4机械臂的雅可比-机器人技术基础(熊有伦)
机器人技术华中科技大学熊有伦复习提纲及部分题库详细解答教材
机器人技术复习提纲一．简答题1.机器人内部传感器与外部传感器的作用是什么，它们都包括哪些？答：内部传感器主要用于检测机器人自身状态；包括位移传感器角数字编码器、角速度传感器；外部传感器主要用于检测机器人所处的外部环境和对象状况等；包括：力或力矩传感器触觉传感器、接近绝传感器、滑觉传感器、视觉传感器、听觉传感器、嗅觉传感器、味觉传感器。
2.机器人的速度与加速度测量都常用哪些传感器？答：速度：测速发电机、增量式码盘；加速度：压电式加速度传感器、压阻式加速度传感器。
3.机器人的力觉传感器有哪几种，机器人中哪些方面会用到力觉传感器？答：种类：电阻应变片式、压电式、电容式、电感式、各种外力式传感器。
有三方面：1.装在关节驱动器上的力传感器。
2.装在末端执行器和机器人最后一个关节之间的力传感器。
3.装在机器人手抓指关节上的力传感器。
4.机器人的视觉传感器常用哪些方法，图像如何获取和处理？答：图像的获取：1.照明2.图像聚焦成像3.图形处理形成输出信号。
处理：1.图像的增强2.图像的平滑3.图像的数据编码和传输4.边缘锐化5.图像的分割。
5.能否设想一下，一个高智能类人机器人大约会用到哪些传感器技术？答：位置传感器，速度传感器，触觉传感器，接近觉传感器，视觉传感器，听觉传感器，嗅觉传感器，味觉传感器。
6.编码器有哪两种基本形式？各自特点是什么？两种基本形式：增量式、绝对式增量式：用来测量角位置和直线位置的变化，但不能直接记录或指示位置的实际值。
在所有利用增量式编码器进行位置跟踪的系统中，都必须在系统开始运行时进行复位。
绝对式：每个位置都对应着透光与不透光弧段的惟一确定组合，这种确定组合有惟一的特征。
通过这特征，在任意时刻都可以确定码盘的精确位置。
7.简述直流电动机两种控制的基本原理答：直流伺服电动机的控制方式主要有两种：一种是电枢电压控制，即在定子磁场不变的情况下，通过控制施加在电枢绕组两端的电压信号来控制电动机的转速和输出转矩，定子磁场保持不变，其电枢电流可以达到额定值，相应的输出转矩也可以达到额定值，因而这种方式又被称为恒转矩调速方式。
3.4机器人运动学雅可比矩阵
r f ( )
一般情况：
r f ( )
T m1 n1
r r1 , r2 , , rm R
1 , 2 , , n R
rj f j (1,2 ,,n )
j 1,2,, m
若n>m，手爪位置的关节变量有无限 个解，通常工业用机器人有3个位置变量 和3个姿态变量，共6个自由度（变量）。
f1 n m n R f m n
2、与平移速度有关的雅可比矩阵
相对于指尖坐标系的平移速度，是通过把坐标 原点固定在指尖上，指尖坐标系相对于基准坐 标系的平移速度来描述
O0 x0 y0 z0 Oe xe ye ze
：基准坐标系
：指尖坐标系
机器人雅可比矩阵机器人运动学机器人逆运动学雅可比矩阵matlab雅可比矩阵机器人正逆运动学雅克比矩阵机器人雅可比迭代矩阵家可比矩阵安堂机器人
3.4
机器人的雅可比矩阵
微分运动与速度
1、
微分运动指机构的微小运动，可用来推导不 同部件之间的速度关系。 机器人每个关节坐标系的微分运动，导致机 器人手部坐标系的微分运动，包括微分平移与微 分旋转运动。将讨论指尖运动速度与各关节运动 速度的关系。 前面介绍过机器人运动学正问题
J J1 J2
nm6
r f ( )
对位置方程进行求微分得：
dr J d r J dt dt
两边乘以dt，可得到微小位移之间的关系式
dr Jd
J 表示了手爪的速度与关节速度之间关系， 称之为雅克比矩阵。
f1 1 f J T f m 1
ze
z0
P e
Oe
xe
机器人技术基础实验报告
实验一、Matlab 验证斯坦福机械手雅可比矩阵 一、实验目的1.加深对雅可比矩阵的认识，熟练其计算原理；2.熟练掌握D-H 连杆坐标系的确定方法和过程及各种变换矩阵；3.熟悉Matlab 的操作与运用。
二、实验原理对机械手的操作和控制，除了需要确定机械手操作空间与关节空间之间静态位资的映射转换关系以外，还需要对某一时刻机械手运动速度和关节速度之间的关系进行转换和分析，也就是机械手瞬时速度分析。
而我们利用雅可比矩阵来对机械手的速度进行了分析。
其中雅可比矩阵包括了两个方面：1.雅可比矩阵平移速度部分的分析；2.雅可比矩阵旋转速度部分的分析。
T 矩阵由以下公式计算可得：1111111111s 0001iii i i i i i i i i ii i i i i i c a s c c c s s d T s s c s c c d θθθαθαααθαθααα-----------⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、实验步骤1、已知计算各级T 矩阵665544445436546655221132210321220000000010001000000000100001000100011000000000100101000001001---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-c s c s c s s c T T T s c s c c s c s d d T T T s c 1100001001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦s c 2、计算出各连杆坐标系到基坐标系0的变换矩阵：11110111212112112121121022221211213212121121321203222000000001010010000000100-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦---+++=-可知可知c s s c T z c c c s s s d s s c s s c c d c T z s c c c s c s c d s s d s c c s s s d s c d T s c c d 12123320010⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦可知c s s s z c 1241412414121231212414124141212312042424223124141251241451251241412312124145050001()()()----⎡⎤⎢⎥+-++⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦--------+-=++c c c s s c c s s c c s c s d s d s c c c s s c s c c s s s s d