离散时间傅里叶变换.
离散时间傅里叶变换
8 / 3
8 / 3
2020/8/19
X e j X s j /Ts
4 / 3 2 / 3
2 / 3 4 / 3 2 8 / 3
X e j X s j /Ts
4 / 3 2 / 3
2 / 3 4 / 3 2 8 / 3
电气信息工程学院
Digital Signal Processing
2.2 离散时间傅里叶变换 2.2 离散时间傅里叶变换
2020/8/19
DTFT定义 IDTFT定义 性质
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Digital Signal Processing
性 质
2020/8/19
2.2 离散时间傅里叶变换
周期性 对称性
线性 移位 时间翻转 调制 卷积 能量守恒
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2.3 连续信号FT与DTFT
xs (t) xa (t)sa (t) xa (nTs ) (t nTs ) n
FT
(t nTs ) FT e jnTs
X s ( j)
xa (nTs )e jnTs
n
DTFT
x(n) xa (nTs )
X (e j ) x(n)e jn xa (nTs )e jn
2.3 连续信号FT与DTFT
xs (t) xa (t)sa (t)
卷积
X s ( j)
1
2
X a ( j) Sa ( j)
1 2
[
2 Ts
X a ( j) ( ks )]
k
1
Ts
X a ( j ) ( ks )d
k
1
Ts k
离散时间傅里叶变换
X
(e
j
)
sin
N1
sin
1 2
2
连续时间非周期矩形脉冲傅里叶变换： X(j)2sinT1
4. x[n][n]
X(ej) 1
Xej xnejn nejn1
n
n
20
三、离散时间傅里叶变换的收敛性
例5.1，5.2是无限长序列
x[n]a|n|,|a|1; 其傅里叶变换存在。 x[n]anu[n]|,a|1
X * ( e j ) X ( e j )即,X * ( e j ) X ( e j )
因此:
X (ej)X (e j) RX ( e ej) RX ( e e j) X (ej) X (e j) Im X (ej) Im X (e j)
❖ 若 x[n] 是实偶信号,则 x[n]x[n],
x% [n]X(ej)
ak2(k02l) kN l
23
如图P263 Fig5.9:下页
X (e j ) 2 a 0 ( 2 l) 2 a 1 (0 2 l)
l
l
.. .2aN1 ((N1)02l) ,02/N l
如果周期函数中包含连续相继的N次谐波，则有：
X(ej)2k ak(2N k)
调制特性在信息传输中是极其重要的。
一定是以 2 为周期的,因此,频域的冲激应该是周
期性的冲激串:
2（0 2k）
k
对其作反变换有
xn 1 X ej ejnd
2 2
0 ejnd ej0n
2
22
可见, 2（ 02k） F 1 ej0n k
由DFS ,有 ~ xnkNakejk0n,02N
因此,周期信号 ~xn 可表示为DTFT
§5-6 离散时间傅里叶变换----DTFT
《信号与系统》
Electronic Technology Teaching & Research Section
二、离散时间傅里叶变换的举例
1、单边指数序列 于是
X (e ) =
jω ∞ n = −∞
x ( n)
a>0 0
1 2 3 45
x ( n) = a n u ( n)
− jω n
a <1
n − jωቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
π
《信号与系统》
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于是，我们得到一对变换关系：
X ( e ) = DTFT { x ( n )} =
jω − jω n x ( n ) e -------DTFT变换式 ∑ ∞
n = −∞
π
1 jω jω jωn x(n) = IDTFT{X (e )} = X ( e ) e dω -------DTFT反变换式 ∫ 2π −π
5、奇、偶、虚、实性 设
DTFT x ( n ) = x r ( n ) + jx i ( n ) ←⎯ ⎯→ X ( e jω ) = X R ( ω) + jX I ( ω)
= X ( e jω ) e jϕ ( ω )
当x(n)是实序列，即 则
x(n) = x* (n)
X ( e jω ) = X * ( e − jω )
ω
0
π
2π
ω
《信号与系统》
Electronic Technology Teaching & Research Section
DTFT x ( n ) ← ⎯ ⎯→ X ( e jω ) 例题：设
第3章离散时间傅里叶变换
第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
离散时间傅里叶变换
离散时间傅⾥叶变换1. 离散时间傅⾥叶变换的导出针对离散时间⾮周期序列，为了建⽴它的傅⾥叶变换表⽰，我们将采⽤与连续情况下完全类似的步骤进⾏。
考虑某⼀序列x[n]，它具有有限持续期；也就是说，对于某个整数N1和N2，在 −N1⩽以外，x[n]=0。
下图给出了这种类型的⼀个信号。
由这个⾮周期信号可以构成⼀个周期序列\tilde x[n]，使x[n]就是\tilde x[n]的⼀个周期。
