2.1,2.2矩阵的初等变换与标准形
矩阵的初等变换与初等矩阵
§2.2 矩阵的初等变换与初等矩阵1．矩阵的初等变换定义2.1 下列三种变换称为矩阵的初等列变换： （1）交换矩阵的第,i j 列，用i j c c ↔记之； （2）用非零数k 乘矩阵的第i 列，用i kc 记之；（3）把矩阵的第i 列的k 倍加到第j 列，用j i c kc +记之。
矩阵的初等行变换与列变换，统称为矩阵的初等变换。
如果矩阵A 经过有限次初等(行，列)变换，化为矩阵B ，就称矩阵A 与B (行，列)等价，记作~A B 。
矩阵的等价具有以下性质： （1）反身性 ~A A ；（2）对称性 如果~A B ，则~B A ；（3）传递性 如果~A B ，~B C ，则~A C 。
利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化为行最简形，从而得出方程组的解。
可见，讨论矩阵的某种结构简单、而形式特定的等价矩阵，在理论和实际应用上都是必要而有价值的。
对矩阵的行最简形再施行初等列变换，可得到一种结构最为简单的形式。
以§A 为例，矩阵A 的行最简形为11610039210103910001300000⎛⎫⎪⎪⎪-⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭，再经初等列变换344151425253116211,,,,,39393c c c c c c c c c c c c ↔---++化为10000010000010000000⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭F 。
称矩阵F 为矩阵A 的等价标准形。
定理 2.1 矩阵()ij m n a ⨯=A 经过有限次初等变换可化为如下的等价标准形：()()()()rr n r m r r m r n r ⨯--⨯-⨯-⎛⎫=⎪⎝⎭I O F O O ，其中下方及右边的零行，零列可能空缺。
由行列式的性质可知，行列式不为零的方阵，其等价矩阵的行列式也不为零。
由此可得以下结论：可逆矩阵的等价矩阵也为可逆矩阵；可逆矩阵的行最简形就是等价标准形，且一定是单位矩阵。
2．初等矩阵定义2.2 由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵。
矩阵的初等变换及其应用
3.矩阵的初等变换的应用
3.1求矩阵的秩
求矩阵秩的方法很多，一般有定义法、初等变换法、相关公式法、综合法、但当矩阵的具体元素为已知时，一般采用初等变换法即求非零行（列）的个数。
定义3.1.1 矩阵 中非零子式的最高阶数 称为矩阵 的秩.亦即， 中存在不为0的 阶子式，而所有 阶子式（若有的话）均为0，这时矩阵 的秩记作 (或 或秩 )
定义3.5.1 设 是一个 阶方阵，如果存在一个数 及一个 维非零列向量 ，使得
即
成立，则称数 为方阵 的一个特征值，非零列向量 称为方阵 的对应于（或属于）特征值 的特征向量.
