传热学总复习
传热复习
《传热学》概论一、名词解释1．热流量：单位时间内所传递的热量2．热流密度：单位传热面上的热流量3．导热：当物体内有温度差或两个不同温度的物体接触时，在物体各部分之间不发生相对位移的情况下，物质微粒(分子、原子或自由电子)的热运动传递了热量，这种现象被称为热传导，简称导热4．对流传热：流体流过固体壁时的热传递过程，就是热对流和导热联合用的热量传递过程，称为表面对流传热，简称对流传热。
5．辐射传热：物体不断向周围空间发出热辐射能，并被周围物体吸收。
同时，物体也不断接收周围物体辐射给它的热能。
这样，物体发出和接收过程的综合结果产生了物体间通过热辐射而进行的热量传递，称为表面辐射传热，简称辐射传热6．总传热过程：热量从温度较高的流体经过固体壁传递给另一侧温度较低流体的过程，称为总传热过程，简称传热过程。
7．对流传热系数：单位时间内单位传热面当流体温度与壁面温度差为1K是的对流传热量，单位为W／(m2·K)。
对流传热系数表示对流传热能力的大小。
8．辐射传热系数：单位时间内单位传热面当流体温度与壁面温度差为1K是的辐射传热量，单位为W／(m2·K)。
辐射传热系数表示辐射传热能力的大小。
9．复合传热系数：单位时间内单位传热面当流体温度与壁面温度差为1K是的复合传热量，单位为W／(m2·K)。
复合传热系数表示复合传热能力的大小。
10．总传热系数：总传热过程中热量传递能力的大小。
数值上表示传热温差为1K时，单位传热面积在单位时间内的传热量。
二、填空题1．热量传递的三种基本方式为、、。
（热传导、热对流、热辐射）2．热流量是指，单位是。
热流密度是指，单位是。
（单位时间内所传递的热量，W，单位传热面上的热流量，W/m2）3．总传热过程是指，它的强烈程度用来衡量。
(热量从温度较高的流体经过固体壁传递给另一侧温度较低流体的过程，总传热系数) 4．总传热系数K与总面积A的传热热阻Rt的关系为。
（Rt=1/K）5．稳态传热过程是指。
传热学复习资料（全）
传热学复习资料（全）0.2.1、导热（热传导） 1 、概念定义：物体各部分之间不发⽣相对位移或不同物体直接接触时，依靠分⼦、原⼦及⾃由电⼦等微观粒⼦的热运动⽽产⽣的热量传递称导热。
如：固体与固体之间及固体内部的热量传递。
3、导热的基本规1 ）傅⽴叶定律 1822 年，法国数学家如图所⽰的两个表⾯分别维持均匀恒定温度的平板，是个⼀维导热问题。
考察x ⽅向上任意⼀个厚度为dx 的微元层律根据傅⾥叶定律，单位时间内通过该层的热流量与温度变化率及平板⾯积A 成正⽐，即式中是⽐例系数，称为热导率，⼜称导热系数，负号表⽰热量传递的⽅向与温度升⾼的⽅向式中是⽐例系数，称为热导率，⼜称导热系数，负号表⽰热量传递的⽅向与温度升⾼的⽅向相反式中是⽐例系数，称为热导率，⼜称导热系数，负号表⽰热量传递的⽅向与温度升⾼的⽅向相反。
2 ）热流量单位时间内通过某⼀给定⾯积的热量称为热流量，记为，单位 w 。
3 ）热流密度单位时间内通过单位⾯积的热量称为热流密度，记为 q ，单位 w/ ㎡。
当物体的温度仅在 x ⽅向发⽣变化时，按傅⽴叶定律，热流密度的表达式为:说明：傅⽴叶定律⼜称导热基本定律，式（1-1）、（1-2）是⼀维稳态导热时傅⽴叶定律的数学表达式。
通过分析可知：（1）当温度 t 沿 x ⽅向增加时，＞０⽽ q ＜０，说明此时热量沿 x 减⼩的⽅向传递；（2）反之，当 <0 时， q > 0 ，说明热量沿 x 增加的⽅向传递。
4 ）导热系数λ表征材料导热性能优劣的参数，是⼀种物性参数，单位： w/(m ·℃ )。
不同材料的导热系数值不同，即使同⼀种材料导热系数值与温度等因素有关。
5) ⼀维稳态导热及其导热热阻如图1-3所⽰，稳态 ? q = const ，于是积分Fourier 定律有：dxdt Aλ-=Φ⽓体液体⾮⾦属固体⾦属λλλλ>>>导热热阻,K/W 单位⾯积导热热阻，m2· K/W 0.2.2、热对流1 、基本概念1) 热对流：流体中（⽓体或液体）温度不同的各部分之间，由于发⽣相对的宏观运动⽽把热量由⼀处传递到另⼀处的现象。
传热学总复习试题及答案
总复习题基本概念 :•薄材 : 在加热或冷却过程中 , 若物体内温度分布均匀 , 在任意时刻都可用一个温度来代表整个物体的温度 , 则该物体称为 ----.•传热 : 由热力学第二定律 , 凡是有温差的地方 , 就有热量自发地从高温物体向低温物体转移 , 这种由于温差引起的热量转移过程统称为 ------.•导热 : 是指物体内不同温度的各部分之间或不同温度的物体相接触时 , 发生的热量传输的现象 . 物体各部分之间不发生相对位移，仅依靠物体内分子原子和自由电子等微观粒子的热运动而产生的热能传递成为热传导简称导热•对流 : 指物体各部分之间发生相对位移而引起的热量传输现象 . 由于流体的宏观运动而引起的流体各部分之间发生相对位移，冷热流体相互渗混所导致的热量传递过程•对流换热 : 指流体流过与其温度不同的物体表面时 , 流体与固体表面之间发生的热量交换过程称为 ------.•强制对流 : 由于外力作用或其它压差作用而引起的流动 .•自然对流 : 由于流体各部分温度不同 , 致使各部分密度不同引起的流动 .•流动边界层 : 当具有粘性的流体流过壁面时 , 由于粘滞力的作用 , 壁面附近形成一流体薄层 , 在这一层中流体的速度迅速下降为零 , 而在这一流层外 , 流体的速度基本达到主流速度 . 这一流体层即为 -----.•温度边界层 : 当具有粘性的流体流过壁面时 , 会在壁面附近形成一流体薄层 , 在这一层中流体的温度迅速变化 , 而在这一流层外 , 流体的温度基本达到主流温度 . 这一流体层即为-----.•热辐射 : 物体由于本身温度而依靠表面发射电磁波而传递热量的过程称为 ------. 物体由于本身温度而依靠表面发射电磁波而传递热量的过程成为热辐射•辐射力 : 物体在单位时间内 , 由单位表面积向半球空间发射的全部波长的辐射能的总量 .•单色辐射力 : 物体在单位时间内 , 由单位表面积向半球空间发射的波长在λ -- λ +d λ范围内的辐射能量 .•立体角 : 是一个空间角度 , 它是以立体角的角端为中心 , 作一半径为 r 的半球 , 将半球表面上被立体角切割的面积与半径平方 r 2 的比值作为 ------ 的大小 .