c d T s c s s c c d c c c s s c s s c c c s s s c s c c c s s c c s d s d s c c c s c s T 12512414512512414123122423124514512512312124514512512312062455223()2452524525000112345600⎡⎤⎢⎥-+--+--+++⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-+-++++=-s s s c c c s s s s c s c s c c s s d c d s c c c s s c s c c s s c d X X c c c s s s s c s c c s d s d X X s c c s c s s s s c s s d c d T X X s c s c c c d 01⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Matlab 计算过程如下：>> clear>> syms c1 s1 c2 s2 c3 s3 c4 s4 c5 s5 c6 s6 d1 d2 d3 d4 d5 d6 a1 a2 a3 a4 a5 a6>> T10=[c1 -s1 0 0;s1 c1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1]>> T21=[c2 -s2 0 0;0 0 1 d2;-s2 -c2 0 0;0 0 0 1] >> T32=[1 0 0 0;0 0 -1 -d3;0 1 0 0;0 0 0 1] >> T43=[c4 -s4 0 0;s4 c4 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1] >> T54=[c5 -s5 0 0;0 0 1 0; -s5 -c5 0 0;0 0 0 1] >> T65=[c6 -s6 0 0;0 0 -1 0;s6 c6 0 0;0 0 0 1]>> T20=T10*T21； >> T30=T20*T32； >> T40=T30*T43； >> T50=T40*T54； >> T60=T50*T65；>> T60=simplify(T60)3、用速度矢量合成的方法计算雅可比矩阵Jv 部分：356124123456102040506016263465666124561020162631245600000⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⨯⨯=⎢⎥⎣⎦v v v v v v J J J J J J J J J J J J J z p z p z z p z p z p z z z z z z p z p z z z z z z ωωωωωω 1） 计算1016⨯z p1z 为连杆1坐标系的z 轴单位向量在基坐标系0中的描述；16p 为连杆1坐标系原点到连杆6坐标系原点连线矢量16O O，在基坐标系0中的描述，计算过程为：计算矩阵T61，T61的第四列即为16O O，由于坐标系1相对于坐标系0有绕Z 轴的转动，故需要对其进行转换，转换方法为；0116O O ⋅ R ，01R为T10中旋转部分注：Matlab 中向量叉积方法：e=cross (a,b)>> T61=T21*T32*T43*T54*T65 %计算出16O O在坐标系1中的描述>> P161=[s2*d3;d2;c2*d3]>> Rot10=[c1 -s1 0;s1 c1 0;0 0 1] %由T10知道旋转部分变换3*3矩阵 >> P160= Rot10* P161 % 与P60最后一列比较 >> z1=[0;0;1]>> e=cross(z1,P160) %可得到Jv 第一列： e =[ -s1*s2*d3-c1*d2; c1*s2*d3-s1*d2;0]2） 计算2026⨯z p2z 为连杆2坐标系的z 轴单位向量在基坐标系0中的描述；206p 为连杆2坐标系原点到连杆6坐标系原点连线矢量26O O，在基坐标系0中的描述，计算过程为：计算矩阵P62，P62的第四列即为26O O，由于坐标系2相对于坐标系0有姿态变化，故需要对其进行转换，转换方法为；0226O O ⋅ R ，02R为T20中旋转部分注：Matlab 中向量叉积方法：e=cross (a,b)>> T62= T32*T43*T54*T65 %计算出26O O在坐标系2中的描述>> P262=[0;-d3;0]>> Rot20=[c1*c2 -c1*s2 -s1;s1*c2 -s1*s2 c1;-s2 -c2 0] %由T20知旋转部分变换3*3矩阵>> P260= Rot20* P262 >> z2=[-s1;c1;0]>> e=cross(z2, P260) %可得到Jv 第一列：e =[c1*c2*d3; s1*c2*d3; -s1^2*s2*d3-c1^2*s2*d3]3） 由于连杆3坐标系为移动坐标系，故起对连杆6的速度贡献不能计算为3036⨯z p ，而应该为Z3的单位向量在基坐标系0中的表示；故由T30直接可得Jv 第三列为：1212320⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦c s s s z c4)由于坐标系4、5、6和坐标系6的坐标原点重合故对应6066)=⨯=⨯ i i ()q(q i i O i i i v z O O z p 的计算结果均为0 ，于是可得 35612412345612123123121212312312232112414124141245145125112414124141245000000000000⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦---+-=------+-+-++v v v v v v J J J J J J J J J J J J J c d s s d c c d c s s d c s d s c d s s s d c s c c s s c c c s s c c c c s s s s c s c c s c s c c s c s c c s c c s c ωωωωωω14512524242455210⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦s s s s c s s s s s c s c c 5) 用直接求导的方法验证上面Jv 的计算的正确性：在matlab 中用B=jacobian(f,v)方法直接求导可以获取雅可比矩阵四、实验总结机器人雅可比矩阵能够很好地反映出操作空间与关节空间的速度映射关系，而Matlab 则很好的简化了这种关系求导手段。
