离散时间傅里叶变换.

第3章 离散时间傅里叶变换

在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。

3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质

3.1.1 非周期序列傅里叶变换

1．定义

一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：

正变换： ∑∞

-∞

=ω-ω

=

=n n

j j e

n x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)

反变换： ⎰

π

π

-ωωω-ωπ

=

=d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)

记为：

)()(ω−→←j F

e X n x

当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。

[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 解：由定义式(3-1-1)可得

ωω=--=--==

=

ω-ω-ωω-ω-ωω-ω

-ω-ω-=ω-∞

-∞

=ω

∑∑

2

1sin 3sin )()

(11)()(2

521

212133365

6j j j j j j j j j n

j n n

j n j e

e e e e e e e e e

e

n R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：

图3-1

离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。即：

∞<∑

∞

-∞

=)(n x n （3-1-3）

反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。

3.1.2 非周期序列傅里叶变换的性质

从序列傅里叶变换定义式(3-1-1)可知，非周期序列的傅里叶变换就是序列的z 变换在单位圆上的取值(当序列的z 变换在单位圆上收敛时)，即：

∑∞

-∞

=ω-=ω

=

=ωn n

j e z j e n x z X e X j )()()(

⎰

=-π=

1

||1)(21

)(z n dz z z X j

n x ⎰

ππ

-ωωωπ

=

d e e X n j j )(21

因此，非周期序列傅里叶变换的一切特性，皆可由z 变换得到。正因如此，下面所述的性质，读者可仿z 变换性质的证明方法进行证明，在这里就不一一证明了。

1. 线性

设)()]([11ω=j e X n x DTFT ，)()]([22ω=j e X n x DTFT ，则：

)()()]()([2121ωω+=+j j e bX e aX n bx n ax DTFT (3-1-4)

2．移位

设)()]([ω=j e X n x DTFT ，则：

)()]([00ωω-=-j n j e X e n n x DTFT (3-1-5)

证明：00

()[()]()j j n

n X e DTFT x n n x n n e

ωω∞

-=-∞

=-=

-∑

00

()()()

j n

n j n j n n j n j x n n e

n n n x n e e e X e ωωωωω∞

-=-∞

∞

'--=-∞

-'=

-=-'=

=∑∑

3．频移性

设)()]([ω=j e X n x DTFT ，则：

)()]([)(00ω-ωω=j n j e X n x e DTFT (3-1-6)

4．对称性

为了较方便地讨论非周期序列傅里叶变换的对称性，首先我们引入一些有关序列的基本概念—共轭对

称序列与共轭反对称序列。

若序列)(n x e 满足下式：

)()(n x n x e e -=*

(3-1-7)

则称序列)(n x e 为共轭对称序列。对实序列而言，有)()(n x n x e e -=，即序列)(n x e 为偶对称序列。

若序列)(n x o 满足下式：

)()(n x n x o o --=* (3-1-8)

则称序列)(n x o 为共轭反对称序列。对实序列而言，有)()(n x n x o o --=，即序列)(n x o 为奇对称序列。

因此，根据共轭对称序列与共轭反对称序列的定义，共轭对称序列)(n x e 和共轭反对称序列)(n x o 可由任意一个序列)(n x 按下构成

)]()([2

1)(n x n x n x e -+=* (3-1-9) )]()([2

1)(n x n x n x o --=* (3-1-10)

也就是说，对任意一个序列)(n x 都可以用共轭对称序列)(n x e 和共轭反对称序列)(n x o 之和来表示，即：

)()()(n x n x n x o e += (3-1-11)

同类可定义傅里叶变换)(ωj e X 的共轭对称分量和共轭反对称分量：

)()()(ωωω+=j o j e j e X e X e X (3-1-12)

)]()([21

)(ω-*ωω+=

j j j e e X e X e X (3-1-13) )]()([2

1)(ω-*ωω-=j j j o e X e X e X (3-1-14)

其中)(ωj e e X 称为傅里叶变换)(ωj e X 的共轭对称分量，满足)()(ω-*ω=j e j e e X e X ；)(ωj o e X 称为共轭反对称分

量，满足)()(ω-*

ω-=j o

j o e X e X 。式(3-1-12)表示序列)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 也可以分解为共轭对称分量和共轭反对称分量之和。

与序列的情况相同，若)(ωj e X 为实函数，且满足共轭对称，即)()(ω-ω=j j e X e X ，则称为频率的偶函数。若)(ωj e X 为实函数，且满足共轭反对称，即)()(ω-ω-=j j e X e X ，则称为频率的奇函数。

若对式(3-1-9)、式(3-1-10)和式(3-1-11)两边进行序列傅里叶变换，可得序列)(n x 有如下性质： (1) 序列)(n x 的实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量，即

)()]}({Re[ω=j e e X n x DTFT (3-1-15)

(2) 序列)(n x 的虚部乘j 后的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量，即