随着N的增⼤，x[n]就在⼀个更长的时间间隔内与\tilde x[n]相⼀致。
⽽当N\to \infty，对任意有限时间值n⽽⾔，有\tilde x[n]=x[n]。
现在我们来考虑⼀下\tilde x[n]的傅⾥叶级数表⽰式\tag{1}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)}a_ke^{jk{(2\pi/N)}n}\tag{2}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=(N)} \tilde x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}因为在-N_1 \leqslant N \leqslant N_2区间的⼀个周期上\tilde x[n]=x[n]，因此我们将上式的求和区间就选在这个周期上\tag{3}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} = \frac{1}{N} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}现定义函数\tag{4}X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}可见这些系数a_k正⽐于X(e^{j\omega})的各样本值，即\tag{5}a_k = \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})式中，\omega_0=2\pi/N⽤来记作在频域中的样本间隔。
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
数字信号处理____第二章 离散时间傅里叶变换(DTFT)
x a (t )e
st
e
jk
2 T
t
dt
用傅里叶级数表示
即：Z变换可看成是x(n)乘以指数序列r-n后的傅里叶变换。 2、单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换
X a ( s jk s )
k
周期延拓
z re
j
r 1 z e
j
X (z)
ze
sT
X (e
M N
y (n)
m 0
bm x (n m )
k 1
ak y (n k )
23
24
4
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
2、变换域中的表述 用系统函数H(z)来表征（指明收敛域）
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
用频率响应来H(ejω)表征
H (e
x ( n )e
j ( n )
]
X (e
*
j
)
满足共轭反对称性
X o (e
j
) X o (e
)
19
20
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
4、信号的实部和虚部的傅里叶变换
x ( n ) Re[ x ( n )] j Im[ x ( n )]
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
j
)] X e ( e
j
)
Im[ X ( e
j
)] Im[ X ( e
j
奇函数
j Im[ x ( n )]
1 2
[ x ( n ) x ( n )] 1 2
离散时间序列的傅里叶变换
傅里叶变换： 傅里叶反变换：
F ( j ) f ( t )e jt dt
1 f (t ) 2
F ( j )e jt d
一、离散序列傅里叶变换DTFT公式
F (e j ) F ( z )
T
z e jT
F (e j )
围内。
四、几种特殊的离散时间系统：
低通、高通、带通、带阻
全通系统
最小相位系统 最小相位系统：极零点全部在单位圆内。
全通
1) m=n;
2)
H (e j ) H 0 H ( z) |z 1
全通系统：对任意频率的离散正弦时间信号都有相同的幅
频响应，除了在z=0处的极点外，其余的极点和零点关于单
r (k )
i
k i k h ( i )( 1 ) ( 1 )
i
( 1) k H ( z ) z 1
H(-1)=32/3
32 r (k ) ( 1) k 3
k
作业：8.17 (2) , (3);
8.18(1)(5)
解：
F (e )
j
k
R
N
(k )e
j k
e jk
k 0
N 1
1 e 1 e j
j N
N sin j N 1 2 e 2 sin 2
| F (e j ) | e j ( )
|F(e j)| 幅频特性曲线 ()相频特性曲线
位圆镜像对称（即两者相角相等，幅度互为倒数, 或 zi
1 pi*
）
离散时间傅立叶变换(DTFT)
| X (e j ) | sin(N / 2) sin( / 2)
arg[ X (e j )] (N 1) arg[sin(N / 2)]
2
sin( / 2)
当N＝4时，序列x(n)及其幅度谱与相位谱如下图示。
程序清单
clc; clear; y=[1 1 1 1]; x=0; n=[0:3]; w=0:0.01:2*pi; subplot(311); stem(n,y); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); for n=0:3