四自由度机械手臂运动学分析及雅可比矩阵求解
第 6期
吴
磊等 : 四自 由度机械手臂运动学分析及雅可比矩阵求解
765
设计提供理论依据。 1 机械手臂运动学分析 1 1 正向运动学分析 该机械手臂由 4 个转动关节和 3 个连杆组成 , 终端有一个夹持器。用 D-H 方法建立杆件坐标系。 因为无论转动关节 0 如何旋转, 关节 0 的长度对机 械手臂的运动均无影响 , 所以令基准坐标系 0 与坐 标系 1 原点重 合, 取在关 节 0 与关节 1 的交点处。 原点 O 2 位于关节 2的中心位置 , Z 2 轴沿着关节 2的 方向向右, X 2 轴垂直于关节 1 和关节 2 构成的平面 指向上方。 坐标系 3 与坐标系 4原点重合。 X 3 轴垂直 于关节 2 和关节 3 构成的平面指向上方, X 4 轴垂直 于夹持器所在平面, 如图 1 所示。
[ 2, 3] [ 1]
中, 因为引入了多余的参数 , 使方程复杂度增加, 甚 至会引起无解或者无穷多解的情况 , 需要通过 观察和经验判断才能得出正确的解 , 既给运动学分 析带来了不 便, 又 增加了 机器 人控 制程 序编写 难 度
[ 8~ 11] [ 4~ 7]
。传统建立机械
手臂坐标系的方法是将固定在大地上的笛卡尔坐标 系作为参考坐标系 。这种方法容易引入不必要 的参数 , 增加计算量 , 引起计算误差增大, 使机器人 不能够精确控制。特别是在解机器人逆运动学方程
Abstract : In order to reduce the com p le x ity of k in e m atics and inverse k in e m atics equat io n so lv ing process, i m prove th e accuracy of contro , l and ca lculate the in verse kinem at ic s equation s analyt ica l so lutio n fast and prec isely , an opt i m al m ethod o f setting th e coord in ate system has been put for w ard according to the theo ry o f a robot s 4-DOF m e chanical ar m. The k in e m atics and in verse k in em atics equat io ns of the 4 -DOF m echanical ar m w ere established based on this coord in ate system. The positions of itsm ov ing elem ents and end -effectors w ith the ir re latio nship w ere presented ; th ese m ade the robo t m ove in accordance w ith a scheduled program. F in a lly , the Jacob ia n m atrix w as solved, prov idin g theoret ical basis for realizin g the m echan ica l ar m s program desig n o f velocity control in the C arte sian space . K ey w ord s : m echanical ar m; D-H param eters ; kinem at ics; in verse k in em atics ; Jacob ian m atr ix 机器人运动学着重研究了机器人各个坐标系之 间的运动关系。为了控制机器人的运动, 首先需要 在机器人中建立相应 的坐标系
第4章 机械臂雅克比矩阵
s12 c12 0 0
0 l1c1 l2 c12 0 l1s1 l2 s12 1 0 0 1
9
机电学院机械电子工程系
机电学院机械电子工程系
南京航空航天大学
4.2 微分转动与角速度 两自由度机械手
南京航空航天大学
4.2 微分转动与角速度 两自由度机械手
x l1c1 l2c12
J 0 时，J-1矩阵至少有一个特征值趋向于无穷大。
J l1l2 sin 2
至少有一个关节的速度趋向于无穷大。
J 0 时， 2 0,180
机电学院机械电子工程系
14
机电学院机械电子工程系
15
南京航空航天大学
南京航空航天大学
在机器人学中，J是一个把关节速度向量
i 变 q
对于三维空间运行的机器人则不完全适用。从 三维空间运行的机器人运动学方程，可以获得直角 坐标位置向量 ( x, y, z )T 的显式方程，因此，J的前三 行可以直接微分求得，但不可能找到方位向量 ( x , y , z )T 的一般表达式。找不出互相独立的、无 顺序的三个转角来描述方位．绕直角坐标轴的连续 角运动变换是不可交换的，而对角位移的微分与对 角位移的形成顺序无关，故一般不能运用直接微分 法来获得J的后三行。因此，常用构造性方法求雅可 比J。
2
机电学院机械电子工程系
机电学院机械电子工程系
3
南京航空航天大学
南京航空航天大学
微分变换
为了补偿机器人末端执行器位姿与目标物体之间的 误差，以及解决两个不同坐标系之间的微位移关系问 题，需要讨论机器人杆件在作微小运动时的位姿变化。
变换的微分 假设一变换的元素是某个变量的函数，对该变换的微分就是 该变换矩阵各元素对该变量的偏导数所组成的变换矩阵乘以该变 量的微分。
机器人运动学熊有伦机器人技术基础
s
i 1
dici1
1
3.1.4操作臂运动学方程
T i1 i
{R}
{P}
变换矩阵：i1P i1RT RQT QPT PiT i P
{Q}
化简： 这里：
i 1 P
i1iT i P
T i1 i
i1RT RQT QPT PiT
根据变换 过程：
T i1 i
Rot(
c4c5s6 s4c6
c4 s 5
a3
36T
34T
46T
s5 s6
s4c5c6
c4 s6
s5s6 s4c5s6 c4c6
c5 s4 s5
d4 0
0
0
0 1
c23 s23 0 a2c2
13T
21T
23T
0
s23 0
描述连杆连接的两个参数: 1) link offset 连杆偏距di. 相邻两个连杆之间有一个公
共的关节, 沿着两个相邻连杆公共法线
线的距离可以用一个参数描 述为连杆偏2)距jodini. t angle 关节角θi. 当一i为变移量动. 关节当描时i述为,连两转杆个动偏相关距邻节为连时杆,关绕节公角共为轴一线变旋量转. 的夹角θi.
