【完美排版】山西省大同一中高一数学下学期期中试题新人教A版【含答案】
山西省大同一中高一数学下学期期中试题新人教A版
2010~2011学年度第二学期期中试卷高 一 数 学第Ⅰ卷 客观卷（共48分）一、选择题（每小题4分，共48分）1． 已知角α的终边经过点P 33(sin ,cos )44ππ，且2a απ≤<，则α的值为 A ．4π B ．34π C ．54π D ．74π 2． 下列等式中恒成立的是 A ．sin(2)sin x x π+=B ．sin()sin x x π-=-C ．sin()cos()22x x ππ-=- D ．cos()cos x x π+= 3． 已知向量(1,0)a =，11(,)22b =，则下列结论成立的是 A ．||||a b = B ．22a b = C ．//a b D ．a b -与b 垂直 4． 在△ABC 中，AB c =，AC b =，若点D 在BC 上满足2BD DC =，则AD 等于A ．2133b c + B ．5233c b - C ．2133b c - D ．1233b c + 5． 已知角α是第二象限角，则πα-是 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角6． 圆的半径为6cm ，则15°的圆心角与圆周围成的扇形的面积为A ．22cm πB ．232cm π C ．2cm π D ．23cm π7． 已知tan 2α=，则2sin cos sin 2cos αααα-+的值为 A ．0 B ．34 C ．1 D ．548． 在△ABC 中，5tan 12A =-，则cos A =A ．1213 B ．513 C ．513- D ．1213- 9． 函数1()|sin()|23f x x π=+的最小正周期为 A ．4π B ．3π C ．2π D ．π 10．直线3y =与函数tan y x ω= (0ω>)的图象相交，则相邻两交点间的距离为A ．πB ．2πω C ．πωD ．2πω 11．如右图是函数2sin()y x ωϕ=+，(||2πϕ<)A ．1011ω= 6πϕ=B ．1011ω= 6πϕ=-C ．2ω= 6πϕ= D ．2ω= 6πϕ=- 12．已知点O 是△ABC 内一点，且OA OB OC O ++=，则O 是△ABC 的A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心第II 卷 主观卷（共52分）二、填空 (每小题4分，共16分)13．若向量1e ，2e 不共线，且12ke e +与12e ke +可以作为平面内的一组基底，则实数k的取值范围为 ．14．若02απ<<，且sin 2α<和1cos 2α>同时成立，则α的取值范围 ．15．函数2sin 1y x =-+的单调递增区间为 ．16．设a 、b 、c 是任意的非零向量，且相互不共线，给定下列结论① ()()0a b c c a b -= ② ||||||a b a b -<-③ ()()b c a c a b -不与c 垂直 ④22(32)(32)94a b a b a b +-=-其中正确的叙述有 ．三、解答题17．(12分)求函数tan()6y x =+的定义域．18．(12分) 已知向量a 、b 满足||5a = (1,3)b =-且(2)a b b +⊥求：(1)向量a 的坐标；(2) 向量a 与b 的夹角．19．(12分) 已知函数sin()y A x ωϕ=+ (x R ∈；0A >；0ω>；||2πϕ<) 该函数图象上的一个最高点坐标为(,3)6π，与其相邻的对称中心的坐标是(,0)12π-，求该函数sin()y A x ωϕ=+的解析式．20．(10分) (附加题) 已知向量(cos 23,cos 67)a = (cos 68,cos 22)b = 求：(1) a ·b ； (2) 若向量b 与向量m 共线，u a m =+，求u 的模的最小值．2010~2011学年度第二学期期中试卷高一数学答案关于数学名言警句大全1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。
2022-2023学年人教A版高一下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 设函数＝，＝，集合＝ （），＝，则＝（ ）A.B.C.D.2. 已知为虚数单位，若复数，则( )A.B.C.D.3. 已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 A.B.C.D.4. 已知正四棱锥的底面是边长为的正方形，若一个半径为的球与此四棱锥所有的面都相切，则该四棱锥的高是( )A.f(x)x −1g(x)−23x M x ∈R |f g(x)<0}N {x ∈R |g(f(x))<1}M ∪N (1,+∞)(0,1)(−1,1)(−∞,2)i ω=−+i 123–√2=ω2ω¯¯¯1ωp :{x|(x −m)(x −(m +2))<0}q :{x|−9x +14<0}x 2p q m ()(2,5)[2,5)[2,5](−∞,2]∪[5+∞)S −ABCD 4123–√38B.C.D.5. 用斜二测画法作出的水平放置的直观图如图所示，其中，，则绕所在直线旋转一周后所形成的几何体的表面积为（ ）A.B.C.D.6. 如图，正六边形的边长为，则 A.B.C.D.7. 已知函数的图象为，则：①关于直线对称；②关于点对称；③在上是增函数；④由＝的图象向右平移个单位长度可以得到图象．以上结论正确的有（ ）A.①②839294△ABC △A ′B ′C ′=A ′C ′3–√2=1A ′B ′△ABC AC π532π3ππ103ABCDEF 2∗=(AC →BD →)23612f(x)=2sin(2x +)π3C C x =π712C (,0)π12f(x)(−,)π3π12y 2cos 2x π12CB.①③C.②③④D.①③④8. 已知函数是奇函数，若，则的取值范围是 A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知正方体中，设与对角线垂直的平面截正方体表面所得截面多边形记为，则关于多边形的说法正确的是( )A.可能为正三角形B.可能为正方形C.若为六边形，则面积为定值D.若为六边形，则周长为定值10. 下列说法错误的是（ ）A.若，则B.若，则存在唯一实数使得C.两个非零向量，若，则与共线且反向D.已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是11. 在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论中正确的是( )A.若，则B.若，则是等腰三角形C.若，则是直角三角形D.若，则是锐角三角形f(x)=+a 4x 2xf(2m −1)+f(m −2)≥0m ()m >1m <1m ≥1m ≤1ABCD −A 1B 1C 1D 1AC 1αM M M M M M //,//a →b →b →c →//a →c→//a →b →λ=λa →b→,a →b →|−|=||+||a →b →a →b →a →b →=(1,2),=(2,x)a →b →a →b →x (−1,+∞)△ABC A B C a b c a >b sin A >sin Bsin 2A =sin 2B △ABC a cos B −b cos A =c △ABC +−>0a 2b 2c 2△ABC A C △ABC12. 已知角，，是锐角的三个内角，下列结论一定成立的是( )A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若虚数同时满足下列两个条件：①是实数；②的实部与虚部互为相反数，则________，________.14. 设单位向量满足，则________．15. 已知函数若关于的方程恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数的取值集合为________.16. 在中，角，，的对边分别为，，．若，则________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知扇形的圆心角所对的弦长为，圆心角为弧度．求：这个圆心角所对的弧长； 这个扇形的面积．18. 已知复数，是虚数单位．若是纯虚数，求的值和；设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第三象限，求的取值范围． 19. 在中，角，，的对边分别为，，，且.求；若的面积为，为边的中点，求的最小值．A B C △ABC sin(B +C)=sin Acos(A +B)=cos Ctan()=−tan A +B 2C 2sin()=cos A +B 2C 2z z +5zz +3z =|z|=，e 1→e 2→⋅=−e 1→e 2→12|+2|=e 1→e 2→f(x)={−4,x ≤0，x 2−5,x >0，e x x |f(x)|−ax −5=0a △ABC A B C a b c b sin B +c sin C =a sin A A =22π3(1)(2)z =(m ∈R 2+4mi 1−ii )(1)z m |z|(2)z ¯¯¯z −2z z ¯¯¯m △ABC A B C a b c a =2b sin(C +)3–√π3(1)B (2)△ABC 3–√D AB CD20.如图是一个缆车的示意图，该缆车半径为，圆上最低点与地面距离为，且缆车转动一圈，图中与地面垂直，以为始边，逆时针转动角到.设点与地面间的距离为，缆车从的位置开始转动．试将表示成关于的函数；若经过后点到达点，试将表示成关于的函数；试利用或的结论，说明缆车从最低点到达最高点至少需要多长时间？21. 将边长为的正方形沿对角线折叠，使得平面 平面, 平面，是的中点，且 .求证：；求二面角的大小．22. 已知函数，若是定义在的奇函数.求的值；判断函数的单调性，并给出证明；若在上有解，求实数的取值范围．4.8m 0.8m 60s OA OA θOB B h OA (1)h θ(2)t s A B h t (3)(1)(2)A 2ABCD BD ABD ⊥CBD AE ⊥ABD F BD AE =2–√(1)DE ⊥AC (2)B −EC −F g(x)=lg(−x)+a x 2−−−−−√g(x)R (1)a (2)(3)g(b +2)>g(2x +1)x 2[2,3]b参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】由（）得，求解集得集合；由（）得，求解集得集合；由此计算．【解答】由（），得，解得，所以集合＝；由（），得，即，解得，所以＝；所以＝＝．2.【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】直接计算，即可得出答案.【解答】解：∵，∴.故选.3.f g(x)>0−2<13x Mg f(x)<1−2<13x−1N M ∪N f g(x)>0−2<13x x <1M {x |x <1}g f(x)<1−2<13x−1<33x−1x <2N {x |x <2}M ∪N {x |x <2}(−∞,2)ω=−+i 123–√2==−i +ω2(−+i)123–√22143–√234i 2=−−i =123–√2ω¯¯¯AC【考点】根据充分必要条件求参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：，.因为是的充分不必要条件，所以 且等号不同时成立，解得 .故选.4.【答案】B【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由等体积法进行求解.【解答】解：因为球与正四棱锥所有面都相切，所以于是由等体积法知：,即，所以.故选．5.【答案】C p :{x|(x −m)(x −(m +2))<0}={x|m <x <m +2}q :{x|−9x +14<0}={x|2<x <7}x 2p q {m ≥2,m +2≤7,2≤m ≤5C O S −ABCD =+V S−ABCD V O−ABCD V O−SAB +++V O−SBC V O−SDAV O−SCD××h =××113421342+4×××1134×+4h 2−−−−−√2h =83B斜二测画法画直观图旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】根据斜二测画法可知：，，根据圆锥的表面积公式进而即可求得结果.【解答】解：根据斜二测画法可知：，，为直角三角形，将绕所在直线旋转一周后形成的几何体为圆锥，底面半径为，高为，侧面母线长为，几何体的表面积为.故选.6.【答案】C【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】根据和正六边形的性质得出答案．【解答】∵正六边形的边长为，∴，，，∴．7.【答案】D【考点】正弦函数的单调性正弦函数的奇偶性和对称性函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】AB ＝1AC ＝3–√AB =1AC =3–√△ABC △ABC AC 13–√2∴S =π×1×2+π×=3π12C =BD →AE →ABCDEF 2AC =AE =CE =23–√=BD →AE →∠CAE =60∘∗=∗=2×2×cos =6AC →BD →AC →AE →3–√3–√60∘A sin(ωx +φ)利用正弦函数的图象和性质，函数＝的图象变换规律，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】∵函数的图象为，当时，＝，为最小值，故①关于直线对称，正确．当时，＝，为最大值，故②关于点对称，错误．在上，，单调递增，故③在上是增函数，正确．由＝的图象向右平移个单位长度，可得＝＝＝＝＝的图象，故④正确，8.【答案】C【考点】函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由是奇函数，且定义域为，可得，所以，显然函数在上单调递增.由可得，所以，所以，解得.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）y A sin(ωx +φ)f(x)=2sin(2x +)π3C x =7π12f(x)−2C x =π712x =π12f(x)1C (,0)π12(−,)π3π122x +∈(−,)π3π3π6sin(2x +)π3f(x)(−,)π3π12y 2cos 2x π12y 2cos 2(x −)π122cos(2x −)π62sin(+2x −)π2π6−2sin(2x −)π3f(x)f(x)=+a4x 2x R f(0)==0+a4020a =−1，f(x)=−2x 2−x f(x)R f(2m −1)+f(m −2)≥0f(2m −1)≥−f(m −2)f(2m −1)≥f(2−m)2m −1≥2−m m ≥1C9.【答案】A,D【考点】棱柱的结构特征截面及其作法【解析】画出截面图，根据图形判断．【解答】解：如图所示，截面有这两种可能性，故正确，错误；截面变化过程中，六边形的面积在发生变化，故错误；设正方体棱长为，周长恒为，故正确．故选．10.【答案】A,B,D【考点】平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】直接利用向量的线性运算，向量的数量积，向量的共线的充要条件，三角不等式的应用判断、、、的结论．【解答】解：对于：若 ，则，故错误；对于：若 则存在唯一实数入使得，故错误．A B C a 6×a =3a 2–√22–√D AD A B C D A //,//a →b →b →c →(≠)b →0→//a →c →A B //(≠)a →b →b →0→=λa →b →B →−|=||+||→→→对于：两个非零向量，若，则与共线且反向，故正确；对于：因为的夹角为锐角，所以，且不能同向共线即，解得，所以实数的取值范围是，故错误.故选.11.【答案】A,C【考点】正弦定理余弦定理【解析】根据正余弦定理和三角形内角和判断各选项即可.【解答】解：对于，由正弦定理及大边对大角，所以正确；对于，可得或，是直角三角形或等腰三角形，所以错误；对于，由已知及余弦定理可得，化简得，所以正确；对于，由余弦定理可知，，可得角是锐角，但不能得出是锐角三角形，所以错误．故选．12.【答案】A,D【考点】诱导公式同角三角函数间的基本关系【解析】利用三角形内角和为以及诱导公式即可求解.【解答】C ,a →b →|−|=||+||a →b →a →b →a →b →CD ,a →b →⋅=2+2x >0a →b →4−x ≠0x >−1,x ≠4x (−1,4)∪(4，+∞)D ABD A A B A =B A +B =π2△ABC B C a −b =c +−a 2c 2b 22ac +−b 2c 2a 22bc =+a 2b 2c 2C D cos C =>0+−a 2b 2c 22ab C △ABC D AC 180∘A sin(B +C)=sin(π−A)=sin A解：，，正确；，，错误；，，错误；，，正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】或,【考点】复数的基本概念复数的模【解析】利用复数的定义和性质列出方程组能求出．【解答】解：设.∵是实数，∴，∴.又∵，∴. ①∵的实数与虚部是相反数，∴. ②联立①②解得或故或，.故答案为：或；.14.【答案】【考点】A sin(B +C)=sin(π−A)=sin A B cos(A +B)=−cosC C tan()=tan()=A +B 2π−C 21tan C 2D sin()=sin()=cos A +B 2π−C 2C 2AD −1−2i −2−i 5–√z z =a +bi z +5z a +bi +5a +bi =(a +bi)+5(a −bi)+a 2b 2=(a +)+(b −)i 5a +a 2b 25b +a 2b 2b −=05b +a 2b 2b ≠0+=5a 2b 2z +3a +3+b =0{a =−1,b =−2{a =−2,b =−1,z =−1−2i z =−2−i |z|=5–√−1−2i −2−i 5–√3–√向量的模【解析】根据题意和数量积的运算法则先求出，再求出．【解答】解：∵，，∴，∴，故答案为：．15.【答案】【考点】函数的零点与方程根的关系函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：令得或，∵在上单调递减，在上单调递增，∴作出 的函数图象如图所示：|+2e 1→e 2→|2|+2|e 1→e 2→⋅=−e 1→e 2→12||=1e 1→||=1e 2→|+2=+4⋅+4=1−2+4=3e 1→e 2→|2e 1→2e 1→e 2→e 2→2|+2|=e 1→e 2→3–√3–√{−e ，−，2，}5ln 552f(x)=0x =−2x =ln 5f(x)(−∞,0)(0,+∞)|f(x)|= −4,x ≤−2，x 24−,−2<x ≤0,x 25−,0<x <ln 5,e x −5,x >ln 5.e x y =|f(x)|∵关于的方程恰有三个不同的实数解，∴直线与有个交点，∴ 过点 或过点 或与 的图象相切，若 过点 ，则；若 过点 ,则 ；若 与在 上的图象相切，设切点为 ，则解得；若 在 上的图象相切，设切点为 ，则解得.综上所述，的取值集合为.故答案为：.16.【答案】【考点】余弦定理【解析】此题暂无解析x |f(x)|−ax −5=0y =ax +5y =|f(x)|3y =ax +5(−2,0)(ln 5,0)y =ax +5y =|f(x)|(1)y =ax +5(−2,0)a =52(2)y =ax +5(ln 5,0)a =−5ln 5(3)y =ax +5y =|f(x)|(−2,0)(,)x 0y 0 −2=a ，x 0=a +5,y 0x 0=4−.y 0x 20a =2(4)y =ax +5y =|f(x)|(0,ln 5)(,)x 1y 1 −=a ，e x 1=a +5,y 1x 1=5−.y 1e x 1a =−e a {−e ，−，2，}5ln 552{−e ，−，2，}5ln 552【解答】此题暂无解答四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：∵扇形的圆心角所对的弦长为，圆心角为弧度．∴半径，∴这个圆心角所对的弧长；．【考点】扇形面积公式弧长公式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵扇形的圆心角所对的弦长为，圆心角为弧度．∴半径，∴这个圆心角所对的弧长；．18.【答案】解：，若是纯虚数，则解得，此时，.，(1)22π3r ==1sin π323–√l =×=π23–√2π343–√9(2)S =××=1223–√4π3–√94π9(1)22π3r ==1sin π323–√l =×=π23–√2π343–√9(2)S =××=1223–√4π3–√94π9(1)z ==2+4mi 1−i (2+4mi)(1+i)(1−i)(1+i)=(1−2m)+(1+2m)i z {1−2m =0,1+2m ≠0,m =12z =2i |z|=2(2)=(1−2m)−(1+2m)i z ¯¯¯−2z =(1−2m)−(1+2m)i −2(1−2m)−¯¯¯2(1+2m)i，因为复数在复平面上对应的点位于第三象限，所以解得．所以当复数在复平面上对应的点位于第三象限时，的取值范围是．【考点】复数的基本概念复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简．由实部为且虚部不为列式求得值；求出的代数形式，再由实部与虚部均小于联立不等式组求解．【解答】解：，若是纯虚数，则解得，此时，.，，因为复数在复平面上对应的点位于第三象限，所以解得．所以当复数在复平面上对应的点位于第三象限时，的取值范围是．19.【答案】解：由，得，即，又，化简可得，−2z =(1−2m)−(1+2m)i −2(1−2m)−z ¯¯¯2(1+2m)i =(2m −1)+(−3−6m)i −2z z ¯¯¯{2m −1<0,−3−6m<0,−<m <1212−2z z ¯¯¯m −<m <1212z (1)00m (2)−2z z ¯¯¯0(1)z ==2+4mi 1−i (2+4mi)(1+i)(1−i)(1+i)=(1−2m)+(1+2m)i z {1−2m =0,1+2m ≠0,m =12z =2i |z|=2(2)=(1−2m)−(1+2m)i z ¯¯¯−2z =(1−2m)−(1+2m)i −2(1−2m)−z ¯¯¯2(1+2m)i =(2m −1)+(−3−6m)i −2z z ¯¯¯{2m −1<0,−3−6m <0,−<m <1212−2z z ¯¯¯m −<m <1212(1)a =2b sin(C +)3–√π3sin A =2sin B (sin C cos +cos C sin )3–√π3π3sin B cos C +cos B sin C 3–√3–√=sin B sin C +sin B cos C 3–√sin C >0cos B =sin B 3–√tan B =3–√即，因为，所以.因为，所以，在中，由余弦定理可得 ，当且仅当，时，等号成立，所以，即的最小值为.【考点】两角和与差的正弦公式正弦定理余弦定理基本不等式在最值问题中的应用【解析】暂无暂无【解答】解：由，得，即，又，化简可得，即，因为，所以.因为，所以，在中，由余弦定理可得 ，当且仅当，时，等号成立，所以，即的最小值为.20.【答案】解：以圆心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.tan B =3–√B ∈(0,π)B =π3(2)=ac sin B =S △ABC 123–√ac =4△BCD C =+−2a ⋅cos B D 2a 2()c 22c 2=+−2≥2a ⋅−2=2a 2c 24c 2a =2–√c =22–√CD ≥2–√CD 2–√(1)a =2b sin(C +)3–√π3sin A =2sin B (sin C cos +cos C sin)3–√π3π3sin B cos C +cos B sin C 3–√3–√=sin B sin C +sin B cos C3–√sin C >0cos B =sin B 3–√tan B =3–√B ∈(0,π)B =π3(2)=ac sin B =S △ABC 123–√ac =4△BCD C =+−2a ⋅cosB D 2a 2()c 22c 2=+−2≥2a ⋅−2=2a 2c 24c 2a =2–√c =22–√CD ≥2–√CD 2–√(1)O则以为始边，为终边的角为，故点的坐标为，∴，即.点在圆上转动的角速度是，故转过的弧度数为，∴，.缆车从最低点到达最高点时，.令，则，∴，解得，∴缆车从最低点到达最高点至少需要.【考点】已知三角函数模型的应用问题在实际问题中建立三角函数模型由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】（1）以圆心为原点，以水平方向为轴方向，以竖直方向为轴方向建立平面直角坐标系，则根据缆车半径为，圆上最低点与地面距离为，秒转动一圈，易得到到与间的函数关系式；（2）由秒转动一圈，易得点在圆上转动的角速度是，故秒转过的弧度数为，根据（1）的结论，我们将代入解析式，即可得到满足条件的值．【解答】Ox OB θ−π2B (4.8cos(θ−)，4.8sin(θ−))π2π2h =4.8+0.8+4.8sin(θ−)π2h =5.6+4.8sin(θ−)(θ≥0)π2(2)A rad/s π30t s t π30h =5.6+4.8sin(t −)π30π2t ∈[0，+∞)(3)A h =10.4m 5.6+4.8sin(t −)=10.4π30π2sin(t −)=1π30π2t −=π30π2π2t =30s A 30s O x Y 4.8m 0.8m 60h θ60A π30t t π30t π30t (1)O解：以圆心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.则以为始边，为终边的角为，故点的坐标为，∴，即.点在圆上转动的角速度是，故转过的弧度数为，∴，.缆车从最低点到达最高点时，.令，则，∴，解得，∴缆车从最低点到达最高点至少需要.21.