xe (n) xe (n)
xo (n) xo(n)
xe (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
xo (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
（4）对序列x(n)旳X(ejω)
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)
Xe(ejω)=X*e(e-jω) Xo(ejω)=-X*o(e-jω)
X e (e j
)
对比上面两公式， 左边相等， 所以得到 xer(n)=xer(-n) xei(n)=-xei(-n)
（2）共轭反对称序列： 若满足下式： xO(n)=-x*O(-n) 则称xO(n)为共轭反对称序列。
共轭反对称序列旳性质：实部是奇函数， 虚部是偶函数。
例：共轭对称序列 共轭反对称序列
5－j －5＋j
d
5、时域卷积定理
设
y(n)=x(n)*h(n),
则 Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)
时域卷积， 频域乘法
证明：
令k=n-m
y(n) x(m)h(n m)
m
Y (e j ) FT[ y(n)]
2.1离散时间序列的傅里叶变换DTFT
jω
n = −∞ π
−
∑ x ( n )e
∫ π X (e
jω
∞
− jωn
)e
jωn
dω
2、时移与频移性 4、时域卷积定理 6、帕斯维尔定理 8、周期性
DTFT的周期性
由序列的傅里叶变换公式：
X ( e jω ) =
n取整数，可以把频率分成两部分 ω → ω + 2πM
n = −∞
∑ x(n)e − jωn
-28-
序列分成共轭对称部分和共轭反对称部分 x(n) = xe (n) + xo (n)
傅里叶变换
= X ( e jω ) DTFT = [ x ( n )] DTFT [ xe ( n ) + xo ( n )] = DTFT [ xe ( n )] + DTFT [ xo ( n )] =
n = −∞
∞ *
( )
( )
( ) ( )
DTFT性质应用举例
例2.1.7
P38
-19-
时域卷积定理
设 则
y (n ) = x(n ) * h(n )
Y (e jω )=X (e jω )H (e jω )
该定理说明，两序列卷积的DTFT，服从相乘的 关系。对于线性时不变系统输出的DTFT等于输 。 入信号的 DTFT乘以单位脉冲响应DTFT。因此 求系统的输出信号，可以在时域用卷积公式计算， 也可以在频域求出输出的DTFT，再作逆DTFT 求出输出信号。
由上式表明,共轭对称序列的实部确实是偶 函数,虚部是奇函数。
-25-
一般序列 分解为 其中
= x ( n ) xe ( n ) + xo (n )
离散时间傅里叶变换对
离散时间傅里叶变换对介绍离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是信号处理中常用的一种变换方法，它将时域中的离散信号转换到频域中，通过分析信号在频域上的特性，可以揭示信号中隐藏的信息。
离散时间傅里叶变换对作为傅里叶变换对的一种形式，在数字图像处理、通信系统等领域有着广泛的应用。
一级标题DFT的定义离散时间傅里叶变换对将离散时间域序列x[n]（n为整数）转换为离散频率域序列X[k]（k为整数）。
其数学定义如下：其中，N为序列的长度，k为频率序列的索引。
DFT的计算复杂度较高，通常采用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）算法来加速计算。
DFT的性质DFT具有一些重要的性质，它们对于理解和应用DFT至关重要。
1.线性性质：DFT是线性的，即对信号的线性组合的DFT等于DFT的线性组合。
2.循环移位性质：对于输入信号x[n]，将其向右循环移位m个单位，得到新的信号x_m[n]=x[(n-m) mod N]，则x_m[n]的DFT等于x[n]的DFT乘以旋转因子的m次幂。
3.对称性质：当输入信号x[n]是实数序列时，其DFT具有共轭对称性，即X[k]=X^*[N-k]。
4.周期性质：对于周期为N的信号，其DFT为离散频率域上的周期函数，频率分辨率为1/N。
DFT的应用DFT在信号处理中有着广泛的应用，如下所示：1.频谱分析：通过计算信号的DFT，可以将信号转换到频域中，从而分析信号中各个频率成分的强度和相位，揭示信号的频域特性。
2.信号压缩：DFT可以将时域信号转换为频域信号，在频域中进行处理，然后再通过逆变换将频域信号转换为时域信号，实现信号的压缩。
3.滤波器设计：DFT可以用来设计滤波器，通过将滤波器的频率响应转换为时域响应，从而得到滤波器的系数。
4.信号恢复：通过对信号的部分采样数据进行DFT，可以恢复出信号的完整信息，实现信号的恢复。
第6章 离散时间信号的傅里叶变换
响应
考虑：
如果任一离散时间信号 f [n] 可以表示为:
f [ n]
k
n ak zk
(LTI的特性)
y[n]
k n a H ( z ) z k k k
信号
？
系统
响应
6.2
离散时间周期信号的傅立叶级数
1.离散时间周期信号的傅立叶级数
对于离散时间信号 f [n] ,若存在非零的正整数 N，对 任意 n值有: f [n N ] f [n] 则称 f [n] 是以 N为周期的周期信号. 令 0 2 / N 则离散时间复指数信号 以 N为周期的 .
