抽取的数字为偶数”，事件B 为“抽取的数字为3的倍数”，则事件A B +发生的概率为（） A ．57B ．67C ．37D ．479．已知抛物线22x ay =的焦点在直线3260x y +-=上，则a =（） A ．3 B ．4 C ．6 D ．210．把点M 随机投入长为5，宽为4的矩形ABCD 内，则点M 与矩形ABCD 四边的距离均不小于1的概率为（） A ．310 B ．25 C ．35 D ．4511．已知曲线y =5x my =+只有一个交点，则实数m 的值为（） A ．34-B ．43C ．43-D ．3412．已知椭圆22:143x y M +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作y 轴的平行线交椭圆M 于A B、两点，O 为坐标原点，双曲线N 以1F 、2F 为顶点，以直线OA OB 、为渐近线，则双曲线N 的焦距为（）A B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．执行如图所示的程序框图，输出的s 的值是__________．14．为了研究商品猪存栏量与猪肉平均市场价格的关系，有关人员调查了某省商品猪存栏量与该省猪肉平均市场价格的情况，得到如下表中的数据：根据这组数据，得到了该省猪肉的平均市场价格y （元/千克）,关于商品猪存栏量x （千万头）的线性回归方程为ˆˆ31yx a =-+则ˆa =_________． 15．已知抛物线25y x =上一点(,)Q m n 到焦点的距离为254，则||m n +=_________． 16．已知圆22:(2)(5)4C x y -+-=的圆心为,C T 为直线220x y --=上的动点，过点T 作圆C 的切线，切点为M ，则TM TC ⋅的最小值为___________．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知命题:[1,2],20xp x m ∀∈-，命题:q 方程22142x y m m +=-+表示双曲线．（1）若命题q ⌝为假命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p q ∨为真，且p q ∧为假，求实数m 的取值范围． 18．（12分）已知圆C 经过点(2,5),(5,2),(2,1)-．（1）求圆C 的方程；（2）设点(,)P x y 在圆C 上运动，求22(2)(1)x y +++的最大值与最小值． 19．（12分）2021年第31届世界大学生夏季运动会将在成都市举行，成都市某大学为了解该校大学生每天的体育锻炼情况，在全体大学生中随机抽取了200名学生，对他们每天的体育锻炼时间（单位：分钟）进行统计，由此得到频率分布直方图（如下图）．（1）求t 的值；（2）根据频率分布直方图，估计该校大学生每天体育锻炼时间的平均数；（3）若要从每天体育锻炼时间在[40,50),[50,60)的两组学生中，采用分层抽样的方法选取5人了解他们的锻炼方式，再从这5人中随机抽取2人做志愿者，求抽取的2人每天体育锻炼时间在同一组内的概率． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，点F 到直线10x y ++=的距离为2，点P是椭圆上的一动点，||PF 的最大值为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 相交于A B 、两点，线段AB 的中点为(1,1)T -，求直线l 的方程． 21．（12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点(0,2)的距离与到直线2y =-的距离相等．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）经过点(0,3)作任一直线l 与轨迹E 相交于A B 、两点，过A 点作直线3y =-的垂线，垂足为C 点，求证：B O C 、、三点共线． 22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为0)，点(2,1)P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 是圆22:1M x y +=的一条切线，且直线l 与椭圆C 相交于点M N 、，求MON 面积的最大值．蓉城名校联盟2020~2021学年度上期高中2019级期未联考文科数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1~5：BDBAA 6~10：CBDCA 11~12：BC 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．122 14．148 15．10 16．16三、解答题：本题共6小题，共70分．17．（10分）解：（1）因为q ⌝为假命题，则命题q 为真命题，即(4)(2)0,4m m m -+<>或2m <-．故m 的取值范围为{4mm >∣或2}m <- 3分（2）命题:[1,2],20xp x m ∀∈-，即2x m ≥对于[1,2]x ∀∈恒成立，只需()min2xm，所以2m 5分因为命题p q ∨为真，且p q ∧为假，所以p q 、一真一假，当p 真q 假时：224m m ⎧⎨-⎩，即22m - 7分当p 假q 真时：24 2m m m >⎧⎨><-⎩或，即4m > 9分综上：m 的取值范围为{4mm >∣或22}m - 10分 18．（12分）解：（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=．2529522925D E F D E F D E F ++=-⎧⎪++=-⎨⎪-+=-⎩，得441D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩224410x y x y ∴+---=即22(2)(2)9x y -+-=． 6分（2）22(2)(1)x y +++表示点(,)P x y 与点(2,1)--距离的平方．圆心(2,2)与(2,1)--的距离5d == 9分故距离最大值为8d R +=，距离最小值为2d R -=．所以22(2)(1)x y +++的最大值为64，最小值为4 12分 19．（12分）解：（1）由题意知：20101t ⨯=，得0.005t = 3分（2）由频率分布直方图得：平均值：350.05450.2550.3650.2750.15850.160x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 6分（3）[40,50),[50,60)的两组学生中，[40,50)组选2人，分别记为,A B ；[50,60)组选3人，分别记为,,a b c ， 7分从这5人中随机抽取2人做志愿者的选法为(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c 共10种，9分其中抽取2人为同一组的包含(,),(,),(,),(,)A B a b a c b c 共4种 10分由古典概型知：抽取的2人每天体育锻炼时间在同一组的概率为25P =． 12分 20．（12分）解：（1）由题意知：(,22F c c -==或0c =（舍） 2分 ||PF的最大值为2，即2a c +=，所以2a b == 4分故椭圆C 的方程为22184x y += 5分（2）设()()1122,,,A x y B x y ．由点(1,1)T -为AB 中点得，12122,2x x y y +=-+= 6分且221122222828x y x y ⎧+=⎨+=⎩，相减得：22221212220x x y y -+-= 7分整理得：()121212122y y x x x x y y -+=--+，得12k = 10分故直线方程为11(1)2y x -=+，即230x y -+=． 12分（说明：运用直线与椭圆联立求解，结果正确也给分） 21．（12分）解：（1）由抛物线的定义知，点P 的轨迹为抛物线，点(0,2)为焦点，直线2y =-为准线故4p =，点P 的轨迹方程为28x y = 5分（2）由题意知：直线l 的斜率存在设直线方程为3y kx =+，设()()1122,,,A x y B x y ．直线与抛物线联立：238y kx x y=+⎧⎨=⎩得28240x kx --= 7分0∆>恒成立，12128,24x x k x x ∴+==- 8分要证点()22,B x y 、()1,3C x -、(0,0)O 共线即证212221330BO OC y k k x y x x x -=⇔=⇔+= 9分 ()()122121233030x kx x kx x x x ⇔++=⇔++= 10分而()1212324240kx x x x k k ++=-+= 11分即证B O C 、、三点共线． 12分 22．（12分）解：（1）由题意知：223b a +=．将点P 代入得22411a b+=． 22223411b a a b⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩，得2263a b ⎧=⎨=⎩ 故椭圆的方程为：22163x y +=． 4分（2）①当直线的斜率不存在时，直线1x =或1x =-，当1x =±时，MONy S ==6分②当斜率存在，设直线方程为y kx m =+，设()()1122,,,M x y N x y ．1=，即221m k =+ 7分直线与椭圆联立：2226y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，得()222124260k x kmx m +++-=． 0∆>，即()()222216412260k m k m -+->，将221m k =+代入得240160k +>恒成立2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++ 8分2||12MN k ==+ 1||12MONSMN ∴=⨯即MONS= 10分MONS=，令212(1)k λλ=+，即MONS=故101MONSλ⎫=<⎪⎭，当11λ=时，MONS取得最大值，最大值为2．综上：MON 面积的最大值为2． 12分解析：12．解：易得2(1,0)F ，把1x =代入方程22143x y +=，解得32y =± 所以31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，直线3:2OA y x = 设双曲线N 的实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c 则32b a=，且1a =，所以3,2b c===16．解：圆心(2,5)C 到直线:220l x y --=的距离为d =因为MT MC ⊥，所以22222||||||4416TM TC TM TC MC TC d ⋅==-=--=当且仅当l TC ⊥时等号成立，故TM TC ⋅的最小值为16．。

四川省成都市蓉城名校联盟2021-2022学年高一上学期期末联考数学试题

