沪科版九年级数学上册期中试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷【含答案】
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
期中检测卷
时间：120分钟 总分：150分
ห้องสมุดไป่ตู้科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级数学上册期中测试卷
沪科版九年级上册数学期中考试试卷含答案
沪科版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列函数关系中，是二次函数的是（ ）A ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系B ．当距离一定时，火车行驶的时间t 与速度v 之间的关系C ．等边三角形的周长c 与边长a 之间的关系D ．圆心角为120°的扇形面积S 与半径R 之间的关系2．反比例函数k y x=的图象过点()3,5-，则k 的值为（ ） A ．15 B ．1 15 C ．-15 D ．3 5- 3．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ） A ．21xy x += B ．220x y -+= C ．21y x= D ．243y x -= 4．已知矩形的面积为36cm 2，相邻的两条边长为xcm 和ycm ，则y 与x 之间的函数图像大致是A ．B ．C ．D ． 5．某产品进货单价为9元，按10一件售出时，能售100件，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，设每件产品涨x 元，所获利润为y 元，可得函数关系式为（ ） A ．21011010y x x =-++ B ．210100y x x =-+C ．210100110y x x =-++D ．21090100y x x =-++ 6．如图，已知经过原点的直线AB 与反比例函数()0k y k x=≠图象分别相交于点A 和点B ，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，若ABC 的面积为4，则k 的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．87．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，CD 是AB 边上的高，6AC =，9AB =，则AD =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．已知函数2y ax ax =+与函数(0)a y a x=<，则它们在同一坐标系中的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ． 9．如图，已知点()4,2E -，点()1,1F --，以O 为位似中心，把EFO 放大为原来的2倍，则E 点的对应点坐标为（ ）A ．()2,1-或()2,1-B ．()8,4-或()8,4-C ．()2,1-D ．()8,4-10．已知矩形的面积为20，则如图给出的四个图象中，能大致呈现矩形的长y 与宽x 之间的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 11．下列各式：()()()()2222212;2;;;12;2(1)2;2122y x y x y y y x x y x y x x x x x=+====-+=-+=+--；其中y 是x 的二次函数的有________（只填序号）12．若113,4A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，25,4B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,4C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为二次函数245y x x =+-的图象上三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为________<________<________．13．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()1,0和()3,0两点，交y 轴与()0,3，当x ________时，0y >．14．若15x y x y -=+，x y =________；若34x y =，则232x y x y+=-________． 15．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x ）件．若使利润最大，每件的售价应为______元． 16．小颖用几何画板软件探索方程ax 2+bx+c=0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x 1=-4.5，则方程的另一个近似根为x 2=____.(精确到0.1)17．已知C 是AB 的黄金分割点，若AB=4cm ，则AC 的长为___________.18．若直线y ＝kx 与四条直线x ＝1，x ＝2，y ＝1，y ＝2围成的正方形有公共点，则k 的取值范围是_________．19．如图，纵截面是一等腰梯形的拦水坝，两腰与上底的和为4m ，底角为60，当坝高为________m 时，纵截面的面积最大．20．如图，已知在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，//DE BC ，//EF AB ，且:3:8AD AB =，那么:ADE EFC S S =________．三、解答题21．已知：如图，网格中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在图中画出一个与格点DEF 相似但相似比不等于1的格点三角形．22．如图，已知ABD ACE ∽，50ABC ∠=，60BAC ∠=，求AED ∠的度数．23．已知，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，连接DE 并延长交BC 的延长线于点F ，连接DC 、BE ．且180BDE BCE ∠+∠=，求证：FDC FBE ∽．24．反比例函数()0k y k x=≠过()3,4A ，点B 与点A 关于直线2y =对称，抛物线2y x bx c =-++过点B 和()0,3C ．()1求反比例函数的表达式；()2求抛物线的表达式；()3若抛物线2y x bx m =-++在22x -≤<的部分与k y x=无公共点，求m 的取值范围．25．已知AD 为BAC ∠的平分线，EF 为AD 的垂直平分线，求证：2FD FB FC =⋅．26．为测量学校操场上旗杆的高度，某数学活动小组设计如下测量方法：将镜子放在离旗杆()27AB m 的点E 处，然后沿直线BE 后退，使在点D 处恰好看到旗杆顶端A 在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图），若 2.4DE m =，观测者的眼睛离地面的高度CD 为1.6m ，求旗杆的高度．参考答案1．D【分析】根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可．【详解】解：A 、y=mx+b ，当m≠0时（m 是常数），是一次函数，错误；B 、t=sv ，当s≠0时，是反比例函数，错误；C 、C=3a ，是正比例函数，错误；D 、S=13πR 2，是二次函数，正确．故选D ．【点睛】本题考查二次函数的定义．2．C【分析】让点的横纵坐标相乘即为反比例函数的比例系数，根据比例系数的符号即可判断反比例函数的两个分支所在的象限．【详解】解：∵反比例函数解析式为y=k x， ∵反比例函数的图象经过点（-3，5），∴k=-3×5=-15，故选C ．【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数，用到的知识点为：反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积．3．B【分析】一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0），那么y 叫做x 的二次函数．此题将式子整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．【详解】解：A 、整理为y=21-x x，不是二次函数，故A 错误； B 、x 2-y+2=0变形，得y=x 2+2，是二次函数，故B 正确；C 、分母中含自变量，不是二次函数，故C 错误；D 、y 的指数是2，不是函数，故D 错误．故选B ．【点睛】本题考查二次函数的定义．4．A【详解】解：根据矩形的面积公式，得xy ＝36，即()36y x>0x=，是一个反比例函数 故选A5．D【分析】根据总利润=单件利润×数量建立等式就可以得出结论．【详解】解：由题意，得y=（10+x-9）（100-10x），y=-10x2+90x+100．故选D．【点睛】本题考查了销售问题的数量关系的运用，总利润=单件利润×数量的运用，解答时找准销售问题的数量关系是关键．6．B【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于2，然后由反比例函数y=kx的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于12|k|，从而求出k的值．【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA=OB，∴△BOC的面积=△AOC的面积=4÷2=2，又∵A是反比例函数y=kx图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积=12|k|，∴12|k|=2，∵k＞0，∴k=4．故选B．【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到反比例函数的比例系数k的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=12|k|．7．C【分析】利用射影定理得到：AC2=AD•AB，把相关线段的长度代入进行解答即可．【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∴AC2=AD•AB，∵AC=6，AB=9，∴36=9AD，则AD=4．故选C．【点睛】本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．8．B【分析】根据a＜0，直接判断抛物线的开口方向，对称轴，双曲线所在的象限，选择正确结论．【详解】解：当a＜0时，二次函数y=ax2+ax的图象开口向下，对称轴x=-12；函数y=ax的图象在二、四象限，符合题意的是图象B．故选B．【点睛】主要考查二次函数和反比例函数图象的有关性质，应该熟记且灵活掌握．9．B【分析】E（-4，2）以O为位似中心，按比例尺2：1，把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标是E（-4，2）的坐标同时乘以2或-2．【详解】解：根据题意可知，点E的对应点E′的坐标是E（-4，2）的坐标同时乘以2或-2．所以点E′的坐标为（8，-4）或（-8，4）．故选B．【点睛】本题考查了位似变换的知识，注意掌握关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是（kx，ky）或（-kx，-ky）．10．A【解析】由矩形的面积公式可知y=20x，则图象为双曲线．又矩形的长、宽都是正数，故图象在第一象限，故选A．11．②⑤⑥【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解．【详解】解：y是x的二次函数的有②，⑤，⑥．故答案是：②，⑤，⑥．【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c是常数，x是未知数）．12．2y1y3y【分析】此题可根据给出的二次函数判断开口方向向上，对称轴为直线x=-2，再比较图象上三点到对称轴的距离，则距离越大，其纵坐标越大．【详解】解：对二次函数y=x2+4x-5，a=1＞0，开口向上，对称轴为直线x=-2．又A、B、C三点到对称轴的距离分别为|-134-（-2）|=54，|-54-（-2）|=34，|14-（-2）|=94，∴y2＜y1＜y3，故答案是：y2、y1、y3．【点睛】本题考查了二次函数的性质，重点是判断函数的对称轴，由点到对称轴的距离比较出各点纵坐标的大小．13．1<或3x >【分析】写出函数图象x 轴上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：由图可知，x ＜1或x ＞3时，y ＞0．故答案为＜1或x ＞3．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．14．32 116【分析】根据比例的性质，可得等式，根据等式的性质，可得答案；根据等式的性质，可用x 表示y ，根据分式的性质，可得答案．【详解】 解：由x y x y -+＝15，得5x-5y=x+y ，移项，合并同类项，得4x=6y ，两边都除以4y ，得32xy =；由3x=4y ，得 y=34x，3112x 2+1144=333-263242x xx y x x x y x +==-⨯， 故答案为32，116．【点睛】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质，等式的性质．15．25【详解】试题分析：设最大利润为w元，则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25，∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25，故答案为25．考点：1．二次函数的应用；2．销售问题．16．2.5【详解】由函数的图象可求出函数的对称轴方程，再根据对称轴与方程两根之间的关系建立起方程，求出未知数的值即可．解：由函数图象可知，此函数的对称轴为x=﹣1，设函数的另一根为x，则=﹣1，解得x=2.5．17．2或6-【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分）叫做黄金比．【详解】AB==（AC>BC）由题意知：AC= 41)或AC=4-（2）=6-（AC<BC）故本答案为：2或6-【点睛】考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算．18．12≤k≤2【详解】根据题意结合图形可知，在与该正方形有公共点的直线中，直线l1解析式中的k值最大，直线l2解析式中的k值最小.由图可知，直线l1过点A(1, 2)，直线l2过点C(2, 1).将点A的坐标代入解析式y=kx，得21k=⋅，∴k=2.将点C的坐标代入解析式y=kx，得12k=⋅，∴12 k=.∴k的取值范围是12 2k≤≤.故本题应填写：12 2k≤≤.点睛：本题考查了一次函数的图象和性质的相关知识. 在一次函数的解析式中，k的绝对值越大，相应的直线就越靠近y轴，反之则越靠近x轴. 本题考查的一个重点在于利用上述结论确定k的值最大和最小时直线的位置. 另外，通过正比例函数与图象之间的关系确定正比例函数解析式也是本题考查的重点.19．3【分析】设AB=xm，利用x表示出坝高DE和AD、BC的长，利用x表示梯形的面积，然后利用函数的性质即可求解．【详解】解：设AB=x，则AD=4-2x，∵DE⊥BC，∠C=60°，∴在直角△DCE中，DE=CD•sin∠，CE=12CD=12x，则BC=x+AD=x+（4-2x）=4-x，则梯形ABCD的面积y=12（AD+BC）•DE=12（4-x+4-2x）•2x，即y=-4x2，则当4⎝⎭=43时，y取得最大值是，此时y=-4×（43）2×43=4；∴×43．【点睛】本题考查等腰梯形的计算和二次函数等知识，考查求函数的解析式和求函数的最值问题，求最值的问题常用的方法是转化为函数的问题求解．20．9:25【分析】根据平行线分线段成比例定理求出AE：AC=AD：AB=3：8，求出AE：CE=3：5，根据平行线的性质得出∠A=∠EFC，∠AED=∠C，根据相似三角形的判定得出△ADE∽△EFC，根据相似三角形的性质得出即可．【详解】解：∵DE∥BC，AD：AB=3：8，∴AE：AC=AD：AB=3：8，∴AE：CE=3：5，∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠A=∠EFC，∠AED=∠C，∴△ADE ∽△EFC ， ∴ADE EFC S S ∆∆=（AE CF ）2=（35）2=925， 故答案为9：25．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．21．见解析.【解析】【分析】利用相似三角形的性质，对应边的相似比相等，对应角相等，可以让各边长都放大一倍，得到新三角形．本图形的答案不唯一，只要是相似三角形，都在格点上就正确．【详解】解：ABD 就是所求．【点睛】本题主要考查了相似三角形的画法，注意做这类题时的关键是对应边相似比相等，对应角相等．22．70AED ∠=．【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB=70°，根据相似三角形的性质得出AB AC =AD AE ，∠BAD=∠CAE ，求出AB AD =AC AE，∠BAC=∠DAE ，推出△BAC ∽△DAE ，根据相似三角形的性质得出∠AED=∠ACB 即可．【详解】解：∵50ABC ∠=，60BAC ∠=，∴18070ACB ABC BAC ∠=-∠-∠=，∵ABD ACE ∽， ∴AB AD AC AE=，BAD CAE ∠=∠， ∴AB AC AD AE =，BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠， ∴BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAE ∽，∴AED ACB ∠=∠，∴70AED ∠=．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出△BAC ∽△DAE ．23．证明见解析.【分析】首先由∠BDE+∠BCE=180°，∠ECF+∠BCE=180°，可得∠BDE=∠ECF ，又由∠F 是公共角，即可证得△ECF ∽△BDF ，根据相似三角形的对应边成比例，可得EF ：BF=CF ：DF ，继而证得：△FDC ∽△FBE ．【详解】证明：∵180BDE BCE ∠+∠=，180ECF BCE ∠+∠=，∴BDE ECF ∠=∠，∵F ∠是公共角，∴ECF BDF ∽，∴::EF BF CF DF =，即::EF CF BF DF =，∵F ∠是公共角，∴FDC FBE ∽．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．24．（1）12y x=；（2）223y x x =-++；（3）m 的范围：26m <≤， 【分析】 （1）将点（3，4）代入反比例函数的解析式即可求出k 的值．（2）求出点B 的坐标，然后将B 与C 的坐标代入即可求出抛物线的解析式即可求出b 与c 的值．（3）令x=2和-2代入反比例函数中求出相应的点坐标，然后将两点的坐标代入y=-x2+2x+m 中求出m 的值【详解】解：()1∵反比例函数k y x =过()3,4A ， ∴12k =， ∴12y x= ()2∵点B 与点A 关于直线2y =对称，∴()3,0B ．∵抛物线2y x bx c =-++过点B 和()0,3C∴9303b c c -++=⎧⎨=⎩∴23b c =⎧⎨=⎩∴223y x x =-++()3反比例函数的解析式：12y x= 令2x =-时，6y =-，即()2,6--令2x =时，6y =，即()2,6当22y x x m =-++过点()2,6--时，2m = 当当22y x x m =-++过点()2,6时，6m = ∴22y x x m =-++在22x -≤<的部分与12y x=无公共点时，此时m 的范围：26m <≤，本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是求出相关点的坐标，然后利用待定系数法求出系数的值，本题属于中等题型．25．证明见解析.【分析】要证明结论成立，只要证明△AFC ∽△BFA 即可，根据题目中的条件，可以找到两个三角形相似的条件，从而可以解答本题．【详解】证明：连接AF ，∵AD 是角平分线，∴BAD CAD ∠=∠，又∵EF 为AD 的垂直平分线，∴AF FD =，DAF ADF ∠=∠，∴DAC CAF B BAD ∠+∠=∠+∠，∴CAF B ∠=∠，∵AFC AFC ∠=∠，∴ACF BAF ∽，即CF AF AF BF=， ∴2AF CF BF =⋅，即2FD CF BF =⋅．【点睛】本题考查相似三角形的性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似解答．26．旗杆AB 的高度是18 m ．【分析】先得出△ABE ∽△EDC ，再由相似三角形的对应边成比例即可得出AB 的值．解：在Rt △ABE 和Rt △CED 中，∵∠ABE=∠CDE=90°，∠AEB=∠CED ，∴△ABE ∽△CED ． ∴AB CD =BE ED． ∵BE=27m ，DE=2.4m ，CD=1.6m ， ∴1.6AB =272.4， ∴AB=18．答：旗杆AB 的高度是18 m ．【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．。
【沪科版】初三数学上期中试卷(附答案)
一、选择题1．如图，已知在正方形ABCD 中，AD ＝4，E ，F 分别是CD ，BC 上的一点，且∠EAF ＝45°，EC ＝1，将△ADE 绕点A 沿顺时针方向旋转90°后与△ABG 重合，连接EF ，则以下结论：①DE +BF ＝EF ，②BF ＝47，③AF ＝307，④S △AEF ＝507中正确的是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④ 2．已知点(2,3)A ，O 是坐标原点，将线段OA 绕点O 逆时针旋转90︒，点A 旋转后的对应点1A ，则点1A 的坐标是（ ）A ．(2,3)--B ．(2,3)-C ．(3,2)-D ．(3,2)- 3．如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后得到ACP '△，如果AP =2，那么PP '的长等于（ ）A ．32B ．23C ．22D ．44．如图，正方形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴上，点D(5，3)在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90º，则旋转后点D 的对应点D 的坐标是( )A ．(-2，0)B ．(-2，10)C ．(2，10)或(-2，0)D ．(10，2)或( -2，10) 5．如图，将正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转35°，得到正方形AEFG ，DB 的延长线交EF 于点H ，则∠DHE 的大小为 （ ）A ．90°B ．95°C ．100°D ．105° 6．已知点A （1，a ）、点B （b ，2）关于原点对称，则a+b 的值为（ ）A ．3B ．-3C ．-1D ．1 7．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2＝mx +n （m ≠0）与抛物线交于A 、B 两点．下列结论：①2a +b ＝0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑥a +b ≥m （am +b ）（m 实数）其中正确的是（ ）A ．①②③⑥B ．①③④C ．①③⑤⑥D ．②④⑤ 8．将抛物线22y x =先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得的抛物线对应的函数关系式是 （ ）A ．2(2-1)-3y x =B ．22(-1)-3y x =C ．2(21)-3y x =+D ．22(1)-3y x =+ 9．抛物线()2512y x =--+的顶点坐标为（ ）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()1,2-D ．()2,1 10．如果将抛物线23y x =+先向下平移2个单位，再向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)1y x =++C ．21y x =+D ．2(1)1y x =-+11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝a （a <2），BC ＝2．以点D 为圆心，CD 的长为半径画弧，交AD 于点E ，交BD 于点F ．下列哪条线段的长度是方程2240x ax +-=的一个根（ ）A ．线段AE 的长B ．线段BF 的长C ．线段BD 的长D ．线段DF 的长 12．若关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜－2B ．a ＞－2C ．－2＜a ＜0D ．－2≤a ＜0 13．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．22(1)x x x -=-C ．2325x x y -+=D ．2210x += 14．已知方程2202030x x +-=的根分别为a 和b ，则代数式2a a 2020a b ++的值为（ ）A ．0B ．2020C ．1D ．-2020二、填空题15．如图，正方形OABC 的边长为2，OA 与x 负半轴的夹角为15°，点B 在抛物线()20y ax a =<的图象上，则a 的值为_．16．抛物线y ＝x 2+2x-3与x 轴的交点坐标为____________________．17．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，与x 轴的一个交点B 的坐标为()1,0其图象如图所示，下列结论：①0abc <；②20a b -=；③当0y >时，1x >；④320b c +>；⑤当0x <时，y 随x 的增大而减小；其中正确的有____．（只填序号）18．已知方程22610x x -+=的两根为12,x x ，则2212x x +=_______．19．已知关于x 的方程28m 0x x ++=有一根为2-，则方程的另一根为______ 20．如图，世纪广场有一块长方形绿地，AB ＝18m ，AD ＝15m ，在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后，剩余绿地的面积为144m 2，则x ＝_____．三、解答题21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC 的顶点均在格点上，点C 的坐标为(2,4)-．（1）以原点O 为旋转中心，画出把ABC 逆时针旋转90°的图形111A B C △； （2）在（1）的条件下，求出经过111A B C 、、三点的抛物线的解析式．22．（1）问题发现：如图1，ACB △和DCE 均为等边三角形，当DCE 旋转至点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．①填空：AEB ∠的度数为______．②线段AD 、BE 之间的数量关系是_______．（2）拓展研究：如图2，ACB △和DCE 均为等腰三角形，且90ACB DCE ∠∠==，点A 、D 、E 在同一直线上，若15AE =，7DE =，求AB 的长度．（3）探究发现：图1中的ACB △和DCE ，在DCE 旋转过程中当点A ，D ，E 不在同一直线上时，设直线AD 与BE 相交于点O ，试在备用图中探索AOE ∠的度数，直接写出结果，并说明理由．23．愤怒的小鸟——为了打击偷走鸟蛋的捣蛋猪，鸟儿以自己的身体为武器，在空中画出完美的抛物线，像炮弹一样去攻击捣蛋猪的堡垒．而捣蛋猪为了躲避打击，将自己藏在各种障碍物后面，自此，双方展开了一番斗智斗勇的较量．（1）如图1，愤怒的小鸟调整好位置后，恰好可以越过2m 高的箱子(箱子宽度不计)，射中6m 外的捣蛋猪，最高点距离地面3m ，问出发时小鸟与箱子的距离？（2）如图2，箱子的长宽不断发生变化，愤怒的小鸟按照原弹射轨迹(射中6m 外的捣蛋猪，最高点距离地面3m)，当轨迹恰好经过B 、C 两点时，则AB+BC+CD 的最大值是多少？ 24．地摊经济开放以来，小王以每个40元的价格购进一种玩具，计划以每个60元的价格销售，后来为了尽快回本决定降价销售．已知这种玩具销售量y （个）与每个降价x （元）（020x <<）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y 与x 之间的函数解析式．（2）该玩具每个降价多少元时，小王获利最大？最大利润是多少元？25．解方程：（1）26160x x +-=．（2）22430x x --=．26．回答下列问题．（1（2|1-． （3）计算：102(1)-++． （4）解方程：2(1)90x +-=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】利用全等三角形的性质及勾股定理求出BF 的长，再利用勾股定理求出AF 的长，从而求得GF ，即可求解出△AEF 的面积，最终即可判断出所有选项．【详解】∵将△ADE 绕点A 沿顺时针方向旋转90°后与△ABG 重合，∴AG ＝AE ，∠DAE ＝∠BAG ，DE ＝BG ，∵∠EAF ＝45°，∴∠DAE +∠BAF ＝45°＝∠GAB +∠BAF ＝∠GAF ＝45°，∵AG ＝AE ，∠FAE ＝∠FAG ＝45°，AF ＝AF ，∴△AFE ≌△AFG （SAS ），∴EF ＝FG ，∵DE ＝BG ，∴EF ＝FG ＝BG +FB ＝DE +BF ，故①正确，∵BC ＝CD ＝AD ＝4，EC ＝1，∴DE ＝3，设BF ＝x ，则EF ＝x +3，CF ＝4﹣x ，在Rt △ECF 中，（x +3）2＝（4﹣x ）2+12，解得x ＝47， ∴BF ＝47，AF②正确，③错误，∴GF ＝3+47＝257， ∴S △AEF ＝S △AGF ＝12AB ×GF ＝507， 故④正确，故选：D ．【点睛】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．D解析：D【分析】根据点(,)x y 绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为(,)y x -解答即可．【详解】解：A 、1A 两点是绕原点逆时针旋转90︒得到的，1A ∴的坐标为(3,2)-．故选：D ．【点睛】考查由旋转得到的两点的坐标的变换；用到的知识点为：点(,)x y 绕原点逆时针旋转90︒得到的坐标为(,)y x -．3．C解析：C【分析】由旋转的性质可得出AP AP '=，B C AP AP '∠∠=，由90BAC ∠=︒可得90PAP '∠=︒，所以APP '是等腰直角三角形，由AP 的长度结合勾股定理计算出'AP 的长度即可．【详解】由旋转的性质可得：AP AP '==2，B C AP AP '∠∠=，∴BAP APC CAP APC '∠+∠=∠+，∴=90BAC PAP '∠=∠︒，∴PP '==．故选：C ．【点睛】本题主要考查旋转的性质以及勾股定理，根据旋转的性质得出对应角的度数是解题关键． 4．C解析：C【分析】根据题意，分顺时针和逆时针旋转两种情况解答即可．【详解】解：由题意，AB=BC=5，BD=5﹣3=2，∠B=90°，若把△CDB顺时针旋转90º，则点D在x轴的负半轴上，O D=BD=2，所以点D坐标为（﹣2，0）；若把△CDB逆时针旋转90º，则点D到x轴的距离是5+5=10，到y轴的距离是2，∴点D的坐标为（2，10），综上，旋转后点D的对应点D的坐标是(2，10)或(-2，0)，故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转、正方形的性质，熟练掌握旋转的性质，分顺时针和逆时针旋转两种情况是解答的关键．5．C解析：C【分析】直接根据四边形AEHB的四个内角和为360°即可求解．【详解】解：∵将正方形ABCD绕点A顺时针旋转35°，得到正方形AEFG，∴∠BAE=35°，∠E=90°，∠ABD=45°，∴∠ABH=135°，∴∠DHE=360°-∠E-∠BAE-∠ABH=360°-90°-35°-135°=100°．故选C．【点睛】此题考查了正方形的性质、旋转角、多边形的内角和定理，正确找出旋转角是解题关键．6．B解析：B【分析】由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出a、b的值即可.【详解】∵点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，∴a=﹣2，b=﹣1，∴a+b=﹣3.故选B.【点睛】关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.7．C解析：C根据拋物线的开口方向以及对称轴为x ＝1，即可得出a 、b 之间的关系以及ab 的正负，由此得出①正确；根据抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴上，可知c 为正结合a ＜0、b ＞0即可得出②错误；将抛物线往下平移3个单位长度可知抛物线与x 轴只有一个交点从而得知③正确；根据拋物线的对称性结合抛物线的对称轴为x ＝1以及点B 的坐标，即可得出抛物线与x 轴的另一交点坐标，④正确；⑤根据两函数图象的上下位置关系即可判断y 2＜y 1，故⑤正确；当1x ＝时y 1有最大值，a ＋b ＋c ≥am 2＋bm ＋c ，即可判断⑥正确．【详解】解：由抛物线对称轴为直线x ＝2b a-，从而b ＝﹣2a ，则2a ＋b ＝0，故①正确； 抛物线开口向下，与y 轴相交于正半轴，则a ＜0，c ＞0，而b ＝﹣2a ＞0，因而abc ＜0，故②错误；方程ax 2＋bx ＋c ＝3从函数角度可以看做是y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），则抛物线与直线有且只有一个交点故方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，故③正确；由抛物线对称性，与x 轴的一个交点B （4，0），则另一个交点坐标为（﹣2，0），故④错误；由图象可知，当1＜x ＜4时，y 2＜y 1，故⑤正确；因为x ＝1时，y 1有最大值，所以a ＋b ＋c ≥am 2＋bm ＋c ，即a ＋b ≥m （am ＋b ）（m 实数），故⑥正确．故选C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像、一次函数图像、二次函数的图象与系数的关系等知识考查知识点较多．解答的关键在于读懂图象信息，掌握二次函数知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．B解析：B【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．【详解】解：抛物线y =22x 的顶点坐标为(0，0)，向右平移1个单位,再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为(1，−3)，所以,所得图象的解析式为y =22(1)x - -3．故选：B【点睛】本题考查了函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图象的变化是解题的规律．