2019-2020年中考数学专题37动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题(含解析)

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动点--二次函数与等腰三角形存在性问题

第三节动点--二次函数与等腰三角形存在性问题(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--动点问题—二次函数中等腰三角形存在性问题方法总结：假设结论成立；当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底、哪条是腰时，要对其进行分类讨论，假设某两条边相等，等到三种情况；设未知量，求边长，在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标，并用所设点坐标表示出假设相等的两条边的长或第三边的长；④计算求解，根据等腰三角形的性质或利用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式，根据等量关系式求解即可。

典型例题：例1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．例2.如图，抛物线y=﹣221x+nmx 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．例3．如图，二次函数212y x bx c =-++的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积．（3）在x 轴上是否存在一点P ，使△ABP 为等腰三角形，若存在，求出P 的坐标，若不存在，说明理由.例4. （2014•绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．例5. (2014年四川资阳)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；例6．如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，用含m的代数式表示线段PC的长，并求线段PC的最大值；（3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，请直接写出所有P的坐标；如果不存在，请说明理由．例7．（2014年浙江义乌12分）如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x 轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点.（1）求该抛物线线的函数解析式.（2）已知直线l的解析式为y x m=+，它与x轴的交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P.①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积.②当m3=-时，过P点分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F. 是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.例8．如图，抛物线2323y x x 63-=与x 轴交于点A ，将线段OA 绕点O 逆时针旋转1200至OB 的位置.（1）点B 在抛物线上;（2）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．例9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．例11.如图11所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为x轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使 PDB为等腰三角形的点P有几个（不必求点P的坐标，只需说明理由）例12.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形请直接写出相应的t值.。

中考数学压轴题分析：几何动点产生的等腰三角形存在性问题

中考数学压轴题分析：几何动点产生的等腰三角形存在性问题本文内容选自2021年南通中考数学几何压轴题。

以正方形为背景，涉及轴对称、旋转等有关的问题。

通过讨论等腰三角形的存在性求三角函数值。

【中考真题】（2021·南通）如图，正方形中，点在边上（不与端点，重合），点关于直线的对称点为点，连接，设．（1）求的大小（用含的式子表示）；（2）过点作，垂足为，连接．判断与的位置关系，并说明理由；（3）将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为点，连接，．当为等腰三角形时，求的值．【分析】（1）连接BF，可以得到△ABF与△CBF都是等腰三角形，再利用三角形的内角和，可以得到∠BCF=135°﹣α。

（2）通过观察，易得两直线平行。

只需证明一组内错角相等即可。

易得∠CFG=45°，那么只需证明∠AGD=45°即可。

由于∠ADC=∠AGC=90°，说明点A、D、G、C四点共圆，那么∠AGD=∠ACD=45°，结论易得。

（3）通过旋转，可以得到BH=BE＞AB=BF，所以△BFH为等腰三角形时，只能BF=FH或BH=FH，分别进行讨论即可。

①当BH=FH时，易得∠BFH=∠ABF=2α，此时AB与CF重合，易得点C与F重合，不符合题意。

②当BH=FH时，过点H作BF的垂线，构造三线合一。

易得△ABE≌△BHB，那么就可以得到AB=BF=2BN=2AE，那么就可以得到sinα的值了。

【答案】解：（1）如图1，连接，点关于直线的对称点为点，，，，，四边形是正方形，，，；（2），理由如下：如图2，连接，四边形是正方形，，，，，点，点，点，点四点共圆，，，，，，，；（3），，；如图3，当时，过点作于，将绕点顺时针旋转得到，，，，，，，，，，，，，，，，，，当时，，，，即点与点重合，则点与点重合，点在边上（不与端点，重合），不成立，综上所述：的值为．。

初中数学中考模拟复习专题37 动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题考试卷及答案.docx

xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（4，0），动点C在直线上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是【】A．1 B．2 C．3 D．4试题2:如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝8，CD＝10．评卷人得分（1）求梯形ABCD的面积；（2）动点P从点B出发，以2个单位/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以2个单位/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．问：①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．试题3:如图，在直角梯形ABCD中,AD∥CB,,动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q 从点C出发,在线段CB上以每秒一个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P 随之停止运动.设运动的时间为t（秒）.（1）设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式;（2）当t为何值时,四边形ABQP是平行四边形.（3）当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?【试题4:如图，已知抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度在线段OA上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒。

动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题

动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题一、选择题1.（2013福建龙岩4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是【】A．2 B．3 C．4 D．52.（2011年内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是【】A、2.5秒B、3秒C、3.5秒D、4秒二、填空题1.（2013年四川凉山5分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为▲ 。

，2. （2012辽宁丹东3分）如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P,BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有▲ 个.【答案】5。

【考点】动点问题，正方形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，线段中垂线的性质，等边三角形的判定。

【分析】如图，符合条件的Q点有5个。

3. （2012青海西宁2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD的中点，点P在x轴上移动．小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标为(－5，0)和(5，0)．请你写出其余所有符合这个条件的P点的坐标▲ ．∴OK=。

∵∠PFO=∠EKO=90°，∠POF=∠EOK，∴△POF∽△EOK。

∴OP：OE=OF：OK，即OP：5=：4，解得：OP=。

∴P点坐标为（，0）。

∴其余所有符合这个条件的P点坐标为：（8，0），（，0）。

初中数学等腰三角形存在性问题(含答案)

等腰三角形存在性问题几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法．等腰三角形存在性问题【问题描述】如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．C 21+23,0()C 11-23,0()C 1H =C 2H =13-1=23作AH ⊥x 轴于H 点，AH =1AC 1=AB=4-1()2+3-1()2=1334C C 、同理可求，下求5C ．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：故C 5坐标为（196,0）解得：x =1363-x ()2+22=x 2设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-x AH =3，BH =2而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些．【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3），（2）表示线段：5AC =5BC（3）分类讨论：根据55AC BC =，（4）求解得答案：解得：236m =，故5C 坐标为23,06⎛⎫⎪⎝⎭．【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ；（3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ；（4）列出方程求解．问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．【2018泰安中考】如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点(4,0)A -、(2,0)B ，交y 轴于点(0,6)C ，在y 轴上有一点(0,2)E -，连接AE ．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由．【分析】（1）233642y x x =--+；（2）可用铅垂法，当点D 坐标为()2,6-时，△ADE 面积最大，最大值为14；（3）这个问题只涉及到A 、E 两点及直线x =-1（对称轴）①当AE =AP 时，以A 为圆心，AE 为半径画圆，与对称轴交点即为所求P 点． ∵AE=1AP AH =3，∴1PH故(1P -、(21,P-． ②当EA =EP 时，以E 点为圆心，EA 为半径画圆，与对称轴交点即为所求P 点．过点E 作EM 垂直对称轴于M 点，则EM =1，34P M P M ===，故(31,2P --、(41,2P --．③当P A =PE 时，作AE 的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P 点．设()51,P m -，()()2225140P A m =-++-，()()2225=102P E m --++ ∴()22921m m +=++，解得：m =1．故()51,1P -．综上所述，P 点坐标为(1P -、(21,P -、(31,2P --+、(41,2P --、()51,1P -．【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．【2019白银中考（删减）】如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于(3,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；【分析】（1）211433y x x =-++；（2）①当CA =CQ 时，∵CA =5，∴CQ =5，考虑到CB 与y 轴夹角为45°，故过点Q 作y 轴的垂线，垂足记为H ，则CH QH ==，故Q点坐标为-⎝⎭． ②当AC =AQ 时，考虑直线BC 解析式为y =-x +4，可设Q 点坐标为（m ，-m +4），AQ =5=，解得：m =1或0（舍），故Q 点坐标为（1，3）．③当QA =QC 时，作AC 的垂直平分线，显然与线段BC无交点，故不存在．综上所述，Q点坐标为⎝⎭或（1，3）．【2019盐城中考删减】如图所示，二次函数2(1)2y k x =-+的图像与一次函数2y kx k =-+的图像交于A 、B 两点，点B 在点A 的右侧，直线AB 分别与x 、y 轴交于C 、D 两点，其中0k <．（1）求A 、B 两点的横坐标；（2）若OAB ∆是以OA 为腰的等腰三角形，求k 的值．【分析】（1）A 、B 两点横坐标分别为1、2；（2）求k 的值等价于求B 点坐标，B 点横坐标始终为2，故点B 可以看成是直线x =2上的一个动点，满足△OAB 是以OA 为腰的等腰三角形，又A 点坐标为（1，2），故OA = ①当OA =OB时，即OB =记直线x =2与x 轴交点为H 点， ∵OH =2，∴BH =1，故B 点坐标为（2，1）或（2，-1），k =-1或-3． ②当AO =AB 时，易知B 点坐标为（2，0），k =-2．综上所述，k 的值为-1或-2或-3．【2018贵港中考（删减）】如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴相交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴相交于点(0,3)C -．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，PH x ⊥轴于点H ，与线段BC 交于点M ，连接PC ．当PCM ∆是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．【分析】（1）223y x x =--；（2）①当PM =PC 时，（特殊角分析）考虑∠PMC =45°，∴∠PCM =45°，即△PCM 是等腰直角三角形，P 点坐标为（2，-3）；②当MP =MC 时，（表示线段列方程）设P 点坐标为()2,23m m m --，则M 点坐标为(),3m m -，故线段()()223233PM m m m m m =----=-+ 故点M 作y 轴的垂线，垂足记为N ，则MN =m ，考虑△MCN是等腰直角三角形，故MC =，∴23m m -+，解得3m =0（舍），故P点坐标为(3-．综上所述，P 点坐标为（2，-3）或(3-．【2019眉山中考删减】如图，在平面直角坐标系中，抛物线249y x bx c =-++经过点(5,0)A -和点(1,0)B ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图，连接AD 、BD ，点M 在线段AB 上（不与A 、B 重合），作DMN DBA ∠=∠，MN 交线段AD 于点N ，是否存在这样点M ，使得DMN ∆为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）241620999y x x =--+，顶点D 坐标为()2,4-；（2）考虑到∠DAB =∠DBA =∠DMN ，即有△BMD ∽△ANM （一线三等角）．①当MD =MN 时，有△BMD ≌△ANM ，可得AM =BD =5，故AN =BM =1；②当NM =ND 时，则∠NDM =∠NMD =∠DAB ， △MAD ∽△DAB ，可得AM =256，116BM = ∴AN AMBM BD=，即2561156AN =，解得：5536AN =．③当DM =DN 时，∠DNM =∠DMN =∠DAB ，显然不成立，故不存在这样的点M ．综上，AN 的值为1或5536．【2019葫芦岛中考（删减）】如图，直线4y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c =-++经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点PBC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接AM 交BC 于点D ，当PDM ∆是等腰三角形时，直接写出t 的值．【分析】（1）234y x x =-++；（2）①考虑到∠DPM =45°，当DP =DM 时，即∠DMP =45°，直线AM ：y =x +1，联立方程：2341x x x -++=+，解得：13x =，21x =-（舍）．此时t =1．②当PD=PM时，∠PMD=∠PDM=67.5°，∠MAB=22.5°，考虑tan∠22.5°1，直线AM：)11 y x=+，联立方程：)23411 x x x-++=解得：15x=21x=-（舍）．此时t1 -．综上所述，t的值为11．附：tan22.5°1．221122.5°22.5°45°45°tan22.51︒==【总结】具体问题还需具体分析题目给的关于动点的条件，选取恰当的方法，可减轻计算量．。