蓉城名校联盟2021~202学年度上期高中2021级期末联考数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3．考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}260A x x x =∈+-≤R ，{}21B x x =∈-≤<Z ，则A B = （）A ．[)2,1-B ．[]3,2-C ．{}2,1,0--D ．{}2,1,0,1--2．下列函数表示同一函数的是（）A ．1y x =+与21xy x=+B ．3y x =与()31y x =-C ．y x =与2y =D ．0y x =与01y x =3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若()2,P y 是角θ终边上的一点，且sin 5θ=，则y 的值为（）A ．±1B ．1-C ．2±D ．2-4．设函数()1221,1,1log , 1.2x x f x x x -⎧+≤⎪=⎨⎛⎫+> ⎪⎪⎝⎭⎩则()()0f f 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知某扇形的圆心角为3π，面积为6π，则该扇形的弧长为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π6．函数()223x f x x =-+的零点所在的区间可以是（）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,27．已知函数()2cos 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调递减区间是（）A ．()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z B ．(),36k k k ππππ⎡⎤---+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()511,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 8．函数[]5sin ,2,2x x xy x e eππ-=∈-+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9．已知海面上的大气压强是760mmHg ，大气压强P （单位：mmHg ）和高度h （单位：m ）之间的关系为760e hk P -=（e 为自然对数的底数，k 是常数），根据实验知500m 高空处的大气压强是700mmHg ，则当歼20战机巡航高度为1000m ，歼16D 战机的巡航高度为1500m 时，歼20战机所受的大气压强是歼16D 战机所受的大气压强的（）倍（精确度为0.01）.A ．0.67B ．0.92C ．1.09D ．1.2610．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递增，则（）A ．()2355232log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥->> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦B ．()3255223log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥->> ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦C ．()2355232log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥>-> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦D ．()3255223log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥>>- ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦11．已知函数()4sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()()1216f x f x =，则12x x +的最小值为（）A ．3πB ．23πC ．43πD ．5π312．若ln ln ln ln 2525a b b a --+≥+，则（）A ．a b ≤B ．a b ≥C ．1≥ab D ．1ab ≤二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tan 2α=，则22tan cos sin ααα⋅-=______.14．已知幂函数()()1af x k x =-⋅的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则k a +=______.15．定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x ，2x ∈R ，都有()()()12120f x f x x x -⋅->⎡⎤⎣⎦恒成立，且对于任意x ，y ∈R 都有()()()f x y f x f y +=⋅，同时()13f =，则不等式()29f x x -<的解集为______.16．已知函数()21log 1x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，1515,1717x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()23sin 2g x m m x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，对任意11515,1717x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，总存在2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()21g x f x =成立，则实数m 的取值范围为______.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．计算求值：(1)()1303202138⎛⎫+ ⎪⎝⎭．(2)4log 9231lg 22log 27log 4lg5++⋅-．18．已知()()()log 3log 3a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠．(1)判断()f x 的奇偶性并证明；(2)解不等式：()0f x ≥．19．集合{}2230A x x x =+-<，611B xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，{}23,C x a x a a =≤≤+∈R ．(1)求()A B R ð；(2)请从①B C C = ，②B C =∅ ，③C B 这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a 的取值范围．20．已知()()()()23sin cos tan 22sin tan 3f ππααπααπααπ⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⋅-+．(1)化简()f α；(2)若()14f α=，且04πα<<，求sin cos αα-的值；(3)若1860α=-︒，求()f α的值．21．已知二次函数()f x 同时满足以下条件：①()()22f x f x +=-，②()01f =，③()23f =-．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若()()()4h x f x m x =++，[]1,2x ∈-，求：①()h x 的最小值()m ϕ；②讨论关于m 的方程()m k ϕ=的解的个数．22．已知函数()2x f x =，()245h x x x m =-+，()x ϕ与()f x 互为反函数．(1)求()x ϕ的解析式；(2)若函数()()y h x ϕ=在区间()32,2m m -+内有最小值，求实数m 的取值范围；(3)若函数()()401x g x x x ϕ⎛⎫=> ⎪+⎝⎭，关于方程()()230g x a g x a ⎡⎤+++=⎣⎦有三个不同的实数解，求实数a 的取值范围．1．C 【分析】先求出集合,A B ，再求出A B 即可.【详解】由集合{}{}2|6023A x x x x x =--≤=-≤≤，集合{}{}212,1,0B x x =∈-≤<=--Z ，得{}2,1,0A B =-- .故选：C.2．D 【分析】对于A 选项，两个函数定义域不同，故两个函数不是同一函数；对于B 选项，两者的对应法则不同，故不是同一函数；对于C 选项，两个函数定义域不同，故两者不是同一函数；对于D 选项，01y x ==定义域为{}|0x x ≠，函数011y x==定义域为{}|0x x ≠，对应法则也相同，故两个函数是同一函数；【详解】对于A 选项，1y x =+定义域为R ，21xy x=+定义域为{}|0x x ≠，故两个函数不是同一函数；对于B 选项3y x =与()31y x =-两者的对应法则不同，故不是同一函数；对于C 选项，函数y x =的定义域为R ，函数2y =定义域为[)0,∞+，故两者不是同一函数；对于D 选项，01y x ==定义域为{}|0x x ≠，函数011y x==定义域为{}|0x x ≠，对应法则相同，故两个函数是同一函数；故选：D.3．B 【分析】根据三角函数的定义得到sin 1y θ==⇒=-.【详解】根据三角函数的定义得到，0y <，sin 1y θ===-，故选：B.4．A 【分析】根据函数解析式得到()130212f -=+=，()()302f f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，代入解析式求解即可.【详解】()130212f -=+=，()()23310log 1222f f f ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭故选：A.5．B 【分析】由扇形的面积公式求得扇形的半径，进而由弧长公式计算可得.【详解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，根据已知的扇形的圆心角3πα=，面积6S π=，由扇形的面积公式212S r α=,得216π23r π=⨯⨯，解得6r =，由弧长公式623l r παπ==⨯=，故选：B 6．A 【分析】设()12x f x =,()223f x x =-,则()()()12f x f x f x =-.分析可得在区间(],0-∞上函数()f x 单调递增，利用零点存在定理可以判定零点所在区间，在(0,2]上，函数()()()12f x f x f x =-的单调性不确定，分别考察()1f x 和()2f x 的取值范围，可知()11f x >和()21f x ≤，从而可知()0f x >恒成立，即得在区间(0,2]上没有零点.