9．B【分析】由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：∵y=-5（x-1）2+2，∴此函数的顶点坐标是（1，2）．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法． 10．B解析：B【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【详解】解：抛物线y=x 2+3的顶点坐标为（0，3），向下平移2个单位，再向左平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（-1，1）， 所以，平移后的抛物线的解析式为y=(x+1)²+1．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．11．B解析：B【分析】根据勾股定理求出BF ，利用求根公式解方程，比较即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴CD=AB=a在Rt △BCD 中，由勾股定理得，BD =∴a ，解方程2240x ax +-=得x a =±=- ∴线段BF 的长是方程2240x ax +-=的一个根．故选：B ．【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．12．C解析：C【分析】由关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根可得2214244202b ac a a ⎛⎫∆=-=-⨯⨯-=+> ⎪⎝⎭，解不等式即可求出a 的取值范围． 【详解】∵关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根， ∴2214244202b ac a a ⎛⎫∆=-=-⨯⨯-=+> ⎪⎝⎭， 解得：a >−2，∵a <0，∴−2<a <0．故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的应用为解题关键． 13．D解析：D【分析】根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程：进行判断即可．【详解】解：A 、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意．B 、该方程化简整理后是一元一次方程，故本选项不符合题意．C 、该方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．D 、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．14．A解析：A【分析】将a 代入方程，可得2202030a a +-=，即220302a a =-，代入要求的式子，即可得到3+ab ，而a 、b 是方程的两个根，根据韦达定理，可求出ab 的值，即可求出答案．【详解】解：∵方程2202030x x +-=的根分别为a 和b∴2202030a a +-=，即220302a a =-∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab∵ab=-3∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab=3-3=0故选：A ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解以及韦达定理，熟练解代入方程以及观察式子特点，抵消部分式子是解决本题的关键．二、填空题15．【分析】连接OB 过点B 作BD ⊥x 轴于D 根据正方形的性质求得∠BOA=45°OB=根据三角函数和勾股定理可得点B 的坐标为（）代入抛物线即可求解【详解】如图连接OB 过点B 作BD ⊥x 轴于D ∵四边形OABC解析：6-【分析】连接OB ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，根据正方形的性质求得∠BOA=45°，OB=，根据三角函数和勾股定理可得点B 的坐标为（）,代入抛物线()20y axa =<即可求解．【详解】如图，连接OB ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，∵四边形OABC 是边长为2的正方形，∴∠BOA=45°，OB=∵AC 与x 轴负半轴的夹角为15°，∴∠AOD=45°﹣15°=30°，∴BD= 12，, ∴点B 的坐标为（）, ∵点B 在抛物线()20y axa =<的图象上，则：(2a =解得：6a =，故答案为6a =-故答案为：6-．【点睛】本题主要考查根据坐标求解析式，涉及到正方形的性质、勾股定理、三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学知识求得点B 的坐标．16．【分析】要求抛物线与x 轴的交点即令y ＝0解方程即可【详解】令y ＝0则x2+2x ﹣3＝0解得x1＝﹣3x2＝1则抛物线y ＝x2+2x ﹣3与x 轴的交点坐标是（﹣30）（10）故答案为：（﹣30）（10）解析：()()3.0,1,0-【分析】要求抛物线与x 轴的交点，即令y ＝0，解方程即可．【详解】令y ＝0，则x 2+2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣3，x 2＝1．则抛物线y ＝x 2+2x ﹣3与x 轴的交点坐标是（﹣3，0），（1，0）．故答案为：（﹣3，0），（1，0）．【点睛】此题考察二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的解即为二次函数图像与x 轴交点的横坐标．17．①②【分析】根据开口向上故；对称轴再y 轴的的左边根据同左异右故抛物线交y 轴的下方；对称轴为故有即抛物线与x 轴的交点有两个根据对称性可以得到交点为等信息利用这些信息进行答题【详解】解：根据开口向上故； 解析：①②【分析】根据开口向上，故0a > ；对称轴再y 轴的的左边，根据“同左异右”，故0b > ,抛物线交y 轴的下方；对称轴为1x =-，故有12b a-=- 即2b a =，抛物线与x 轴的交点有两个，根据对称性可以得到交点为121,3x x ==-等信息，利用这些信息进行答题．【详解】解：根据开口向上，故0a > ；对称轴再y 轴的的左边，根据“同左异右”，故0b > ,抛物线交y 轴的下方，故0c < ，因此0abc <①正确对称轴为1x =-，故有12b a-=- 即2b a = 故②20a b -=也正确 由抛物线知道，抛物线与x 轴的交点有两个，根据对称性可以得到交点为121,3x x ==-当当0y >时，图形上是在x 轴的上方，有1x >或者3x <- 故③错误当x=1是，由图可以知道0a b c ++= 即2220a b c ++= 由2b a =，便有320b c += 故④错误由图形可以知道当1x <-时，y 随x 的增大而减小，当1x ≥-时，y 随x 的增大而增大，故⑤错误故答案为①②【点睛】本题考查二次函数图像，从图像中获取信息是关键，18．8【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可列出两根之和及两根之积的值再对其进行变形即可求解【详解】由题可得：∴故答案为：8【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系进行变形求值熟记结论且灵活变形是解 解析：8【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可列出两根之和及两根之积的值，再对其进行变形即可求解．【详解】 由题可得：1212132x x x x +==，， ∴()222212121212329182x x x x x x +=+-=-⨯=-=， 故答案为：8．【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数的关系进行变形求值，熟记结论且灵活变形是解题关键． 19．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可【详解】因为已知关于的方程有一个根是-2由二次方程根与系数的关系可知：即有：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系如果方程的 解析：6-【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可．【详解】因为已知关于x 的方程 280x x m ++=有一个根是-2，由二次方程根与系数的关系可知：128x x +=-，即有：228x -+=-解得：26x =-．故答案为：6-．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，如果方程20x px q ++=的两个根是 1x ，2x ，那么12x x p +=-， 12·x x q =，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20．【分析】由在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后剩余绿地的面积为144m2即可得出关于x 的一元二次方程此题得解【详解】解：设道路的宽为xm 根据题意得：（18﹣2x ）（15﹣x ）＝144解得：或（舍去）答：解析：3【分析】由在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后，剩余绿地的面积为144m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设道路的宽为xm ，根据题意得：（18﹣2x ）（15﹣x ）＝144，解得：13x =或221x ＝（舍去），答：道路的宽为3m ．故答案为：3．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，正确列方程是解题的关键.三、解答题21．（1）△A 1B 1C 1为所求见详解图；（2）2210433y x x =-+-． 【分析】（1）先连结OA 、OB 、OC ，以O 点为旋转中心，分别以OA 、OB 、OC 逆时针旋转90º到OA 1、OB 1、OC 1，再顺次连结A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1即可（2）先求出A 、B 、C 三点坐标，结合旋转后的位置求出A 1（1，0），B 1（5，0），C 1（4，2）,由A 1（1，0），B 1（5，0），两点在x 轴上，利用交点式抛物线解析式设出函数解析式，把C 1坐标代入求出a 值，再化为一般式即可【详解】（1）如图所示，连结OA 、OB 、OC ，以O 点为旋转中心，分别以OA 、OB 、OC 逆时针旋转90º到OA 1、OB 1、OC 1，再顺次连结A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1，则△A 1B 1C 1为所求； （2）由A （0，-1），B （0，-5），C （2，-4）则A 1（1，0），B 1（5，0），C 1（4，2）， 由A 1（1，0），B 1（5，0），两点在x 轴上，设出经过111A B C 、、三点的抛物线的解析式为()()15y a x x =--，把C 1（4，2）代入抛物线的解析式， ()()24145a =--， 解得23a =-，()()2153y x x =---， 2210433y x x =-+-．【点睛】本题考查旋转变换问题，掌握旋转作图的方法与步骤，会通过旋转后的位置，确定点的坐标，会用待定系数法求抛物线解析式是解题关键．22．（1）①60°；②AD BE =；（2）AB 的长度为17；（3）60°或120°，证明见解析．【分析】（1）由条件易证△ACD ≌△BCE ，从而得到：AD=BE ，∠ADC=∠BEC ．由点A ，D ，E 在同一直线上可求出∠ADC ，从而可以求出∠AEB 的度数．（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB 的度数，证出AD=BE ；由△DCE 为等腰直角三角形及CM 为△DCE 中DE 边上的高可得CM=DM=ME ，从而证到AE=2CH+BE ．（3）由（1）知△ACD ≌△BCE ，得∠CAD=∠CBE ，由∠CAB=∠ABC=60°，可知∠EAB+∠ABE=120°，根据三角形的内角和定理可知∠AOE=60°．【详解】（1）①如图1，∵ACB △和DCE 均为等边三角形，∴CA CB =，CD CE =，60ACB BCE ∠=∠=，∴ACD BCE ∠=∠，在ACD △和BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()?ACD BCE SAS ≌， ∴ADC BEC ∠∠=， ∵DCE 为等边三角形，∴60CDE CED ∠=∠=，∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴120ADC ∠=，∴120BEC ∠=，∴60AEB BEC CED ∠=∠-∠=．故答案为：60°．②∵≌ACD BCE ，∴AD BE =，故答案为：AD BE =．（2）∵ACB △和DCE 均为等腰直角三角形， ∴CA CB =，CD CE =，90ACB DCE ∠∠==，∴ACD BCE ∠=∠，在ACD △和BCE 中，CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACD BCE SAS △≌△，∴8AD BE AE DE ==-=，ADC BEC ∠∠=，∵DCE 为等腰直角三角形，∴45CDE CED ∠=∠=，∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴135ADC ∠=，∴135BEC ∠=，∴90AEB BEC CED ∠=∠-∠=，∴17AB ==．（3）如图3，由（1）知≌ACD BCE ，∴CAD CBE ∠=∠，∵60CAB CBA ∠=∠=，∴120OAB OBA ∠+∠=，∴18012060AOE ∠=-=，如图4，同理求得60AOB ∠=，∴120AOE ∠=，∵AOE ∠的度数是60°或120°．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质等知识，得出△ACD ≌△BCE （SAS ）是解本题的关键．23．（1）出发时小鸟与箱子的距离为(33；（2）AB BC CD ++的最大值为152m ． 【分析】（1）根据题意知顶点坐标为(3，3)，且经过原点，利用待定系数法可求得抛物线的解析式，再求得当2y =时，x 的值，结合题意可得答案；（2）设B 点坐标为(x ，2123x x -+)，则C 点坐标为(6x -，2123x x -+)，根据题意得到AB+BC+CD 的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）根据题意知顶点坐标为(3，3)，且经过原点，设抛物线的解析式为：()233y a x =-+，把(0，0)代入得：()20330a -+=， 解得：13a =-， ∴抛物线的解析式为()221133233y x x x =--+=-+， 令2y =，则()213323x --+=，即()233x -=，解得：1233x x ==不合题意，舍去)，答：出发时小鸟与箱子的距离为(3) m ；（2）设B 点坐标为(x ，2123x x -+)，则C 点坐标为(6x -，2123x x -+)， ∵B 点、C 点都在第一象限， ∴21AB CD 23x x ==-+，BC 662x x x =--=-， ∴21AB BC CD 22623x x x ⎛⎫++=-++- ⎪⎝⎭ 22263x x =-++ 22315322x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， ∴当32x =时，AB BC CD ++的最大值为152m ． 【点睛】 本题考查了二次函数的实际应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义．24．（1）()10100020y x x =+<<；（2）每个降价5元时，获利最大，最大利润是2250元【分析】（1）由待定系数法可以得到解答；（2）由题意可以得到获利与降价之间的函数关系，根据所得函数的性质即可得到答案．【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数解析式为y kx b =+，当1x =时，110y =；当4x =时，140y =，∴110,4140,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得10,100,k b =⎧⎨=⎩∴y 与x 之间的函数解析式为()10100020y x x =+<<．（2）设该玩具每个降价x 元时，小王获利最大，最大利润是w 元．根据题意得()()2604010100101002000w x x x x =--+=-++， ∴()21052250w x =--+， 故该玩具每个降价5元时，小王获利最大，最大利润是2250元．【点睛】本题考查一次函数与二次函数的综合运用，由题意得到有关变量的函数解析式是解题关键．25．（1）18x =-，22x =；（2）1x =，2x =． 【分析】（1）运用因式分解法求解即可；（2）运用公式法求解即可．【详解】解：（1）26160x x +-= ()()820x x +-=解得18x =-，22x =．（2）22430x x --=，∵2a =，4b =-，3c =-，∴224(4)42(3)162440b ac -=--⨯⨯-=+=，4422242x ±±===⨯，∴122x +=，222x =． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，在解答中注意计算的正确性．26．（13；（2）12+；（3）4；（4）12x =，24x =-． 【分析】（1）利用用二次根式的性质化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据二次根式的乘除法则以及绝对值的性质计算，再合并同类二次根式即可； （3）根据零指数幂，负整数指数幂以及完全平方公式计算，再合并同类二次根式即可； （4）移项，利用直接开平方法即可求解．【详解】（13 3=+3 =；（2|11)=-1=12=+；（3）102(1)-++121=+-4=-（4）2(1)90x+-=，移项得：2(1)9x+=，∴13x+=或13x+=-，12x=，24x=-．【点睛】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法，二次根式的混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键．。
沪科版九年级上册数学期中考试试题及答案
沪科版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．抛物线y ＝x 2﹣2x ＋1与x 轴的交点个数为（ ）A ．无交点B ．1 个C ．2 个D ．3 个2．已知线段a ＝2，b ＝，线段b 是a 、c 的比例中项，则线段c 的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 3．已知点C 在线段AB 上，且点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则下列结论正确的是（ ）A ．AB 2＝AC •BC B ．BC 2＝AC •BC C ．AC BCD ．BC AC 4．已知两点()4,6A 、()6,2B ，以原点O 为位似中心，将OAB 缩小为原来的12，则点A 的对应点C 的坐标为（ ）A ．()2,3B ．()3,1C ．()2,1D ．()3,3 5．将抛物线223y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式为（ ）A ．2(1)4y x =-+B ．2(4)4y x =-+C ．2(2)6y x =++D ．2(4)6y x =-+ 6．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax 2+bx 与y=bx+a 的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 7．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠ACD ＝90°，AB ＝2，DC ＝3，则△ABC 与△DCA 的面积比为( )A ．2∶3B ．2∶5C ．4∶9D 8．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象大致如图所示，下列说法：①2a+b＝0；②当﹣1＜x＜3时，y＜0；③若（x1，y1）（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④9a+3b+c＝0，其中正确的是（）A．①②④B．①④C．①②③D．③④9．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD ＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（）A．83B．32C．85D．4310．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．二、填空题11．如果x ：y ＝3：2，那么x y x-的值是__． 12．已知两个相似三角形的面积比是4：25，其中较小的三角形的周长为18cm ，则大三角形的周长为__．13．如图，一次函数y 1=ax+b 与反比例函数2k y x=的图像交于A(1，4)、B(4，1)两点，若使y 1＞y 2，则x 的取值范围是___________．14．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2，延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ，延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C ⋯按这样的规律进行下去，第2020个正方形的面积为______．15．如图，在ABC 中，8AB =，10BC =，点P 是AB 边的中点，点Q 是BC 边上一动点，若BPQ 与BAC 相似，则CQ 的长为________．16．如图，在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝6，D 为AB 边上一点，且△ABC ∽△ACD ，则AD ＝__．三、解答题17．对于抛物线243y x x =-+．（1）求抛物线与坐标轴的交点坐标．（2）求抛物线的顶点坐标．18．已知0345x y z ==≠，求x y z x y z -+++的值．19．已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （0，3）、B （3，4）、C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是 ； （2）以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1，点C 2的坐标是 ；（3）△A 2B 2C 2的面积是 平方单位．20．（2016内蒙古呼伦贝尔市，第25题，10分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y （微克/毫升）与服药时间x 小时之间函数关系如图所示（当4≤x ≤10时，y 与x 成反比例）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系式． （2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？21．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线于点F ．（1）求证：P A ＝PC（2）求证：PC 2＝PE •PF22．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B ，(1)求证：△ADF ∽△DEC(2)若AB ＝4,AD ＝＝3,求AF 的长.23．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500y x =-+．（1）设李明每月获得利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）24．如图①，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，且AD⊥BD，过C点作CF∥AD 交BD于F点，E为AC的中点，连接ED，EF．（1）求证：DE＝EF；（2）如图②，若BA＝BC，连接BE交CF于M点．①求证：△EFM∽△CBM；②求证：△DEF∽△ABC．25．已知：如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，点E在AB上，AE=4，BC=8，求DE的长．参考答案1．B【分析】通过解方程x2-2x+1=0得到抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），从而可判断抛物线y=x2-2x+1与x轴交点个数．【详解】解：当y=0时，x2-2x+1=0，解得x1=x2=1，所以抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），所以抛物线y=x2-2x+1与x轴只有一个交点．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解．关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．2．C【分析】根据线段b是a、c的比例中项，得b2＝ac，即可求出线段c的值．【详解】∵线段b是a、c的比例中项，∴b2＝ac，∵a＝2，b＝∴(22c=，∴c＝6．故选：C．【点睛】本题考查比例中项的定义，解题的关键是掌握比例中项的性质．3．D【分析】根据黄金分割的定义得出BC AC AC AB ==，从而判断各选项．【详解】∵点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，∴12BC AC AC AB ==，即AC 2=BC•AB ，故A 、B 错误；∴AB ，故C 错误；AC ，故D 正确；故选D ．【点睛】本题考查了黄金分割，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．4．A【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】以原点O 为位似中心，将OAB 缩小为原来的12，∵点A 的坐标为()4,6∴点A 的对应点C 的坐标为114,622⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭，即()2,3故选：A ．【点睛】本题考查了位似变换的知识；解题的关键是熟练掌握位似变换的性质，从而完成求解．5．B【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】将223y x x =-+化为顶点式，得2(1)2y x =-+．将抛物线223y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为2(4)4y x =-+，故选B ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．6．C【详解】试题解析：A 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，对称轴x=﹣2b a＜0，应在y 轴的左侧，故不合题意，图形错误． B 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＜0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象开口向下，对称轴x=﹣2b a位于y 轴的右侧，故符合题意， D 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象开口向下，a ＜0，故不合题意，图形错误．故选C ．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．7．C【详解】试题分析： ∵AD ∥BC∴∠ACB=∠DAC又∵∠B=∠ACD=90°∴△ABC ∽△DCA∴S △ABC ：S △DCA =AB 2：CD 2=22：32=4：9故选C考点：相似三角形的判定与性质8．A【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由图示知，对称轴是直线x＝3122ba-=-，则2a+b＝0，故说法正确；②由图示知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，故说法正确；③若（x1，y1）（x2，y2）在函数图象上，当1＜x1＜x2时，y1<y2，故说法错误；④由图示知，当x＝3时，y＝0，即9a+3b+c＝0，故说法正确．综上所述，正确的说法是①②④．故选：A．【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．9．C【分析】,如图，过点D作DF//AC交BE于点F，则△BCE~△BDF, △GDF~△GAE.再根据相似三角形的性质分别得到EC=52DF,AE=4DF.所以AE:EC=85.【详解】解：如图，过点D作DF//AC交BE于点F，则△BCE~△BDF, △GDF~△GAE.∴DFEC=BDBC,DF DGAE AG=,∵AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3,∴EC=52DF ,AE=4DF . ∴AE :EC =4DF :52DF =4：52=85. 故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，根据题意正确作出辅助线是解题的关键. 10．C【详解】试题分析：由题意可得BQ=x ．①0≤x≤1时，P 点在BC 边上，BP=3x ，则△BPQ 的面积=12BP•BQ ，解y=12•3x•x=232x ；故A 选项错误；②1＜x≤2时，P 点在CD 边上，则△BPQ 的面积=12BQ•BC ，解y=12•x•3=32x ；故B 选项错误；③2＜x≤3时，P 点在AD 边上，AP=9﹣3x ，则△BPQ 的面积=12AP•BQ ，解y=12•（9﹣3x ）•x=29322x x -；故D 选项错误． 故选C ．考点：动点问题的函数图象．11．13． 【分析】 根据已知条件得出23y x =，再把x y x -化成1y x -，然后代值计算即可得出答案． 【详解】∵:3:2x y =， ∴23y x =， ∴211133x y y x x -=-=-=． 故答案为：13．此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．12．45cm ．【分析】根据面积之比得出相似比，然后利用周长之比等于相似比即可得出答案．【详解】解：∵两个相似三角形面积比为4：25，∴两个相似三角形相似比为2：5，∴两个相似三角形周长比为2：5，∵小三角形的周长为18cm ， ∴1825=大三角形的周长， ∴小三角形的周长为：45cm ，故答案为：45cm ．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．13．x ＜0或1＜x ＜4【分析】根据图形，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的x 的取值范围即可．【详解】解：根据图形，当x ＜0或1＜x ＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y 1＞y 2． 故答案为：x ＜0或1＜x ＜4．【点睛】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，要注意y 轴左边的部分，一次函数图象在第二象限，反比例函数图象在第三象限，这也是本题容易忽视而导致出错的地方．14．403835()2⋅【分析】根据相似三角形对应边成比例得到的正方形的边长，进而表示正方形的面积，然后观察得到的正方形的面积即可得到规律，从而得到结论．解：正方形ABCD 的点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2，1OA ∴=，2OD =，AD =12OA OD =， 延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ，∵190DAO BAA ，90DAO ADO ∠+∠=︒，∴1BAA ADO ∠=∠，∵190AOD ABA ∠=∠=︒，1AA B ∴∽DAO ，112A B AB ∴=，AD AB ==1A B ∴=∴第1个正方形的面积为：215S ==；∴第2个正方形的面积为：2222135()2S AC ===⋅；同理可得，22212A C = 第3个正方形的面积为：4335()2S =⋅ ……∴第n 个正方形的面积为：2235()2n n S -=•∴第2020个正方形的面积为：4038202035()2S =⋅． 故答案为：403835()2⋅． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、规律型点的坐标，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例得到的正方形面积寻找规律．15．5或345【分析】根据题意分两类进行讨论：BPQ BCA △∽△或BPQ BAC ∽，分别求得结果即可．【详解】∵8AB =，10BC =，点P 是AB 边的中点∴4BP =当BPQ BCA △∽△时 ∴BP BQBC BA = 即4108BQ= 解得：165BQ = ∴345CQ =当BPQ BAC ∽时 ∴BP BQBA BC = 即4810BQ=解得：5BQ =∴5CQ =∴5CQ =或345故答案为：5或345．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，正确进行分类讨论是解题的关键．16．4．【分析】根据相似三角形性的性质得到对应边成比例，列式求出AD 的长．【详解】∵△ABC ∽△ACD ，∴ABACAC AD =，∵AB ＝9，AC ＝6，∴966AD =，解得：AD ＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．17．（1）该抛物线与x 轴交点的坐标为()1,0， ()3,0，与y 轴交点的坐标为()0,3；（2）抛物线的顶点坐标是()2,1-．【分析】（1）运用二次函数与x 轴相交时，0y =，与y 轴相交时， 0x =，计算即可； （2）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式，然后得到顶点坐标即可．【详解】（1）令y ＝0，则2430x x -+=，解得x 1＝1，x 2＝3，所以该抛物线与x 轴交点的坐标为：()1,0，()3,0，令x ＝0，则y ＝3，所以该抛物线与y 轴交点的坐标为()0,3．（2）由抛物线()224321y x x x =-+=--知，该抛物线的顶点坐标是()2,1-． 