【答案】证明：以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 ，取的中点并连结，由题意得， ，又平面 平面， 平面, (1)O Ox OB θ−π2B (4.8cos(θ−)，4.8sin(θ−))π2π2h =4.8+0.8+4.8sin(θ−)π2h =5.6+4.8sin(θ−)(θ≥0)π2(2)A rad/s π30t s t π30h =5.6+4.8sin(t −)π30π2t ∈[0，+∞)(3)A h =10.4m 5.6+4.8sin(t −)=10.4π30π2sin(t −)=1π30π2t −=π30π2π2t =30s A 30s (1)A AB AD AE x y z E (0,0,)，B (2,0,0)，D (0,2,0)2–√BD F CF CF ⊥BD ABD ⊥BDC CF ⊥ABD (0,−2,)−→−(1,1,),−→−，，∴，∴.解：，，，∴，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，∵，∴，则，取，得，∴设二面角的平面角为，由图知为锐角，，∴，则，∴二面角的大小为．【考点】用空间向量求平面间的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】证明：以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 ，取的中点并连结，由题意得， ，又平面 平面， 平面, ，，∴，∴C(1,1，)2–√=(0,−2,)DE −→−2–√=(1,1,),AC −→−2–√⋅=(0,−2,)⋅(1,1,)=0DE −→−AC −→−2–√2–√DE ⊥AC (2)B(2,0,0)D(0,2,0)E(0,0,)2–√=(2,0,−)EB −→−2–√=(−1,1,)BC −→−2–√BCE =(x,y,z)n →{ 2x −z =02–√−x +y +z =02–√x =1=(1,−1,)n →2–√FCE =(a,b,c)m →F(1，1，0)=(1，1，0)，=(0，0，)EC −→−FC −→−2–√{a +b =0c =0a =1=(1,−1,0)m →B −EC −F θθcos <，>===m →n →⋅m →n →||⋅||m →n →22×2–√2–√2cos θ=2–√2θ=π4B −EC −F π4(1)A AB AD AE x y z E (0,0,)，B (2,0,0)，D (0,2,0)2–√BD F CF CF ⊥BD ABD ⊥BDC CF ⊥ABD ∴C(1,1，)2–√=(0,−2,)DE −→−2–√=(1,1,),AC −→−2–√⋅=(0,−2,)⋅(1,1,)=0DE −→−AC −→−2–√2–√DE ⊥AC∴.解：，，，∴，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，∵，∴，则，取，得，∴设二面角的平面角为，由图知为锐角，，∴，则，∴二面角的大小为．22.【答案】解：已知函数是定义在上的奇函数，则，即，解得.在定义域上单调递减.证明如下：由知，，则.设，则，∴.∵，∴,∴，即，∴在定义域上单调递减.由可得函数在定义域上单调递减，而在上有解，即在上有解，即在上有解.令 ，，DE ⊥AC (2)B(2,0,0)D(0,2,0)E(0,0,)2–√=(2,0,−)EB −→−2–√=(−1,1,)BC −→−2–√BCE =(x,y,z)n →{ 2x −z =02–√−x +y +z =02–√x =1=(1,−1,)n →2–√FCE =(a,b,c)m →F(1，1，0)=(1，1，0)，=(0，0，)EC −→−FC −→−2–√{a +b =0c =0a =1=(1,−1,0)m →B −EC −F θθcos <，>===m →n →⋅m →n →||⋅||m →n →22×2–√2–√2cos θ=2–√2θ=π4B −EC −F π4(1)g(x)=lg(−x)+a x 2−−−−−√R g(0)=0lg(−0)0+a −−−−√=lg =0a −√a =1(2)g(x)R (1)a =1g(x)=lg(−x)+1x 2−−−−−√0<<x 1x 20<<+1x 21−−−−−√+1x 22−−−−−√+<+1x 21−−−−−√x 1++1x 22−−−−−√x 2−+1x 21−−−−−√x 1−+1x 22−−−−−√x 2=>1++1x 22−−−−−√x 2++1x 21−−−−−√x 1lg −+1x 21−−−−−√x 1−+1x 22−−−−−√x 2>0g()−g()>0x 1x 2g()>g()x 1x 2g(x)R (3)(2)f (x)R g(b +2)>g(2x +1)x 2[2,3]b +2<2x +1x 2x ∈[2,3]b <2x −1x 2x ∈[2,3]=t 1x t ∈[,]1312h (t)=−+2t2则 的对称轴为，故在区间上单调递增，可得 ，所以，故实数的取值范围为.【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明复合函数的单调性函数最值的应用函数单调性的性质不等式恒成立问题【解析】（1）利用函数为奇函数，由奇函数在原点的值为零求解即可.（2）由（1）所得信息以及函数为奇函数用赋值法求出，进而即可判断函数的单调性.（3）由（2）中所得信息将问题进行转化，利用换元法进行求解即可.【解答】解：已知函数是定义在上的奇函数，则，即，解得.在定义域上单调递减.证明如下：由知，，则.设，则，∴.∵，∴,∴，即，∴在定义域上单调递减.h (t)=−+2tt 2t =1h (t)[,]1312h =h ()=(t)max1234b <34b (−∞,)34f(1)(1)g(x)=lg(−x)+a x 2−−−−−√R g(0)=0lg(−0)0+a −−−−√=lg =0a −√a =1(2)g(x)R (1)a =1g(x)=lg(−x)+1x 2−−−−−√0<<x 1x 20<<+1x 21−−−−−√+1x 22−−−−−√+<+1x 21−−−−−√x 1++1x 22−−−−−√x 2−+1x 21−−−−−√x 1−+1x 22−−−−−√x 2=>1++1x 22−−−−−√x 2++1x 21−−−−−√x 1lg −+1x 21−−−−−√x 1−+1x 22−−−−−√x 2>0g()−g()>0x 1x 2g()>g()x 1x 2g(x)R (3)(2)f (x)R由可得函数在定义域上单调递减，而在上有解，即在上有解，即在上有解.令 ，，则 的对称轴为，故在区间上单调递增，可得 ，所以，故实数的取值范围为.(3)(2)f (x)R g(b +2)>g(2x +1)x 2[2,3]b +2<2x +1x 2x ∈[2,3]b <2x −1x 2x ∈[2,3]=t 1x t ∈[,]1312h (t)=−+2t t 2t =1h (t)[,]1312h =h ()=(t)max 1234b <34b (−∞,)34。
山西省大同市第一中学高一数学下学期模块测试(期中)试题
2015~2016学年度第二学期 模块测试高 一 数 学第Ⅰ卷 客观卷（共30分）一、选择题 (每题3分，共30分)1．下列角中，终边与330°角相同的是( )A ．30°B ．－30°C ．630°D ．－630°2．已知22(,)a =-，3(,)b x =-，若a b ⊥，则x 的值为A ．3B ．1C ．－1D ．－33．已知向量34(,)a =，(sin ,cos )b αα=，且//a b ，则tan α=A ．34B ．34-C ．43D ．43-4．若02απ<<，且sin α<，1cos 2α>，利用三角函数线得到角α的取值范围是A ．33(,)ππ-B ．03(,)πC ．523(,)ππD ．50233(,)(,)πππ 5． 已知向量34(,)a =，则与a 方向相同的单位向量是( )A ．4355(,)B ．3455(,)C ．3455(,)-- D ．43(,) 6． 在△ABC 中，若sin()sin()A B C A B C +-=-+，则△ABC 必是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形7． 已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是半圆弧的两个三等分点，AB a =，AC b =，则AD =( )A ．12a b -B ．12a b -C ．12a b +D ．12a b +8． 为了得到函数3sin(2)y x π=+的图象，只要把3sin()y x π=+AODA ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变 9． 函数22sin y x =是A ．以2π为周期的偶函数B ．以π为周期的偶函数C ．以2π为周期的奇函数D ．以π为周期的奇函数10．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()0f x f x ++=，且在[3,4]上是增函数，A 、B 是锐角三角形的两个内角，则A ．(sin )(cos )f A fB < B ．(sin )(cos )f A f B >C ．(sin )(sin )f A f B >D ．(cos )(cos )f A f B >第II 卷 主观卷（共30分）二、填空题 (每题4分，共20分) 11．cos12π= ．12．tan 20tan 403tan 20tan 40++= ．13．在△ABC 中，||5AB =，||4AC =，||3BC =，则AB BC = ．14．如图在平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =，3AN NC =，M 为BC 中点，则MN = ．(用a ，b 表示)15．已知当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ= ．三、解答题 (每题10分，共50分)MN(1) 求a b ；(2) |2|a b -17．(10分) 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+ (0A >，0ω>，||2πϕ<)的部分图象如图所示，(1) 求函数()f x 的解析式； (2) 求函数()f x 在区间[,]2ππ--上的最大值和最小值．18．(10分) 已知α是一个三角形的内角，且1sin cos 5αα+=(1) 求tan α的值； (2) 用tan α表示221sin cos αα-并求其值．19．(10分) 已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，()f x a b =(1) 求函数()f x 图象的对称轴方程； (2) 若对任意实数[,]63x ππ∈，不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围．20．(10分) 已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =(1) 若||25c =且//c a ，求c 的坐标；(2) 若5||2b =，且(2)(2)a b a b +⊥-，求a 与b 的夹角θ．。
山西省大同市高一下学期数学期中考试试卷
山西省大同市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 的终边与单位圆交于点 A．若点 A 的纵坐标是 ， 那 么 sinα 的值是（ ）A.B.C.D. 2. （2 分） (2015 高一下·广安期中) 若 1 和 a 的等差中项是 2，则 a 的值为（ ） A.4 B.3 C.1 D . ﹣43. （2 分） (2016 高一下·汕头期末) 设 an= sin 正数的个数是（ ），Sn=a1+a2+…+an ， 在 S1 ， S2 ， …S100 中，A . 25B . 50第1页共9页C . 75 D . 1004. （2 分） (2017 高二上·中山月考) 定义为 个正数 ， ， ， 的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（）A.B.C.D.5. （2 分） (2016 高一下·邯郸期中) 已知锐角 α 满足 sinα+cosα= ，则 tan（ ） =（ ）A.﹣B.C.D.6. （2 分） (2020·漳州模拟) 在中，D 是边 AC 上的点，且，则的值为（ ）A. B. C.第2页共9页D. 7. （2 分） 要得到函数 A . 向左平移 个单位 B . 向左平移 个单位 C . 向右平移 个单位 D . 向右平移 个单位的图象,可以将函数的图象（ ）8. （2 分） (2017 高三上·河北月考) 已知函数则的取值范围是（ ），设，若，A.B.C.D. 9. （2 分） 与 30°角终边相同的角的集合是（ ）A . {α|α=k•360°+ ，k∈Z} B . {α|α=2kπ+30°，k∈Z} C . {α|α=2k•360°+30°，k∈Z}D . {α|α=2kπ+ ，k∈Z}10. （2 分） (2017 高一下·长春期末) 在△ABC 中，内角 A,B,C 对边的边长分别为,则为（ ）第3页共9页为锐角，A . 等腰三角形B . 等边三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形二、 填空题 (共 7 题；共 11 分)11. （1 分） (2018 高一下·苏州期末) 已知的三个内角 ， ， 所对的边分别是 ， ，，且角 ， ， 成等差数列，则的值为________．12. （1 分） (2017 高一下·天津期末) 已知{an}是等差数列，Sn 为其前 n 项和，若 a6=5，S4=12a4 ， 则公 差 d 的值为________．13. （1 分） (2016 高二上·莆田期中) 在△ABC 中，角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c，若 bcosC=ccosB 成 立，则△ABC 是________三角形．14. （1 分） (2015 高三上·上海期中) 若三个数 a，1，c 成等差数列（其中 a≠c），且 a2 ， 1，c2 成等比数列，则的值为________．15. （1 分） (2018 高二上·惠来期中) 等比数列 中，，________。
2022-2023学年人教A版高一下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 设复数，则在复平面内所对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 若，则( )A.B.C.D.3. 外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，，则实数的值（ ）A.B.C.D.z =(1−i)21−2i z sin(x +)=π613sin(2x −)=π6−7979−42–√942–√9△ABC O H =m(++)OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−m 122134(a +b =+ab )224. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为 A.B.C.D.5. 已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为( )A.B.C.D.6. 如图，在中，，点在线段上，，，则（ ）A.B.C.D.7. 已知角的终边经过点，则( )△ABC A B C a b c (a +b =+ab )2c 2B =30∘a =4△ABC ()63–√43–√33–√4OABC //O ′A ′B ′C ′∠=O ′A ′B ′90∘=1O ′A ′=2B ′C ′OABC 32–√232–√42–√52–√△ABC ∠BAC =2π3D BC AD ⊥AC =BD CD 14sin C =7–√1421−−√147–√721−−√7αP (sin ,cos )18∘18∘sin(α−)=12∘1A.B.C.D.8. 点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）A.已知平面向量满足，且则是等边三角形B.若，则点为的垂心C.若，则点为的外心D.若，则点为的内心二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知，，则下列说法正确的有( )A.若为实数，则B.的共轭复数是C.的最小值是D.满足的复数在复平面上的对应点的集合是以为圆心，以为半径的圆10. 已知向量，， 则（ ）A.B.向量在向量上的投影向量是 C.D.与向量方向相同的单位向量是123–√2−12−3–√2O △ABC ⋅⋅OA −→−OB −→−OC −→−||=||=||OA −→−OB −→−OC −→−++=OA −→−OB −→−OC −→−0→△ABC ⋅−=⋅−=0OA −→− AC −→−||AC −→−AB −→−||AB −→−OB −→− BC −→−||BC −→−BA −→−|BA| O △ABC (+)⋅=(+)⋅=0OA −→−OB −→−AB −→−OB −→−OC −→−BC −→−O △ABC ⋅=⋅=⋅OA −→−OB −→−OB −→−OC −→−OC −→−OA −→−O △ABC =2+3i z 1=m −i (m ∈R)z 2z 1z 2m =−23⋅z 1z 2(2m +3)−(3m −2)i|−|z 1z 24|z −|=1z 1z Z (−2,−3)1=(2,1)a →=(−3,1)b →(+)⊥a →b →a→a →b →−10−−√2a →|+2|=5a →b →a →(,)25–√55–√511. 在直角三角形中，，，为线段的中点，如图，将沿翻折，得到三棱锥（点为点翻折到的位置），在翻折过程中，下列说法正确的是()A.的外接圆半径为B.存在某一位置，使得C.存在某一位置，使得D.若，则此时三棱锥的外接球的体积为12. 已知声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列说法正确的是( )A.是的一个周期B.在上有个零点C.的最大值为D.在上是增函数卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知，若，则________． 14. 已知三棱锥中，平面， ，异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为________，三棱锥的外接球的表面积为________．ABC ∠B =π2AC =2BC =4D AC △ABD BD P −BCD P A △PBD 2PD ⊥BDPB ⊥CDPD ⊥DC P −BCD π323y =A sin ωt f (x)=2sin x −sin 3x πf (x)f (x)[0,2π]7f (x)3f (x)[,]π6π2f (x)=sin(x +)π3cosα=(0<α<)35π2f (2α−)=π12S −ABC SA ⊥ABC AB =BC =CA =2SC AB 2–√4S −ABC S −ABC ∈[0,]3π15. 函数，的单调递减区间是________．16. 已知外接圆的圆心为，其面积，，为的三边长），，则外接圆的半径为________；的值为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知.化简.若，求的值.18. 已知复数的共轭复数为，且满足．求；若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 19. 如图，为圆柱的底面直径，，为圆柱的两条母线，点，，分别为，，的中点，，，垂足为．证明：平面；求三棱锥的体积． 20. 已知向量，，.若，试研究函数在上的单调性；当时，求函数的值域．21. 设是锐角三角形，，，分别是内角，，所对边长，并且.求角的值；若的面积等于求，．y =sin(−x)π6x ∈[0,]3π2△ABC O S =abc(a 112b c △ABC 2OA −→−+3AB −→−+3AC −→−=0→△ABC cos A f(x)=+(x ≠，k ∈Z)sin(x +π)tan(x −π)sin(x −)cos(x +)3π2π2cos(x +3π)kπ2(1)f(x)(2)f(α)=13sin2αz z¯¯¯(1−2i)z =4−3i (1)z¯¯¯(2)(m ∈R)(z +mi)2m AB AA 1BB 1C C 1D AB A 1B 1 AA 1A =2AC =2A 1CM ⊥BD M (1)CM ⊥BDC 1(2)A −BMC =(cos(x −),cos(x −))a →2–√π4π4=(sin x,m ⋅cos(x −))b →3π4f (x)=⋅a →b →(1)m =−1f (x)[,]π83π4(2)m =2f (x)△ABC a b c A B C sin(A +B)+sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B(1)C (2)△ABC 6，c =2，3–√7–√a b (x)=sin ωx +co −–√22. 已知函数，．Ⅰ若＝，求的单调递增区间；Ⅱ若，求的最小正周期的表达式并指出的最大值．f(x)=sin ωx +co −123–√s 2ωx 23–√2ω>0()ω1f(x)()f()=1π3f(x)T T参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值二倍角的余弦公式【解析】根据 ，利用诱导公式转化为，再利用二倍角公式求解．【解答】解：因为，所以．故选．sin(x +)=π613sin(2x −)=−cos(2x +)π6π3sin(x +)=π613sin(2x −)=−cos[+(2x −)]π6π2π6=−cos(2x +)=2(x +)−1π3sin 2π6=2×−1=−()13279A3.【答案】C【考点】向量的加法及其几何意义【解析】利用向量的运算法则、数量积与垂直的关系即可得出．【解答】解：如图所示：∵，，∴，∴，取边的中点，连接，则，∴，．又，∴．∴，∴，又不恒为，∴必有，解得．故选．4.【答案】B【考点】余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，即，所以，因为，=−OH −→−AH −→−AO −→−=m(++)OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−−=m(++)AH −→−AO −→−OA −→−OB −→−OC −→−=(m −1)+m(+AH −→−OA −→−OB −→−OC)−→−BC D OD OD ⊥BC +=2OB −→−OC −→−OD −→−⋅=0OD −→−BC −→−AH ⊥BC ⋅=0AH −→−BC −→−⋅=(m −1)⋅+2m ⋅AH −→−BC −→−OA −→−BC −→OD −→−BC −→0=(m −1)⋅OA −→−BC ¯¯¯¯¯¯¯⋅OA −→−BC −→−0m −1=0m =1C (a +b =+ab )2c 2+−=−ab a 2b 2c 2cos C ==−+−a 2b 2c 22ab 12C ∈(0,)180∘C =–√所以，.又因为，所以，所以，所以的面积.故选.5.【答案】B【考点】斜二测画法画直观图【解析】由斜二测画法的直观图，得出原图形为直角梯形，由此计算原图形的面积．【解答】解：由斜二测画法的直观图知，，，，；∴，所以原图形中， ，，，，，所以梯形的面积为．故选．6.【答案】B【考点】正弦定理弦切互化【解析】此题暂无解析C =120∘sin C =3–√2B =30∘A =B =30∘a =b =4△ABC S =ab sin C =4123–√B //B ′C ′O ′A ′⊥A ′B ′B ′C ′=1O ′A ′=2B ′C ′=O ′C ′2–√OABC BC//OA OC ⊥OA OA =1BC =2OC =2=2×=2O ′C ′2–√2–√OABC S =×(1+2)×2=3122–√2–√B【解答】解：在中， ，解得，所以．故选．7.【答案】B【考点】两角和与差的正弦公式两角和与差的余弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】利用任意角的三角函数解得,再利用角的变换展开化简得解.【解答】解：由题设得，，，.故选.8.【答案】A,C【考点】三角形五心向量的线性运算性质及几何意义【解析】△ABD ==BDsin π6AD sin B sin C ⋅CDsin(−C)π3tan C =3–√5sin C =21−−√14B sin α,cos αα−=α−(−)12∘30∘12∘|OP|==1+sin 218∘cos 218∘−−−−−−−−−−−−−−√sin α=cos 18∘cos α=sin 18∘sin(α−)12∘=sin[α−(−)]30∘18∘=sin αcos(−)−30∘18∘cos αsin(−)30∘18∘=sin α[cos +sin ]−3–√218∘1218∘cos α[cos −sin ]1218∘3–√218∘=+3–√2cos 218∘3–√2sin 218∘=3–√2B直接利用向量的线性运算及向量的数量积，三角形的内心、外心，重心，垂心的应用，向量垂直的充要条件，单位向量的应用判断、、、的结论．