中考压轴题等腰三角形存在性问题 -

中考压轴题等腰三角形存在性问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射．动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等．本专题原创编写面动形成的等腰三角形存在性问题模拟题．在中考压轴题中，面动形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类．原创模拟预测题1．如图，抛物线223y x x=-++与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．【答案】（122）或（122）．【分析】当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P 点坐标．【解析】∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，∵抛物线223y x x=-++与y轴交于点C，∴C（0，3），且D（0，1），∴E点坐标为（0，2），∴P点纵坐标为2，在223y x x=-++中，令y=2，可得2232x x-++=，解得x=12±，∴P点坐标为（122）或（12，2），故答案为：（122）或（12，2）．考点：二次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定；动点型．原创模拟预测题2．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，G 是AD 延长线时的一点，且DG=AD ，动点M 从A 点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G 的路线向G 点匀速运动（M 不与A ，G 重合），设运动时间为t 秒，连接BM 并延长AG 于N ．（1）是否存在点M ，使△ABM 为等腰三角形？若存在，分析点M 的位置；若不存在，请说明理由；（2）当点N 在AD 边上时，若BN ⊥HN ，NH 交∠CDG 的平分线于H ，求证：BN=HN ；（3）过点M 分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为E ，F ，矩形AEMF 与△ACG 重叠部分的面积为S ，求S 的最大值．【答案】（1）答案见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）当t=238秒时，S 的最大值为38．（2）证明：在AB 上取点K ，使AK=AN ，连接KN ．∵AB=AD ，BK=AB-AK ，ND=AD-AN ，∴BK=DN ，又DH 平分直角∠CDG ，∴∠CDH=45º，∴∠NDH=90º+45º=135º，∴∠BKN=180-∠AKN=135º，∴∠BKN=∠NDH ，∵在Rt △ABN 中，∠ABN+∠ANB=90º，又BN ⊥NH ，即∠BNH=90º，∴∠ANB+∠DNH=180º-∠BNH=180º-90º=90º，∴∠ABN=∠DNH ．∴△BNK ≌△NHD （ASA ），∴BN=NH ；（3）①当点M 在AC 上时，即0＜t≤22时，易知：△AMF 为等腰直角三角形．∵AM=t ，∴AF=FM=t22，∴S=24122222121tttFMAF=⋅⋅=⋅；当点M在CG上时，即22＜t＜24时，CM=t-22，MG=24-t．∵AD=DG，∠ADC=∠CDG，CD=CD，∴△ACD≌△GCD（SAS），∴∠ACD=∠GCD=45º，∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90º，∴∠G=90-∠GCD=90º-45º=45º，∴△MFG为等腰直角三角形，∴ttMGFG22422)24(45cos0-=⋅-=⋅=，∴ACG CMJ FMGS S S S∆∆∆=--=11142222CM CM FG FM⨯⨯-⨯⨯-⋅=221124(22)(4)222t t----= 234284t t-+-，∴221t0t2243-t42t-8 22t424S⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<<⎪⎩（）（）；②在0＜t≤22范围内，当t=22时，S的最大值为222412=⨯）（；在22＜t＜24范围内，38)238-t(432+-=S，当238t=时，S的最大值为38，∵823>，∴当t=238秒时，S的最大值为38．考点：四边形综合题；二次函数综合题；分段函数；二次函数的最值；最值问题；动点型；存在型；压轴题．学科网原创模拟预测题3．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；（3）设⊙P 与x 轴相交于M （x1，0），N （x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．【答案】（1）a=14，b=c=0；（2）证明见解析；（3）0或423+或423-．【解析】（2）设P （x ，y ），⊙P 的半径r=，又∵y=x2，则r=，化简得：r=＞x2，∴点P 在运动过程中，⊙P 始终与x 轴相交；（3）设P （a ，a2），∵PA=，作PH ⊥MN 于H ，则PM=PN=，又∵PH=a2，则MH=NH==2，故MN=4，∴M （a ﹣2，0），N （a+2，0），又∵A （0，2），∴AM=，AN=，当AM=AN 时，=，解得：a=0，当AM=MN 时，=4，解得：a=2±2（负数舍去），则a2=4+2；当AN=MN 时，=4，解得：a=﹣2±2（负数舍去），则a2=4﹣2；综上所述，P 的纵坐标为0或423+或423-．学科网考点：几何变换综合题；动点型；存在型；分类讨论；分段函数．原创模拟预测题4．如图1，在▱ABCD 中，AH ⊥DC ，垂足为H ，AB=4，AD=7，AH=．现有两个动点E ，F 同时从点A 出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC 方向匀速运动，在点E ，F 的运动过程中，以EF 为边作等边△EFG ，使△EFG 与△ABC 在射线AC 的同侧，当点E 运动到点C 时，E ，F 两点同时停止运动，设运动时间为t 秒．（1）求线段AC 的长；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG 与△ABC 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值范围；（3）当等边△EFG 的顶点E 到达点C 时，如图2，将△EFG 绕着点C 旋转一个角度α（0°＜α＜360°），在旋转过程中，点E 与点C 重合，F 的对应点为F′，G 的对应点为G′，设直线F′G′与射线DC 、射线AC 分别相交于M ，N 两点．试问：是否存在点M ，N ，使得△CMN 是以∠MCN 为底角的等腰三角形？若存在，请求出CM 的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）7；（2）S=；（3）存在点M，N，使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形，CM的长度为7或．【解析】试题分析：试题解析：（1）∵▱ABCD，∴CD=AB=4．在Rt△ADH中，由勾股定理得：DH===2，∴CH=DH，∴AC=AD=7．（2）在运动过程中，AE=t，AF=3t，∴等边△EFG的边长EF=EG=GF=2t．如答图1，过点G作GP⊥AC于点P，则EP=EG=t，GP=EG=t．∴AP=AE+EP=2t，∴tan∠GAC===．∵tan∠BAC=tan∠ACH===，∴tan∠GAC=tan∠BAC，∴点G始终在射线AB上．设∠BAC=∠ACH=θ，则sinθ==，cosθ==．①当0≤t≤时，如答图2﹣1所示，等边△EFG在△内部．S=S△EFG=EF2=（2t）2=t2；②当＜t≤4时，如答图2﹣2所示，点G在线段AB上，点F在AC的延长线上．过点B作BQ⊥AF于点Q，则BQ=AB•sinθ=4×=4，AQ=AB•cosθ=4×=8，∴CQ=AQ﹣AC=8﹣7=1．设BC与GF交于点K，过点K作KP⊥AF于点P，设KP=x，则PF==x，∴CP=CF﹣PF=3t﹣7﹣x．∵PK∥BQ，∴，即，解得：x=（3t﹣7），∴S=S△EFG﹣S△CFK=t2﹣（3t﹣7）•（3t﹣7）=﹣t2+t﹣；③当4＜t≤7时，如答图2﹣3所示，点G、F分别在AB、AC的延长线上，点E在线段AC 上．过点B作BQ⊥AF于点Q，则BQ=AB•sinθ=4×=4，AQ=AB•cosθ=4×=8，∴CQ=AQ﹣AC=8﹣7=1．设BC与GF交于点K，过点K作KP⊥AF于点P，设KP=x，则EP==x，∴CP=EP﹣CE=x﹣（7﹣t）=x﹣7+t．∵PK∥BQ，∴，即，解得：x=（7﹣t），∴S=S△CEK=（7﹣t）•（7﹣t）=t2﹣t+．综上所述，S与t之间的函数关系式为：S=．（3）设∠ACH=θ，则tanθ===，cosθ==．当点E与点C重合时，t=7，∴等边△EFG的边长=2t=14．假设存在点M，N，使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形，①若点N为等腰三角形的顶点，如答图3﹣1所示，则∠NMC=∠MCN=θ．过点C作CP⊥F′M于点P，则CP=CF′=7，∴PM===14．设CN=MN=x，则PN=PM﹣MN=14﹣x．在Rt△CNP中，由勾股定理得：CP2+PN2=CN2，即：（7）2+（14﹣x）2=x2，解得：x=．过点N作NQ⊥CM于点Q，∴CM=2CQ=2CN•cosθ=2××=7；②若点M为等腰三角形的顶点，如答图3﹣2所示，则∠MNC=∠MCN=θ．学，科，网过点C作CP⊥G′N于点P，则CP=CF′=7，∴PN===14．设CM=MN=x，则PM=PN﹣MN=14﹣x．在Rt△CMP中，由勾股定理得：CP2+PM2=CM2，即：（7）2+（14﹣x）2=x2，∴CM=x=．综上所述，存在点M，N，使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形，CM的长度为7或．考点：二次函数综合题；动点型；直线与圆的位置关系；分类讨论；等腰三角形的性质；勾股定理．。