•定向辐射强度 : 单位时间内 , 在单位可见面积 , 单位立体角内发射的全部波长的辐射能量称为 ----.•传质 : 在含有两种或两种以上组分的流体内部 , 如果有浓度梯度存在 , 则每一种组分都有向低浓度方向转移 , 以减弱这种浓度不均匀的趋势 . 物质由高浓度向低浓度方转移过程称为----.•分子扩散传质 : 静止的流体中或在垂直于浓度梯度方向作层流流动的流体中的传质 , 有微观分子运动所引起 , 称为 ----.•对流流动传质 : 在流体中由于对流掺混引起的质量传输 .•有效辐射 : 单位时间内 , 离开所研究物体单位表面积的总辐射能 .•灰体 : 单色吸收率 , 单色黑度与波长无关的物体 .•角系数 : 有表面 1 投射到表面 2 的辐射能量 Q 1 → 2 占离开表面 1 的总能量 Q 1 的份数 , 称为表面 1 对表面 2 的角系数 .•辐射换热 : 物体之间通过相互辐射和吸收辐射能而产生的热量交换过程 .填空题 :•当辐射投射到固液表面是表面辐射，投射到气体表面是 ---------- 辐射。
《传热学》复习
《传热学》复习一、思考题1、 试述导热系数、对流换热系数、传热系数的物理意义。
2、 试说明物体内的等温线为何不能相交？热流线能否相交？3、 有一正圆台的四周绝热，顶面温度高于底面，试作出定性等温面与热流线。
4、 一条暴露在大气中的热管道与外界通过哪些方式进行传热？5、 内径相同时，同种材料的厚壁管是否一定比薄壁管的热损失小？试举例说明。
6、 设冬天室内温度为1f T ，室外温度为2f T ，试针对下列情况画出从室内经砖墙到室外的温度分布示意曲线：（1） 室外平静无风；（2） 室外挂大风，冷空气以较大流速吹过砖墙表面；（3） 如果再考虑砖墙与周围环境之间的辐射换热，则温度分布将如何变动？为什么？7、 在夏天，室内保持20℃的室温，穿短裤、凉鞋和衬衫也感到舒服，而到冬天，室内保持同样温度，这时人们穿厚的运动衫才能感到舒服。
试说明原因。
8、 说明下列各式所描述的物理现象：（1）02=∇T ； （2）022=Φ+ dxT d k ； （3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂2222y T x T a t T 9、 试说明固体导热第三类边界条件式()wf w n T k T T h ∂∂-=-中各项的含义，并说明在什么情况下，第三类边界条件可变为第一类边界条件。
10、 试述非稳态导热差分方程式的稳定性判据。
11、 试比较一维稳态导热和一维非稳态导热的差分方程式。
非稳态导热和稳态导热的差分方程式的求解有何区别？12、 平板、圆管、圆球及翅片各在什么情况下可以按一维稳态导热计算？13、 在推导圆筒壁稳定导热的计算式时作了哪些假设？为什么在运用傅里叶定律中不用热流密度来表示？14、 某热力管道采用两种不同材料的组合保温层，两层厚度相等，第二层的算术平均直径两倍与第一层的算术平均直径，而第二层材料的导热系数仅为第一层材料的一半。
如果把两层材料相互调换，其他情况不变，问每米长管道热损失将如何变化？15、 一厚度为δ的无限大平板，其导热系数k 不变，平板内具有均匀内热源Φ，平板一侧绝热，另一侧与温度为T f 的流体对流换热，换热系数为h ，试写出这一稳定导热过程的完整数学描述。
传热学复习
第一章绪论1、热流量(heat transfer rate)单位时间内通过某一给定面积的热量2、热流密度(heat flux ):通过单位面积的热流量。
3、热对流(heat convection):流体的宏观运动引起的流体各部分之间的相对位移，冷热流体相互渗透导致的热量传递过程。
4、对流传热(convective heat transfe):流体流过一个物体表面时流体与物体表面间的热量传递过程。
自然对流(natural convection):流体冷热部分的密度不同引起。
强制对流(forced convection)：流体的流动是由于水泵风机或其他压差作用热辐射(thermal radiation)：因热的原因发出辐射能辐射传热(radiation heat transfer是指物体辐射与吸收过程的综合结果。
黑体Black body:能吸收投入到其表面上的所有热辐射能量的物体。
10、传热过程overall heat transfer process：)是热量在被壁面隔开的两种流体之间的热量传递过程。
11、传热系数k(overall heat transfer coefficient)12、牛顿冷却公式h=表面传热系数convection heat-transfer eoeffieient, W/m2・°Celectromag netic radiati on 电磁辐射vacuum 真空con versi on 转换斯忒藩-玻耳兹曼定律Stefan-Boltzmann Law Stefa n-Boltzma nn con stant£ - emissivity 发射率(黑度) Stefa n-Boltzma nn con sta nt_8 2 4 - 5.67 10 W/m K稳态传热steady-state heat transfer热阻Thermal resista nee第二章稳态热传导Steady-state heat con duct ion1、温度场Temperature field绝热材料Heat insulating materials2、热扩散率thermal diffusivity , m2/s3、边界条件Boundary Conditions4、一维稳态导热One-dimensional steady state heat conduction5、单层平壁Single plane wall So：(t2 "t i)6单层圆筒壁t 2=t i-q「'i十?n^ln(r/r i)R =ln( J rj _ ln( d? d i) 一2- - l5、6、7、8 过余温度 excess temperature 日 =t _ t^九A ce总 ch[m(H - x)] 0ch (m H )18 "°ch(mH)(atX —H )7 肋片 Fin --- extended surface on circular tube or plane wall 依附于基础表面的扩展 表面 矩形的rectangular2 hP①=XAd6dxhP= ---- 日 0th (m H )」m9肋效率Fin efficiency :实际散热量：假设整个肋表面处于肋基温度下得散热量第三章 非稳态导热Un steady heat co nduction 温度随时间变化的导热1正规状况阶段regular regime 不受初始温度的影响 Initial condition 初始条件 Boundary condition 边界条件 2 毕渥数 Biot Number h 心； R Bi = ---- = —— = —z九 仃h R h3、 集中参数法 Lumped-heat-capacity method4、 傅里叶数 Fourier number 指数曲线 exponential curve 时间常数 time constant5、 热电偶thermocouple 适用性，适用范围 即plicability 特征长度 characteristiclen gth丄 丄一a (V/A)2t - J _e-[hA/FcVkFot ° - t :：时间常数：When . - ：?cV/ hABi =— -0.16 海斯勒图 Heisler Charts Fo>0.27、 离散方程 discretization equation 内节点 inner grid points 8、 热平衡法 Thermal balanee method9、- 0ewns■日-r = exp 「BV F O V )-0 t -tot t• Im4,n m,ny x△ x=巴. 次人门1-t mn :吕!匸！mn =0xyyJJ1 J a・r —f1 *--1 -m ，n -im’nr 1 Im-1,nm+1,n2・t1 (2 t t2 xcwX n 、0【mn = ；(2tm」,n +°门屮 +[mnj + 十丿=U4丸 k夕卜部角点 the exterior corner node2・t=l(t= +t + Xfn + 24 xqim,nm -1,nm,n -122九 人内部角点 the interior corner node第五章对流传热1、强制对流 forced convection 自然对流 natural/free convection 相变 phase change 层流 laminar 湍流 turbulent 管束 tube banks 竖向的 vertical 水平的 horizontal 局部表面传热系数 local convective heat transfer coefficient 粘性 viscous 质量流量 mass flow 焓 enthalpy 动量 momentum2流动边界层Flow boundary layer ：流体的速度随着离开壁面距离的增加急剧增 加，经过一个薄层后速度增长接近主流速度。
传热学复习资料汇总
传热学复习资料汇总一、名词汇总1．热流量：单位时间内所传递的热量2．热流密度：单位传热面上的热流量3．导热：当物体内有温度差或两个不同温度的物体接触时，在物体各部分之间不发生相对位移的情况下，物质微粒(分子、原子或自由电子)的热运动传递了热量，这种现象被称为热传导，简称导热。
4．对流传热：流体流过固体壁时的热传递过程，就是热对流和导热联合用的热量传递过程，称为表面对流传热，简称对流传热。
5．辐射传热：物体不断向周围空间发出热辐射能，并被周围物体吸收。
同时，物体也不断接收周围物体辐射给它的热能。
这样，物体发出和接收过程的综合结果产生了物体间通过热辐射而进行的热量传递，称为表面辐射传热，简称辐射传热。
6．总传热过程：热量从温度较高的流体经过固体壁传递给另一侧温度较低流体的过程，称为总传热过程，简称传热过程。
7．对流传热系数：单位时间内单位传热面当流体温度与壁面温度差为1K是的对流传热量，单位为W／(m2·K)。
对流传热系数表示对流传热能力的大小。
8．辐射传热系数：单位时间内单位传热面当流体温度与壁面温度差为1K是的辐射传热量，单位为W／(m2·K)。
辐射传热系数表示辐射传热能力的大小。
9．复合传热系数：单位时间内单位传热面当流体温度与壁面温度差为1K是的复合传热量，单位为W／(m2·K)。
复合传热系数表示复合传热能力的大小。
10．总传热系数：总传热过程中热量传递能力的大小。
数值上表示传热温差为1K时，单位传热面积在单位时间内的传热量。
11．温度场：某一瞬间物体内各点温度分布的总称。
一般来说，它是空间坐标和时间坐标的函数。
12．等温面(线)：由物体内温度相同的点所连成的面（或线）。
13．温度梯度：在等温面法线方向上最大温度变化率。
14．热导率：物性参数，热流密度矢量与温度降度的比值，数值上等于 1 K／m 的温度梯度作用下产生的热流密度。
热导率是材料固有的热物理性质，表示物质导热能力的大小。
9传热学-总复习
Φ
2
rlq
tw1 ln( r2
tw2 r1 )
tw1 tw2 R
W
2 l
Φ tw1 tw(n1)
n
i1
1
2i
L
ln
ri1 ri
ql
tw1 tw(n1)
n
i1
1
2i
ln
ri1 ri
W W m
x2 dx t2 (t)dt
x1 A(x)
t1
求解变截面变 导热系数的通
式
e e m(Hx)
(1) 通过炉墙的热流密度； (2) 两层接触面的温度。
解：根据题意以及已知条件有
q
tw1 tw3
1 2
700 0.2
900 0.2
732 .3
1 2 0.6 0.4
W/m2
q
tw1 tw2
1
1
tw2
t w1
q 1 1
700
732 .3
0.2 0.6
456
℃
在涉及热传导和热对流的传热过程中，热阻是一个
（2）非稳态导热过程中导热体自身参与吸热（或放热），即 导热体有储热现象，所以即使对通过平壁的非稳态导热来说， 在与热流方向相垂直的不同截面上的热流量也是处处不等的， 而在一维稳态导热中通过各层的热流量是相等的。
（3）非稳态导热过程中的温度梯度及两侧壁温差远大于稳态 导热。
