高等数学定积分概念
高等数学 第5章 第一节 定积分的概念
定积分存在的两个充分条件:
定理1 设 f ( x) 在区间 [a, b]上连续, 则 f ( x)在区间 [a, b] 上可积. 定理2 设 f ( x)在区间 [a, b] 上有界， 且只有有限个间断点,则
f ( x)在区间 [a, b]上可积.
6
定积分的几何意义
y y f (x)
A
o xa xb x
lim
n
6n 2
3
10
1 i n
i
},
0,
n
A lim 0 i1
f ( i )xi
An
x xn1 nxn b
3
2. 变速直线运动的路程
设物体作直线运动,
已知速度 v v(t )是时间间隔 [T1 ,T2 ]上 的
连续函数, 且 v(t ) 0, 计算在这段时间内物体所经过的路程。
匀速直线运动：
路程=速度×时间.
(1) 分割
T1 t0 t1 ti1 ti tn T2 ,
v( i )
ti ti ti1
(i 1,2,, n)
(2) 近似代替
si v( i )t i
T1
i
T2
t t0 t1 t2 ti1 ti tn1 tn
(3) 求和 (4) 取极限
s
n i 1
s
i
n v(
i 1
i )t i
每 个小区间的长度 xi xi xi1 (i 1,2,n).
2
（2）近似代替
y Ai f (i )xi
(i 1,2,, n)
（3）求和
y f (x)
A1 A2
Ai
A
n i 1
Ai
n
高等数学第五章定积分及其应用
⾼等数学第五章定积分及其应⽤第五章定积分及其应⽤第⼀节定积分概念1、内容分布图⽰★曲边梯形★曲边梯形的⾯积★变速直线运动的路程★变⼒沿直线所作功★定积分的定义★定积分存在定理★定积分的⼏何意义★定积分的物理意义★例1 ★定积分的近似计算★例2★内容⼩结★课堂练习★习题5-1 ★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1利⽤定积分的定义计算积分01dx x 2?.讲解注意：例2的近似值．⽤矩形法和梯形法计算积分-102dx ex讲解注意：第⼆节定积分的性质1、内容分布图⽰★性质1-4★性质5及其推论★例1★性质6★例2★例3★性质7★例4★函数的平均值★例5★内容⼩结★课堂练习★习题5-2★返回2、讲解注意：例1⽐较积分值dx e x ?-2和dx x ?-2的⼤⼩.讲解注意：例2估计积分dx xπ+03sin 31的值.讲解注意：例3估计积分dx xxππ/2/4sin 的值.讲解注意：例4设)(x f 可导1)(lim =+∞→x f x 求且,,dt t f tt x x x ?++∞→2)(3sin lim .讲解注意：例5计算纯电阻电路中正弦交流电t I i m ωsin =在⼀个周期上的()功率的平均值简称平均功率.讲解注意：第三节微积分基本公式1、内容分布图⽰★引例★积分上限函数★积分上限函数的导数★例1-2★例3★例4★例5★例6★例7-8 ★例9★例10★例11★例12★例13★例14★内容⼩结★课堂练习★习题5-3★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1?x tdt dxd 02cos 求[].讲解注意：例2dt e dxdx t ?321求[].讲解注意：例3.)()((3);)()((2);)((1).,)(00sin cos )(?-===x x x x t f dt t x f x F dt t xf x F dt e x F x f 试求以下各函数的导数是连续函数设讲解注意：例4求.1cos 02x dte x t x ?-→讲解注意：设)(x f 在),(+∞-∞内连续0)(>x f .证明函数且,??=xxdtt f dtt t x F 00)()()(在),0(+∞内为单调增加函数.f 例5讲解注意：例6],1[)ln 21()(1上的最⼤值与最⼩在求函数e dt t t x I x ?+=.值讲解注意：例7求.dx x ?12讲解注意：例8求.1dxx ?--12讲解注意：例9设求??≤<≤≤=215102)(x x x x f ?2讲解注意：例10.|12|10-dx x 计算讲解注意：.cos 1/3/22?--ππdx x 计算例11讲解注意：例12求.},max{222?-dx x x讲解注意：例13计算由曲线x y sin =在,0π之间及x .轴所围成的图形的⾯积x =x =A讲解注意：例14?,./5.,362了多少距离问从开始刹车到停车刹车汽车以等加速度到某处需要减速停车速度⾏驶汽车以每⼩时s m a km -=汽车驶过设讲解注意：第四节换元法积分法和分部积分法1、内容分布图⽰★定积分换元积分法★例1★例2★例3★例4★定积分的分部积分法★内容⼩结★课堂练习★习题5-4★返回★例5★例6★例7★例16★例17★例182、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1计算.sin cos /25?πxdx x讲解注意：例2?a0dx 计算.0a >)(-2x 2a讲解注意：例3计算.sin sin 053?