【详解】设()12x f x =,()223f x x =-,则()()()12f x f x f x =-.在区间(],0-∞上，()1f x 单调递增，()2f x 单调递减，则()f x 单调递增，由于()222430f --=-+<,()112130f --=-+>,∴有唯一零点且零点在区间()2,1--内；在区间(0,2]上，()01221x f x =>=,()222 3231f x x =-≤-=,故在区间(]0,2函数()1f x 与()2f x 的图象没有交点，从而函数()f x 没有零点，综上可知，A 正确，BCD 错误，故选：A.【点睛】此题关键点在于分区间研究函数的单调性，在区间(0,2]上函数单调性不易确定或者不单调时，分解为零个具有单调性的函数的差，利用其取值范围判定没有零点.7．A 【分析】由3cos 2=3cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令2223k x k ππππ≤-≤+，k Z ∈，求出x 的取值范围，可得答案.【详解】解：由3cos 2=3cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令2223k x k ππππ≤-≤+，k Z ∈，解得：263k x k ππππ+≤≤+，故函数的单调递减区间是2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：A.8．A 【分析】根据奇偶性判断CD ，取特殊值判断AB.【详解】令[]5sin (),2,2x x x f x x e e ππ-=∈-+，5sin ()()x xxf x f x e e---==-+，即函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故CD 错误；3333222235sin 35202f ee e e ππππππ---⎛⎫==< ⎪⎝⎭++，故B 错误；故选：A 9．C 【分析】根据给定信息，求出500e k ，再列式求解作答.【详解】依题意，500700760e k -=，即500760e700k=，则歼20战机所受的大气压强100020760e kP -=，歼16D 战机所受的大气压强150016760ekP -=，100050020150016760e 760e 1.09760e 700k kk P P --===≈，所以歼20战机所受的大气压强是歼16D 战机所受的大气压强的1.09倍.故选：C 10．A 【分析】利用幂指对函数的单调性可以判定2355232log 3055⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而结合函数的单调性和偶函数的性质可以得到答案.【详解】由对数函数的性质得22log 3log 21>=，由幂函数25y x =在(0,+∞)上单调递增，和指数函数25xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在实数集R 上单调递减，且32055>>可知：2235553322105555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>>>> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2355232log 3055⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又∵()f x 在()0,∞+单调递增，∴()2355232log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥>> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，又∵()f x 是定义域为R 的偶函数，∴()()22log 3log 3f f -=，∴()2355232log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥->> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选：A.11．B 【分析】根据()f x 的最大值和最小值，判断()()12,f x f x 都是最大值或都是最小值，由此求得12x x +的最小值.【详解】解：函数()4sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最大值为4，最小值为4-，结合()()1216f x f x =可知()()12,f x f x 都是最大值或都是最小值.令π2π62x k π-=+,解得2π2π,Z 3x k k =+∈，取1k =-和0k =得到()f x 在y 轴左右两侧邻近的最大值点的横坐标分别为42,33ππ-,令π2kπ62x π-=-,解得2,Z 3x k k ππ=-∈，取0k =和1k =在y 轴左右两侧的邻近的最小值点的横坐标为5,33ππ-,要使12x x +取得最小值，则需12,x x 都是一正一负的最大值或都是一正一负的最小值对应的横坐标，∵4π2π2π333-+=π5π4333π<-+=,故12x x +的最小值为2π3.故选B.12．B 【分析】构造函数()25x xf x -=-，利用其单调性比较()()ln ,ln f a f b 的大小，即可得出答案.【详解】ln ln ln ln ln ln ln ln 25252525a b b a a a b b ----+≥+⇒-≥-，设()25x xf x -=-，则原式等价于()()ln ln f a f b ≥，而()25x x f x -=-显然是单调递增的函数，则ln ln 0a b a b ≥⇒≥>．故选：B13．25-##0.4-【分析】根据商数关系可化为2222tan tan tan cos sin tan 1αααααα-⋅-=+求解.【详解】因为tan 2α=，所以22222222tan cos sin tan tan 242tan cos sin sin cos tan 1415ααααααααααα⋅---⋅-====-+++.故答案为：25-.14．1【分析】根据幂函数的定义，求得k 的值，将已知点的坐标代入函数解析式，解方程求得a 的值，进而得解.【详解】∵()()1af x k x =-⋅为幂函数，∴11k -=，∴2k =；∵其图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴122a=，∴1a =-，∴211k a +=-=，故答案为：115．()1,2-##{}12x x -<<【分析】由()()()12120f x f x x x -⋅->⎡⎤⎣⎦分析得到函数的单调性，由()()()f x y f x f y +=⋅，同时()13f =，得到()29f =，原不等式转化为()2(2)f x x f -<，进而结合单调性转化求解.【详解】不妨设1x <2x ∈R ，由()()()12120f x f x x x -⋅->⎡⎤⎣⎦恒成立，得()()12f x f x <恒成立，可知函数()f x 在在R 上单调递增，()()()f x y f x f y +=⋅，同时()13f =，可知()()()2119f f f ==,∴不等式()29f x x -<即为()2(2)f x x f -<，等价于22x x -<，解得12x -<<，∴所求不等式的解集为()1,2-，故答案为：()1,2-.16．(]),43⎡-∞-⋃+∞⎣【分析】分别求出函数的值域()[]4,4f x ∈-，()223,32m g x m m m ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，对任意11515,1717x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()21g x f x =成立，则[]224,43,32m m m m ⎡⎤-⊆-+⎢⎥⎣⎦，列式求解即可.【详解】当1515,1717x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()221log log 1121x f x x x -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝+⎭-211,16116x ⎡⎤-∈⎢⎥+⎣⎦，()[]4,4f x ∈-，当,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()223,32m g x m m m ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，对任意11515,1717x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()21g x f x =成立，则[]224,43,32m m m m ⎡⎤-⊆-+⎢⎥⎣⎦，∴2243,3 4.2m m m m ⎧≤+⎪⎨-≤-⎪⎩∴3m ≥4m ≤-．故答案为：(]),43⎡-∞-⋃+∞⎣.17．(1)132π-(2)10【分析】根据指数幂的运算公式，对数运算公式依次进行运算即可.(1)原式3131422ππ=+-+=-(2)原式3223lg 2lg 53log 3log 213610=+++⋅=++=．18．(1)奇函数，证明见解析(2)当01a <<时，解集为(]3,0-；当1a >时，解集为[)0,3【分析】（1）利用对数函数的定义求得函数()f x 的定义域，根据奇函数的定义判定函数为奇函数；（2）利用对数函数的单调性，对底数进行分类讨论，转化求解不等式.(1)()f x 为奇函数．证明如下：要使函数有意义，则有303330x x x +>⎧⇒-<<⎨->⎩，∴()f x 的定义域为()3,3-，（注：不求定义域扣2分）∵()()()()log 3log 3a a f x x x f x -=-+-+=-，∴()f x 为奇函数．(2)()0f x ≥，即()()log 3log 3a a x x +≥-，当01a <<时，033x x <+≤-，即30x -<≤，当1a >时，330x x +≥->，即03x ≤<，综上：当01a <<时，解集为(]3,0-；当1a >时，解集为[)0,3．19．(1)(){}15R A B x x ⋂=≤<ð(2)()1,23,2a ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）分别解二次不等式和分式不等式，求得集合,A B ,进而求得；（2）根据选取的不同的条件，利用集合交集的运算性质或者集合的真子集的意义，得到关于a 的不等式（组）求解即得.(1)()()2230130x x x x +-<⇔-+<，解得：()3,1x ∈-，∴{}31A x x =-<<651011x x x ->⇒>++，解得：()1,5x ∈-，∴{}15B x x =-<<，∴(){}15R A B x x ⋂=≤<ð．