【点睛】此题主要考查了二次函数与坐标轴的交点求法，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需要熟悉抛物线解析式的三种不同形式间的转化．18．13． 【分析】 可以设345x y z k ===，则3x k =，4y k =，5z k =，把这三个式子代入所要求的式子，进行化简，即可求出式子的值．【详解】 设345x y z k ===， 则3x k =，4y k =，5z k =，代入可得，34541345123x y z k k k k x y z k k k k -+-+===++++． 【点睛】利用这个题目中的设法，把三个未知数的问题转化为一个未知数的问题，是解题的关键． 19．（1）（2，﹣2）；（2）（1，0）；（3）10．【详解】试题分析：（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A 2B 2C 2的面积．试题解析：（1）如图所示：C 1（2，﹣2）；故答案为（2，﹣2）；（2）如图所示：C 2（1，0）；故答案为（1，0）；（3）∵=20，=20，=40，∴△A 2B 2C 2是等腰直角三角形，∴△A 2B 2C 2的面积是：××=10平方单位．故答案为10．考点：1、平移变换；2、位似变换；3、勾股定理的逆定理20．（1）上升阶段的函数关系式为y=2x（0≤x≤4），下降阶段的函数关系式为32yx（4≤x≤10）；（2）6．【详解】试题分析：（1）本题注意分段函数的解析似的求法，写出自变量的取值范围即可. （2）根据题意得出y=2在两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围.试题解析：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx，将（4，8）代入得：8=4k，解得：k=2，故直线解析式为：y=2x，当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y=ax，将（4，8）代入得：8=4a，解得：a=32，故反比例函数解析式为：y=32x；因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=2x（0≤x≤4），下降阶段的函数关系式为y=32x（4≤x≤10）．（2）当y=2，则2=2x，解得：x=1，当y=2，则2=32x，解得：x=16，∵16﹣1=15（小时），∴血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间15小时．21．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据菱形的对角线平分一组对角可得∠CDB＝∠ADB，然后利用“边角边”证明△APD 和△CPD全等，然后根据全等三角形对应角相等证明即可（2）利用两组角对应相等则两三角形相似，证明△APE与△FP A相似；根据相似三角形的对应边成比例及全等三角形的对应边相等即可得到结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴DA ＝DC ，∠CDB ＝∠ADB ，在△ADP 和△CDP 中，AD CD BDC CBD DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP ≌△CDP （SAS ），∴P A ＝PC ；（2）∵△ADP ≌△CDP ，∴∠P AD ＝∠PCD ，∵四边形ABCD 为菱形，∴DC ∥AB ，∴∠PCD ＝∠PF A ，∴∠P AE ＝∠PF A ，而∠APE ＝∠FP A ，∴△P AE ∽△PF A ，∴P A ：PF ＝PE ：P A ，∴P A 2＝PE •PF ，∵P A ＝PC ，∴PC 2＝PE •PF ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性质等知识点，本题中依据三角形的全等或相似得出线段的相等或比例关系是解题的关键．22．（1）见解析（2）【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC AB ∥CD∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180︒,∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF ∽△DEC(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC CD=AB=4又∵AE ⊥BC ∴ AE ⊥AD在Rt △ADE 中，6==∵△ADF ∽△DEC∴AD AF DE CD =4AF=∴AF=23．（1）35元（2）销售单价应定为30元或40元（3）3600元【详解】解：（1）由题意，得：w = (x －20)·y=(x －20)·(10500x -+)21070010000x x =-+-352bx a =-=.答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得：210700100002000x x -+-=解这个方程得：x 1 = 30，x 2 = 40．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.（3）∵，∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000．设成本为P（元），由题意，得：20(10500)P x=-+20010000x=-+∵200k=-<0，∴P随x的增大而减小.∴当x = 32时，P最小＝3600.答：想每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少3600元．24．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析．【分析】（1）延长DE交CF于点G，根据直角三角形的性质解答即可；（2）①根据题意可先证明△EMC∽△FMB，利用其结论DE AEEG CE=结合∠EMF＝∠BMC，即可证得结论；②由①可得结论∠EFC＝∠EBC，且由题意可推出∠EFD＝∠EDF，∠ECB＝∠EAB，从而证明结论即可．【详解】（1）延长DE交CF于G点，如图①：∵AD∥CF，且点E为AC中点，∴DE AE EG CE=，∴DE＝EG，∵AD⊥BD，∴CF⊥BD，∴∠CFD＝90°，∴EF＝12DG=DE；（2）①如图②，∵AB＝BC，E为AC中点，∴∠BEC＝90°，∴∠CEM＝∠BFM，∵∠EMC＝∠FMB，∴△EMC∽△FMB，∴EM CM FM BM，∵∠EMF＝∠BMC，∴△EFM∽△CBM，②∵△EFM∽△CBM，∴∠EFC＝∠EBC，∵∠ECB+∠EBC＝∠EFC+∠DFE＝90°，∴∠EFD＝∠ECB，由（1）可知ED＝EF，∴∠EFD＝∠EDF，∵BA＝BC，∴∠ECB＝∠EAB，∴△DEF∽△ABC．【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定并性质以及直角三角形的性质是解题关键．25．DE长为4【分析】根据平行线的性质和角平分线定义求出∠EDB=∠EBD，推出DE=BE，设DE=BE=x，证明△AED∽△ABC，得出比例式，代入求出即可．【详解】∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠CBD=∠ABD，∴∠EDB=∠EBD，∴DE=BE，设DE=BE=x，∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴DE AE BC AB=，∴484xx=+，解得：4x=（负值舍去），∴DE=4．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解此题的关键是求出DE=BE和证出△AED∽△ABC．。
沪科版2022～2023学年数学九年级上册期中质量检测试卷【含答案】
沪科版2022～2023学年数学九年级上册期中质量检测试卷（ 分值：150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1、将抛物线y =x 2﹣2x +3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）A 、y =（x ﹣4）2+4B 、y =（x ﹣1）2+4C 、y =（x +2）2+6D 、y =（x ﹣4）2+62、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）3、以正方形ABCD 两条对角线的交点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐A ．10B ．11C ．12D ．134、如图，直线// // ，两条直线AC 和DF 与 ，， 分别相交于点A 、B 、C 和1l 2l 3l 1l 2l 3l 点D 、E 、F ．则下列比例式不正确的是（ ）．第3题图 第4题图5、若方程的两个根是－3和1，那么二次函数的图象的02=++c bx ax c bx ax y ++=2对称轴是直线（ ）A 、＝－3B 、＝－2C 、＝－1D 、＝1x x x x 6、如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，动点P 从B 点出发以3cm /s 的速度沿着边BC ﹣CD ﹣DA 运动，到达A 点停止运动；另一动点Q 同时从B 点出发，以1cm /s 的速度沿着边BA 向A 点运动，到达A 点停止运动．设P 点运动时间为x （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），则y 关于x 的函数图象是（ ）C ． ．A B C D7、若则下列式子正确的是( )．ab cd =A ． B ． C ． D ．::a c b d =::a d c b =::a b c d =::d c b a=8．若，则下列各式不成立的是（ ）．:2:3x y =A ． B ． C ． D ．53x y y +=13y x y -=123x y =1314x y +=+9、抛物线y ＝－3x 2+2x －l 的图象与坐标轴的交点个数是 ( )A ．无交点B ．1个C ．2个D ．3个10、已知甲、乙两地相距s（km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h ）与行驶速度v （km/h ）的函数关系图象大致是（ ）A .B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11、若点 A ( 2, ) 在函数的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿m 12-=x y 12、如图，△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若S △ADE=4，S △BDE=3，那么DE ：BC=_____________．13、如图，∠ACD ＝∠B ，AC ＝6，AD ＝4，则AB ＝________.14、抛物线y=ax2+bx+c （a≠0)的图象大致如图所示，下列说法：①2a+b=0; ②当-1≤x≤3时，y<0; ③若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当x1<x2 时，y1<y2; ④9a+3b+c=0。
沪科版九年级上册数学期中考试试题附答案
沪科版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案） 1．下列函数中，不属于二次函数的是A ．()()212+--=x x yB ．22)2(--=x x yC ．y=1－322x D ．y=13)1(22-+x 2．抛物线()21y x =-与y 轴的交点坐标是（ ） A ．(0，1)；B ．(1，0)；C ．(0，-1)；D ．（0，0）．3．下列函数中，在x ＞0时，y 随x 增大而减小的是 A ．y=2x ﹣1B ．y=﹣x 2+7x+C ．y=﹣D ．y=4．对于二次函数y =(x -1)2+2的图象，下列说法正确的是（ ） A ．开口向下B ．对称轴是x =-1C ．顶点坐标是(1，2)D ．与x 轴有两个交点5．如图，已知P 是△ABC 边AB 上的一点，连接CP ，以下条件中条件中不能判定△ACP ∽△ABC 的是( ).A ．∠ACP=∠B B ．∠APC=∠ACBC ．2AC AP AB =⋅D ．AC ABCP BC= 6．已知点A （1，n ）在抛物线223y x x =+-上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为A ． ()0,3-B ． ()2,3--C ． ()3,0-D ．()1,07．如图，在ABC 中，AB AC =，36A ∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，若2AC =，则AD 的长是（ ）A ．512- B ．512+ C ．51- D ．51+8．已知二次函数2()y a x m n =-+的图象经过(0,5)、(10,8)两点．若0a <，010m <<， 则m 的值可能是．A ．2B ．8C ．3D ．521cnjy.c9．如图，过点O 作直线与双曲线y=（k≠0）交于A 、B 两点，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，作BD ⊥y 轴于点D ．在x 轴上分别取点E 、F ，使点A 、E 、F 在同一条直线上，且AE=AF ．设图中矩形ODBC 的面积为S 1，△EOF 的面积为S 2，则S 1、S 2的数量关系是（ ）A ．S 1=S 2B ．2S 1=S 2C ．3S 1=S 2D ．4S 1=S 210．如图，△ABC 中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG 的顶点E ，F 在△ABC 内，顶点D ，G 分别在AB ，AC 上，AD=AG ，DG=6，则点F 到BC 的距离为．A ．1B ．2C ．1226D ．626二、填空题 11．若12a b =，则a b b+= ． 12．如图，点A 是反比例函数图象上的一点，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，点P 在x 轴上，若ABP 的面积为2，则该反比例函数的解析式为______．13．已知二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与x 的部分对应值如下：则当5y <时，x 的取值范围是_______． 14．数学老师在小黑板上出道题目:已知二次函数，试添加一个条件，使它与x 轴交点的横坐标之积为2.学生回答：①二次函数与x 轴交点是（1,0）和（2,0）；②二次函数与x 轴交点是（-1,0）和（-2,0）；③二次函数与y 轴交点是（0,2）；④二次函数与y 轴交点是（0,3）． 则你认为学生回答正确的是________（填序号）．15．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，连接BD ，已知∠ABD=∠C ，AB=6，AD=4，求线段CD 的长．三、解答题16．将抛物线y=x 2平移，使其在x=t 时取最值t 2，并且经过点（1，1），求平移后抛物线对应的函数表达式。
沪科版九年级上册数学期中考试试卷及答案详解
沪科版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．抛物线2y 2(x 1)3=+-的顶点坐标是（ ）A ．(13)，-B ．(13)，C ．(13)--，D ．(13)-， 2．在平面直角坐标系中，抛物线(5)(3)y x x =+-经过变换后得到抛物线(3)(5)y x x =+-，则这个变换可以是（ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移8个单位D ．向右平移8个单位3．已知点A （1，-3）关于x 轴的对称点A'在反比例函数k y=x 的图像上，则实数k 的值为（ ）A ．3B ．13C ．-3D ．1-3 4．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h ＝－t 2＋24t ＋1.则下列说法中正确的是( )A ．点火后9 s 和点火后13 s 的升空高度相同B ．点火后24 s 火箭落于地面C ．点火后10 s 的升空高度为139 mD ．火箭升空的最大高度为145 m5．已知()2y x t 2x 2=+--，当x 1>时y 随x 的增大而增大，则t 的取值范围是() A ．t 0> B ．t 0= C ．t 0< D ．t 0≥ 6．如图，已知D 、E 分别为AB 、AC 上的两点，且DE ∥BC ，AE ＝3CE ，AB ＝8，则AD 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB a =，宽BC b.=将纸片对折，折痕为EF ，所得矩形AFED 与矩形ABCD 相似，则a ：b (= )A ．2：1B 1C ．3D ．3：28．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）A ．B ．C ．米D ．7米9．已知一次函数y ax b =+与反比例函数c y x=的图象在第二象限有两个交点，且其中一个交点的横坐标为1-，则二次函数2y ax bx c =+-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 10．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）A ．点PB ．点OC ．点MD ．点N二、填空题11．若35a b b -= ，则a b=_________． 12．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx+c=0的两个根的和为_____．13．如图所示，点C 在反比例函数k y (x 0)x=>的图象上，过点C 的直线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且AB BC =，已知AOB 的面积为1，则k 的值为______．14．已知抛物线21y ax bx a=+-与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）此抛物线的对称轴是直线______；（2）已知点11P ,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，()Q 2,2，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，则a 的取值范围是______．15．如图，////AB GH CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，2AB =，3CD =，则GH 的长为 ．三、解答题16．九()1班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x 天(1x 80≤≤且x 为正整数)天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y 元．（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800．17．已知二次函数2y x bx c =++的图像经过点(4,3)和点(2,1)-，求该函数的表达式，并求出当03x 时，y 的最值.18．已知::2:3:4a b c =，且3215a b c +-=，求43a b c -+的值．19．如图，二次函数2y (x 2)m =++的图象与y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且点B 与点C 关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y kx b =+的图象经过该二次函数图象上点()A 1,0-及点B ．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足2kx b (x 2)m +≥++的x 的取值范围．20．如图是反比例函数k y x=的图象，当4x 1-≤≤-时，4y 1-≤≤-．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若M 、N 分别在反比例函数图象的两个分支上，请直接写出线段MN 长度的最小值．21．如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ，1S 表示AE 为边长的正方形面积，2S 表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，3S 表示正方形ABCD 除去1S 和2S 剩余的面积，求3S ：2S 的值．22．如图，函数的图象11y k x b =+与函数()220k y x x=>的图象交于点A （2，1）、B,与y 轴交于C （0，3）(1)求函数y 1的表达式和点B 的坐标；(2)观察图象，比较当x ＞0时y 1与y 2的大小．23．如图，开口向下的抛物线与x 轴交于点()1,0A -、(2,0)B ，与y 轴交于点(0,4)C ，点P是第一象限内抛物线上的一点．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．24．如图，两个反比例函数y＝kx和y＝2x在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P（1，4）在C1上，P A⊥x轴于点A，交C2于点B（1，m），求k，m的值及△POB的面积．参考答案与详解1．C【详解】解：直接根据顶点式得到抛物线2y 2(x 1)3=+-的顶点坐标是(13)--， 故选：C2．B【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）．所以将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+3）（x-5）， 故选B ．【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．3．A【分析】先求出A'坐标，代入函数解析式即可求出k.【详解】解：点A （1，-3）关于x 轴的对称点A'的坐标为：（1，3），将（1，3）代入反比例函数k y=x， 可得：k=1×3=3， 故选A.【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，根据对称的性质求出A'的坐标是解题关键. 4．D【详解】分析：分别求出t=9、13、24、10时h 的值可判断A 、B 、C 三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D 选项．详解：A 、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s 和点火后13s 的升空高度不相同，此选项错误；B 、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s 火箭离地面的高度为1m ，此选项错误；C 、当t=10时h=141m ，此选项错误；D、由h=-t2+24t+1=-（t-12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；故选D．点睛：本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．5．D【分析】可先求得抛物线的对称轴，再利用增减性可得到关于t的不等式，可求得答案．【详解】解：∵y＝x2＋（t−2）x−2，∴抛物线对称轴为x＝−22t-，开口向上，∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，∵当x＞1时y随x的增大而增大，∴−22t-≤1，解得t≥0，故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的增减性得到关于t的不等式是解题的关键．6．D【分析】先根据DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，再由相似三角形对应边成比例可得出AD的长．【详解】∵AE=3CE∴AC=4CE∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC∴AD AE AB AC=∴3 84 AD CECE=∴AD=6 故选：D．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键，本题也可根据平行线分线段成比例定理求解．7．B【分析】根据折叠性质得到AF＝12AB＝12a，再根据相似多边形的性质得到AB ADAD AF＝，即12a bb a＝，然后利用比例的性质计算即可．【详解】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，∴AF＝12AB＝12a，∵矩形AFED与矩形ABCD相似，∴AB ADAD AF＝，即12a bb a＝，∴a∶b.所以答案选B.【点睛】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．8．B【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=32，设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+32，∵BC=10，∴点B（﹣5，0），∴0=a×（﹣5）2+32，∴a=-3 50，∴大孔所在抛物线解析式为y=-350x2+32，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2，∵EF=14，∴点E的横坐标为-7，∴点E坐标为（-7，-3625），∴-3625=m（x﹣b）2，∴x1，x2，∴MN=4，∴（）|=4∴m=-925，∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-925（x﹣b）2，∵大孔水面宽度为20米，∴当x=-10时，y=-92， ∴-92=-925（x ﹣b ）2，∴x 1，x 2，∴单个小孔的水面宽度=|）-（）， 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．9．A【分析】根据一次函数与反比例函数的位置关系即可得到a ，b ，c 和0的大小关系，从而判断二次函数2y ax bx c =+-的图像走向即可.【详解】一次函数和反比例函数的两个交点在第二象限0a ∴>，0b >，0c <∴二次函数2y ax bx c =+-的图像开口向上，与y 轴交于正半轴，02b a-<，对称轴在y 轴左侧其中一个交点的横坐标为1- a b c ∴-+=-，即0a b c --=∴二次函数2y ax bx c =+-的图像与x 轴有一个交点为()1,0-，故选：A.【点睛】本题主要考查了通过一次函数和反比例函数的关系判断a 、b 、c 和0的大小关系；得到三者的相关特性是判断二次函数图像走势的关键.错因分析中等难度题.失分原因是：1.不会通过题干给出的一次函数和反比例函数的两个交点在第二象限得出a、b、c和0的大小关系；2.不会运用题干给出的其中一个交点的横坐标为得出a、b、c三者之间的关系.10．A【分析】连接其中的两对对应点，它们所在直线的交点即为位似中心．【详解】解：如图所示，连接两对对应点之后，它们的连线都经过点P，因此位似中心是点P；故选：A．【点睛】本题考查了位似图形、位似中心的概念，要求学生理解相关概念并能通过连线正确判断出位似中心，本题较基础，考查了学生对基础概念的理解与掌握．11．8 5【分析】直接利用已知进而变形得出a，b的关系．【详解】解：∵35 a bb-=∴3b=5a-5b，则5a=8b，∴85 ab=故答案为：85【点睛】 此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．12．2【详解】解：根据函数的图像可知其对称轴为x=-2b a =1，解得b=-2a ，然后可知两根之和为x 1+x 2=-b a =2.故答案为：2【点睛】此题主要考查了二次函数的图像与一元二次方程的关系，解题关键是由函数的图像求得对称轴x=-2b a ，然后根据一元二次方程的根与系数的关系x 1+x 2=-b a求解即可. 13．13．4【分析】根据题意可以设出点A 的坐标，从而以得到点C 和点B 的坐标，再根据AOB 的面积为1，即可求得k 的值．【详解】解：设点A 的坐标为()a,0-，过点C 的直线与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，且AB BC =，AOB 的面积为1，∴点k C a,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴点B 的坐标为k 0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1k a 122a∴⋅⋅=， 解得，k 4=，故答案为4．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．14．x 1= 1a 2≤-【分析】（1）直接根据抛物线的对称性即可求解；（2）根据二次函数的图象和性质即可求解．【详解】解：(1)∵抛物线过点A （0，1a -）和点B （2，1a -），由对称性可得，抛物线对称轴为 直线02x 12+==，故对称轴为直线x=1； 故答案为：x=1；(2)①当a>0时，则10a-<，分析图象可得:根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；也不可能同时经过点B 和点Q ，所以，此时线段PQ 与抛物线没有交点； ②当a<0时，则10a->，分析图象可得:根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；但当点Q 在点B 上方或与点B 重合时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，此时12a-≤即1a 2≤-． 综上所述，当1a 2≤-时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点． 故答案为：1a 2≤-． 【点睛】 此题主要考查抛物线的对称性、二次函数的图象和性质，正确理解性质是解题关键． 15．65【分析】 根据平行线分线段成比例定理，由AB ∥GH ，得出GH CH AB BC =，由GH ∥CD ，得出3GH BH BC=，将两个式子相加，即可求出GH 的长． 【详解】解：//AB GH ，GH CH AB BC ∴=， 即2GH CH BC=①， //GH CD ，GH BH CD BC ∴=， 即3GH BH BC=②， ①+②， 得23GH GH CH BH BC BC +=+， CH BH BC +=，123GH GH ∴+=， 解得65GH =． 故答案为：65 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．本题难度适中． 16．（1）()()y 2100x x 10=-+或()y 120100x =-；（2）第41天，利润最大，最大利润为7080元；（3）共有41天．【分析】（1）根据总利润等于单价减去成本再乘以件数即可；（2）按1≤x≤40和41≤x≤80时函数表达式求最大值即可；（3）按1≤x≤40和41≤x≤80时函数表达式y≥4800即可求解．【详解】解：（1）由题意得：()()y 2002x x 4030=-+-或()()y 2002x 9030=--， 即为()()y 2100x x 10=-+或()y 120100x =-；（2）当1x 40≤≤时，()()y 2x 10x 100=-+-，则函数对称轴为45x =， 故x 40=时，函数取得最大值为6000，当41x 80≤≤时，y 12000120x =-，函数在x 41=时，取得最大值为：7080， 故：第41天，利润最大，最大利润为7080元；（3）当1x 40≤≤时，()()y 2x 10x 1004800=-+-≥，解得：20x 70≤≤，20x 40≤≤，为21天，则函数对称轴为45x =，故x 40=时，函数取得最大值为4000，当41x 80≤≤时，y 12000120x 4800=-≥，x 60≤，即：41x 60≤≤，为20天， 故：共有41天．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)，也就是说二次函数的最值不一定在b x 2a=-时取得． 17．当x=0时，y 有最大值是3【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据二次函数的性质求出最大值即可．【详解】解：∵二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点（4，3），（3，0），∴1643930b c b c ++=⎧⎨++=⎩， 解得，43b c =-⎧⎨=⎩， ∴函数解析式为：y=x 2-4x+3，y=x 2-4x+3=（x-2）2-1，∴当x=0时，y 有最大值是3．【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的最值，掌握待定系数法求解析式的一般步骤是解题的关键．18．15．【分析】先根据比例式设2,3,4(0)a k b k c k k ===≠，再根据3215a b c +-=求出k 的值，从而可得,,a b c 的值，然后代入求值即可得．【详解】由题意设2,3,4(0)a k b k c k k ===≠，3215a b c +-=，29815k k k ∴+-=，解得5k =，10,15,20a b c ∴===，4341031520a b c ∴-+=⨯-⨯+，404520=-+，15=．【点睛】本题考查了比例的性质的应用、解一元一次方程、代数式求值，熟练掌握“设k 法”是解题关键．19．（1）抛物线解析式为2y (x 2)1=+-；（2）满足2kx b (x 2)m +≥++的x 的取值范围为4x 1-≤≤-．【分析】() 1先利用待定系数法求出m ，即可求得抛物线的解析式；()2先求得C 的坐标，然后根据对称性求出点B 坐标，即可根据二次函数的图象在一次函数的图象下面即可写出自变量x 的取值范围．【详解】解：()1抛物线2y (x 2)m =++经过点()A 1,0-，01m ∴=+，m 1∴=-，∴抛物线解析式为2y (x 2)1=+-；()2令x 0=，则2y (x 2)13=+-=，∴点C 坐标()0,3，对称轴为直线x 2=-，B 、C 关于对称轴对称，∴点B 坐标()4,3-，由图象可知，满足2kx b (x 2)m +≥++的x 的取值范围为4x 1-≤≤-．【点睛】本题考查二次函数与不等式、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定二次函数解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围．20．（1）反比例函数的解析式为4y x=；（2）线段MN 的最小值为 【分析】（1）用待定系数法求反比例函数的解析式；（2）经观察后可发现当MN 为直线y x =与双曲线的两个交点时，线段MN 最短；联立两方程可求得两交点的坐标()M 2,2，()N 2,2--，然后根据两点之间的距离公式求得线段MN 的最小值．【详解】解：()1在反比例函数的图象中，当4x 1-≤≤-时，4y 1-≤≤-， ∴反比例函数经过坐标()4,1--，k 41∴-=-， k 4∴=，∴反比例函数的解析式为4y x=； ()2当M ，N 为一，三象限角平分线与反比例函数图象的交点时，线段MN 最短． 将y x =代入4y x=， 解得x 2y 2=⎧⎨=⎩或x 2y 2=-⎧⎨=-⎩， 即()M 2,2，()N 2,2--．OM ∴=则MN =．∴线段MN 的最小值为【点睛】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，在第()2问中关键是要正确判断MN 何时出现最小值．21． 【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （BC ＞AC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中12AC AB =，由定义可得：2AE AB BE =，设1,1,AB BE AB AE AE ==-=- 求解,AE BE ，从而可得答案．【详解】解：如图，设1AB =，点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ，2AE AB BE ∴=，2AE AB AE ∴=-，210,AE AE ∴+-=AE ∵＞0，12AE GF ∴==， 正方形ABCD ,正方形AEFG ，,,AB AD AE AG ∴==,DG BE ∴=32BE DG AB AE ∴==-=， 3S ∴：()2S GF DG =⋅：()BC BE ⋅=⎝⎭：1⎛ ⎝⎭12=． 【点睛】本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，一元二次方程的解法，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．22．(1)13,(1,2)y x B =-+；（2）当0＜x ＜1或x ＞2时，y 1＜y 2;当1＜x ＜2时，y 1＞y 2;当x=1或x=2时，y 1=y 2【分析】（1）先用待定系数法求一次函数的解析式，再通过解方程组，求B 的坐标；（2）根据函数图象分析函数值的大小．【详解】解：（1）由题意，得1213k b b +=⎧⎨=⎩解得113k b =-⎧⎨=⎩∴13y x =-+又A 点在函数()220k y x x =>上，所以212k =，解得22k = 所以222k y =解方程组32y xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩得1112x y =⎧⎨=⎩2221x y =⎧⎨=⎩所以点B 的坐标为（1, 2）．（2）当0＜x ＜1或x ＞2时，y 1＜y 2;当1＜x ＜2时，y 1＞y 2;当x=1或x=2时，y 1=y 2．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，利用数形结合思想解题是关键．23．（1）2224y x x =-++；（2）8【分析】（1）设二次函数表达式为()()12y a x x =+-，再将点C 代入，求出a 值即可；（2）连接OP ，设点P 坐标为（m ，2224m m -++），m ＞0，利用S 四边形CABP =S △OAC +S △OCP +S △OPB 得出S 关于m 的表达式，再求最值即可.【详解】解：（1）∵A （-1，0），B （2，0），C （0，4），设抛物线表达式为：()()12y a x x =+-，将C 代入得：，解得：a=-2，∴该抛物线的解析式为：()()2212224y x x x x =-+-=-++；（2）连接OP ，设点P 坐标为（m ，2224m m -++），m ＞0，∵A （-1，0），B （2，0），C （0，4），可得：OA=1，OC=4，OB=2，∴S=S 四边形CABP =S △OAC +S △OCP +S △OPB =()21111442224222m m m ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-++=2246m m -++当m=1时，S 最大，且为8.【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是能将四边形CABP 的面积表示出来.24．k=4，m=2，POB S1=． 【详解】试题分析：将点P 的坐标代入C 1的解析式即可求出k 的值；将点B 的横坐标代入C 2的解析式即可求出m 的值；S △POB =S △POA －S △BOA ，由反比例函数k 的几何意义可以分别求出S △POA 、S △BOA 的值.试题解析：∵P （1，4），∴k =4；∵B （1，m ），C 2解析式为：y =2x，∴m =2； S △POB =S △POA －S △BOA =2－1=1.点睛：掌握反比例函数k 的几何意义.。