2024成都中考数学二轮复习专题：动点引起的等腰直角三角形存在性问题

动点引起的等腰直角三角形存在性问题△ABP 为等腰直角三角形，黑色部分为P 点位置.【一题多解·典例剖析】例题1．（2021·湖南衡阳市中考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如()()1,1,2021,2021……都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2,2）、（－2，－2）；（2）①0<c<4；②45°；（3）存在，P 点坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或312⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】解：（1）联立4y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩即：函数4y x=上的雁点坐标为（2,2）、（－2，－2）．（2）①联立25y x y ax x c=⎧⎨=++⎩得ax 2+4x+c=0∵这样的雁点E 只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，∴△=16－4ac=0，即ac=4∵a>1∴a=4c >1，即4c －1>0，4c c->0，解得：0<c<4.②由①知，E 点坐标为：x=422a a-=-，即E 22,a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在y=ax 2+5x+4a 中，当y=0时，得：x=－4a ，x=－1a即M 点坐标为（－4a ，0），N 点坐标为（－1a ，0）过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，EH=2a，MH=242()a a a---=∴EH=MH即△EMH为等腰直角三角形，∠EMN=45°.（3）存在，理由如下：①如图所示：过P作直线l垂直于x轴于点k，过C作CH⊥PK于点H方法一设C（m，m），P（x，y）∵△CPB为等腰三角形，∴PC=PB，∠CPB=90°，∴∠KPB+∠HPC=90°，∵∠HPC+∠HCP=90°，∴∠KPB=∠HCP，∵∠H=∠PKB=90°，∴△CHP ≌△PKB ，∴CH =PK ，HP =KB ，即3m x y m y x -=⎧⎨-=-⎩∴3232x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即P （32，154）.方法二设P （m ，－m 2+2m+3），同理，CH =PK ，HP =KB ，则C （m －m 2+2m+3，－m 2+2m+3+3－m ）∵C 为雁点∴m －m 2+2m+3=－m 2+2m+3+3－m ，解得：m=32，即P （32，154）.②如图所示，同理可得：△KCP ≌△JPB∴KP =JB ，KC =JP方法一设P （x ，y ），C （m ，m ）∴KP =x －m ，KC =y －m ，JB =y ，JP =3－x ，即3x m y y m x-=⎧⎨-=-⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则P 2103(,)22或2103(,)22方法二设P （m ，－m 2+2m+3），则C （m －（－m 2+2m+3），－m 2+2m+3－（3－m ））∴m －（－m 2+2m+3）=－m 2+2m+3－（3－m ），解得：③如图所示，此时P 与第②种情况重合综上所述，符合题意P 的坐标为（32，154）或3()22，或23()22，.【一题多解·对标练习】练习1．（2021·湖南省怀化市中考）如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且2OA =，4OB =，8OC =．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点R 在x 轴上，是否存在以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=－x2+2x+8；（2）存在，13313322Q⎫++⎪⎪⎝⎭或34141322Q⎛⎫⎪⎪⎝⎭．【解析】解：（1）∵OA=2，OB=4，OC=8，∴A（－2，0），B（4,0），C（0,8），设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x－4)，将（0,8）代入得：a=－1即抛物线的解析式为：y=－x2+2x+8；（2）存在以点Q为直角顶点的等腰直角△CQR，理由如下：①当点Q在第二象限时，如图所示过点Q作QL⊥x轴于点L，过点C作CK⊥QL，交其延长线于点K，∴∠CKQ=∠QLR=∠COL=90°，∴四边形COLK是矩形，∴CK=OL，∵CQR为等腰直角三角形，∴CQ=QR，∠CQR=90°，∴∠KCQ=∠LQR∴△KCQ ≌△LQR∴RL=QK ，QL=CK ，设R （m ，0），Q （x ，y ）则m －x=8－y－x=y即－x=－x 2+2x+8，解得：x=3412-或x=3412+（舍）则Q （3412-，4132）②当点Q 在第一象限时，如图所示同理可得：x=－x 2+2x+8，解得：x=1332或x=1332-（舍），∴Q ⎫⎪⎝⎭.综上所述，满足题意的Q 点坐标为13313322⎛⎫ ⎪⎝⎭或34141322⎛⎫- ⎪⎝⎭．【多题一解·典例剖析】例题2．（2021·四川省广安市中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，其中A 点坐标为()3,0，B 点坐标为()1,0-，连接AC 、BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC 个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求b 、c 的值；（2）在P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ，使MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）b =2，c =3；（2）t =2，最小值为4；（3）【解析】解：（1）∵抛物线y =－x 2+bx +c 经过点A （3，0），B （－1，0），则09301b c b c =-++⎧⎨=--+⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩；（2）由（1）得：抛物线表达式为y =－x 2+2x +3，C （0，3），A （3，0），∴△OAC 是等腰直角三角形，由点P 的运动可知：AP，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，∴AE =PE t ，即E （3－t ，0），又Q （－1+t ，0），∴S 四边形BCPQ =S △ABC －S △APQ =()11433122t t ⨯⨯-⨯--+⎡⎤⎣⎦=21262t t -+∴当t =2时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为4.（3）如图，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于E ，过M 作y 轴的垂线，与EP 交于F，∵△PMQ 是等腰直角三角形，PM =PQ ，∠MPQ =90°，∴∠MPF +∠QPE =90°，又∠MPF +∠PMF =90°，∴∠PMF =∠QPE ，在△PFM 和△QEP 中，F QEP PMF QPE PM PQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PFM ≌△QEP ，∴MF =PE =t ，PF =QE =4－2t ，∴EF =4－2t +t =4－t ，又OE =3－t ，∴点M 的坐标为（3－2t ，4－t ），∴4－t =－（3－2t ）2+2（3－2t ）+3，解得：t，∴M．【多题一解·对标练习】练习2．（2021·山东枣庄中考）如图，在平面直角坐标系中，直线132y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线213y x bx c =++经过坐标原点和点A ，顶点为点M ．（1）求抛物线的关系式及点M 的坐标；（2）将直线AB 向下平移，得到过点M 的直线y mx n =+，且与x 轴负半轴交于点C ，取点()2,0D ，连接DM ，求证：45ADM ACM ∠-∠=︒．【答案】（1）y=13x2－2x，M（3，－3）；（2）见解析．【解析】解：（1）∵直线AB：y=－12x+3交坐标轴与A、B∴A（6,0），B（0,3）将（6,0），（0，0）代入y=13x2+bx+cx得：1260b cc++=⎧⎨=⎩，解得：2bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的关系式为y=13x2－2x，顶点M的坐标为（3，－3）；（2）由题意得：m=1 2-，将点(3,－3)代入y=12-x+n得：n=32-，则直线CM的解析式为y=12-x32-，如图，过点D作DH⊥CM于H，设直线DM的解析式为y=2x+k，将点（2,0）代入得：4+k=0，解得k=－4，则直线DH的解析式为：y=2x－4，联立132224y x y x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即H （1，－2），∴=，=即DH=MH ，又DH ⊥CM ，即三角形DHM 是等腰直角三角形，∠DMH=45°，∴∠ADM=∠ACM+45°即∠ADM －∠ACM=45°．练习3．（2021·湖北黄石中考）抛物线22y ax bx b =-+（0a ≠）与y 轴相交于点()0,3C -，且抛物线的对称轴为3x =，D 为对称轴与x 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E 、F 两点，若DEF 是等腰直角三角形，求DEF的面积．【答案】（1）y=－x 2+6x －3；（2）4.【解析】解：（1）由抛物线与y 轴相交于点(0,－3)，得b=－3，∵抛物线的对称轴为x=3，即232b a--=，解得：a=－1∴抛物线的解析式为y=－x 2+6x －3.（2）过点E 作EM ⊥AB 于点M ，过点F 作FN ⊥AB 于N ，∵△DEF是等腰直角三角形∴DE=DF，∠FED=∠EFD=45°∵EF∥x轴∴∠EDM=45°∴△EMD为等腰直角三角形∴EM=DM设E（m，－m2+6m－3），则M(m，0)，DM=3－m，EM=－m2+6m－3，∴3－m=－m2+6m－3解得：m=1或m=6当m=1时，E（1,2），符合题意，DM=EM=2，MN=4，△DEF的面积为4当m=6时，E（6，－3），舍去，综上所述：△DEF的面积为4．。

二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)解析

_ Q_ G_P_ O二次函数中的动点问题三角形的存在性问题一、技巧提炼1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式（1）、【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为，然后解三元方程组求解；（2）、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为求解； 2、二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2+bx+c = 0是否有根的情况进行判定；判别式ac b 42-=∆ 二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况△ ＞ 0 与x 轴交点方程有的实数根△ ＜ 0 与x 轴交点实数根 △ ＝ 0与x 轴交点方程有的实数根3、抛物线上有两个点为A （x 1，y ），B （x 2，y ） (1)对称轴是直线2x 21x x +=(2)两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则AB ＝。

4、常见考察形式1）已知A （1,0），B （0，2），请在下面的平面直角坐标系坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形；总结：两圆一线方法规律:平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2）已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；总结：两线一圆方法规律{平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆； 5、求三角形的面积：（1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法；如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

2018年中考数学压轴题专题37 动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题(预测题) )

《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题专题37：动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射．动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等．本专题原创编写动点形成的等腰三角形存在性问题模拟题．在中考压轴题中，动点形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类．原创模拟预测题1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标．原创模拟预测题2．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，G 是AD 延长线时的一点，且DG =AD ，动点M 从A 点出发，以每秒1个单位的速度沿着A →C →G 的路线向G 点匀速运动（M 不与A ，G 重合），设运动时间为t 秒，连接BM 并延长AG 于N ．（1）是否存在点M ，使△ABM 为等腰三角形？若存在，分析点M 的位置；若不存在，请说明理由；（2）当点N 在AD 边上时，若BN ⊥HN ，NH 交∠CDG 的平分线于H ，求证：BN =HN ；（3）过点M 分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为E ，F ，矩形AEMF 与△ACG 重叠部分的面积为S ，求S 的最大值．原创模拟预测题3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （﹣2，0），B （4，0），C （0，3）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在y 轴上是否存在点M ，使△ACM 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P （t ，0）为线段AB 上一动点（不与A ，B 重合），过P 作y 轴的平行线，记该直线右侧与△ABC 围成的图形面积为S ，试确定S 与t 的函数关系式．原创模拟预测题4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2与⊙M 相交于A 、B 、C 、D 四点，其中A 、B 两点的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2），点D 在x 轴上且AD 为⊙M 的直径．点E 是⊙M 与y 轴的另一个交点，过劣弧ED 上的点F 作FH ⊥AD 于点H ，且FH =1.5．（1）求点D 的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P 是x 轴上的一个动点，试求出△PEF 的周长最小时点P 的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QCM 是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．原创模拟预测题5．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动，它们到C 点后都停止运动，设点P ，Q 运动的时间为t 秒．（1）在运动过程中，求P ，Q 两点间距离的最大值；（2）经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形？若存在，求出此时的t 值；若不存在，请说明理由（5≈2.24，结果保留一位小数）．原创模拟预测题6．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t s，解答下列问题：（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？（2）设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；（3）当△PQB为等腰三角形时，求t的值．。

中考数学“特殊三角形的存在性问题”题型解析

中考数学“特殊三角形的存在性问题”题型解析二次函数与特殊三角形的存在性问题主要分为两类：一类是静态的特殊三角形的存在性问题；一类是动态的特殊三角形的存在性问题 .静态的特殊三角形的存在性问题难度相对较小，可根据抛物线的对称性以及三角形的特点为切入点来解决；动态的特殊三角形的存在性问题难度相对较大，解决此类问题的关键是根据题意分析出动点在动的过程一些不变的量以及不变的关系 .本节主要来讨论下关于动态的特殊三角形的存在性问题 .类型一：等腰三角形存在性问题【例题1】如图，已知抛物线y = -1/4 x^2 - 1/2 x + 2 与x 轴交于A , B 两点，与y 轴交于点C . （1）求点A , B , C 的坐标；（2）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM 是等腰三角形？若存在请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）分别令y = 0 , x = 0 , 即可解决问题；（2）分A、C、M 为顶点三种情形讨论，分别求解即可 . 【解析】（1）令y = 0 , 得-1/4 x^2 - 1/2 x + 2 = 0 ，∴x^2 + 2x - 8 = 0 ,∴x = - 4（舍）或2 ，∴点A 坐标（2,0），点B 坐标（-4,0），令x = 0 , 得y = 2 ,∴点C 的坐标（0,2）.（2）如图所示，①当C 为顶点时，CM1 = CA , CM2 = CA , 作M1N⊥OC 于N , 在Rt△CM1N 中，∴点M1 坐标（-1，2+√7），点M2 坐标（-1 , 2-√7）.②点M3 为顶点时，∵直线AC 解析式为y = -x + 2 , 线段AC 的垂直平分线为y = x , ∴点M3 坐标为（-1，-1）.③当点A 为顶点的等腰三角形不存在 .综上所述M 坐标为（-1，-1）或（-1，2+√7）或（-1 , 2-√7）.类型二：直角三角形存在性问题【例题2】如图，△OAB 的一边OB 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为（6,8），OA = OB，点P 在线段OB 上，点Q 在y 轴的正半轴上，OP = 2OQ，过点Q 作x 轴的平行线分别交OA，AB 于点E , F .（1）求直线AB 的解析式；（2）是否存在点P，使△PEF 为直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）由点A 的坐标可确定出OA 的长，即为OB 的长，从而可确定出B 点坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；（2）分三种情况来考虑：若∠PEF = 90°；若∠PFE = 90°，若∠EPF = 90°，过点E , F 分别作x 轴垂线，垂足分别为G、H，分别求出t 的值，确定出满足题意P 坐标即可 .【解题策略】此类问题主要考查特殊三角形的存在性问题：首先运用特殊三角形的性质画出相应的图形，确定动点问题的位置；其次借助特殊三角形的性质找到动点与已知点的位置关系和数量关系；最后结合已知列出方程求解即可 .要注意分类讨论时考虑全面所有可能的情形 .。