信号
？
系统
响应
1.离散时间周期信号的傅立叶级数
推导系数 ak 的计算公式 :
N 1 k 0
f [n] ak e jk 0n
两端乘以
e
jm0 n
并在一个周期 N内关于n求和
j ( k m ) 0 n
f [n]e
n 0
N 1
jm0 n
ak e
n 0 k 0
4
2
0
2
4
信号
？
系统
响应
6.4 离散时间信号傅立叶变换的性质
1.周期性
F ( 2 ) F ()
离散时间信号的傅立叶变换 F () 是以 2 为周期的：
2.线性
F f [ n ] F1 () , 如果 1 F f2[n] F2 () ,则
0
2
信号
？
系统
响应
相位谱
a sin() () tan { } 1 a cos()
第三章.离散时间信号的傅里叶变换
4、时域卷积定理
∞
) = x ( 0 ) + 2∑ x ( n ) cos (ω n )
n =1
y (n) = x ( n) * h ( n)
Y ( e jω ) = X ( e jω ) H ( e jω )
X I ( e jω ) = 0 x ( n) =
π∫
1
π
0
X R ( e jω ) cos (ω n ) d ω
jω jω 2 2 ⎤ X ( e jω ) = ⎡ ⎣ X R ( e ) + X I ( e )⎦
12
如果 x ( n ) 是实信号，根据DTFT的正、反变换的定义，有 如下性质： ① X ( e jω ) 的实部 X R ( e jω ) 是 ω 的偶函数，即 ② X (e
jω
= X ( e − jω )
x (t ) =
k =−∞
X ( k Ω0 ) =
1 T /2 x ( t ) e − jk Ω0t dt T ∫−T / 2
X ( k Ω 0 )代表了x ( t ) 中第k次谐波的幅度，并且它是离散的。
∑ X ( kΩ ) e
0
∞
jk Ω0 t
并非所有周期信号都可展开成傅里叶级数。一个周期信号 能展开成傅里叶级数，除满足前面指出的平方可积条件 外，还需要满足如下的Dirichlet条件： ① 在任一周期内若存在间断点，则间断点的数目应是有限 的。 ② 在任一周期内的极大值和极小值的数目应是有限的。 ③ 在一个周期内应是绝对可积的，即
第三章
离散时间信号的傅里叶变换
第三章 离散时间信号的 傅里叶变换
内容概要
1、连续时间信号的傅氏变换 2、离散时间信号的傅氏变换（DTFT） 3、连续时间信号的抽样 4、离散时间周期信号的傅氏级数 5、离散傅氏变换（DFT） 6、利用DFT计算线性卷积 7、希尔伯特变换
五种傅里叶变换
五种傅里叶变换介绍傅里叶分析是一种将一个信号分解为其频率成分的技术。
傅里叶变换是傅里叶分析的数学工具，它将一个信号从时间域转换到频率域，并提供了各个频率成分的详细信息。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、音频处理等领域都有广泛的应用。
在傅里叶变换中，有五种常见的变换方法：离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和快速傅里叶变换（DFT）。
在本文中，我们将详细介绍这五种傅里叶变换的原理、特点和应用。
离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是将一个离散信号从时域转换到频域的方法。
DFT通过计算信号在一组复指数函数上的投影来实现，其中这组复指数函数是正交的。
DFT的计算公式如下：X(k) = Σ x(n) * exp(-j * 2π * k * n / N)其中，X(k)表示频域上的信号，x(n)表示时域上的信号，N是信号的长度。
DFT的优点是计算结果精确，可以对任何离散信号进行处理。
然而，它的计算复杂度较高，需要O(N^2)次操作，对于较长的信号将会非常耗时。
快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高速计算DFT的算法。
FFT算法通过将一个长度为N的DFT转换为两个长度为N/2的DFT的操作，从而实现了计算速度的加快。
FFT算法的计算复杂度为O(NlogN)，比DFT的O(N^2)速度更快。
因此，FFT在实际应用中更为常见。
FFT广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。
连续傅里叶变换（CTFT）连续傅里叶变换（Continuous Fourier Transform，CTFT）是将一个连续信号从时域转换到频域的方法。
CTFT可以将一个连续信号表示为一组连续的频率分量。
CTFT的计算公式如下：X(ω) = ∫ x(t) * exp(-jωt) dt其中，X(ω)表示频域上的信号，x(t)表示时域上的信号，ω是角频率。