沪科版数学九年级上册期中考试卷含答案解析
沪科版数学九年级上册期中考试试题一．选择题（本大题共10小题，每题3分，满分30分）1．下列函数属于二次函数的是（）A．y=2x﹣1 B．y=C．y=x2+2x﹣3 D．y=2．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）3．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y24．将抛物线y=x2﹣2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y=x2﹣2x﹣1 B．y=x2+2x﹣1 C．y=x2﹣2 D．y=x2+25．已知抛物线y=x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2016的值为（）A．2015 B．2016 C．2017 D．20106．函数y=ax﹣a与y=（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．7．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．8．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE ：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：259．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=（）A．B．C．D．1210．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论是（）A．①②③ B．①③④ C．③④⑤ D．②③⑤二．填空题（本大题共6小题，每题4分，满分24分）11．若线段MN的长为1，P是MN的黄金分割点，则MP的长为．12．若4a﹣3b=0，则=．13．如果两个相似三角形周长的比是2：3，那么它们的相似比是．14．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为米．15．若抛物线y=x 2﹣kx +k ﹣1的顶点在x 轴上，则k= ．16．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC ．点D 是AB 的中点，连接CD ，过点B 作BG 丄CD ，分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连接DF ．给出以下四个结论：①；②点F 是GE 的中点；③AF=AB ；④S △ABC =5S △BDF ，其中正确的结论序号是 ．三、解答题（本大题共6题，满分66分）17．已知：如图△ABC 三个顶点的坐标分别为A （0，﹣3）、B （3，﹣2）、C （2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC 向上平移6个单位得到的△A 1B 1C 1；（2）以点C 为位似中心，在网格中画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且△A 2B 2C 2与△ABC 的位似比为2：1，并直接写出点A 2的坐标．18．已知二次函数y=﹣x 2+2x +3（1）在如图所示的坐标系中，画出该函数的图象（2）根据图象回答，x 取何值时，y ＞0？（3）根据图象回答，x 取何值时，y 随x 的增大而增大？x 取何值时，y 随x 的增大而减小？19．如图所示，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（﹣2，n），B（1，﹣3）两点．（1）试确定上述一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积．20．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量w （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：w=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为y （元）．（1）求y与x之间的函数关系式，自变量x的取值范围；（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？21．在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为底边BC的中点，以D为顶点的角∠PDQ=∠B．（1）如图1，若射线DQ经过点A，DP交AC边于点E，直接写出与△CDE相似的三角形；（2）如图2，若射线DQ交AB于点F，DP交AC边于点E，设AF=x，AE为y，试写出y 与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（3）在（2）的条件下，连接EF，则△DEF与△CDE相似吗？试说明理由．22．为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量x的取值范围）．（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每题3分，满分30分）1．下列函数属于二次函数的是（）A．y=2x﹣1 B．y=C．y=x2+2x﹣3 D．y=【考点】二次函数的定义．【分析】依据二次函数的定义回答即可．【解答】解：A、y=2x﹣1是一次函数，故A错误；B、y=+3自变量的次数是﹣2，故B错误；C、y=x2+2x﹣3是二次函数，故C正确；D、y=是反比例函数，故D错误．故选：C．2．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：y=（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．故选A．3．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．【解答】解：∵函数的解析式是y=﹣（x+1）2+3，如右图，∴对称轴是x=﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选A．4．将抛物线y=x2﹣2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y=x2﹣2x﹣1 B．y=x2+2x﹣1 C．y=x2﹣2 D．y=x2+2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】抛物线y=x2﹣2x+1化为顶点坐标式再按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．【解答】解：根据题意y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得y=（x﹣1+1）2﹣2，y=x2﹣2．故选C．5．已知抛物线y=x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2016的值为（）A．2015 B．2016 C．2017 D．2010【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】由点（m，0）在抛物线y=x2﹣x﹣1上，可得出m2﹣m﹣1=0，将其代入m2﹣m+2016中即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1=0，∴m2﹣m+2016=m2﹣m﹣1+2017=2017．故选C．6．函数y=ax﹣a与y=（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【分析】当反比例函数图象分布在第一、三象限，则a＞0，然后根据一次函数图象与系数的关系对A、B进行判断；当反比例函数图象分布在第二、四象限，则a＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系对C、D进行判断．【解答】解：A、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y=ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以A选项错误；B、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y=ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以B选项错误；C、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y=ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以C选项错误；D、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y=ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以D选项正确．故选D．7．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．【解答】解：根据勾股定理，AB==2，BC==，AC==，所以△ABC的三边之比为：2：=1：2：，A、三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：：3=：：3，故A选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故B选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故C选项错误；D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：：4，故D选项错误．故选：B．8．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE ：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：25【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE ∽△COA ，根据相似三角形的性质定理得到=， ==，结合图形得到=，得到答案．【解答】解：∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△COA ，又S △DOE ：S △COA =1：25，∴=，∵DE ∥AC ，∴==，∴=，∴S △BDE 与S △CDE 的比是1：4，故选：B ．9．如图，在以O 为原点的直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，反比例函数y=（x ＞0）与AB 相交于点D ，与BC 相交于点E ，若BD=3AD ，且△ODE 的面积是9，则k=（ ）A ．B ．C ．D ．12【考点】反比例函数系数k 的几何意义．【分析】所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B 的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．【解答】解：∵四边形OCBA 是矩形，∴AB=OC ，OA=BC ，设B 点的坐标为（a ，b ），∵BD=3AD ，∴D （，b ），∵点D ，E 在反比例函数的图象上，∴=k ，∴E （a ，），∵S △ODE =S 矩形OCBA ﹣S △AOD ﹣S △OCE ﹣S △BDE =ab ﹣﹣﹣•（b ﹣）=9，∴k=，故选C ．10．如图是抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a ﹣b +c ＞0；②3a +b=0；③b 2=4a （c ﹣n ）；④一元二次方程ax 2+bx +c=n ﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．③④⑤D ．②③⑤【考点】抛物线与x 轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，则当x=﹣1时，y ＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n ﹣1有2个公共点，于是可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．∴当x=﹣1时，y ＞0，即a ﹣b +c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a ，∴3a +b=3a ﹣2a=a ，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n ），∴=n ，∴b 2=4ac ﹣4an=4a （c ﹣n ），所以③正确； ∵抛物线与直线y=n 有一个公共点， ∴抛物线与直线y=n ﹣1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx +c=n ﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选B ．二．填空题（本大题共6小题，每题4分，满分24分）11．若线段MN 的长为1，P 是MN 的黄金分割点，则MP 的长为 或．【考点】黄金分割．【分析】分MP ＞NP 和MP ＜NP 两种情况，根据黄金比值是进行计算即可．【解答】解：当MP ＞NP 时，MP=，当MP ＜NP 时，MP=1﹣=，故答案为：或．12．若4a ﹣3b=0，则=．【考点】比例的性质．【分析】根据4a ﹣3b=0整理得4a=3b ，将分子与分母同乘以4即可得到答案．【解答】解：∵4a ﹣3b=0， ∴4a=3b ，∴====，故答案为．13．如果两个相似三角形周长的比是2：3，那么它们的相似比是 2：3 ． 【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可． 【解答】解：∵两个相似三角形周长的比是2：3， ∴两个相似三角形相似比是2：3， 故答案为：2：3．14．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为 2 米．【考点】二次函数的应用．【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=±，所以水面宽度增加到2米，故答案为：2米．15．若抛物线y=x2﹣kx+k﹣1的顶点在x轴上，则k=2．【考点】二次函数的性质．【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．【解答】解：根据题意得=0，解得k=2．故答案为：2．16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B 作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F 是GE 的中点；③AF=AB ；④S △ABC =5S △BDF ，其中正确的结论序号是 ①③ ．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．【分析】首先根据题意易证得△AFG ∽△CFB ，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC ，继而证得正确；由点D 是AB 的中点，易证得BC=2BD ，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD ，即可得AG=AB ，继而可得FG=BF ；即可得AF=AC ，又由等腰直角三角形的性质，可得AC=AB ，即可求得AF=AB ；则可得S △ABC =6S △BDF ．【解答】解：∵在Rt △ABC 中，∠ABC=90°， ∴AB ⊥BC ，AG ⊥AB ， ∴AG ∥BC ，∴△AFG ∽△CFB ，∴，∵BA=BC ，∴，故①正确；∵∠ABC=90°，BG ⊥CD ，∴∠DBE +∠BDE=∠BDE +∠BCD=90°， ∴∠DBE=∠BCD ， 在△ABG 和△BCD 中，故△ABG ≌△BCD （ASA ）， 则AG=BD ，∵AB=CB ，点D 是AB 的中点，∴BD=AB=CB ，∵tan∠BCD==，∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，∵=，∴FG=FB，∵GE≠BF，∴点F不是GE的中点．故②错误；∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2，∴AF=AC，∵AC=AB，∴AF=AB，故③正确；∵BD=AB，AF=AC，∴S△ABC =6S△BDF，故④错误．故答案为：①③．三、解答题（本大题共6题，满分66分）17．已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．【考点】作图-位似变换；作图-平移变换．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2坐标（﹣2，﹣2）．18．已知二次函数y=﹣x2+2x+3（1）在如图所示的坐标系中，画出该函数的图象（2）根据图象回答，x取何值时，y＞0？（3）根据图象回答，x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的图象．【分析】（1）列表，描点，连线，画出抛物线；（2）（3）根据图象回答问题即可．（2）当﹣1＜x＜3时，y＞0；（3）当x＜1时，y随x的增大而增大．当x＞1时，y随x的增大而减小．19．如图所示，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（﹣2，n），B（1，﹣3）两点．（1）试确定上述一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）由点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的解析式，再将点A的坐标代入其内求出n值，由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）设一次函数图象与y轴交于点C，根据一次函数图象上点的坐标特征找出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出△AOB的面积．【解答】解：（1）∵一次函数y 1=kx +b 的图象与反比例函数y 2=的图象交于A （﹣2，n ），B （1，﹣3）两点，∴将B （1，﹣3）代入反比例函数y 2=，得：﹣3=，解得：m=﹣3，∴反比例函数为y 2=﹣．将A （﹣2，n ）代入反比例函数y 2=﹣，得：n=，即A （﹣2，），将A （﹣2，）、B （1，﹣3）代入一次函数y 1=kx +b ，得：，解得：，∴一次函数为y 1=﹣x ﹣．（2）如图，设一次函数图象与y 轴交于点C ，当x=0时，y=﹣，∴C （0，﹣），∴S △AOB =S △AOC +S △COB =××[1﹣（﹣2）]=××3=．20．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量w （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：w=﹣2x +80．设这种产品每天的销售利润为y （元）．（1）求y 与x 之间的函数关系式，自变量x 的取值范围；（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据数量乘以单位的利润，等于总利润，可得答案；（2）根据二次函数的性质，可的大啊俺．【解答】解：（1）y=w（x﹣20）=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600，则y=﹣2x2+120x﹣1600．由题意，有，解得20≤x≤40．故y与x的函数关系式为：y=﹣2x2+120x﹣1600，自变量x的取值范围是20≤x≤40；（2）∵y=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，∴当x=30时，y有最大值200．故当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；21．在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为底边BC的中点，以D为顶点的角∠PDQ=∠B．（1）如图1，若射线DQ经过点A，DP交AC边于点E，直接写出与△CDE相似的三角形；（2）如图2，若射线DQ交AB于点F，DP交AC边于点E，设AF=x，AE为y，试写出y 与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（3）在（2）的条件下，连接EF，则△DEF与△CDE相似吗？试说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，因此△ABD∽△ACD，证出∠PDQ=∠C，由∠DAE=∠CAD，得出△ADE∽△ACD；在证出△CDE∽△CAD，即可得出结果；（2）证出△BDF∽△CDE，得出对应边成比例，即可得出y与x的函数关系式；（3）由（2）可知：△BDF∽△CDE，得出，证出，由∠EDF=∠C，即可得出△DEF∽△CED．【解答】解：（1）与△CDE相似的三角形为△ABD，△ACD，△ADE；理由如下：∵AB=AC，D为底边BC的中点，∴∠B=∠C，AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴△ABD∽△ACD，∵∠PDQ=∠B，∴∠PDQ=∠C，又∵∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD；∵∠CDE+∠PDQ=90°，∴∠C+∠PDQ=90°，∴∠CED=90°=∠ADC，又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAD，∴△△ABD∽△ACD∽△ADE∽△CDE；（2）∵∠FDC=∠B+∠BDF，∠FDC=∠FDE+∠EDC，∴∠EDC=∠BDF，∴△BDF∽△CDE，∴，∵D为BC的中点，∴BD=CD=6，∴∴y=；（3）△DEF与△CDE相似．理由如下：如图所示：由（2）可知：△BDF∽△CDE，则，∵BD=CD，∴，又∵∠EDF=∠C，∴△DEF∽△CED．22．为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量x的取值范围）．（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据此时抛物线顶点坐标为（7，3.2），设解析式为y=a（x﹣7）2+3.2，再将点C坐标代入即可求得；（2）由（1）中解析式求得x=9.5时y的值，与他起跳后的最大高度为3.1米比较即可得；（3）设抛物线解析式为y=a（x﹣7）2+h，将点C坐标代入得到用h表示a的式子，再根据球既要过球网，又不出边界即x=9时，y＞2.43且x=18时，y≤0得出关于h的不等式组，解之即可得．【解答】解：（1）根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为（7，3.2），设抛物线解析式为y=a（x﹣7）2+3.2，将点C（0，1.8）代入，得：49a+3.2=1.8，解得：a=﹣，∴排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为y=﹣（x﹣7）2+；（2）由题意当x=9.5时，y=﹣（9.5﹣7）2+≈3.02＜3.1，故这次她可以拦网成功；（3）设抛物线解析式为y=a（x﹣7）2+h，将点C（0，1.8）代入，得：49a+h=1.8，即a=，∴此时抛物线解析式为y=（x﹣7）2+h，根据题意，得：，解得：h≥3.025，答：排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025．。
沪科版九年级上册数学期中考试试题含答案解析
沪科版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量) （ ）A ．22y a x =B ．y =C ．21y x =D ．218y x =2．已知x:y=5:2，则下列各式中不正确的是（ ） A ．72x y y += B ．53x y x =- C ．57x x y =+ D ．32x y y -= 3．如果反比例函数y ＝1k x-的图象经过点(－1，－2)，则k 的值是 ( ) A ．2B ．－2C ．－3D ．34．如果抛物线y=-(x-1)2经过平移可以与抛物线y=-x 2重合，那么这个平移是( ) A ．向上平移1个单位 B ．向下平移1个单位 C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位5．已知三角形的面积一定，则它底边a 上的高h 与底边a 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．抛物线y=2x 2﹣与坐标轴的交点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B ．如果△ABD 的面积为15，那么△ACD 的面积为（ ）A ．15B ．10C ．152D ．5 8．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3；③3a+c ＜0④当y ＞0时，x 的取值范围是﹣1≤x ＜3⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大其中结论正确的个数是（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个9．如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若HFDF＝2，则HFBG的值为（）A．23B．712C．12D．51210．如图,边长为4的正方形ABCD边上的动点P从A点出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动,同时动点Q从B点出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动,当点P到B点时,P,Q两点同时停止运动.设P点的运动时间为t,△APQ的面积为S,则S与t 的函数关系式的图象是()A．B．C．D．二、填空题11．把长度为4cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm．12．二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表，则m 的值为 __________．13．如图，在△AOB 中，∠AOB =90°，点A 的坐标为（2，1），BO =反比例函数y x=的图象经过点B ，则k 的值为________．14．已知抛物线2:p y ax bx c =++的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），点C 关于x 轴的对称点为'C ，我们称以A 为顶点且过点'C ，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线'AC 为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是221y x x =++和22y x =+，则这条抛物线的解析式为________．三、解答题 15．若578a b c==，且3a-2b+c=3，求2a+4b-3c 的值．16．如图，已知抛物线y=ax 2+bx －3的对称轴为直线x=1，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 点，其中B 点的坐标为(3，0)． (1)直接写出A 点的坐标；(2)求二次函数y=ax 2+bx －3的解析式．17．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且AD DF AC CG=．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若12ADAC=，求AFFG的值．18．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．19．如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°，连接BF.(1)求证：△CAE ∽△CBF ； (2)若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长．20．已知，二次函数2(y ax bx c a =++≠0)的图像经过点（3，5）、（2，8）、（0，8）． ①求这个二次函数的解析式；②已知抛物线211111(y a x b x c a =++≠0)，222222(y a x b x c a =++≠0)，且满足111222(a b c k k a b c ===≠0，1)，则我们称抛物线12与y y 互为“友好抛物线”，请写出当12k =-时第①小题中的抛物线的友好抛物线，并求出这“友好抛物线”的顶点坐标．21．如图，已知反比例函数y 1＝1k x与一次函数y 2＝k 2x+b 的图象交于点A （1，8），B （﹣4，m ）两点．（1）求k 1，k 2，b 的值； （2）求△AOB 的面积； （3）请直接写出不等式1k x≤2k x+b 的解．22．九年级数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x 天（1≤x≤90，且x 为整数）的售价y （单位：元/件）与时间x （单位：天）的函数关系式为y=40(050,90(5090,x x x x x +≤≤⎧⎨<≤⎩且为整数）且为整数）；在第x 天的销售量p （单位：件）与时间x （单位：天）的函数关系的相关信息如下表．已知商品的进价为30元/件，每天的销售利润为w （单位：元）．（1）求出w 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润； （3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？23．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A （1，1），且与直线y=x ﹣2交于B ，C 两点．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标； （2）求证：△ABC 是直角三角形；（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN ⊥x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与解析1．