中考—动点产生的相似三角形、等腰三角形、直角三角形、平行四边形问题-含答案

一、动点产生的相似三角形问题1、满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM，x AM -=4．如果2==CO AOPM AM ，那么24)4)(1(21=----x x x ．解得5=x 不合题意．如果21==COAOPM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ．此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM，4-=x AM ．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ．设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ．当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6,2、满分解答（1）将M (2, 2)代入1(2)()y x x m m =-+-，得124(2)m m =-⨯-．解得m ＝4．（2）当m ＝4时，2111(2)(4)2442y x x x x =-+-=-++．所以C (4, 0)，E (0, 2)．所以S △BCE ＝1162622BC OE ⋅=⨯⨯=．（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小．设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EOCP CO=．因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2．（4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BC CB BF=，即2BC CE BF =⋅时，△BCE ∽△FBC ．设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1(2)()22x x m m x m+-=+．解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2, 0)．由'CO BF CE BF =4m BF +=．所以BF =．由2BC CE BF =⋅，得2(2)m +=整理，得0＝16．此方程无解．图2 图3 图4②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′，由于∠EBC ＝∠CBF ，所以BE BC BC BF=，即2BC BE BF =⋅时，△BCE ∽△BFC ．在Rt △BFF ′中，由FF ′＝BF ′，得1(2)()2x x m x m+-=+．解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF ′＝2m ＋2，2)BF m =+．由2BCBE BF =⋅，得2(2)2)m m +=+．解得2m =±综合①、②，符合题意的m为2+考点伸展第（4）题也可以这样求BF 的长：在求得点F ′、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求BF 的长．二、因动点产生的等腰三角形问题满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)，代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．当点P 落在线段BC 上时，P A ＋PC 最小，△P AC 的周长最小．设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ．由BH PHBO CO=，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2．所以点P 的坐标为(1, 2)．（3）点M 的坐标为(1, 1)、、(1,)或(1,0)．设点M 的坐标为(1,m )．在△MAC 中，AC 2＝10，MC 2＝1＋(m －3)2，MA 2＝4＋m 2．①如图3，当MA ＝MC 时，MA 2＝MC 2．解方程4＋m 2＝1＋(m －3)2，得m ＝1．此时点M 的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM ＝AC 时，AM 2＝AC 2．解方程4＋m 2＝10，得m =此时点M 的坐标为或(1,．③如图5，当CM ＝CA 时，CM 2＝CA 2．解方程1＋(m －3)2＝10，得m ＝0或6．当M (1, 6)时，M 、A 、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)．图3 图4 图54.思路点拨1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ．满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MCBD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）．②当P A ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H ．三、①因动点产生的直角三角形问题5、满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n =-+，代入点C (0，－3)，得4n =-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x =--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x =--=+-，知A (－1，0)，B (3，0)．设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，代入点B (3，0)和点C (0，－3)，得30,3.k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-．（3）①因为AB ＝4，所以334PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点F 的坐标为70,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以75344FC OC OF =-=-=，522EC FC ==．进而得到51322OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）．过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △EDH 中，DH ＝1，13222EH OH OE =-=-=，所以tan ∠CED 23DH EH ==．②1(12)P -，25(1)2P -．图2 图3 图4②动点产生的平行四边形问题 2 满分解答(1) 因为抛物线与x 轴交于A (－4,0)、C (2,0)两点，设y ＝a (x ＋4)(x －2)．代入点B (0,－4)，求得12a =．所以抛物线的解析式为211(4)(2)422y x x x x =+-=+-． (2)如图2，直线AB 的解析式为y ＝－x －4．过点M 作x 轴的垂线交AB 于D ，那么2211(4)(4)222MD m m m m m =---+-=--．所以2142MDA MDB S S S MD OA m m ∆∆=+=⋅=--2(2)4m =-++．因此当2m =-时，S 取得最大值，最大值为4．(3) 如果以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ //OB ，PQ ＝OB ＝4．设点Q 的坐标为(,)x x -，点P 的坐标为21(,4)2x x x +-．①当点P 在点Q 上方时，21(4)()42x x x +---=．解得2x =-±此时点Q 的坐标为(2-+-（如图3），或(2--+（如图4）． ②当点Q 在点P 上方时，21()(4)42x x x --+-=．解得4x=-或0x =（与点O 重合，舍去）．此时点Q 的坐标为(－4,4) （如图5）．。

中考数学因动点产生的等腰三角形问题详解

中考数学因动点产生的等腰三角形问题详解近年来，中考数学中因动点产生的图象问题，因其能较好地考查学生的空间想象能力和实际操作能力而备受
命题者的青睐。

思路点拨
1.证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式.
2.第(2)题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值.
3.第(3)题头绪复杂，计算简单，分三段表达.一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到x=y;一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值;第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值.
满分解答
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九年级中考数学复习动点专题等腰三角形的存在性问题课件

准备Байду номын сангаас识
准备知识
1、等腰三角形的定义、性质、判定
2、勾股定理
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初中数学等腰三角形的存在性问题(word版+详解答案)

等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。

【解题攻略】在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．【解题类型及其思路】解题类型：动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景解题思路：几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．【典例指引】类型一【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】典例指引1．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，点B （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点M 是其顶点．（1）求抛物线解析式；（2）第一象限抛物线上有一点D,满足∠DAB=45°,求点D 的坐标；（3）直线x t = (﹣3＜t ＜﹣1)与x 轴相交于点H ．与线段AC ，AM 和抛物线分别相交于点E ，F ，P ．证明线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形.【举一反三】（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．类型二【利用二次函数的性质与等腰三角形的性质确定点的坐标】典例指引2．（2019·山东初三期末）如图1，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C .（l ）求抛物线的表达式；（2）如图l ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接,BE CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；（3）如图2，在x 轴上是否存在一点D 使得ACD ∆为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初三期中）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （2，0），B （﹣8，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．类型三【确定满足等腰三角形的动点的运动时间】典例指引3．（2018济南中考）如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：①为何值时为等腰三角形；②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．【举一反三】如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？（3）连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．【新题训练】1．（2020·江西初三）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，﹣4)，直线x=﹣2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=﹣x2从点O沿OA方向平移，与直线x=﹣2交于点P，顶点M到点A时停止移动．（1）线段OA 所在直线的函数解析式是；（2）设平移后抛物线的顶点M 的横坐标为m ，问：当m 为何值时，线段PA 最长？并求出此时PA 的长．（3）若平移后抛物线交y 轴于点Q ，是否存在点Q 使得△OMQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2018·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.3．（2016·广西中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2019·广东广州市第二中学初三）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝12-x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝12-x2＋bx＋c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE 13个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．5．（2019·湖南中考模拟）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y 轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．6．（2018·山东中考模拟）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．7．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C （﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．8．（2018·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标．9．（2019·四川中考模拟）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx+c （c ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3，顶点为M ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，若OQ ＝m ，四边形ACPQ 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；（3）探索：线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．10．（2019·甘肃中考模拟）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ． ①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．11．（2019·安徽中考模拟）如图，已知直线1y x =+与抛物线2y ax 2x c =++相交于点()1,0A -和点()2,B m 两点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，当PAB ∆的面积S 最大时，求此时PAB ∆的面积S 及点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使QAB ∆是等腰三角形？若存在，直接写出Q 点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.12．（2018·江苏中考模拟）（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，11AM AN均为定值，并求出该定值．13．（2019·重庆中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2019·辽宁中考模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．15．（2020·浙江初三期末）如图，抛物线y＝﹣12x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分別交x轴、线段AC于点E、F．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）连结AD，CD，求△ACD的面积；（3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取△ACD一边的两端点和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标．16．（2020·湖北初三期末）如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相较于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P，使射线OP平分∠AOy，若存在，请求出P点坐标；若不存在．请说明理由；（4）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2019·吉林初三）如图1，抛物线与y ＝﹣211433x x ++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点D 是线段AB 上一点，且AD ＝CA ，连接CD ．（1）如图2，点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，在线段BC 上有一动点Q ，连接PC 、PD 、PQ ，当△PCD 面积最大时，求PQ +10CQ 的最小值；（2）将过点D 的直线绕点D 旋转，设旋转中的直线l 分别与直线AC 、直线CO 交于点M 、N ，当△CMN 为等腰三角形时，直接写出CM 的长．18．（2020·江苏初三期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x mx n =-++与x 轴交于点A,B ( A 在B的左侧)(1)如图1，若抛物线的对称轴为直线3,4x AB =-= .①点A 的坐标为( ， )，点B 的坐标为( ， ); ②求抛物线的函数表达式;(2)如图2，将(1)中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O ，且与x 正半轴交于点C ，记平移后的抛物线顶点为P ，若OCP ∆是等腰直角三角形，求点P 的坐标.等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。

等腰三角形存在性问题

x等腰三角形存在性问题等腰三角形存在性问题（坐标系）模型一例1：在平面直角坐标系中，已知A （3，4），设点P 在x 轴的正半轴上，若POD △是等腰三角形，求点P 的坐标；分析：（1）定方向：构造类。

无现成的三角形（2）定分类：可以分为如下三类：x（OA=OP ）（OA=AP ）（OP=AP ）（3）定解法：（1）几何法：无角相似；（2）代数法：勾股定理表示三角形的三边长，建立等腰三角形三边相等建立方程求解；（4）定结果：将OP 的长度转为为坐标。

解法1：∵)4,3(A ，∴5 OA 情形一：OA=OP ；则点P （5，0）情形二：OA=AP ；过Ａ点作AB ⊥OP 。

∴OP=2OB=6(三线合一)等腰三角形存在性问题分析思xxx点P （6，0）情形三：OP=AP作PC ⊥OA ，AB ⊥OP 易得△AB O ∽△PCOOBOCAO OP = 3255=OP OP=625P 25(0)6，综上所述，所求点P 的坐标是(60)，、(50)，或25(0)6，．解法2：△AOP 三边分别表示如下： OA=5；OP=x ；在Rt △ABP 中，AB=4,PB= x-3，则222)3(4-+=x AP （罗列三边）情形一：OA=OP ；则x=5，∴点P （5，0）情形二：22AP OA =；则222)3(45-+=x ；解得：x=6 ∴点P （6，0）情形三：22AP OP =222)3(4)3(-+=-x x解得：x=625P 25(0)6，综上所述，所求点P 的坐标是(60)，、(50)，或25(0)6，．点睛：（1）解法1：几何法的关键就是利用直角三角形构造相似或者解直角三角形。