定义3.5.2 行列式 （或 ）称为矩阵 的特征多项式（注：特征多项式是 的 次多项式.） 是矩阵 的特征方程，具体形式为：
总之，矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算手段，我们可以利用矩阵初等变换求矩阵的秩，求逆矩阵，求矩阵方程等各种计算实例。随着科学技术的不断发展，矩阵的应用已经深入到了自然，社会，工程，经济等各个领域，而且人工智能、手机通讯和一般的算法设计和阐发等，矩阵在其应用中是通讯优化。我们不能局限于书本的学习，要理论联系实际，更好的运用理论知识解决实际遇到的问题。
时，子块 就化为 ，使得 。此时，若令 ，则 化为标准形
例8 化二次型 为标准形。
解：二次型矩阵为
实施初等变换
这样，经坐标变换 ，其中
二次型化为标准形
注：二次型可以用多种方法化标准形，其标准形不唯一。
总 结
在解决代数方面的一些题目时，运用矩阵的初等变换可以使问题简单化，比如在化二次型为标准型时，除了可以用初等变换法，还可以用正交变换法和配方法来计算，相比较初等变换更为简单，易于计算，好理解。矩阵的初等变换在解决线性代数的计算问题中有很多应用，这些计算格式有不少类似之处，一旦掌握了矩阵的运算，我们分析和解决方程组的能力将会大大增强。
初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型_概述及解释说明
初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型概述及解释说明1. 引言1.1 概述初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型是矩阵理论中一个重要且常用的概念。
通过进行一系列的初等变换和利用正交矩阵，我们可以将给定的二次型转化为标准型，从而简化问题的求解过程。
本文将对初等变换法和正交矩阵进行介绍，并说明它们在得出二次型的标准型中起到的关键作用。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、初等变换法与正交矩阵、二次型的标准型、初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型以及结论。
首先，在引言部分将对整篇文章的内容进行概述，并说明文章结构。
接下来，将详细介绍初等变换法和正交矩阵的概念及其性质，并讨论它们之间的关联性。
然后，我们会深入探讨二次型及其标准型的定义、意义以及性质。
紧接着，在给定了必要背景知识后，我们将介绍如何使用初等变换法和正交矩阵来得到二次型的标准型，包括具体的步骤和计算方法。
最后，在结论部分对全文进行总结，并讨论初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型在实际问题中的应用价值。
1.3 目的本文旨在通过概述和解释说明初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型，帮助读者充分理解初等变换法与正交矩阵在矩阵理论中的重要性以及它们在处理二次型问题中的作用。
同时，本文还将提供详细的步骤和计算方法，使读者能够从实际问题出发，灵活运用这种方法来求解相关的数学和工程问题。
2. 初等变换法与正交矩阵2.1 初等变换法介绍初等变换是线性代数中一种重要的操作，它可以通过对矩阵进行一系列基本运算来改变矩阵的形态。
常见的初等变换包括行交换、行倍乘以一个非零数和第j行加上第i行的k倍。
2.2 正交矩阵概述正交矩阵是指满足其转置矩阵乘以自身结果为单位矩阵的方阵。
简而言之，正交矩阵的转置就是它的逆矩阵。
具体而言，设A为n×n的实矩阵，若满足A^T⋅A=I (其中I为n×n的单位矩阵)，则称A为正交矩阵。
在线性代数中，正交矩阵有很多重要性质和应用。
矩阵的初等变换
o 等价。 o
13
第一章
例2.3 问矩阵
设
1 1 4 0 1 2 1 0 A 0 1 2 0 , B 1 3 0 2 2 2 0 1 0 1 1 2
A
与矩阵
B
是否等价？
解 先求矩阵 A 与矩阵
1 4 1 2 0 2 4 0 0 11 3 2r3r1 2 2 r1 0 0 0 r 0 00 0 0 0
B 的标准形
11 11 4 4
4 4 2 2 8 8 11 1 14 0 r3r3 44r4 4r 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0
1 1 A 0 A 0 1 2 2 2
3 2