【解答】解：选项，平面向量满足，且，， ，即，，的夹角为，同理的夹角也为，是等边三角形，故正确；选项，向量，分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为的内心而不一定是垂心，故错误；选项，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B,C【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念复数的模【解析】无A B C D A ，，OA −→−OB −→−OC −→−||=||=|=r (r >0)OA −→−OB −→−OC −→−++=OA −→−OB −→−OC −→−0→∴+=−OA −→−OB −→−OC −→−∴|+2⋅+|=|OA −→−|2OA −→−OB −→−OB −→−|2OC −→−|2+2⋅cos(,)+=r 2r 2OA −→−OB −→−r 2r 2∴cos(,)=−OA −→−OB −→−12∴，OA −→−OB −→−120∘⋅OA −→−OC −→−120∘∴△ABC A B AC −→−|AC|AB −→−|AB|AC AB AC −→−′AB −→−BC −→−⋅−=0OA −→− AC −→−||AC −→−AB −→−|AB|⊥OA −→−BC −→−O ∠BAC ⋅−=0OB −→− BC −→−||BC −→−BA −→−|A B →O ∠ABC O △ABC B C +OA −→−OB −→−,OA −→−OB −→−A ，C【解答】解：令，得，则有解得，故选项正确；，其共轭复数是，故选项正确；，当时，等号成立，即的最小值为，故选项正确；令，由，得，即，故满足的复数在复平面上的对应点的集合是以为圆心，以为半径的圆，故选项错误.故选．10.【答案】A,C,D【考点】向量的投影向量的数量积判断向量的共线与垂直平面向量的坐标运算单位向量向量模长的计算【解析】可求出，从而得出选项正确；可求出在上的投影是，从而判断选项错误；可得出，进而判断选项正确；根据向量可求出与向量方向相同的单位向量，从而判断选项正确．【解答】解：∵ ，，∴，，即正确；向量在向量上的投影向量是，即错误；=a(a ∈R)z 1z 2=2+3i =a z 1=am −ai z 2{2=am,3=−a,m =−23A ⋅=(2+3i)(m −i)=(2m +3)+(3m −2)i z 1z 2=(2m +3)−(3m −2)i ⋅z 1z 2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯B |−|=|(2−m)+4i|=≥=4z 1z 2(2−m +16)2−−−−−−−−−−−√16−−√m =2|−|z 1z 24C z =x +yi |z −|=1z 1|(x −2)+(y −3)i|==1(x −2+(y −3)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√(x −2+(y −3=1)2)2|z −|=1z 1z Z (2,3)1D ABC (+)⋅=0a →b →a →A a →b →−12b →B +2=(−4,3)a →b →C a →a →D +=(−1,2)a →b →=(2,1)a →(+)⋅=−2+2=0a →b →a →(+)⊥a →b →a →A a →b →⋅=⋅=−⋅a →b →∣∣∣b →∣∣∣2b →−3×2+1×1+(−3)212b →12b →B 2=(−4,3)→∵ ，∴，即正确；与向量方向相同的单位向量 ，即正确．故选.11.【答案】A,D【考点】正弦定理空间中直线与直线之间的位置关系柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：在翻折过程中，，，，易知，由正弦定理得（为的外接圆半径），即，故正确；在翻折过程中，，故错误；若，取中点，连接，，由于为正三角形，则，又，故平面，则，又为中点，，则为正三角形，易知，则，与已知矛盾，故错误；若，则在三棱锥中，，由知，，取的中点，连接，，+2=(−4,3)a →b →|+2|=5a →b →C a →=(,)a →||a →25–√55–√5D ACD △PBD ≅△ABD PD =DC =BC =2PB =23–√∠PDB =120∘2r ==4PBsin ∠PDB r △PBD r =2A ∠PDB =120∘B PB ⊥CD CD M BM PM △BCD BM ⊥CD BM ∩PB =B CD ⊥PBM PM ⊥CD M CD PD =CD =2△PCD BM =PM =3–√BM +PM =2=PB 3–√C PD ⊥DC P −BCD PC =22–√P =B +P B 2C 2C 2∠ACB =π2PB E DE CE E =PB =1则，且，，所以，所以，所以平面．设外接球的半径为，根据几何体可知，外接球的球心在直线上，则，即，解得，所以三棱锥的外接球的体积为，故正确．故选．12.【答案】B,C,D【考点】正弦函数的单调性函数的零点正弦函数的周期性函数奇偶性的判断两角和与差的正弦公式【解析】根据三角函数的周期性判断答案，三角函数的零点判断答案，根据三角函数的最值判断答案，根据三角函数的单调性判断答案．【解答】解：，∵的周期为，的周期为，的周期为，故错误；，∵，当时，，即或，∴在上有个零点，故正确；，∵，令，，∴，，，令，解得，当和时，，单调递增，∴当，即时，取得最大值，，∴，故正确；DE ⊥PB DE =1CE =PB =123–√D +C =C E 2E 2D 2DE ⊥CE DE ⊥PBC R O DE O +B =O E 2E 2B 2+=(R −1)2()3–√2R 2R =2P −BCD π=π43R 3323D AD A B C D A y =sin x 2πy =sin 3x π23∴f (x)=2sin x −sin 3x 2πA B f (x)=2sin x −sin 3x =−sin x +4x sin 3=−sin x(cos 2x −1)x ∈[0,2π]−sin x (cos 2x −1)=0sin x =0cos 2x =1f (x)[0,2π]7B C f (x)=2sin x −sin 3x =−sin x +4x sin 3t =sin x t ∈[−1,1]g(t)=4−t t 3t ∈[−1,1](t)=12−1g ′t 2(t)=0g ′t =±3–√6t ∈[−1,−]3–√6[,1]3–√6(t)>0g ′g(t)t =1t =sin x =1g(t)g(1)=3f(x =f(1)=−1+4=3)max C ,]ππ，∵在上为增函数，∴在上为减函数.∵，在上为减函数，∴在上为增函数，即在上是增函数，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】三角函数的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，则.故答案为：.14.【答案】,【考点】maxD y =sin x [,]π6π2y =−sin x [,]π6π2x ∈[,]π6π2y =cos 2x [,π]π3f (x)=2sin x −sin 3x =−sin x +4x sin 3=−sin x(cos 2x −1)[,]π6π2f (x)[,]π6π2D BCD 172–√50cosα=(0<α<)35π2sin α==1−αcos 2−−−−−−−−√45f (2α−)=sin(2α+)π12π4=sin 2αcos +cos 2αsin π4π4=2sin αcos αcos +sin (2α−1)π4π4cos 2=2×××+×(2×−1)45352–√22–√2925=172–√50172–√5023–√3π283柱体、锥体、台体的体积计算异面直线及其所成的角球的表面积和体积球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，过点作的平行线且满足，为中点，易得四边形为平行四边形，则异面直线与夹角即为，设，则由题可得，，，满足勾股定理，则，又余弦值为，即，解得，所以体积为.去底面正三角形中点，过点作直线面，则球心必在线上，过点作，故，设，则，解得，故表面积为.故答案为：；.15.C AB AE =CDE AECD SC AB ∠SCD SA =x SC =4+x 2−−−−−√SD =3+x 2−−−−−√CD =1∠SDC =90∘2–√4=CD SC 2–√4x =2×2××2×=13123–√23–√3ABC N N ⊥ABC O O OM ⊥SA OM =AN =23–√3SO =R 2=2−R 2()23–√32−−−−−−−−−−−−√R =21−−√34π=πR 228323–√3π283【答案】【考点】正弦函数的单调性【解析】函数，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递减区间；即可求的单调递减区间．【解答】由函数，令，得：，∵，当＝时，可得单调递减区间为．16.【答案】,【考点】正弦定理余弦定理【解析】根据，由正弦定理，可得外接圆的半径为；由，可得，结合，可知，由，则，即可得解.【解答】解：因为，[0,π]23y =sin(−x)=−sin(x −)π6π6x ∈[0,]3π2y =sin(−x)=−sin(x −)π6π6−+2kπ≤x −≤+2kππ2π6π2k ∈Z−+2kπ≤x ≤+2kππ32π3x ∈[0,]3π2k 0[0,π]233−23S =abc =bc sin A 11212=2R a sin A△ABC 32+3+3=OA −→−AB −→−AC −→−0→3+3=4OB −→−OC −→−OA −→−===R =3∣∣∣OB −→−∣∣∣∣∣∣OC −→−∣∣∣∣∣∣OA −→−∣∣∣cos ∠BOC =−19∠BOC =2∠A A ∈(0,)π2cos A =22–√3S =abc =bc sin A 11212=sin A 1所以，由正弦定理，可得，所以外接圆的半径为；设的中点为，根据题意可得，∴，，三点共线，∴，且，，根据勾股定理可得，，∴，根据余弦定理可得故答案为：；.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：.∵，即，∴，整理得，则，即.【考点】三角函数的化简求值运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析a =sin A 16=2R asin A R =3△ABC 3BC D =−(+OA −→−32AB −→−)=−3AC −→−AD −→−A O D AB =AC AD =1DO =2BD =5–√AB =6–√BC =25–√cos A ==−.6+6−202×6233−23(1)f(x)=+sin(x +π)tan(x −π)sin(x −)cos(x +)3π2π2cos(x +3π)=+−sinx tanx cosx(−sinx)−cosx=−sinx ⋅+sinxcosx sinx =sinx −cosx (2)f(α)=13sin α−cos α=13(sin α−cos α=)2()132α−2sin αcos α+α=sin 2cos 2192sin αcos α=89sin 2α=89解：.∵，即，∴，整理得，则，即.18.【答案】解：因为，所以，所以.，因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以得，所以的取值范围为.【考点】复数代数形式的乘除运算共轭复数复数的基本概念复数的运算复数的代数表示法及其几何意义复数及其指数形式、三角形式【解析】此题暂无解析(1)f(x)=+sin(x +π)tan(x −π)sin(x −)cos(x +)3π2π2cos(x +3π)=+−sin x tan x cosx(−sinx)−cosx=−sinx ⋅+sinxcos x sin x =sinx −cosx (2)f(α)=13sin α−cos α=13(sin α−cos α=)2()132α−2sin αcos α+α=sin 2cos 2192sin αcos α=89sin 2α=89(1)(1−2i)z =4−3i z =4−3i 1−2i =(4−3i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=4+8i −3i +65==2+i10+5i 5=2−i z ¯¯¯(2)=(z +mi)2(2+i +mi)2=[2+(1+m)i]2=4−+4(1+m)i (1+m)2(z +mi)2{4−<0，(1+m)24(1+m)>0,m >1m (1,+∞)解：因为，所以，所以. ，因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以得，所以的取值范围为.19.【答案】证明：由题得，，又，，所以平面，又平面，所以．又，，点是的中点，所以，，则．又，所以平面，又平面，所以 ，又因为，，所以平面．解：由题得，所以，由知平面，又平面，所以，所以，易知，所以，所以 ．所以．【考点】直线与平面垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】证明：由题得，，(1)(1−2i)z =4−3i z =4−3i 1−2i =(4−3i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=4+8i −3i +65==2+i 10+5i 5=2−i z¯¯¯(2)=(z +mi)2(2+i +mi)2=[2+(1+m)i]2=4−+4(1+m)i (1+m)2(z +mi)2{4−<0，(1+m)24(1+m)>0,m >1m (1,+∞)(1)AC =BC ==A 1C 1B 1C 1AC ⊥BC A ⊥BC A 1A ∩AC =A A 1BC ⊥CD C 1D ⊂C 1CD C 1BC ⊥D C 1A =2AC A 1A ⊥AC A 1D AA 1∠D =A 1C 145∘∠ADC =45∘D ⊥DC C 1BC ∩CD =C D ⊥C 1BCD CM ⊂BCD D ⊥CM C 1CM ⊥BD D ∩BD =D C 1CM ⊥BDC 1(2)BC =AD =1CD =2–√(1)BC ⊥CD C 1CD ⊂CD C 1BC ⊥CD BD ==B +C C 2D 2−−−−−−−−−−√3–√△BCM ∽△BDC =BM BC BC BD BM ===BD BC 2BD 3–√313===×S △ABC ×AD V A−BMC V M−ABC 13V D−ABC 1313=×××1×1×1=131312118(1)AC =BC ==A 1C 1B 1C 1AC ⊥BC A ⊥BC A A ∩AC =A A又，，所以平面，又平面，所以．又，，点是的中点，所以，，则．又，所以平面，又平面，所以 ，又因为，，所以平面．解：由题得，所以，由知平面，又平面，所以，所以，易知，所以，所以 ．所以．20.【答案】解：时，，，，∴，时，为增函数；，时，为减函数.当时， ，∴函数的值域为.A ⊥BC A 1A ∩AC =A A 1BC ⊥CD C 1D ⊂C 1CD C 1BC ⊥D C 1A =2AC A 1A ⊥AC A 1D AA 1∠D =A 1C 145∘∠ADC =45∘D ⊥DC C 1BC ∩CD =C D ⊥C 1BCD CM ⊂BCD D ⊥CM C 1CM ⊥BD D ∩BD =D C 1CM ⊥BDC 1(2)BC =AD =1CD =2–√(1)BC ⊥CD C 1CD ⊂CD C 1BC ⊥CD BD ==B +C C 2D 2−−−−−−−−−−√3–√△BCM ∽△BDC =BM BC BC BD BM ===BD BC 2BD 3–√313===×S △ABC ×AD V A−BMC V M−ABC 13V D−ABC 1313=×××1×1×1=131312118(1)m =−1f(x)=⋅a →b →=cos(x −)sin x −(x −x)2–√π412sin 2cos 2=x +sin x cos x −x +x sin 212sin 212cos 2=sin 2x +1212∵x ∈[,]π83π4∴2x ∈[,]π43π22x ∈[,]π4π2x ∈[,]π8π4f(x)2x ∈[,]π23π2x ∈[,]π43π4f(x)(2)m =2f(x)=cos(x −)sin x +(x −x)2–√π4sin 2cos 2=x +sin x cos x +x −x sin 2sin 2cos 2=sin 2x −cos 2x +121−cos 2x 2=sin 2x −cos 2x +123212=sin(2x +φ)+(tan φ=−3)10−−√212f(x)[,]1−10−−√21+10−−√2【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式平面向量数量积的运算正弦函数的单调性函数的值域及其求法【解析】本题考查平面向量与三角函数的综合，体现了数学运算、逻辑推理、直观抽象等数学素养．本题考查平面向量与三角函数的综合，体现了数学运算、逻辑推理、直观抽象等数学素养．【解答】解：时，，，，∴，时，为增函数；，时，为减函数.当时， ，∴函数的值域为.21.【答案】(1)(2)(1)m =−1f(x)=⋅a →b →=cos(x −)sin x −(x −x)2–√π412sin 2cos 2=x +sin x cos x −x +x sin 212sin 212cos 2=sin 2x +1212∵x ∈[,]π83π4∴2x ∈[,]π43π22x ∈[,]π4π2x ∈[,]π8π4f(x)2x ∈[,]π23π2x ∈[,]π43π4f(x)(2)m =2f(x)=cos(x −)sin x +(x −x)2–√π4sin 2cos 2=x +sin x cos x +x −x sin 2sin 2cos 2=sin 2x −cos 2x +121−cos 2x 2=sin 2x −cos 2x +123212=sin(2x +φ)+(tan φ=−3)10−−√212f(x)[,]1−10−−√21+10−−√2(+B)sin(−B)解：因为，所以，所以 ，所以，所以，所以，所以，又为锐角，所以 .因为的面积等于，所以 ①.由知，所以 ②．由余弦定理知，将代人，可得 ③，由③②，得 ，所以.所以解此方程得或【考点】余弦定理正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以，所以 ，(1)sin(A +B)+sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B sin C +sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B (sin C +sin B)(sin C −sin B)=sin(+B)π3sin(−B)π3C −B =(cos B +sin B)(cos B sin 2sin 23–√2123–√2−sin B)12C −B =B −B sin 2sin 234cos 214sin 2C =B +B =sin 234cos 234sin 234sin C =±3–√2C C =π3(2)△ABC 63–√ab sin C =6123–√(1)C =π3ab =24=+−2ab cos C c 2a 2b 2c =27–√+=52a 2b 2+×2=100(a +b)2a +b =10{a +b =10，ab =24，{a =6，b =4{a =4，b =6.(1)sin(A +B)+sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B sin C +sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B (sin C +sin B)(sin C −sin B)=sin(+B)π3sin(−B)π3−B =(cos B +sin B)(cos B –√–√所以，所以，所以，所以，又为锐角，所以 .因为的面积等于，所以 ①.由知，所以 ②．由余弦定理知，将代人，可得 ③，由③②，得 ，所以.所以解此方程得或22.【答案】（本小题满分（1）当＝时，．令．解得．所以的单调递增区间是．（2）由．因为，所以．则，．解得．C −B =(cos B +sin B)(cos B sin 2sin 23–√2123–√2−sin B)12C −B =B −B sin 2sin 234cos 214sin 2C =B +B =sin 234cos 234sin 234sin C =±3–√2C C =π3(2)△ABC 63–√ab sin C =6123–√(1)C =π3ab =24=+−2ab cos C c 2a 2b 2c =27–√+=52a 2b 2+×2=100(a +b)2a +b =10{a +b =10，ab =24，{a =6，b =4{a =4，b =6.1ω1f(x)=sin x +co −=sin x +cos x =sin(x +)123–√s 2x 23–√2123–√2π32kπ−≤x +≤2kπ+,k ∈Z π2π3π22kπ−≤x ≤2kπ+,k ∈Z 5π6π6f(x)[2kπ−,2kπ+],k ∈Z5π6π6f(x)=sin ωx +co −=sin ωx +cos ωx =sin(ωx +)123–√s 2ωx 23–√2123–√2π3f()=1π3sin(+)=1πω3π3+=2nπ+πω3π3π2n ∈Z ω=6n +12=2π又因为函数的最小正周期，且，所以当时，的最大值为． 【考点】三角函数的周期性三角函数中的恒等变换应用正弦函数的单调性【解析】Ⅰ当＝时，利用两角和与差以及二倍角公式化简函数的解析式，然后求解函数的单调区间．Ⅱ化简函数的解析式为：．通过，求出．然后求解的最大值．【解答】（本小题满分（1）当＝时，．令．解得．所以的单调递增区间是．（2）由．因为，所以．则，．解得．又因为函数的最小正周期，且，所以当时，的最大值为． f(x)T =2πωω>0ω=12T 4π()ω1()f(x)=sin(ωx +)π3f()=1π3ω=6n +12T 1ω1f(x)=sin x +co −=sin x +cos x =sin(x +)123–√s 2x 23–√2123–√2π32kπ−≤x +≤2kπ+,k ∈Z π2π3π22kπ−≤x ≤2kπ+,k ∈Z 5π6π6f(x)[2kπ−,2kπ+],k ∈Z 5π6π6f(x)=sin ωx +co −=sin ωx +cos ωx =sin(ωx +)123–√s 2ωx 23–√2123–√2π3f()=1π3sin(+)=1πω3π3+=2nπ+πω3π3π2n ∈Z ω=6n +12f(x)T =2πωω>0ω=12T 4π。
山西省大同1中10-11学年高1数学下学期期中试题新人教A版
2021~2021学年度第二学期期中试卷高 一 数 学第|一卷 客观卷 (共48分 )一、选择题 (每题4分 ,共48分 ) 1． 角α的终边经过点P 33(sin,cos )44ππ,且2a απ≤< ,那么α的值为 A ．4π B ．34π C ．54π D ．74π2． 以下等式中恒成立的是A ．sin(2)sin x x π+=B ．sin()sin x x π-=-C ．sin()cos()22x x ππ-=- D ．cos()cos x x π+=3． 向量(1,0)a = ,11(,)22b = ,那么以下结论成立的是 A ．||||a b = B ．22a b =C ．//a bD ．a b -与b 垂直 4． 在△ABC 中 ,AB c = ,AC b = ,假设点D 在BC 上满足2BD DC = ,那么AD 等于A ．2133b c + B ．5233c b - C ．2133b c - D ．1233b c + 5． 角α是第二象限角 ,那么πα-是A ．第|一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 6． 圆的半径为6cm ,那么15°的圆心角与圆周围成的扇形的面积为 A ．22cm πB ．232cm πC ．2cm πD ．23cm π7． tan 2α= ,那么2sin cos sin 2cos αααα-+的值为A ．0B ．34C ．1D ．548． 在△ABC 中 ,5tan 12A =- ,那么cos A =A ．1213 B ．513 C ．513- D ．1213- 9． 函数1()|sin()|23f x x π=+的最||小正周期为A ．4πB ．3πC ．2πD ．π10．直线3y =与函数tan y x ω= (0ω>)的图象相交 ,那么相邻两交点间的距离为A ．πB ．2πω C ．πωD ．2πω 11．如右图是函数2sin()y x ωϕ=+ ,(||2πϕ<)的图象 ,A ．1011ω=6πϕ= B ．1011ω= 6πϕ=-C ．2ω= 6πϕ=D ．2ω= 6πϕ=-12．点O 是△ABC 内一点 ,且OA OB OC O ++= ,那么O 是△ABC 的A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心第II 卷 主观卷 (共52分 )二、填空 (每题4分 ,共16分)13．假设向量1e ,2e 不共线 ,且12ke e +与12e ke +可以作为平面内的一组基底 ,那么实数k 的取值范围为 ． 14．假设02απ<< ,且sin α<和1cos 2α>同时成立 ,那么α的取值范围．15．函数2sin 1y x =-+的单调递增区间为 ． 16．设a 、b 、c 是任意的非零向量 ,且相互不共线 ,给定以下结论① ()()0a b c c a b -= ② ||||||a b a b -<-③ ()()b c a c a b -不与c 垂直 ④22(32)(32)94a b a b a b +-=- 其中正确的表达有 ．三、解答题17．(12分) 求函数1tan tan()6xy x π-=+的定义域．18．(12分) 向量a 、b 满足||5a = (1,3)b =-且(2)a b b +⊥求：(1)向量a 的坐标；(2) 向量a 与b 的夹角．19．(12分) 函数sin()y A x ωϕ=+ (x R ∈；0A >；0ω>；||2πϕ<) 该函数图象上的一个最||高点坐标为(,3)6π,与其相邻的对称中|心的坐标是(,0)12π-,求该函数sin()y A x ωϕ=+的解析式．20．(10分) (附加题) 向量(cos23,cos67)a = (cos68,cos22)b =求：(1) a ·b ；(2) 假设向量b 与向量m 共线 ,u a m =+ ,求u 的模的最||小值．2021~2021学年度第二学期期中试卷高一数学答案。
核心素养练-山西省大同一中高一数学下学期期中试题新人教A版