而坐标可以构造直角，三线合一也可以构造直角。

（2）解法2：解析法的关键是利用x 表示出三条边，然后利用边长相等建立方程。

（3）两种方法各有利弊，几何法计算简单，但寻找相似有难度。

而解析法分析问题简单，但计算复杂。

中考数学总复习-中考数学专题复习等腰三角形的存在性问题复习讲义含解析

中考数学专题复习-等腰三角形的存在性问题【问题描述】如图，已知点A 坐标为（1，1），点B 坐标为（4，3），在x 轴上取点C 使得△ABC 是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有AB =AC ；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有BA =BC ；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有CA =CB ．一．选择题1．直线112y x =-+交x 、y 轴于A 、B 两点，点C 在x 轴上，且ABC ∆为等腰三角形，则满足条件的点C 有( )个． A ．1B ．2C ．3D ．42．已知直线3y =+与坐标轴分别交于点A ，B ，点P在抛物线2(4y x =--+上，能使ABP ∆为等腰三角形的点P 的个数有( ) A ．8个B ．4个C ．5个D ．6个3．如图，抛物线22y x m =-的顶点为P ，与x 轴交于点A ，B ，且ABP ∆是等腰直角三角形，则m 的值是( )A ．2-B ．12C ．2D ．12-二．填空题4．已知抛物线2y x k =-的顶点为P ，与x 轴交于点A ，B ，且ABP ∆是等腰直角三角形，则k 的值是．5．如图，直线4y x =-+分别交x 、y 轴于A 、B 点，若第一象限内一点P 在直线4y x =-+上且使得APO ∆是等腰三角形，点P 的坐标是．6．如图，一次函数22y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，且90BAC ∠=︒，则点C 坐标为．7．如图，抛物线223y x x =-++与y 轴交于点C ，点(0,1)D ，点P 在抛物线上，且PCD ∆是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为．8．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ⋯都在x 轴上，点1B ，2B ，3B ⋯都在直线y x =上，△11OA B ，△112B A A ，△212B B A ，△223B A A ，△323B B A ⋯都是等腰直角三角形，且11OA =，则点2019B 的坐标是．9．二次函数22y x =的图象如图所示，坐标原点O ，点1B ，2B ，3B 在y 轴的正半轴上，点1A ，2A ，3A 在二次函数22y x =位于第一象限的图象上，若△11A OB ，△212A B B ，△323A B B 都为等腰直角三角形，且点1A ，2A ，3A 均为直角顶点，则点3A 的坐标是．10．如图，抛物线224y x x =-++与y 轴交于点C ，点(0,2)D ，点M 是抛物线上的动点．若MCD ∆是以CD 为底的等腰三角形，则点M 的坐标为．11．已知抛物线21242y x x =-+如图，点A 是抛物线上一点，点A 的横坐标为2，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，则以AC 为斜边的等腰直角三角形的面积是．12．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点A 在y 轴正半轴上，顶点C 在x 轴正半轴上，抛物线2(1)(0)y a x c a =-+<的顶点为D ，且经过点A 、B ．若ABD ∆为等腰直角三角形，则a 的值为．三．解答题13．如图，正比例函数11(0)y k x k =≠的图象与反比例函数22(0)k y k x=≠的图象交于点(,6)A a ，且点(9,2)C 在反比例函数的图象上，点B 的坐标为(4,0)．（1）求正比例函数1y k x =的解析式；（2）若P 为射线OA 上一点，①若点P 的横坐标为x ，OPB ∆的面积为S ，写出S 关于x 的函数解析式，并指出自变量x 的取值范围；②当POB ∆是等腰三角形时，求点P 的坐标．14．如图，A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点，点(2,)P p 在第一象限，直线PA 交y 轴于点(0,2)C ，直线PB 交y 轴于点D ，AOP ∆的面积为6．（1）求点A 的坐标；（2）求点P 的坐标；（3）若BOP ∆是以OP 为腰的等腰三角形，直接写出直线点D 坐标．15．已知(0,6)A ，点(,0)B t 是x 轴正半轴上的一个动点，连接AB ，作BC AB ⊥，且:1:2BC AB =．又BD x ⊥轴交直线AC 于点D ．（1）如图，用含t 的代数式表示点C 的坐标及ABC ∆的面积；（2）当ABD ∆为等腰三角形时，求出所有符合条件的点B 的坐标．16．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线25y ax bx =++经过点(1,3)M 和(3,5)N ．（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；（2）把该抛物线向（填“上”成“下” )平移个单位长度，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点；（3）平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点(2,0)A -，且与y 轴交于点B ，同时满足以A ，O ，B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．17．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于点A 和点(1,0)B ，与y 轴相交于点(0,3)C ．（1）求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（2）求证：DAB ACB ∠=∠；（3）点Q 在抛物线上，且ADQ ∆是以AD 为底的等腰三角形，求Q 点的坐标．18．已知二次函数23y ax bx a =+-经过点(1,0)A -、(0,3)C ，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC 、BC 、DB ，求证：BCD ∆是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得PDC ∆为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线的顶点A 的坐标为(1,4)，抛物线与x 轴相交于B ，C 两点，与y 轴交于点(0,3)D ．（1）求抛物线的表达式以及点B 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得DP CP +最小，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）点Q是线段BD上方抛物线上的一个动点．过点Q作x轴的垂线，交线段BD于点E，再过点Q作//为等腰直角QF x轴交抛物线于点F，连结EF，请问是否存在点Q使QEF三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．参考答案一．选择题（共5小题）1．直线112y x =-+交x 、y 轴于A 、B 两点，点C 在x 轴上，且ABC ∆为等腰三角形，则满足条件的点C 有( )个． A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：如图由图象可知，满足条件的点C 有三个．故选D ．3．已知直线33y x =-+与坐标轴分别交于点A ，B ，点P 在抛物线2(3)4y x =--+上，能使ABP ∆为等腰三角形的点P 的个数有( ) A ．8个B ．4个C ．5个D ．6个【解答】解：分三种情况考虑：①以点B 为圆心，AB 长度为半径作圆，交抛物线于点1P 、2P ；②以点A 为圆心，AB 长度为半径作圆，交抛物线于点3P 、4P 、5P 、6P ； ③作线段AB 的垂直平分线，交抛物线于点7P 、8P ．综上所述：能使ABP ∆为等腰三角形的点P 的个数为8个．故选：A ．4．如图，抛物线22y x m =-的顶点为P ，与x 轴交于点A ，B ，且ABP ∆是等腰直角三角形，则m 的值是( )A ．2-B ．12C ．2D ．12-【解答】解：Q 抛物线解析式为22y x m =-， ∴该抛物线的顶点P 的坐标为(0,)m -，Q 抛物线和x 轴有两个交点， ∴△042()0m =-⨯->，0m ∴>，令0y =，得2mx =，又ABP ∆Q 是等腰直角三角形， ∴2mm =，解得12m =，故选：B ．二．填空题（共10小题）6．已知抛物线2y x k =-的顶点为P ，与x 轴交于点A ，B ，且ABP ∆是等腰直角三角形，则k 的值是 1 ．【解答】解：Q 抛物线解析式为2y x k =-， ∴该抛物线的顶点(0,)k -，Q 抛物线和x 轴有两个交点， 40k ∴>， 0k ∴>，令0y =，得x k =又Q 抛物线2y x k =-与x 轴的两个交点以及顶点围成的三角形是等腰直角三角形，∴k k =．解得1k =，故答案为1．7．如图，直线4y x =-+分别交x 、y 轴于A 、B 点，若第一象限内一点P 在直线4y x =-+上且使得APO ∆是等腰三角形，点P 的坐标是 (2,2)或(422-，22) ．【解答】解：Q 直线4y x =-+分别交x 、y 轴于A 、B 点， (4,0)A ∴，(0,4)B ，设(,4)P m m -+，当OP PA =时，则22OP PA =，即2222(0)(40)(4)(4)m m m m -+-+-=-+-+，解得2m =； ∴此时(2,2)P ；当PA OA =时，则22PA OA =，即222(4)(4)4m m -+-+=，解得42m =-422m =+（舍去）， ∴此时(42P -，2)；综上，P 点的坐标为(2,2)或(42-22)，故答案为(2,2)或(422-22)．8．如图，一次函数22y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，且90BAC ∠=︒，则点C 坐标为 (3,1) ．【解答】解：如图，过点C 作CD x ⊥轴于D ，令0x =，得2y =，令0y =，得1x =， (1,0)A ∴，(0,2)B ， 1OA ∴=，2OB =， ABC ∆Q 是等腰直角三角形， AB AC ∴=，90BAC ∠=︒， 90BAO CAD ∴∠+∠=︒， 90ACD CAD ∠+∠=︒Q ， BAO ACD ∴∠=∠， 90BOA ADC ∠=∠=︒Q ，()ABO CAD AAS ∴∆≅∆， 2AD BO ∴==，1CD AO ==， 3OD ∴=，(3,1)C ∴故答案为(3,1)．9．如图，抛物线223y x x =-++与y 轴交于点C ，点(0,1)D ，点P 在抛物线上，且PCD ∆是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为 (12+，2)或(12-，2) ．【解答】解：Q 抛物线223y x x =-++与y 轴交于点C ， (0,3)C ∴．PCD ∆Q 是以CD 为底的等腰三角形， ∴点P 在线段CD 的垂直平分线上，(0,1)D Q ，(0,3)C ， (0,2)E ∴，过点E 作PE y ⊥轴，交抛物线于点P ，则点P 即为所求． P ∴点纵坐标为2，在223y x x =-++中，令2y =，可得2232x x -++=，解得12x =±， P ∴点坐标为(12+，2)或(12-，2)，故答案为：(12+，2)或(12-，2)．10．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ⋯都在x 轴上，点1B ，2B ，3B ⋯都在直线y x =上，△11OA B ，△112B A A ，△212B B A ，△223B A A ，△323B B A ⋯都是等腰直角三角形，且11OA =，则点2019B 的坐标是 2018(2，20182) ．【解答】解：11OA =Q ， ∴点1A 的坐标为(1,0)，Q △11OA B 是等腰直角三角形， 111A B ∴=，1(1,1)B ∴，Q △112B A A 是等腰直角三角形， 121A A ∴=，122B A =Q △212B B A 为等腰直角三角形， 232A A ∴=， 2(2,2)B ∴，同理可得，23(2B ，22)，34(2B ，32)，1(2n n B -⋯，12)n -， ∴点2019B 的坐标是2018(2，20182)．故答案为2018(2，20182)．11．二次函数22y x =的图象如图所示，坐标原点O ，点1B ，2B ，3B 在y 轴的正半轴上，点1A ，2A ，3A 在二次函数22y x =位于第一象限的图象上，若△11A OB ，△212A B B ，△323A B B 都为等腰直角三角形，且点1A ，2A ，3A 均为直角顶点，则点3A 的坐标是 (2，2．【解答】解：分别过1A ，2A ，3A 作y 轴的垂线，垂足分别为A 、B 、C ，设1OB a =，12B B b =，23B B c =，则112AA a =，212BA b =，312CA c =，在等腰直角△11OB A 中，11(2A a ，1)2a ，代入22y x =中，得2112()22a a =，解得1a =，11(2A ∴，1)2，在等腰直角△122B A B 中，21(2A b ，11)2b +，代入22y x =中，得21112()22b b +=g ，解得2b =，2(1,2)A ∴，在等腰直角△233B A B 中，31(2A c ，3)2c+，代入22y x =中，得21132()22c c +=g ，解得3c =，33(2A ∴，9)2，故答案为3(2，9)2．13．如图，抛物线224y x x =-++与y 轴交于点C ，点(0,2)D ，点M 是抛物线上的动点．若MCD ∆是以CD 为底的等腰三角形，则点M 的坐标为 (12+，3)或(12-，3) ．【解答】解：MCD ∆Q 是以CD 为底的等腰三角形， ∴点M 在线段CD 的垂直平分线上，Q 抛物线224y x x =-++与y 轴交于点C ， (0,4)C ∴，且(0,2)D ， CD ∴中点E 的坐标为(0,3)，如图，过点E 作CD 的垂线与抛物线交于点M ，M ∴点纵坐标为3，在224y x x =-++中，令3y =，可得2243x x -++=，解得12x =±，M ∴点坐标为(12+，3)或(12-，3)，故答案为：(12+，3)或(12-，3)． 14．已知抛物线21242y x x =-+如图，点A 是抛物线上一点，点A 的横坐标为2，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，则以AC 为斜边的等腰直角三角形的面积是 1 ．