D【解析】根据二次函数的定义判定即可．解：A、D、a=0时，a2=0，不是二次函数，错误；B、y=，被开方数含自变量，不是二次函数，错误；C、y=，分母中含自变量，不是二次函数，错误；D、y=x2，是二次函数，正确；故选D．2．B【解析】试题解析：A、由合比性质得，72x yy+=，故A正确；B、由反比性质，得y：x=2：5．由分比性质得35y xx-=-，再由反比性质得53xy x=--，故B错误；C、由反比性质，得y：x=2：5．由合比性质得75y xx+=，再由反比性质得57xy x=+，故C正确；D、由分比性质，得32y xy-=，故D正确；故选B．考点：比例的性质．3．D【分析】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点.根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（-1，-2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．【详解】根据题意，得-2=11k，即2=k-1，解得，k=3．故选D．考点：待定系数法求反比例函数解析式．4．C【解析】根据抛物线顶点的平移可得抛物线是如何平移的．解：∵抛物线y=-（x-1）2的顶点为（1，0）；抛物线y=-x2的顶点为（0，0）；从（1，0）到（0，0）是向左平移了1个单位，∴抛物线也是如此平移的．故选C．“点睛”本题考查抛物线的平移；用到的知识点为：抛物线的平移要看顶点的平移；只横坐标改变是左右平移．5．D【分析】先写出三角形底边a上的高h与底边a之间的函数关系，再根据反比例函数的图象特点得出．【详解】解：已知三角形的面积s一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系为S=12ah，即2sha=；该函数是反比例函数，且2s＞0，h＞0；故其图象只在第一象限．故选D．【点睛】本题考查反比例函数的图象特点：反比例函数kyx=的图象是双曲线，与坐标轴无交点，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．6．C【解析】根据一元二次方程2x2-2+1=0的根的判别式的符号来判定抛物线y=2x2-2+1-与x轴的交点个数．解：当y=0时，2x2-2+1=0．∵△=（-2）2-4×2×1=0，∴一元二次方程2x2-2+1=0有两个相等的实数根，∴抛物线y=2x2-2+1与x轴有一个交点，∴抛物线2x2-2+1=0与两坐标轴的交点个数为2个．故选C．7．D【解析】首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为9，进而求出△ACD的面积．解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，∵△ABD的面积为15，∴△ACD的面积∴△ACD的面积=5．故选D．“点睛”本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．8．C【解析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=﹣2a，然后根据x=﹣1时函数值为负数可得到3a+c＜0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，所以③错误；∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．故选C．9．B【分析】设DF=a，则DF=AE=a，AF=EB=2a，由△HFD∽△BFA，得1,2HD DF HFAB AF FB===求出FH，再由HD∥EB，得△DGH∽△EGB，得1.53,24HG HD aGB EB a===求出BG即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵AF=2DF，设DF=a，则DF=AE=a，AF=EB=2a，∵HD∥AB，∴△HFD∽△BFA，∴1,2 HD DF HFAB AF FB===∴HD=1.5a，1,3 FHBH=∴FH=13 BH，∵HD∥EB，∴△DGH∽△EGB，∴1.53,24 HG HD aGB BE a===∴4,7 BGHB=∴4,7BG HB=∴173.4127BHHFBG BH==故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定、菱形的性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质解决问题，学会设参数，属于中考常考题型．10．D【解析】本题应分两段进行解答，①点P在AB上运动，点Q在BC上运动，②点P在AB上运动，点Q在CD上运动，依次得出S与t的关系式即可得出函数图象．解：①点P在AB上运动，点Q在BC上运动，此时AP=t，QB=2t，故可得S=AP•QB=t2，函数图象为抛物线；②点P在AB上运动，点Q在CD上运动，此时AP=t，△APQ底边AP上的高维持不变，为正方形的边长4，故可得S=AP×4=2t，函数图象为一次函数．综上可得总过程的函数图象，先是抛物线，然后是一次增函数．故选D．“点睛”此题考查了动点问题的函数图象，解答本题关键是分段求解，注意在第二段时，△APQ 底边AP上的高维持不变，难度一般．11．()2cm．【解析】根据黄金分割的定义得到较长线段的长=×4，然后进行二次根式的运算即可．解：较长线段的长=×4=（2）cm．故答案为（2）cm．12．-1．【解析】二次函数的图象具有对称性，从函数值了看，函数值相等的点就是抛物线的对称点，由此可推出抛物线的对称轴，根据对称性求m的值．解：根据图表可以得到，点（-2，7）与（4，7）是对称点，点（-1，2）与（3，2）是对称点，∴函数的对称轴是：x=1，∴横坐标是2的点与（0，-1）是对称点，∴m=-1．13．﹣8．【解析】根据∠AOB=90°，先过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，构造相似三角形，再利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式进行计算，求得点B的坐标，进而得出k 的值．解：过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，垂足分别为C、D，则∠OCA=∠BDO=90°，∴∠DBO+∠BOD=90°，∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∴∠DBO=∠AOC ，∴△DBO ∽△COA ，∴，∵点A 的坐标为（2，1），∴AC=1，OC=2，∴AO==， ∴，即BD=4，DO=2，∴B （﹣2，4），∵反比例函数y=的图象经过点B ，∴k 的值为﹣2×4=﹣8． 故答案为：﹣8． 14．223y x x =--【分析】先求出y=x 2+2x+1和y=2x+2的交点C′的坐标为（1，4），再求出“梦之星”抛物线y=x 2+2x+1的顶点A 坐标（-1，0），接着利用点C 和点C′关于x 轴对称得到C （1，-4），则可设顶点式y=a （x-1）2-4，然后把A 点坐标代入求出a 的值即可得到原抛物线解析式．【详解】∵y=x 2+2x+1=(x+1)2，∴A 点坐标为(−1,0)，解方程组22122y x x y x ⎧=++⎨=+⎩得10x y =-⎧⎨=⎩或14x y =⎧⎨=⎩， ∴点C′的坐标为(1,4)，∵点C 和点C′关于x 轴对称，∴C(1,−4)，设原抛物线解析式为y=a(x−1)2−4，把A(−1,0)代入得4a−4=0，解得a=1，∴原抛物线解析式为y=(x−1)2−4=x 2−2x−3.故答案为y=x 2−2x−3.【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质与运算.15．143． 【解析】先设a=5k ，则b=7k ，c=8k ，而3a-2b+c=3，那么15k-14k+8k=3，易求k ，进而可求a 、b 、c 的值，从而易求2a+4b-3c 的值．解：设a=5k ，则b=7k ，c=8k ，又3a-2b+c=3，则15k-14k+8k=3，得k=，即a=，b=，c=，所以2a+4b-3c=．16．（1）（－1，0）；（2）223y x x =--【分析】（1）由抛物线y=ax 2+bx-3的对称轴为直线x=1，交x 轴于A 、B 两点，其中B 点的坐标为（3，0），根据二次函数的对称性，即可求得A 点的坐标；（2）利用待定系数法，将A （-1，0）、B （3，0）两点的坐标代入y=ax 2+bx-3，即可求得二次函数y=ax 2+bx-3的解析式.【详解】（1）∵抛物线23y ax bx =+-对称轴为直线1x =，交x 轴于A 、B 两点，其中B 点坐标为（3，0），∴A 点横坐标为：1312-=-， ∴A 点坐标为：（－1，0）（2）将A （－1，0），B （3，0）代入23y ax bx =+-得309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得：12a b =⎧⎨=-⎩故抛物线解析式为：223y x x =--考点：1．待定系数法，2．二次函数的解析式17．（1）见解析（2）11.【解析】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C即可．（2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明．【解答】（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，∵，∴△ADF∽△ACG．（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴，又∵，∴，∴1．18．（1）y=﹣x﹣1；（2）x＜﹣4或x＞﹣1．【解析】（1）先利用待定系数法先求出m，再求出点B坐标，利用方程组求出太阳还是解析式．（2）根据二次函数的图象在一次函数的图象上面即可写出自变量x的取值范围．解：（1）∵抛物线y=（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴0=1+m，∴m=﹣1，∴抛物线解析式为y=（x+2）2﹣1=x2+4x+3，∴点C坐标（0，3），∵对称轴x=﹣2，B、C关于对称轴对称，∴点B坐标（﹣4，3），∵y=kx+b经过点A、B，∴，解得，∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1，（2）由图象可知，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x＜﹣4或x＞﹣1．19．（1）证明见解析；（2【分析】（1）首先由△ABC 和△CEF 均为等腰三角形可得AC CE BC CF==∠ACE=∠BCF ；然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAE ∽△CBF ；（2）首先根据△CAE ∽△CBF ，判断出∠CAE=∠CBF ，再根据∠CAE+∠CBE=90°，判断出∠EBF=90°；然后在Rt △BEF 中，根据勾股定理，求出EF 的长度，再根据CE 、EF 的关系，求出CE 的长是多少即可.【详解】解：（1）证明：∵△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形，∴AC CE BC CF==∠ACB=∠ECF=45°， ∴∠ACE=∠BCF ，∴△CAE ∽△CBF ；（2）∵△CAE ∽△CBF ，∴∠CAE=∠CBF ，AE AC BF BC ==又∵AE AC BF BC==AE=2∴2BF=∴又∵∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBF+∠CBE=90°，∴∠EBF=90°，∴EF 2=BE 2+BF 2=12+2=3，∴∵CE 2=2EF 2=6，∴【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解决问题的前提．20．（1）228y x x =-++；（2）（1，-18）或（1，92-）【解析】（1）先把三个点的坐标的人y=ax2+bx+c=0（a≠0）得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c 的值；（2）根据图中的定义得到===-或===-，则可得到友好抛物线的解析式是：y=2x2-4x-16或y=x2-x-4，然后分别配成顶点式，则可得到它们的顶点坐标. 解：（1）根据题意，得可以解得，∴这个抛物线的解析式是．（2）根据题意，得或解得a2=2，b2=-4，c2=-16或a1=，b1=-1，c1=-4，,友好抛物线的解析式是：y=2x2-4x-16或y=x2-x-4，∴它的顶点坐标是（1，-18）或（1，）“点睛”二次函数是初中数学的一个重要内容之一，其中解析式的确定一般都采用待定系数法求解，但是要求学生根据给出的已知条件的不同，要能够恰当地选取合适的二次函数解析式的形式，选择得当则解题简捷，若选择不得当，就会增加解题的难度．21．（1）k1=8，k2=2，b=6；（2）15；（3）-4≤x＜0或x≥1【分析】（1）将A点的坐标代入反比例函数的解析式，可得出反比例函数解析式，再结合点B的横坐标即可得出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）先求出一次函数图像与y轴的交点坐标，再将△AOB的面积分成两个小三角形面积分别求解即可；（3）根据两函数图像的上下位置关系即可得出不等式的解集.【详解】解：（1）∵反比例函数y=1k x与一次函数y=k 2x+b 的图象交于点A （1，8）、B （-4，m ）， ∴k 1=1×8=8，m=8÷（-4）=-2，∴点B 的坐标为（-4，-2）．将A （1，8）、B （-4，-2）代入y 2=k 2x+b 中， 22842k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：226k b =⎧⎨=⎩． ∴k 1=8，k 2=2，b=6．（2）当x=0时，y 2=2x+6=6，∴直线AB 与y 轴的交点坐标为（0，6）．∴S △AOB =12×6×4+12×6×1=15． （3）观察函数图象可知：当-4＜x ＜0或x ＞1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，∴不等式12k k x≤x+b 的解为-4≤x ＜0或x≥1． 22．（1）w=()()221802000050,12012005090,x x x x x x x 且为整数且为整数⎧-++≤≤⎪⎨-+<≤⎪⎩；（2）6050元；（3）5600元． 【解析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于5600，一次函数值大于或等于56000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．解：（1）设每天的销售量p 与时间x 的函数关系式为p=mx+n∵p=mx+n 过点（60，80）、（30，140），∴，解得：，∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x 为整数），当0≤x≤50时，w=（y ﹣30）•p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x 2+180x+2000；当50＜x≤90时，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．综上所示，每天的销售利润w 与时间x 的函数关系式是w=．（2）当0≤x≤50时，w=﹣2x 2+180x+2000=﹣2（x ﹣45）2+6050，∵a=﹣2＜0且0≤x≤50，∴当x=45时，w 取最大值，最大值为6050元．当50＜x≤90时，w=﹣120x+12000，∵k=﹣120＜0，w 随x 增大而减小，∴当x=50时，w 取最大值，最大值为6000元．∵6050＞6000，∴当x=45时，w 最大，最大值为6050元．即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．（3）当0≤x≤50时，令w=﹣2x 2+180x+2000≥5600，即﹣2x 2+180x ﹣3600≥0，解得：30≤x≤50， 50﹣30+1=21（天）；当50＜x≤90时，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，解得：50＜x≤53，∵x 为整数，∴50＜x≤53，53﹣50=3（天）．综上可知：21+3=24（天），故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．23．（1）B （2，0），C （﹣1，﹣3）；（2）△ABC 是直角三角形；（3）（53，0）或（73，0）或（﹣1，0）或（5，0）．【解析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C 点坐标；（2）分别过A 、C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于点D 、E 两点，结合A 、B 、C 三点的坐标可求得∠ABO=∠CBO=45°，可证得结论；（3）设出N 点坐标，可表示出M 点坐标，从而可表示出MN 、ON 的长度，当△MON 和△ABC 相似时，利用三角形相似的性质可得或，可求得N 点的坐标．解：（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y=a （x ﹣1）2+1，又抛物线过原点，∴0=a （0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x ﹣1）2+1，即y=﹣x 2+2x ，联立抛物线和直线解析式可得，解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3，∵MN⊥x轴于点N∴∠ABC=∠MNO=90°，∴当△ABC和△MNO相似时有或，①当时，则有=，即|x||﹣x+2|=|x|，∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=±，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；②当时，则有=，即|x||﹣x+2|=3|x|，∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．“点睛”本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。
沪科版九年级上册数学期中考试试题及答案
沪科版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1． 将抛物线y=x 2-2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是 A ．y=x 2-2x-1B ．y=x 2+2x-1C ．y=x 2-2D ．y=x 2+2 2．若x y ＝23，则下列各式不成立的是（ ） A ．x y y +＝53 B ．y x y -＝13 C ．2x y ＝13 D ．11x y ++＝343．如图，已知一次函数y ＝ax+b 与反比例函数y ＝k x 图象交于M 、N 两点，则不等式ax+b ＞k x解集为( )A ．x ＞2或﹣1＜x ＜0B ．﹣1＜x ＜0C ．﹣1＜x ＜0或0＜x ＜2D ．x ＞24．如图，已知D 、E 分别是ABC 的AB 、AC 边上的点，DE BC ∥，且:ADE S S △四边形DBCE =1:8，那么:AE AC 等于（ ）A ．1:9B ．1:3C ．1:D ．1:85．如图，A 为反比例函数k y x=图象上一点，AB 垂直于x 轴于点B ，若3AOB S =△，则k 的值为（ ）A ．6-B ．3-C ．32-D ．不能确定6．已知()1A 1,y ，()2B y ，()3C 2,y -在函数21y 2(x 1)2=+-的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．y 1>y 2>y 3B ．y 1>y 3>y 2C ．y 3>y 1>y 2D ．y 2>y 1>y 3 7．在三角形纸片ABC 中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ． 8．一次函数y ＝ax +b 和反比例函数y a b x-=在同一直角坐标系中的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．9．已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为1x =；③当1x <时，函数值y 随x的增大而增大；④方程20ax bx c ++=有一个根大于4；⑤若221122ax bx ax bx +=+，且12x x ≠，则123x x +=．其中正确的结论有（ ）A ．①②③B ．①②③④⑤C ．①③⑤D ．①③④⑤ 10．如图，在矩形ABCD 中，AB 4=，BC 6=，当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边MP 始终经过点A ，设直角三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q.BP x =，CQ y =，那么y 与x 之间的函数图象大致是( )A ．B ．B ．C ．D ．二、填空题11．已知函数()2113m y m x x +=-+，当m =__________时，它是二次函数．12．如图，小明在A 时测得某树的影长为3米，B 时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_________米.13．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++．则他将铅球推出的距离是__________m ．14．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，5AB =，4AC =，E ，F 分别为AB 、BC 上的点，沿直线EF 将B 折叠，使点B 恰好落在AC 上的D 处，当ADE 恰好为直角三角形时，BE 的长为__________．三、解答题15．已知二次函数y ＝﹣2x 2﹣4x+6．(1)用配方法求出函数的顶点坐标；(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．16．“今有井径五尺，不知其深，立五尺于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，求井深BD．17．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)一辆宽为2米，高为3米的货船能否从桥下通过？18．如图，一次函数y1＝﹣x+5与反比例函数y2＝kx的图象交于A(1，m)、B(4，n)两点．(1)求A、B两点的坐标和反比例函数的解析式；(2)求△AOB的面积．19．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B ，(1)求证：△ADF ∽△DEC(2)若AB ＝4,AD ＝＝3,求AF 的长.20．我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”．(1)求抛物线y ＝x 2﹣2x+2与x 轴的“和谐值”；(2)求抛物线y ＝x 2﹣2x+2与直线y ＝x ﹣1的“和谐值”．21．如图在锐角ABC 中，6BC =，高4=AD ，两动点M 、N 分别在AB 、AC 上滑动（不包含端点），且MN BC ，以MN 为边长向下作正方形MPQN ，设MN x =，正方形MPQN 与ABC 公共部分的面积为y ．（1）如图（1），当正方形MPQN 的边P 恰好落在BC 边上时，求x 的值．（2）如图（2），当PQ 落ABC 外部时，求出y 与x 的函数关系式（写出x 的取值范围）并求出x 为何值时y 最大，最大是多少？22．某网店打出促销广告：最潮新款服装30件,每件售价300元.若一次性购买不超过10件时,售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元．（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？BC=，点M在BC上，连接AM点N在直线AD 23．如图，矩形ABCD中，3AB=，2∠=∠，MN交CD于点E．上，且AMN AMB（1）求证：AMN是等腰三角形；（2）求证：22=⋅；AM BM AN（3）当M为BC中点时，求ME的长．参考答案1．C【分析】抛物线y=x2-2x+1化为顶点坐标式再按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．【详解】解：根据题意y=x2-2x+1=（x-1）2向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得y=（x-1+1）2-2，y=x2-2．故选：C．【点睛】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．2．D【分析】根据比例设x＝2k，y＝3k，然后代入比例式对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】：∵23xy=，∴设x＝2k，y＝3k，A.23533x y k ky k++==，正确，故本选项错误；B.32133y x k ky k--==，正确，故本选项错误；C.212233x ky k==⋅，正确，故本选项错误；D.12131314x ky k++=≠++，故本选项正确．故选D．【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y求解更加简便．3．A【分析】根据函数图象写出一次函数图象在反比例函数图象上方部分的x的取值范围即可．【详解】解：由图可知，x ＞2或﹣1＜x ＜0时，ax+b ＞xk ． 故选A ．【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，利用数形结合，准确识图是解题的关键． 4．B【分析】根据DE ∥BC ，可以得到△ADE ∽△ABC ，通过S △ADE ：S 四边形DBCE =1：8，可以得到△ADE 与△ABC 的面积的比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求解．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∴△ADE ∽△ABC ，又∵S △ADE ：S 四边形DBCE =1：8，∴S △ADE ：S △ABC =1：9，∴AE ：AC=1：3．故选B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．根据已知条件求出两个三角形的相似比是解决问题的关键．5．A【分析】先设出A 点的坐标，由△AOB 的面积可求出xy 的值，即xy=-6，即可写出反比例函数的解析式．【详解】解：设A 点坐标为A （x ，y ），由图可知A 点在第二象限，∴x ＜0，y ＞0，又∵AB ⊥x 轴，∴|AB|=y ，|OB|=|x|，∴S△AOB=12×|AB|×|OB|=12×y×|x|=3，∴-xy=6，∴k=-6故选A．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．6．B【分析】利用函数的对称性将A、B、C三个点放在对称轴同侧，利用函数增减性进行比较.【详解】解：由题可知抛物线对称轴为x=-1，则A点关于对称轴的对称点为（-3，1y），由于抛物线开口向上，则当x＜-1时，函数值y随x的增大而减小，故y1>y3>y2.故选择B.【点睛】本题考察了运用二次函数对称性比较函数值大小.7．D【解析】解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6．A．44182AB==，对应边631842ACAB==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；B．338AB=，对应边633848ACAB==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；C．22163AC==，对应边631843ACAB==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；D．22142BC==，对应边411822BCAB===，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；故选D．点睛：此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键．8．A【分析】先由一次函数的图象确定a、b的正负，再根据a-b判断双曲线所在的象限．能统一的是正确的，矛盾的是错误的．【详解】图A、B直线y=ax+b经过第一、二、三象限，∴a＞0、b＞0，∵y=0时，x=-ba，即直线y=ax+b与x轴的交点为（-ba，0）由图A、B的直线和x轴的交点知：-ba＞-1，即b＜a，所以b-a＜0，∴a-b＞0，此时双曲线在第一、三象限，故选项B不成立，选项A正确；图C、D直线y=ax+b经过第二、一、四象限，∴a＜0，b＞0，此时a-b＜0，双曲线位于第二、四象限，故选项C、D均不成立；故选A．【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的性质．解决本题用排除法比较方便．9．C【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x=32，再由图象中的数据可以得到当x=32取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x＜32时，y随x的增大而增大，当x＞32时，y随x的增大而减小，然后根据x=0时，y=1，x=-1时，y=-3，可以得到方程ax2+bx+c=0的两个根所在的大体位置，若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，得到123=22x x +，从而可以解答本题． 【详解】解：由表格可知，由表格可知，x=0和x=3时，函数值y 都是1，∴抛物线的对称轴为直线x=033=22+， 当x=32时，二次函数y=ax 2+bx+c 取得最大值， ∴抛物线的开口向下，故①正确，②错误； 当x ＜32时，y 随x 的增大而增大，故③正确， 方程ax 2+bx+c=0的一个根大于-1，小于0，则方程的另一个根大于3，小于4，故④错误， 若ax 12+bx 1=ax 22+bx 2，且x 1≠x 2，则123=22x x +， ∴x 1+x 2=3，故⑤正确，故选：C ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用表格中数据和二次函数的性质判断题目中各个结论是否正确．10．D【详解】试题解析：设BP =x ，CQ =y ，则AP 2=42+x 2，PQ 2=（6-x ）2+y 2，AQ 2=（4-y ）2+62； ∵△APQ 为直角三角形，∴AP 2+PQ 2=AQ 2，即42+x 2+（6-x ）2+y 2=（4-y ）2+62，化简得：y =−14x 2+32x 整理得：y=−14(x −3)2+94 根据函数关系式可看出D 中的函数图象与之对应．故选D ．【点睛】本题考查的是动点变化时，两线段对应的变化关系，重点是找出等量关系，即直角三角形中的勾股定理．11．1-【分析】根据二次函数的定义列出关于m 的方程，求出m 的值即可．【详解】解：∵y=（m-1）x m2+1是二次函数，∴m 2+1=2，∴m=-1或m=1（舍去）．故答案为：-1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，关键是根据定义列出方程，在解题时要注意m-1≠0． 12．6【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt △EDC ∽Rt △FDC ，进而可得ED DC DC FD=；即DC 2=ED?FD ，代入数据可得答案．【详解】根据题意，作△EFC ，树高为CD ，且∠ECF=90°，ED=3，FD=12，易得：Rt △EDC ∽Rt △DCF ， 有ED DC DC FD=，即DC 2=ED×FD ， 代入数据可得DC 2=36，DC=6，故答案为6．13．10【分析】令y =0解方程，保留正值，即为该男生将铅球推出的距离．【详解】解：当y =0时，212501233x x -++= 解得，x 1=10，x 2=-2（负值舍去），∴该男生把铅球推出的水平距离是10m ．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．14．158或157 【分析】先在Rt △ABC 中利用勾股定理求出AC=6cm ，再根据折叠的性质得到BE=DE ，直线EF 将∠B 折叠，使点B 恰好落在BC 上的D 处，△ADE 恰好为直角三角形，有两种可能：①∠ADE=90°，②∠AED=90°，设BE=x ，运用三角形相似列比例式解方程即可得解．【详解】解：在Rt △ABC 中，∵∠C=90°，AB=5，AC=4，∴BC=3．直线EF 将∠B 折叠，使点B 恰好落在BC 上的D 处，当△ADE 恰好为直角三角形时， 根据折叠的性质：BE=DE设BE=x ，则DE=x ，AE=10-x①当∠ADE=90°时，则DE ∥BC ， ∴=DE AE CB AB， ∴5=35x x -， 解得：15=8x ， ②当∠AED=90°时，则△AED ∽△ACB ， ∴=DE AE BC AC， ∴5=34x x -， 解得：x=157， 故所求BE 的长度为：158或157.故答案为：158或157.【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，能够全面的思考问题进行分类讨论是本题的关键．15．(1)(﹣1，8)；(2)将抛物线y ＝﹣2x 2﹣4x+6向右平移3个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标为(4，0)．【分析】（1）利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，从而求出顶点坐标；（2）根据二次函数的与x 轴的交点坐标确定如何平移后经过原点；【详解】解：(1)∵y ＝﹣2x 2﹣4x+6∴222(211)62(1)8y x x x =-++-+=-++∴抛物线的顶点坐标为(﹣1，8)；(2)当y ＝0时，﹣2(x+1)2+8＝0，解得x 1＝1，x 2＝﹣3，抛物线y ＝﹣2x 2﹣4x+6与x 轴的交点坐标为(1，0)，(﹣3，0)，所以将抛物线y ＝﹣2x 2﹣4x+6向右平移3个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点， 平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标为(4，0)．【点睛】 本题考查二次函数一般式化为顶点式及二次函数的平移，掌握配方法的方法2222224()()()2224b b b b ac b y ax bx c a x x c a x a a a a a -⎡⎤=++=++-+=++⎢⎥⎣⎦ 是解题关键. 16．BD ＝57.5尺．【分析】根据相似三角形的性质求得AD 的长度，进而求解.【详解】解：依题意可得：CB∥ED ∴△ABF∽△ADE，∴AB BF AD DE=，即50.45 AD=，解得：AD＝62.5，BD＝AD﹣AB＝62.5﹣5＝57.5尺．