超导物理基础1

显 然
若 为常数，上式便可确定Js与A的局域关系
若 为多值函数，则无法确定Js与A的局域关系
js A
a. 对于单连通超导体，
我们总可以在其内部取任一闭合曲线C, 围成的曲面完全处在超导体内部,
d
C
S
（js A) ds ( js B) ds 0
H 0 H 0 H 0 0 H 0 E 0 E 0 E 0 0 E 0
消E,B可得
j 0 j 0
j j 0
nS (T ) (T ) n
T TC 时，ns= 0，对应 = 0； T =0K 时，ns= n，对应 =1； 0 < T < TC 时，0 < ns < n，对应 0 < <1； 基于二流体模型的这三点假设，可以导出自由能，进而 分析超导体的热学特性
3．用序参量的热力学推导
4
可得：
2 1
(T ) 1 t
nS (T ) nS (0)(1 t )
4
T sn ss T TC T C

3
求临界磁场HC
T sn ss T TC T C

3
dH C sn s s 0 H C dT
0 0
H 0 H 0 H 0 0 H 0
E 0 E 0 E 0 0 E 0
j 0 j 0
E 0
0
E0
jn E 0
3) 伦敦第一方程的意义：
超导电流随时间的变 化率由电场决定
2、伦敦第二方程
ns es2 js E t ms
—— 伦敦第一方程
将伦敦第一方程代入电磁感应定律的微分形式 得
ms B ( j ) 2 s t ns es t
2 n e 1 0 s s 2 ms
j
2
j

2
0
j j
0 0
超导体的电动 力学方程
2 三、超导体的穿透深度 H
超导电流恒定时，上式变为：
H

2
0
H H
0 0
2 H
H
2
2 或 B
忽略掉热膨胀效应，有
s AH 0 H T T H
j j 0
0 0
忽略掉到超导体内的空间电荷（=0）及空间电荷积累
得
H H E E E E
2 H
2 2 0 0 0 2 0 0 0
H
( jn js ) 0
3 T T T T dT HC H dH 0 C C C 0 H 0 TC 0 H 02 TC2 T 2 与实验结果相同 H C H 0 1 T C
T 二流体模型中的超导电 n (T ) n (0)1 S 子密度的温度依赖关系 S TC

4

(T )
0
T 1 T C
4
ms 1/ 2 0 ( ) 2 0 ns (0)es
四、Pippard非局域理论
J N nN eN vN
超导流体不受品格振动或杂质的散射,电阻为零。 超导电流密度Js：
J S nS eS vS
J JS JN
两种电子流体在超导体的超导态中相互渗透，独立运动， 总电流密度J：
(3) 在超导态引入序参量
(秩序度、有序参量)
描述了超导电子在总电子数中所占的比例。
T T C
2 1
2 t
2
1 t
T nS (T ) 1 n T C
1 1 2 2 g s ( , T ) (1 ) T 0 H 0 2 2
g ss TC t T
1 1
1、超导电流与矢势的局域关系
引入矢势 A
B A
为使A唯一地确定，引入 London规范
A 0
An 0
可以证明：在London规范下，矢势可以唯一地确定
根据伦敦第二方程 js B A 可得： （js A) 0 是标量函数 js A
2 ns es js B ms
—— 超导体的迈斯纳效应
伦敦第二方程
或 js B
ns es = ms
2
伦敦第二方程表明：超导电流是与磁场相联系的， 可以证明：单连通超导体内的超导电流是由局域磁场所决定的。
二、超导体的电动力学方程
根据二流体模型，超导体中的总电流密度
nS (T ) (T ) n
温度为T，相应的序参量为 的吉布斯自由能密度为
gs (, T ) (1 ) gn (T ) gs (0)
1 1 1 2 2 2 g ( 0 ) g ( 0 ) H H 其中： g n (T ) T s n 0 0 0 0 2 2 2
正常电子遵从欧姆定律 超导电子遵从伦敦方程 根据麦克斯韦方程：
J JS JN
js B
j js jn B B j js jn E E t t t
2、Pippard相干范围的概念
在Tc附近，穿透深度随温度的变化必然会引起熵的变化。
根据热力学关系式
s M 0 H T T H
又体积为V，表面积为A的超导样品在磁场中的总磁矩为
M H (V A)
忽略掉热膨胀效应，有
s 0 AH H T T H
为实验可调参量，最后取为1/2
由平衡条件 g s 0可得： T
(1 )
1
0 H T 2
2 0
2 H (1 ) 1 0 20 T
由T=Tc时，=0可得
0 H 02 TC2
2 1
(1 )
1
B E t
jn E js E t
j B
根据麦克斯韦方程：
B

