立体几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲：立体几何

1、（2010一试7）正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin 【答案】10

4

【解析】

O

E

P

C 1B 1

A 1

C

B

A

设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则

⎪⎩⎪⎨

⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,

022111111z y x BP m z x BA m ⎪⎩⎪⎨

⎧=-+-=⋅=-=⋅,

03,

022221211z y x P B n x A B n 由此可设)3,1,0(),1,0,1(==n m ，所以cos m n m n α⋅=⋅，即

6322cos cos 4αα=⋅⇒=

.所以4

10

sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, .

设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ .

11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 .

过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .

连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得

3,2,5111=====PO O B O A PA PB .

在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11,即5

6,532=

∴⋅=

⋅OE OE .

221116452,255B O B E B O OE =∴=+=+

=又.4

105

542sin sin 111===∠=E B O B EO B α.

2、（2011一试6）在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 【答案】3 【解析】

因为︒=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得3

2sin ,3

1cos =

=θθ．

在△DMN 中，332

33232,121=⋅⋅=⋅===

DP DN CD DM ．学科*网 由余弦定理得23

1

312)3(1222=⋅⋅⋅-+=MN ，

故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径

33

22sin ===

θ

MN

OD ．故球O 的半径3=R ．

3、（2012一试5）设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的

侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是． 【答案】4 【解析】

,从而1

2

PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥ 所以2

,AP PH QH =⋅即21.2

AH AH QH =⋅

所以24.QH AH MH ==,故tan 4QH

QMH MH

∠==

4、（2013一试4）已知正三棱锥P ABC -底面边长为1，高为2，则其内切球半径为. 【答案】2

6

【解析】

B

C

H

M

A

O

K

P

如图，设球心O 在面ABC 与面ABP 内的射影分别为H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则P K M 、、共线，P O H 、、共线，2

PHM PKO π

∠=∠=

，且OH OK r ==,

2PO PH OH r =-=，33MH =,22153

212PM MH PH +=+1

sin 5

2OK MH KPO PO PM r

=

=∠==-，解得26r =.

5、（2014一试5）已知正四棱锥ABCD P -中，侧面是边长为1的正三角形，N M ,分别是边BC AB ,的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是_____________. 【答案】

2

4

6、（2016一试5）设P 为一圆锥的顶点，A ，B ，C 是其底面圆周上的三点，满足ABC ∠=90°，M 为AP 的中点.若AB =1，AC =2，2=AP ，则二面角M —BC —A 的大小为 .

【答案】3

2

arctan 【解析】

由ABC ∠=90°知，AC 为底面圆的直径.设底面中心为O ，则⊥PO 平面ABC ，易知12

1

==

AC AO ，进而122=-=AO AP PO .

设H 为M 在底面上的射影，则H 为AO 的中点.在底面中作BC HK ⊥于点K ，则由三垂线定理知BC MK ⊥，从而MKH ∠为二面角M —BC —A 的平面角.

因21==AH MH ，结合HK 与AB 平行知，43==AC HC AB HK ，即43=HK ，这样3

2

tan ==∠HK MH MKH .故二面角M —BC —A 的大小为3

2

arctan .

7、（2017一试5）正三棱锥P ABC -中，1,2,AB AP ==过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面