(2)选①：∵B C C = ，∴C B⊆当C =∅，即233a a a >+⇒>时，满足题意；当C ≠∅，即233a a a ≤+⇒≤时，2112352a a a >-⎧⇒-<<⎨+<⎩；满足3a ≤，∴综上：()1,23,2a ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭．选②：当C =∅，即233a a a >+⇒>时，满足题意；当C ≠∅，即233a a a ≤+⇒≤时，31a +≤-或25a ≥，解得4a ≤-或52a ≥．所以：4a ≤-或532a ≤≤，综上：(]5,4,2a ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．选③：由题知：C B ，当C =∅，即233a a a >+⇒>时，满足题意；当C ≠∅，即233a a a ≤+⇒≤时，2112352a a a >-⎧⇒-<<⎨+<⎩；满足3a ≤，∴综上：()1,23,2a ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭．20．(1)()sin cos f ααα=(2)sin cos αα-=-(3)()f α=【分析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）由（1）可得1sin cos 4αα⋅=，再利用同角三角函数的基本关系：将式子平方即可求解；（3）由（1）利用诱导公式化简即可求解.(1)由题意得，()()()2cos sin tan sin cos sin tan f αααααααα⋅⋅==--．(2)由()1sin cos 4f ααα==可知，()2221sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 2αααααααα-=-+=-=，又∵04πα<<，∴cos sin αα>，则sin cos 2αα-=-．(3)∵1860536060α=-︒=-⨯︒-︒，∴()sin cos 333f f πππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21．(1)()241f x x x =-+(2)①()252,4,1,42,42, 2.m m m m m m m ϕ+≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩；②答案见解析【分析】（1）由()()22f x f x +=-得，对称轴为2x =，然后设()()22f x a x b =-+，利用另外两个条件列出方程组求解即得；（2）①根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论研究最小值；②根据①中求得的函数()m ϕ的解析式，分析各段上的函数值的正负，从而得到函数()y m ϕ=的解析式，画出函数()y m ϕ=的图象，利用数形结合方法讨论方程()m k ϕ=的实数根的个数.(1)（1）由()()22f x f x +=-得，对称轴为2x =，设()()22f x a x b =-+，∴()()04123f a b f b ⎧=+=⎪⎨==-⎪⎩，得13a b =⎧⎨=-⎩，∴()()222341f x x x x =--=-+．(2)（2）①()()()241h x f x m x x mx =++=++，[]1,2x ∈-，对称轴2m x =-，ⅰ当12m -≤-即2m ≥时，()h x 在[]1,2-单调递增，()()min 12h x h m =-=-，ⅱ122m -<-<即42m -<<时，()h x 在1,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在,22m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，∴()2min124m m h x h ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，ⅲ当22m -≥即4m ≤-时，()h x 在[]1,2-单调递减，()()min 252h x h m ==+，综上：()()2min 52,4,1,42,42, 2.m m m h x m m m m ϕ+≤-⎧⎪⎪==--<<⎨⎪-≥⎪⎩②画出函数()y m ϕ=的图象图下图所示：利用图象的翻转变换得到函数()y m ϕ=的图象如图所示：方程()m k ϕ=的根的个数为函数()y m ϕ=的图象与直线y k =的交点个数，由图象可知：当0k <时，方程()m k ϕ=无解；当01k <<时，方程()m k ϕ=有4个解；当0k =或1k >时，方程()m k ϕ=有2个解；当1k =时，方程()m k ϕ=有3个解.22．(1)()()2log 0x x x ϕ=>(2)44,53m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(3)73,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】（1）根据指数函数的反函数为同底数的对数函数，即得；（2）根据题意，利用对数函数和二次函数的性质及复合函数的单调性即可得到函数关于m 的不等式组，求解即得；（3）先利用对数函数和分式函数的单调性知识，结合复合函数的单调性得到函数g (x )的单调性和零点及图象，进而得到()y g x =的图象，将方程()()230g x a g x a ⎡⎤+++=⎣⎦有三个不同的实数解，转化为则230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个根为0；或230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个在[)2,+∞上.进而利用二次方程根的分布思想分析讨论确定实数a 的取值范围．（1）指数函数()2x f x =的反函数为同底数的对数函数，∴()()2log 0x x x ϕ=>.（2）函数()()()22log 45y h x x x m ϕ==-+在区间()32,2m m -+内有最小值，∴()245h x x x m =-+在()32,2m m -+内先减后增，且()min 0h x >，∴4032223(2)54045m m m h m m ⎧<<⎪-<<+⎧⎪⇒⎨⎨-=->⎩⎪>⎪⎩，∴44,53m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（3）∵0x >，∴()4440,411x x x =-∈++，∴()2g x <，∵g (x )2441log x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭在0x >时单调递增，且g 13⎛⎫ ⎪⎝⎭=0,∴()y g x =的图象如下：因为()()230g x a g x a +++=有三个不同的实数解，设()g x t =，由()y g x =的图象可得当0t =或2t ≥时对于一个确定的t 的值，对应一个x 的值，对于02t <<的每一个确定的t 的值，对应两个不同的实数根x .则230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个根为0；或230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个在[)2,+∞上.①230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个根为0，∴一个根为0，解得3a =-，此时22330t at a t t +++=-=，另一根()30,2t =∉，舍去；②230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个在[)2,+∞上，令()23k t t at a =+++，（ⅰ）当一个根在()0,2上，一个在()2,+∞上，则()()00,20.k k ⎧>⎪⎨<⎪⎩∴3,7,3a a >-⎧⎪⎨<-⎪⎩∴733a -<<-.（ⅱ）当一个根在()0,2上，一个根为2，则()20k =，解得73a =-．此时272033t t -+=的两根为()110,23t =∈，22t =，满足题意．综上，a 的取值范围为73,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦．【点睛】本题关键难点在于（3）中，结合()y g x =的图象，将已知方程有三个实数根的条件转化为二次方程的根的分布问题（利用数形结合思想求解），易错点是230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个在[)2,+∞上的情况，要注意分两种情况讨论.。

2020-2021学年成都市蓉城高中教育联盟高一上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年成都市蓉城高中教育联盟高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|y=√x+1}，集合B={y|y=x2,x∈R}，则A∪B=()A. ϕB. [0,+∞)C. [1,+∞)D. [−1,+∞)2.若θ∈[0,π4]，sin2θ=2√23，则cosθ=()A. 23B. 13C. √63D. √333.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(2x−1)<f(|x|)的x的取值范围是()A. (13,23) B. (13,1) C. (12,23) D. (12,1)4.设函数f(x)=x2−2x，若f(x+1)+f(y+1)≤f(x)+f(y)≤0，则点P(x,y)所形成的区域的面积为()A. 4π3+√32B. 4π3−√32C. 2π3+√32D. 2π3−√325.已知幂函数f(x)=xα过点(4,2)，则f(9)等于()A. 1B. 2C. 3D. 46.函数的零点所在的大致区间是()A. B. C. 和 D.7.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是()A. f(x)=|x|xB. f(x)=ln(√x2+1−x)C. f(x)=e x+e−xe x−e−x D. f(x)=sin2x1+cos2x8.已知a=log23，b=ln2，c=5 −12，则a，b，c的大小关系是()A. a>c>bB. a>b>cC. b>a>cD. b>c>a9.设函数f(x)=12cos(ωx+φ)关于x=π3对称，若函数g(x)=3sin(ωx+φ)−2，则g(π3)的值为()A. 1B. −5或3C. −2D. 1210.设α∈{−1,2,23,3}，则使函数y=xα的定义域为R，且为偶函数的所有α的值为()A. −1，3B. −1，2C. −1，3，2D. 2,2311.对于下列命题：①若，则角的终边在第三、四象限；②若点在函数的图象上，则点必在函数的图象上；③若角与角的终边成一条直线，则；④幂函数的图象必过点(1,1)与(0,0).其中所有正确命题的序号是A. ①③B. ②C. ③④D. ②④12.