~度第二学期期中试卷高 一 数 学第Ⅰ卷 客观卷（共48分）一、选择题（每小题4分，共48分） 1Q已知角α的终边经过点P 33(sin,cos )44ππ，且2a απ≤<，则α的值为 A Q4π B Q34π C Q54π D Q74π2Q下列等式中恒成立的是A Qsin(2)sin x x π+=B Qsin()sin x x π-=-C Qsin()cos()22x x ππ-=-D Qcos()cos x x π+=3Q已知向量(1,0)a =，11(,)22b =，则下列结论成立的是 A Q||||a b = B Q2a b =C Q//a b D Qa b -与b 垂直 4Q在△ABC 中，AB c =，AC b =，若点D 在BC 上满足2BD DC =，则AD 等于AQ2133b c + B Q5233c b - C Q2133b c - D Q1233b c + 5Q已知角α是第二象限角，则πα-是A Q第一象限角 B Q第二象限角 C Q第三象限角 D Q第四象限角6Q圆的半径为6cm ，则15°的圆心角与圆周围成的扇形的面积为AQ22cm πBQ232cm πC Q2cm π D Q23cm π7Q已知tan 2α=，则2sin cos sin 2cos αααα-+的值为A Q0 B Q34 C Q1 D Q548Q在△ABC 中，5tan 12A =-，则cos A =AQ1213 B Q513 C Q513- D Q1213- 9Q函数1()|sin()|23f x x π=+的最小正周期为A Q4π B Q3π C Q2π D Qπ10Q直线3y =与函数tan y x ω= (0ω>)的图象相交，则相邻两交点间的距离为AQπ BQ2πω C QπωD Q2πω 11Q如右图是函数2sin()y x ωϕ=+，(||2πϕ<)的图象，那么A Q1011ω=6πϕ=B Q1011ω= 6πϕ=-C Q2ω= 6πϕ=D Q2ω= 6πϕ=-12Q已知点Q 是△ABC 内一点，且OA OB OC O ++=，则Q 是△ABC 的A Q垂心 B Q重心 C Q内心 D Q外心第II 卷 主观卷（共52分）二、填空 (每小题4分，共16分)13Q若向量1e ，2e 不共线，且12ke e +与12e ke +可以作为平面内的一组基底，则实数k的取值范围为 Q14Q若02απ<<，且sin α<和1cos 2α>同时成立，则α的取值范围Q15Q函数2sin 1y x =-+的单调递增区间为 Q16Q设a 、b 、c 是任意的非零向量，且相互不共线，给定下列结论Q ()()0a b c c a b -= ② ||||||a b a b -<-③ ()()b c a c a b -不与c 垂直 ④22(32)(32)94a b a b a b +-=- 其中正确的叙述有 Q三、解答题17Q(12分)求函数tan()6y x =+Q18Q(12分) 已知向量a 、b 满足||5a = (1,3)b =-且(2)a b b +⊥求：(1)向量a 的坐标；(2) 向量a 与b 的夹角Q19Q(12分) 已知函数sin()y A x ωϕ=+ (x R ∈；0A >；0ω>；||2πϕ<) 该函数图象上的一个最高点坐标为(,3)6π，与其相邻的对称中心的坐标是(,0)12π-，求该函数sin()y A x ωϕ=+的解析式Q20Q(10分) (附加题) 已知向量(cos23,cos67)a = (cos68,cos22)b =求：(1) a ·b ；(2) 若向量b 与向量m 共线，u a m =+，求u 的模的最小值Q~度第二学期期中试卷高一数学答案。
山西省大同市第一中学校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
山西省大同市第一中学校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．复数1i43i++的虚部是（ ） A ．1i 25B ．125C ．1i 25-D ．125-2．已知向量,a b r r 满足2=r a ，1=r b ，且π,3a b =r r ，则2a b +=r r （ ）AB ．2C ．D 3．斜四棱柱侧面中矩形的个数最多可有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知平面向量()1,2a =-r ，()3,4b =r ，则a r 在b r上的投影向量为（ ） A ．11,43⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为3cm,2cm ，则此球的体积为（ ）A 3cmB 3cmC ．316πcm 3D ．332πcm 36．在平行四边形ABCD 中，G 为ABC V 的重心，满足(),R AG xAB y AD x y =+∈u u u r u u u r u u u r ，则2x y +=（ ）A ．43B ．53C ．0D ．1-7．△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．π)33B ++B ．π)36B ++C ．π6sin()33B ++D ．π6sin()36B ++8．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB ，其半径为3，150AOB ∠=︒，点E ，F分别在»AB ，»CD上，且2FE OF =u u u r u u u r ，则AF OE ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ）A ．156,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,32⎡-⎢⎣⎦D ．6,3⎡-⎢⎣⎦二、多选题9．复数1z =，其共轭复数为z ，则下列叙述正确的是（ ） A ．z 对应的点在复平面的第四象限 B ．2z 是一个纯虚数 C ．2z z ⋅=D ．i z z= 10．下列选项中哪些是正确的（ ）A ．12342023i i i i ..i 1++++⋯⋯+=-（i 为虚数单位）B ．用平面去截一个圆锥，则截面与底面之间的部分为圆台C ．在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 是钝角三角形D ．当32x <时，向量(),3a x =r ，()2,1b =-r 的夹角为钝角 11．在正四面体ABCD 中，若2AB =，M 为BC 的中点，下列结论正确的是（ ）A B ．正四面体外接球的表面积为6πC ．正四面体-P ABC 内任意一点到四个面的距离之和为定值D ．正四面体ABCD 内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面BCD 上，上底圆面与面ABD 、面ABC 、面ACD三、填空题12．如图，O A B '''△是水平放置的OAB V 的斜二测直观图，若3O A ''=，4OB '=，则O A B V 的面积为.13．在ABC V 中，13,2,cos()3a b A B ==+=，则c = .14．已知圆台12O O 的轴截面是等腰梯形ABCD ，//AB CD ，2CD AB =，圆台12O O 的底面圆周都在球O 的表面上，点O 在线段12O O 上，且122OO OO =，记圆台12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V = ．四、解答题 15．回答下列问题(1)已知复数2i z m =+是方程26130x x ++=的根（i 是虚数单位，m ∈R ），求z ． (2)已知复数32i z =-+，设复数20231i a z z-=，（z 是z 的共轭复数），且复数1z 所对应的点在第三象限，求实数a 的取值范围．16．如图，在等腰三角形ABC中，30,AB AC BAC F ∠==o 是线段AC 上的动点（异于端点），3BC BE =u u u r u u u r.(1)若F 是AC 边的中点，求AE BF ⋅u u u r u u u r的值； (2)当AE BF ⋅=u u u r u u u r F 的位置.17．已知圆锥的顶点为P ，母线P A ，PB 所成角的余弦值为14，轴截面等腰三角形P AC 的顶角为90︒，若PAB V的面积为(1)求该圆锥的侧面积；(2)求该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值.18．在①()2sin cos sin cos cos sin c B A b A B A B =+；②()()222sin sin cos 1sin sin B C A A B A C ++-=++；③sin sin sinsin b B c C a A A c B +-；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足______. (1)求A ；(2)若ABC V 的面积为D 为AC 的中点，求BD 的最小值.。
山西省大同一中2015-2016学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2015-2016学年山西省大同一中高一（下）期中数学试卷一、选择题1．下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．﹣30°C．630°D．﹣630°2．已知=（﹣2，2），=（x，﹣3），若⊥，则x的值为（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣33．已知向量=（3，4），=（sinα，cosα），且，则tanα=（）A．B．﹣C．D．﹣4．若0＜α＜2π，则使sinα＜和cosα＞同时成立的α的取值范围是（）A．（﹣，）B．（0，）C．（，2π）D．（0，）∪（，2π）5．已知向量=（3，4），则与方向相同的单位向量是（）A．（，）B．（，）C．（﹣﹣，）D．（4，3）6．在△ABC中，若sin（A+B﹣C）=sin（A﹣B+C），则△ABC必是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形7．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，=，=，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+8．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变9．函数y=2sin2x是（）A．以2π为周期的偶函数B．以π为周期的偶函数C．以2π为周期的奇函数D．以π为周期的奇函数10．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）+f（x）=0，且在[3，4]上是增函数，A、B 是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinA）＜f（cosB）B．f（sinA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f （cosA）＞f（cosB）二、填空题11．cos=．12．求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．13．在△ABC中，||=5，||=4，||=3，则•=．14．在平行四边形ABCD中，=，=，=3，M为BC的中点，则=（，表示）15．设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．三、解答题16．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1．（1）求•；（2）|﹣2|17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．18．已知是一个三角形的内角，且sinα+cosα=（1）求tanα的值；（2）用tanα表示并求其值．19．已知=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），函数f（x）=•．（1）求f（x）的对称轴方程；（2）若对任意实数x∈[，]，不等式f（x）﹣m＜2恒成立，求实数m的取值范围．20．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．2015-2016学年山西省大同一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．﹣30°C．630°D．﹣630°【考点】终边相同的角．【专题】计算题．【分析】直接利用终边相同的角判断即可．【解答】解：因为330°的终边与﹣30°的终边相同，所以B满足题意．故选B．【点评】本题考查终边相同的角的表示方法，考查基本知识的熟练程度．2．已知=（﹣2，2），=（x，﹣3），若⊥，则x的值为（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由⊥得到•=﹣2x+2×（﹣3）=0，解得即可．【解答】解：∵=（﹣2，2），=（x，﹣3），⊥，∴•=﹣2x+2×（﹣3）=0，解得x=﹣3，故选：D．【点评】本题考查了向量垂直与数量积之间的关系，考查了计算能力，属于基础题．3．已知向量=（3，4），=（sinα，cosα），且，则tanα=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出tanα的值．【解答】解：∵向量=（3，4），=（sinα，cosα），且，∴3cosα﹣4sinα=0，∴=；即tanα=．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算以及同角的三角函数的运算问题，是基础题目．4．若0＜α＜2π，则使sinα＜和cosα＞同时成立的α的取值范围是（）A．（﹣，）B．（0，）C．（，2π）D．（0，）∪（，2π）【考点】三角函数线．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据正弦函数和余弦函数的单调性分别求得在0＜α＜2π，满足已知条件α的范围，最后去交集即可．【解答】解：∵0＜α＜2π，sinα＜，∴0＜α＜或＜α＜2π，①∵0＜α＜2π，cosα＞，∴0＜α＜，或＜α＜2π，②①②取交集得0＜α＜或＜α＜2π，故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数图象与性质，三角函数的单调性．解题可结合正弦函数和余弦函数的图象，可能更直观．5．已知向量=（3，4），则与方向相同的单位向量是（）A．（，）B．（，）C．（﹣﹣，）D．（4，3）【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；规律型；平面向量及应用．【分析】求出向量的模，然后求解单位向量．【解答】解：=（3，4），∴||==5，∴与方向相同的单位向量的坐标为：（，）．故选：B．【点评】本题考查单位向量的求法向量的模的求法，考查计算能力．6．在△ABC中，若sin（A+B﹣C）=sin（A﹣B+C），则△ABC必是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【考点】解三角形．【专题】计算题．【分析】结合三角形的内角和公式可得A+B=π﹣C，A+C=π﹣B，代入已知sin（A+B﹣C）=sin（A﹣B+C）化简可得，sin2C=sin2B，由于0＜2B＜π，0＜2C＜π从而可得2B=2C或2B+2C=π，从而可求【解答】解：C∵A+B=π﹣C，A+C=π﹣B，∴sin（A+B﹣C）=sin（π﹣2C）=sin2Csin（A﹣B+C）=sin（π﹣2B）=sin2B，则sin2B=sin2C，B=C或2B=π﹣2C，即．所以△ABC为等腰或直角三角形．故选C【点评】本题主要考查了三角形的内角和公式，三角函数的诱导公式，由三角函数值寻求角的关系，依据主要是利用三角函数的图象．7．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，=，=，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】直接利用向量的基本定理判断选项即可．【解答】解：如图：连结CD，OD，∵已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，∴AODC是平行四边形，∴=．故选：D．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，是基础题．8．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】规律型．【分析】得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标变为原来的一半【解答】解：由函数图象变换的规则函数的图象，可以由函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到故选B．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，解题的关键是掌握住图象变换的规则，属于基本题型．9．函数y=2sin2x是（）A．以2π为周期的偶函数B．以π为周期的偶函数C．以2π为周期的奇函数D．以π为周期的奇函数【考点】余弦函数的图象；二倍角的余弦．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角的余弦公公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性和奇偶性，得出结论．【解答】解：∵函数y=2sin2x=2•=1﹣cos2x，∴它是以π为周期的偶函数，故选：B．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公公式，余弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．10．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）+f（x）=0，且在[3，4]上是增函数，A、B 是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinA）＜f（cosB）B．f（sinA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f （cosA）＞f（cosB）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（x+1）+f（x）=0得f（x+2）=f（x）得函数的周期为2，然后利用函数的周期和奇偶性进行判断．【解答】解：由f（x+1）+f（x）=0得f（x+1）=﹣f（x）即f（x+2）=f（x），所以函数的周期为2，因为f（x）在[3，4]上是增函数，所以f（x）在[﹣1，0]上为增函数，因为f（x）为偶函数，所以f（x）在[0，1]上为单调减函数．因为在锐角三角形中，π﹣A﹣B＜，所以A+B＞，所以＞A＞﹣B＞0，所以sinA＞sin（﹣B）=cosB，因为f（x）在[0，1]上为单调减函数．所以f（sinA）＜f（cosB），故选：A．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，以及三角函数的图象和性质，综合性较强，涉及的知识点较多．二、填空题11．cos=．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】函数思想；转化法；三角函数的求值．【分析】根据题意，由=﹣，结合余弦的差角公式可得cos=cos（﹣）=coscos+sin cos，代入数据计算可得答案．【解答】解：根据题意，由=﹣，则cos=cos（﹣）=cos cos+sin cos=×+×=，故答案为：．【点评】本题考查余弦的差角公式，关键是将用特殊角的差的形式表示出来．12．求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用60°=20°+40°，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值．【解答】解：tan60°=tan（20°+40°）==tan20°+tan40°+tan20°tan40故答案为：【点评】本题考查两角和的正切函数公式的应用，考查计算化简能力，观察能力，是基础题．13．在△ABC中，||=5，||=4，||=3，则•=﹣9．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；平面向量及应用．【分析】边长满足勾股定理，从而确定△ABC为直角三角形，即可求出B的余弦值，根据向量数量积的定义即可求出．【解答】解：∵||=5，||=4，||=3，∴||2=||2+||2，∴△ABC为直角三角形，且∠C为直角，∴cosB=，∴•=||•||cos（﹣B）=5×3×（﹣）=﹣9，故答案为：﹣9．【点评】本题考查平面向量数量积的定义，同时注意挖掘题目中的条件，考查计算能力．14．在平行四边形ABCD中，=，=，=3，M为BC的中点，则=（，表示）【考点】向量的加法及其几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的三角形法则、平行四边形法则、向量共线定理即可得出．【解答】解：∵=3，M为BC的中点，则=====．故答案为：．【点评】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、向量共线定理，属于基础题．15．设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．【专题】压轴题；三角函数的求值．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．三、解答题16．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1．（1）求•；（2）|﹣2|【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】（1）根据向量的数量积定义计算；（2）计算（）2再开方即可．【解答】解：（1）=||||cos60°=2×=1．（2）∵（）2=﹣4+4=4﹣4+4=4，∴|﹣2|=2．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）通过函数的图象求出A和T，然后求出ω，通过函数经过的特殊点求出φ，即可得到函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求利用x在区间，求出相位的范围，然后结合函数的值域求出函数的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由图象知，A=2，故ω=2，将点代入f（x）的解析式，得，又，所以，故…（Ⅱ）由，得即所以f（x）的最大值为2，最小值为﹣1．…【点评】本题主要考察函数f（x）=Asin（ωx+φ）的性质以及对三角函数知识的综合运用能力，简单题．18．已知是一个三角形的内角，且sinα+cosα=（1）求tanα的值；（2）用tanα表示并求其值．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；规律型；转化思想；三角函数的求值．【分析】（1）将已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理后判断出sinα与cosα的正负，利用同角三角函数间基本关系得到sin2α+cos2α=1，联立求出sinα与cosα的值，即可确定出tanα的值．（2）利用同角三角函数基本关系式化简求解即可．【解答】解：（1）将sinα+cosα=，两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，∴sinαcosα=﹣＜0，即sinα＞0，cosα＜0，与sin2α+cos2α=1，联立得：，∴，则tanα=﹣．（2）====．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．19．已知=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），函数f（x）=•．（1）求f（x）的对称轴方程；（2）若对任意实数x∈[，]，不等式f（x）﹣m＜2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，通过正弦函数的对称轴直接求f（x）的对称轴方程；（2）利用（1）的函数的解析式，对任意实数x∈[，]，不等式f（x）﹣m＜2恒成立，求出f（x）﹣2在已知范围难度最大值，即可求实数m的取值范围．【解答】（本小题满分14分）解：（1）由f（x）=•及=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），可得f（x）=sin2x+sinxcosx …=…=…令，k∈Z，解得x=，k∈Z．…所以，f（x）的对称轴方程为x=，k∈Z．…（2）∵x∈[，]，∴．…又∵y=sinx在上是增函数，∴sin．…又∵sin=sin（）=sin cos﹣cos sin==，…∴f（x）在x∈[，]，时的最大值是f max（x）==．…∵不等式f（x）﹣m＜2恒成立，即f（x）﹣2＜m恒成立，…∴，即m，所以，实数m的取值范围是．…【点评】本题考查向量的数量积的计算．两角和与差的三角函数正弦函数的对称轴方程以及单调性的应用，考查计算能力．20．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】（1）设，由||=2，且∥，知，由此能求出的坐标．（2）由，知，整理得，故，由此能求出与的夹角θ．【解答】解：（1）设，∵||=2，且∥，∴，…解得或，…故或．…（2）∵，∴，即，…∴，整理得，…∴，…又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．…【点评】本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直的条件的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．。
