完整版相似三角形与圆综合题

AB 于点D,交AC 于点E ,求证：(1)AD=AE ;

C 在O O 上,/ BAC= 60°, P 是OB 上一点，过 P 作AB 的垂线与 AC 的延长线交于点 Q

连结OC 过点C 作CD L OC 交PQ 于点D.

(1)求证：△ CDQi 等腰三角形；

(2) 如果△ CDQ^A COB 求BP ： PO 的值.

第一部分：例题分析 相似三角形与圆综合

△ ABC 内接于圆O, / BAC 勺平分线交O O 于D 点，交O O 的切线BE 于F ,连结 BD CD 求证：(1) BD 平分/

例4、 例3、

O O 内两弦 E

E

AB CD 的延长线相交于圆外一点 E ,由E 引AD 的平行线与直线 BC 交于F ,作切线FG G 为切点, 求证: EF =

FG

例3、AB 是O O 的直径，点

(2)AB • AE=AC ・

DB.

BE.

例1、已知：如图，BC 为半圆O 的直径，ADI BC,垂足为D,过点B 作弦BF 交AD 于点E ,交半圆O 于点F ,弦AC

第二部分：当堂练习

1.如图，AB是O O直径，ED丄AB于D，交O O于G , EA交O O于C, CB交ED于F,求证：DG2= DE?DF

(1)若 PC=PF ,求证：AB 丄 ED ;

⑵点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使 AD 2

=DE DF ，为什么?

2

. 3. 如图，AB 、AC 分别是O O 的直径和弦，点 D 为劣弧AC 上一点, 弦ED 分别交O O 于点 E ,交AB 于点H ，交

AC 于点F ，过点C 的切线交ED 的延长线于点

P .

如图，弦EF 丄直径

&如图，"ABC 内接于O 0,且BC 是O 0的直径，AD 丄BC 于D , F 是弧BC 中点，且 AF 交BC 于E , AB = 6, AC = 8,求 CD , DE ，及 EF 的长.

4.如图(1), AD 是^ ABC 的高，AE 是^ ABC 的外接圆直径，则有结论:

AB •AC=AE -AD 成立, 请证明•如果把图(1)

中的/ ABC 变为钝角，其它条件不变，如图

(2)，则上述结论是否仍然成立?

5.如图，AD 是^ ABC 的角平分线，延长 AD 交^ ABC 的外接圆0于点E ,过点

C 、

D 、

E 三点的O 01与AC 的延

长线交于点F ，连结EF 、DF .

(1)求证：△ AEF sA FED ; (2)若 AD=8, DE=4，求 EF 的长.

6.如图，PC 与O 0交于B ,点A 在O 0上，且/ PCA=/ BAP . (1)求证：PA 是O O 的切线.

⑵△ ABP 和△ CAP 相似吗？为什么?

7.已知：如图， AD 是O 0的弦,

0B 丄AD 于点 E ,交O 0 于点 C , 0E=1 , BE=8 , AE:AB=1:3 .

(1)求证：AB 是O0的切线;

(2)点F 是ACD 上的一点，当/ A0F=2 / B 时，求 AF 的长.

⑶若 PB:BC=2:3，且 PC=20，求 FA 的长.

C

H

F

5、如图△ ABC 是等边三角形，被一平行于 BC 的矩形所截 AB 被截成三等分 则图中阴影部分的面积是△ ABC 的面

9.已知：如图，在 Rt △ ABC 中， ACB 90°, AC 4 , BC 4沪，以AC 为直径的eO 交AB 于点D ，点E 是

10•如图，A 是以BC 为直径的eO 上一点，AD BC 于点D ，过点B 作eO 的切线，与CA 的延长线相交于点

E, G 是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点 P .

BC 的中点，连结OD , OB 、

DE 交于点F .

(1)求证：DE 是eO 的切线;

⑵求EF : FD 的值.

⑴求证：BF

EF ; (2)求证：PA 是eO 的切线;

⑶若FG BF ，且eO 的半径长为3忑，求BD 和FG 的长度.

第三部分 课后作业

1.已知O O 的半径为 3^5厘米，O O 的半径为5厘米.O O 与O O 相交于点D E.若两圆的公共弦 DE 的长是6

厘米(圆心O O 在公共弦DE 的两侧)，则两圆的圆心距 O O 的长为(

)

(A ) 2厘米 (B ) 10厘米 (C ) 2厘米或10厘米 (D ) 4厘米

2.如图，两个等圆O

O 和O O 的两条切线 OA OB A

B 是切点，则/ AOB?于 (

)

(C ) 60

(D ) 90

AB= AC -2,以AB 为直径的圆交 BC 于 D,则图中阴影部分的面积为

(A ) 1

(B ) 2

4•已知圆的内接正六边形的周长为

(C ) 1 + —

4

18,那么圆的面积为

(D) 2 ---

4

(A) 18n

(B) 9n

(C) 6n

(D) 3 n

C

B

C A

R

4

MN 与小圆相切，D 为切点，且 MN / AB MN= a , ON CD 分别为两圆的半径，求

阴影部分的面积.

&如图，在Rt△ ABC 中，斜边BC 12, C 30° D 为BC 的中点，△ ABD 的外接圆O0与AC 交于F 点,

过A 作O0的切线AE 交DF 的延长线于E 点.

9•如图，在直角梯形 ABCDK AB // CD , B 90°, ABAD, / BAD 勺平分线交BC 于 E,连接DE

(1)说明点D 在^ ABE 的外接圆上;

发沿DE 方向运动，过点 P 作PQ BC 于Q ，过点Q 作QR // BA 交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停

求y 关于x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围) 是否存在点P ,使△PQR 为等腰三角形？若存在， 请求出所有满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由.

积的()

6.已知，如图，以△ ABC 勺边AB 作直径的O

O 分别并 AC BC 于点

D.

E,弦 FG// AB CDE ABC= 1 : 4, DE

=5cm FG= 8cm 求梯形

AFGB 勺面积.

7•如图，在两个半圆中，大圆的弦

(1)求证：AE 丄DE ;

(2)计算：AC-AF 的值.

CD 与△ ABE 外接圆的位置关系，并说明理由.

E 分别是边 AB, AC 的中点，点 P 从点D 出

止运动. 设 BQ x , QR y .

(1) 求点D 到BC 的距离DH 的长;

e

B

C

(2)若/ AED /CED 试判断直线

C