π-dx x x讲解注意：例4计算定积分dx x x ++412.2?讲解注意：例5当)(x f 在],[a a -上连续,,,)(x f 为偶函数当当有(1)(2)则 ??-=aaadx x f dx x f 0)(2)()(x f 为奇函数有?-=aa dx x f 0)(.;讲解注意：例6.--+dx e x x x 计算讲解注意：例7计算.11cos 21122?--++dx x xx x讲解注意：例8若)(x f 在]1,0[上连续证明,(1)?=00)(cos )(sin dx x f dx x f ;(2)πππ=)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ,由此计算?π+02cos 1sin dx x x x ./2π/2π讲解注意：例9计算.arcsin 0?xdx 1/2讲解注意：例10计算.2cos 10+x xdx/4π讲解注意：例11计算.sin 0?xdx /2π2x讲解注意：例12.1dx e x 计算1/2讲解注意：例13.1)1ln(102++dx x x 求定积分讲解注意：例14-22ln e e dx x x求.讲解注意：例15.,612ln 2x e dt xt 求已知?=-π讲解注意：例16).(,)(13)()(1022x f dx x f x x x f x f 求满⾜⽅程已知? --=讲解注意：例17证明定积分公式xdx I n n n 0--?-??--?-=n n n n n n n n n n ,3254231,22143231π为正偶数.为⼤于1的正奇数./2π/2π??讲解注意：例18?π05.2cos dx x 求讲解注意：第五节定积分的⼏何应⽤1、内容分布图⽰★平⾯图形的⾯积A ★例1 ★例2 ★平⾯图形的⾯积B ★例3 ★例4 ★平⾯图形的⾯积C ★例5 ★平⾯图形的⾯积D★例6 ★例7 ★例8 旋转体★圆锥★圆柱★旋转体★旋转体的体积★例9 ★例 10 ★例 11 ★平⾏截⾯⾯积为已知的⽴体的体积★例 12 ★例 13 ★内容⼩结★课堂练习★习题5-5 ★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1]1,1[]1,0[2之间的⾯积.和轴上⽅在下⽅与分别求曲线-∈∈=x x x x y讲解注意：例2],1[ln 之间的⾯积.轴上⽅在下⽅与求e x x y =讲解注意：例3.1,1,03所围图形⾯积与直线求=-===x x y x y讲解注意：例44,0,042所围图形⾯积.和直线求由曲线===-=x x y x y讲解注意：例5.2所围成平⾯图形的⾯积与求由抛物线x y x y ==讲解注意：例642,2,所围成图形的⾯积.求由三条直线=-=+=y x y x x y422围成图形的⾯积与求+-==x y x y讲解注意：例8.0cos sin 之间所围图与在和求由曲线π====x x x y x y 形的⾯积讲解注意：例9r 圆锥体的直线、h x =及x 轴围直线连接坐标原点O 及点),(r h P 成⼀个直⾓三⾓形.x 轴旋转构成⼀个底半径为计算圆锥体的体积.h ,将它绕⾼为,的讲解注意：例10.12222y x V V y x by a x 和积轴旋转所得的旋转体体轴和分别绕求椭圆=+讲解注意：例112,22轴旋转⽽成的旋转体的体积.轴和所围成的图形分别绕求由曲线y x x y x y -==讲解注意：例12⼀平⾯经过半径为R 的圆柱体的底圆中⼼计算这平⾯截圆柱体所得⽴体的体积.并与底⾯交成,,⾓讲解注意：例13.的正劈锥体的体积的圆为底、求以半径为h R ⾼位平⾏且等于底圆直径的线段为顶、讲解注意：第六节积分在经济分析中的应⽤1、内容分布图⽰★由边际函数求原经济函数★需求函数★例1★总成本函数★例2★总收⼊函数★例3★利润函数★例4由边际函数求最优问题★例5★例6其它经济应⽤★例7⼴告策略★消费者剩余★例8★国民收⼊分配★例9★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1),80,(80,4) (,==-='q pp qp格的函数关系.时即该商品的最⼤需求量为且边际需求的函数已知对某商品的需求量是价格求需求量与价讲解注意：例2, 90,2)(0.2 ==ceqCq 求总成本函数.固定成本的函数若⼀企业⽣产某产品的边际成本是产量讲解注意：例310,40),/(2100)(个单位时单位时的总收⼊及平均收⼊求⽣产单位元单位时的边际收⼊为已知⽣产某产品-='q q R q 并求再增加⽣产所增加的总收⼊.讲解注意：例45,10,413)(,225)(0==-='-='q c q q C q q R 时的⽑利和纯利.求当固定成本为边际成本已知某产品的边际收⼊讲解注意：例5吨产品时的边际成本为某企业⽣产q )/30501)(吨元q q C +='(?,900试求产量为多少时平均成本最低元且固定成本为讲解注意：例6q q q C q q R ,1(3)?(2);54(1)),/(/44)(),/(9)(+='-='求总成本函数和利润函数.