【点睛】掌握相似三角形对应边成比例是本题的解题关键.17．(1)抛物线解析式为y＝﹣425x2+85x；(2)货船能从桥下通过．【分析】（1）根据题意确定抛物线顶点坐标，利用待定系数法求函数解析式；（2）由抛物线对称轴直线x=5分析，船宽2米时，计算x=6是函数值是否大于3即可求解.【详解】(1)根据题意，得抛物线的顶点坐标为(5，4)，经过(0，0)，∴设：抛物线解析式为y＝a(x﹣5)2+4，把(0，0)代入，得25a+4＝0，解得a＝4 25 -，所以抛物线解析式为：y＝425-(x﹣5)2+4＝425-x2+85x．(2)货船能从桥下通过．理由如下：由（1）可知，抛物线对称轴为直线x=5,又∵货船宽为2米，高为3米，∴当x＝6时，y＝425(6﹣5)2+4＝3.84，∵3.84＞3，∴货船能从桥下通过．答：货船能从桥下通过．【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，及二次函数的实际应用，根据二次函数对称轴及船宽，求当x=6时的函数值是解题关键.18．(1)A点坐标为(1，4)，B点坐标为(4，1)，反比例函数解析式为y2＝4x；(2)7.5.【分析】（1）将A,B两点坐标代入一次函数解析式求解，然后用待定系数法求得反比例函数的解析式；（2）设一次函数图象与x轴交于点C，利用S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC求解.【详解】(1)分别把A(1，m)、B(4，n)代入y1＝﹣x+5，得m＝﹣1+5＝4，n＝﹣4+5＝1，所以A点坐标为(1，4)，B点坐标为(4，1)，把A(1，4)代入y2＝kx，得k＝1×4＝4，所以反比例函数解析式为y2＝4x；(2)如图，设一次函数图象与x轴交于点C，当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝5，则C点坐标为(5，0)，所以S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝12×5×4﹣12×5×1＝7.5．【点睛】掌握待定系数法求函数解析式及三角形面积公式，数形结合的思想解题是本题的解题关键.19．（1）见解析（2）【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC AB ∥CD∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180︒,∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF ∽△DEC(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC CD=AB=4又∵AE ⊥BC ∴ AE ⊥AD在Rt △ADE 中，6== ∵△ADF ∽△DEC∴AD AF DE CD =∴64AF =∴AF=20．(1)抛物线y ＝x 2﹣2x+2与x 轴的“和谐值”为1；(2)抛物线y ＝x 2﹣2x+3与直线y ＝x ﹣1的“和谐值”为34． 【分析】（1）根据题意将抛物线化成顶点式，找到函数最值即可求解；（2）取P 点为抛物线y ＝x 2﹣2x+2任意一点，作PQ ∥y 轴交直线y ＝x ﹣1于Q ，分析PQ 的长度，得到二次函数解析式，求其顶点坐标即可.【详解】(1)∵y ＝(x ﹣1)2+1，∴抛物线上的点到x 轴的最短距离为1，∴抛物线y ＝x 2﹣2x+2与x 轴的“和谐值”为1；(2)如图，P 点为抛物线y ＝x 2﹣2x+2任意一点，作PQ ∥y 轴交直线y ＝x ﹣1于Q ， 设P(t ，t 2﹣2t+2)，则Q(t ，t ﹣1)，∴PQ ＝t 2﹣2t+2﹣(t ﹣1)＝t 2﹣3t+3＝(t ﹣32)2+34， 当t ＝32时，PQ 有最小值，最小值为34， ∴抛物线y ＝x 2﹣2x+3与直线y ＝x ﹣1的“和谐值”为34．【点睛】充分理解题意“和谐值”的含义即函数最值的绝对值是本题的解题关键.21．（1）当125x =时正方形MPQN 的边P 恰好落在BC 边上；（2）()224 2.463y x x x =-+<<，当3x =时，y 最大6= 【分析】（1）因为正方形的位置在变化，但是△AMN ∽△ABC 没有改变，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，得出等量关系，代入解析式即可．（2）用含x 的式子表示矩形MEFN 边长，从而求出面积的表达式．【详解】解：（1）设AD 与MN 相交于点H ，∵MN BC ，∴AMN ABC △∽△， ∴AHMN AD BC =，即446xx-=， 解得，125x =， 当125x =时正方形MPQN 的边P 恰好落在BC 边上；（2）设MP 、NQ 分别与BC 相交于点E 、F ， 设D a =，则4A a =-，由∴AH MN AD BC =，即46a xx -=， 解得，243a x =-+，∵矩形MEFN 的面积MN HD =⨯， ∴()22244 2.4633y x x x x x =-+=⎛⎫ ⎪⎭+<⎝-<()22363y x =--+∴当3x =时，y 最大6=.本题结合相似三角形的性质及矩形面积计算方法，考查二次函数的综合应用，解题时，要始终抓住相似三角形对应边上高的比等于相似比，表示相关边的长度．22．（1）、y=2100(010x ){3130(1030,x )x x x x ≤≤-+≤，且为整数且为整数；（2）、22件.【详解】试题分析：（1）根据题意可得出销量乘以每台利润进而得出总利润，进而得出答案； （2）根据销量乘以每台利润进而得出总利润，即可求出即可． 试题解析：（1）2300200100(010,){[3003(10)200]3130(1030,)x x x x x y x x x x x -=≤≤=---=-+≤且为整数＜且为整数， （2）在0≤x≤10时，y=100x ，当x=10时，y 有最大值1000；在10＜x≤30时，y=-3x 2+130x ，当x=2123时，y 取得最大值， ∵x 为整数，根据抛物线的对称性得x=22时，y 有最大值1408．∵1408＞1000，∴顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多．考点：二次函数的应用．23．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）54ME =【分析】（1）由矩形的性质得出AD ∥BC ，由平行线的性质得出∠NAM=∠BMA ，由已知∠AMN=∠AMB ，得出∠AMN=∠NAM ，即可得出结论；（2）由矩形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC=2，AB=CD=3，由平行线的性质得出∠NAM=∠BMA ，作NH ⊥AM 于H ，由等腰三角形的性质得出AH=12AM ，证明△NAH ∽△AMB ，得出=AN AH AM BM ，即可得出结论； （3）求出BM=CM=12BC=12×2=1，由（2）得AM 2=2BM•AN ，得出AM 2=2AN ，由勾股定理得出AM 2=AB 2+BM 2=10，求出AN=5，得出DN=AN-AD=3，设DE=x ，则CE=3-x ，证明△DNE ∽△CME ，得出=DN DE CM CE ，求出DE=94，得出CE=DC-DE=34，再由勾股定理即可得出答案．解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴NAM BMA ∠=∠，又AMN AMB ∠=∠，∴AMN NAM ∠=∠，∴AN MN =，即AMN 是等腰三角形；（2）解：作NH AM ⊥于H ，∵AN MN =，NH AM ⊥， ∴12AH AM =，∵90NHA ABM ∠=∠=︒，AMN AMB ∠=∠，∴NAH AMB △∽△， ∴ANAHAM BM =， ∴212AN BM AH AM AM ⋅=⋅=∴22AM BM AN =⋅（3）解:∵M 为BC 中点， ∴112BM CM BC ===，由（2）得，22AM BM AN =⋅，∵2223110AM =+=，∴5AN =，∴523DN =-=，设DE x =，则3CE x =-，∵AN BC ， ∴DNDECM CE =，即313xx =-， 解得，94x =，即94DE =， ∴34CE =，∴54ME =．【点睛】本题是相似形综合题目，考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用、等腰三角形的性质和矩形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，证明三角形相似是解题的关键．。
沪科版九年级上册数学期中考试试卷及答案
沪科版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．若二次函数y ＝x 2＋4x －1配方后为y ＝(x ＋h )2＋k ，则h 、k 的值分别为（ ） A ．2，5 B ．4，－5 C ．2，－5 D ．－2，－5 2．二次函数y ＝x 2＋2x －5有 A ．最大值－5B ．最小值－5C ．最大值－6D ．最小值－63．如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC ＞AC ．若S 1表示以BC 为边的正方形面积，S 2表示长为AB 、宽为AC 的矩形面积，则S 1与S 2的大小关系为（ ）A ．S 1＞S 2B ．S 1=S 2 B ．C ．S 1＜S 2D ．不能确定4．如图，直线24y x =-+与x 轴，y 轴分别相交于A ，B 两点，C 为OB 上一点，且∠1=∠2，则△ABC 的面积为： A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．如图，ABC 中，A 、B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是()1,0.-以点C 为位似中心，在x 轴的下方作ABC 的位似图形''A B C ，并把ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点'B 的横坐标是a ，则点B 的横坐标是( )A ．12a -B ．()112a -+ C ．()112a -- D ．()132a -+6．已知二次函数y=-x2+2bx+c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）A．b≥-1 B．b≤-1 C．b≥1D．b≤17．如图，4AB=，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，12BE DB=，作EF DE⊥并截取EF DE=，连结AF并延长交射线BM于点C．设()02BE x x BC y=<≤=，，则y关于x的函数解析式是( )A．124xyx=--B．21xyx=--C．31xyx=--D．84xyx=--8．如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝kx(k≠0)在第一象限的图象经过顶点A(m，2)和CD边上的点E(n，23)，过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G(0，－2)，则点F的坐标是()A．(54，0) B．(74，0) C．(94，0) D．(114，0)9．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC=2，BD=1，AP=x，△CMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是（）A．B．C．D．10．如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．①△OB1C∽△OA1D；②OA•OC=OB•OD；③OC•G=OD•F1；④F=F1．其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，则a+b+c=___．12．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于___．13．如图，点A是反比例函数3yx=图象上任意一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为B，C，则四边形OBAC的面积为____．14．已知反比例函数kyx=的图像经过点()3,4-，则k的值是____________________．15．如图，已知点P （1，2）在反比例函数ky x=的图象上，观察图象可知，当x ＞1时，y 的取值范围是______．三、解答题16．已知反比例函数y ＝的图象与二次函数y ＝ax ＋x －1的图象相交于点（2，2） （1）求a 和k 的值；（2）反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点，为什么？17．如图，抛物线22y x x c =-++与x 轴交于A ，B 两点，它们的对称轴与x 轴交于点N ，过顶点M 作ME ⊥y 轴于点E ，连结BE 交MN 于点F.已知点A 的坐标为（﹣1，0）. （1）求该抛物线的解析式及顶点M 的坐标； （2）求△EMF 与△BNF 的面积之比.18．已知，如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且EF ∥BD ，AE 、AF 分别交BD 于点G 和点H ，BD=12，EF=8． 求：（1）DFAB的值； （2）线段GH 的长.19．反比例函数kyx=在第一象限的图象如图所示，过点A（1，0）作x轴的垂线，交反比例函数kyx=的图象于点M，△AOM的面积为3．（1）求反比例函数的解析式；（2）设点B的坐标为（t，0），其中t＞1．若以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数kyx=的图象上，求t的值．20．某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．(1)求出y与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？21．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过xmin时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A＝kx+b，y B＝14（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x＝40时，两组材料的温度相同．（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？22．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝AF＝3，求FG的长．23．如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高．求证：△DCE∽△ACB．24．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF，点E、F分别在边AC、BC上(图2、图3备用)．(1)设AC＝3，BC＝4，当△CEF与△ABC相似时，求AD的长；(2)当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．参考答案1．C【解析】【分析】利用配方法把二次函数的一般式转化为顶点式，可以求得h、k的值．【详解】解：∵y=x2+4x-1=（x2+4x+4）-4-1=（x+2）2-5，即二次函数y=x2+4x-1配方后为y=（x+2）2-5，∴h=2，k=-5，故选：C．【点睛】本题考查了将二次函数的一般式改写为顶点式，熟练掌握配方法是解题关键.2．D【详解】解：y＝x2＋2x－5的图像为抛物线开口向上．则只有最小值，没有最大值，排除AC．而抛物线顶点对应x值为b212a2--==-，则把x=-1代入原函数y=-6.故最小值为-6.考点：二次函数点评：本题难度中等，主要考查学生对二次函数图像抛物线性质分析．代入顶点坐标公式求出最小值即可．3．B【分析】根据黄金分割的定义得到BC2=AC•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=BC2，S2=AC•AB，即可得到S1=S2．【详解】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，∴BC2=AC•AB，∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，∴S1=BC2，S2=AC•AB，∴S1=S2．故选B．【点睛】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．4．C【详解】∵直线y=-2x+4与x轴，y轴分别相交于A，B两点∴OA=2，OB=4又∵∠1=∠2∴∠BAO=∠OCA∴△OAC∽△OAB则OC：OA=OA：OB=1：2∴OC=1，BC=3，∴S△ABC=0.5 ×2×3=35．D 【分析】过点B 作BE x ⊥轴于E ，过点'B 作'B F x ⊥轴于F ，根据位似变换的性质得出ABC 的边长放大到原来的2倍，FO a =，1CF a =+，()112CE a =+，进而得出点B 的横坐标． 【详解】解：如图，过点B 作BE x ⊥轴于E ，过点'B 作'B F x ⊥轴于F ，点C 的坐标是()1,0-，以点C 为位似中心，在x 轴的下方作把ABC 的边长放大到原来的2倍的位似图形''A B C ，点B 的对应点'B 的横坐标是a ，FO a ∴=，1CF a =+， ()112CE a ∴=+， ∴点B 的横坐标是：()()1111322a a -+-=-+． 故选D ． 【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，根据已知得出FO ＝a ，CF ＝a ＋1，CE ＝1(1)2a +，是解决问题的关键． 6．D 【解析】 【详解】解：∵抛物线y=-x 2+2bx+c 的对称轴为直线x=-22(1)b⨯-=b ，∴当x ＞b 时，y 随x 的增大而减小， ∵当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小， ∴b≤1． 故选D ． 【点睛】本题考查二次函数的性质． 7．A 【分析】过点F 作FG ⊥BC 于点G ，利用AAS 证出△BDE ≌△GEF ，从而得出BD=GE ，BE=FG=x ，然后根据相似三角形的判定定理证出△FCG ∽△ACB ，列出比例式即可得出结论． 【详解】解：过点F 作FG ⊥BC 于点G∵AB ⊥BM ，EF DE ⊥， ∴∠B=∠EGF=∠DEF=90°∴∠BDE ＋∠DEB=90°，∠GEF ＋∠DEB=90° ∴∠BDE=∠GEF 在△BDE 和△GEF 中B EGFBDE GEF DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△GEF ∴BD=GE ，BE=FG=x ∵12BE DB =∴DB=2x∴GE=2x∴CG=BC－BE－GE=y－3x∵∠FGC =∠B=90°，∠FCG=∠ACB ∴△FCG∽△ACB∴CG FG BC AB=即34 y x x y-=整理，得124x yx=--故选A．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质和求函数关系式，掌握全等三角形的判定及性质和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．8．C【详解】试题分析：∵正方形的顶点A（m，2），∴正方形的边长为2，∴BC=2，而点E（n，23），∴n=2+m，即E点坐标为（2+m，23），∴k=2•m=23（2+m），解得m=1，∴E点坐标为（3，23），设直线GF的解析式为y=ax+b，把E（3，23），G（0，-2）代入得23{32a bb+==-，解得8{92ab==-，∴直线GF的解析式为y=89x-2，当y=0时，89x-2=0，解得x=94，∴点F 的坐标为（94，0）．故选C ．考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 9．A 【解析】由题意得当0≤x≤1 时，y=0.5x 2；当1<x≤2时，y=1/2x(2-x)=-0.5x 2+1 故选A 10．D 【分析】根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行判断出B 1C ∥A 1D ，然后求出△OB 1C ∽△OA 1D ，判断出①正确；根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到②正确；根据杠杆平衡原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂列式判断出③正确；求出F 的大小不变，判断出④正确． 【详解】∵B 1C ⊥OA ，A 1D ⊥OA ， ∴B 1C ∥A 1D ，∴△OB 1C ∽△OA 1D ，故①正确； ∵△OB 1C ∽△OA 1D ， ∴11OB OC OD OA =， 由旋转的性质得，OB=OB 1，OA=OA 1， ∴OA•OC=OB•OD ，故②正确；由杠杆平衡原理，OC•G=OD•F 1，故③正确；∴111F OB OC OB G OD OA OA===是定值， ∴F 1的大小不变， ∴F=F 1，故④正确．综上所述，说法正确的是①②③④．故选D．11．0【解析】试题分析：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，∴y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），∴a+b+c=0．考点：二次函数的性质12．15 4.【分析】根据对顶角相等得到∠AEC=∠BED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当BE DEAE CE=时，△BDE∽△ACE，然后利用比例性质计算CE的长．【详解】解：∵∠AEC＝∠BED，∴当BE DEAE CE=时，△BDE∽△ACE，即45 3CE =∴CE＝15 4故答案为154．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或对顶角．13．3【分析】根据反比例函数3yx=的图象上点的坐标性得出|xy|＝3，进而得出四边形OBAC的面积．【详解】解：如图所示：可得OB×AB＝|xy|＝|k|＝3，则四边形OBAC 的面积为：3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数k y x =（k≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数ky x=（k≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 14．﹣12 【分析】直接将点()3,4-代入反比例函数解析式中，解之即可． 【详解】依题意，将点()3,4-代入k y x=，得：43k=-，解得：k =﹣12， 故答案为：﹣12． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握图象上的坐标与解析式的关系是解答的关键． 15．0＜y ＜2 【分析】由反比例函数图像的性质可知，反比例函数ky x=的图象与x 轴没有交点，且题干图形中，反比例函数图像在同一象限内，y 随x 增大而减小，据此解答即可. 【详解】解：反比例函数图像在同一象限内，y 随x 增大而减小，当x ＞1时，y ＜2；再由反比例函数图像的性质可知，y ＞0，故y 的取值范围是0＜y ＜2. 故答案为0＜y ＜2. 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质，注意不要遗漏了y ＞0. 16．（1）a ＝ k ＝4（2）略【解析】 （1）∵二次函数与反比例函数交于点（2,2）．∴2＝4a ＋2－1，解之得a ＝．2＝，所以k ＝4．（2）反比例函数的图像经过二次函数图像的顶点． 由（1）知，二次函数和反比例函数的关系式分别是和．∵＝＝＝＝∴二次函数图像的顶点坐标是（－2，－2）． ∵x ＝－2时，，∴反比例函数图像经过二次函数图像的顶点 17．（1）223y x x =-++，（1，4）；（2）14. 【详解】试题分析：（1）直接将（﹣1，0）代入求出即可，再利用配方法求出顶点坐标. （2）利用EM ∥BN ，则△EMF ∽△BNF ，进而求出△EMF 与△BNE 的面积之比． 试题解析：解：（1）∵点A 在抛物线22y x x c =-++上， ∴()()21210c --+⋅-+=，解得：c=3， ∴抛物线的解析式为223y x x =-++. ∵()222314y x x x =-++=--+， ∴抛物线的顶点M （1，4）；（2）∵A （﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，∴点B （3，0）. ∴EM=1，BN=2.∵EM ∥BN ，∴△EMF ∽△BNF.∴221124EMF BNF S EM S NB ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 考点：1.抛物线与x 轴的交点问题；2.二次函数的性质；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.相似三角形的判定和性质．18．(1)DF:AB=1:3,(2)GH=6.【解析】试题分析：（1）根据EF∥BD，则CF:CD=EF:BD，再利用平行四边形的性质即可得出DF:AB 的值；（2）利用DF∥AB，则FH:AH=DF:AB=1:3，进而得出GH:EF=AH:AF=3:4，求出GH即可．试题解析：（1）∵EF∥BD，∴CF:CD=EF:BD，∵BD=12，EF=8，∴CF:CD=2:3，∴DF:CD=1:3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∴DF:AB=1:3；（2）∵DF∥AB，∴FH:AH=DF:AB=1:3，∴AH:AF=3:4，∵EF∥BD，∴GH:EF=AH:AF=3:4，∴GH:8=3:4，∴GH=6．考点：1.平行线分线段成比例；2.平行四边形的性质．19．（1）6yx（2）7或3.【详解】试题分析：（1）根据反比例函数k的几何意义得到12|k|=3，可得到满足条件的k=6，于是得到反比例函数解析式为y=6x；（2）分类讨论：当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数y=6x的图象上，则D点与M点重合，即AB=AM，再利用反比例函数图象上点的坐标特征确定M点坐标为（1，6），则AB=AM=6，所以t=1+6=7；当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数y=6x的图象上，根据正方形的性质得AB=BC=t-1，则C点坐标为（t，t-1），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征得到t（t-1）=6，再解方程得到满足条件的t的值．试题解析：（1）∵△AOM的面积为3，∴12|k|=3，而k＞0，∴k=6，∴反比例函数解析式为y=6x；（2）当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数y=6x的图象上，则D点与M点重合，即AB=AM，把x=1代入y=6x得y=6，∴M点坐标为（1，6），∴AB=AM=6，∴t=1+6=7；当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数y=6x的图象上，则AB=BC=t-1，∴C点坐标为（t，t-1），∴t（t-1）=6，整理为t2-t-6=0，解得t1=3，t2=-2（舍去），∴t=3，∴以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y=kx的图象上时，t的值为7或3．考点：反比例函数综合题．20．(1) y＝221802000(150)12012000(5090)x x xx x⎧-++≤<⎨-+≤≤⎩；(2)该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．【分析】（1）分1≤x＜50和50≤x≤90两种情况进行讨论，利润=每件的利润×销售的件数，即可求得函数的解析式；（2）结合（1）得到的两个解析式，结合二次函数与一次函数的性质分别求得最值，然后两种情况下取最大值即可．【详解】(1)当1≤x ＜50时，y ＝(200－2x )(x ＋40－30)＝－2x 2＋180x ＋2000； 当50≤x ≤90时，y ＝(200－2x )(90－30)＝－120x ＋12000．∴y ＝()221802000(150)120120005090x x x x x ⎧-++≤<⎪⎨-+≤≤⎪⎩(2)当1≤x ＜50时，二次函数的图象开口下、对称轴为x ＝45， ∴当x ＝45时，y 最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050； 当50≤x ≤90时，一次函数y 随x 的增大而减小， ∴当x ＝50时，y 最大＝6000．∴综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的应用，根据函数的增减性确定最值是解题的关键. 21．（1）y A =﹣20x+1000； （2）B 组材料的温度是164℃；（3）当x=20时，两组材料温差最大为100℃． 【解析】试题分析：（1）首先求出y B 函数关系式，进而得出交点坐标，即可得出y A 函数关系式；（2）首先将y=120代入求出x 的值，进而代入y B 求出答案；（3）得出y A -y B 的函数关系式，进而求出最值即可．试题解析：（1）由题意可得出：y B =14（x ﹣60）2+m 经过（0，1000）， 则1000=14（0﹣60）2+m ， 解得：m=100，∴y B =14（x ﹣60）2+100， 当x=40时，y B =14×（40﹣60）2+100，解得：y B =200，y A =kx+b ，经过（0，1000），（40，200），则100040200b k b =⎧⎨+=⎩，解得：100020bk=⎧⎨=-⎩，∴y A=﹣20x+1000；（2）当A组材料的温度降至120℃时，120=﹣20x+1000，解得：x=44，当x=44，y B=14（44﹣60）2+100=164（℃），∴B组材料的温度是164℃；（3）当0＜x＜40时，y A﹣y B=﹣20x+1000﹣14（x﹣60）2﹣100=﹣14x2+10x=﹣14（x﹣20）2+100，∴当x=20时，两组材料温差最大为100℃．22．（1）△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM（写出两对即可）（2）5 3【分析】（1）根据已知条件，∠DME=∠A=∠B=α，结合∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，即可证相似；（2）根据相似三角形的性质，推出BG的长度，依据锐角三角函数推出AC的长度，即可求出CG、CF的长度，继而推出FG的长度．【详解】（1）证明：∵∠DME=∠A∴∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，又∵∠A＝∠B∴△AMF∽△BGM．（2）当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC=4∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝又∵AMF∽△BGM，∴AF BMAM BG=∴2833AM BM BG AF ===∴431=-=-=CF AC AF ，84433=-=-=CG BC BG∴53FG === 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，由相似得出线段比例关系是本题的关键. 23．见解析 【分析】首先由在△ABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的高，证得△CDA ∽△CEB ，即可得CD ：CA=CE ：CB ，继而证得结论． 【详解】证明：∵在△ABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的高， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∵∠C=∠C ， ∴△CDA ∽△CEB ， ∴CD ：CE=CA ：CB ， ∴CD ：CA=CE ：CB ， ∴△DCE ∽△ACB ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△CDE ∽△CAB 是解题的关键． 24．（1）∴符合条件的AD 的长为1.8或2.5；（2）当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似．理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求得AB=5，分CE 和CB 对应、CE 和CA 对应两种情况结合对应边成比例即可分别求得AD 的长；（2）当D是中点时，连接CD，与EF交于点Q，根据折叠的性质和直角三角形的性质可求得∠CFE=∠A，从而可证得结论．【详解】解：(1)在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB5．如图1，若△CEF∽△CBA，则∠CEF＝∠B．由折叠性质可知：CD⊥EF，则∠CEF＋∠ECD＝90°，又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠A＝∠ECD，∴AD＝CD．同理：∠B＝∠FCD，CD＝BD．∴AD＝AB＝2.5．如图2，若△CFE∽△CBA，则∠CEF＝∠B．∴EF∥BC．由折叠性质可知：CD⊥EF，则CD⊥AB．∴△ACD∽△ABC．∴＝，AD＝＝＝1.8．∴符合条件的AD的长为1.8或2.5．(2)当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．理由：如图3，连接CD交EF于点H．∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD＝DB＝AB．∴∠DCB＝∠B．由折叠性质可知：CD⊥EF，则∠CHF＝∠DHF＝90°．∴∠DCB＋∠CFE＝90°．∵∠B＋∠A＝90°，∴∠CFE＝∠A．又∵∠C＝∠C，∴△CEF∽△CBA．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质及折叠的性质、直角三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，注意分类讨论思想在本题中的应用．。
沪科版九年级上册数学期中考试试题及答案解析