T i1 i {P}
1.坐标系{i-1}相对于坐标系{i}的变换是由连杆四个参数构成
的函数，其中只有一个变量。
{Q}
2.为求解
T i 1 i
，对每个连杆建立坐标系，分解成4个变换子
问题，每个子变换只包含一个连杆参数。
机器人雅可比矩阵
上式中，66的偏导数x 矩阵J(Jq (q)q ) 叫做雅可比矩阵。其中
Ji
jq
xi q
qj
雅可比矩阵
机器人关节数
*雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型
雅可比矩阵在机器人中的应用
可以把雅可比矩阵看作是关节的速度 q变换到 操作速度V的变换矩阵
在任何特定时刻，q具有某一特定值，J(q)就是一个 线性变换。在每一新的时刻，q已改变，线性变换 也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时变的线性变 换矩阵。
C再对时间求导，得到：
C Jq J q
J是雅克比矩阵对时间的导数，可记为
J J / q q。
用系统的运动方程替代 q，得到 C Jq J W(Q Qˆ )
设 C为零，有
J W Qˆ Jq J W Q
如果未知量数目大于方程数目，需要引入虚功原理。合法速度（不改变约束C 的速度）必须满足J q＝0。为确保约束力不做功，要求
Qˆ T q 0 q| J q 0 Qˆ 矢量满足上式要求的充分必要条件，可以表示为下面的形式
Qˆ ＝JT 其中， 是一个与C 的维数相同的矢量，JT 为 J 的转置矩阵。
为了要理解这个表达式的含义，可把矩阵 JT 视为矢量 的集合
JT
C1
q
C2 q
Cm
q
其中，每个矢量Ci/q是标量约束函数Ci的梯度矢量。 既然我们的基本要求是C＝0，这些梯度是约束超曲面的
在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是 把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联 系在一起的。
必须注意到，对于任何给定的操作臂的结构和
外形，关节速度是和操作臂末端的直角坐标速 度成线性关系，但这只是一个瞬间关系。
例4.1 平面2R机械手的运动学方程为
《机器人学》教学大纲
《机器人学》课程教学大纲、课程基本信息二、课程目标（一）总体目标:机器人学是智能制造工程专业培养计划中一门高度交叉、前沿的重要专业必修课程，融合了运动学/动力学分析、机械学、控制理论与工程、计算机技术、人工智能等多学科内容的综合性新技术应用课程.通过该课程的学习，使学生了解并掌握机器人学相关的基本理论和方法，具有现代机器人系统设计、分析、应用等基本能力和以后从事相关科学研究和技术工作的能力。
本课程针对智能制造工程专业的特点，主要介绍机器人数学基础、工业机器人、服务机播人的基本机械结构设计、运动学与动力学分析，以及机器人传感器和控制技术等基础理论和技术基础知识，并以实际工程应用为背景，安排各类机器人实样参观、专题讲座、实验等内容。
通过本课程教学，不但使学生掌握机器人技术的基本理论知识，使学生对各类机器人技术和开发方法有所了解，同时通过课程设计等活动培养其在逻辑思维、科学研究和设计实践上的能力，从而培养学生综合运用机器人技术解决智能制造领域实际工程问题的能力。
（二）课程目标：课程目标1：学习并掌握现代机器人的基本理论及方法，具有应用机器人解决工程问题的创新意识和能力；（支撑毕业要求1）课程目标2：学习并掌握工业机器人、服务机器人的状态检测和控制技术，具有利用先进控制理论和方法进行机器人控制并完成具体工程应用的能力；（支撑毕业要求2）课程目标3：学习并掌握现代机器人的总体设计、技术设计和详细结构设计及控制系统设计等内容,具有根据实际工程问题设计相应机器人解决方案的能力：（支撑毕业要求3）课程目标4：评定方法包括课后作业（15%）、实验（20%）、项目研究（15%）和期末考试（50%）环节,总评成绩以百分计，满分100分，各考核环节所占分值比例和根据具体情况微调。
2.（三）评分标准通过机器人的实验，获得相关实验设计和实验技能的基本训练，具有应用相关实验方法解决实际工程问题的能力。
（支撑毕业要求5）（三）课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系三、教学内容第1章：绪论（3学时）通过本章内容的教学，使学生了解机器人学的起源与发展，讨论机器人学的定义，分析机器人的特点、结构与分类。
机械臂雅可比矩阵角速度求解
机械臂雅可比矩阵角速度求解概述机械臂雅可比矩阵是机械臂运动学中一个重要的工具，用于描述机械臂末端执行器的速度与关节角速度之间的关系。
雅可比矩阵的角速度分析在机械臂控制和路径规划中起着重要作用。
本文将详细探讨机械臂雅可比矩阵角速度求解的原理和应用。
机械臂运动学机械臂是由若干个连杆和关节组成的多自由度机械系统，通过关节的运动实现末端执行器的空间位置和姿态变化。
机械臂运动学研究的是机械臂末端执行器在运动过程中的位置、速度、加速度和姿态等几何特性。
雅可比矩阵的定义雅可比矩阵是机械臂运动学中一个重要的矩阵，描述了机械臂末端执行器的速度与关节速度之间的关系。
雅可比矩阵的定义如下：J=[∂x∂q1∂x∂q2…∂x∂q n ∂y∂q1∂y∂q2…∂y∂q n ∂z∂q1∂z∂q2…∂z∂q n]其中，x,y,z为机械臂末端执行器的位置坐标，q1,q2,…,q n为机械臂的关节角度。
雅可比矩阵的求解雅可比矩阵的求解可以通过几何法和代数法两种方法实现。
几何法几何法通过对机械臂的几何结构进行分析推导，得到雅可比矩阵的解析表达式。
对于连杆式机械臂而言，可以通过运动链的追踪和坐标变换的方法推导雅可比矩阵。
代数法代数法通过对机械臂的运动学方程建立数学模型，通过求解方程组获得雅可比矩阵。