万元已知固定成本为当产量为多少时利润最⼤万台时利润的变化量万台增加到试求当产量由其中产量万台万元成本函数为万台万元假设某产品的边际收⼊函数为以万台为单位.边际讲解注意：例70.02,10%,,100000,130000)(,.10%,1000000t e t 则决如果新增销售额产⽣的利润超过⼴告投资的美元的⼴告活动对于超过按惯例⾏⼀次类似的总成本为以⽉为单位下式的增长曲线⼴告宣传期间⽉销售额的变化率近似服从如根据公司以往的经验平均利润是销售额的美元某出⼝公司每⽉销售额是美元的⼴告活动.试问该公司按惯例是否应该做此⼴告.1000000公司现在需要决定是否举定做⼴告讲解注意：8例.2,318)(-=CS q q D 并已知需求量为如果需求曲线为个单位试求消费者剩余,表⽰某国某年国民收⼊在国民之间分配的劳伦茨曲线可近似地由讲解注意：第七节⼴义积分1、内容分布图⽰★⽆穷限的⼴义积分★⽆穷限的⼴义积分⼏何解释★例1★例2★例3★例4★例5★例6★⽆界函数的⼴义积分例7★例8★例9★例10★例11★例12★例13★内容⼩结★课堂练习★习题5-7★返回★2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1?∞+-0.dx e x 计算⽆穷积分讲解注意：例2.sin 0的收敛性判断⽆穷积分∞+xdx讲解注意：例312?∞+∞-+x dx计算⼴义积分讲解注意：例4计算⼴义积分.1sin 12∞+dx x x 2/π讲解注意：例5计算⼴义积分∞+-pt dt e 且0>p 时收敛p 是常数,(). t 0讲解注意：例6证明⼴义积分∞+11dxx p当1>p 时收敛当1≤p 时发散.,讲解注意：例7计算⼴义积分).0(022>-?a x a dxa讲解注意：例8证明⼴义积分11dx x q当1""讲解注意：例9计算⼴义积分.ln 21x dx讲解注意：例10计算⼴义积分.30dx1=x 瑕点)1(2/3-x .讲解注意：例11计算⼴义积分?∞+03+x x dx1().讲解注意：例12.)1(arcsin 10-dx x x x计算⼴义积分讲解注意：例13.11105?∞+++x x x dx 计算⼴义积分讲解注意：。
高等数学-定积分的概念与性质
= σ=1 ( ) .
→0
其中()称为被积函数，()称为被积表达式，称为积分变量,
[, ]称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限．
15
02 定积分的定义
注（1）定积分)( 是一个数值，它只与被积函数()
和积分区间[, ]有关，而与积分变量的符号无关，即
(2)近似（“以直代曲”）
在区间 [−1 , ] 上任取一点 ，以 ( ) 为高，
y
y=()
以 为底，作小矩形．小矩形的面积为
( ) ，用该结果近似代替[−1 , ]上的小
O
a
x i -1 ξ i x i
b
x
曲边梯形的面积 ，即
≈ ( ) （ = 1, 2, ⋯ , ）．
)(
=
)(
=
)( ．
（2）定积分存在，与区间的分法和每个小区间内 的取法无关.
Hale Waihona Puke （3）按照定积分的定义，记号)( 中的, 应满足关系
< ，为了研究的方便，我们补充规定：
① 当 =
② 当 >
时， = )( = )( 0；
在区间 [1,2] 内， 0 ≤ < 2 < 1 ，
则( )3 < .由性质5.5的推论1，得
2
1
>
2
1 ( )3 ．
28
极限，得 σ=1 ( ) .
→0
如果对于[, ]的任意分法及小区间[−1 , ]上点 的任意
取法，上述极限都存在，则称函数()在区间[, ]上可积，
高等数学 第五章 定积分的概念及其性质
() a,( ) b, a (t) b,t [, ]
则有定积分换元公式：
b a f (x)dx
例1：计算定积分
(1)
4
cos(2
x
)dx
0
4
1
(2)
1 x2 dx
0
定积分的计算
解：(1)
4
cos(2
x
)dx
0
4
1
4
cos(2
x
)d
(2
x
)
20
4
4
令 t 2x ，则当 x 时，t
解：(2)、 y 1 x2
y2 x2 1( y 0)
如图
y
1S
o
1x
（2）
定积分的概念及性质 4、定积分的计算法则
法则1 常数因子可以提到积分号外.即
法则2 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即
法则3 (积分区间的可加性) 对任意的点c,若函数在区间
上均可积，则有
定积分的概念及性质
4
4
4
则当 x 0时，t ，有：
原式 1 2
4
4
cos
tdt
4
1 sin t 4 2 4
2 2
(2) 1 1 x2 dx 0
令 x sin t ，则当 x 1 时，t
2
则当 x 0时，t 0 ，有：
原式 2 1 sin2 td sin t 0
2
cos2
tdt
例2
求
1
0 (
x3
x
1)dx
．
解
1
(
x
3
x
1)dx
高等数学5.1 定积分概念
1
1 0
x 2 dx lim