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
第一章
0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1 0 2 0 1 0 r r2 r1 rr32 0 1 1 2 r3 2 B 1 3 0 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
r1 4 r2 1 r3 143
5 1 0 59 0 1 14 3 0 0 1 0
1 0 0 5 0 1 0 3 0 0 1 0
r2 14 r3 r1 59 r3
1 0 0 5 D 0 1 0 3 0 0 1 0
1 0 3 D. 0 1 0 0 0 1
例2：写出上题中初等矩阵的逆
第二章 矩阵的标准型
d1 d 2 求史密斯标准型的方法 ：A d r 0 0
2014年12月20日 沈阳理工大学 13
P32例4设A 为6 6阶 - 矩阵，RA 4, 初等因子组为
13， - 1， - 1 ，2，2， 1， 试求A 的不变因子，行列式因 子，史密斯标准型 . 解：不变因子： 行列式因子： 3 d 4 2 1 - 1 D1 d1 1 d 3 2 1 - 1 D2 d 2 D1 d 2 D3 d 3 D2 3 1 - 1 d1 1 4 2 5 D4 d 4 D3 1 - 1
注： (1) 矩阵A 的史密斯标准形 S ( )对角线
为A 的不变因子。
上的元素为A 的不变因子； (2)d k 1 d k , (k 2,3, r );
(3)求A 的史密斯标准形方法 2 : 不变因子法。
2014年12月20日 沈阳理工大学 12
相似矩阵
若A ∽B , 则
2
沈阳理工大学 7
练习1
1- 求A 1 2
2 - 的史密斯标准型 2 1 - 2
- - 2
2 1
练习2：P 中第一小题 541
2014年12月20日
2 1 2 1 1- 1 2 ~ 2 0 1 2 1 2 1 - 2 2 1 0 0 0 0 1 1 2 2 ~ 0 - - ~ 0 0 0 2 - 2 - 2 1 S 2 1
2.1.矩阵的初等变换
0 1 1 1 0 1 1
2 3 0 5 1 1 2 3 2 1 1 0 1 3 6 1 4 0 3 3 7 1
1
解
A
1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 2 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 5
1 A 1 0 0 1 1 1 1 0 3 0 1 1 0 0 1 10 0
3 1
例7 设 A 为 m n 矩阵, 证明:
r ( A) r m r 矩阵 P , r ( P ) = r r n 矩阵 Q , r ( Q ) = r
定理 初等变换不改变矩阵的秩
推论 设矩阵 r(A) = r , 则 A 的标准形矩阵为 Er O O O 推论 可逆矩阵的标准形矩阵( 规范的阶梯形 矩阵) 为单位矩阵
求矩阵的秩的方法 将矩阵化为阶梯形矩阵 阶梯形矩阵的非零行数即为矩阵的秩
例 2 求矩阵 A 的秩
A
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 4 2 5 3 6
初等行变换
例5 用初等变换法解矩阵方程
3 1 5 8 3 0 X 1 3 2 5 2 5 9 0 1
分析 设原方程为 XA B
则
A X B
A PQ
证
例4 用初等变换法解矩阵方程
解 5 1 5 3 3 2 1 2 1
5 1 5 8 5 9 3 3 2 X 3 1 2 1 0 0
8 5 3 9 0 0 1 4 X 2 5 3 6
2.1,2.2矩阵的初等变换与标准形
化成标准形。
从定理2可以看出，若A B, 则A与B有相同的标 准形.设A是n阶方阵，经初等变换后化成B，据行 列式的性质及初等变换的定义可知，当 | A | 0时
必有 | B | 0，当 | A | 0时必有 | B | 0，即初等变换 不改变矩阵的可逆性因此，对于 . n阶可逆方阵A， 它的标准形I 也可逆，故I 是n阶单位矩阵En；反之 若n阶方阵A的标准形I En，则A可逆，故我们又 有如下定理
T
思考题解答
答 相等.
因为对于任一实向量 x 0, 当Ax 0时,
必有AT Ax 0, 反之当AT Ax 0时, 有x T AT Ax 0
即
Ax Ax 0 Ax 0;
T
由此可知
T
Ax 0与AT Ax 0同解,
故 RA A R A.