已知函数f(x)的定义域为[1,9]，且当1≤x≤9时，f(x)=x+2，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为()A. [1,3]B. [1,9]C. [12,36]D. [12,204]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在对数函数y=log2x的图象上(如图)，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a+1、a+2，其中a≥1，则△ABC面积的最大值为14.已知cotα=m(−π2<α<0)，则cosα=______(用m表示)15.已知f(x)=(12)−x2−2x+3，则f(x)的单调减区间为______．16.若关于的方程在区间上有解，则的取值范围是；三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知角α的终边与单位圆交于点(12,−√32)，求角α的正弦、余弦和正切值．18.已知=(bsin，acos)，=(cos，−cos)，f(x)=⋅+a，其中a，b，x∈R.且满足f()=2，f′(0)=．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)若关于x的方程f(x)−log k=0在区间[0,π]上总有实数解，求实数k的取值范围．19.已知函数f(x)=x3−3x，]上的最大值和最小值．(1)求函数f(x)在[−3,32(2)求曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程．20.已知集合(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．21.设函数，．(1)解不等式；(2)若恒成立的充分条件是，求实数的取值范围．22.已知函数f(x)=x2−bx+1的最小值为0(b>0)．(1)求b的值；(2)若不等式f(3x)≥k⋅3x+9x对k∈[−1,1]恒成立，求x的取值范围；(3)若函数ℎ(x)=f(f(|m−lnx|))的零点之积大于2，求m的取值范围．参考答案及解析1.答案：D解析：解：∵集合A={x|y=√x+1}={x|x≥−1}，集合B={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0}，∴A∪B={x|x≥−1}=[−1,+∞)．故选：D．利用并集定义和不等式性质求解．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．2.答案：C解析：本题主要考查了二倍角的正弦公式的应用，同角三角函数间的基本关系，半角公式的应用，属于基本知识的考查．由已知可求2θ∈[0,π2]，由sin2θ=2√23，则由同角三角函数关系式可求cos2θ，由半角公式即可求cosθ的值．解：∵θ∈[0,π4]，∴2θ∈[0,π2]，∴由sin2θ=2√23，则cos2θ=√1−sin22θ=13，∴cosθ=√1+cos2θ2=√1+132=√63．故选C．3.答案：B解析：解：因为f(x)为偶函数，所以f(2x−1)<f(|x|)可化为f(|2x−1|)<f(|x|)，又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，所以|2x−1|<|x|，即(2x−1)2<x2，解得13<x<1，所以x的取值范围是(13,1)，故选：B．利用偶函数的性质、单调性去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式即可求解．本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．4.答案：D解析：解：∵f(x)=x 2−2x =x(x −2) ∴f(x +1)+f(y +1)=x 2+y 2−2，f(x)+f(y)=x 2−2x +y 2−2y =(x −1)2+(y −1)2−2，则由f(x +1)+f(y +1)≤f(x)+f(y)≤0得，x 2+y 2−2≤x 2−2x +y 2−2y 且(x −1)2+(y −1)2−2≤0，即x +y −1≤0且(x −1)2+(y −1)2≤2，不等式组对应的平面区域如图：圆心C(1,1)到直线x +y −1=0的距离CD =|1+1−1|√2=1√2=√22，半径BC =√2，BD =√(√2)2−(√22)2=√62，则∠BCD =π3，∠ACB =2π3，则△ACD 的面积S =12×2×√62×√22=√32，扇形ACB 的面积S =12×2π3×(√2)2=2π3，则点P(x,y)所形成的区域的面积为2π3−√32，故选：D将不等式进行化简，利用数形结合，结合三角形的面积公式以及扇形的面积公式即可得到结论．本题主要考查不等式的转化和应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查了三角形的面积和扇形的面积公式，考查学生的计算能力．5.答案：C解析：解：∵幂函数f(x)=x α的图象过点(4,2)， ∴4α=2，解得：α=12， ∴f(x)=x 12=√x ， ∴f(9)=√9=3，故选：C ．由幂函数f(x)=x α的图象过点(4,2)，求出f(x)=√x ，由此能求出f(9)．本题考查函数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：D解析：试题分析：因为，，所以函数的零点所在的大致区间是。

四川省蓉城名校联盟2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题

四川省蓉城名校联盟2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{}U 05x Z x =∈≤≤，集合{}0,1,3M =，{}0,2,3N =，则()()C C U U M N ⋂A ．{}0,3B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2D ．{}4,52．函数()log (1)1a f x x =-+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点（） A ．(1,1) B ．(2,1)C ．(1,2)D ．(2,2)3．函数()xf x =在区间[]1,2上的最大值是ABC ．3D．4．函数()2log 34f x x x =+-的零点所在的区间是 A ．()1,2B ．()2,3C ．()0,1D ．()3,45．下列函数为偶函数的是 A ．(]2,1,1y x x =∈-B ．133xx y =+C ．1y x x=+D ．2,12,112,1x y x x x <-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩6．设0.9999,0.9,log 0.9x y z ===则A ．x y z <<B ．y z x <<C ．z y x <<D ．z x y <<7．下列各组函数中，表示同一组函数的是A ．()2f x x =-，()221x x g x x --=+B ．()1f x =，()0g x x =C ．()f x =()g x x =D ．()f x =()g t =8．已知函数()1xf x +=，则43f ⎛⎫=⎪⎝⎭A ．12eB ．eC ．32eD ．2e9．函数f （x ）=a x –b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则log a （1–b ）的取值A ．恒等于0B ．恒小于0C ．恒大于0D ．无法判断10．方程()221260x m x m +-++=有两个实根12,x x ，且满足12014x x <<<<，则m 的取值范围是 A ．75,54⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．()(),15,-∞-⋃+∞C ．73,5⎛⎫--⎪⎝⎭D ．53,4⎛⎫--⎪⎝⎭11．设奇函数()f x 在()0-∞，上为增函数，且(2)0f =，则不等式()0x f x ⋅<的解集为 A ．()()2,02,-+∞ B ．()(),20,2-∞- C ．()(),22,-∞-+∞D ．()()2,00,2-12．函数()()211m f x m m x-=--是幂函数，对任意()12,0,,x x ∈+∞且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若函数()()(2)1,1log (),1a a f x x F x f x x ⎧--≤=⎨>⎩()01a a >≠其中且在R 上单调递增，则a 的取值范围是A ．()1+∞， B ．()2+∞， C ．(]2,3 D ．(]1,3二、填空题13．已知幂函数()f x 经过点()2,8，则函数()f x =_______________．14．函数()12log (1)1f x x x =++-的定义域是_______________．15．设函数()11x f x e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为_______________．16．用[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.81, 1.82=-=-．下面关于函数()[]f x x x =-说法正确的序号是_______________．①当[)0,1x ∈时，()f x x =； ②函数()y f x =的值域是[)0,1； ③函数()y f x =与函数14y x =的图像有4个交点； ④方程()40f x x -=根的个数为7个．三、解答题17．计算：（1）()11231015360.415482e -⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）1441log 12ln lg1000+． 18．已知集合142xA x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=∈>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2log (1)0B x R x =∈->．（1）求集合,A B ；（2）已知集合{}1C x m x m =<<+，若集合C AB ⊆，求实数m 的取值范围．19．已知定义在R 上的函数()f x 是偶函数，当0x ≥时，()241f x x x =-+．（1）求函数()f x 在R 上的解析式；（2）若方程()m f x =有4个根1234,,,x x x x ，求m 的取值范围及1234x x x x +++的值．20．已知函数()2f x x bx c =-++，不等式()0f x >的解集为{}12x x <<．（1）求不等式210cx bx +->的解集；（2）当()()g x f x mx =-在[]1,2x ∈上具有单调性，求m 的取值范围．21．