【解析版】大同市数学高一下期中习题(含解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12420]若四棱锥的三视图如图，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大值为（ ）A ．3B ．13C ．32D ．332．(0分)[ID ：12414]已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该四棱锥的体积的最大值为（ ）A ．643B ．32C ．54D ．643．(0分)[ID ：12409]如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+4．(0分)[ID ：12379]已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ）A ．3B ．212C ．22D ．25．(0分)[ID ：12358]如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是( )A ．30B ．60C ．90D ．1206．(0分)[ID ：12355]已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-=7．(0分)[ID ：12349]已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ）A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π8．(0分)[ID ：12340]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．30 9．(0分)[ID ：12329]设直线,a b 是空间中两条不同的直线，平面,αβ是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αC ．若a ∥α，α∥β，则a ∥βD ．若α∥β，a α⊂，则a ∥β10．(0分)[ID ：12395]正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ）A ．25B ．25C ．25D ．25 11．(0分)[ID ：12387]α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）①若α//β，m ⊂α，则m//β； ②若m//α，n ⊂α，则m//n ；③若α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ，则m ⊥β ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β. A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④12．(0分)[ID ：12415]已知ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2AB =，4AC =，5BC =三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表面积为（ ）A ．22πB ．743πC ．24πD ．36π13．(0分)[ID ：12410]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A ．26 B ．36 C ．23 D ．2214．(0分)[ID ：12380]如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π 15．(0分)[ID ：12363]若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶5D ．3∶2 二、填空题16．(0分)[ID ：12493]设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则球O 的表面积为____________.17．(0分)[ID ：12524]已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.18．(0分)[ID ：12517]过点(1,2)-且与直线2390x y -+=垂直的直线方程为____________．19．(0分)[ID ：12513]如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①0BD AC ⋅≠；②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直．其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）20．(0分)[ID ：12484]已知圆O ：224x y +=, 则圆O 在点(1,3)A 处的切线的方程是___________.21．(0分)[ID ：12481]直线10ax y ++=与连接A （4，5），B （-1，2）的线段相交，则a 的取值范围是___．22．(0分)[ID ：12464]如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .23．(0分)[ID ：12430]若直线:20l kx y --=与曲线()2:111C y x --=-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围________.24．(0分)[ID ：12468]如图：点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个命题：①三棱锥1A D PC -的体积不变； ②1A P ∥面1ACD ；③1DPBC ；④面1PDB 面1ACD ．其中正确的命题的序号是__________.25．(0分)[ID ：12429]已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.三、解答题26．(0分)[ID ：12628]已知点()1,0P ，圆22:6440C x y x y +-++=. （1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.27．(0分)[ID ：12593]在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC BD ⊥于点O ，2BC AD =，9AC =，将ABD ∆沿着BD 折起，使得A 点到P 点的位置，35PC =.（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）M 为BC 上一点，且2BM CM =，求证：//OM 平面PCD .28．(0分)[ID ：12584]已知圆C 的圆心坐标()1,1，直线l ：1x y +=被圆C 截得弦长为2.（1）求圆C 的方程；（2）从圆C 外一点()2,3P 向圆引切线，求切线方程.29．(0分)[ID ：12622]已知圆22C (4)4x y +-=：，直线:(31)(1)40l m x m y ++--=.（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时直线l 的方程及最短弦长；（3）已知点M (-3,4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在定点N (异于点M )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有||||PM PN 为一常数， 试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数. 30．(0分)[ID ：12530]在ABC ∆中，已知()1,2A ，()3,4C ，点B 在x 轴上，AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=.（1）求B 点坐标；（2）求ABC ∆面积.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．A3．B4．D5．C6．B7．C8．C9．D10．A11．B12．C13．A14．A15．C二、填空题16．【解析】【分析】利用条件两两垂直且把三棱锥扩展为正方体球的直径即是正方体的体对角线长由球的表面积公式求解【详解】先把三棱锥扩展为正方体则正方体的体对角线的长为所以球的半径为所以球的表面积为【点睛】本17．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键18．【解析】【分析】因为直线l与已知直线垂直根据两直线垂直时斜率的乘积为-1由已知直线的斜率求出直线l的斜率然后根据（-12）和求出的斜率写出直线l的方程即可【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为所19．②③【解析】【分析】①由折叠的原理可知BD⊥平面ADC可推知BD⊥AC数量积为零②由折叠后AB＝AC＝BC三角形为等边三角形得∠BAC＝60°；③由DA＝DB＝DC根据正三棱锥的定义判断④平面ADC20．【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O在点处的切线的方程的斜率∴圆O在点A处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的21．或【解析】【分析】判断直线恒过定点P（0-1）计算PAPB的斜率再利用数形结合求a的取值范围【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程判断直线恒过定点P（0-1）如图所示计算且或则或即实数a的取值范围22．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因23．【解析】【分析】由题意可知曲线为圆的右半圆作出直线与曲线的图象可知直线是过点且斜率为的直线求出当直线与曲线相切时k的值利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围【详解】对于直线则24．①②④【解析】对于①因为从而平面故上任意一点到平面的距离均相等以为顶点平面为底面则三棱锥的体积不变正确；对于②连接容易证明且相等由于①知：平面平面所以可得面②正确；对于③由于平面若则平面则为中点与动25．【解析】【分析】先求出直线经过的定点设直线上的点坐标由可求得点的轨迹方程进而求得斜率的取值范围【详解】解：由题意得：直线因此直线经过定点；设点坐标为；化简得：因此点为与直线的交点所以应当满足圆心到直三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，可证得,CD PD ⊥CB PB ⊥，分别计算四个侧面三角形的面积，比较即得解.【详解】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，其中底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD由于,,CD AD CD PA ADPA A CD ⊥⊥=∴⊥平面PAD ，CD PD ∴⊥同理可证：CB PB ⊥ 1111222,2332222PAB PAD S PA AB S PA AD ∆∆∴=⨯=⨯⨯==⨯=⨯⨯= 111122332,213132222PBC PCD S PB BC S CD PD ∆∆=⨯=⨯==⨯=⨯= 故四棱锥的四个侧面的面积中最大值为32故选：C【点睛】本题考查了利用三视图还原几何体，侧面三角形面积的计算，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.2．A解析：A【解析】【分析】设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，可得22122a h h =-，得出四棱锥的体积关于h 的函数()V h ，求出V 的极大值点，即可得到四棱锥的体积的最大值.【详解】正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，设正四棱锥的底面ABCD 的中心为1O . 则2a OA =,1PO ⊥ 平面ABCD . 则22211OO O A OA +=,即()2222332a h ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，可得22122a h h =-. 则该四棱锥的体积为()221112233V a h h h h =⨯=- 令()()2122f h h h h =-，则()2246f h h h '=-当04h <<时，()0f h '>，f h 单调递增.当4h >时，()0f h '<，f h 单调递减.所以当4h =时，该四棱锥的体积有最大值，最大值为：()216412424433⨯⨯-⨯⨯= . 故选：A【点睛】本题考查了四棱锥与球的组合体，求椎体的体积，关键是利用了导数求体积的最值．属于中档题．3．B解析：B【解析】该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为2215221122032S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ． 4．D解析：D【解析】【分析】当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值. 【详解】 圆C 方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1． 因为PA ，PB 为切线，221PC PA ∴=+且1=2122PACB S PA PA ⨯⨯⨯==四边形． ∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小，此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>．又min 21PC k =+，222221+1k ⎛⎫∴= ⎪+⎝⎭，2k ∴=，故选D. 【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题. 5．C解析：C【解析】【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，利用线面垂直的判定定理，证得1AD ⊥平面1A DC ，由此能求出结果．【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，连结1A D ，则1AD DC ⊥，11A D AD ⊥， 由线面垂直的判定定理得1AD ⊥平面1A DC ，所以11AD AC ⊥, 所以异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是90．故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．6．B解析：B【解析】【分析】 【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等，=．即：221244x x y y +-++-229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=． 故选B ．7．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案.【详解】SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =. ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，设球O 的半径为R ，则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得R =O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C . 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8．C解析：C 【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，所以几何体的体积为V =12×3×4×5−13×12×3×4×3=24，故选C ．考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．9．D解析：D 【解析】 【分析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】A. 若a ∥α，b ∥α，则a 与b 平行或异面或相交，所以该选项不正确；B. 若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a α⊂，所以该选项不正确；C. 若a ∥α，α∥β，则a ∥β或a β⊂，所以该选项不正确；D. 若α∥β，a α⊂，则a ∥β，所以该选项正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．A解析：A 【解析】 【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可. 【详解】 作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点, 所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B , 所以//EF 平面11BCC B ， 由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF , 结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC , 因为正方体的棱长AB ＝4,所以1122,25,42EF BE C F BC ==== 所以所求截面的周长为2+5 故选:A 【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.11．B解析：B 【解析】 【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β． 【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ， 由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确．故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．12．C解析：C 【解析】 【分析】由已知可得三角形ABC 为直角三角形，斜边BC 的中点O '就是ABC 的外接圆圆心，利用三棱锥O ABC -的体积，求出O 到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表面积公式求解． 【详解】在ABC 中，∵2AB =，4AC =，25BC =得AB AC ⊥， 则斜边BC 的中点O '就是ABC 的外接圆的圆心， ∵三棱锥O ABC -的体积为43， 11424323OO '⨯⨯⨯⨯=，解得1OO '=，221(5)6R =+=， 球O 的表面积为2424R ππ=． 故选C ．【点睛】本题考查球的表面积的求法，考查锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.13．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ， 延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=2333=，∴116 13OO=-=，∴高SD=2OO1=263，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=3，∴132623436S ABCV-=⨯⨯=三棱锥．考点：棱锥与外接球，体积．【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．14．A解析：A【解析】【分析】【详解】由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体，下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体，故该几何体的表面积是20＋3π，故选A.考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积.15．C解析：C【解析】【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案【详解】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r．∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr故选C ． 【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．二、填空题16．【解析】【分析】利用条件两两垂直且把三棱锥扩展为正方体球的直径即是正方体的体对角线长由球的表面积公式求解【详解】先把三棱锥扩展为正方体则正方体的体对角线的长为所以球的半径为所以球的表面积为【点睛】本解析：3π【解析】 【分析】利用条件PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===把三棱锥P ABC -扩展为正方体，球的直径即是正方体的体对角线长，由球的表面积公式求解． 【详解】先把三棱锥P ABC -,所以球的半径为所以球的表面积为24π3π2⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了球的体积公式：343V r π=球（其中r 为球的半径）及长方体的体对角线长公式：l =,,a b c 分别是长方体的长、宽、高）．17．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键 解析：27310x y -+=【解析】 【分析】计算()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()15,3A -，计算直线1A B 得到答案.【详解】设()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()1,A x y ，故51335022y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+=⎪⎩，故()15,3A -. 故反射光线为1A B ：()532525y x -=-++，化简得到27310x y -+=.故答案为：27310x y -+=. 【点睛】本题考查了直线的反射问题，找出对称点是解题的关键.18．【解析】【分析】因为直线l 与已知直线垂直根据两直线垂直时斜率的乘积为-1由已知直线的斜率求出直线l 的斜率然后根据（-12）和求出的斜率写出直线l 的方程即可【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为所 解析：3210x y +-=【解析】 【分析】因为直线l 与已知直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由已知直线的斜率求出直线l 的斜率，然后根据（-1，2）和求出的斜率写出直线l 的方程即可． 【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为23 ，所以直线l 的斜率为32- ， 则直线l 的方程为：3212y x -=-+（） ，化简得3210x y +-=.即答案为3210x y +-=． 【点睛】本题考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道基础题．19．②③【解析】【分析】①由折叠的原理可知BD⊥平面ADC 可推知BD⊥AC 数量积为零②由折叠后AB ＝AC ＝BC 三角形为等边三角形得∠BAC＝60°；③由DA ＝DB ＝DC 根据正三棱锥的定义判断④平面ADC解析：②③ 【解析】 【分析】①由折叠的原理，可知BD ⊥平面ADC ，可推知BD ⊥AC ，数量积为零，②由折叠后AB ＝AC ＝BC ，三角形为等边三角形，得∠BAC ＝60°；③由DA ＝DB ＝DC ，根据正三棱锥的定义判断．④平面ADC 和平面ABC 不垂直． 【详解】BD ⊥平面ADC ，⇒BD ⊥AC ，①错； AB ＝AC ＝BC ，②对；DA ＝DB ＝DC ，结合②，③对④错． 故答案为②③ 【点睛】本题主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题．20．【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O 在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O 在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O 在点处的切线的方程的斜率∴圆O 在点A 处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的 解析：33430x y +-=【解析】 【分析】先求出k OA =3，从而圆O 在点()1,3处的切线的方程的斜率3k =- ，由此能出圆O 在点(1,3A 处的切线的方程． 