1 2
9 r4 r3 4 3 r3 ( ) 4
1 0 0 0
1 2
1
1 1 1 3 0 0 1 0 0 0
4 2 B 3 0
一般地，对任何矩阵均可类似上例进行， 从而有以下定理 定理1 任何非零矩阵A (aij )mn可以只用
2.1初等变换与矩阵等价
一. 初等（行/列）变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
ri rj 1 对调两行（对调i , j 两行, 记作ri rj）； ; kri 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素 r kr （第 i 行乘 k , 记作 ri k） i j 3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
1 4 1 1 2 r 5r 1 2 0 1 1 2 3 3 r 3r 2 0 5 5 3 6 4 0 3 3 4 3
矩阵的标准形式是什么
矩阵的标准形式是什么矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在研究矩阵的性质和特征时，我们常常需要将矩阵转化为其标准形式。
那么，矩阵的标准形式究竟是什么呢？本文将对此进行详细的介绍和解释。
首先，让我们来了解一下矩阵的基本概念。
矩阵是由 m 行 n 列元素组成的一个数表，通常记作 A=(aij)m×n。
其中，aij 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素。
矩阵可以进行加法、数乘和乘法等运算，具有很强的代数性质。
接下来，我们来介绍矩阵的标准形式。
在线性代数中，矩阵的标准形式通常指的是特殊的形式，通过一系列的变换，可以将任意的矩阵转化为标准形式，从而更好地研究其性质和特征。
常见的矩阵标准形式包括行阶梯形、列阶梯形、对角形和标准型等。
首先，我们来介绍行阶梯形。
一个矩阵被称为行阶梯形，如果满足以下条件，首先，非零行（如果存在）在零行的上面；其次，每个非零行的首个非零元素为1；最后，每个非零行的首个非零元素所在的列，除了该元素外，其余元素都为0。
行阶梯形的矩阵可以帮助我们更好地理解矩阵的线性相关性和线性无关性。
其次，是列阶梯形。
一个矩阵被称为列阶梯形，如果其转置矩阵为行阶梯形。
列阶梯形的矩阵同样具有重要的性质，可以帮助我们进行矩阵的分解和求解。
接着，是对角形。
一个矩阵被称为对角形，如果除了对角线上的元素外，其余元素都为0。
对角形的矩阵在矩阵的对角化和特征值分解中有着重要的应用。
最后，是标准型。
一个矩阵被称为标准型，如果它是行阶梯形并且满足一定的特定条件。
标准型的矩阵可以帮助我们更好地理解矩阵的相似性和等价性。
总的来说，矩阵的标准形式是通过一系列的变换，将矩阵转化为特定的形式，以便更好地研究其性质和特征。
不同的标准形式在不同的领域和问题中有着重要的应用，对于深入理解矩阵的性质和特征具有重要的意义。
在实际应用中，我们常常需要将矩阵转化为其标准形式，以便进行进一步的分析和计算。
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用内容摘要：矩阵是线性代数的重要研究对象。
矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。
一矩阵的概念定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵二矩阵初等变换的概念定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换1.初等行变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).1.初等列变换把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:(1) 反身性;(2) 对称性若,则;(3) 传递性若,,则.三矩阵初等变换的应用1.利用初等变换化矩阵为标准形定理：任意一个m×n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形2.利用初等变换求逆矩阵求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A¦E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1)即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。