0
i 1
n
1 f(x i )x i lim 1 (1+1 )(2+1 ) ． n n n 3 6
利用几何意义求定积分：
求积分
0 (1 - x)dx
1
．
解 以y=1-x为曲边，以区间[0, 1]为底的曲边梯形为一直角 三角形， 所以
O
a x 1 x1 x 2 x2n i 1xi-1 Nhomakorabeaxi xi
xn-1 b x
•曲边梯形的面积近似为：A f (x i )xi ．
•记 max{x1, x2， · ·x n }．则 ·,
•曲边梯形的面积的精确值为：A= lim f (x i )xi ． 0
i 1 n
(2)和 f (x i )xi 通常称为f (x)的积分和．
i 1 n
b
b
b
定积分的可积性问题：
如果f(x)在[a, b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a, b]上可 积． 定理1 设f (x)在区间[a，b]上连续，则f (x) 在[a，b]上可积． 定理2 设f (x)在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则 f (x) 在[a，b]上可积．
把区间[a，b]分成n个小区间
[x0，x1]，[x1，x2]，· ，[xn-1，xn] ， · · 各小段区间的长依次为
x1x1-x0，x2x2-x1，· ，xn xn -xn-1． · ·
任取xi [xi-1，xi] ，作函数值 f (xi)与小区间长度xi的乘积 f (xi) xi (i1，2，· ，n) ， · · 并作出和 S=
高等数学 第五章定积分习题课
∫
b
a
f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx
a
b
⑧估值定理：设M 和 m 分别是函数 f ( x )在区间[a, b ]上的 估值定理： 最大值和最小值， 最大值和最小值，则
m (b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a )
a b
上连续, ⑨定积分中值定理：如果函数 f ( x ) 在闭区间[a, b ] 上连续 定积分中值定理： 则至少存在一点ξ ∈(a , b) ,使下式成立： 使下式成立： 使下式成立
b b b
b
a
b
b
∫
b
a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a c
c
b
⑤区间长： ∫ 1dx = b − a 区间长：
a
b
保号性： ⑥保号性：如果在区间[a, b ]上, f ( x ) ≥ 0 ，则∫ a f ( x )dx ≥ 0
b
⑦单调性：如果在区间 [a, b ] 上, f ( x ) ≤ g ( x ) 则 单调性：
b
∫
b
a
f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx −
t →b a
t
设 c ( a < c < b ) 为 f ( x ) 的瑕点，则有 的瑕点，
∫
b a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a c
c
b
= lim ∫ f ( x )dx + lim ∫ f ( x )dx − +
∫
b
a
f ′( x )dx = [ f ( x )] a = f (b) − f (a ) = a − b
高数定积分公式大全
高数定积分公式大全在高等数学中，定积分是通过积分来求解某一特定函数的不定积分的一种特殊方法，是计算物理量变化，寻找函数极值点以及在区间内求定积分的有效工具。
定积分的定义如下：如果函数f(x)在给定区间[a,b]上可导，那么定积分的定义为：∫a^bf(x)dx = F(b) - F(a)其中F(x)是f(x)的某个不定积分，解析法求解定积分的步骤为：首先将函数f(x)分解为常数、x、x^2、x^n多项式，其次对于每一项分别求解其不定积分，最后再将每一项求得的不定积分相加，即可得出整体定积分的解析解。
定积分中常见的公式有：一、定积分中的基本公式1. 不定积分的基本公式：∫x^ndx = 1/n+1*x^n+1 + C2. 二次方程不定积分的公式：∫x^2dx = 1/3*x^3 + C3.用的其他不定积分的公式：(1)∫sinx dx = -cosx + C(2)∫cosx dx = sinx + C(3)∫1/(1+x^2)dx = arctanx + C(4)∫lnx dx = xlnx - x + C二、高阶定积分的公式1. 一阶定积分：∫ax+b dx = 1/a*(ax+b) + C2. 二阶定积分：∫ax^2 + bx + c dx = 1/3a*x^3 + 1/2b*x^2 + cx + C3.用的其他高阶定积分的公式：(1)∫sinax dx = -1/a*cosax + C(2)∫e^x dx = e^x + C(3)∫lnax dx = xlnax - x + C三、复合定积分的公式定积分可以复合求解，以求解复合定积分为例，复合定积分公式为：∫a^b f(x)dx =a^x f(x)dx +x^b f(x)dx其中f(x)为一个标量函数，[a,b]为被积函数的定积区间，求解步骤如下：1.根据f(x)的表达式求出该函数的不定积分F1(x)；2.复合定积分拆分成两部分，先求∫a^x f(x)dx，即F1(x)的定积分，再求∫x^b f(x)dx，即F2(x)的定积分；3.后将两部分求得的结果相加，即可得出复合定积分的解析解，解析解为F1(b) - F1(a) + F2(b) - F2(a)。