【详解】k OA =3，∴圆O 在点()1,3处的切线的方程的斜率3k =-， ∴圆O 在点A ()1,3处的切线的方程313y x -=--（） ， 整理，得33430x y +-=． 即答案为33430x y +-=. 【点睛】本题考查圆的切线方程的求法，属中档题.21．或【解析】【分析】判断直线恒过定点P （0-1）计算PAPB 的斜率再利用数形结合求a 的取值范围【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程判断直线恒过定点P （0-1）如图所示计算且或则或即实数a 的取值范围解析：32a ≤-或3a ≥ 【解析】 【分析】判断直线0ax by c ++=恒过定点P （0，-1），计算PA 、PB 的斜率，再利用数形结合求a 的取值范围． 【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程，判断直线恒过定点P （0，-1），如图所示，计算513402PA k +==-，21310PB k +==---且PA k k ≥或PB k k ≤， 则PA a k ≤-或PB a k ≥-， 即实数a 的取值范围是：32a ≤-或3a ≥． 故答案为：32a ≤-或3a ≥． 【点睛】本题考查直线的斜率与直线方程的应用问题，是基础题．22．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因解析：12【解析】 ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=，所以30BAD BCA ∠==.由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos12012=+-⨯⨯=，所以23AC =.设AD x =，则023t <<，23DC x =-.在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅22222cos30x x =+-⋅2234x x =-+.故2234BD x x =-+.在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(234)3cos 2222PD PB BD x x x BPD PD PB x +-+--+∠===⋅⋅⋅， 所以30BPD ∠=.过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d = 则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠，12sin302d x=⋅，解得d=.而BCD∆的面积111sin)2sin30(2)222S CD BC BCD x x=⋅∠=⋅=.设PO与平面ABC所成角为θ，则点P到平面ABC的距离sinhdθ=.故四面体PBCD的体积11111sin)33332BcD BcD BcDV S h Sd S d xθ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯=设t==0x≤≤12t≤≤.则x-=（1）当0x≤≤时，有x x==故x=此时，16Vt=21414()66ttt t-=⋅=-.214()(1)6V tt=--'，因为12t≤≤，所以()0V t'<，函数()V t在[1,2]上单调递减，故141()(1)(1)612V t V≤=-=.（2x<≤x x=-=故x=此时，V=21414()66ttt t-=⋅=-.由（1）可知，函数()V t在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V<=-=.综上，四面体PBCD的体积的最大值为12.23．【解析】【分析】由题意可知曲线为圆的右半圆作出直线与曲线的图象可知直线是过点且斜率为的直线求出当直线与曲线相切时k的值利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围【详解】对于直线则解析：4 ,23⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可知，曲线C为圆()()22111x y-+-=的右半圆，作出直线l与曲线C的图象，可知直线l是过点()0,2-且斜率为k的直线，求出当直线l与曲线C相切时k的值，利用数形结合思想可得出当直线l与曲线C有两个公共点时实数k的取值范围.【详解】对于直线:2l y kx=-，则直线l是过点()0,2P-且斜率为k的直线，对于曲线()2:111C y x--=-，则101x x-≥⇒≥，曲线C的方程两边平方并整理得()()22111x y-+-=，则曲线C为圆()()22111x y-+-=的右半圆，如下图所示：当直线l与曲线C相切时，0k>()222123111k kkk---==++-，解得43k=，当直线l过点()1,0A时，则有20k-=，解得2k=.结合图象可知，当4,23k⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，直线l与曲线C有两个交点.故答案为：4,23⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查利用直线与曲线的交点个数求参数，解题的关键就是将曲线C 化为半圆，利用数形结合思想求解，同时要找出直线与曲线相切时的临界位置，考查数形结合思想的应用，属于中等题.24．①②④【解析】对于①因为从而平面故上任意一点到平面的距离均相等以为顶点平面为底面则三棱锥的体积不变正确；对于②连接容易证明且相等由于①知：平面平面所以可得面②正确；对于③由于平面若则平面则为中点与动解析：. ① ② ④ 【解析】对于①，因为11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故1BC 上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，∴以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，正确；对于②，连接111,A B A C 容易证明111//AC A D 且相等，由于①知：11//AD BC ，平面11//BA C 平面1ACD ，所以可得1//A P 面1ACD ，②正确；对于③，由于DC ⊥平面111,BCB C DC BC ∴⊥，若1DPBC ，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 动点矛盾，错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，由面面垂直的判定知平面1PDB ⊥平面1ACD ，④正确，故答案为①②④.25．【解析】【分析】先求出直线经过的定点设直线上的点坐标由可求得点的轨迹方程进而求得斜率的取值范围【详解】解：由题意得：直线因此直线经过定点；设点坐标为；化简得：因此点为与直线的交点所以应当满足圆心到直解析：1515⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】先求出直线l 经过的定点，设直线上的p 点坐标，由2229PA PB +=可求得点P 的轨迹方程，进而求得斜率k 的取值范围． 【详解】解：由题意得：直线:(5)l y k x =-， 因此直线l 经过定点(5,0)；设点P 坐标为0(x ，0)y ；2229PA PB +=，∴22220000(1)22(2)9y x y x +++++=化简得：2200020x y x +-=，因此点p 为2220x y x +-=与直线:(5)l y k x =-的交点．所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径∴1解得：[k ∈故答案为[k ∈ 【点睛】本题考查了求轨迹方程，一次函数的性质，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．三、解答题 26．（1）1x =或0y =；（2）()()22134x y -++=. 【解析】 【分析】（1）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线l 的距离等于2可求得直线l 的方程；（2）先通过点到直线的距离及勾股定理可解得直线m 的斜率，然后将直线m 的方程与圆的方程联立，求出线段AB 的中点，作为圆心，并求出所求圆的半径，进而可得出所求圆的方程. 【详解】（1）由题意知，圆C 的标准方程为()()22329x y -++=，∴圆心()3,2C -，半径3r =，①当直线l 的斜率k 存在时，设直线的方程为()01y k x -=-，即kx y k 0--=， 则圆心到直线l的距离为2d ==，0k ∴=.∴直线l 的方程为0y =；②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =， 此时圆心C 到直线l 的距离为2，符合题意. 综上所述，直线l 的方程为1x =或0y =；（2）依题意可设直线m 的方程为1y kx =-，即()100kx y k --=<，则圆心()3,2C -到直线m的距离d ===22320k k ∴+-=，解得12k =或2k =-， 又0k <，2k ∴=-，∴直线m 的方程为210x y ---=即210x y ++=，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线m 与圆C 的方程得()()22210329x y x y ++=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 消去y 得251010x x -+=，122x x ∴+=， 则线段AB 的中点的横坐标为1212x x +=，把1x =代入直线m 中得3y =-， 所以，线段AB 的中点的坐标为()1,3-， 由题意知，所求圆的半径为：122AB =， ∴以线段AB 为直径的圆的方程为：()()22134x y -++=.【点睛】本题考查利用圆心到直线的距离求直线方程，同时也考查了圆的方程的求解，涉及利用直线截圆所得弦长求参数，考查计算能力，属于中等题.27．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明 【解析】 【分析】（Ⅰ）先证明PO ⊥平面BCD ，再证明平面PBD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）先证明//OM DC .再证明//OM 平面PCD . 【详解】（Ⅰ）因为//AD BC ，2BC AD =，所以2CO AO =， 所以6CO =，3AO =.即3PO =，又因为PC =PO CO ⊥ . 因为AC BD ⊥于点O ，所以PO BD ⊥. 又因为BD OC O ⋂=，所以PO ⊥平面BCD . 又因PO ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面BCD . （Ⅱ）因为//AD BC ，2BC AD =，所以2BODO=， 又因为2BM CM =，因此BO BMDO CM=，所以//OM DC . 又因为OM ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，所以//OM 平面PCD . 【点睛】本题主要考查线面平行和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.28．（1）()()22111x y -+-=；（2）2x =和3460x y -+=. 【解析】 【分析】()1设圆C 的半径为r ，根据圆心坐标写出圆的标准方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l 的距离即为弦心距，然后根据垂径定理得到其垂足为弦的中点，由弦长的一半，圆心距及半径构成的直角三角形，根据勾股定理列出关于r 的方程，求出方程的解即可得到r 的值，从而确定圆C 的方程；()2当切线方程的斜率不存在时，显然得到2x =为圆的切线；当切线方程的斜率存在时，设出切线的斜率为k ，由p 的坐标和k 写出切线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到所设直线的距离d ，根据直线与圆相切，得到d 等于圆的半径，列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值，从而确定出切线的方程，综上，得到所求圆的两条切线方程. 【详解】（1）设圆C 的标准方程为： ()()22211x y r -+-= (0)r > 圆心()1,1C 到直线10x y +-=的距离：2d ==，则222111222r d ⎛=+=+= ⎝⎭∴圆C 的标准方程： ()()22111x y -+-=（2）①当切线斜率不存在时，设切线： 2x =，此时满足直线与圆相切. ②当切线斜率存在时，设切线： ()32y k x -=-，即23y kx k =-+ 则圆心()1,1C 到直线230kx y k --+=的距离：1d ==解得： 43k =，即34k =则切线方程为： 3460x y -+=综上，切线方程为： 2x =和3460x y -+=29．（1）A （1，3）；（2）直线l 方程为20x y -+=，最短弦长为3）在直线MC。
山西省大同市高一下学期数学期中考试试卷
山西省大同市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2018·株洲模拟) 设复数满足，则（）A .B .C .D . 22. （2分）设a=(x,4,3)，b=(3,2,z),且a∥b ，则xz等于（）A . 9B . -4C .D . -93. （2分）某公司在甲、乙、丙三个城市分别有180个、150个、120个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这450个销售点中抽取一个容量为90的样本，记这项调查为①; 某学校高二年级有25名足球运动员，要从中选出5名调查学习负担情况，记这项调查为②；则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A . 系统抽样，分层抽样B . 简单随机抽样，分层抽样C . 分层抽样，简单随机抽样D . 分层抽样，系统抽样4. （2分）已知A（ 2，1 ），B（ 3，2 ），C（﹣1，5 ），则△ABC的形状是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 任意三角形5. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 在中，，，，则的值等于（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高一下·桃江期末) 一个样本M的数据是x1 ， x2 ，，xn ，它的平均数是5，另一个样本N的数据x12 ， x22 ，，xn2它的平均数是34．那么下面的结果一定正确的是（）A . SM2=9B . SN2=9C . SM2=3D . Sn2=37. （2分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A . 0.648B . 0.432C . 0.36D . 0.3128. （2分） P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A∪B)等于（）A . 0.3B . 0.2C . 0.1D . 不确定9. （2分） (2016高二下·黄骅期中) 在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A . 众数B . 平均数C . 中位数D . 标准差10. （2分）(2017高一上·黄石期末) 若向量，，且，若，则β﹣α的值为（）A . 或B .C .D . 或二、填空题 (共8题；共8分)11. （1分） (2018高一下·阿拉善左旗期末) 某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如右表示，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法（按年级分层）在全校学生中抽取100人，则应在高三年级中抽取的学生人数为________.年级高一高二高三女生385男生37536012. （1分） (2017高二上·南京期末) 已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是________．13. （1分）(2014·湖北理) 设向量 =（3，3）， =（1，﹣1），若（+λ ）⊥（﹣λ ），则实数λ=________．14. （1分） (2020高三上·贵阳期末) 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是________15. （1分） (2018高二下·泰州月考) 甲、乙、丙三人射击同一目标,命中目标的概率分別，，，且彼此射击互不影响,现在三人射击该目标各一次, 则目标被击中的概率为________．〈用数字作答)16. （1分）(2018·河北模拟) 已知平面向量，，且，则在方向上的投影是________．17. （1分） (2018高一下·枣庄期末) 一组样本数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，，已知这组数据的平均数与中位数均为，则其方差为________．18. （1分） (2017高一下·仙桃期末) 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B 的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB 的高是________米．三、双空题 (共1题；共1分)19. （1分）(2017·广东模拟) 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，c= ，当ab取得最大值时，S△ABC=________．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共8题；共8分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、双空题 (共1题；共1分) 19-1、。
山西省大同市阳高一中高一数学下学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年山西省大同市阳高一中高一（下）期中数学试卷一、选择题（共12题，每小题5分）1．下列命题正确的是（）A．向量与不共线，则与都是非零向量B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点C．与共线，与共线，则与也共线D．有相同起点的两个非零向量不平行2．如图，在四边形ABCD中，下列各式成立的是（）A．﹣=B． +=C． ++=D． +=+3．设=（﹣1，2），=（1，﹣1），=（3，﹣2），且=p+q，则实数p、q的值分别为（）A．p=4，q=1B．p=1，q=﹣4C．p=0，q=1D．p=1，q=44．若||=1，||=2， =，且，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°5．设向量=（1，﹣3），=（﹣2，4），=（﹣1，﹣2），若表示向量4，4﹣2，2（﹣），的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量为（）A．（2，6）B．（﹣2，6）C．（2，﹣6）D．（﹣2，﹣6）6．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A． B． C． D．7．函数y=sin（2x+）•cos（x﹣）+cos（2x+）•sin（﹣x）的图象的一条对称轴方程是（）A．x=B．x=C．x=πD．x=8．在直角梯形ACBD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=45°，AB=2CD=2，M为腰BC的中点，则=（）A．1B．2C．3D．49．已知与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（，+∞）C．（﹣2，）D．（﹣）10．在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形11．y=sin（2x﹣）﹣sin2x的一个单调递增区间是（）A．[﹣，]B．[，π]C．[π，π]D．[，]12．△ABC中，，，若，则m+n=（）A． B． C． D．1二、填空题（共4小题，每小题5）13．函数的最小正周期为；最大值分别为．14．的值是．15．如图所示是y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的一段，它的一个解析式是．16．关于平面向量，，，有下列三个命题：①若•=•，则=、②若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k=﹣3．③非零向量和满足||=||=|﹣|，则与+的夹角为60°．其中真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）三、解答题（共6题）17．两个非零向量、不共线．（1）若=+， =2+8， =3（﹣），求证：A、B、D三点共线；（2）求实数k使k+与2+k共线．18．已知||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61．①与的夹角；②求|+|和|﹣|．19．如图，以向量为邻边作平行四边形OADB，，用表示．20．已知tanα，tanβ是方程6x2﹣5x+1=0的两根，且0＜α＜，π＜β＜，求tan （α+β）及α+β的值．21．已知：β∈（0，），α∈（，）且cos（﹣α）=，sin（+β）=，求：cosα，cos（α+β）22．设在平面上有两个向量=（cosα，sinα）（0°≤α＜360°），=（﹣，）．（1）求证：向量+与﹣垂直；（2）当向量+与﹣的模相等时，求α的大小．2015-2016学年山西省大同市阳高一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每小题5分）1．下列命题正确的是（）A．向量与不共线，则与都是非零向量B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点C．与共线，与共线，则与也共线D．有相同起点的两个非零向量不平行【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断真假性即可．【解答】解：对于A，若或是非零向量，则向量与共线是真命题，所以它的逆否命题也是真命题；对于B，任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点，或四个顶点在一条直线上，故原命题错误；对于C，与共线，与共线时，与也共线，当=时命题不一定成立，故是假命题；对于D，有相同起点的两个非零向量也可能平行，故原命题错误．综上，正确的命题是A．故选：A．2．如图，在四边形ABCD中，下列各式成立的是（）A．﹣=B． +=C． ++=D． +=+【考点】空间向量的加减法．【分析】由向量加减法的三角形法则，逐一计算四个答案中的向量运算式，比照后，即可得到正确的答案．【解答】解：﹣=+=，故A错误；+=，故B错误；++=+=，故C正确；+=≠+，故D错误；故选C3．设=（﹣1，2），=（1，﹣1），=（3，﹣2），且=p+q，则实数p、q的值分别为（）A．p=4，q=1B．p=1，q=﹣4C．p=0，q=1D．p=1，q=4【考点】平面向量的坐标运算；相等向量与相反向量．【分析】利用向量的线性坐标运算法则和向量相等即可得出．【解答】解：∵=（﹣p+q，2p﹣q），且=p+q，．∴，解得．故选D．4．若||=1，||=2， =，且，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】设与的夹角为θ，0≤θ≤π，由，可得=0，再利用两个向量的数量积的定义求得cosθ=﹣，由此可得θ的值．【解答】解：设与的夹角为θ，则0≤θ≤π，∵，∴=0．再由=（）•=+=1+1×2×cosθ=0，可得cosθ=﹣，∴θ=，即θ=120°，故选C．5．设向量=（1，﹣3），=（﹣2，4），=（﹣1，﹣2），若表示向量4，4﹣2，2（﹣），的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量为（）A．（2，6）B．（﹣2，6）C．（2，﹣6）D．（﹣2，﹣6）【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】向量首尾相连，构成封闭图形，则四个向量的和是零向量，用题目给出的三个点的坐标，再设出要求的坐标，写出首尾相连的四个向量的坐标，让四个向量相加结果是零向量，解出设的坐标．【解答】解：设=（x，y），∵4=（4，﹣12），4﹣2=（﹣6，20）2（﹣）=（4，﹣2），∴有4+（4﹣2）+2（﹣）+=0，∴x=﹣2，y=﹣6，故选D6．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A． B． C． D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．故选：D．7．函数y=sin（2x+）•cos（x﹣）+cos（2x+）•sin（﹣x）的图象的一条对称轴方程是（）A．x=B．x=C．x=πD．x=【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性．【分析】利用诱导公式变形，再由两角差的正弦化简，得到y=cosx，求其对称轴方程后得答案．