常用的代数法求解雅可比矩阵的方法有解析法和数值法。
雅可比矩阵角速度求解雅可比矩阵角速度求解是指在给定机械臂关节角速度的情况下，通过雅可比矩阵求解末端执行器的角速度。
根据矩阵运算的定义，末端执行器的速度v=(v x,v y,v z)T与关节角速度q̇=(q1,q2,…,q n)T之间的关系可以表示为：v=J⋅q̇其中，J为雅可比矩阵，q̇为关节角速度。
对于给定的速度v，通过求解上述线性方程组可以得到关节角速度q̇。
雅可比矩阵角速度求解的应用雅可比矩阵角速度求解在机械臂控制和路径规划中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.机械臂轨迹规划：通过给定末端执行器的轨迹，可以通过雅可比矩阵角速度求解来计算关节角速度，从而实现机械臂的轨迹规划。
4机械臂的雅可比新
dx
,
d
y
,
dz
,
x
,
y
,
z
T
d idx jd y kdz , δ ix j y k z
4.1.1微分运动
【例题】已知坐标系{A}和对基系的微分平移和微分旋转为
0 0 1 10
A 1
00
5
,d
1i
0
j
0.5k, δ
0i
0.1 j
0k
0 1 0 0
0 0 0
1
试求微分变换dA
0 0 0.1 1
(4.1)
Trans(d
x
,
d
y
,
d
z
)表示基系中微分平移d
x
,
d
y
,
d
变换，
z
Rot( f , d )表示基系中绕f 轴的微分旋转d的变换。
dT =[Trans(dx , dy , dz )Rot( f , d ) I ]T =T (4.2)
4.1.1微分运动
1 0 0 dx
Trans(d
x
据dT =T 和 dT =T T ，当两坐标系等价时，T =T T ，变换后得： T =T -1T，
4.1.1微分运动
0 z y dx nx ox ax px
T =
z
0
x
d
y
ny
oy
ay
p
y
0
y
x
0
0 0
dz 0
nz 0
oz 0
az 0
pz 1
zny + ynz
1 0 0 1
4.1.1微分运动
《机器人技术基础》课程大纲
《机器人技术基础》课程教学大纲一、课程名称（中英文）中文名称：机器人技术基础英文名称：Robotic Technology Foundation二、课程编码及性质课程编码：0801051课程性质：选修课三、学时与学分总学时：32学分：2.0四、先修课程机械原理、机械设计、材料加工工程、工业控制五、授课对象本课程面向材料成型及控制工程专业学生开设，也可以供机械科学与工程专业和机电一体化专业学生选修。
六、课程教学目的（对学生知识、能力、素质培养的贡献和作用）本课程是本专业的核心选修课程之一，其教学目的主要包括：1. 系统全面掌握机器人技术专业知识，具备应用这些知识分析、解决机器人应用中的系统集成及其自动化控制等复杂问题的能力；2. 掌握机器人概况、机器人学的数学基础、机器人运动学、机器人动力学、机器人控制原则与方法、机器人在材料成型加工中的应用以及人工智能，具备针对不同需求设计机器人集成制造/加工系统的能力；3. 理解不同机器人系统架构的特点与共性问题，掌握机器人路径规划与离线仿真分析方法，具备机器人集成系统的性能分析与评价能力；4. 了解机器人技术的发展前沿，掌握其在机械制造、材料成型、医疗、电子、航空航天与资源开发等行业的发展特点与动向，具备研发机器人制造/加工的基础与能力。
表1 课程目标对毕业要求的支撑关系七、教学重点与难点：教学重点：1）机器人应用范围非常广泛，其形式与结构等也多种多样，本课程以介绍机器人系统结构、设计与控制为主体，以讲述机器人集成制造/加工系统为重点；2）在全面了解与掌握机器人系统种类及结构特点的基础上，重点学习机器人系统设计与控制技术、机器人路径规划、离线仿真以及集成系统设计与实现；3）课程将重点或详细介绍机器人在机械制造、材料加工工程、先进制造中的典型应用，而对较普遍应用的系统仅作简要介绍或自学。
4）重点学习的章节内容包括：第3章“机器人运动学与动力学”（4学时）、第4章“机器人的驱动与控制”（4学时）、第5章“机器人轨迹规划及离线仿真”（4学时）第6章“工业机器人应用”（8学时）第7章“机器人系统集成技术”（4学时）。
(1)机器人机构学
三、教材
1、熊有伦，机器人技术基础 2、马香峰，机器人机构学
第二章 刚体位姿描述及齐次变换
§2-1 机器人操作的运动分析 1．操作机位置与姿态的确定 （1）操作机位置和姿态的描述 构件的空间位置和姿态是用该构件的位置列阵rij和姿态矩阵 Rij来描述， 或用该构件的位置矩阵Mij来描述。 （2）两杆间的位置矩阵 杆i相对与杆i-1的位姿矩阵Mi-1,i，即为坐标系i相对于坐标系i-1 的变换矩阵，此法称为D-H法。
机器人机构学电子教案
配套教材:机器人技术基础（第七版） 教材主编:熊有伦（华中理工大学）
第一章 绪论 第二章 刚体位姿描述及齐次变换 第三章 操作机的运动学 第四章 操作机雅可比 第五章 操作机动力学
第一章
绪 论
§1-1 机器人机构学简介 本课程研究对象和内容 §1-2 本课程研究对象和内容 §1-3 本课程的特点和学习要求
ϕ ω ε
s v a
第一章 绪论 第二章 刚体位姿描述及齐次变换 第三章 操作机的运动学 第四章 操作机雅可比 第五章 操 一、本课程的重要性
• 1、机器人结构方案 、 2、确定机器人主要性能指标 3、进行控制的理论基础
二、先修课程
理论力学、机械原理、矩阵分析（线性代数）
2）位姿方程的逆解 根据已给定的满足工作要求的末端执行器相对参考坐标系的 位置和姿态，求各关节的运动参数。 这是对机器进行控制的关键，因此只有使各关节按逆解中求 得的运动，才能使末端执行器获得所需的位置和姿态。 例1 RRPR型操作机的正解 例2 RRPR型操作机的逆解