已知定义域为R 的函数()21212x x f x a =⋅-+是奇函数．（1）求a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性并证明；（3）若关于x 的不等式()()2330f kx kx k f k -++->的解集为R ，求k 的取值范围．22．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，对任意实数(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭．（1）求()0f 的值并判断函数()f x 的奇偶性；（2）已知函数()22221lg x g x x--=， ①验证函数()g x 是否满足题干中的条件，即验证对任意实数(),1,1x y ∈-，()()1x y g x g y g xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭是否成立；②若函数()(),111,11g x x h x k x x x ⎧-<<⎪=⎨+≤-≥⎪⎩或，其中0k >，讨论函数()2y h h x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数情况．参考答案1．D 【分析】列举全集U ，求出M 、N 的补集，再求二者的交集．【详解】全集{}{}U 05012345x Z x =∈≤≤=，，，，，，{}245U C M =，，，{}145U C N =，，所以()()U U C M C N ⋂={} 4,5，答案选D ．【点睛】在进行集合运算进，)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算；集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于A 且属于B ；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U 是大范围，去掉U 中A 元素，剩余元素成补集． 2．B 【分析】令真数为1，则可得到定点坐标. 【详解】真数为1时，对数为0，所以令x=2，则f （x ）=1，所以函数()f x 的图象过定点()2,1. 【点睛】本题主要考查了对数函数恒过定点问题，属于基础题. 3．C 【解析】【分析】可以判断函数()xf x =为增函数，故当x 2=时，函数取最大值，计算即可。

四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年度下期期末联考文科数学试题

故选：C.
【点睛】
本题考查集合交集运算，集合子集个数的计算，是基础题.
3．C
【分析】
由已知条件可知在第四象限，根据同角三角函数的基本关系，计算即可得解.
【详解】
终边与直线有公共点，且，
可知在第四象限，故，
.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数在各象限的符号，考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.
四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年度下期期末联考文科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点的位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解得，
故选：B.
【点睛】
该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有韦达定理，余弦定理，属于基础题目.
8．A
【分析】
根据题中所给的框图，模拟执行程序框图，求得结果.
15．在平面直角坐标系中，已知点，，，，现在矩形中随机选取一点，则事件：点的坐标满足的概率为____________．
16．已知双曲线的左右焦点分别为，点P在第一象限的双曲线C上，且轴，内一点M满足，且点M在直线上，则双曲线C的离心率为____________．
三、解答题
（1）求，的值；
（2）已知函数的图像与的图像关于直线对称．若不等式对恒成立，求实数k的取值范围．
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为 (t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 .

2020-2021学年四川省蓉城名校联盟高二上学期期末联考理科数学试题 pdf版

蓉城名校联盟2020～2021学年度上期高中2019级期末联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1～5：BDBAA 6～10：CBDCA 11～12：BC二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．12214．14815．116．22(2)(5)x y -+-=三、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）解：（1）因为q ⌝为假命题，则命题q 为真命题即(4)(2)0m m -+<，4m >或2m <-.故m 的取值范围为{|42}m m m ><-或.………………………3分（2）命题p ：[1,2]20x x m ∀∈-，，即2x m 对于[1,2]x ∀∈恒成立只需min (2)x m ，所以2m .……………………………5分因为命题p q ∨为真，且p q ∧为假，所以p q 、一真一假.当p 真q 假时：224m m ⎧⎨-⎩，即22m - .……………………………7分当p 假q 真时：242m m m >⎧⎨><-⎩或，即4m >.…………………………………9分综上：m 的取值范围为{|422}m m m >-或 .………………………10分18．（12分）解：（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=.2529522925D E F D E F D E F ++=-⎧⎪++=-⎨⎪-+=-⎩，得441D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩224410x y x y ∴+---=即22(2)(2)9.x y -+-=………………………6分（2）22(+2)+(1)x y +表示点(,)P x y 与点(2,1)--距离的平方.圆心(2,2)与(2,1)--的距离5d =.………………………9分故距离最大值为+8d R =，距离最小值为2d R -=.所以22(+2)+(1)x y +的最大值为64，最小值为4.………………………12分19．（12分）解：（1）由题意知：20101t ⨯=，得0.005t =.………………………3分（2）由频率分布直方图得：平均值：350.05450.2550.3650.2750.15850.160x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………6分（3）[40,50)[50,60)，的两组学生中，[40,50)组选2人，分别记为A B ，；[50,60)组选3人,分别记为a b c ，，，…………………………………7分从这5人中随机抽取2人做志愿者的选法为(,)A B ,(,)A a ，(,)A b ，(,)A c ，(,)B a ，(,)B b ，(,)B c ，(,)a b ，(,)a c ，(,)b c 共10种，…………………………………9分其中抽取2人为同一组的包含(,)A B ，(,)a b ，(,)a c ，(,)b c 共4种.…………………10分由古典概型知：抽取的2人每天体育锻炼时间在同一组的概率为2=5P .……………12分20．（12分）解：（1）由题意知：(,0)F c -2=，2c =或0c =（舍）……………2分||PF的最大值为，即2a c +=，所以a =2b =……………4分故椭圆C 的方程为22184x y +=.……………………………5分（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y .由点T (1,1)-为AB 中点得：121222x x y y +=-+=，…………………6分且221122222828x y x y ⎧+=⎨+=⎩，相减得：22221212220x x y y -+-=.…………………7分整理得：121212122()y y x x x x y y -+=--+，得12k =.……………………………10分故直线方程为11(1)2y x -=+，即230.x y -+=……………………………12分（说明：运用直线与椭圆联立求解，结果正确也给分）21．（12分）解：（1）由已知可得,动点P 到点(0,2)的距离等于到直线2y =-的距离.………1分由抛物线的定义知，点P 的轨迹为抛物线，点(0,2)为焦点，直线2y =-为准线………3分故4p =，点P 的轨迹方程为28x y =.……………………………5分（2）当=0k 时，直线l 为3y =，由对称性，直线BC 与x 轴交于点(0,0)O …………………6分下面证明一般情况下，直线BC 与x 轴交于定点(0,0)O .由题意知：直线l 的斜率存在.设直线方程为3y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y .直线与抛物线联立：238y kx x y =+⎧⎨=⎩，得28240x kx --=.……………………………7分0∆>恒成立，∴1212824x x k x x +==-，.……………………………8分点22(,)B x y ，1(,3)C x -，(0,0)O 共线212212330OC OB y k k x y x x x -⇔=⇔=⇔+=………………………9分1221212(3)303()0x kx x kx x x x ⇔++=⇔++=………………………10分而12123()24240kx x x x k k ++=-+=………………………11分即直线BC 过定点(00)，.………………………12分22．（12分）解：（1）由题意知：223.b a +=将点P 代入得：22411a b+=.22223411b a ab ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩，得2263a b ⎧=⎨=⎩故椭圆的方程为：22163x y +=.…………………………………………4分（2）如图所示：由题意知直线TM 的斜率大于0，所以可设直线方程为3x ty =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y .直线与椭圆联立：22326x ty x y =+⎧⎨+=⎩，得22(2)630t y ty +++=………………5分0∆>，即223612(2)0t t -+>，21t >，由于斜率大于0，1t ∴>…………6分1212226322t y y y y t t -+==++，.