【解答】解：y=sin（2x+）•cos（x﹣）+cos（2x+）•sin（﹣x）=sin（2x+）•cos（x﹣）﹣cos（2x+）•sin（x﹣）=sin[（2x+）﹣（x﹣）]=sin（x+）=cosx．∴原函数的对称轴方程为x=kπ，k∈Z．取k=1，得x=π．故选：C．8．在直角梯形ACBD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=45°，AB=2CD=2，M为腰BC的中点，则=（）A．1B．2C．3D．4【考点】向量在几何中的应用．【分析】以直角梯形的两个直角边为坐标轴，写出点的坐标，求出向量的坐标，利用向量数量积的坐标形式的公式求．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立直角坐标系．则：A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（1，1），M（．因为AB=2CD=2，∠B=45，所以AD=DC=1，M为腰BC的中点，则M点到AD的距离=（DC+AB）=，M点到AB的距离=DA=所以，，所以=9/4﹣1/4=2．故答案为B9．已知与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（，+∞）C．（﹣2，）D．（﹣）【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【分析】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，由与为互相垂直的单位向量，我们易得，，代入，可求出•，又由与的夹角为锐角，故•＞0，由此得到一个关于λ的不等式，解不等式即可得到实数λ的取值范围，但要注意，与同向的排除．【解答】解：∵与为互相垂直的单位向量∴，，又∵，且与的夹角为锐角，∴，但当λ=﹣2时，，不满足要求故满足条件的实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣2）故选A10．在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据三角形三个内角和为180°，把角C变化为A+B，用两角和的正弦公式展开移项合并，公式逆用，得sin（B﹣A）=0，因为角是三角形的内角，所以两角相等，得到三角形是等腰三角形．【解答】解：由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sin（A+B），∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB．∴cosAsinB﹣sinAcosB=0．∴sin（B﹣A）=0，∵A和B是三角形的内角，∴B=A．故选B11．y=sin（2x﹣）﹣sin2x的一个单调递增区间是（）A．[﹣，]B．[，π]C．[π，π]D．[，]【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】化简可得y=﹣sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+解不等式可得函数的所有单调递增区间，取k=0可得答案．【解答】解：化简可得y=sin（2x﹣）﹣sin2x=sin2x﹣cos2x﹣sin2x=﹣（cos2x+sin2x）=﹣sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，由于k∈Z，故当k=0时，函数的一个单调递增区间为[，]故选：B12．△ABC中，，，若，则m+n=（）A． B． C． D．1【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】由向量的运算法则和题设条件知==，所以，由此能得到m+n的值．【解答】解：∵，，∴，⇒，∵，∴==，∴，∴．∴．故选B．二、填空题（共4小题，每小题5）13．函数的最小正周期为π；最大值分别为 1 ．【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数y为cos2x，再由余弦函数的定义域、值域、周期性，求出它的周期和最大值．【解答】解：函数===cos2x，故最小正周期等于=π，当2x=2kπ，即 x=kπ（k∈z）时，函数y=cos2x有最大值等于1，故答案为π，1．14．的值是 1 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】把45°拆成60°﹣15°，然后利用两角差的正切求得答案．【解答】解：∵tan45°=tan（60°﹣15°）=．∴=．故答案为：1．15．如图所示是y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的一段，它的一个解析式是y=sin（2x+）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据函数的图象，得出振幅A与周期T，从而求出ω与φ的值．【解答】解：根据函数的图象知，振幅A=，周期T=﹣（﹣）=π，即=π，解得ω=2；所以x=﹣时，ωx+φ=2×（﹣）+φ=+2kπ，k∈Z；解得φ=+2kπ，k∈Z，所以函数y的一个解析式为y=sin（2x+）．故答案为：y=sin（2x+）．16．关于平面向量，，，有下列三个命题：①若•=•，则=、②若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k=﹣3．③非零向量和满足||=||=|﹣|，则与+的夹角为60°．其中真命题的序号为②．（写出所有真命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①向量不满足约分运算，但满足分配律，由此我们利用向量的运算性质，可判断平面向量，，的关系；②中，由∥，我们根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为0的原则，可以构造一个关于k的方程，解方程即可求出k值；③中，若||=||=|﹣|，我们利用向量加减法的平行四边形法则，可以画出满足条件图象，利用图象易得到两个向量的夹角；【解答】解：①若•=•，则•（﹣）=0，此时⊥（﹣），而不一定=，①为假．②由两向量∥的充要条件，知1×6﹣k•（﹣2）=0，解得k=﹣3，②为真．③如图，在△ABC中，设，，，由||=||=|﹣|，可知△ABC为等边三角形．由平行四边形法则作出向量+=，此时与+成的角为30°．③为假．综上，只有②是真命题．答案：②三、解答题（共6题）17．两个非零向量、不共线．（1）若=+， =2+8， =3（﹣），求证：A、B、D三点共线；（2）求实数k使k+与2+k共线．【考点】平行向量与共线向量．【分析】（1）由=++=6，即可A、B、D三点共线．（2）由于k+与2+k共线．存在实数λ使得k+=λ（2+k）．利用向量基本定理即可得出．【解答】（1）证明∵=++=++==6，∴A、B、D三点共线．（2）解：∵k+与2+k共线．∴存在实数λ使得k+=λ（2+k）．∴（k﹣2λ）+（1﹣λk）=，∴，解得k=±．∴k=±．18．已知||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61．①与的夹角；②求|+|和|﹣|．【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．【分析】（1）根据平面向量的数量积求出夹角θ；（2）由•的值，以及||与||的值，求出|+|与|﹣|的值．【解答】解：（1）∵||=4，||=3，∴（2﹣3）•（2+）=4﹣4•﹣3=61，∴64﹣4•﹣27=61，即﹣4•=24，∴•=﹣6；∴cosθ===﹣，∴θ=120°；（2）∵•=﹣6，∴|+|===；|﹣|===．19．如图，以向量为邻边作平行四边形OADB，，用表示．【考点】平面向量的基本定理及其意义；向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，得=+，从而得到=（+）．由向量减法法则得=（﹣），从而得到==（﹣），进而算出=+=+，最后得到==﹣．【解答】解：∵四边形OADB是平行四边形，∴=+=+， ==（﹣）=（﹣）可得==（﹣），由向量加法法则，得=+=+（﹣）=+∵=， ==，∴=+=+×==（+）由向量减法法则，得==（+）﹣（+）=﹣综上，可得=+， =（+），=﹣20．已知tanα，tanβ是方程6x2﹣5x+1=0的两根，且0＜α＜，π＜β＜，求tan（α+β）及α+β的值．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用韦达定理，两角和的正切公式求出tan（α+β）的值，再结合0＜α＜，π＜β＜，求得α+β的值．【解答】解：∵tan α、tan β为方程6x2﹣5x+1=0的两根，∴tanα+tanβ=，tanαtanβ=，tan（α+β）===1．∵0＜α＜，π＜β＜，∴π＜α+β＜2π，∴α+β=．21．已知：β∈（0，），α∈（，）且cos（﹣α）=，sin（+β）=，求：cosα，cos（α+β）【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】根据两角和与差的正弦余弦函数同角三角函数间的基本关系即可求出．【解答】解：∵＜α＜，∴﹣＜﹣α＜0．∵cos（﹣α）=，∴sin（﹣α）=﹣，∴cos α=cos[﹣（﹣α）]=cos •cos（﹣α）+cos•sin（﹣α）=•+•（﹣）=．又∵0＜β＜，∴＜+β＜π．∵sin（+β）=，∴cos（+β）=Z ，∴cos（α+β）=sin[+（α+β）]=sin[（+β）﹣（﹣α）]=sin （+β）•cos（﹣α）﹣cos （+β）•sin（﹣α）=•﹣（﹣）•（﹣）=﹣．22．设在平面上有两个向量=（cos α，sin α）（0°≤α＜360°），=（﹣，）．（1）求证：向量+与﹣垂直；（2）当向量+与﹣的模相等时，求α的大小． 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．【分析】（1）由已知计算数量积为0，可判+与﹣垂直；（2）由|+|=|﹣|，两边平方化简可得•\overrightarrow{b}=0，代入数据可得（﹣）×cos α+×sinα=0，即cos （α+60°）=0，由α的范围可得．【解答】（1）证明：∵（ +）•（﹣）=||2﹣||2=（cos 2α+sin 2α）﹣（）=0，∴+与﹣垂直．（2）∵|+|=|﹣|，∴两边平方得3||2+2•\overrightarrow{b}+||2=||2﹣2•\overrightarrow{b}+3||2，∴2（||2﹣||2）+4•\overrightarrow{b}=0．又∵||==1，||==1，∴||=||，∴•\overrightarrow{b}=0，代入数据可得（﹣）×cos α+×sin α=0，即cos（α+60°）=0，∴α+60°=k•180°+90°，即α=k•180°+30°，k∈Z．又0°≤α＜360°，∴α=30°或α=210°．。
山西省大同市2023-2024学年高一下学期4月期中质量检测数学试卷
山西省大同市2023-2024学年高一下学期4月期中质量检测数学试卷一、单选题1．复数241i i-+在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知向量(,2),(3,1)a m b ==-r r ，若//a b r r ，则实数m =（ ）A ．23B ．23-C ．6D ．6-3．已知某圆柱的表面积是其下底面面积的4倍，则该圆柱的母线与底面直径的比为（ ） A ．1:1 B ．1:2 C ．1:3 D ．1:44．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3c =，b =，60C =︒，则A =（ ）A ．45︒B ．75︒C ．105︒D ．135︒5．已知向量(1,0),(2,2)a b =-=r r ，若向量a r 在向量b r 上的投影向量为b λr ，向量b r 在向量a r 上的投影向量为a μr ，则λμ=（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．126．如图，在ABC V 中，已知∠ACB =120°，将ABC V 以AC 为轴旋转一周形成的几何体的体积为1V ，以BC 为轴旋转一周形成的几何体的体积为2V ，若V 1=2V 2，则AC BC =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．157．已知非零向量,a b r r 满足(3),|2||3|a a b a b a b a b ⋅+=⋅-=-r r r r r r r r r ，则向量,a b r r 夹角的余弦值为（ ）A B C ． D ．8．已知某圆台的体积为14 23π，其轴截面为梯形ABCD ，4AB =，2CD =，则在该圆台的侧面上，从点A 到C 的最短路径的长度为（ ）A ．B ．C ．6D ．二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．一个多面体至少有4个面B ．圆柱的母线与它的轴可以不平行C ．用任意一个平面截球得到的截面都是一个圆面D ．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱10．如图，某旅游部门计划在湖中心Q 处建一游览亭，打造一条三角形DEQ 游览路线．已知,AB BC 是湖岸上的两条甬路，120,0.3km,0.5km,60ABC BD BE DQE ∠=︒==∠=︒（观光亭Q 视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（ ）A ．0.7km DE =B ．当45DEQ ∠=︒时，DQ =C ．DEQ V 2D ．游览路线DQ QE +最长为1.4km11．已知两个非零向量,a b r r ，定义新运算2a b a b a⋅=r r r r e r ，则（ ） A ．当a b <r r 时，a b b a ≥r r r r e eB ．对于任意非零向量c r ，都有()a b c a b a c +=+r r r r r r r e e eC ．对于不垂直的非零向量,b c r r ，都有[()][()]a b c d a b c d ⋅=⋅r r r u r r r r u r e eD ．若2,2,,N 3m a b b a t m t ==∈r r r r e e ，则a b ⊥r r三、填空题12．用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为45︒，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为．13．白银比例是指事物各部分间存在着一定的数学比例关系，其比值为美感，在设计与建筑领域有广泛应用．在矩形ABCD 中，AB BC AB =>，从矩形ABCD中截取一个正方形ABEF ，剩下的矩形CDFE 的宽EC 与长CD 之比为白银比例，则AC ED ⋅=u u u r u u u r ．14．在四面体ABCD 中，AB =3AD =，AC 1CD =，BC =BD 则四面体ABCD 的外接球的表面积为，四面体ABCD 的体积为.四、解答题15．已知复数z 满足(13i)z -为纯虚数，2i z z -=-．(1)求z 以及z ；(2)设31i 3z m z z +-=+，若1z =m 的值．16．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222si n i s i n s i n A B C B C =+．(1)求角A 的大小；(2)若2cos a b C =，判断ABC V 的形状并说明理由． 17．如图，在ABC V 中，3,4,60AB AC A ==∠=︒，点,D E 满足2,2,AD DB AC CE AC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 边上的中线BM 与DE 交于点O ．设,BD a CE b ==u u u r u u u r r r ．(1)用向量,a b r r 表示,BM DE u u u u r u u u r ；(2)求MOE ∠的大小．18．如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱111ABC A B C -（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面11BCC B 落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为2．(1)求挖掉的正三棱柱111ABC A B C -的体积；(2)求该几何体的表面积．19．如果三角形的一个内角等于另外一个内角的两倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，如在ABC V 中，若2A B =，则ABC V 为倍角三角形，其中角A 叫做2倍角，角B 叫做1倍角．(1)利用正、余弦定理证明下面的倍角定理：在倍角三角形中，2倍角所对边的平方等于1倍角所对边乘以该边与第三边之和；(2)记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知2,2sin 3sin B C B C ==且ABC V 的面积ABC V 的周长．。
2022-2023学年人教A版高一下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知复数在复平面上对应的点的坐标为，则( )A.B.C.D.2. 平行四边形中，，在上投影的数量分别为，，则在上的投影的取值范围是 A.B.C.D.3. 已知向量为平面向量，，且使得与所成夹角为，则的最大值为（ ）A.B.C.D.4. 如图所示，在中， ，点在边上，点在线段上，若，则( )z (2,−3)=z¯¯¯2−3i2+3i−2−3i−2+3iABCD AC −→−BD −→−AB −→−3−1BD −→−BC −→−()(−1,+∞)(−1,3)(0,+∞)(0,3)，，a →b →c →||=||=2⋅=1a →b →a →b →c →−2c →a →−c →b →π3||c →+13–√3–√1+17–√△ABC BC =30D BC E AD =+CE −→−16CA −→−12CB −→−BD =A.B.C.D.5. 中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（ ）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不确定6. 已知，则的值为( )A.B.C.D.7. 已知，，，则（ ）A.B.C.D.10121518△ABC A B C a b c c <b cos A △ABC sin(x +)=π445sin 2x 1825725−725−1625x ∈(0,)π2y ∈(0,)π2=cos x −sin x cos x +sin x sin y1+cos y x +y =π2x +y =π4x +2y =π42x +y =π28. 在中，，，是的垂心，是的外心，则 A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列关于平面向量的说法中正确的是( )A.已知，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得B.已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是C.若且，则D.若点为的重心，则10. 已知复数，是的共轭复数，则（ ）A.B.C.复数在复平面内所对应的点在第一象限D. 11. 若函数＝的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法中正确的是（ ）A. 的图象关于＝对称B.当，]时， 的值域为[-，]C. 在区间（，上单调递减△ABC AB =6AC =8H △ABC O △ABC ⋅=OH −→−BC −→−()−14−2828a →b →//a →b →λ=λa →b→=(1,2)a →=(1,1)b →a →+λa →b →λ(−,+∞)53⋅=⋅a →c →b →c →≠c →0→=a →b→G △ABC ++=GA −→−GB −→−GC −→−0→z =2+1−i 1+iz ¯¯¯z =+i z ¯¯¯z 3545z =3z ¯¯¯z¯¯¯zz ≥4z¯¯¯f(x)sin 2x g(x)g(x)x x ∈[0g(x)g(x)ππ)x ∈[0,π]g(x)D.当时，方程＝有个根12. 在中，，，分别是边，，的中点，是其重心，下列说法正确的是( )A.对于任意一点，都有B.C.若，则是在上的投影向量D.若点是线段上的动点，且满足，则的最大值为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若复数是纯虚数，则________.14. 已知向量，，若，则向量与的夹角为________．15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则两点的距离为________．16. 如图，在中，，，，，则________．x ∈[0,π]g(x)03△ABC D E F BC AC AB O P ++=3PA −→−PB −→−PC −→−PO −→−++=DA −→−EB −→−FC −→−0→+=AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−3–√AD −→−||AD −→−BD −→−BA −→−BC −→−P AD =λ+μBP −→−BA −→−BC −→−λμ18(a ∈R)3−ai 1−2i|2a +i|==(−1,3)a =(1,t)b (−2)⊥a b a a b A B C D CD =450m ∠ADB =135∘∠BDC =∠DCA =15∘∠ACB =120∘AB m △ABC 3BD =DC AB =3AC =2∠BAC =60∘⋅=AD −→−BC −→−四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.已知复数在复平面内对应的点在第二象限，，且，求；已知复数为纯虚数，求实数的值．18. 已知向量且，则实数.19. 已知为坐标原点， ，，若 （，且为常数）求函数的最小正周期和单调递减区间；若时，函数的最小值为，求实数的值． 20. 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，，为图象与轴的交点，且为正三角形．写出函数的值域并求的值；若，且，求的值．21. 在中，，，分别是角，，的对边，已知．若，求的大小；若，的面积，且，求，． 22. 已知函数.求最小正周期及对称中心；在锐角中，，，分别为角，，的对边，且，求面积的取值范围．(1)z |z|=2z +=−2z¯¯¯z (2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i m =(1，x)，=(−2，4)，a →b →(−)⊥a →b →b →x =________O =(2x,1)OA −→−cos 2=(1,sin 2x +a)OB −→−3–√f (x)=⋅OA −→−OB −→−x ∈R a ∈R a (1)f (x)(2)x ∈[0,]π2f (x)2a f(x)=2sin(ωx +)(ω>0)3–√π3A B C x △ABC (1)f(x)ω(2)f()=x 083–√5∈(−,)x 010323f(+2)x 0△ABC a b c A B C 3(+)=b 2c 23+2bc a 2(1)sin B =cos C 2–√tan C (2)a =2△ABC S =2–√2b >c b c f (x)=cos 2x +sin(2x −)π6(1)f (x)(2)△ABC a b c A B C f (A)=,b =412△ABC参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】共轭复数【解析】无【解答】解：依题意可知，则．故选．2.【答案】A【考点】向量的投影【解析】首先建立平面直角坐标系，进一步利用向量的坐标运算和数量积求出结果．【解答】解：以为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，z =2−3i =2+3i z¯¯¯B A AB x A AB y B(a,0)C(3,b)D(a −1,b)设，，，则，解得，所以，，，，设，的夹角为，过点作于点，则在上的投影：，令，则，令，则在上单调递增，故，故，则在上的投影的取值范围是.故选.3.【答案】A【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】B(a,0)C(3,b)D(a −1,b)3−(a −1)=a a =2D(1,b)C(3,b)=(1,b)BC −→−=(−1,b)BD −→−BD −→−BC −→−θD DM ⊥BC M BD −→−BC −→−||=||⋅cos θBM −→−BD −→−=⋅BC −→−BD −→−||BC −→−==−−1b 2+1b 2−−−−−√+1b 2−−−−−√2+1b 2−−−−−√=t(t >1)+1b 2−−−−−√||=t −BM −→−2t f(t)=t −2t f(t)(1,+∞)f(t)>f(1)=−1f(t)>−1BD −→−BC −→−(−1,+∞)A此题暂无解析【解答】解：，，，如图，为的中点，连结．设，，则为等边三角形，∵满足与的夹角为，，∵为等边三角形，，四点共圆，∴点的轨迹为圆的一段优弧，当经过圆的圆心时，取得最大值，在中，根据正弦定理得，即，解得,故圆的半径为，，四点共圆，，，，即的最大值为．故选．