B E t
j E t
E

D H j t
消j,E可得 消j,B可得
S
0
b. 对复连通超导体， 例如：超导环、正常态和超导态并存的混合态， 则总有某些闭合曲线不能在超导态区域内连续收缩为一点， 即围成的曲面会有不为零的磁通量通过，
可能为多值函数，
js A
不成立
结论
a. 对于单连通超导体， b. 对复连通超导体，
js A
超导电流与矢势的局域关系不成立
B E t
改写为
ms [ ( j ) B] 0 2 s t ns es
ms ( j ) B=恒矢量 2 s ns es
可以得到
ms ( j ) B=恒矢量 2 s ns es
假定恒矢量为零，即得
S
必为单值函数 在稳恒情形下⋅
js 0 n js |s 0 js A
故必为常数
稳恒情形下，单连通超导体内超导电流与矢势的局域关系
d
C
S
（js A) ds ( js B) ds
B
2
2 n e 1 0 s s ms 2
在恒定情况下超导体内磁场分布所满足的方程式。 例1、平行于无限大超导体平板表面的磁场在超导体中的穿透
场的形式为 B B( z )ex 并且在z=0 B B0 ex 其中 ex 是x方向的单位矢量。
设 超导体占据z>0的空间，作用于超导体外磁
稳恒条件下：
2
成为
d B 1 2 B0 2 dz
2 1 B 2 B= 0 λ
B0 O
z
x B
该方程的解为 B( z) B0 e z / (z 0) 写成矢量式
z / B( z ) B0e ex
(z 0)
上式表明：磁场不能进入超导体内部，只能以
四、二流体模型
1、实验证据
（Gorter & Carsimir, 1934）
a. 超导实验和热力学结果表明：超导相的熵比正常相小 ——超导相具有更高的秩序度 b. X射线晶体学表明：相变前后晶格点阵结构没有变化 c. 实验表明：超导相和正常相的与晶格振动有关的性质相同 如德拜温度、晶格比热的贡献
上述结果的启示：
s 1 cs T ( )TC t T 1
1 1
g ss TC t T
实验结果：
1 1
s 1 cs T ( )TC t T 1
1 1
ss TC t
1 2
3
s cs T 3TC t 3 T
1 t
■ ■
伦敦方程 超导体的电动力学方程
■
超导体的穿透深度
■ ��� Pippard非局域理论 参考资料： 《超导物理学》 第三章
一、伦敦方程
1、伦敦第一方程
正常电子遵从欧姆定律 电场使超导电子产生加速度 超导电流密度为
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jn E
dv ms es E dt
js ns es v
超导相中的这种有序是其中公有化电子的某种有序所引起的
2、基本假设（3条）
(1) 正常电子(nn)和超导电子(ns)共存于超导态中，则 超导体中总电子数： nn ：正常电子数;
n ns nn
ns ：超导电子数, 不受散射
(2) 正常流体受到品格振动或杂质的散射，电阻不为零。 正常电流密度Jn：
js E t
ns es = ms
2
—— 伦敦第一方程 反映超导体零电阻性。
讨论
js E t
E=0
jn E
1) 对于恒定的超导电流
js 0 t
js t
不存在损耗。
jn E 0
存在交流损耗。
2) 对于交变的超导电流
指数衰减的形式透入超导体表面的薄层中。
ms 1/ 2 定义透入深度为 ( ) 0nses2
透入深度约为107m的数量级。
z / B( z ) B0e ex
在z =处，磁场衰减为表面磁场的1/e=0.37。
z / 将 B( z ) B0 e ex 代入
js H
B 超导体表面层中电流 j 0 e z/λ e s y μ0 λ
外加磁场透入超导体表面层中感生了超导电流。 此电流在超导体内部产生的磁场正好将外磁场完全 抵消，使内部不存在磁场，超导体的完全抗磁性。
讨论
穿透深度的温度依赖关系
伦敦穿透深度的定义
ms 1/ 2 ( ) 2 0nses