…………………………………………7分直线PM 的斜率：1112y x --，PM 的方程：1111(2)2y y x x --=--，令0y =，则11221A x x y -=+-直线PN 的斜率：2212y x --，PN 的方程：2211(2)2y y x x --=--，令0y =，则22221B x x y -=+-||=TA 112311A x x y --=+-，||=TB 222311B x x y --=+-，121+=1(||+||)2S S TA TB ⨯⨯=1212122(2)211x x y y --++--.………………………………9分现求12122211x x y y --+--的取值范围：121221121222(2)(1)+(2)(1)=11(1)(1)x x x y x y y y y y ------+----将x 用y 表示代入：原式121212122(1)()2=()1ty y t y y y y y y +-+--++由韦达定理得：原式2244=65t t t -++(1)t >………………………………10分原式224(1)24=44655t t t t +-=-+++(1)t >所以12+=S S 1235t -+(1)t >，函数为递增，12+(13)S S ∈，.……………………12分（说明：直线设成(3)0y k x k =->，，结果正确也给分）.12．解：设椭圆M 的半焦距为c ，由已知得12c a =，所以2a c =，b =，椭圆M 的方程可化为2222143x y c c +=，把x c =代入，解得32y c =±所以3(c,)2A c ，直线32OA y x =：设双曲线N 的实半轴长为a '，虚半轴长为b '，半焦距为c '则a c '=，由32b a '='，得3322b ac ''==由已知可得32b '=，所以33122c c ==，所以b ==M 的短轴长为.16．解：2222||cos (||||)(12sin )TM TN TM MTN TC MC MTC ⋅=∠=--∠uuu r uur 22222222||832(||4)(1)(||4)(1)||12||||||CM TC TC TC TC TC TC =--=--=+-1212=当且仅当2||TC =由T 在圆C 外知||TC 的取值范围是(2,)+∞,所以2||TC =故TM TN ⋅uuu r uur 的最小值为12.由2||TC =T 的轨迹为圆，方程为22(2)(5)x y -+-=.。

四川省成都市蓉城名校联盟2020_2021学年高一数学下学期期末联考试题理

四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高一数学下学期期末联考试题理考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”．2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．3.考试结束后由监考老师将答题卡收回．一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．a ，b 满足a b <，则下列关系式一定成立的是（）A ．22a b <B ．ln()0b a ->C ．11a b>D ．22ab<2.下列说法正确的是（）A ．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体一定是圆锥B ．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分一定是圆台C ．正视图和侧视图的高一定是相等的，正视图和俯视图的长一定是相等的D ．利用斜二测画法画出的正方形的直观图和原来正方形的面积之比是ABC △中，点D 在BC 边上，且3BD DC =，则（） A ．1233AD AB AC =+ B ．1344AD AB AC =+ C ．1344AD AB AC =+D ．1223AD AB AC =+ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，c =6A π=，则b =（）A ．1B ．2C ．D ．1或21，底面周长为8，其三视图如图．圆柱表面上的点P 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点Q 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从P 到Q 的路径中，最短路径的长度为（）A ．17B ．5C ．32D ．1{}n a 的前n 项和为n S ，若120a >，11120a a +<，则满足0n S >的最小正整数n 的值为（）A ．22B ．23C ．24D ．25ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3A π=，10b c +=，210a =，则ABC S =△（） A ．53B ．63C ．143D ．1638.我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等．如图所示，扇形的半径为2，圆心角为2π，若扇形AOB 绕直线OB 旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）A ．43π B ．2πC ．83π D ．163π2a >，1b >，若4a b +=，则1421a b +--的最小值为（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．1110.已知A ，B 是球O 的球面上两点，23AOB π∠=，P 为该球面上动点，若三棱锥O PAB -体积的最大值为233，则球O 的表面积为（） A ．12π B ．16πC ．24πD ．36π{}n a 满足()1131nn n a a n ++-=+，n S 为{}n a 的前n 项和，则20S =（）A ．300B ．320C ．340D ．360ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若43bc =sin 2sin cos 0A B C +=，则ABC △面积的最大值为（）A ．1 BC ．2 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.求值：tan 33tan 271tan 33tan 27︒+︒=-︒︒．a ，b 满足1a =，4b =，且a 与b 的夹角为3π，则2a b -= ． 2210ax ax -+>对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为．{}n a 中，11a =，2211n n a n a n -=-（2n ≥，*n ∈N ），则数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．()22f x x ax b =-++，a ∈R ，b ∈R ．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()1,2，求实数a ，b 的值；（2）若关于x 的不等式()f x b ≤在[]1,3x ∈上能成立，求实数a 的取值范围．()2sin ,cos sin a x x x =+，()cos ,cos sin b x x x =-，若函数()f x a b =⋅．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若θ为钝角，且84f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan θ的值． ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC △同时满足下列4个条件中的三个：①4A π=，②4a =，③c =1sin 4C =．（1）指出这三个条件，并说明理由；（2）求边长b 和三角形的面积ABC S △．{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，1n n a S +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．21.成都市为迎接2022年世界大学生运动会，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE ，根据自行车比赛的需要，需预留出AC ，AD 两条服务车道（不考虑宽度），DC ，CB ，BA ，AE ，ED 为赛道，23ABC AED π∠=∠=，4BAC π∠=，)km BC =，)km CD =．注：km为千米．（1）若3cos 5CAD ∠=，求服务通道AD 的长；（2）在（1）的条件下，求折线赛道AED 的最长值（即AE ED +最大）．（结果保留根号）{}n a 满足()2*12n n n a a a n ++=⋅∈N ，且12a =，416a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）设3n n n n a c a =+，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：86182265133nn T ⎛⎫-⋅≤< ⎪⎝⎭．蓉城名校联盟2020~2021学年度下期高中2020级期末联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．题号 123456789101112答案D C B D B B A C C B C B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．357 15.[)0,1 16.21nn + 解析： 11.()1131nn n a a n ++-=+，①当n 为偶数时，131n n a a n ++=+， 2134n n a a n ++∴-=+， 265n n a a n +∴+=+， 2462517a a ∴+=⨯+=，6866541a a ∴+=⨯+=，…182********a a ∴+=⨯+=，()24205171133252a a a ⨯+∴+++==．②当n 为奇数时，131n n a a n +-=+， 2134n n a a n ++∴+=+， 23n n a a +∴+=，133a a ∴+=，573a a +=，…，17193a a +=， 13195315a a a ∴+++=⨯=，2012320S a a a a ∴=++++()()13192420a a a a a a =+++++++32515340=+=12.sin 2sin cos 0A B C +=，222202a b c a b ab +-∴+⨯=，22220a b c +-=，22222c b a ==，222222222cos 22b c b c b c a A bc bc++-+-∴==223222b c bc +=≥= 06A π∴<≤，1sin 0,2A ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，11sin 24S bc A bc ∴=≤= 16.