【解答】解：Q 点A 是抛物线上一点，点A 的横坐标为2， 21222422y ∴=⨯-⨯+=， (2,2)A ∴，AC x ⊥Q 轴于点C ， 2AC ∴=，ABC ∆Q 是以AC 为斜边的等腰直角三角形， AB BC ∴=，设AB BC a ==， 2222a a ∴+=， 22a ∴=， 2112ABC S a ∆∴==，故答案为：1．15．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点A 在y 轴正半轴上，顶点C 在x 轴正半轴上，抛物线2(1)(0)y a x c a =-+<的顶点为D ，且经过点A 、B ．若ABD ∆为等腰直角三角形，则a 的值为 1- ．【解答】解：Q 抛物线2(1)(0)y a x c a =-+<的顶点为D ，且经过点A 、B ， ∴抛物线的对称轴是直线1x =，且A 、B 关于直线1x =对称，过D 作DF x ⊥轴于F ，交AB 于E ， ABD ∆Q 为等腰直角三角形， 1AE BE ∴==， 2AB ∴=，112DE AB ==， Q 四边形OABC 是正方形，2OA AB BC OC ∴====，123DF =+=，(0,2)A ∴，(1,3)D ，把A 、D 的坐标代入2(1)y a x c =-+得：22(01)2(11)3a c a c ⎧-+=⎨-+=⎩解得：1a =-，故答案为：1-．三．解答题（共15小题）16．如图，正比例函数11(0)y k x k =≠的图象与反比例函数22(0)k y k x=≠的图象交于点(,6)A a ，且点(9,2)C 在反比例函数的图象上，点B 的坐标为(4,0)．（1）求正比例函数1y k x =的解析式；（2）若P 为射线OA 上一点，①若点P 的横坐标为x ，OPB ∆的面积为S ，写出S 关于x 的函数解析式，并指出自变量x 的取值范围；②当POB ∆是等腰三角形时，求点P 的坐标．【解答】解：（1）Q 点(2,9)C 在反比例函数2k y x=的图象上， 218k ∴=，∴反比例函数的解析式为18y x=， Q 点(,6)A a 在反比例函数18y x=的图象上， 3a ∴=，(3,6)A ∴，Q 点(3,6)A 在正比例函1y k x =的图象上 12k ∴=，∴正比例函数的解析式为2y x =；（2）由（1）知，正比例函数的解析式为2y x =， (,2)P x x ∴，①(4,0)B Q ， 4OB ∴=1424(0)2S x x x ∴=⨯⨯=>；②由①知，(,2)P x x ，4OB =，22(2)5OP x x x ∴=+=，222(4)(2)5816BP x x x x =-+=-+POB ∆Q 是等腰三角形， ∴Ⅰ、当OP OB =时，45x ∴=，455x ∴=， 45(5P ∴，85)5， Ⅱ、当OP PB =时， ∴255816x x x =-+，2x ∴=，(2,4)P ∴Ⅲ、当PB OB =时， ∴258164x x -+=，85x ∴=或0x =（舍)， 8(5P ∴，16)5，∴点P 坐标为45(5，85)5或(2,4)或8(5，16)5． 17．如图，A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点，点(2,)P p 在第一象限，直线PA 交y 轴于点(0,2)C ，直线PB 交y 轴于点D ，AOP ∆的面积为6．（1）求点A 的坐标；（2）求点P 的坐标；（3）若BOP ∆是以OP 为腰的等腰三角形，直接写出直线点D 坐标．【解答】解：（1）作PE y ⊥轴于E ， P Q 的横坐标是2，则2PE =． 1122222COP S OC PE ∆∴==⨯⨯=g ；624AOC AOP COP S S S ∆∆∆∴=-=-=，142AOC S OA OC ∆∴==g ，即1242OA ⨯⨯=，4OA ∴=，A ∴的坐标是(4,0)-．（2）设直线AP 的解析式是y kx b =+，则 402k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则直线的解析式是122y x =+．当2x =时，3y =，即3p =， ∴点P 的坐标为(2,3)；（3）①当OP PB =时，作PF x ⊥轴于F ， (2,0)F ∴，F 是线段OB 的中点， (4,0)B ∴，∴直线3:62BP y x =-+，(0,6)D ∴；②当OP OB =时，OP =Q ，B ∴，0)， ∴直线:BP y =+D ∴． 19．已知(0,6)A ，点(,0)B t 是x 轴正半轴上的一个动点，连接AB ，作BC AB ⊥，且:1:2BC AB =．又BD x ⊥轴交直线AC 于点D ．（1）如图，用含t 的代数式表示点C 的坐标及ABC ∆的面积；（2）当ABD ∆为等腰三角形时，求出所有符合条件的点B 的坐标．【解答】解：（1）过点C 作CE OB ⊥于E ．在AOB ∆与BEC ∆中，90AOB BEC ∠=∠=︒Q ，90ABO BCE CBE ∠=∠=︒-∠，AOB BEC ∴∆∆∽， ∴2OA OB AB EB EC BC===，即62t BE EC ==， 3BE ∴=，12EC t =， 3OE OB BE t ∴=+=+，∴点C 的坐标为1(3,)2t t +；在Rt BCE ∆中，2222194BC CE BE t =+=+， AB BC ⊥Q ，2AB BC =，212ABC S AB BC BC ∆∴==g ， 2194ABC S t ∆∴=+；（2）(0,6)A Q ，1(3,)2C t t +； ∴直线AC 的解析式为16263t y x t -=++． Q 点(,0)B t ，∴设162(,6)3t D t t t -++， 2236AB t ∴=+，222162()3t AD t t t -=++，22162(6)3t BD t t -=++．分三种情况：①当AD AB =时，222162()363t t t t t -+=++，2162()363t t t -=+， ∴16263t t t -=+或16263t t t -=-+，当16263t t t -=+时，整理得224360t t --=，解得112t =+，212t =-（不合题意，舍去），1(12B ∴+，0)；当16263t t t -=-+时，整理得2360t +=，此方程无解；②当AD BD =时，222116622()(6)33t t t t t t t --+=+++，整理得323361080t t t -+-=，2(3)(36)0t t ∴-+=，解得3t =，2(3,0)B ∴；③当AB BD =时，2216236(6)3t t t t -+=++，整理得328362880t t t +++=，2(8)(36)0t t ∴++=，解得8t =-（不合题意，舍去）．综上可知，符合条件的点B的坐标为1(12B +0)，2(3,0)B ．21．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线25y ax bx =++经过点(1,3)M 和(3,5)N ．（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；（2）把该抛物线向下（填“上”成“下” )平移个单位长度，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点；（3）平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点(2,0)A -，且与y 轴交于点B ，同时满足以A ，O ，B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．【解答】解：（1）将点M 、N 的坐标代入抛物线表达式得：539355a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：13a b =⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为：2231135()24y x x x =-+=-+，故顶点坐标为：3(2，11)4；（2）由抛物线的顶点坐标知，把该抛物线向下平移114个单位长度，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点，故答案为：下，114；（3）A ，O ，B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点B 的坐标为：(0,2)或(0,2)-， ①当点(0,2)B 时，抛物线的表达式为：22y x bx =++，将点A 的坐标代入上式并解得：3b =，故抛物线的表达式为：223132()24y x x x =++=+-，此时顶点坐标为：3(2-，1)4-； ②当点(0,2)B -时，同理可得顶点坐标为：1(2-，9)4-，故将原抛物线向左平移3个单位向下平移3或向左平移2个单位向下平移5个单位即可满足条件．23．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于点A 和点(1,0)B ，与y 轴相交于点(0,3)C ．（1）求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（2）求证：DAB ACB ∠=∠；（3）点Q 在抛物线上，且ADQ ∆是以AD 为底的等腰三角形，求Q 点的坐标．【解答】解：（1）把(1,0)B 和(0,3)C 代入22y ax x c =-+中，得203a c c -+=⎧⎨=⎩，解得13a c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式是：223y x x =--+，2223(1)4y x x x =--+=-++Q ，∴顶点坐标(1,4)D -；（2）令0y =，则2230x x --+=，解得13x =-，21x =，(3,0)A ∴-，3OA OC ∴==，CAO OCA ∴∠=∠，在Rt BOC ∆中，1tan 3OB OCB OC ∠==，AC ==Q，DC ==，AD ==，22220AC DC AD ∴+==；ACD ∴∆是直角三角形且90ACD ∠=︒，1tan 3DC DAC AC ∴∠===，又DAC ∠Q 和OCB ∠都是锐角，DAC OCB ∴∠=∠，DAC CAO BCO OCA ∴∠+∠=∠+∠，即DAB ACB ∠=∠；（3）令(,)Q x y 且满足223y x x =--+，(3,0)A -，(1,4)D -， ADQ ∆Q 是以AD 为底的等腰三角形，22QD QA ∴=，即2222(3)(1)(4)x y x y ++=++-，化简得：220x y -+=，由222023x y y x x -+=⎧⎨=--+⎩，解得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点Q的坐标是，． 26．已知二次函数23y ax bx a =+-经过点(1,0)A -、(0,3)C ，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC 、BC 、DB ，求证：BCD ∆是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得PDC ∆为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）Q 二次函数23y ax bx a =+-经过点(1,0)A -、(0,3)C ，∴根据题意，得3033a b a a --=⎧⎨-=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．（2）由2223(1)4y x x x =-++=--+得，D 点坐标为(1,4)，定义抛物线223y x x =-++．令0y =，2230x x -++=，解得1x =-或3， (1,0)A ∴-，(3,0)B ，22(10)(43)2CD ∴=-+-=，223332BC =+=，22(31)(40)5BD =-+-=2222(2)(32)20CD BC +=+=Q ，22(25)20BD ==，222CD BC BD ∴+=，BCD ∴∆是直角三角形；（3）存在．223y x x =-++对称轴为直线1x =．①若以CD 为底边，则11PD PC =，设1P 点坐标为(,)x y ，根据勾股定理可得2221(3)PCx y =+-，2221(1)(4)PD x y =-+-，因此2222(3)(1)(4)x y x y +-=-+-，即4y x =-．又1P 点(,)x y 在抛物线上，2423x x x ∴-=-++，即2310x x -+=，解得1352x +=，23512x -=<，应舍去， 352x +∴=， 5542y x -∴=-=，即点1P 坐标为35(2+，55)2-． ②若以CD 为一腰，Q 点2P 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点2P 与点C 关于直线1x =对称，此时点2P 坐标为(2,3)．∴符合条件的点P 坐标为35(2+，55)2-或(2,3)．28．如图1，抛物线的顶点A 的坐标为(1,4)，抛物线与x 轴相交于B ，C 两点，与y 轴交于点(0,3)D ．（1）求抛物线的表达式以及点B 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得DP CP +最小，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）点Q 是线段BD 上方抛物线上的一个动点．过点Q 作x 轴的垂线，交线段BD 于点E ，再过点Q 作//QF x 轴交抛物线于点F ，连结EF ，请问是否存在点Q 使QEF ∆为等腰直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）Q 抛物线的顶点A 的坐标为(1,4)，∴设抛物线的表达式为：2(1)4y a x =-+，把(0,3)代入得：23(01)4a =-+，1a =-，∴抛物线的表达式为：22(1)423y x x x =--+=-++；令0y =，2(1)40x --+=，解得13x =，21x =-，B ∴的坐标是(3,0)，C 的坐标是(1,0)-；（2）存在，如图1，因为B ，C 关于对称轴对称，连接BD 交对称轴于P ，此时DP CP +的值最小，(0,3)D Q ，(3,0)B ，易得BD 的解析式为：3y x =-+，当1x =时，132y =-+=，P ∴的坐标是(1,2)；（3）如图2，存在点Q ，使QEF ∆为等腰直角三角形，设2(,23)Q n n n -++，则(,3)E n n -+，2(2,23)F n n n -+-++， 22(23)(3)3QE n n n n n ∴=-++--+=-+，|22|QF n =-， QE x ⊥Q 轴、//QF x 轴，90EQF ∴∠=︒，∴当QE QF =时，QEF ∆为等腰直角三角形，即：23|22|n n n -+=-， ①2322n n n -+=-，解得：11n =-（不合题意，舍去），22n =，则(2,3)Q ；②2322n n n -+=-+，解得：15173n +=>（不合题意，舍去），2517n -= 则517(Q -3175-．综上，点Q 的坐标为(2,3)或517(-3175-．。