沪科版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．将二次函数y=x 2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ） A ．y=x 2﹣1 B ．y=x 2+1 C ．y=（x ﹣1）2 D ．y=（x+1）2 2．如果反比例函数y ＝kx 的图象经过点（﹣12，3），则k 的值是（ ） A ．﹣16B ．﹣6C ．32D ．32-3．已知3x=5y （y≠0），则下列比例式成立的是（ ） A ．3x =5yB ．5x =3y C ．x y =35D ．3x =5y 4．若ABC A B C '∆'∆'∽，相似比为1:2，则ABC ∆与A B C ∆'''的面积的比为（ ） A ．1:2B ．2:1C ．1:4D ．4:15．二次函数2y x ax b =++中，若0a b +=，则它的图象必经过点（ ） A ．(-1,-1)B ．(1, 1)C ．(1,-1)D ．（-1，1）6．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC ＝16，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长是（ ）A ．8B ．C ．12D ．7．如图，平面直角坐标系中，点A 是x 轴上任意一点，BC 平行于x 轴，分别交y=3x（x ＞0）、y=kx（x ＜0）的图象于B 、C 两点，若△ABC 的面积为2，则k 值为（ ）A．﹣1 B．1 C．12-D．128．已知二次函数y＝a（x﹣m）2﹣n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+a与反比例函数y＝﹣mnx在同一坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE，记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2，（）A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S210．如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（14，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（）A．14-≤b≤1B．54-≤b≤1C．94-≤b≤12D．94-≤b≤1二、填空题11．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P 为AB 的黄金分割点（AP>PB ），如果AB 的长度为10cm ，那么PB 的长度为__________cm ．12．已知点A （0，y 1）、B （1，y 2）、C （3，y 3）在抛物线y ＝ax 2﹣2ax +1（a ＜0）上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是_____（用“＜”联结）．13．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．14．二次函数y ＝x 2﹣x +a （0＜a ＜14），若当x ＝t 时，y ＜0，则当x ＝t ﹣1时，函数值y 的取值范围为_____． 三、解答题15．已知抛物线254y ax x a =-+过点C （5，4）． （1）求a 的值；（2）求该抛物线顶点的坐标．16．如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AE ＝2CE ，AB ＝6，BC ＝9．求：四边形BDEF 的周长．17．如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍，画出图形；（2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；（3）求△OB′C′的面积．18．某施工地在道路拓宽施工时，遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为90米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被占去了一部分△ADE，变成了四边形BCED且DE∥BC，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成BD为18米．求被占去的部分面积有多大？它的周长是多少？19．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝mx（m≠0）交于点A（4，1）与点B（﹣1，n）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．20．有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x轴的交点坐标分别为A（1，0），B（x2，y2）（点B在点A的右侧）；②对称轴是x＝3；③该函数有最小值是﹣2．（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象中x＞x2部分的图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，试结合图象分析：平行于x轴的直线y＝m与图象“G”的交点的个数情况．⊥于点E，点D在边AC上，联结BD交CE 21．如图，已知，在锐角ABC中，CE AB⋅=⋅．于点F，且EF FC FB DF()1求证：BD AC⊥；()2联结AF，求证：AF BE BC EF⋅=⋅．22．我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y（万件）与月份x（月）的关系为：41820912x x xyx x x+≤≤⎧=⎨-+≤≤⎩（，为整数）（，为整数），每件产品的利润z（元）与月份x（月）的关系如下表：（1）请你根据表格求出每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式；（2）若月利润w（万元）=当月销售量y（万件）×当月每件产品的利润z（元），求月利润w（万元）与月份x（月）的关系式；（3）当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？23．我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I为△ABC的内心．（1）如图1，连接AI并延长交BC于点D，若AB=AC=3，BC=2，求ID的长；（2）如图2，过点I作直线交AB于点M，交AC于点N．①若MN⊥AI，求证：MI2=BM•CN；②如图3，AI交BC于点D，若∠BAC=60°，AI=4，求11AM AN+的值．参考答案与解析1．A 【解析】二次函数图象与平移变换．据平移变化的规律，左右平移只改变横坐标，左减右加．上下平移只改变纵坐标，下减上加．因此，将二次函数y=x 2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：y=x 2﹣1．故选A ． 2．D 【分析】直接利用反比例函数图像上点的坐标特点得出答案． 【详解】解：∵反比例函数y ＝kx 的图像经过点（﹣12，3）， ∴k ＝xy ＝﹣32． 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，正确代入已知点是解题关键． 3．B 【分析】直接利用比例的性质得出x ，y 之间关系进而得出答案． 【详解】 A. 由53x y=得15xy =，故本选项错误； B. 由53x y=得35x y =，故本选项正确； C. 由35x y =得53x y =，故本选项错误； D. 由35x y =得53x y =，故本选项错误. 故选B. 【点睛】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．4．C 【详解】试题分析：直接根据相似三角形面积比等于相似比平方的性质.得出结论： ∵ABC A B C '∆'∆'∽，相似比为1:2， ∴ABC ∆与A B C ∆'''的面积的比为1:4. 故选C.考点：相似三角形的性质. 5．B 【解析】试题解析：当1x =时，110 1.y a b =++=+= 故它的图象过点()1,1. 故选B. 6．B 【分析】通过证明△DAC ∽△ABC ，可得AC DCBC AC=，即可求AC 的长． 【详解】解：∵AD 是中线，BC ＝16， ∴BD ＝DC ＝8，∵∠B ＝∠DAC ，∠C ＝∠C ， ∴△DAC ∽△ABC ∴AC DCBC AC= ∴AC 2＝16×8，∴AC ＝ 故选：B ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△DAC ∽△ABC 是本题的关键． 7．A【详解】【分析】连接OC、OB，如图，由于BC∥x轴，根据三角形面积公式得到S△ACB=S△OCB，再利用反比例函数系数k的几何意义得到12×|3|+12•|k|=2，然后解关于k的绝对值方程可得到满足条件的k的值．【详解】连接OC、OB，如图，∵BC∥x轴，∴S△ACB=S△OCB，而S△OCB=12×|3|+12•|k|，∴12×|3|+12•|k|=2，而k＜0，∴k=﹣1，故选A．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．8．B【分析】根据二次函数图象判断出a＞0，m＜0，n＜0，然后求出mn＞0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，由图可知，m ＜0，n ＜0， ∴mn ＞0，∴一次函数y ＝mx+a 的图像过第一、二、四象限，反比例函数y ＝﹣mnx分布在第二、四象限． 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数图像，一次函数图像，反比例函数图像，观察二次函数图像判断出m 、n 、a 的取值是解题的关键． 9．D 【解析】 【分析】根据题意判定△ADE ∽△ABC ，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答． 【详解】∵如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴2112BDES AD S S SAB=++（）， ∴若2AD ＞AB ，即12AD AB ＞时，11214BDES S S S ++＞， 此时3S 1＞S 2+S △BDE ，而S 2+S △BDE ＜2S 2．但是不能确定3S 1与2S 2的大小， 故选项A 不符合题意，选项B 不符合题意． 若2AD ＜AB ，即12AD AB ＜时，11214BDES S S S ++＜， 此时3S 1＜S 2+S △BDE ＜2S 2，故选项C 不符合题意，选项D 符合题意．故选D ．【点睛】考查了相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．10．B【分析】延长NM 交y 轴于P 点，则MN ⊥y 轴．连接CN ．证明△PAB ∽△NCA ，得出PB PA NA NC =，设PA ＝x ，则NA ＝PN ﹣PA ＝3﹣x ，设PB ＝y ，代入整理得到y ＝3x ﹣x 2＝﹣（x ﹣32）2+94，根据二次函数的性质以及14≤x≤3，求出y 的最大与最小值，进而求出b 的取值范围． 【详解】 解：如图，延长NM 交y 轴于P 点，则MN ⊥y 轴．连接CN ．在△PAB 与△NCA 中，9090APB CNA PAB NCA CAN∠∠︒⎧⎨∠∠︒-∠⎩＝＝＝＝ ， ∴△PAB ∽△NCA ， ∴PB PA NA NC=， 设PA ＝x ，则NA ＝PN ﹣PA ＝3﹣x ，设PB ＝y ， ∴31y x x =-， ∴y ＝3x ﹣x 2＝﹣（x ﹣32）2+94， ∵﹣1＜0，14≤x≤3， ∴x ＝32时，y 有最大值94，此时b ＝1﹣94＝﹣54， x ＝3时，y 有最小值0，此时b ＝1，∴b 的取值范围是﹣54≤b≤1． 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键．11．（15﹣【分析】先利用黄金分割的定义计算出AP，然后计算AB-AP即得到PB的长．【详解】∵P为A B的黄金分割点（AP＞PB），∴AP AB×5，∴PB=AB﹣P A=10﹣（5）=（15﹣cm．故答案为（15﹣．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AB．12．y3＜y1＜y2．【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的增减性解答．【详解】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣22aa-＝1，∵a＜0，∴抛物线开口方向向下，∵A（0，y1）、B（1，y2）、C（3，y3），∴y3＜y1＜y2．故答案为：y3＜y1＜y2．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出抛物线的对称轴是解题的关键．13．60 17．【分析】如图，根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论. 【详解】如图，∵四边形CDEF是正方形，∴CD=ED，DE∥CF，设ED=x，则CD=x，AD=12-x，∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴DEBC＝ADAC，∴x5＝12-x12，∴x=60 17，故答案为60 17.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．14．0＜y ＜94． 【分析】 先由a 的范围，得△＞0，进而得抛物线的对称轴及当x ＝0或1时，y 的范围，从而得当y ＜0时，t 的范围及t ﹣1的范围，再由t ﹣1的范围两端的临界值，得对应的函数值，从而得答案．【详解】解：∵0＜a ＜14， ∴△＝1﹣4a ＞0，∵抛物线的对称轴为x ＝12，x ＝0或1时，y ＝a ＞0， ∴当y ＜0时，0＜t ＜1，∴﹣1＜t ﹣1＜0，∴当x ＝﹣1时，y ＝1+1+a ＝a+2，当x ＝0时，y ＝0﹣0+a ＝a ，∴当x ＝t ﹣1时，函数值y 的取值范围为a ＜y ＜a+2，∵0＜a ＜14， ∴0＜y ＜94， 故答案为：0＜y ＜94． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点的性质、抛物线的交点个数与对应的一元二次方程的判别式的关系、二次函数的函数值在对称轴同侧的变化情况等知识点，具有一定的综合性． 15．（1）1；（2）（52，94-）． 【解析】试题分析：（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，把C 点坐标代入254y ax x a =-+中得到关于a 的方程，然后解此方程即可；（2）利用配方法把抛物线解析式配成顶点式即可得到顶点坐标．试题解析：（1）把C （5，4）代入254y ax x a =-+得252544a a -+=，解得1a =；（2）∵1a =，∴抛物线解析式为225954()24y x x x =-+=--，所以抛物线的顶点坐标为（52，94-）． 考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．二次函数的性质．16．16【分析】由题中条件可得四边形DBFE 是平行四边形，再由平行线分线段成比例的性质求得线段BD 、DE 的长，进而可求其周长．【详解】解：∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形，∴EF ＝BD ，DE ＝BF ，∵DE ∥BC ， ∴AE AD DE AC AB BC== ， ∵AE ＝2CE ， ∴AE AC ＝2369AD DE ==， ∴DE ＝6，AD ＝4，即BD ＝2，∴四边形BDEF 的周长＝2（BD+DE ）＝2×（6+2）＝16．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理，应能够熟练掌握．17．（1）详见解析；（2）B ′（﹣6，2），C ′（﹣4，﹣2）；（3）10．【分析】(1)分别延长BO ，CO ，使B′O ＝2BO ，C′O ＝2CO ，然后连接B′C′即可；(2)根据图形写出坐标即可；(3)利用网格把三角形放到矩形里面，然后利用矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，求解即可．【详解】解：（1）如图；（2）由图可得：B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）；（3）S △OB′C′＝S 矩形AB′DE ﹣S △AB′O ﹣S △B′DC′﹣S △C′EO ，＝6×4﹣12×2×6﹣12×4×2﹣12×4×2， ＝24﹣14，＝10，即△OB′C′的面积为10.【点睛】本题主要考查了利用位似变换作图以及“割补法”求面积，割补法是求图形面积的常用方法，有一定难度．18．C △ADE ＝36m ， S △ADE ＝16（m 2）．【分析】首先证明△ADE ∽△ABC ，求出相似比，然后根据相似三角形的性质列出比例式求△ADE 的周长和面积即可．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴ADE ABCC AD DE AE AB BC AC C ===△△， ∵AB 的长由原来的30米缩短成BD 为18米，∴AD ＝12m ，∴123090ADE ADEABCC CC==△△△，解得：C△ADE＝36（m），∵21241003025 ADE ADEABCS SS⎛⎫===⎪⎝⎭△△△，∴S△ADE＝16（m2）．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，根题意得出△ADE∽△ABC求出相似比是解题关键．19．（1）y＝4x，y＝x﹣3；（2）152；（3）﹣1＜x＜0或x＞4．【分析】（1）把点A（4，1）代入反比例函数y＝mx得到m＝4，即反比例函数的解析式为y＝4x，然后求出B（﹣1，﹣4），再把点A（4，1）与点B（﹣1，﹣4）代入一次函数y＝kx+b求出k和b即可；（2）求出点C坐标，然后根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围即可．【详解】解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y＝mx（m≠0）的图像上，∴m＝4，即反比例函数的解析式为y＝4x，当x＝﹣1时，n＝﹣4，即B（﹣1，﹣4），∵点A（4，1）与点B（﹣1，﹣4）在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，∴144k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：13kb=⎧⎨=-⎩∴一次函数解析式为y＝x﹣3；（2）对于y＝x﹣3，当y＝0时，x＝3，∴C（3，0）∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝1115 3134222⨯⨯+⨯⨯=；（3）由图象可得，当﹣1＜x＜0或x＞4时，一次函数的值大于反例函数的值．【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及三角形的面积公式，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键．20．（1）y＝12（x﹣3）2﹣2；（2）详见解析．【分析】（1）设出二次函数解析式的顶点式，代入A（1，0）求出a即可；（2）求出点B坐标，画出函数G的图像，然后依据函数图象进行回答即可．【详解】解：（1）由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为：（3，﹣2），设二次函数的表达式为：y＝a（x﹣3）2﹣2．∵该函数图象经过点A（1，0），∴0＝a（1﹣3）2﹣2，解得a＝12，∴二次函数解析式为：y＝12（x﹣3）2﹣2；（2）∵A（1，0），对称轴是x＝3；∴B（5，0），如图所示：当m＞0时，直线y＝m与G有一个交点；当m＝0时，直线y＝m与G有两个交点；当﹣2＜m＜0时，直线y＝m与G有三个交点；当m＝﹣2时，直线y＝m与G有两个交点；当m＜﹣2时，直线y＝m与G有一个交点．【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数的解析式，数形结合是解题的关键．21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）证明△EFB∽△DFC，根据相似三角形对应角相等可得∠EFB=∠FDC，从而证得BD⊥AC；（2）由EFB∽DFC，可得ABD ACE∠=∠，从而证明AEC∽FEB，根据相似三角形的性质可得AE FEEC EB=，再根据AEC FEB∠=∠，从而得AEF∽CEB，根据相似三角形的性质即可得.试题解析：（1）EF FC FB DF⋅=⋅，EF FBDF FC∴=，EFB DFC∠=∠，EFB∴∽DFC，FEB FDC∴∠=∠，CE AB⊥，90FEB∴∠=，90FDC∴∠=，BD AC∴⊥；()2EFB∽DFC，ABD ACE∴∠=∠，CE AB⊥，90FEB AEC∴∠=∠=，AEC∴∽FEB，AEECFE EB ∴=，AEFEEC EB ∴=，90AEC FEB ∠=∠=，AEF ∴∽CEB ，AFEFCB EB ∴=，AF BE BC EF ∴⋅=⋅．22．（1）20110101112x x x z x x -+≤≤⎧=⎨≤≤⎩（，为整数）（，为整数）；（2）()()()2216801840400910102001112x x x x w x x x x x x x ⎧-++≤≤⎪=-+≤≤⎨⎪-+≤≤⎩，为整数，为整数，为整数；（3）x=8时，w 有最大值144万元.【详解】分析：（1）根据表格中的数据可以求得各段对应的函数解析式，本题得以解决； （2）根据题目中的解析式和（1）中的解析式可以解答本题；（3）根据（2）中的解析式可以求得各段的最大值，从而可以解答本题．详解；（1）当1≤x≤9时，设每件产品利润z （元）与月份x （月）的关系式为z=kx+b ， 19218k b k b ＝＝+⎧⎨+⎩，得120k b -⎧⎨⎩＝＝， 即当1≤x≤9时，每件产品利润z （元）与月份x （月）的关系式为z=-x+20， 当10≤x≤12时，z=10，由上可得，z=20(19)10(1012)x x x x x -+≤≤⎧⎨≤≤⎩，取整数，取整数；（2）当1≤x≤8时，w=（-x+20）（x+4）=-x 2+16x+80当9≤x≤10时，w=（-x+20）（-x+20）=x 2-40x+400；当11≤x≤12时，w=10（-x+20）=-10x+200；∴w 与x 的关系式为： ()()()2216801840400910102001112x x x x w x x x x x x x ⎧-++≤≤⎪=-+≤≤⎨⎪-+≤≤⎩，为整数，为整数，为整数；（3）当1≤x≤8时，w=-x 2+16x+80=-（x-8）2+144，∴当x=8时，w 取得最大值，此时w=144；当x=9时，w=121，当10≤x≤12时，w=-10x+200，则当x=10时，w 取得最大值，此时w=100，由上可得，当x 为8时，月利润w 有最大值，最大值144万元．点睛：本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．23．（1；（2）见解析；（3 【解析】【分析】（1）如图1中，作IE ⊥AB 于E ．设ID=x ．由△BEI ≌△BDI ，可得ID=IE=x ，BD=BE=1，AE=2，在Rt △AEI 中，根据AE 2+EI 2=AI 2，可得()2222,x x +=解方程即可； （2）如图2中，连接BI 、CI ．首先证明△AMI ≌△ANI （ASA ），再证明△BMI ∽△INC ，可得22440x b ⇒++-=，推出NI 2=BM•CN ，由此即可解决问题；（3）过点N 作NG ∥AD 交MA 的延长线于G ．由∠ANG=∠AGN=30°，推出AN=AG ，,NG 由AI ∥NG ，推出,BM NINI NC =，可得AM AM AN =+即可推出11AM AN += 【详解】 （1）如图1中，作IE ⊥AB 于E ．设ID=x ．∵AB=AC=3，AI 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，BD=CD=1，在Rt △ABD 中，AD ===∵∠EBI=∠DBI ，∠BEI=∠BDI=90°，BI=BI ，∴△BEI ≌△BDI ，∴ID=IE=x ，BD=BE=1，AE=2，在Rt △AEI 中，∵AE 2+EI 2=AI 2，∴()2222x x +=，∴2x =∴2ID =（2）如图2中，连接BI 、CI ．∵I 是内心，∴∠MAI=∠NAI ，∵AI ⊥MN ，∴∠AIM=∠AIN=90°，∵AI=AI ，∴△AMI ≌△ANI （ASA ），∴∠AMN=∠ANM ，∴∠BMI=∠CNI ，设∠BAI=∠CAI=α，∠ACI=∠BCI=β，∴∠NIC=90°﹣α﹣β，∵∠ABC=180°﹣2α﹣2β，∴∠MBI=90°﹣α﹣β，∴∠MBI=∠NIC ，∴△BMI ∽△INC ，∴,BMNINI NC =∴NI 2=BM•CN ，∵NI=MI ，∴MI 2=BM•CN ．（3）过点N 作NG ∥AD 交MA 的延长线于G ．∴∠ANG=∠AGN=30°，∴AN=AG ，NG =，∵AI ∥NG ， ∴,AMAIMG GN = ∴AM AM AN =+∴11AM AN +=【点睛】考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，综合性比较强，难度较大.。
沪科版九年级上册数学期中考试试题带答案
沪科版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．若a b ＝23，则下列变形错误的是（ ） A ．23a b= B ．32b a= C ．3a ＝2bD ．2a ＝3b2．将二次函数y ＝x 2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A ．y ＝(x －1)2＋2B ．y ＝(x ＋1)2＋2C ．y ＝(x －1)2－2D ．y ＝(x ＋1)2－23．下面四组图形中，必是相似三角形的为（ ） A ．两个直角三角形B ．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形C ．有一个角为40°的两个等腰三角形D ．有一个角为100°的两个等腰三角形4．点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＜BC ，BC ＝mAB ，则m 的值是（ ）A B C 352D 25．下列函数中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小的是（ ） A ．y ＝2xB ．y ＝2x C ．y ＝3x +2 D ．y ＝x 2﹣36．如图，M 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一定点，过M 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7．一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（ ） A ．3.6 元B ．5 元C ．10 元D ．12 元8．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，若S △BDE ：S △CDE ＝1：4，则S △DOE ：S △AOC 的值为（ ）A ．14B ．19C ．116D ．1259．已知函数y ＝22(0)(0)x x x x x x ⎧-⎨--<⎩，当a ≤x ≤b 时，﹣14≤y ≤14，则b ﹣a 的最大值为（ ）A ．1B C ．12D ．210．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P 是AB 边上一动点，PD ⊥AC 于点D ，点E 在P 的右侧，且PE=1，连结CE ．P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S 1+S 2的大小变化情况是（ ）A ．一直减小B ．一直不变C ．先减小后增大D ．先增大后减小二、填空题11．已知三条线段a 、b 、c ，其中a ＝1cm ，b ＝4cm ，c 是a 、b 的比例中项，则c ＝_____cm ． 12．抛物线22y x x m =--+，若其顶点在x 轴上，则m =______．13．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABO 的顶点O 与原点重合，顶点B 在x 轴上，∠ABO=90°，OA 与反比例函数y=kx的图象交于点D ，且OD=2AD ，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C ．若S 四边形ABCD =10，则k 的值为 ．14．等边三角形ABC中，AB＝3，点D在直线BC上，点E在直线AC上，且∠BAD＝∠CBE，当BD＝1时，则AE的长为_____．三、解答题15．如图，已知：l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DF＝12．求DE的长．16．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（4，2）．（1）以点A（1，1）为位似中心画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC 的位似比为2：1（2）点B1的坐标为；点C1的坐标为．17．二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式．18．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ABD=∠ACD，试找出图中的相似三角形，并加以证明.19．如图，从某建筑物9米高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面12米，建立平面直角坐标系，如图．（1）求抛物线的解析式；（2）求水流落地点B离墙的距离OB．20．在△ABC中，D是BC的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC～△FCD；（2）若△DEF的面积为2，求△FCD的面积．21．（阅读理解）对于任意正实数a、b，∵2≥0，∴a ﹣b ≥0，∴a +b （只有当a ＝b 时，a +b ＝．即当a ＝b 时，a +b 取得最小值，且最小值为根据上述内容，回答下列问题： 问题1：若m ＞0，当m ＝ 时，m +4m有最小值为 ； 问题2：若函数y ＝a +9(1)1a a >-，则当a ＝ 时，函数y ＝a +9(1)1a a >-有最小值为 ；（探索应用）已知点Q （﹣3，﹣4）是双曲线y ＝xk上一点，过Q 做QA ⊥x 轴于点A ，作QB ⊥y 轴于点B ．点P 为双曲线y ＝(0)kx x>上任意一点，连接P A ，PB ，求四边形AQBP 的面积的最小值．22．创客联盟的队员想用3D 的打印完成一幅边长为6米的正方形作品ABCD ，设计图案如图所示（四周阴影是四个全等的矩形，用材料甲打印；中心区是正方形MNPQ ，用材料乙打印）．在打印厚度保持相同的情况下，两种材料的消耗成本如表：设矩形的较短边AH 的长为x 米，打印材料的总费用为y 元．（1）MQ的长为米（用含x的代数式表示）；（2）求y关于x的函数解析式；（3）当中心区的边长不小于2米时，预备资金1700元购买材料一定够用吗？请说明理由．23．如图1矩形ABCD中，点E是CD边上的动点（点E不与点C，D重合），连接AE，过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，点G为EF的中点，连接BG．（1）求证：△ADE∽△ABF；（2）若AB＝20，AD＝10，设DE＝x，点G到直线BC的距离为y．①求y与x的函数关系式；②当2413ECBG=时，x的值为；（3）如图2，若AB＝BC，设四边形ABCD的面积为S，四边形BCEG的面积为S1，当11 4S S=时，DE：DC的值为．参考答案1．D【分析】根据比例的性质逐项分析即可. 【详解】A. ∵ab＝23，∴23a b=，故正确；B. ∵ab＝23，∴32b a=，故正确；C. ∵ab＝23，∴3a＝2b，故C正确，D错误；故选D. 【点睛】本题考查了比例的基本性质，如果a∶b=c∶d或a cb d=，那么ad=bc，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果ad=bc，那么a∶b=c∶d或a cb d=（bd≠0）.2．A【详解】试题分析：根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．解：将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是y=（x﹣1）2+2，故选A．考点：二次函数图象与几何变换．3．D【分析】根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质和相似三角形的判定方法即可判定.【详解】解：两个直角三角形不一定相似，因为只有一个直角相等，∴A不一定相似；两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似，因为这个对应角不一定是夹角；∴B不一定相似；有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似，因为40°的角可能是顶角，也可能是底角，∴C不一定相似；有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似，因为100°的角只能是顶角，所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，∴D 一定相似； 故选：D ． 【点睛】本题考查了等腰三角形和直角三角形的性质以及相似三角形的判定，属于基础题型，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键. 4．A 【分析】直接利用黄金分割的定义求解． 【详解】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＜BC ，∴BC AB ，∴m ． 故选：A ． 【点睛】是解题的关键. 5．A 【分析】根据一次函数，二次函数，反比例函数及正比例函数的性质判定即可． 【详解】 解：A 、y ＝2x，x ＞0时y 随x 的增大而减小，故本选项正确， B 、y ＝2x，y 随x 的增大而增大，故本选项错误， C 、y ＝3x +2，y 随x 的增大而增大，故本选项错误，D 、y ＝x 2﹣3，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，故本选项错误. 故选：A ． 【点睛】本题考查了初中阶段常见的三种函数：一次函数，二次函数和反比例函数的性质，属于基本题型，熟练掌握三类常见函数的性质是关键.6．C【分析】过点M作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．【详解】过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．因此，∵截得的三角形与△ABC相似，∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意∴过点M作直线l共有三条．故选C．7．B【分析】设每件降价x元，每天获得的利润记为W元，依据：每天获得的总利润＝每件工艺品的利润×每天的销售量，列出函数关系式，配方成顶点式即可得其最值情况．【详解】解：设每件降价x元，每天获得的利润记为W元，根据题意，W＝（135﹣x﹣100）（100+4x）＝﹣4x2+40x+3500＝﹣4（x﹣5）2+3600，∵﹣4＜0，∴当x＝5时，W取得最大值，最大值为3600，即每件降价5元时，每天获得的利润最大，最大利润为3600元．