离散时间傅里叶变换是将时域的什么信号转换为频域的什么信号
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第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：图3-1离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
3.1.2 非周期序列傅里叶变换的性质从序列傅里叶变换定义式(3-1-1)可知，非周期序列的傅里叶变换就是序列的z 变换在单位圆上的取值(当序列的z 变换在单位圆上收敛时)，即：∑∞-∞=ω-=ω==ωn nj e z j e n x z X e X j )()()(⎰=-π=1||1)(21)(z n dz z z X jn x ⎰ππ-ωωωπ=d e e X n j j )(21因此，非周期序列傅里叶变换的一切特性，皆可由z 变换得到。
正因如此，下面所述的性质，读者可仿z 变换性质的证明方法进行证明，在这里就不一一证明了。
1. 线性设)()]([11ω=j e X n x DTFT ，)()]([22ω=j e X n x DTFT ，则：)()()]()([2121ωω+=+j j e bX e aX n bx n ax DTFT (3-1-4)2．移位设)()]([ω=j e X n x DTFT ，则：)()]([00ωω-=-j n j e X e n n x DTFT (3-1-5)证明：00()[()]()j j nn X e DTFT x n n x n n eωω∞-=-∞=-=-∑00()()()j nn j n j n n j n j x n n en n n x n e e e X e ωωωωω∞-=-∞∞'--=-∞-'=-=-'==∑∑3．频移性设)()]([ω=j e X n x DTFT ，则：)()]([)(00ω-ωω=j n j e X n x e DTFT (3-1-6)4．对称性为了较方便地讨论非周期序列傅里叶变换的对称性，首先我们引入一些有关序列的基本概念—共轭对称序列与共轭反对称序列。
若序列)(n x e 满足下式：)()(n x n x e e -=*(3-1-7)则称序列)(n x e 为共轭对称序列。
对实序列而言，有)()(n x n x e e -=，即序列)(n x e 为偶对称序列。
若序列)(n x o 满足下式：)()(n x n x o o --=* (3-1-8)则称序列)(n x o 为共轭反对称序列。
对实序列而言，有)()(n x n x o o --=，即序列)(n x o 为奇对称序列。
因此，根据共轭对称序列与共轭反对称序列的定义，共轭对称序列)(n x e 和共轭反对称序列)(n x o 可由任意一个序列)(n x 按下构成)]()([21)(n x n x n x e -+=* (3-1-9) )]()([21)(n x n x n x o --=* (3-1-10)也就是说，对任意一个序列)(n x 都可以用共轭对称序列)(n x e 和共轭反对称序列)(n x o 之和来表示，即：)()()(n x n x n x o e += (3-1-11)同类可定义傅里叶变换)(ωj e X 的共轭对称分量和共轭反对称分量：)()()(ωωω+=j o j e j e X e X e X (3-1-12))]()([21)(ω-*ωω+=j j j e e X e X e X (3-1-13) )]()([21)(ω-*ωω-=j j j o e X e X e X (3-1-14)其中)(ωj e e X 称为傅里叶变换)(ωj e X 的共轭对称分量，满足)()(ω-*ω=j e j e e X e X ；)(ωj o e X 称为共轭反对称分量，满足)()(ω-*ω-=j oj o e X e X 。
式(3-1-12)表示序列)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 也可以分解为共轭对称分量和共轭反对称分量之和。
与序列的情况相同，若)(ωj e X 为实函数，且满足共轭对称，即)()(ω-ω=j j e X e X ，则称为频率的偶函数。
若)(ωj e X 为实函数，且满足共轭反对称，即)()(ω-ω-=j j e X e X ，则称为频率的奇函数。