等腰三角形的存在性和动点问题

等腰三角形的存在性和动点问题等腰三角形的存在性一、等腰三角形存在性分类一、几何动点中等腰三角形存在性如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．C M （第23过关练习1（本小题满分9分）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，BC OA ∥，7460OA AB COA ===o ，，∠，点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点O 、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ．（1）求点B 的坐标；（2）当点P 运动什么位置时，OCP △为等腰三角形，求这时点P 的坐标；（3）当点P 运动什么位置时，使得CPD OAB=∠∠，且58BD AB =，求这时点P 的坐标．过关练习2例2：如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB 的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒5个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另3一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？分类二、抛物线中的等腰三角形存在性例、抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．碰到的问题总结：在x轴上是否存在一点K，使得BKC是等腰三角形？若存在，请写出K点的坐标？若不存在，请说明理由？同样是分三种情况讨论，方法和结合当中的等腰三角形存在性类似变式1：该抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使在上是否存在一点P，使得CDPV是等腰三角形？请直接写出满足条件的所有点 P 的坐标；变式2：点H（-4,0）在x轴上，连接HC，问在直线HC上是否存在点K，使△ACK为等腰三角形？若存在，请写出K点的坐标？若不存在，请说明理由？再来一道你不介意吧（2011•湘潭）如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B 两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．课后作业1.如图，矩形纸片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，E 为BC上一点，将纸片沿AE翻折，使点E与CD边上的点F重合．（1）求线段EF的长；（2）若线段AF上有动点P（不与A、F重合），如图（2），点P自点A沿AF方向向点F运动，过点P 作PM∥EF，PM交AE于M，连接MF，设AP=x（cm），△PMF的面积为y（cm）2，求y与x的函数关系式；（3）在题（2）的条件下，△FME能否是等腰三角形？若能，求出AP的值，若不能，请说明理由．动点问题之函数图像与二次函数中的相似动点问题与函数图像的题目技巧方法根据图形的运动分析：1.要根据图形的变化分析函数关系式是二次函数还是一次函数如面积=底*高/2,如果底和高都变化，那么面积为自变量的二次函数，如果只有其中一个变化，则是一次函数2.对于一直函数图像要分析点的运动情况，要着重分析图像转折点出，动点的位置例1．（2009年重庆）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，1BC =，动点P 从点B 出发，沿路线B C D →→作匀速运动，那么ABP △的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（）例2．（2009重庆綦江）如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△BCD 的面积是（）A ．3B ．4C ．5D ．6 例3．（2009威海）如图，△ABC 和的△DEF 是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2.DE=4．点B 与点D 重合，点A,B(D),E 在同一条直线上，将△ABC 沿D E→DC P BAO 3113 Sx A ．O1 13 Sx O 3 S x 3O1 1 3 SxB ．C ．D ．2方向平移，至点A 与点E 重合时停止．设点B,D 之间的距离为x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，则准确反映y 与x 之间对应关系的图象是（）课堂练习1．（2009年济南）如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，若a b Rt GEF ∥，△从如图所示的位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到EG 与BC 重合．运动过程中GEF △与矩形ABCD 重合部分．．．．的面积（S ）随时间（t ）变化的图象大致是（） G DC EF AB ba2．（2009年牡丹江）如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD 的边上有一动点P 沿A B C D A →→→→运动一周，则P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是（）3．（2009年福建莆田）如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则矩形ABCD 的面积1 2 3 4 12 y s O 1 234 12ys O s 1 2 3 4 12 ysO 123412 yO ABCD是( )A ．10 8．16 C. 20 D ．364．（2009年洛江区）如图，三个大小相同的正方形拼成六边形ABCDEF，一动点P 从点A 出发沿着A→B →C →D →E 方向匀速运动，最后到达点E .运动过程中PEF 的面积（s ）随时间（t ）变化的图象大致是（）5．（2009年湖北施恩）13．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图4所示，设小矩形的长和宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，则y 与x 的函数图象是:stA O s tBOsDOstCOt（第6题图）AB CD EFP·6.（2009年山西太原）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿»OA AB BO --的路径运动一周．设OP为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（）7.如图,正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q 点从A点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A 滑动到A 止，同时点R 从B 点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B 滑动到B 止，在这个PAOB stOs Ot OstOstA ．B ．C ．D ．A B CQR M 第7题图 D（第8题图）道隧过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（）． A ．2 B ．4π- C ．π D ．π1- 8. 如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t ，大正方形内除去小正方形部分的面积为S （阴影部分），那么S 与t的大致图象应为（）9、（11贵阳）8．如图所示，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长）时，货车从进入隧道至离开隧道的时间x 与货车在隧道内的长度yＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．之间的关系用图象描述大致是（）10、（11河北）11．如图4，在长形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆住的侧面，刚好能组合成圆住.设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是考点2：动点问题中的三角形相似你学到了什么？例1.（2012广东深圳9分）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)．(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由．总结：首先是分类：题中是以三个顶点为三角形与另一个三角形相似，需要沿着动点的运动轨迹分析，不同的顶点可以成为对应点，然后根据对应边成比例计算。