两个不同的阶段： 非正规状况阶段：初始温度 正规状况阶段：边界条件及物性参数
温度梯度：等温面法线方向的温度变化率矢量
热导率数值上等于在单位温度梯度作用下物体内所产生的 热流密度矢量的模
保温材料：国家标准规定，温度低于350摄氏度时热导 率小于0.12W/(mK) 的材料（绝热材料）
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一、名词解释 1、稳态导热是指系统中各点的温度不随时间而改变的导热过程 2、非稳态导热是指系统中各点的温度随时间而改变的导热过程 3、导热系数（热导率） 用λ表示，n xt q∂∂=λ，单位)*/(K m W ，是物性参数。
数值上等于在单位温度梯度作用下物体内热流密度矢量的模。
表征材料的热传导的能力大小，与材料的种类和材料的温度等因素有关系。
4、温度边界层 在固体表面附近，流体的温度发生剧烈变化的这一薄层就称为温度边界层（或热边界层）。
一般规定，流体与壁面的温度差达到流体主体与壁面的温度差的99％处到壁面的距离，为温度边界层的厚度δt 。
即温度边界层外边界处的温度应满足下式： (T －T w)=0.99(T f －T w) 5、速度边界层 在固体表面附近，流体的速度发生剧烈变化的这一薄层就成为速度边界层。
一般规定，流体与壁面的速度差达到流体主体与壁面的速度差的99％处到壁面的距离，为速度边界层的厚度δt 。
即速度边界层外边界处的速度应满足下式：%99/=∞u u 6、传热过程热量由壁面一侧流体通过壁面传递到壁面另一侧流体的过程7、表面传热系数用h 表示，以前常称为对流换热系数，单位是)*/(2K m W ，数值上等于冷热流体在单位温度差作用下、单位面积上的热流量的值，是表征传热过程强烈程度的标尺。
h 的大小与诸多的因素有关。
9、污垢热阻表示换热设备传热面上因沉积物而导致传热效率下降程度的数值，即换热面上沉积物所产生的传热阻力，单位为 ㎡·K / W 。
10、接触热阻 两块靠近的板，在未接触的界面之间的间隙中经常充满空气，热量将以导热的方式穿过这种气隙层。
这种与两固体表面真正接触相比，增加了附加的传递阻力，称为接触热阻。
11、定型尺寸确定某一结构形状大小的尺寸称为定型尺寸。
12、定性温度定性温度是用于确定特征数中流体物性的温度。
13、普朗特数用Pr 表示，ανδδ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3Pr t （ν是动量传递系数，α是热量传递系数），表征了流动边界层与热边界层的相对大小，动量扩散系数与热量扩散系数的一种能力的比值。
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一、热量传递的三种基本方式－－导热、对流、热辐射： 1、概念：1）基本概念：ⅰ）、导热的概念：物体各部分之间不发生相对位移，依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的热运动而产生的热量传递。
ⅱ）、对流的概念：指由于流体的宏观运动，从而流体各部分之间发生相对位移、冷热流体相互掺混所引起的热量传递过程 ⅲ）、热辐射：物体因热的原因发出辐射能的现象2）、传热的机理：ⅰ）导热依靠微观粒子的热运动：分子、原子的相互碰撞、晶格的振动等ⅱ）对流依靠流动的宏观运动：流体的相互位移或掺混ⅲ）热辐射：发射电磁波 2、热量传递的三个基本公式 1）导热的傅里叶定律（一维）：Φ－热流量（单位时间通过某一给定面积的热量),单位W q —单位时间内通过单位面积的热流量，单位W/m2 2) 对流换热的牛顿冷却定律： Ⅰ、对流换热：对流伴随有导热的现象 Ⅱ、牛顿冷却定律流体被加热时： 流体被冷却时： h —表面传热系数，与过程有关。
单位W/m2.K 3、热辐射（斯忒藩－玻尔兹曼定律)： （σ-斯忒藩－玻尔兹曼常量（黑体辐射常数）σ=5.67×10-8 W/(m2.K4) 实际物体热辐射量： 二、传热过程：1、 传热过程的概念：热量由壁面一侧的流体通过壁面传到另一侧流体中去的过程。
2、传热过程热流量的计算：3、传热系数（单位W/m2.K)：三、热阻：串联环节的总热阻等于各分热阻之和，且稳态时， 各环节的热流量相等。
第二章 导热基本定律及稳态导热一、温度场、等温面、等温线、温度梯度的意义等温线的特点：物体中的任一条等温线要么形成一个封闭的曲线，要么终止在物体表面上，而不会与另一条等温线相交。
温度梯度：空间某点的温度的变化率。
二、导热的基本定律、意义 1)(1dxdt λAΦ--=dxdt A q λ-=Φ=t Ah t t Ah f w ∆=-=Φ)(t Ah t t Ah w f ∆=-=Φ)(4T A σ=Φ4T A σε=ΦtAk h h t t A f f ∆=++-=Φ212111λδ21111h h k ++=λδ2121222*********Ah A Ah t t Ah t t A t t Ah t t f f f w w w w f ++-=-=-=-=Φλδλδn nt gradt ∂∂=∂t1、导热基本定律（傅里叶定律）：2、傅里叶定律的意义：揭示了连续温度场内每一点的温度梯度与热流量间的联系。
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传热学复习资料第一章概论一、名词解释热流量是单位时间内传递的热量，热流密度是单位传热面上的热流量。
导热是指物体内部温度差或不同温度物体接触时，物质微粒的热运动传递热量的现象。
对流传热是流体通过固体壁的热传递过程，包括表面对流传热和导热。
辐射传热是物体向周围空间发出和接收热辐射能的过程。
总传热过程是指热量从温度较高的流体经过固体壁传递给另一侧温度较低流体的过程。
对流传热系数、辐射传热系数和复合传热系数分别表示对流传热能力、辐射传热能力和复合传热能力的大小。
总传热系数表示总传热过程中热量传递能力的大小。
二、填空题1.热量传递的三种基本方式为热传导、热对流、热辐射。
2.热流量是指单位时间内传递的热量，单位为W；热流密度是指单位传热面上的热流量，单位为W/m2.3.总传热过程是指热量从温度较高的流体经过固体壁传递给另一侧温度较低流体的过程，总传热系数表示它的强烈程度。