定积分是高等数学中占有重要地位的
1
b a
g(x)dx
b
f (x)g(x)dx = f (ε)
a
但若
1
b a
g(x)dx
b
f (x)g(x)dx = Mf
a
则
b
(Mf − f (x))g(x)dx = 0
a
由 (Mf − f (x))g(x) 0 导出 (Mf − f (x))g(x) = 0
从而由
b a
g(x)dx
=
0，存在
ε
∈
(a,
−
h
x0 a
f (t)dt
−
f (x0)|
=|
x0 +h x0
f
(t)dt
−
h
x0 x0
+h
f
(x0
)dt
|
1 h
x0 +h
|f (t) − f (x0)|dt
x0
因为 f(x) 在 x0 连续，从而对 ε > 0，存在 δ > 0，当 |t − x0| δ 时， |f (t) − f (x0)| < ε，从而当 0 < h < δ 时，
1 h
x0 +h
|f (t) − f (x0)|dt < ε
x0
从而
lim
h→+0
x0 +h a
f
(t)dt
−
h
x0 a
f (t)dt
=
f (x0)
同样方法：
lim
h→−0
x0 −h a
f
(t)dt
−
h
x0 a
f (t)dt
=
高等数学第6章
• 另外，如果这个极限存在，也称广义积分 • 收敛，否则称广义积分
发散。
• 同样可定义广义积分 及其收敛
• 和发散。对广义积分 •
，
存在的充分必要条件是对任意 实数a,两个广义积分 和
都收敛。
• 6.5.2 无界函数的定积分
• 定义6.5.2 设函数 f (x)在[a,b)有定义，且当 x→b-时，f (x)→∞，设δ＞0，积分
• 如果极限
• 存在，这个极限就称为无界函数 f (x)在[a,b] 上的广义积分，记为
• 也称广义积分
极限 •
收敛。否则，如果
不存在，就称广义积分
是发散的。
• 类似地，如果当x→a+时，f(x)→∞，可以类
似地定义广义积分 为：
• 而对当a＜c＜b,当x→c时，f(x)→∞，规定广
义积分 • 和 存在当且仅当广义积分 都存在，且
• 6.3 微积分学基本定理 • 6.3.1 变限定积分 • 定理6.3.1 如果函数f (x)是区间[a,b]上的一个
连续函数，那么当a≤x≤b时，变上限积分
• 是一个可导函数，且
• 定理6.3.2 在区间[a,b]上连续的函数 f (x)的
• 原函数一定存在，且变上限积分
• 就是它的一个原函数。 • 例6.3.4 设 f (x)，g(x)和h(x)都是连续函数，
• 令各小区间的最大长度
，
• 如果不论小区间怎样划分，也不论在小区
间[xk-1,xk]上如何取ξk，当λ→0时，极限
•
• 为
总是存在，则这一极限就称
为函数 f (x)在区间[a,b]上的定积分。记 ，即：
• 关于定积分的定义，我们做如下说明：
定积分的参数化代换法
定积分的参数化代换法定积分是高等数学中的一个重要分支，它对于各个领域的数学科学都有着重要的贡献。
在计算一些较为复杂的定积分时，常常采用参数化代换法，该方法通过对被积函数进行参数化，将复杂的积分式转化为简单的形式，从而方便计算。
以下，我们将从定积分的概念入手，详细介绍参数化代换法的具体应用。
一、定积分的概念在高等数学中，定积分是指对于一个函数f(x)，确定其在区间[a,b]上的某一部分的面积。
这个面积可以看作是由一系列无限小的短条形成的。
在[ a, b ]之间分出n等份，每份长度为(xᵢ₊₁- xᵢ)，取一点xᵢ*，其中i=0,1,2,...,n-1。
这时将[ xᵢ, xᵢ₊₁ ]看做一个小区间，将函数在这个小区间内的取值f(xᵢ*)看做是小区间的高，则小区间面积为f(xᵢ*)·(xᵢ₊₁ - xᵢ)，将所有小区间面积相加，这个和即为定积分，记作∫(下限a,上限b)f(x)dx。
具体公式如下：∫(a,b)f(x)dx=lim(Δt→0)Σf(xᵢ*)Δx二、参数化代换法的含义在实际计算定积分时，有时我们会面对一些较为复杂的被积函数，此时如果采用传统的积分方法，往往会变得非常繁琐。
这时，我们可以通过参数化代换法，对被积函数进行参数化，将变量替换成一组新的参数，从而化繁为简，方便计算。
具体来说，参数化代换法即是将原来的自变量x用一个或多个新的参数t表示出来，即x=x(t)，然后将原来的被积函数f(x)写成f(x(t))，此时，对于变量t，可以进行简单的积分计算，从而方便求出整个定积分。
这个过程可以看作是将原来的积分区域用一定的方式变形，从而使得被积函数变得更加简单。