2019中考数学专题复习等腰三角形的存在性问题(word版)

2019中考数学专题复习等腰三角形的存在性问题（word版）等腰三角形的存在性问题解题策略专题攻略如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB 三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．例题解析例❶如图1-1，在平面直角坐标系xOy 中，已知点D 的坐标为(3, 4)，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，如果△DOP 是等腰三角形，求点P 的坐标．图1-1【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP：①DO＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD．①当DO＝DP 时，以D 为圆心、DO 为半径画圆，与x 轴的正半轴交于点P，此时点D 在OP 的垂直平分线上，所以点P 的坐标为(6, 0)（如图1-2）．②当OD＝OP＝5 时，以O 为圆心、OD 为半径画圆，与x 轴的正半轴交于点P(5, 0) （如图1-3）．③当PO＝PD 时，画OD 的垂直平分线与x 轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图1-4）．在Rt△OPE 中，cos ∠DOP =OEOP=35，OE =52，所以OP =256．此时点P 的坐标为(256,0) ．图1-2 图1-3 图1-4 上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，其中① 和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算．代数法先设点P 的坐标为(x, 0)，其中x＞0，然后罗列△DOP 的三边长（的平方）．DO2＝52，OP2＝x2，PD2＝(x－3)2+42．①当DO＝DP 时，52＝(x－3)2+42．解得x＝6，或x＝0．当 x ＝0 时既不符合点 P 在 x 轴的正半轴上，也不存在△DOP ．②当 OD ＝OP 时，52＝x 2．解得 x ＝±5．当 x ＝－5 时等腰三角形 DOP 是存在的，但是点 P 此时不在 x 轴的正半轴上（如图 1-5）．③当 PO ＝PD 时，x 2＝(x －3)2+42．这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x 轴和 OD 的垂直平分线）有且只有一个交点．代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验．图 1-5例❷ 如图 2-1，在矩形 ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点 P 以 2 个单位/秒的速度从点 A 出发，沿 AC 向点 C 移动，同时动点 Q 以 1 个单位/秒的速度从点 C 出发，沿 CB 向点 B 移动，当 P 、Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动．在 P 、Q 两点移动的过程中，当△PQC 为等腰三角形时，求 t 的值．图 2-1【解析】在 P 、Q 两点移动的过程中，△PQC 的 6 个元素（3 个角和 3 条边）中，唯一不变的就是∠PCQ 的大小，夹∠PCQ 的两条边 CQ ＝t ，CP ＝10－2t .因此△PQC 符合“边角边”的解题条件，我们只需要三个∠C 就可以了，在∠C 的边上取点 P 或 Q 画圆．图 2-2 图 2-3 图 2-4①如图 2-2，当 CP ＝CQ 时，t ＝10－2t ，解得 t =103(秒). ②如图 2-2，当 QP ＝QC 时，过点 Q 作 QM ⊥AC 于 M ，则 CM =12 PC = 5 - t . 在 Rt △QMC 中 cos ∠QCM = 45= CM CQ = 5t t -，解得t =259(秒).③如图 2-4，当 PQ ＝PC 时，过点 P 作 PN ⊥BC 于 N ，则 CN .在 Rt △PNC 中， cos ∠PCN = 45= CN CP =12102t t -，解得t = 8021(秒).这道题中，我们从“有限”的矩形中，选择我们需要的“无限”的∠PCQ，使得画图简洁，计算简练．例❸如图3-1，直线y＝2x＋2 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，直线PQ 与直线AB 垂直，交y 轴于点Q，如果△APQ 是等腰三角形，求点P 的坐标．【解析】我们先用代数法解这道题．图3-1由y＝2x＋2 得，A(－1，0)，B(0，2)．所以OA＝1，OB＝2．如图3-2，由于∠QP A＝∠ABO，所以OP∶OQ＝OB∶OA＝2∶1．设点Q 的坐标为(0，m)，那么点P 的坐标为(2m，0)．因此AP2＝(2m＋1)2，AQ2＝m2＋1，PQ2＝m2＋(2m)2＝5m2．①当AP＝AQ 时，解方程(2m＋1)2＝m2＋1，得m =0或m43=-．所以符合条件的点P不存在．②当P A＝PQ 时，解方程(2m＋1)2＝5m2，得m = 2 ±P(4 +．③当QA＝QP 时，解方程m2＋1＝5m2，得m12=±．所以P(1, 0) ．图3-2 图3-3 图3-4 我们再用几何法验证代数法，并进行比较．如图3-3，在直线PQ 平移的过程中，根据“两直线平行，同位角相等”，可知∠QPO 的大小是不变的，因此△PQA 也符合“边角边” 的解题条件，我们只需要三个∠P，点P 在点A 的右侧，暂时不画y 轴（如图3-4）．①如果AP＝AQ，以A 为圆心、AP 为半径画圆，得到点Q（如图3-5）．因为点Q 在y 轴上，于是“奇迹”出现了，点A(－1, 0)怎么可以在y 轴的右侧呢？图3-5 图3-6＝PQ 时，以P P A Q，再过点Q 画y 轴．此时由2m +1 ，解得m = 2 P(4 +（如图3-6）．请问代数法解得的点P(4 -在哪里？看看图3-7 就明白了．③当QA＝QP 时，点Q 在AP 的垂直平分线上，由于A(－1, 0)，所以P(1, 0)（如图3-8）．我们可以体验到，几何法可以快速找到目标，而且计算比较简便．图3-7 图3-8例❹如图4-1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A、C 分别在x、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P(0, m)是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D．当△APD 是等腰三角形时，求m 的值．图4-1【解析】点P(0, m)在运动的过程中，△APD 的三个角都在变化，因此不符合几何法“边角边”的解题条件，我们用代数法来解．因为PC//DB，M 是BC 的中点，所以BD＝CP＝2－m．所以D(2, 4－m)．于是我们可以罗列出△APD 的三边长（的平方）：AD2 = (4 -m)2 ，AP2 =m2 +4，PD2 = 22 + (4 - 2m)2 ．①当AP＝AD 时，(4 -m)2 =m2 + 4 ．解得m =32（如图4-2）．②当P A＝PD 时，m2 + 4 = 22 + (4 - 2m)2 ．解得m =43（如图4-3）或m = 4 （不合题意，舍去）．③当DA＝DP 时，(4 -m)2 = 22 + (4 - 2m)2 ．解得m =23（如图4-4）或m = 2 （不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为23，43或32．图4-2 图4-3 图4-4其实①、②两种情况，可以用几何说理的方法，计算更简单：①如图 4-2，当 AP ＝AD 时，AM 垂直平分 PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以PC MB CM BA ==12因此 PC =12， m = 32． ②如图4-3，当 P A ＝PD 时，P 在 AD 的垂直平分线上．所以 DA ＝2PO ．因此 4 - m = 2m ．解得 m = 43．例❺ 如图 5-1，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，点 D 是 BC 边上的一个动点，点 E 在 AC 边上，∠ADE ＝∠B ．设 BD 的长为 x ，如果△ADE 为等腰三角形，求 x 的值．图 5-1【解析】在△ADE 中，∠ADE ＝∠B 大小确定，但是夹∠ADE 的两条边 DA 、DE 用含有 x 的式子表示太麻烦了．本题的已知条件∠ADE ＝∠B ＝∠C 非常典型，由于∠ADC ＝∠ADE ＋∠1，∠ADC ＝ ∠B ＋∠2，∠ADE ＝∠B ，所以∠1＝∠2．于是得到典型结论△DCE ∽△ABD ．①如图 5-2，当 DA ＝DE 时，△DCE ≌△ABD ．因此 DC ＝AB ，8－x ＝6．解得 x ＝2． ②如图 5-3，如果 AD ＝AE ，那么∠AED ＝∠ADE ＝∠C ．由于∠AED 是△DCE 的一个外角，所以∠AED ＞∠C ．如果∠ADE ＝∠C ，那么 E 与 C 重合，此时 D 与 B 重合，x ＝0．③如图 5-4，当 EA ＝ED 时，∠DAE ＝∠ADE ＝∠B ＝∠C ，所以△DAC ∽△ABC ．因此 8668x -= ．解得 x = 72．图 5-2 图 5-3 图 5-4§1．2 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB＝5 厘米，以线段AB 为腰的等腰三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？2．已知线段AB＝6 厘米，以线段AB 为底边的等腰三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C．已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB 三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC 的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边AB 和AC 可以用含x 的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么12AC =AB cos ∠A ；③如图3，如果CA＝CB，那么12AB =AC cos ∠A ．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3例 9如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c 是常数，a≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和116) 两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A(0, 2)．（1）求a、b、c 的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；（3）设⊙P 与x 轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14 长沙26”，拖动圆心P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与x 轴总是相交的，等腰三角形AMN 存在五种情况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P 在x 轴上截得的弦长MN＝4 是定值．2．等腰三角形AMN 存在五种情况，点P 的纵坐标有三个值，根据对称性，MA＝MN 和NA＝NM 时，点P 的纵坐标是相等的．图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0．将,116) 代入y＝ax2，得116=a2 ．解得a =14（舍去了负值）．（2）抛物线的解析式为y =1x2 ，设点P 的坐标为(x,14x2 ) ．已知A(0, 2)，所以PA ＞14x2而圆心P 到x 轴的距离为14x2 ，所以半径P A＞圆心P 到x 轴的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交．（3）如图2，设MN 的中点为H，那么PH 垂直平分MN．在Rt△PMH 中，PM 2 =PA2 =116 x4 + 4 ，PH 2 =(14x)2 =116x4 ，所以MH2＝4．所以MH＝2．因此MN＝4，为定值．等腰△AMN 存在三种情况：①如图 3，当 AM ＝AN 时，点 P 为原点 O 重合，此时点 P 的纵坐标为 0．图 2图 3②如图 4，当 MA ＝MN 时，在 Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以 OM ＝此时 x ＝OH ＝+ 2 ．所以点 P 的纵坐标为 14 x 2 = 14+ 2)2 =+ 1)2 = 4 +如图 5，当 NA ＝NM 时，根据对称性，点 P 的纵坐标为也为 4 +图 4图 5③如图 6，当 NA ＝NM ＝4 时，在 Rt △AON 中，OA ＝2，AN ＝4，所以 ON ＝此时 x ＝OH ＝- 2 ．所以点 P 的纵坐标为 14x 2 =14- 2)2 =1)2 = 4 -．如图 7，当 MN ＝MA ＝4 时，根据对称性，点 P 的纵坐标也为 4 -考点伸展图 6 图 71 4x2 上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B(0, 1)，那么在点如果点P 在抛物线yP 运动的过程中，⊙P 始终与直线y＝－1 相切．这是因为：设点P 的坐标为(x, 14x2 ) ．已知B(0, 1)，所以PB 14 x2 +1．而圆心P 到直线y＝－1 的距离也为14x2 +1，所以半径PB＝圆心P 到直线y＝－1 的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y＝－1 相切．例 10如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过O、B、C 三点，B、C 坐标分别为(10, 0)和（185,-245），以OB 为直径的⊙A 经过C 点，直线l 垂直x 轴于B 点．（1）求直线BC 的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M 是⊙A 上一动点（不同于O、B），过点M 作⊙A 的切线，交y 轴于点E，交直线l 于点F，设线段ME 长为m，MF 长为n，请猜想mn 的值，并证明你的结论；（4）若点P 从O 出发，以每秒1 个单位的速度向点B 作直线运动，点Q 同时从B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过t（0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值．图图1动感体验请打开几何画板文件名“14 张家界25”，拖动点M 在圆上运动，可以体验到，△EAF 保持直角三角形的形状，AM 是斜边上的高．拖动点Q 在BC 上运动，可以体验到，△BPQ 有三个时刻可以成为等腰三角形．思路点拨1．从直线BC 的解析式可以得到∠OBC 的三角比，为讨论等腰三角形BPQ 作铺垫．2．设交点式求抛物线的解析式比较简便．3．第（3）题连结AE、AF 容易看到AM 是直角三角形EAF 斜边上的高．4．第（4）题的△PBQ 中，∠B 是确定的，夹∠B 的两条边可以用含t 的式子表示．分三种情况讨论等腰三角形．图文解析（1）直线 BC 的解析式为 y =34x - 152．（2）因为抛物线与 x 轴交于 O 、B (10, 0)两点，设 y ＝ax (x －10)．代入点 C （185 , -245），得524a = 所以 y =524 x ( x -10) =524 x 2 -512 x =524 (x - 5)2 -12524抛物线的顶点为 (5, - 12524) ．（3）如图 2，因为 EF 切⊙A 于 M ，所以 AM ⊥EF ．由 AE ＝AE ，AO ＝AM ，可得Rt △AOE ≌Rt △AME ．所以∠1＝∠2．同理∠3＝∠4．于是可得∠EAF ＝90°．所以∠5＝∠1．由 tan ∠5＝tan ∠1，得 MA =ME ．MF MA所以 ME ·M F ＝MA 2，即 mn ＝25．图 2（4）在△BPQ 中，cos ∠B ＝ 45，BP ＝10－t ，BQ ＝t ．分三种情况讨论等腰三角形 BPQ ：①如图 3，当 BP ＝BQ 时，10－t ＝t ．解得 t ＝5．②如图 4，当 PB ＝PQ 时，12BQ = BP cos ∠B ．解方程12 t =45 (10 - t ) ，得t = 8013．③如图 5，当 QB ＝QP 时，12BP = BQ cos ∠B ．解方程12 (10 - t ) = 45 t ，得t =5013．图 3 图 4图 5考点伸展在第（3）题条件下，以EF 为直径的⊙G 与x 轴相切于点A．如图6，这是因为AG 既是直角三角形EAF 斜边上的中线，也是直角梯形EOBF 的中位线，因此圆心G 到x 轴的距离等于圆的半径，所以⊙G 与x 轴相切于点A．图6例 11在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－(m＋n)x＋mn（m＞n）与x 轴相交于A、B 两点（点A 位于点B 的右侧），与y 轴相交于点C．（1）若m＝2，n＝1，求A、B 两点的坐标；（2）若A、B 两点分别位于y 轴的两侧，C 点坐标是(0,－1)，求∠ACB 的大小；（3）若m＝2，△ABC 是等腰三角形，求n 的值．动感体验请打开几何画板文件名“14 邵阳26”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点A 在x 轴正半轴上运动，可以体验到，△ABC 保持直角三角形的形状．点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点B 在x 轴上运动，观察△ABC 的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC 有4 种情况．思路点拨1．抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n 表示点A、B、C 的坐标．2．第（2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比．3．第（3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程．图文解析（1）由y＝x2－(m＋n)x＋mn＝(x－m)(x－n)，且m＞n，点A 位于点B 的右侧，可知A(m, 0)，B(n, 0)．若m＝2，n＝1，那么A(2, 0)，B(1, 0)．．（2）如图1，由于C(0, mn)，当点C 的坐标是(0,－1)，mn＝－1，OC＝1．若 A 、B 两点分别位于 y 轴的两侧，那么 OA ·O B ＝m (－n )＝－mn ＝1．所以 OC 2＝OA ·O B ．所以OC OB OA OC=．所以 tan ∠1＝tan ∠2．所以∠1＝∠2．又因为∠1 与∠3 互余，所以∠2 与∠3 互余．所以∠ACB ＝90°．图 1图 2 图 3（3）在△ABC 中，已知 A (2, 0)，B (n , 0)，C (0,2n )．讨论等腰三角形 ABC ，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得 AB 2＝(n －2)2，BC 2＝5n 2，AC 2＝4＋4n 2． ①当 AB ＝AC 时，解方程(n －2)2＝4＋4n 2，得 n 43=-（如图 2）． ②当 CA ＝CB 时，解方程 4＋4n 2＝5n 2，得 n ＝－2（如图 3），或 n ＝2（A 、B 重合，舍去）．③当 BA ＝BC 时，解方程(n －2)2＝5n 2，得 n =（如图 4），或 n（如图 5）．考点伸展图 4 图 5第（2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理．由于 C (0, mn )，当点 C 的坐标是(0,－1)，mn ＝－1．由 A (m , 0)，B (n , 0)，C (0,－1)，得 AB 2＝(m －n )2＝m 2－2mn ＋n 2＝m 2＋n 2＋2， BC 2＝n 2＋1，AC 2＝m 2＋1．所以AB2＝BC2＋AC2．于是得到Rt△ABC，∠ACB＝90°．第（3）题在讨论等腰三角形ABC 时，对于CA＝CB 的情况，此时A、B 两点关于y 轴对称，可以直接写出B(－2, 0)，n＝－2．例 12如图1，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连结PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ 的面积为S，当t 为何值时，S 取得最大值？S 的最大值是多少？（2）如图2，连结PC，将△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C 为菱形时，求t 的值；（3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？动感体验图1 图2请打开几何画板文件名“14 娄底27”，拖动点Q 在AC 上运动，可以体验到，当点P 运动到AB 的中点时，△APQ 的面积最大，等腰三角形APQ 存在三种情况．还可以体验到，当QC＝2HC 时，四边形PQP′C 是菱形．思路点拨1．在△APQ 中，∠A 是确定的，夹∠A 的两条边可以用含t 的式子表示．2．四边形PQP′C 的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，．图文解析（1）在Rt△ABC 中，AC＝4，BC＝3所以AB＝5，sin A＝35，cos A＝45．作QD⊥AB 于D，那么QD＝AQ sin A＝35t．所以 S ＝S △APQ ＝12 AP ⋅ Q D ＝12 (5 - t ) ⨯ 35t ＝-310 (t 2 - 5t ) ＝ - 310 (t -52)2 + 158．当 t =52 时，S 取得最大值，最大值为158．（2）设 PP ′与 AC 交于点 H ，那么 PP ′⊥QC ，AH ＝AP cos A ＝45(5 - t ) ．如果四边形 PQP ′C 为菱形，那么 PQ ＝PC ．所以 QC ＝2HC ．解方程 4 - t = 2 ⨯[4 - 45 (5 - t )] ，得t =2013图 3 图 4（3）等腰三角形 APQ 存在三种情况： ①如图 5，当 AP ＝AQ 时，5－t ＝t ．解得t =52． ②如图 6，当 P A ＝PQ 时，12 AQ = AP cos A ．解方程12 t =45 (5 - t ) ，得t =4013．③如图 7，当 QA ＝QP 时，12 AP = AQ cos A ．解方程12 (5 - t ) = 45 t ，得t = 2513．图 5 图 6 图 7考点伸展在本题情境下，如果点 Q 是△PP ′C 的重心，求 t 的值．如图 8，如果点 Q 是△PP ′C 的重心，那么 QC ＝23HC ．解方程 244[4(5)]35t t -=--，得t =6023图 8例 13如图1，已知Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P 以每秒1 个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2 个单位的速度从A→B→C 方向运动，它们到C 点后都停止运动，设点P、Q 运动的时间为t 秒．（1）在运动过程中，求P、Q 两点间距离的最大值；（2）经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）P，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC 为等腰三角形．若存在，求出此时的t 值，若不存在，请说明理由． 2.24 ，结果保留一位小数）图1动感体验请打开几何画板文件名“15 怀化22”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，PQ 与BD 保持平行，等腰三角形PQC 存在三种情况．思路点拨1．过点B 作QP 的平行线交AC 于D，那么BD 的长就是PQ 的最大值．2．线段PQ 扫过的面积S 要分两种情况讨论，点Q 分别在AB、BC 上．3．等腰三角形PQC 分三种情况讨论，先罗列三边长．图文解析（1）在Rt△ABC 中，AC＝8，BC＝6，所以AB＝10．如图2，当点Q 在AB 上时，作BD//PQ 交AC 于点D，那么ABAD=AQAP=2tt= 2 ．所以AD＝5．所以CD＝3．如图3，当点Q 在BC 上时，CQCP=1628tt--= 2 ．又因为CBCD=63= 2 ，所以CQCP=CBCD．因此PQ//BD．所以PQ 的最大值就是BD．在Rt△BCD 中，BC＝6，CD＝3,所以BD＝PQ 的最大值是图 2 图 3 图 4（2）①如图 2，当点 Q 在 AB 上时，0＜t ≤5，S △ABD ＝15．由△AQP ∽△ABD ，得2()AQPABDS AP SAD∆∆=所以 S ＝S △AQP 15 ⨯ (5t )2 ＝35 t 2 ． ②如图 3，当点 Q 在 BC 上时，5＜t ≤8，S △ABC ＝24．因为 S △CQP ＝12 CQ ⋅ C P ＝12(16 - 2t )(8 - t ) ＝(t - 8)2 ，所以 S ＝S △ABC －S △CQP ＝24－(t －8)2＝－t 2＋16t －40．（3）如图3，当点Q 在BC 上时，CQ ＝2CP ，∠C ＝90°，所以△PQC 不可能成为等腰三角形．当点Q 在AB 上时，我们先用t 表示△PQC 的三边长：易知CP ＝8－t ．如图2，由QP //BD ，得QP AP BD AD =5t=所以QP=5t 如图4，作QH ⊥AC 于H ．在Rt △AQH 中，QH ＝AQ sin ∠A ＝65 t ，AH ＝85t ．在Rt △CQH 中，由勾股定理，得CQ分三种情况讨论等腰三角形PQC ：（1）①当PC ＝PQ 时，解方程8 - t，得t =-10 ≈3.4（如图5所示）． ②当QC ＝QP5，得．整理，得11t 2 -128t + 320 = 0 ．所以(11t －40)(t －8)＝0．解得t =4011≈3.6（如图6所示），或t ＝8（舍去）． ③当CP ＝CQ 时，8 - t5t 2 -16t = 0 ．解得t =165＝3.2（如图7所示），或t ＝0（舍去）．综上所述，当t 的值约为3.4，3.6，或等于3.2时，△PQC 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展第（1）题求P、Q两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：①如图8，当点Q在AB上时，PQ5当Q与B重合时，PQ最大，此时t＝5，PQ的最大值为②如图9，当点Q在BC上时，PQ-t) ．当Q与B重合时，PQ最大，此时t＝5，PQ的最大值为．综上所述，PQ的最大值为图8 图9。