4.总传热系数是指传热温差为1K时，单位传热面积在单位时间内的传热量，单位为W/(m2·K)。
5.导热系数的单位是W/(m·K)，对流传热系数的单位是W/(m2·K)，传热系数的单位是W/(m2·K)。
6.复合传热是指复合传热系数等于对流传热系数和辐射传热系数之和，单位为W/(m2·K)。
7.单位面积热阻rt的单位是K/W，总面积热阻Rt的单位是m2·K/W。
8.单位面积的导热热阻可以表示为m2·K/W或K/W。
9.单位面积的对流传热热阻可以表示为1/h。
10.总传热系数K与单位面积传热热阻rt的关系为rt=1/K。
11.总传热系数K与总面积A的传热热阻Rt的关系为Rt=1/KA。
12.稳态传热过程是指物体中各点温度不随时间而改变的热量传递过程。
13.非稳态传热过程是指物体中各点温度随时间而改变的热量传递过程。
14.某燃煤电站过热器中，烟气向管壁传热的辐射传热系数为30W/(m2·K)，对流传热系数为270W/(m·K)，其复合传热系数为100 W/(m2·K)。
传热学(期末复习专用)总结
1）根据对流换热时是否发生相变分：相变对流换热和单相对 流换热。 2）根据引起流动的原因分：自然对流和强制对流。 对流换热的基本规律 < 牛顿冷却公式 > q ht Aht h —比例系数（表面传热系数），单位 W/ m 2 K 。 h 的物理意义：单位温差作用下通过单位面积的热流量。 一般地，就介质而言：水的对流传热比空气强烈； 就传热方式而言：有相变的强于无相变的；强制对流强于自然 对流。 3.热辐射：物体通过电磁波来传递能量的方式称为辐射。因热 的原因而发出辐射能的现象称为热辐射。 辐射传热 ：辐射与吸收过程的综合作用造成了以辐射方式进行 的物体间的热量传递称辐射传热。
传热过程：热量由壁面一侧的流体通过壁面传到另一侧流体中去的过 程称传热过程。 传热过程三个环节：1.从热流体到壁面高温侧的热量传递；2.从壁面 高温侧到壁面低温侧的热量传递；3.从壁面低温侧到冷流体的热量传递。 传热过程越强烈，传热系数越大，反之则越小。 A(t f 1 t f 2 ) 1 k 1 1 Ak (t f 1 t f 2 ) Ak t 1 1 h1 h2 h1 h2
第二章
影响导热系数的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、 压力、密度等。 金属 非金属; 固相 液相 气相 对于任何导热过程，完整的数学描写包括导热微分方程和单 值性条件。 初始条件：初始时间温度分布的初始条件； 边界条件：导热物体边界上温度或换热情况的边界条件。 ①非稳态导热定解条件有两个； ②稳态导热定解条件只有边界条件，无初始条件。 导热问题的常见边界条件可归纳为以下三类 1）规定了边界上的温度值，称为第一类边界条件。对于非稳 0 时 tw f 态导热，这类边界条件要求给出以下关系式： 2）规定了边界上的热流密度值，称为第二类边界条件。对于 t 非稳态导热， 0 时 ( n ) w f 2 ( ) 3）第三类边界条件规定了边界上物体与周围流体间的表面传 t 热系数及周围流体的温度。 ( ) w h(tw t f )
传热学复习题及其答案
传热学复习题及其答案传热学是研究热量传递规律的学科，它在工程实践中有着广泛的应用。
以下是一些传热学的复习题及其答案，供学习者参考。
# 一、选择题1. 传热的基本方式有哪三种？- A. 对流- B. 辐射- C. 导热- D. 所有选项都是答案：D2. 傅里叶定律描述的是哪种传热方式？- A. 对流- B. 辐射- C. 导热- D. 都不是答案：C# 二、填空题1. 导热系数是描述材料______能力的物理量。
答案：导热2. 对流换热的特点是热量通过______来传递。
答案：流体的宏观运动# 三、简答题1. 请简述牛顿冷却定律的内容。
答案：牛顿冷却定律指出，物体表面与周围环境之间的热交换速率与它们之间的温差成正比。
2. 什么是黑体辐射定律？其数学表达式是什么？答案：黑体辐射定律描述了理想化的物体（黑体）在不同温度下发出的辐射能量与波长的关系。
其数学表达式为：E(λ,T) = (2πhc^2) / (λ^5) * 1 / (e^(hc/(λkT)) - 1)，其中E(λ,T)是波长为λ在温度T下的辐射强度，h是普朗克常数，c是光速，k是玻尔兹曼常数。
# 四、计算题1. 假设有一厚度为0.05m的墙体，其导热系数为0.6 W/m·K，两侧温差为10°C。
求墙体的热流量。
答案：根据傅里叶定律，热流量Q = k * A * ΔT / d，其中A是面积，ΔT是温差，d是厚度。
假设面积A足够大，可以忽略不计，那么Q = 0.6 * 10 / 0.05 = 120 W。
2. 已知一物体表面温度为300 K，环境温度为20°C，求该物体表面与环境之间的热交换速率，假设对流换热系数为10 W/m²·K。
答案：热交换速率Q = h * A * ΔT，其中h是对流换热系数，A是物体表面积，ΔT是温差。
假设A足够大，可以忽略不计，那么Q = 10 * (300 - 273) = 270 W。
传热学复习总结
u x v 2 2 y x y
（2）边界层微分方程组及其求解（数量级分析法） （3）边界层（附面层）积分方程组及其求解 （4） 雷诺比拟 （5） 相似原理及其相关概念
3 、 计算 （1）管槽 : （注意考虑各种修正） （2）横掠单管和管束:
Ebi J i 求解上面的方程组，再计算净换热量。 i 1 i Ai i
4 、分析 （1）辐射特点（与对流和导热相比） （2）一般意义的辐射与阳光辐射的区别 （3）基尔霍夫定律的条件 （4）黑度对辐射换热系数的影响 （5）减少辐射换热的方法
六、 传热的强化和隔热保温技术
一、 强化传热的原则和强化对流换热的手段
2 、理 论
• 普朗克定律: W/m3 • 维恩位移定律: • 斯蒂芬－玻尔兹曼定律（四次方定律）:
• 兰贝特定律:
• 基尔霍夫定律:
3 、计 算 （1）角系数 • 代数法: (a) 一个方向无限长封闭三凸面
(b) 一个方向无限长任意两凸面