若对式(3-1-9)、式(3-1-10)和式(3-1-11)两边进行序列傅里叶变换，可得序列)(n x 有如下性质： (1) 序列)(n x 的实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量，即)()]}({Re[ω=j e e X n x DTFT (3-1-15)(2) 序列)(n x 的虚部乘j 后的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量，即)()]}(Im[{ω=j o e X n x j DTFT (3-1-16)(3) 序列)(n x 的共轭对称分量)(n x e 和共轭反对称分量)(n x o 的傅里叶变换分别等于序列的傅里叶变换的实部和j 乘以虚部，即)]([)]([ω=j e e e X R n x DTFT (3-1-17) )]([)]([ω=j m o e X jI n x DTFT (3-1-18)(4) 若)(n x 是实序列，则其傅里叶变换)(ωj e X 满足共轭对称性，即)()(ω-*ω=j j e X e X (3-1-19)也就是说：)]([)]([ω-ω=j e j e e X R e X R (3-1-20))](Im[)](Im[ω-ω-=j j e X e X (3-1-21)由此可以看出，实序列的傅里叶变换的实部是ω的偶函数，而虚部是ω的奇函数。
(5) 序列)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 的极坐标表示形式为：)](arg[)()(ωωω=j eX j j j e e X e X (3-1-22)对实序列)(n x ，有：)()(ω-ω=j j e X e X (3-1-23))](arg[)](arg[ω-ω-=j j e X e X (3-1-24)也就是说，实序列的傅里叶变换的幅度是ω的偶函数，而相角是ω的奇函数。
5．时域卷积定理若)()()(n h n x n y *=，则有：)()()(jw jw jw e H e X e Y = (3-1-25)证明：由卷积和定义有∑∞-∞=-==m m n h m x n h n x n y )()()(*)()(，等式两边作傅里叶变换得：∑∑∞-∞=ω-∞∞-ω⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=n nj m j em n h m x e Y )()()( 令m n k -=，则上式可改写为：∑∑∞-∞=∞-∞=ω-ω-ω=k m mj k j j e em x k h e Y )()()()()()()(ωω∞-∞=ω-∞-∞=ω-==∑∑j j m mj k kj e H e X em x e k h6．频域卷积定理 若)()()(n h n x n y ⋅=，则)()(21)(ωωω*π=j j j e H e X e Y ⎰ππ-θ-ωθθπ=d e H e X j j )()(21)( （3-1-26）7．帕塞瓦尔（Parseval ）定理ωπ=⎰∑ππ-ω∞-∞=d e X n x j n 22)(21)( (3-1-27)表3-1 综合了DTFT 的性质，这些性质在以后的分析问题和实际应用中是非常重要的。
表3-1给出了常用序列的傅里叶变换，这在以后的实际应用中很重要。
表3-1序列的傅里叶变换的性质[例3-2] 若)(n x 的傅里叶变换为)(ωj e X ，求下面序列的傅里叶变换：(1))(n kx (k 为常数) (2))4(-n x (3))(n x *(4)⎪⎩⎪⎨⎧=为奇数为偶数n n n x n g 0)2()(解：根据序列傅里叶变换的定义及性质有：(1) )()(ω−→←j Fe kX n kx(2) )()4(4jw j F e X e n x ω-−→←- (3) )()()()(ω-**∞-∞=ω∞-∞=ω-**=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=−→←∑∑j n jn n jn Fe X e n x en x n x (4) )()()2()(22''2''ω∞-∞=ω-=∞ω-ω===∑∑j n n j n n n jn j e X e n x e nx e G 令为偶数 表3-2 常用序列傅里叶变换[例3-3] 若序列)(n h 是实因果序列，其傅里叶变换的实部为ω+=ωcos 1)(j R e H 。
求序列)(n h 及其傅里叶变换)(ωj e H 。
解：利用三角函数关系得：ω-ωω++=ω+=j j j R e e e H 21211cos 1)( 由序列傅里变换的定义有：∑∞-∞=ω-ω==n nj ee j R en h n h DTFT e H )()]([)(。
比较两式可得：2/1)1(=-e h ，1)0(=e h ，2/1)1(=e h由于)(n h 是实因果序列，因此，)()(*n h n h =，当0<n ，0)(=n h 。