三、参数化代换法的基本思路在采用参数化代换法计算定积分时，我们需要遵循以下基本思路：（1）选取合适的替代变量：一般情况下，我们会选择对称、周期或者特殊的函数作为替代变量。
（2）确定替换公式：确定替代变量后，需要根据替代变量和原函数的关系确定替换公式。
高等数学(一元微积分)02-7.2定积分的定义与几何意义
b
b
与积分变量使用的字母的选取无关，即有 a f (x)dx a f (t)dt ．
3．在定积分的定义中，有 a b ，为了今后计算方便，我们规定：
a
b
a
f (x)dx f (x)dx 及 f (x)dx 0 ．
b
a
a
2.定积分的几何意义
设 f (x) 是 a,b上的连续函数，由曲线 y f (x) 及直线 x a, x b, y 0 所围
1
2
证 明 令 y 1 x 2 , x [1,1] ， 显 然 y 0 ， 则 由 y 1 x2 和 直 线
x 1, x 1， y 0 所围成的曲边梯形是单位圆位于 x 轴上方的半圆．如图 5.1.4
所示．因为单位圆的面积 A ，所以半圆的面积为 ．
2
由定积分的几何意义知： 1 1 x2 dx ．
a
0
f (i )xi ，
i 1
(5.1.3)
其中， f (x) 称为被积函数， f (x)dx 称为被积表达式， x 称为积分变量，a 称为积
分下限， b 称为积分上限，[a,b]称为积分区间．
根据定积分的定义，前面所讨论的两个实例可分别叙述为：
b
曲 边 梯 形 面 积 A 是 曲 线 y f (x) 在 区 间 [a,b] 上 的 定 积 分 A a f (x)dx
于 x 轴的上方或下方．这时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代 数和，如图 5.1.3 所示，有
b
a f (x)dx A1 A2 A3
其中 A1, A2 , A3 分别是图中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数．
图 5.1.3
图 5.1.4
例 1 利用定积分的几何意义，证明 1 1 x2 dx ．
定积分的概念与性质
(2)取近似:取每个小区间的右端点i n
为ξi(
i=
1,2,…,n),
作乘积
f
(i )xi
( i )2 n
(3)求和:
n
i 1
f (i )xi
n i2 ()
i1 n
1 n
n i 1
i2 n3
Байду номын сангаас
1 n3
(12
22
n2)
=
1 n3
1 6
n(n
1)(2n
1)
1 6
(1
1 )(2 n
1 n
)
例1.1 用定积分的定义计算 1 x2dx 0
1
2e 4
2 ex2 xdx 2e2
0
证明：
函数在闭区间[0, 2]上的最大值为 e2
最小值为
1
e4
所以由积分估值定理可知
1
性质6(定积分估值定理) 设m, M 是f(x) 在区间 [a,b] 上最 小值和最大值,则
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
性质7(定积分中值定理) 如果函数f(x) 在闭区间 [a,b] 上 连续,则在 [a,b] 上至少存在一点ξ使
b
a f (x)dx f ( )(b a)
b
dx
b1 dx 高为1、底为b a的矩形面积=b a
a
a
a xdx 高为a、底为a的直角三角形面积= 1 a2
0
2
R R2 x2 dx 半径为R的上半圆面积= 1 R2
R
2
2 sin xdx （0 正负面积相消后的代数面积为0） 0
例1.1 用定积分的定义计算 1 x2dx 0
2021考研高等数学重点公式详解-定积分及其应用
f 此时也称反常积分J:J(x灿收敛，否则称反常积分 J(x讪发散
J: 3）设函数 f(x） 在［a，小 （c,b］ 上连续，出 f(x) =oo，如果反常积分 J(x'ylx 和
I: J: f(x灿都收敛，则称f:J＜抽＋ f（树为函数／（x）刮风b］ 上的反常积分，即
＝ (3）曲线方程为极坐标方程r =r（θ），α豆θ β，则
J:2 S倒 ＝ 矿（O)sin o.Jr2 （的＋r'2
4.平丽曲线的弧长 〈数学－，二〉
r: F+λ (1）曲线方程 y = f(x) , aSxSb ，则S=
ι°？ d
(2）曲线方程 x=x(y), c 豆 y!::d ，则s= L
dx.
r 2）类似地，设函数f(x） 定义在（咽，b］上连续，取 t<b ，如果但 f(x讪存在，则
称此极限为函数f(x） 在（-oo,b］上的反常积分，即
f （！（抽 . ＝ 坐立 1c抽1
（ （ 此时也称反常积分 f(x灿收敛，否则称反常积分 f(x)dx发散
i- （ 叫函数／（机义在（-oo,+oo）上连续，如果反常积分 f（树和 f(x)dx都收敛，
豆豆？一一一 称为函数 f(x） 在区间 ［a,b］上的平均值． a
性服6如果 f(x） 为奇函数时，汇／（柏＝0;
如果f（均为奇函数时，巳 f（对此＝ 2J:f(x）耐
性质7如果f(x） 是以T为周期的周期函数，则有
J: T
r /(X）命＝ f(x)dx.