(c) 由角系数定义直接计算 (d) 查表（资料）法 (e) 积分法
传热学复习总结
一、 基本内容 1、 导 热 2、 对 流 3、 辐 射 4、 传热过程 强化与削弱
板式换热器结构 1．固定压紧板 2．连接口 3．垫片 4．板片 5．活动压紧板 6．下导杆 7．上导杆 8．夹紧螺栓 9．支柱
二、导
1、基本概念
• • • • • •
热
导热系数、导温系数(热扩散系数)； 温度场、等温线、绝热线； 稳态与非稳态导热； 初始条件、三类边界条件及其数学表达式； 热阻、接触热阻。 热阻分析法及其条件。
四、 对流与相变换热
1、基本概念 • 边界层（层流、紊流、层流底层、温度边界层） • Pr、Re、Gr的物理概念、数量级， • 定性温度，定性尺度， • 管内层流入口效应和定型段（充分发展）， • 管长修正，温度修正，弯管修正，当量直径， • 膜状凝结，珠状凝结，过冷沸腾，饱和沸腾，核 态沸腾，沸腾换热临界热流密度，烧毁点，大容 器沸腾换热曲线。
传热学总复习提纲
第七章 凝结与沸腾换热
理解膜状凝结和珠状凝结的概念，了解各自形 成的原因，两者一般哪个的对流换热系数大？
大空间沸腾常可分为过冷沸腾和饱和沸腾。其 中饱和沸腾有哪三种基本沸腾状态？
理解饱和沸腾过程与沸腾温差间的关系。
何为“烧毁点”现象。
第八章 热辐射的基本定律
热辐射与导热、对流换热相比较有何特点？ 热辐射与其它电磁辐射有何区别？ 理解黑体、白体、透明体、灰体的概念。 掌握辐射强度、单色辐射强度、辐射力、单色辐 射力、定向辐射力的定义和概念，并能准确指出 它们间的区别和联系。 熟记斯蒂芬-玻尔兹曼定律的表达式，注意其适用 范围。 理解兰贝特定律、基尔霍夫定律。 理解发射率、单色发射率、吸收率、单色吸收率 的定义过程。能指出它们间的区别和联系。
第六章 单相流体对流换热及准则关联式
管内受迫流动换热其流动和换热各可分成哪两段，每段有 何特点。 热进口段与流动进口段长度是否一定相等？如不相等，其 下列情况下两者关系如何？为什么？①Pr=1②Pr>1③Pr<1。 理解物性场（主要是粘度）不均匀对对流换热的影响。 定性了解各状态参数、物性参数和几何参数对h的影响。 能用适当的准则方程式计算对流换热系数。 顺排管与叉排管在其它条件相同时哪个对流换热系数大？ 为什么？ 注意各准则方程式的适用范围、定性温度、定型尺寸。 为什么各实验准则方程式均有一定的适用范围。
第十章 传热和换热器
能进行复合换热的传热计算。 掌握增强或削弱传热的基本途径。 掌握肋壁总效率的定义式和物理意义。能指出其与肋片效 率的区别和联系。 工程中采用肋片增强传热时，一般将肋片加在哪一侧？为 什么？ 有时工程中也有将肋片加在h大的一侧，其目的何在？ 熟记并理解对数平均温压的表达式。 为什么其它条件相同时，逆流平均温差比顺流大？ 换热器的热工计算一般有哪两种类型，哪两种方法？ 掌握效能及传热单元数的定义和物理意义。 LMTD法与-NTU法各适合哪种热工计算？为什么？
《传热学》总复习提纲[1]
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《传热学》总复习提纲[1]《传热学》提纲绪论1．导热、对流及对流换热、热辐射及辐射换热、复合换热及传热过程的概念。
2．三种基本传热方式的联系与区别。
导热基本定律及稳态导热一、导热基本定律1．温度场稳态温度场、非稳态温度场、一维温度场、二维温度场、均匀温度场等概念及数学式。
等温线、等温面概念及特点。
2．导热基本定律（傅里叶定律）1）温度梯度定义式、方向、单位。
2）热流密度、热流量定义、单位。
3）傅里叶定律定义式、各量符号、单位、适用条件及意义。
3．导热系数1）导热系数定义、符号、单位、物理意义。
2）影响导热系数数值的主要因素；保温材料。
二、导热微分方程及定解条件1．导热系数为常数、无内热源、稳态导热的导热微分方程；建立方程时依据的定律。
2．导热问题三类边界条件的语言叙述及数学表达式。
3．导温系数定义、物理意义、与导热系数的异同。
三、通过平壁、圆筒壁、球壳和肋片的一维稳态导热1．平壁的导热单层平壁温度分布、热阻、热流密度、热流量计算及温度分布特点；多层平壁热阻、热流密度、热流量、界面温度计算；串联热阻叠加原则及使用条件。
2．圆筒壁的导热单层圆筒壁温度分布、热阻、热流量、单位管长的导热热流量计算；多层圆筒壁热阻、热流量、单位管长的导热热流量、界面温度计算。
3．球壳的导热球壳温度分布、热阻、热流量计算。
4．肋片的导热肋片的作用、肋片导热的特点；过余温度概念；肋效率定义；温度分布、肋片散热量的计算；套管温度计测温误差原因及降低测温误差措施。
对流换热一、对流换热概说1．研究对流换热的目的、牛顿冷却公式的定义式、符号、意义；表面传热系数与何因素有关。
2．影响对流换热的因素。
3．对流换热的分类。
4．对流换热微分方程与导热问题第三类边界条件的区别。
二、对流换热问题的数学描写（对流换热微分方程组）建立对流换热能量微分方程、质量方程、动量守恒方程的意义。
三、对流换热的边界层1．粘性流体、层流与湍流、层流底层等概念；临界雷诺数及其作用；流体流过平板时的临界雷诺数数值、流体流过圆管时的临界雷诺数数值。
传热学知识点复习
传热学1.热力学三大定律+第零定律① 热力学第一定律：一个热力学系统的内能增量等于外界向他传递的热量与外界对他做功的和。
② 热力学第二定律：克劳修斯表述：热量可以自发地从较热的物体传递到较冷的物体，但是反之不行。
开尔文表述：不可能从单一热源吸收热量，并将这热量变为功，而不产生其他影响。
只要温差存在的地方，就有热能从自发地从高温物体向低温物体传递。
③ 热力学第三定律：绝对零度不可能达到。
④ 热力学第零定律：如果两个热力学系统都第三个热力学系统处于热平衡状态，那么这两个系统也必定处于热平衡。
2.各个科技技术领域中遇到的的传热学问题可以大致归纳为三种类型的问题 ①强化传热 ②削弱传热 ③温度控制3.热能传递的三种方式①热传导—物体各部分之间不发生相对位移，依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的热运动而产生热能传递。