()()2221111n n a n n a n n n -==-+-，321121nn n a a a a a a a a -∴=⨯⨯⨯⨯()()222223421132435111n nn n n =⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+-+ ()2211211n a n n n n n ⎛⎫⇒==- ⎪++⎝⎭， 1111122122311n nT n n n ⎛⎫∴=-+-++-=⎪++⎝⎭．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）()0f x <的解集为()1,2，1∴，2是方程220x ax b -++=的两个根；123a ∴=+=；2122b +=⨯=； 3a ∴=，0b =．（2）22x ax b b -++≤在[]1,3x ∈上能成立；220x ax +∴-≤在[]1,3x ∈上能成立；()2min2ax x ≥+∴；[]1,3x ∈， min 2a x x ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭∴；2x x+≥=（当且仅当x ==”）， []21,3x =∈，a ∴≥18．解：（1）()222sin cos cos sin f x a b x x x x =⋅=+-sin 2cos 224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()f x ∴的最小正周期22T ππ==；令222242k x k πππππ-+≤+≤+，388k x k ππππ-+≤≤+∴，k ∈Z ，∴单调递增区间为：3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（2）228842f ππππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯++=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 21sin 2cos 22cos 124πθθθ⎛⎫+==-∴= ⎪⎝⎭，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos θ=∴sin θ=sin tan cos θθθ==． 19．解：（1）该三角形同时满足①②③，理由如下：若非钝角ABC △同时满足①④，11sin 42C =<， 06C π∴<<或56C ππ<<（舍），又4A π=，5412A C ππ∴<+<， 73124B AC πππ∴<=--<，这与ABC △为非钝角三角形相矛盾，①④不能同时选，∴②③必选，若选②③④，a c <，A C ∴<，11sin 42C =<，6C π∴<，23B AC ππ∴=-->，与ABC △为非钝角三角形相矛盾，∴该三角形同时满足①②③．（2）22222cos322162a b c bc A b b=+-=+-⨯⨯=，28160b b∴-+=，4b∴=，11sin48222ABCS bc A∴==⨯⨯=△．20．解：（1）1n na S+=，1n na S-∴=，两式相减得()122n na a n+=≥．{}na∴为从第二项开始的等比数列212a S==，12,1,2, 2.n nnan-=⎧∴=⎨≥⎩（2）21,1,log1, 2.n nnb an n=⎧==⎨-≥⎩①当2n≥时，()11111112231nTn n=++++⨯⨯⨯-111111111223341n n=+-+-+-++--12n=-．②当1n=时，11T=，满足12nTn=-，综上所述：12nTn=-．21．解：（1）在ABC△中，由正弦定理得：82sin sin34AC Cππ=，AC==在ACD△中，由余弦定理得2222cosCD AD AC AC AD CAD=+-⋅⋅∠，232185AD AD ∴=+-，AD ∴=（2）方法一：在ADE △中，由余弦定理得：22222cos3AD AE ED AE DE π=+-⋅⋅， 222AD AE ED AE AD ∴=++⋅，()250AE ED AE AD =+-⋅，()24AE ED AE AD +⋅≤，()23504AE ED ∴+≤， ()22003AE ED ∴+≤，AE ED ∴+≤（当且仅当AE AD ==时取“=”）方法二：在ADE △中，设1ADE ∠=∠，2EAD ∠=∠，sin 1sin 2sin AE DE AD AED ∴====∠∠∠，1AE ∴=∠，2DE =∠，12AE DE ∴+=∠+∠113π⎛⎫=∠-∠ ⎪⎝⎭111sin 12⎫=∠+∠-∠⎪⎪⎝⎭1cos 133=∠+∠1sin 11322⎫=∠+∠⎪⎪⎝⎭13π⎛⎫=∠+ ⎪⎝⎭ 013π<∠<，21,333πππ⎛⎫∴∠+∈ ⎪⎝⎭，sin 13π⎤⎛⎫∠+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，1333π⎛⎛⎫∴∠+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，AE DE ∴+≤22．解：（1）212n n n a a a ++=⋅，211n n n na a a a +++∴=， {}n a ∴为等比数列，设公比为q ，12a =，416a =，3418a q a ∴==， 2q ∴=，2n n a ∴=．（2）()()21212nn n b n a n =-=-⋅()23123123252212n n n S b b b b n ∴=++++=⨯+⨯+⨯++-⋅①()()23412123252232212n n n S n n +∴=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅②②-①得：()()23122222212n n n S n +=--++++-()()()()1131141222212221221212n n n n n n -+-+-=--⨯+-=-+-+-⋅-()16232n n +=+-⋅.（3）①先证右边：*n ∈N ，11 20n ∴>，323n n n ∴+>，22323nn n n n c ⎛⎫∴=< ⎪+⎝⎭． 234122222233333n n n T c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++<+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2213322222313n n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⋅< ⎪⎝⎭-．②再证左边：当1n =时，1861822651335T =-⨯=，成立．当2n ≥时，设213233122n n n n n n c λ==≥+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，则1213n λ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭，913λ∴≤，92133nn c ⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭．∴当2n ≥时，231229222513333n n n T c c c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⨯+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣≥⎦2112213329212221218212513513351313313n n n--⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+⨯=+-⎢=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎥⎦-⎣8618265133n⎛⎫=- ⎪⎝⎭．86182265133nn T ⎛⎫∴-⋅≤< ⎪⎝⎭．12。

四川省成都市蓉城名校联盟2020_2021学年高一数学下学期入学联考试题

某某省某某市蓉城名校联盟2020-2021学年高一数学下学期入学联考试题考试时间共120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、某某、班级、某某号用0.5亳米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合P ＝{x|0<x<3}，Q ＝{x|－1<x<2}，则P ∪Q ＝A.{x|x<3}B.{x|－1<x<3}C.{x|0<x<2}D.{x|x>0}2.半径为2，弧长为5π的扇形的面积为 A.5πB.25πC.25π D.225π 3.函数y ＝log a (2x ＋7)－2(a>0，且a ≠1)的图象一定经过的点是A.(－72，－2)B.(－3，－2)C.(－3，－1)D.(－4，－2) 4.已知sin 2cos sin cos θθθθ+-＝2，则tan θ的值为 A.－4B.－2C.2D.45.函数f(x)＝1tan()1224x ππ++的单调递增区间为A.(2k －32，2k ＋12)，k ∈ZB.(2k －12，2k ＋12)，k ∈Z C.(4k －12，4k ＋32)，k ∈Z D.(4k －32，4k ＋12)，k ∈Z 6.函数f(x)＝e x ＋13x －2的零点所在区间为 A.(－1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)7.函数f(x)＝()212log x 5x 4-+-的单调递增区间为A.(－∞，52]B.[52，＋∞)C.(1，52]D.[52，4) 8.已知a ＝log 624，b ＝log 27，c ＝(lg2＋lg5)π，则a ，b ，c 的大小关系为A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<a<c9.将函数f(x)＝sinx 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平移φ(φ>0)个单位，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)图象关于y 轴对称，则φ的最小值为 A.6πB.4πC.3πD.2π 10.当θ∈(0，π)时，若cos(56π－θ)＝－513，则sin(θ＋6π)的值为 A.1213B.－1213C.±1213D.51211.若对任意的x ∈[－3，－2]，都有(2m －1)2x ≤1恒成立，则m 的取值X 围为A.(－∞，2]B.(－∞，52]C.(－∞，4]D.(－∞，92] 12.若函数f(x)＝2cos(ωx －6π)＋3(ω>0)在区间[0，π]上与直线y ＝3有5个交点，则ω的取值X 围为 A.[143，173) B.(143，173] C.[173，203) D.(173，203] 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。