设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即.这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即.3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B)为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩利用矩阵值得概念，能够讨论线性方程组有解的条件，然后通过研究向量组的线性相关性，向量组的秩等重要概念，讨论线性方程组的结构。
2矩阵典型习题解析
2矩阵矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。
其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙! 于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单！2.1知识要点解析2.1.1矩阵的概念1.矩阵的定义由in Xu个数«y（z = 1,2, ■■-./«； _/ = L2,--,n）组成的m行n列的矩形数表a\2…67In\°加1 °加2 Q肿丿称为mxn矩阵，记为A = （u/j）mxrt2.特殊矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。
3.矩阵的相等设 A = 5）； B = （bjj）mn若Uy = b i}（/ = 1,2,…,j = 1,2,），则称 A 与 B 相等，记为A=B。
2.1.2矩阵的运算1.加法(])定乂:设A = (Ajj );nn, B = (by )mn ,则C = A + B = (ay + by) ,nn (2)运算规律®A+B=B+A；②(A+B) +C=A+ (B+C)③A+O二A ④A+ (-A) =0, -A是A的负矩阵2.数与矩阵的乘法(1)定义：设A = (a ij)mn,k为常数，则如(阿)亦(2)运算规律① K(A+B)二KA+KB,②(K+L)A=KA+LA,3( KL)A=K(LA)3.矩阵的乘法(1)定义：设A = («,；),……, B = (by )up.则= C 旷其中C厂士认A-1(2)运算规律®(AB)C = A(BC)； @A(B + C) = /\B + AC@(B + C)A = BA + GA(3)方阵的幕①定义：人=(佝)”，贝ljA k=A - A②运算规律：A m-A n=A m+n; (A m)n=A mn(4)矩阵乘法与幕运算与数的运算不同之处。
矩阵的变换
§1 矩阵的初等变换
定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
1．互换两行（记）；
2．以数乘以某一行（记）；
3．把某一行的倍加到另一行上（记）。
若将定义中的“行”换成“列”，则称之为初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换。
定义若矩阵经有限次初等行变换变成矩阵，则称与行等价，记；
若矩阵经有限次初等列变换变成矩阵，则称与列等价，记；
若矩阵经有限次初等变换变成矩阵，则称与等价，记。
等价关系满足：
1．反身性：；
2．对称性：；
3．传递性：。
例用初等行变换解线性方程组：
解（称是该线性方程组的增广矩阵）
, （称为行阶梯形矩阵）
，（称为行最简形矩阵）
对应的线性方程组为
取，则
即
对矩阵，总能经若干次初等行变换和初等列变换变成如下形式
，（称之为标准形）。
第三节 矩阵的初等变换
6 3 9 3
(2) A r113
2 0
1 3 1 1 3 4
2 3 9 6
0 (3)A r13r3 0
6 18 21 1 3 4
定义2 矩阵的初等列变换:
设A是m n矩 阵,
(i) 对调A的两列(对调 i, j 两列, 记作 ci cj );
设A是m n矩阵,
(i) 对调A的两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj );
(ii) 以一个非零数 k 乘以A的某一行中的所有元素 (第 i 行乘以 k , 记作 kri );
(iii) 把A的某一行所有元素的 k倍加到另一行 对应的元素上去 (第 j 行的 k倍加到第 i 行上,记作 ri +krj).
定
，
其 中r就 是 行 阶 梯 形 矩 阵 中 非零 行 的 行 数.
(2)所 有与A矩 阵等 价 的 矩阵 组 成 的一 个集 合 ， 称 为一 个 等 价类. 标 准形F 是 这个 等 价 类中 形 状最 简 单 的矩 阵.
(3) 矩阵A可以 只通过初等行变换 化为 行阶梯形、行最简单形. 再通过初等列变换 化 为 标 准 形.
1 6 4 1 4
r2 r4
0 2 3
4 0 2
3 1 0
1 1
5 5
03
1 6 4 1 4
rr43 32rr11
0 0 0
4 12 16
3 9 12
1 7 8
1
1121
1 6 4 1 4