②热对流—由于流体的宏观运动二引起的流体各部分之间发生相对位移、冷热流体相互混掺所导致的热量传递。
③热辐射—物体通过电磁波来传递能量的方式。
（由于热的原因发出的辐射为热辐射）4.傅里叶定律（导热基本定律）热流密度q=-λdx dt（一维） 负号表示热量传递方向与温度升高方向相反 q —单位时间内通过某一给定面积的热量（矢量）。
λ金属>λ液体>λ气体 λ—导热系数表示材料的导热性能优劣的参数，即是一种热物性参数。
W/（m ·k ）5.自然对流与强制对流自然对流—由于流体冷热各部分的密度不同而引起的。
强制对流—流体的流动是由于水泵、风机或者其他压差作用所造成的。
Q=Ah tf tw - 表面传热系数h —不仅取决于流体物性（λρCp ）以及换热表面的形状、大小与布置海域流速密切相关。
① 水的对流传热比空气强②有相变的优于无相变的③强制对流优于自然对流6.热辐射的特点①热辐射可以在真空中传递（即无物质存在也可以传递）② 热辐射不仅产生能量传递，而且还伴随着能量形式的转换（热能—>辐射能—>热能）7.斯托芬-波尔兹曼定律φ=AT εσ4 -σ斯托芬-波尔兹曼常量 -ε物体发射率（黑度<1）8.导热机理气体导热—气体分子不规则热运动导电固体—自由电子的运动非导电固体—晶格结构振动的传递9.笛卡尔坐标系三维非稳态导热微分方程φλλλτρ+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂)()()(z t z y t y x t x t c⇒c z t y t x t a t ρφτ+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂)(222222 令a =cρλ（热扩散系数） ⇒常物性，无内热源)(222222zt y t x t a t ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂τ ⇒常物性，稳态0222222=+∂∂+∂∂+∂∂λφzt y t x t 泊松方程⇒常物性，稳态，无内热源0222222=∂∂+∂∂+∂∂zt y t x t 拉普拉斯方程10.定解条件对于非稳态导热问题⇒定解条件（初始条件+边界条件）①第一类边界条件：规定了边界上的温度②第二类边界条件：规定了边界上的热流密度③第三类边界条件：规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数及周围流体的温度。
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2、计算 （1）传热系数 平壁 圆筒壁 （2）临界绝缘直径 （3）平均对数温差 （4）换热器计算
3、 定性分析 （1）常见强化传热措施 （2）各种流型的比较 （a） （b） 逆流壁温高于顺流壁温； 逆流壁温高于顺流壁温； 之一为无穷大( （c） qm1c1与qm2c2 之一为无穷大(如有一侧凝结 或沸腾) 或沸腾)
0.8 e
Pr
0.3
λ
d
= 3275W /( m 2 ⋅ K )........... 3分） （
有一水平管道直径为200mm， 分别包有= 04W/m W/m·K 有一水平管道直径为 200mm ， 分别包有 =0.04W/m K ， 和 200mm W/m·K的保温材料，厚度分别为20mm和30mm 20mm mm， =0.05 W/m K的保温材料，厚度分别为20mm和30mm，管 内流有50 的空气，流速为10m/s，管外大气温度为10 50℃ 10m/s 10℃ 内流有50℃的空气，流速为10m/s，管外大气温度为10℃。 （管道厚度很薄，可以忽略不计） 管道厚度很薄，可以忽略不计） 管内的对流换热表面传热系数 表面传热系数。 求：1.管内的对流换热表面传热系数。 表面传热系数。 管外的对流换热表面传热系数 2.管外的对流换热表面传热系数。 每米管道的传热热阻和传热系数。 3.每米管道的传热热阻和传热系数。 每小时每米管道散热量。 4.每小时每米管道散热量。 备注： 管内流动的对流换热实验关联式: 备注：1.管内流动的对流换热实验关联式: Nu = 0.023 Re 0.8 Pr 0.4 管外横掠的对流换热实验关联式: 2.管外横掠的对流换热实验关联式: Nu = 0.174 Re 0.6 管外自然对流换热实验关联式: 3.管外自然对流换热实验关联式: Nu = 0.5(Gr ⋅ Pr)1/ 4 此关联式中定性温度取管外流体温度， Gr中的 （ 注 ： 此关联式中定性温度取管外流体温度 ， Gr 中的 Δt=5 Δt=5℃， 其中体积膨胀系数可以按管外为理想气体计算） 其中体积膨胀系数可以按管外为理想气体计算）
传热学
建筑环境与热能工程系
热动教研室
总 复 习
绪论
一、基本内容 1、 导热 2、 对流 3、 辐射 4、 传热过程分析与换热器计算
稳态导热
1、 基本概念 导热系数、导温系数(热扩散系数) 导热系数、导温系数(热扩散系数)、温度场、稳态与非 稳态换热、等温线、初始条件、三类边界条件及其数学 稳态换热、等温线、初始条件、 表达式、 接触热阻。 表达式、热阻、接触热阻。 2、基本定律 傅里叶定律： 傅里叶定律：
2、 理论 （1） 对流换热的数学描写 动量方程（ ）、能量方程 连续性方程、 能量方程、 动量方程（2个）、能量方程、连续性方程、 换热方程、边界条件 换热方程、 （2 ） （3 ） 边界层微分方程组及其求解 相似原理
什么是同类现象？ 什么是同类现象？
3、 计算 注意考虑各种修正） （1） 管槽内强制对流 （注意考虑各种修正）
习题1 多层平壁稳态导热） 习题1：（稳态导热——多层平壁稳态导热） 稳态导热 多层平壁稳态导热 锅炉炉墙由三层平壁组成， 内层是耐火砖层； 锅炉炉墙由三层平壁组成 ， 内层是耐火砖层 ； 外 层是红砖层； 两层中间填以石棉隔热层。 层是红砖层 ； 两层中间填以石棉隔热层 。 炉墙内 侧烟气温度 t f 1 = 511 ℃，烟气侧 h1 = 35W / m 2 ⋅ K t f 2 空气侧 锅炉炉墙外空气 ℃，= 22 ； 。