§1-2 本课程研究对象和内容
一、研究对象 工业机器人、操作机 （机器人的机械装置） 工业机器人是机器人的一个重要分支，它的特点是可通 过编程完成各种预期的作业任务，在构造和性能上兼有人和 机器各自的优点，尤其是体现了人的智能和适应性，机器作 业的准确性和在各种环境中完成作业的能力。 1．工业机器人的组成及操作机
机械臂雅可比旋量计算
机械臂雅可比旋量计算摘要：I.机械臂简介- 定义与组成- 机械臂的分类及应用II.雅可比矩阵- 定义与作用- 雅可比矩阵的性质III.机械臂雅可比旋量计算- 计算方法- 举例说明IV.计算过程中的注意事项- 关节速度与末端效应器速度的区别- 矢量积求法的应用V.机械臂雅可比旋量计算在实际应用中的意义- 提高机械臂运动精度- 优化控制系统正文：机械臂是一种具有多个自由度的机器人执行器，广泛应用于工业、医疗、农业等领域。
机械臂由多个关节和连杆组成，能够实现末端执行器的运动和姿态控制。
在机械臂的运动控制中，雅可比矩阵起着至关重要的作用。
雅可比矩阵是一种数学工具，用于描述关节空间速度与末端效应器速度之间的转换关系。
它是一个对称矩阵，具有行列式为1、半正定、正定性等性质。
在机械臂运动控制中，雅可比矩阵可以帮助我们计算出末端执行器在各个关节运动下的速度和加速度，从而实现精确控制。
机械臂雅可比旋量计算是机械臂运动控制中的关键环节。
根据不同的机械臂结构，计算方法有所不同。
一般来说，可以通过以下步骤进行计算：1.建立机械臂的关节空间和笛卡尔空间；2.计算各个关节的旋转矩阵；3.计算雅可比矩阵；4.根据需要，对雅可比矩阵进行逆运算，得到末端效应器的速度和加速度。
在计算过程中，需要注意关节速度与末端效应器速度的区别。
关节速度是关节在单位时间内的转角，而末端效应器速度是末端执行器在单位时间内的位移。
此外，在计算雅可比矩阵时，可以采用矢量积求法，以简化计算过程。
机械臂雅可比旋量计算在实际应用中具有重要意义。
首先，它可以帮助我们提高机械臂的运动精度，实现更加精确的控制。
其次，通过计算雅可比旋量，我们可以优化控制系统，提高机械臂的性能。
总之，机械臂雅可比旋量计算是机械臂运动控制中的关键环节，对于提高机械臂性能具有重要意义。
机器人技术基础(熊有伦)复习资料
第一章1机器人组成系统的4大部分：机构部分、传感器组、控制部分、信息处理部分2机器人学的主要研究内容：研究机器人的控制与被处理物体间的相互关系3机器人的驱动方式：液压、气动、电动4机器人行走机构的基本形式：足式、蛇形式、轮式、履带式5机器人的定义：由各种外部传感器引导的、带有一个或多个末端执行器、通过可编程运动，在其工作空间内对真实物体进行操作的软件可控的机械装置6机器人的分类：1工业机器人2极限环境作业机器人3医疗福利机器人7操作臂工作空间形式：1直角坐标式机器人2圆柱坐标式机器人3球坐标式机器人4 scara机器人5关节式机器人8机器人三原则第一条：机器人不得伤害人类.第二条：机器人必须服从人类的命令，除非这条命令与第一条相矛盾。
第三条：机器人必须保护自己，除非这种保护与以上两条相矛盾。
第二章1、什么是位姿：刚体参考点的位置和姿态2、RPY角与欧拉角的共同点：绕固定轴旋转的顺序与绕运动轴旋转的顺序相反并且旋转角度相同，能得到相同的变换矩阵，都是用三个变量描述。
欧拉角为左乘RPY角为右乘。
RPY中绕x旋转为偏转绕y旋转为俯仰绕z旋转为回转3 、矩阵的左乘与右乘：左乘（变换从右向左）—指明运动相对于固定坐标系右乘（变换从左向右）—指明运动相对于运动坐标系4、齐次变换T A B ：表示同一点相对于不同坐标系{B}和{A}的变换，描述{B}相对于{A}的位姿5、自由矢量：完全由他的维数、大小、方向，三要素所规定的矢量6、线矢量：由维数、大小、方向、作用线，四要素所规定的矢量7、齐次变换矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10000B A A B A B P RT 8、其次坐标变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1100010P P R P B B A A B A R A B 为旋转矩阵0B A P 为{B}的原点相对{A}的位置矢量9、旋转矩阵：绕x 轴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-a a a a cos sin 0sin cos 0001y 轴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-a a a a cos 0sin 010sin 0cos z 轴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000cos sin 0sin cos a a a a 10、变换矩阵求逆：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=100B A T A B T A B B A P R R T 已知B 相对于A 的描述求A 相对于B 的描述11、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==1000B A C B A B B C A B B C A B A C P P R R R T T T 12、运动学方程T T T P R p p p o o o a a a n n n p o a n n n n n z y x z y x z y x z y x 1120100..1010001000-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 