∵||=||=2⋅=1a →b →a →b →∴cos , ==a →b →⋅a →b →||||a →b →12 , =a →b →π3A OD AB =OA −→−a →=，=OB −→−b →OC −→−c →=2OD −→−a→∴△AOB c →−2c →a →−c →b →π3∴∠BCD =π3△AOB ∴∠BAD =2π3∵∠BCD =，∴A ，B ，C ，D π3C I OC −→−I ||OC −→−△ABD =2R BD sin ∠BAD 2R ==23–√sin 60∘R =1I 1∵∠BID =2∠BCD =,∠AOB =2π3π3∴O ，B ，I ，D ∴∠DIO =∠DBO =π2∴DI ⊥OI ，OI ===O −D D 2I 2−−−−−−−−−√−2212−−−−−−√3–√∴||=|OI|+|IC|=+1OC −→−3–√||c →+13–√A4.【答案】B【考点】向量的线性运算性质及几何意义向量在几何中的应用【解析】根据图形可设，从而可以得出，根据．D 三点共线即可得出，解出，从而可求出，进而求出【解答】解：由题意可设，则.由，，三点共线，得，解得：，所以，则.故选.5.【答案】A【考点】三角形的形状判断【解析】=λ(0<λ≤1)CD −→−CB −→−=+CE −→−16CA −→−12λCD −→−A,E,+=11612λλ=35CD =18BD =12=λ(0<λ≤1)CD −→−CB −→−=+=+CE −→−16CA −→−12CB −→−16CA −→−12λCD −→−A E D +=11612λλ=35CD =30×=1835BD =30−18=12B sin C <sin B cos A sin A cos B <0依题意，可得，利用两角和的正弦整理得，从而可判断为钝角．【解答】解：中，∵，∴，即，∴，，∴，为钝角，∴为钝角三角形，故选：．6.【答案】B【考点】两角和与差的正弦公式二倍角的正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴两边平方得，解得：，则.故选.7.【答案】D【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式二倍角的正切公式【解析】sin C <sin B cos A sin A cos B <0B △ABC c <b cos A sin C <sin B cos A sin(A +B)=sin A cos B +sin B cos A <sin B cos A sin A cos B <0sin A >0cos B <0B △ABC A sin(x +)=(sin x +cos x)=π42–√245(1+2sin x cos x)=1216252sin x cos x =725sin 2x =2sin x cos x =725B【解答】解：，，所以，根据已知范围可得，所以.故选.8.【答案】A【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用【解析】【解答】解：如图，为垂心，则，∴①,∵②，由①②得：，同理可得.若，则同时垂直和，∵不成立，∴，=cos x −sin x cos x +sin x 1−tan x 1+tan x ==tan(−x)tan −tan x π4tan +tan x π4π4=sin y 1+cos y 2sin cos y 2y 21+2−1(cos )y 22==tan 2sin cos y 2y 22(cos )y 22y 2tan(−x)=tan()π4y 2−x =π4y 22x +y =π2D H ⋅=0AH −→−BC −→−⋅=(−)⋅=0AH −→−BC −→−OH −→−OA −→−BC −→−(+)⋅=0OB −→−OC −→−BC −→−−(−−−)⋅=0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−BC −→−(−−−)⋅=0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−AC −→−−−−≠0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−BC −→−AC −→−//BC −→−AC −→−−−−=0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−++−→−−→−−→−−→−∴.∵为的外心，∴设，则.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,D【考点】三角形五心向量的共线定理平面向量数量积的性质及其运算律数量积的坐标表达式数量积表示两个向量的夹角【解析】由向量共线定理可判断选项；由向量夹角的的坐标表示可判断选项；由数量积的运算性质可判断选项；由三角形的重心性质即可判断选项．【解答】解：，由向量共线定理知正确；，，因为与的夹角为锐角，所以，解得，当与共线时，，解得，此时，此时与夹角为，不符合题意，所以实数的取值范围是，故错误；，若，则，=++OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−O △ABC OA=OB =OC =r ⋅=⋅+(+)⋅OH −→−BC −→−OA −→−BC −→−OB −→−OC −→−BC−→−=⋅=⋅(−)OA −→−BC −→−OA −→−AC −→−AB −→−=⋅−⋅OA −→−AC −→−OA −→−AB −→−=8r ⋅(−cos ∠OAC)−6r ⋅(−cos ∠OAB)=−8×4+6×3=−14A A B C D A A B +λ=(1,2)+λ(1,1)=(1+λ,2+λ)a ¯¯¯b ¯¯a →+λa→b→⋅(+λ)=1+λ+2(2+λ)=5+3λ>0a →a →b →λ>−53a →+λa →b →2+λ=2(1+λ)λ=0+λ=(1,2)a →b →a →+λa →b →0λ(−,0)∪(0,+∞)53B C ⋅=⋅a →c →b →c →⋅(−)=0c →a →b →→=→→→因为，则或与垂直，故错误；，若点为的重心，如图，延长交于，则为的中点，所以，所以，故正确．故选.10.【答案】A,C,D【考点】复数代数形式的乘除运算复数的运算复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的混合运算共轭复数【解析】无【解答】解：因为，所以，则，，则，，正确，错误．故选．11.【答案】A,C【考点】≠c →0→−=a →b →0→c →−a →b →C D G △ABC AG BC M M BC =2=2××(+)=+AG −→−GM −→−12GB −→−GC −→−GB −→−GC −→−++=GA −→−GB −→−GC −→−0→D AD z =2+=2+=2−i1−i 1+i (1−i)22=2+i z ¯¯¯==z ¯¯¯z 2+i 2−i 3+4i 5z =(2−i)(2+i)=4−=5z ¯¯¯i2A C D B ABD函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】先由已知求出函数的解析式，再根据选项一一验证答案的正确性．【解答】由已知可得函数＝）]＝），选项：因为（）＝＝，选项：当时，，则），所以错误，选项：当时，，由正弦函数的单调递减区间可得：正确，选项：令＝，解得＝，又，共两个根，12.【答案】A,B,C,D【考点】向量在几何中的应用向量的投影向量的共线定理向量加减混合运算及其几何意义向量的三角形法则【解析】对选项，由重心性质可判断正确；对选项，利用平面向量的加减法即可判断正确；对选项，首先根据已知得到为的平分线，即 ，再利用平面向量的投影概念即可判断正确．对选项，首先根据，，三点共线，设， ，再根据已知得到 从而得到 ，即可判断选项正确．【解答】g(x)g(x)sin[2(x−sin(8x−A g sin(3×1B x2x−sin(3x−B C x 3x−C D 2x−kπx x ∈[7,π]A A B B C AD ∠BAC AD ⊥BC C D A P D =t +(1−t)BP −→−BA −→−BD −→−0≤t ≤1 λ=t,μ=,1−t 2y =λμ=t ()=−+1−t 212(t −)12218D解：如图所示，对选项，由重心性质，，即 ，故正确；对选项，，故正确；对选项，，，分别表示平行于，，的单位向量，由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量．因为，所以为的平分线.又因为为的中线，所以，如图所示，在的投影为 ，所以是在上的投影向量，故正确．对选项，如图所示，因为在上， 即，，三点共线.设，.又因为 ，所以.因为 ，则 .令，A =(++)PO −→−13PA −→−PB −→−PC −→−++=3PA −→−PB −→−PC −→−PO −→−A B ++DA −→−EB −→−FC −→−=−(+)−(+)−(+)12AB −→−AC −→−12BA −→−BC −→−12CA −→−CB −→−=−−−−−−12AB −→−12AC −→−12BA −→−12BC −→−12CA −→−12CB −→−=−−+−++=12AB −→−12AC −→−12AB −→−12BC −→−12AC −→−12BC −→−0→B C AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−AD −→−||AD −→−AB −→−AC −→−AD −→−+AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−∠BAC +=AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−3–√AD −→−||AD −→−AD ∠BAC AD BC AD ⊥BC BA −→−BC −→−||cos B =||×=||BA −→−BA −→−||BD −→−||BA −→−BD −→−BD −→−BA −→−BC −→−C D P AD A P D =t +(1−t)BP −→−BA −→−BD −→−0≤t ≤1=BD −→−12BC −→−=t +BP −→−BA −→−1−t 2BC −→−=λ+μBP −→−BA −→−BC −→− λ=t,μ=,1−t 20≤t ≤1y =λμ=t ×=−+1−t 212(t −)12218=11当时， 取得最大值为，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】复数的模复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为为纯虚数，则，，即，所以故答案为：.14.【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】利用向量的坐标运算，通过向量垂直，然后求解，即可求解向量的夹角．【解答】向量，，．，，解得所以向量，，t =12λμ18D ABCD 10−−√=3−ai 1−2i (3−ai)(1+2i)5=3+2a +(6−a)i 53+2a =06−a ≠0a =−32|2a +i|=|−3+i|=.10−−√10−−√π4t =(−1,3)a =(1,t)b −2=(−3,3−2t)a b (−2)⊥a b a 3+3(3−2t)=0t =(2)=(−1,3)a =(1,2)b θ==–√则向量与的夹角为，．所以：向量与的夹角为：．15.【答案】【考点】解三角形正弦定理余弦定理【解析】【解答】解：由题知，在中， ，得，在中，，得，在中，，即 .故答案为：.16.【答案】【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用【解析】无【解答】解：由图可得，，，a b θcos θ==−1+6∗10−−√5–√2–√2a b π44505–√△ADC ∠ADC =150∘AD =DC =450=a △DCB =BD sin 135∘450sin 30∘BD =450=a 2–√2–√△ADB A =+2−2cos =5B 2a 2a 22–√a 2135∘a 2AB =a =4505–√5–√4505–√−174=−BC −→−AC −→−AB −→−=+=+AD −→−AB −→−14BC −→−34AB −→−14AC −→−∴⋅AD −→−BC−→−=(+)⋅(−)34AB −→−14AC −→−AC −→−AB −→−+⋅−22.，，，．故答案为： ．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：设，由题意得解得，．复数在复平面内对应的点在第二象限，．．．由题意得解得．【考点】复数的模复数代数形式的混合运算复数的代数表示法及其几何意义复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：设，由题意得解得，．复数在复平面内对应的点在第二象限，．．=+⋅−14AC −→−212AC −→−AB −→−34AB −→−2∵AB =3AC =2∠BAC =60∘∴⋅=×4+×2×3×−×9=−AD −→−BC −→−14121234174−174(1)z =a +bi(a,b ∈R){+=4，a 2b 22a =−2，a =−1b =±3–√∵z ∴b =3–√∴z =−1+i 3–√(2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i =(−m −6)+(−2m −3)i m 2m 2{−m −6=0，m 2−2m −3≠0，m 2m =−2(1)z =a +bi(a,b ∈R){+=4，a 2b 22a =−2，a =−1b =±3–√∵z ∴b =3–√∴z =−1+i 3–√(2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i =(−m −6)+(−2m −3)i22．由题意得解得．18.【答案】【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，由得，即解得.故答案为：.19.【答案】解：∵，，．∴，∴的最小正周期为，令，得，∴的单调递减区间为．当时，，1−i =(−m −6)+(−2m −3)i m 2m 2{−m −6=0，m 2−2m −3≠0，m 2m =−2112−=(3，x −4)a →b →(−)⊥a →b →b→(−)⋅=0a →b →b →−6+4(x−4)=0x =112112(1)=(2x,1)OA −→−cos 2=(1,sin 2x +a)OB −→−3–√f(x)=⋅OA −→−OB −→−f(x)=2x +sin 2x +a cos 23–√=cos 2x +sin 2x +a +13–√=2sin(2x +)+a +1π6f(x)=π2π22kπ+≤2x +≤2kπ+(k ∈Z)π2π63π2kπ+≤x ≤kπ+(k ∈Z)π62π3f(x)[kπ+,kπ+](k ∈Z)π62π3(2)x ∈[0,]π22x +∈[,]π6π67π6x +=7π∴，即时，有最小值为，故．【考点】三角函数中的恒等变换应用平面向量数量积的运算正弦函数的周期性正弦函数的单调性三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，．∴，∴的最小正周期为，令，得，∴的单调递减区间为．当时，，∴，即时，有最小值为，故．20.【答案】解：根据函数的图象，可得函数的值域为．∵为正三角形，∴,∴,∴.2x +=π67π6x =π2f(x)a a=2(1)=(2x,1)OA −→−cos 2=(1,sin 2x +a)OB −→−3–√f(x)=⋅OA −→−OB −→−f(x)=2x +sin 2x +a cos 23–√=cos 2x +sin 2x +a +13–√=2sin(2x +)+a +1π6f(x)=π2π22kπ+≤2x +≤2kπ+(k ∈Z)π2π63π2kπ+≤x ≤kπ+(k ∈Z)π62π3f(x)[kπ+,kπ+](k∈Z)π62π3(2)x ∈[0,]π22x +∈[,]π6π67π62x +=π67π6x =π2f(x)a a=2(1)f(x)=2sin(ωx +)3–√π3f(x)[−2,2]3–√3–√△ABC BC ==4=T 23–√sin 60∘12T =8=2πωω=π4()=2sin(+)=8–√∵，∴．∵,∴,∴,∴，∴.【考点】诱导公式由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式同角三角函数基本关系的运用【解析】（1）由函数的解析式求得函数的值域．（3）由，求得．再利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得的值．【解答】解：根据函数的图象，可得函数的值域为．∵为正三角形，∴,∴,∴.∵，∴．∵,∴,∴,∴，(2)f()=2sin(+)=x 03–√π4x 0π383–√5sin(+)=π4x 0π345∈(−,)x 010323+∈(−,)π4x 0π3π2π2cos(+)>0π4x 0π3cos(+)==π4x 0π31−(+)sin 2π4x 0π3−−−−−−−−−−−−−−−√35f(+2)=2sin[(+2)+]x 03–√π4x 0π3=2cos(+)=2×=3–√π4x 0π33–√3563–√5f()=x 083–√5sin(+)=π4x 0π345f(+6)x 0(1)f(x)=2sin(ωx +)3–√π3f(x)[−2,2]3–√3–√△ABC BC ==4=T 23–√sin 60∘12T =8=2πωω=π4(2)f()=2sin(+)=x 03–√π4x 0π383–√5sin(+)=π4x 0π345∈(−,)x 010323+∈(−,)π4x 0π3π2π2cos(+)>0π4x 0π3cos(+)==π4x 0π31−(+)sin 2π4x 0π3−−−−−−−−−−−−−−−√35(+2)=2sin[(+2)+]ππ∴.21.【答案】解：∵，∴，∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴.∵的面积，∴，∴.①∵，∴由余弦定理可得，∴.②∵，∴联立①②可得，．【考点】余弦定理三角函数的恒等变换及化简求值正弦定理【解析】Ⅰ由＝，利用余弦定理，可得，根据，即可求的大小；Ⅱ利用面积及余弦定理，可得、的两个方程，即可求得结论．【解答】解：∵，∴，f(+2)=2sin[(+2)+]x 03–√π4x 0π3=2cos(+)=2×=3–√π4x 0π33–√3563–√5(1)3(+)=b 2c 23+2bc a 2=+−b 2c 2a 22bc 13cos A =13sin A =22–√3sin B =cos C 2–√sin(A +C)=cos C 2–√cos C +sin C =cos C 22–√3132–√cos C =sin C 2–√313tan C =2–√(2)ABC S =2–√2bc sin A =122–√2bc =32a =24=+−2bc ×b 2c 213+=b 2c 25b >c b =32–√2c =2–√2()3(+)b 2c 23+2bc a 2cos A sin B =cos C 2–√tan C ()b c (1)3(+)=b 2c 23+2bc a 2=+−b 2c 2a 22bc 13A =1∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴.∵的面积，∴，∴.①∵，∴由余弦定理可得，∴.②∵，∴联立①②可得，．22.【答案】解：，，则函数最小正周期为，已知对称中心为，解得，可得函数的对称中心为.已知，已知，则，cos A =13sin A =22–√3sin B =cos C 2–√sin(A +C)=cos C 2–√cos C +sin C =cos C 22–√3132–√cos C =sin C 2–√313tan C =2–√(2)ABC S =2–√2bc sin A =122–√2bc =32a =24=+−2bc ×b 2c 213+=b 2c 25b >c b =32–√2c =2–√2(1)f(x)=cos 2x +sin 2x cos −sin cos 2x π6π6=cos 2x +sin 2x −cos 2x 3–√212=sin 2x +cos 2x 3–√212=sin(2x +)π6T ===π2πω2π22x +=kπ,k ∈Z π6x =−kπ2π12(−,0)kπ2π12(2)f(A)=sin(2A +)=π6120<A <π2<2A +<π6π67π6A +=5π即，解得，已知，根据正弦定理可得，即 ，则，已知该三角形为锐角三角形，即.又，，则三角形面积的取值范围为.【考点】正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值三角函数的周期性及其求法【解析】（1）对函数进行整理，进而进行求解即可.（2）根据题目所给信息求出角的度数，利用正弦定理求出，再根据三角形面积公式结合题目进行求解即可.【解答】解：，，则函数最小正周期为，已知对称中心为，解得，可得函数的对称中心为.已知，2A +=π65π6A =π3b =4=b sin Bc sin C c ===+24sin C sin B 4sin(+B)π3sin B 23–√tan B=bc sin A =(+2)=+2S △ABC 123–√23–√tan B 6tan B3–√B <π2π−(+B)∈(0，)π3π2∴B ∈(，)π6π2(2,8)3–√3–√A c (1)f(x)=cos 2x +sin 2x cos−sin cos 2x π6π6=cos 2x +sin 2x −cos 2x 3–√212=sin 2x +cos 2x 3–√212=sin(2x +)π6T ===π2πω2π22x +=kπ,k ∈Z π6x =−kπ2π12(−,0)kπ2π12(2)f(A)=sin(2A +)=π6122A +<7π已知，则，即，解得，已知，根据正弦定理可得，即 ，则，已知该三角形为锐角三角形，即.又，，则三角形面积的取值范围为.0<A <π2<2A +<π6π67π62A +=π65π6A =π3b =4=b sin B c sin C c ===+24sin C sin B 4sin(+B)π3sin B 23–√tan B =bc sin A =(+2)=+2S △ABC 123–√23–√tan B 6tan B 3–√B <π2π−(+B)∈(0，)π3π2∴B ∈(，)π6π2(2,8)3–√3–√。
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7．
已知 tan
2
，则
2 sin sin
2
cos cos
的值为
3
A．0
B．
C．1
4
8． 在△ABC 中， tan A 5 ，则 cos A 12
1
5
D．
4
12
A．
13
5
B．
13
C． 5 13
9． 函数 f (x) | sin(1 x ) | 的最小正周期为 23
A． 4
B． 3
③ (bAc)Aa (cAa)Ab 不与 c 垂直
④
(3a
2b)(3a
2b)
2 9a
2 4b
2
其中正确的叙述有
．
三、解答题
17．(12 分)
求函数
y
1 tan x tan(x ) 的定义域．
6
18．(12 分) 已知向量 a 、 b 满足| a | 5 b (1, 3) 且 (2a b) b
求：(1)向量 a 的坐标；(2) 向量 a 与 b 的夹角．
19．(12 分) 已知函数 y Asin( x ) ( x R ； A 0 ； 0 ；| | ) 该函数 2
图象上的一个最高点坐标为 ( ,
3) ，与其相邻的对称中心的坐标是 ( ,
0) ，
6
12
求该函数 y Asin( x ) 的解析式．
A．
2
b
1
c
33
B．
5
c
2
b
33
C．
2
b
1
c
33
D．
1
b
2
c
33
5． 已知角 是第二象限角，则 是
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
6． 圆的半径为 6cm，则 15°的圆心角与圆周围成的扇形的面积为
A． cm2 2
B． 3 cm2 2
C． cm2
D． 3 cm2
C． sin(
x)
cos(
x)
2
2
3． 已知向量 a (1,
0)
，
b
(
1
,
2
D． cos( x) cos x 1
) ，则下列结论成立的是 2
A．| a || b |
B． aAb
2
2
C． a // b
D． a b 与 b 垂直
4． 在△ABC 中， AB c ， AC b ，若点 D 在 BC 上满足 BD 2DC ，则 AD 等于
C． 2
D． 12 13
D．
10．直线 y 3 与函数 y tan x ( 0 )的图象相交，则相邻两交点间的距离为
A．
2
B．
C．
D．
2
11．如右图是函数 y 2sin( x ) ，(| | )的图象，那么
y
2
A． 10
11
6
C． 2 6
B． 10
1
11
k 的取值范围为
．
14．若 0 2 ，且 sin 3 和 cos 1 同时成立，则 的取值范围
2
2
．
15．函数 y 2 sin x 1的单调递增区间为
．
16．设 a 、 b 、 c 是任意的非零向量，且相互不共线，给定下列结论
① (aAb)Ac (cAa)Ab 0
② | o
6
12．已知点 O 是△ABC 内一点，且 OA OB OC O ，则 O 是△ABC 的
x 11
12
A．垂心
B．重心 C．内心
D．外心
第 II 卷 主观卷（共 52 分）
二、填空 (每小题 4 分，共 16 分)
13．若向量 e1 ， e2 不共线，且 k e1 e2 与 e1 k e2 可以作为平面内的一组基底，则实数
高一第二学期数学期中试卷
第Ⅰ卷 客观卷（共 48 分）
一、选择题（每小题 4 分，共 48 分）
1． 已知角 的终边经过点 P (sin 3 , 4
A．
4
3
B．
4
2． 下列等式中恒成立的是
cos 3 ) ，且 a 2 ，则 的值为 4
5
C．
4
7
D．
4
A． sin(2 x) sin x
B． sin( x) sin x
20．(10 分) (附加题) 已知向量 a (cos 23, cos 67 ) b (cos 68, cos 22 )
求：(1) a · b ；
(2) 若向量 b 与向量 m 共线， u a m ，求 u 的模的最小值．
3
2010~2011 学年度第二学期期中试卷
高一数学答案
4