辐射强度、定向辐射强度、 辐射强度、定向辐射强度、 角系数及其性质、 表面热阻、 空间热阻、 重辐 角系数及其性质 、 表面热阻、 空间热阻 、 射表面、复合换热。 射表面、复合换热。
2、 理论 普朗克定律: 普朗克定律: 维恩位移定律: 维恩位移定律:
，
斯蒂芬－玻尔兹曼定律 四次方定律） （四次方定律）: 兰贝特定律: 兰贝特定律: 基尔霍夫定律: 基尔霍夫定律:
六、 传热与换热器 1、概念 传热系数、辐射换热表面传热系数、 传热系数、辐射换热表面传热系数、复合换热表面传 热系数、临界绝缘直径、肋面总效率、 热系数、临界绝缘直径、肋面总效率、肋化系数
换热器的效能、传热单元数、强化换热的原则。 传热单元数、强化换热的原则。
换热器计算类型：设计计算、 换热器计算类型：设计计算、校核计算 换热器计算方法：平均温差法、效能－ 换热器计算方法：平均温差法、效能－传热单元数法
五、 辐射换热 1、 概念 黑体、灰体、 黑体、灰体、 发射率、光谱发射率、定向发射率、 发射率、光谱发射率、定向发射率、 吸收率（ 吸收率（比）、光谱吸收率（比）、 光谱吸收率（ 反射率、透射率、镜反射、漫反射、 反射率、透射率、镜反射、漫反射、
辐射力、光谱辐射力、有效辐射、投入辐射 光谱辐射力、
导热微分方程： 导热微分方程：
3、 计算 （1）平壁： 平壁：
(2)圆筒壁： (2)圆筒壁： 圆筒壁
(3)肋效率： 实际散热量/ (3)肋效率： 实际散热量/假设整个肋表面处于肋基温度下 肋效率 的散热量
等截面直肋（肋端绝热） (4) 等截面直肋（肋端绝热） θ=θ0ch(m(x-H))/ch(mH),
三、非稳态导热 1、 基本概念
毕渥准则数（Bi、Biv ）、傅立叶数（Fo 、Fov ）、 时间常数、 诺谟图。 时间常数、集总参数法及其使用条件、诺谟图。
2、 理论 一维、二维、 （1）一维、二维、三维非稳态导热问题的完整数学 描述：方程＋边界条件＋ 描述：方程＋边界条件＋初始条件 （2）Bi →0 时，非稳态导热问题的完整数学描述 （集总参数法） 集总参数法）
3、 计算 (1) 角系数 A：代数法 相对性 完整性 可加性 B：积分法 C：查图表
（2）
（2）两表面封闭体系的辐射换热量
几种特殊形式： 几种特殊形式：
A：表面1为平面或凸面 表面1
A：两表面面积相差很小
A：表面2比1大得多 表面2
（3）多表面系统的辐射传热 应用网络法进行求解
4、 分析 （1）辐射特点（与对流和导热相比） 辐射特点（与对流和导热相比） （2）黑体与黑色物体、白体与白色物体的区 黑体与黑色物体、 别 （3）基尔霍夫定律的条件 （4）减少辐射换热的方法 （5）遮热板（罩）的原理及应用 遮热板（
K=
1 1 3 δi 1 +∑ + h1 i =1 λi h2
=
1 = 0.824W / m 2 ⋅ K 1 0.23 0.05 0.24 1 + + + + 35 1.20 0.095 0.60 15
炉墙单位面积的热损失， 炉墙单位面积的热损失 ， 即通过平壁传热过程的 热流通量
q = K (t f 1 − t f 2 ) = 0.824(511 − 22) = 402.94W / m 2 1 1 tw1 = t f 1 − q = 511 − 402.92 × = 499.5°C h1 35
：
（2） 横掠单管和管束: 横掠单管和管束:
（3） 自然对流传热
:
注意：应用时注意各实验关联式的的应用范围， 注意：应用时注意各实验关联式的的应用范围， 特征尺寸和定性温度的确定。 特征尺寸和定性温度的确定。
4、 分析
（1）影响对流换热系数的因素
（2）根据边界层画出各类对流换热局部对流换热 系数曲线 （3）管内强制对流进行管长、弯管及其温度修正 管内强制对流进行管长、 的原因 （4） 自然对流换热中换热的特点 （5） 珠状凝结换热为何强于膜态凝结 膜状凝结中横管与竖管的h （6） 膜状凝结中横管与竖管的h的大小 （7） 大容器饱和沸腾曲线
习题2 集总参数法） 习题2：（非稳态导热——集总参数法） 非稳态导热 集总参数法 将初始温度为400℃ 重量为40 40g 将初始温度为400℃，重量为40g的铝球突然抛入 400 15℃的空气中。已知对流换热表面传热系数h= h=40 15℃的空气中。已知对流换热表面传热系数h=40 ρ=2700 2700kg/m W/m2·K ， 铝 的 物 性 参 数 为 ρ=2700kg/m3 ， K c=0 kJ/kg·K λ=240W/m·K 240W/m c=0.9 kJ/kg K ， λ=240W/m K 。 试用集总参数 法确定该铝球由400 降至100 所需的时间。 400℃ 100℃ 法确定该铝球由 400℃ 降至 100℃ 所需的时间 。 忽略辐射换热） （忽略辐射换热）
试求① 通过该炉墙的热损失 ？ ② 炉墙内表面的温 h2 ① 通过该炉墙的热损失？ 试求= 15W / m 2 ⋅ K 度？
δ1 = 0.23m, λ1 = 1.20W / m ⋅ K δ 2 = 0.05m, λ2 = 0.095W / m ⋅ K δ 3 = 0.24m, λ3 = 0.60W / m ⋅ K
初温为100 的热水， 流经内径为16mm、 100℃ 16mm 2 、 初温为 100℃ 的热水 ， 流经内径为 16mm 、 壁 厚为1mm的管子 出口温度为80 的管子， 80℃ 厚为1mm的管子，出口温度为80℃；与管外冷水的 总换热量为350kW， 试计算管内平均换热系数。 350kW 总换热量为 350kW ， 试计算管内平均换热系数 。 10分 （10分） 准则方程： 准则方程：
Nu = 0.023Re0.8 ⋅ Pr0.3 ...........................(旺盛湍流Re 〉104） d ) 3 (η f )0.14 ...........(层流R 〈 2300) Nu = 1.86( Re ⋅ Pr ⋅ e L η w
1
：
cp kJ /(kg ⋅ K )
4 m 3 π R = , m = 40 g , ρ = 2700kg / m3 3 ρ R ≈ 15mm 40 × 0.015 Bi = = = 0.0025 < 0.1 240 λ hR
可以用集总参数法来求解： 可以用集总参数法来求解：