nT
r f(x）由＝nJ: /(x)
三、积分上限函数 (1）积分上限函数定义
I 则有 J:1＜抽 ＝
高等数学微积分课件--61定积分的概念与性质
分部积分法
分部积分法是通过将两个函数的乘积 进行求导，然后将求导结果进行积分 ，从而得到原函数的一种方法。
VS
分部积分法的关键是选择合适的函数 进行乘积，使得求导和积分过程简化 ，常用的分部积分法有凑微分法和部 分分式法。
区间可加性的意义
区间可加性是定积分的一个重要性质，它表明定积分具有可加性，即函数的定积 分值只与区间的端点有关，而与区间的分割方式无关。这一性质在解决实际问题 时非常有用，因为它可以简化计算过程，提高计算的准确性。
函数值的积分性质
函数值的积分性质
如果函数f在区间[a, b]上的定积分等于该区间上任意一点的函数值与区间长度b-a的乘 积，即∫f dx = f(ξ)(b-a)，其中ξ属于[a, b]，则称f的定积分具有函数值的积分性质。
定积分的几何意义
1
定积分的值等于由曲线和x轴所夹的曲边梯形的 面积。
2
定积分的值等于数轴上一定区间内的一个区间所 对应的坐标原点处的值。
3
定积分的值等于函数图像在一定区间内与x轴之 间的面积。
02
定积分的性质
线性性质
线性性质
对于任意两个函数的和或差，其定积 分等于各自定积分的和或差。即，对 于任意函数f和g，以及常数a和b，有 ∫(a*f+b*g) dx = a * ∫f dx + b * ∫g dx。
定积分的计算方法
直接积分法
直接积分法是定积分的基本计算方法 ，通过将积分表达式进行不定积分， 然后求出原函数，再根据定积分的上 下限求出定积分的值。
直接积分法的关键是求出不定积分， 不定积分是微分学的逆运算，可以通 过凑微分、分部积分等方法求解。
高等数学-第5章 5.1 定积分的概念与性质
第5章 定积分及其应用定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题，这类问题往往归结为计算“和式的极限”.定积分与不定积分是两个不同的概念,微积分基本定理揭示了这两个概念之间的关系,解决了定积分的计算问题.本章将从两个实例出发引出定积分的概念,然后讨论定积分的性质和计算方法,介绍定积分在几何上和物理学上的一些应用.§5.1 定积分的概念与性质一、引例 1. 曲边梯形的面积在中学，我们学过求三角形、矩形等以直线为边的图形的面积。
但在实际应用中，有时需要求以曲线为边的图形的面积（图5.1），这种图形可以分割为若干个一条边为曲线，而其余边为直线的图形（图5.2）。
现考虑求由连续曲线()(()0)y f x f x =≥以及直线0===y b x a x 、、所围成图形（图 5.3）的面积，这种图形称为曲边梯形，曲线()y f x =叫做曲边梯形的曲边。
怎样计算曲边梯形的面积呢？不妨回顾一下我们是怎样求函数在某点的瞬时变化率（切线的斜率、瞬时速度）的，都是先求某一区间内的平均变化率（割线的斜率、平均速度），得到某点变化率的近似值，再取极限由近似变化率过渡到精确变化率（切线的斜率、瞬时速度）。
简言之，就图5.3图5.1图5.2是先求近似值，再取极限由近似值过渡到精确值。
我们也采取这种方法来求曲边梯形的面积，先将曲边梯形分割成若干个小的曲边梯形，每个小曲边梯形都用一个小矩形近似代替，则所有小矩形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，当把曲边梯形无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形的面积.为了便于表述，按下面四个步骤求曲边梯形的面积A ： （1）分割 用1n +个分点01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<= ，把区间],[b a 分成n 个小区间011211[,],[,],,[,],,[,]i i n n x x x x x x x x -- ，它们的长度依次为11022111,,,,,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --∆=-∆=-∆=-∆=- ，经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，第i 个小曲边梯形的面积记为(1,2,,)i A i n ∆= ，则所求曲边梯形的面积可表示为121nn i i A A A A A ==∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆∑。
高等数学- 定积分概念
点 i 怎样的取法, 只要当 0时，和S 总趋于
n
确定的极限 I ，即
I
lim
0 i1
f (i )xi
我们称这个极限 I 为函数 f(x)在区间 [a,b] 上
的定积分 . 记为
积分上限
积分号
b
n
f ( x)dx
a
lim 0
i 1
f (i )xi
积分和
积分下限
被 积 函 数
被积
积 表 达 式
e
e
例2 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
0 (e x x)dx 0, 2
0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
xdx.
0
0
性质6 设M 及m 分别是函数 f ( x)在区间[a, b]上的最大值及最小值，
则 m(b a) b f ( x)dx M (b a). a
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
例3 估计积分
0
3
1 sin3
dx的值. x
例4 证明: 4 3 (x2 1)dx 20 1
性质7（定积分中值定理）
如果函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续，
则在积分区间[a,b]上至少存在一个点 ，
使
b
a
f
(
x
)dx
f ( )(b a).