(ii) 以非零数k 乘以A的某一列中的所有元素 (第 i 列乘以 k , 记作 kci );
线性代数第五讲 矩阵的初等变换及其性质
线性代数第五讲矩阵的初等变换及其性质一、初等矩阵及其性质在前面的讲义中，我们已经学习到了矩阵的基本概念，包括矩阵的定义、矩阵的运算、矩阵的秩等基本知识点。
本章我们将学习一些矩阵的“变换”的概念，主要介绍矩阵的初等变换及其性质。
矩阵的初等变换指的是将一个矩阵通过某种方式变化成另外一个矩阵的运算。
初等变换可以分为三种：交换矩阵的某两行或某两列；用一个非零数乘以矩阵的某一行或某一列；用一个非零数乘以矩阵的某一行或某一列，再加到另一行或另一列上。
这三种变换分别称为矩阵的第一类、第二类和第三类变换。
对于任意一个矩阵A，我们可以进行一系列的初等变换，从而将A变换成标准形。
标准形主要有三种：行简化阶梯形矩阵、列简化阶梯形矩阵和对角矩阵。
从定义可以看出，行简化阶梯形矩阵和列简化阶梯形矩阵都是初等矩阵形式，是矩阵的标准形。
初等矩阵的定义：如果矩阵B是A通过一次初等变换得到的，则称矩阵B为矩阵A的初等矩阵。
我们前面已经学习过，矩阵的逆是一个重要的概念。
下面我们就来发现一个有趣的性质：一个矩阵是可逆矩阵，当且仅当它可以表示为一系列初等矩阵的乘积。
定理1：矩阵可逆的充分必要条件是它可以表示为一系列初等矩阵的乘积。
以上两个定理的证明可以参考矩阵论相关的课程。
二、矩阵的等价关系在学习矩阵的初等变换时，我们介绍了三类变换，也就是矩阵的第一类、第二类和第三类变换。
我们可以使用这三类变换将一个矩阵变换成另一个矩阵。
如果对于任意的矩阵A、B，B可以通过一系列的初等变换变成A，那么我们就称A和B是等价的。
性质1：等价关系具有反身性、对称性和传递性。
性质2：如果一个矩阵可以通过初等变换化为一个标准形，则标准形是唯一的。
性质3：如果一个矩阵可逆，则它和单位矩阵等价。
性质4：如果A、B等价，则r(A)=r(B)。
三、矩阵的秩和特殊矩阵在前面的讲义中，我们已经学习到了矩阵的秩的定义和性质。
矩阵的秩是矩阵实际所包含的信息量，因此秩是矩阵的一个重要特征。
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
a12 3a22
a13 3a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2 0 0
0 1 0
0 0 1
2a11 2a12
a12 a22
a13 a23
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c1 2
2a11 2a12
a13 a23
a12 a22
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换和 初等矩阵
1
一、矩阵的初等变换初等矩阵
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
25
三、初等变换法求逆矩阵
当A可逆时，由推论4，A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11P11 A E
Pl1Pl11P11 A Pl1Pl11P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.
线性代数—矩阵的初等变换
1 0 B= 0 0
2 1 0 0
0 4 r − 2r 2 0 1 1 1 − 1 0 0
1 0 0 0
2 1 0 1 =C 0 1 −1 0 0 0 0 0
这种特殊的行阶梯形矩阵C称为行最简形矩阵． 一般地，满足下列条件的行阶梯形矩阵称为 行最简形矩阵： (1)各非零行的首非零元素是1； (2) 每个首非零元素所在列的其它元素都是零．
这表明：用初等矩阵E[i,j(k)]左乘A恰好等于把A 的第j行的k倍加到第i行上. 对于其它两种初等行变换以及定理的(2)，可以 类似地进行证明．
例2.20 设
3 1 0 A = − 1 1 2 1 0 1
,而
0 1 0 E 3 (1,2) = 1 0 0 0 0 1
3 3 7 2
1 1 2 0 0 1 r3 − 5r2 0 5 − 2 r4 + 2r2 0 − 2 − 4
1 r2 × 3
3 1 7 2
1 0 → 0 0
2 1 0 0
1 0 −2 −4
3 r 2r 1 4 − 3 0 1 r ×− 1 0 2 3 2 0 4
于是
ε1 ε1 A A1 M M M ε + kε (ε + kε )A A + kA j j j i i i E[i, j(k)]A = M A = M = M = B ε j ε j A Aj M M M εm εm A Am
ε i = (0, L ,0,1,0, L ,0) ( i = 1,2, L , m )
成对的初等行列变换