第三章 1、操作臂运动学研究的是手臂各连杆间的位移、速度、加速度关系3、运动学反解方法：反变换法、几何法、pieper 解法4、大多数工业机器人满足封闭解的两个充分条件之一三个相邻关节轴，1交于一点2相互平行5、连杆参数：1、()的距离公法线沿（连杆的关节轴）到从111x z z ---=i i i i a 2、旋转的角度绕到从111x z z ---=i i i i α 3、的距离沿到从i i i id z x x 1-= 4、旋转的角度绕到从i i i i z x x 1-=θ6、连杆变换通式：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=----------100001111111111i i i i i i i i i i i i i i i i i i i c d c s c s s s d s c c c s a s c T αααθαθαααθαθθθ 7、灵活空间：机器人手抓能以任意方位到达的目标点的集合8、可达空间：机器人手抓至少一个方位到达的目标点的集合工作空间：反解存在的区域就是工作空间9、机器人操作臂运动学反解数决定于：关节数、连杆参数、关节的活动范围10、操作臂运动学反解方法有1封闭解法（获得封闭解的方法有代数解、几何解）2数值解法。
操作臂的雅可比
4.1 雅可比矩阵的定义 4.2 机器人的微分运动和广义速度 4.3 雅可比矩阵的构造 4.4 机器人雅可比矩阵计算实例 4.5 力雅可比 4.6 奇异性和灵巧度 4.7 刚度和变形 4.8 误差标定和补偿 4.9 小结
1
前面我们建立了操作臂的运动学方程，实际 上是建立了机器人操作臂在操作与关节空间中的 位移关系。通过求解运动方程的反解，建立了两 个空间的映射关系。
Rot(k , d )
Rot(x,x)Rot( y,y)Rot(z,z)
1 kzd kyd 0 1 z y 0
即
k z d
1
kxd
0
z
1 x 0
k y d
0
kxd
0
1 0 y x 1 0
0
1
1 0 y 0 1 0 y 0
Rot(x,x)Rot( y,y) xy
1
x
0
0
1 x 0
y x 1 0 y x 1 0
0
0
0
1
0
0
0 1
1 xy y 0 1 0 y 0
本章在位移分析的基础上，进行速度分析， 研究操作空间与关节空间的速度间的线性映射关 系–––雅可比矩阵 雅可比(Jacobian)。
雅可比不仅表示了两个空间之间的速度线性 映射关系，也表示两空间的力的传递关系。
为进行速度分析，要利用到微分运动的概念。
2
机器人的操作与控制，常涉及到机械手位姿的微小 变化。这些变化可由描述机械手位姿的T 的微小变化来 表示。在数学上，这种微小变化可用微分变化来表达。
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(4.4)
y T x
T
x
0
0 0
dx T dy T dz 0
T
4.1.1微分运动
刚体或坐标系的微分运动矢量由微分移动矢量和微分转动矢 量组成 T d
D
dx , d y , dz , x , y , z δ
d id x jd y kd z , δ i x j y k z
0
f z f x vers f y s f z f y vers f x s f z f z vers c 0
0 0 0 1
对于微分变化， limsin ,limcos 1,lim vers 0, 代入上式
1 f d Rot ( f , d ) z f y d 0 f z d 1 f x d 0 f y d f x d 1 0 0 0 0 1
4.1.1微分运动
Trans (d x , d y , d z ) Rot ( f , d ) I 0 0 dx 1 f z d f y d 0 1 0 f d 0 1 1 0 dy 1 f d 0 x z 0 1 d z f y d f x d 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 f z d f y d d x 0 0 z y f d 0 f x d d y 0 x z z f y d f x d 0 dz y x 0 0 0 0 0 1 0 = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
f x f x vers c f f vers f s z Rot ( f , ) x y f x f z vers f y s 0
0 0
f y f x vers f z s f y f y vers c f y f z vers f x s 0
4.1.1微分运动
【例题】已知坐标系{A}和对基系的微分平移和微分旋转为
0 0 1 10 1 0 0 5 , d 1i 0 j 0.5k , δ 0i 0.1 j 0k A 0 1 0 0 0 0 0 1 试求微分变换dA 0 0 0.1 1 0 0 0 0 ，由dT T , 解： = -0.1 0 0 0.5 1 0 0 0.1 1 0 0 1 10 0 0.1 0 0 0 0 0 00 00 1 0 0 5 0 0 0 0 有dA A -0.1 0 0 0.5 0 1 0 0 0 0 0.1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
z a y + y az z ax + x az z a y + y az 0
( δ o) x ( δ o) y ( δ o) z 0
(δ p d ) x (δ p d ) y (δ p d ) z 0
4.1.1微分运动和广义速度
ny oy ay 0 0 0