(a b)
积分中值公式
证
m(b
a)
b
a
f
( x)dx
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代，虽然为此会产生误差，但当分割越来越细的 时候，矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面
积.
一分为二 y
y
b
x
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一分为四
y
y f x
S ( A)
O
a
x1
x2
x3
b
x
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一分为八
y
y f x
S ( A)
i 1
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给定的 0, 能够找到 0, 使得当
T max Δxi 时, 对任意 i [ xi 1 , xi ] ,
都有
f ( )Δx －S
i 1 i i
n
.
对于另外两个实际问题,也可类似地归结为黎曼和 的极限.
总结以上分析，下面给出定积分定义.
与 S 的差距 就会越来越小.
问题是：
i 1
(1) 如何刻画分割越来 越细？
(2) 如何刻画 f ( i )Δxi 越来越逼近于 S ?
i 1 n
下面依次讨论这两个问题.
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(1) 对于一般的 T : a0 x0 x1
xn b, 不能
用 n 来表示分割 T 越来越细,因为可能某些
f ( )x
i 1 i
b
n
i
J ,
n
则称 f 在 [a , b] 上可积， 并称 J 为 f 在 [a,b]上的
定积分,记作 J a f ( x )dx lim
T 0
f ( i )Δxi .
i 1
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其中称 f 为被积函数, [a , b] 为积分区间, x 为积
O
a x1
x3
x81 b
x
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y 一分为 n
y f x
S ( A)
O
a x1
xi 1 xi
i
xn1 b
x
可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形
的面积.
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如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的
过程呢？ 这可以分三步进行. 1. 分割：把曲边梯形 A 分成 n 个小曲边梯形
用T x0 , x1 ,
, n，
, xn 或T = Δ0 , , Δ n 来记这个分割.
2. 近似: 把小曲边梯形 Ai 近似看作矩形,即任取
i [ xi 1 , xi ], 在 [ xi 1 , xi ] 上把 f ( x )近似看作常数
f ( i ) .此时 Ai 的面积 Si 约为 f ( i )Δxi , 所以
S ( A) S i f ( i )Δxi .
n n
上述和式 f ( i )Δxi 称为积分和或黎曼和.
i 1
n
i 1
i 1
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3. 逼近：不管分割多么细，小曲边梯形终究不是 矩形，因此黎曼和
f ( )Δx
i 1 i
n
i
与曲边梯形的面积
n
S 总有差别. 当分割越来越细时，和式 f ( i )Δxi
分变量,a, b 分别为积分下限和上限. 由定义, 曲边为 f ( x ) 的曲边梯形的面积为
S f ( x )dx .
a
b
通过类似分析,速度 v( t ) 质点运动的路程为
s v ( t )dt ;
a
b
密度为 ( x ) 线状物体的质量为
m ( x )dx .
a
b
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J R. 定义1 设 f 是定义在 [a , b] 上的函数， 若 0， 0, 对任意分割 T : a0 x0 x1
及任意
xn b ,
, n,
i xi 1 , xi , i 1, 2,
当 T max xi 时,必有
A ( x , y ) | x [a , b] , 0 y f ( x ) .
y
y f x
S ( A)
O
a
b
x
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2. 已知质点运动的速度为 v ( t ) , t [a , b]. 求从时刻 a 到时刻 b,质点运动的路程 s. 3. 已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为
区间 [ xi 1 , xi ] 的长度不趋于 0 . 要保证每个区间
[ xi 1 , xi ] 的长度趋于0, 需引入分割 T 的细度(模):
T max Δxi i 1, 2,
n
, n .
则当 T 0 时, 就能保证分割越来越细.
(2) 要刻画 f ( i )Δxi 能无限逼近 S , 需对任意
§1 定积分的概念
在很多数学和物理问题中，经常需要 求一类特殊和式的极限:
lim
T
0
f ( ) x ,
i 1 i i
n
这类特殊极限问题导出了定积分的概念.
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三个典型问题
1. 设 y f ( x ) , x [a , b], 求曲边梯形 A 的面积 S (A), 其中
A1 , A2 ,, An ,
即在 [a , b] 上找到 n 1 个分点 { x1 , x2 ,
, xn1 },
a x1 x2
a x1 x 2
xn 1 b,
xn1 b
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为方便起见，记 x0 a, xn b，
i [ xi 1 , xi ], Δxi xi xi 1 , i 1, 2,
( x ) , x [a , b] , 求线状物体的质量 m .
显然, 当 f ( x ) c 为常值函数时， S ( A) c(b a );
当 v( t ) v0 为匀速运动时, s v0 (b a ); 当质量为
均匀分布时， 即 x 为常数时, m (b a ).
这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变” 的情况
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可以用简单的乘法进行计算. 而现在遇到的问题
是“非常值” 、“不均匀”、“有变化”的情形，
来解决这些问题呢？ 如何 以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题
合理地归为一类特殊和式的极限.
中心思想： 把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每 个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替
关于定积分定义，应注意以下几点： 注1 表达式 J lim