成对的初等行列变换1.引言1.1 概述成对的初等行列变换是矩阵变换中一个重要的概念。
在线性代数中，矩阵是一种常见的数学工具，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学和计算机科学等。
矩阵变换是指通过一系列的行列变换操作，改变矩阵的形式和性质。
成对的初等行列变换是指将一行或一列上的元素进行操作，并同时对另外一行或一列进行相应操作的变换。
这种操作包括三种类型：倍加、倍乘和互换。
其中倍加是指将一行或一列的多倍加到另外一行或一列上，倍乘是指将一行或一列的元素乘以一个非零数，并互换是指交换两行或两列的位置。
这些操作都可以改变矩阵的形状和元素的值。
成对的初等行列变换具有一些重要的性质和特点。
首先，这种变换可以保持矩阵的行列式不变。
其次，它也可以用来解线性方程组，通过变换矩阵将方程组转化为简化的形式，从而更容易求解。
此外，成对的初等行列变换还可以用于矩阵的相似变换和求逆等操作。
在实际应用中，成对的初等行列变换具有广泛的应用价值。
它可以简化复杂的矩阵运算，提高计算效率。
在矩阵的存储和处理过程中，通过成对的初等行列变换可以使矩阵变得更加规整和易于处理。
此外，成对的初等行列变换还可以用于解决线性方程组的数值计算和优化问题等。
综上所述，成对的初等行列变换是矩阵变换中一个重要的概念，它在解决线性方程组和矩阵运算等问题中具有重要的作用。
在本文中，我们将对成对的初等行列变换的定义、性质以及其应用进行详细讨论，并探究其重要性和实际应用。
1.2 文章结构本文将分为引言、正文和结论三个部分，以下对每个部分的内容进行详细说明：1. 引言部分引言部分将首先概述本文要讨论的内容，即成对的初等行列变换。
旨在为读者提供对文章主题的整体了解。
随后，介绍文章的结构，即整篇文章的组织框架。
最后，说明本文撰写的目的，以明确告诉读者阅读本篇文章的动机。
2. 正文部分正文部分将详细阐述成对的初等行列变换的定义和性质。
在2.1小节中，将给出成对的初等行列变换的定义，并解释其含义和用途。
标准化方法在线性代数的应用——用初等变换的方法求等价类的标准型
第ll卷第2期潍坊学院学报V01．11 No．2 2011年4月Joumal of Wei fang University A p r．20l l标准化方法在线性代数的应用。
——用初等变换的方法求等价类的标准型刘绪文(潍坊工程职业学院，山东青州262500)摘要：本文采取标准化等方法对线性代数进行了探讨和研究。
通过给出一类研究对象及其标准型，建立等价类，用初等变换的方法求等价类的标准型，即标准化，并利用标准型研究等价类的特点和性质，从而揭示这类研究对象的内涵和实质。
关键词：矩阵；向量组；方程组；标准型；线性变换；等价中图分类号：0151．2 文献标识码：A文章编号：1671—4288(2011)02一0065一04早在上世纪七十年代，钱学森就提出“要加强标准、标准化工作及其科学研究以应对现代化、国际化的发展环境”。
在现代科学技术发达的今天，标准的制定和标准化的实施显得尤为重要，各行各业都在按照一定的标准实施标准化。
通过标准及标准化工作，以及相关技术政策的实施，可以整合和引导社会资源，激活科技要素，推动自主创新与开放创新，加速技术积累、科技进步、成果推广、创新扩散、产业升级以及经济、社会、环境的全面、协调、可持续发展。
线性代数在一些领域的研究中，对繁纷复杂的代数问题，同样加强了标准、标准化T作及其科学的研究。
对于某类研究对象给出标准型，建立等价类，利用初等变换求等价类的标准型，即标准化问题，并利用标准型研究等价类的特点和性质，从而建立线性代数的有关理论。
1标准及标准化的定义标准是在客观的基础上产生的科学、技术和实践经验的综合成果，它具有权威性、科学性、适用性和严肃性，有了标准也就有了统一的规定，人们在生产过程和社会活动中才有了共同遵守的准则和依据。
制定、发布及实施标准的过程就是标准化。
1．1 标准是对重复性事物和概念所做的统一规定。
它以科学、技术和实践经验的综合成果为基础，经有关方面协商一致，由主管机构批准，以特定形式发布，作为共同遵守的准则和依据。
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1 2
9 r4 r3 4 3 r3 ( ) 4
1 0 0 0
1 2
1
1 1 1 3 0 0 1 0 0 0
4 2 B 3 0
一般地，对任何矩阵均可类似上例进行， 从而有以下定理 定理1 任何非零矩阵A (aij )mn可以只用
2.矩阵等价
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B．
等价关系的性质： (1)反身性
A～ A
(2)对称性 若A～B,则B～A (3)传递性 若A～B, B～A则A～C 具有上述三条性质的关系称为等价．
2.2初等变换的应用与标准形
例1.对下列矩阵A实施初等行变换把A化成阶梯形矩 阵.