nz oz az 0 0 0
( p n) x ( p o) x ( p a)x nx ox ax
( p n) y ( p o) y ( p a) y ny oy ay
( p n) z d x d ( p o) z y ( p a)z d z nz x oz y az z
d y =δ ( p o) d o T d x T d z =δ ( p a ) d a T d y
T T T
x =δ n， y =δ o， z =δ a
nx o x T d z ax T x 0 T y 0 T z 0
dT =[Trans(d x , d y , d z ) Rot ( f , d ) I ]T =T (4.2)
(4.1)
4.1.1微分运动
1 0 Trans(d x , d y , d z ) 0 0 0 1 0 0 0 dx 0 dy , 微分平移矢量d id x jd y kd z 1 dz 0 1
T
由a (b c) b (c a), a (a c) 0
4.1.1微分运动和广义速度 d =δ ( p n) d n d =n ((δ p) d )
T T x x
由矢量性质a (b c ) c (a b)
0 T z T z 0 T 对比 T y T x 0 0 T d x =δ ( p n) d n
z ny + y nz n + n = z x x z z ny + y nz 0 (δ n) x (δ n) y = (δ n) z 0
z oy + y oz z ox + x oz z oy + y oz 0 (δ a ) x (δ a ) y (δ a ) z 0
dT =T [Trans( T d x , T d y , T d z ) Rot ( T f , d ) I ] T T
0 T z T 类似地可得： T y 0 T z 0
T
(4.3)
Trans( T d x , T d y , T d z )表示对于给定坐标系{T }的微分平移变换，
工业机器人技术
机电工程学院 黎萍
4. 操作臂的雅可比
在位移研究的基础上，进行速度分析，研究操作空间速度
与关节空间速度之间的线性映射关系----雅可比矩阵。
4.1 雅可比矩阵
4.2 力雅可比 4.3 雅可比的若干问题讨论
4.1 雅可比矩阵
• 微分运动 • 雅可比矩阵的定义及意义 • 雅可比矩阵的构造
0
0
0
dx dy dz 0
绕f 的微分旋转d 等价于分别绕三个轴x, y和z的微分旋转， x， y 和 z f x d x , f y d y , f z d z
4.1.1微分运动
也可用对于给定坐标系{T }的微分平移和微分旋转来表示微分变换 T +dT =TTrans( T d x , T d y , T d z ) Rot ( T f , d ) Rot ( T f , d )表示给定坐标系绕f 轴的微分旋转d 的变换。
4.1.1微分运动
则相对坐标系{T}的微分运动为：
d x nx o T dy x T d z ax T x 0 T y 0 T z 0
T
y T x
T
0 0
T T d y =δ ( p o) d o d y =o (( δ p) d ) T 0 δ a Tδ o δ δ ( p n ) d n d x T d =δ ( p a ) d a d = a (( p ) d ) z z δa T 0 δ n δ ( p o ) d o d T T T y = δ n ， 和 x =n δ， x T δ o δ n T 0 δ ( p a) d a d zT y =o δ， y =δ o， 0 0 0 0 0 T =δ a T =a δ z z
y x
0 0
x
0
d x nx n dy y d z nz 0 0
ox oy oz 0
ax ay az 0
px py pz 1
z p y + y pz +d x z px + x pz +d y y px + x p y +d z 0
• PUMA560的雅可比
4.1.1微分运动
对机械手进行操作时，经常涉及到机械手位置或姿态的微小 变化，这些变化可由描述机械手位置的齐次变换矩阵的微小 变化来表示。
把对于一个坐标系微分旋转
已知坐标系{T },可表示T +dT 为 T +dT =Trans( d x , d y , d z ) Rot ( f , d )T Trans(d x , d y , d z )表示基系中微分平移d x , d y , d z 变换， Rot ( f , d )表示基系中绕f 轴的微分旋转d 的变换。
T -1T 0 n δ p (n (o ) n) δ (a n) δ (( p n )d n p d ) n n δ ( δ o ) δ a ) ( δ n x y z x x x x o δ o (δ n (n o o) o p0 δ (( o a )) δ ( p o )d o p d ) ) δ o ( δ a ) ( δ y z y y y y =x = p d ) δa (a an) a δ ( o a ) n) 0 δ (( p a )d a a p ( δ ( δ o ) δ a ) ( δ x y z z z z z 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 n) δ a(δ δ ( pa d n n o )o n δ (δ ) n) n (δ p d ) (δ n δa o 0 δ n δ ( p o ) d o ( δ n ) o ( δ o ) o ( δ a ) o ( δ p d ) = a on) δ a n ( pa d a (δ δ (δ o0 ) a δ (δ ) a )a (δ p d ) 0 0 0 0 0 0 0 0