高中数学概率统计教案

专题二 概率统计（文科）

（一）统计

【背一背基础知识】

一．抽样方法

抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围． 二．用样本估计总体

1.频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的

频率

组距

，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于

1；

2.茎叶图：茎叶图是一种将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图.在茎叶图中，“茎”表示数的高位部分，“叶”表示数的低位部分.

3.样本的数字特征：

（1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可能只有一个，也可能有多个）.在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数；

（2）中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.在频率分布直方图中，中位数a 对应的直线x a =的左右两边的矩形面积之和均为0.5，可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数； （3）平均数：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则()121

n x x x x n

=

+++L 叫做这n 个数的算数平均数.在频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；

（4）方差：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则

()()()

2222

121n s x x x x x x n ⎡

⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦L 叫做这n 个数的方差，方差衡量样本的稳定

性的强弱.一般来讲，方差越大，样本的稳定性越差；方差越小越接近于零，样本的稳定性越强；

（5）标准差：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则

s =

n 个数的标准差，标准差也可以衡量样本稳定性的强弱. 三.独立性检验

（1）分类变量：对于变量的“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量； （2）列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.

（3）与表格相比，三维柱形图与二维条形图更能直观地反映出相关数据的总体状况. （4）利用随机变量2

K 来确定是否能以给定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的 独立性检验

（5)两个分类变量的独立性检验的一般步骤：

①列出两个分类变量的列联表： ②假设两个分类变量x 、y 无关系；

③计算()()()()()

2

2n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)；

④把2

K 的值与临界值比较，确定x 、y 有关的程度或无关系. 临界值附表：

k （1）作出两个变量的散点图，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．

(2)回归方程为$$y bx

a =+$，其中1

2

21

n i i

i n

i i x y nx y b x nx

==-=-∑∑$=

1

2

1

)()()

n

i

i

i n

i

i x x y y x x ==---∑

∑（，$a

y bx =-$.

【讲一讲基本技能】

1.必备技能：在求解样本的众数、中位数、平均数以及方差时，首先一般要将样本的数据按照一定的顺序进行列举，并根据这些数的定义进行计算；在综合题中求解相应事件的概率时，可以利用树状图作为巩固辅助基本事件的列举，最后在作答时一般利用点列法进行列举.

2.典型例题

例1【2016高考新课标1文数】某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,n表示购机的同时购买的易损零件数.

（I）若n=19,求y与x的函数解析式；

（II）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值；

（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

例2某校在一次期末数学统测中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于60到140分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[)60,70，第二组[)70,80，L ，第八组

[]130,140，图1是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.

（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；

（2）估计该校2000名学生这次考试成绩的平均分（可用中值代替各组数据的平均值）； （3）若从样本成绩属于第六组合第八组的所有学生中随机抽取两名，求他们的分差不不小于10分的概率.

图1