化成标准形。
从定理2可以看出，若A B, 则A与B有相同的标 准形.设A是n阶方阵，经初等变换后化成B，据行 列式的性质及初等变换的定义可知，当 | A | 0时
必有 | B | 0，当 | A | 0时必有 | B | 0，即初等变换 不改变矩阵的可逆性因此，对于 . n阶可逆方阵A， 它的标准形I 也可逆，故I 是n阶单位矩阵En；反之 若n阶方阵A的标准形I En，则A可逆，故我们又 有如下定理
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7
2 r1 r2 4 r3 2 4 9 1 1 2
1 2 1 1 1 2 3 1 1 Байду номын сангаас 6 9 7
4 2 2 9
1 1 2 1 2 1 1 1 2 3 1 1 3 6 9 7
2.1初等变换与矩阵等价
一. 初等（行/列）变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
ri rj 1 对调两行（对调i , j 两行, 记作ri rj）； ; kri 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素 r kr （第 i 行乘 k , 记作 ri k） i j 3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
初等行变换化成阶梯形矩阵。
例1中所得到的矩阵B,如再经过初等列变换， 还可将A化成更简单形式
例如， c2 c1
c3 2c1 c4 c1
B
1 0 0 0
c5 4c1
1 0 0 0
0
0
0
1 1 1 3 0 0 1 0 0 0
0 c3 c2 1 2 c4 c2 3 3 c5 2c2 0
1 4 1 1 2 r 5r 1 2 0 1 1 2 3 3 r 3r 2 0 5 5 3 6 4 0 3 3 4 3
1 0 0 0
1 4 1 1 1 2 3 4 0 0 4 3 0 0 3 9
定理3 n阶方阵A可逆的充分必要条件 是A的标准形是n阶单位矩阵，即A～E.
三、小结
1. 矩阵秩的概念
2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).
思考题
设 A 为任一实矩阵 , R( A A)与R( A)是否相等?
矩阵 I 称为矩阵 A 的标准形.
特点： I的左上角是一个单位矩阵，其余元素全
为零.
m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
Er I O
O O mn
此标准形由m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是 行阶梯形矩阵中非零行 的行数.
因此，我们有下面定理
定理2 任何非零矩阵A (aij )mn可以用初等变换
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 1 3 0 0
1 0 c5 3c4 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
c3 c4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 I 0 0
T
思考题解答
答 相等.
因为对于任一实向量 x 0, 当Ax 0时,
必有AT Ax 0, 反之当AT Ax 0时, 有x T AT Ax 0
即
Ax Ax 0 Ax 0;
T
由此可知
T
Ax 0与AT Ax 0同解,
故 RA A R A.
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj） .
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
ci c j kci c kc j i
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同． ri rj 逆变换 ri rj ; ri k 逆变换 ri ( 1 ) 或 ri k ; k ri krj 逆变换 r ( k )r 或 r kr . i j i j
4 2 2 9
r2 2 r1 1 1 2 1 4 r3 2 r1 0 3 3 1 6 r4 3r1 0 5 5 3 6
0 3 3 4 3
1 4 1 1 2 1 r2 (3) 0 1 1 2 3 0 5 5 3 6 0 3 3 4 3