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的应用之销售问题，属于常考题型，正确列出二次函数的关系式、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.8．D【分析】由已知条件易求得BE：BC＝1：5，由DE∥AC可证△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，可得DE：AC的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题．【详解】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：4，∴BE：EC＝1：4，∴BE：BC＝1：5，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，∴DE：AC＝BE：BC＝1：5，∴S△DOE：S△AOC＝（15）2＝125.故选：D．【点睛】本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键.9．B【分析】根据题意画出函数的图象如下图所示，根据图象求出当x≥0，y＝14时，点B的坐标，再求出当x＜0时点C的坐标，然后计算点B的横坐标与点C的横坐标的差即为所求．【详解】解：函数的图象如下图所示，当x ≥0，y ＝﹣14时，214x x -=-，解得：x ＝12，当y ＝14时，x ＝122（负值已舍去）， 故顶点A 的坐标为（12，﹣14），点B （122，14）；同理点C 14）；则b ﹣a 122﹣＝ 故选B ．【点睛】 本题考查的是二次函数的性质和图象，解答本题的关键是理解题意、正确画出函数图象、灵活应用二次函数的性质求解.10．C【详解】解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，AC =4，BC =2，∴AB =设PD =x ，AB 边上的高为h ，h =AC BC AB ⋅ ∵PD ∥BC ，∴PD AD BC AC=，∴AD =2x ，AP ，∴S 1+S 2=12•2x •x +11)2=224x x -+=2(1)3x -+， ∴当0＜x ＜1时，S 1+S 2的值随x 的增大而减小，当1≤x ≤2时，S 1+S 2的值随x 的增大而增大．故选C ．11．2【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c 的长，注意线段不能为负．【详解】解：∵c 是a 、b 的比例中项，∴::a c c b =，即2c ab =，所以c 2＝4×1，解得：c ＝±2（线段是正数，负值舍去），则c ＝2cm ．故答案为：2．【点睛】本题考查了比例中项的定义和比例的性质，属于基本题型，熟知概念是关键.12．-1【分析】根据抛物线的顶点坐标即可解答.【详解】原式可写成y=(x-1)2-1+m又因为顶点在x 轴上，即-1+m=0,m=1.【点睛】掌握抛物线一般式和顶点式之间的转化是解答本题的关键.13．﹣16【详解】∵OD=2AD ， ∴23ODOA =，∵∠ABO=90°，DC ⊥OB ，∴AB ∥DC ，∴△DCO ∽△ABO ，∴23DCOCODAB OB OA ===， ∴22439ODC OAB S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∵S 四边形ABCD =10，∴S △ODC =8，∴OC×CD=8，OC×CD=16，∴k=﹣16，故答案为﹣16．14．2或4或92或94【分析】分四种情形分别画出图形，利用全等三角形或相似三角形的性质解决问题即可.【详解】解：分四种情形：①如图1中，当点D 在边BC 上，点E 在边AC 上时．∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝3，∠ABD ＝∠BCE ＝60°，∵∠BAD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△BCE （ASA ），∴BD ＝EC ＝1，∴AE ＝AC ﹣EC ＝2；②如图2中，当点D在边BC上，点E在AC的延长线上时．作EF∥AB交BC的延长线于F．∵∠CEF＝∠CAB＝60°，∠ECF＝∠ACB＝60°，∴△ECF是等边三角形，设EC＝CF＝EF＝x，∵∠ABD＝∠BFE＝60°，∠BAD＝∠FBE，∴△ABD∽△BFE，∴BD ABEF BF=，即133x x=+，解得x＝32，∴AE＝AC+CE＝92；③如图3中，当点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上时．∵∠ABD＝∠BCE＝120°，AB＝BC，∠BAD＝∠CBE，∴△ABD≌△BCE（ASA），∴EC＝BD＝1，∴AE＝AC+EC＝4；④如图4中，当点D在CB的延长线上，点E在边AC上时，作EF∥AB交BC于F，则△EFC 是等边三角形．设EC＝EF＝CF＝m，由△ABD∽△BFE，可得BD AB EF BF=，∴133m m=-，解得m＝34，∴AE＝AC﹣EC＝94，综上所述，满足条件的AE的值为2或4或92或94．故答案为：2或4或92或94．【点睛】本题以等边三角形为载体，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质，正确分类、不重不漏的画出符合题意的图形、灵活应用全等三角形和相似三角形的判定和性质是解答的关键.15．4【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式求解即可．【详解】解：∵l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DF＝12，∴AB DEAC DF=，即2612DE=，解得DE＝4．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，属于基础题型，掌握定理是关键. 16．（1）见解析；（2）（3，5）；（7，3）【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）根据图形得出坐标即可．【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；（2）点B1的坐标为（3，5）；点C1的坐标为（7，3）．故答案为：（3，5）；（7，3）．【点睛】本题考查了位似变换作图，属于基础题型，得出变换后的对应点位置是解题关键.17．y＝2x2﹣4x﹣6【分析】利用待定系数法求解即可.【详解】解：根据题意可设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点（1，﹣8）代入，得：﹣4a＝﹣8，解得：a＝2，∴该二次函数解析式为y＝2（x+1）（x﹣3），即y＝2x2﹣4x﹣6．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的的解析式，属于基本题型，熟练掌握求解的方法是关键. 18．△AOB∽△DOC，△AOD∽△BOC【解析】试题分析：由∠ABD=∠ACD结合对顶角相等，可证得△AOB∽△DOC，根据相似三角形的性质可得，即得，再结合对顶角相等，可证得△AOD∽△BOC.∵∠ABD=∠ACD，∠AOB=∠DOC（对顶角相等）∴△AOB∽△DOC∴∴又∵∠AOD=∠BOC∴△AOD∽△BOC考点：同角的余角相等，相似三角形的判定和性质点评：相似三角形的判定在中考中往往不以单独的知识点出现，而是出现在综合性的大题中，如二次函数与圆的应用等问题，因而熟练掌握相似三角形的判定方法极为重要.19．（1）y＝﹣3x2+6x+9；（2）3米.【分析】（1）先根据题意确定所求抛物线的顶点M和点A的坐标，再利用待定系数法求解；（2）根据（1）中求得的二次函数解析式即可求解．【详解】解：（1）根据题意，得A（0，9），顶点M（1，12），于是设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+12，把A（0，9）代入，得9=a+12，解得a＝﹣3，所以抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2+12＝﹣3x2+6x+9．答：抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9．（2）当y＝0时，0＝﹣3x2+6x+9，解得x1＝3，x2＝﹣1，所以B（3，0）．答：水流落地点B离墙的距离OB为3米．【点睛】本题是二次函数的应用题，正确理解题意、求出抛物线的解析式是解题关键.20．（1）见解析；（2）6【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得BE＝EC，进而可得∠ABC＝∠FCD，由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠FDC，问题即得解决；（2）由相似三角形的性质可得AC ＝2DF ，S △ABC ＝4S △FCD ，进而可得AF ＝DF ，S △DEC ＝S △AEC ，再利用S △ABC 与S △FCD 的关系得出关于S △FCD 的方程，即可求解．【详解】解：（1）∵D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，∴BE ＝EC ，BD ＝CD ＝12BC ， ∴∠ABC ＝∠FCD ，∵AD ＝AC ，∴∠ACB ＝∠FDC ，∴△ABC ∽△FCD ；（2）∵△ABC ∽△FCD ， ∴12DF CD AC BC ==，∴214FCD ABC S CD S BC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴AC ＝2DF ，S △ABC ＝4S △FCD ，∴AD ＝2DF ， ∴AF ＝DF ，∴S △DEF ＝S △AEF ＝2，S △DFC ＝S △AFC ，∴S △DEC ＝S △AEC ，∵BD ＝DC ，∴S △BDE ＝S △CDE ＝S △DFC +2，∵S △ABC ＝4S △FCD ，∴3（S △DFC +2）＝4S △FCD ，∴S △FCD ＝6.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形的面积等知识，第（2）小题有难度，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键. 21．问题1：2，4；问题2：4，7；【探索应用】四边形AQBP 的面积的最小值为24.【分析】问题1：根据阅读材料的结论解答即可；问题2：先变形y ＝91a a +- 得9111y a a =-++-，再根据阅读材料的方法和结论即可求解；探索应用：先求出反比例函数的解析式，设出点P 坐标，再用点P 的横坐标表示出所求四边形面积，然后利用阅读材料提供的方法求解即可．【详解】解：问题1：根据题意，当m ＝4m 时，即m ＝±2，∵m ＞0，所以m ＝2，此时m +4m 的最小值为＝4.故答案为2、4；问题2：∵a ＞1，∴10a ->，根据题意，得：y ＝99111711a a a a +=-++≥=--，当911a a -=-时，解得：14a =，22a =-（不合题意，舍去），∴4a =，即当4a =时，函数y ＝a +9(1)1a a >-有最小值7.故答案为4、7；探索应用：因为点Q （﹣3，﹣4）是双曲线y ＝kx 上一点，所以k ＝12，所以双曲线为y ＝12x ． 连接PQ ，设P （x ，12x ），所以S 四边形AQBP ＝12×4（x +3）+12×3（12x +4）＝2x +18x +12≥12+12＝24.当182x x =时，即x =3时“=”成立.所以四边形AQBP 的面积的最小值为24．【点睛】本题是阅读理解题，重点考查了反比例函数的性质和理解新知与应用新知的能力，正确理解题意、弄清阅读材料提供的方法和结论是解题的关键.22．（1）（6﹣2x ）；（2）y ＝﹣40x 2+240x +1440；（3）预备资金1700元购买材料一定够用．理由见解析【分析】（1）根据大正方形的边长减去两个小长方形的宽即可求解；（2）根据总费用等于两种材料的费用之和即可求解；（3）根据（2）中求得的关系式代入求解，解出x 的值后再根据二次函数的性质解答．【详解】解：（1）根据题意，得：MQ ＝AD ﹣2AH ＝6﹣2x ．故答案为（6﹣2x ）；（2）根据题意，得AH ＝x ，AE ＝6﹣x ，S 甲＝4S 长方形AENH ＝4x （6﹣x ）＝24x ﹣4x 2，S 乙＝S 正方形MNQP ＝（6﹣2x ）2＝36﹣24x +4x 2． ∴y ＝50（24x ﹣4x 2）+40（36﹣24x +4x 2）＝﹣40x 2+240x +1440；答：y 关于x 的函数解析式为y ＝﹣40x 2+240x +1440．（3）预备资金1700元购买材料一定够用．理由如下：当y ＝1700时，1700＝﹣40x 2+240x +1440，解得x 1＝62-，x 2＝62+．∵中心区的边长不小于2米，即6﹣2x ≥2，解得x ≤2，∴0＜x ≤2，∴x . ∵y ＝﹣40x 2+240x +1440＝﹣40(x －3)2+1800，400a =-<，对称轴是直线x =3，∴当0＜x ≤2时，y 随x 的增大而增大，∴当602x -<≤时，14401700y <≤. ∴预备资金1700元购买材料一定够用．【点睛】本题是二次函数的应用问题，主要考查了根据题意列出函数关系式、正方形的性质、二次函数的性质、一元二次方程的求解等知识，正确列出二次函数关系式、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.23．（1）见解析；（2）①110(020)2y x x =-+<<，②22029；（3. 【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明．（2）①如图1中，作GH ⊥BF 于H ．利用三角形的中位线定理，推出EC ＝2y ，再根据DE+EC ＝20，即可解决问题．②由2413EC BG =，可以假设EC ＝24k ，BG ＝13k ，利用相似三角形的性质构建方程求出k 即可解决问题．（3）如图2中，连接BE ，设DE ＝a ，CD ＝BC ＝b ．构建一元二次方程，即可解决问题．【详解】解：（1）证明：如图1中，∵AE ⊥AF ，∴∠EAF ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠ABC ＝∠ABF ＝∠D ＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD ，∴∠FAB ＝∠DAE ，∵∠ABF ＝∠D ＝90°，∴△ADE ∽△ABF ．（2）①如图1中，作GH ⊥BF 于H ．∵∠GHF ＝∠C ＝90°，∴GH ∥EC ，∵FG ＝GE ，∴FH ＝HC ，∴EC ＝2GH ＝2y ，∵DE+EC ＝CD ＝AB ＝20，∴x+2y ＝20，∴y ＝﹣x+10（0＜x ＜20）． ②∵2413EC BG =，∴可以假设EC ＝24k ，BG ＝13k ，∵EC ＝2GH ，∴GH ＝12k ，∴5BH k ，∴FH ＝CH ＝5k+10，∴FB ＝10k+10， ∵1102y x =-+，∴x ＝20﹣24k ，∵△ADE ∽△ABF ， ∴,ADABDE BF = ∴1020,20241010k k =-+∴k ＝15,29∴x ＝220.29故答案为220.29 （3）如图2中，连接BE ，设DE ＝a ，CD ＝BC ＝b ．易证△ADE ≌△ABF ，可得BF ＝DE ＝a ， ∴()()221111121444122EBG ECB BFE EBC S S S S S a b a b b a b a ab ===-++-+-=-， ∵S ＝b 2，S ＝4S 1，∴b 2＝2b 2﹣a 2﹣ab ，∴a 2+ab ﹣b 2＝0， ∴210,a a b b⎛⎫+-= ⎪⎝⎭∴a b =，∴1.2DE DC =故答案为 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，教育的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
沪科版九年级上册数学期中试卷
沪科版九年级上册数学期中试卷一、选择题1．（4分）在下列函数关系式中，二次函数的是（ ）A．B．y＝x+2C．y＝x2+1 D．y＝（x+3）2﹣x22．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝（ ）A．B．C．D．3．（4分）将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+3C．y＝3（x+2）2﹣3 D．y＝3（x﹣2）2﹣34．（4分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y25．（4分）函数y＝与y＝kx2﹣k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．6．（4分）已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+2＝0的根的情况是（ ）A．无实数根 B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根7．（4分）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1﹣k2的值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．﹣48．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象一部分，下面判断正确的有（ ）A．a+b+c＝0B．b＞2aC．ax2+bx+c＝0两根是﹣3和1D．a﹣2b+c＞09．（4分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．其中正确的命题是（ ）①AB2＝BD•BC；②AD2＝BD•CD；③AC2＝CD•CB；④AB•AC＝AD•CB．A．①②③B．①②③④C．①④D．①③④10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）把长度为20cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是 cm．（结果保留根号）12．（5分）在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：其中m的值为 ．13．（5分）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有 个．14．（5分）已知x＝2m+n+2和x＝m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x＝3（m+n+1）时，多项式x2+4x+6的值等于 ．三、解答题（共9大题，满分90分）15．（8分）已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB＝4cm，CD＝9cm，求MN的长．16．（8分）已知二次函数y＝（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．17．（8分）已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．18．（8分）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣3，1）、C（﹣1，1），以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大，放大后得到△A′B′C′．（1）画出放大后的△A′B′C′，并写出点A′、B′、C′的坐标．（点A、B、C的对应点为A′、B′、C′）（2）求△A′B′C′的面积．19．（10分）如图，△ABC中，DG∥EC，EG∥BC．求证：AE2＝AB•AD．20．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，2）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）直接写出y1＞y2时x的取值范围．21．（12分）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．（1）求证：＝；（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．22．（12分）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？23．（14分）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC． （1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣＜t＜2），求△ABN 的面积S与t的函数关系式；（3）若﹣＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N的坐标．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）在下列函数关系式中，二次函数的是（ ）A．B．y＝x+2C．y＝x2+1 D．y＝（x+3）2﹣x2解：A、y＝是反比例函数关系，故此选项不符合题意；B、y＝x+2是一次函数关系，故此选项不符合题意；C、y＝x2+1是二次函数关系，故此选项符合题意；D、y＝（x+3）2﹣x2是一次函数关系，故此选项不符合题意；故选：C．2．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝（ ）A．B．C．D．解：∵DE∥BC，∴AD：AB＝DE：BC，∵AD：BD＝1：2，∴AD：AB＝1：3，∴DE：BC＝1：3．故选：A．3．（4分）将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+3C．y＝3（x+2）2﹣3 D．y＝3（x﹣2）2﹣3解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝3x2+3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y＝3（x+2）2+3．故选：A．4．（4分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+a，如右图，∴对称轴是x＝﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选：A．5．（4分）函数y＝与y＝kx2﹣k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．解：①当k＞0，则﹣k＜0，双曲线在二、四象限，抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上；②k＜0时，则﹣k＞0，双曲线在一、三象限，抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上；故选项B符合题意；故选：B．6．（4分）已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+2＝0的根的情况是（ ）A．无实数根 B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根解：∵y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是﹣3，∵方程ax2+bx+c+2＝0，∴ax2+bx+c＝﹣2时，即是y＝﹣2求x的值，由图象可知：有两个同号不等实数根．故选：D．7．（4分）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1﹣k2的值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．﹣4解：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为，△BOP的面积为，∴△AOB的面积为，∴＝2，∴k1﹣k2＝4，故选：C．8．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象一部分，下面判断正确的有（ ）A．a+b+c＝0B．b＞2aC．ax2+bx+c＝0两根是﹣3和1D．a﹣2b+c＞0解：A、∵由图象可知当x＝1时，y＝a+b+c＝0，∴a+b+c＝0正确；B、∵由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴b＞2a错误；C、∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0）∴另一个交点是（﹣3，0）∴ax2+bx+c＝0两根是﹣3和1正确；D、∵b＝2a，∴a﹣2b+c＝﹣3a+c，∵a＞0，c＜0，∴﹣3a+c＜0，∴a﹣2b+c＞0错误；故选：AC．9．（4分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．其中正确的命题是（ ）①AB2＝BD•BC；②AD2＝BD•CD；③AC2＝CD•CB；④AB•AC＝AD•CB．A．①②③B．①②③④C．①④D．①③④解：①∵AD是斜边BC上的高，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠ADB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，∴，即AB2＝BD•BC，故①正确；②∵△BAD∽△BCA，∴∠C＝∠BAD，∵∠ADC＝∠ADB＝90°，∴△BAD∽△ACD，∴，即AD2＝BD•CD，故②正确；③∵∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，∴△BAC∽△ACD，∴，即AC2＝CD•CB，故③正确；④∵，∴AB•AC＝AD•CB，故④正确．故选：B．10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．解：①当0≤t≤4时，S＝×t×t＝t2，即S＝t2．该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．故B、C错误；②当4＜t≤8时，S＝16﹣×（8﹣t）×（8﹣t）＝﹣t2+8t﹣16．该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．故A错误．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）把长度为20cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是 （10﹣10） cm．（结果保留根号）解：∵把长度为20cm的线段进行黄金分割，∴较长的线段＝20×＝（10﹣10）cm．故答案为：（10﹣10）．12．（5分）在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：其中m的值为 5 ．解：∵当x＝1时，y＝﹣3；当x＝3时，y＝﹣3，∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2，∴（﹣1，5）的对称点是（5，5），∴m＝5，故答案为5．13．（5分）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有 3 个．解：设AP＝x，则有PB＝AB﹣AP＝7﹣x，当△PDA∽△CPB时，，即，解得：x＝1或x＝6，当△PDA∽△PCB时，，即，解得：x＝，则这样的点P共有3个，故答案为：314．（5分）已知x＝2m+n+2和x＝m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x＝3（m+n+1）时，多项式x2+4x+6的值等于 3 ．解：∵x＝2m+n+2和x＝m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，∴二次函数y＝x2+4x+6的对称轴为直线x＝＝，又∵二次函数y＝x2+4x+6的对称轴为直线x＝﹣2，∴＝﹣2，∴3m+3n+2＝﹣4，m+n＝﹣2，∴当x＝3（m+n+1）＝3（﹣2+1）＝﹣3时，x2+4x+6＝（﹣3）2+4×（﹣3）+6＝3．故答案为：3．三、解答题（共9大题，满分90分）15．（8分）已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB＝4cm，CD＝9cm，求MN的长．解：∵线段MN是AB，CD的比例中项，∴AB：MN＝MN：CD，∴MN2＝AB•CD，∴MN＝，∵AB＝4cm，CD＝9cm，∴MN＝＝6（cm）．16．（8分）已知二次函数y＝（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．解：（1）把（0，5）代入y＝（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2得m+2＝5，解得m＝3所以二次函数解析式为y＝x2+6x+5；（2）因为y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，所以此二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，﹣4），对称轴为直线x＝﹣3．17．（8分）已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：（1）当k＝3时，函数y＝2x+1是一次函数．∵一次函数y＝2x+1与x轴有一个交点，∴k＝3．（2）当k≠3时，y＝（k﹣3）x2+2x+1是二次函数．∵二次函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，∴b2﹣4ac≥0．∵b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣3）＝﹣4k+16，∴﹣4k+16≥0．∴k≤4且k≠3．综合（1）（2）可知，k的取值范围是k≤4．18．（8分）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣3，1）、C（﹣1，1），以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大，放大后得到△A′B′C′．（1）画出放大后的△A′B′C′，并写出点A′、B′、C′的坐标．（点A、B、C的对应点为A′、B′、C′）（2）求△A′B′C′的面积．解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．A′（﹣4，8）；B′（﹣6，2）；C′（﹣2，2）．（2）∵S△ABC＝×2×3＝3，又∵△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1，∴＝4，S△A′B′C′＝4S△ABC＝12．19．（10分）如图，△ABC中，DG∥EC，EG∥BC．求证：AE2＝AB•AD．解：∵DG∥EC，∴AD：AE＝AG：AC，∵EG∥BC，∴AG：AC＝AE：AB，∴AD：AE＝AE：AB，即：AE2＝AB•AD．20．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，2）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）直接写出y1＞y2时x的取值范围．解：（1）把A（1，6）代入y2＝得m＝1×6＝6，所以反比例函数解析式为y2＝；把B（a，2）代入y2＝得2a＝6，解得a＝3，所以B点坐标为（3，2），把A（1，6）和B（3，2）代入y1＝kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y1＝﹣2x+8；（2）当1＜x＜3时，y1＞y2．21．（12分）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．（1）求证：＝；（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．【解答】证明：（1）由折叠的性质可知，∠APO＝∠B＝90°，∴∠APD+∠OPC＝90°，又∠POC+∠OPC＝90°，∴∠APD＝∠POC，又∠D＝∠C＝90°，∴△OCP∽△PDA，∴＝；（2）∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴△OCP与△PDA的相似比为1：2，∴PC＝AD＝4，设AB＝x，则DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2，即x2＝82+（x﹣4）2，解得，x＝10，即AB＝10；22．（12分）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？解：（1）y＝（60﹣x）（300+20x）﹣40（300+20x），即y＝﹣20x2+100x+6000．因为降价要确保盈利，所以40＜60﹣x≤60（或40＜60﹣x＜60也可）．解得0≤x＜20（或0＜x＜20）；（2）当时，y有最大值，即当降价2.5元时，利润最大且为6125元．23．（14分）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣＜t＜2），求△ABN 的面积S与t的函数关系式；（3）若﹣＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N的坐标．解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，由题可得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2+x+1；（2）当﹣＜t＜2时，y N＞0，∴NP＝|y N|＝y N＝﹣t2+t+1，∴S＝AB•PN＝×（2+）×（﹣t2+t+1）＝（﹣t2+t+1）＝﹣t2+t+；（3）∵△OPN∽△COB，∴＝，∴＝，∴PN＝2PO．①当﹣＜t＜0时，PN＝＝y N＝﹣t2+t+1，PO＝＝﹣t， ∴﹣t2+t+1＝﹣2t，整理得：3t2﹣9t﹣2＝0，解得：t1＝，t2＝．∵＞0，﹣＜＜0，∴t＝，此时点N的坐标为（，）；②当0＜t＜2时，PN＝＝y N＝﹣t2+t+1，PO＝＝t，∴﹣t2+t+1＝2t，整理得：3t2﹣t﹣2＝0，解得：t3＝﹣，t4＝1．∵﹣＜0，0＜1＜2，∴t＝1，此时点N的坐标为（1，2）．综上所述：点N的坐标为（，）或（1，2）．。
沪科版九年级数学上册期中测试题(含答案)
沪科版九年级数学上册期中测试题（含答案）(考试时间：120分钟满分：150分)姓名：______班级：______分数：______一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1．二次函数y＝－2(x＋1)2＋5的顶点坐标是(D) A．－1 B．5C．(1，5) D．(－1，5)2．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y 与x的函数关系是(A) A．y＝a(1＋x)2B．y＝a(1－x)2C．y＝(1－x)2＋a D．y＝x2＋a3．若△ABC∽△DEF，相似比为9 ∶4，则△ABC与△DEF 对应中线的比为(A) A．9 ∶4 B．4 ∶9 C．81 ∶16 D．3 ∶24．在同一时刻，身高1.6 m的小强，在太阳光线下影长是1.2 m，旗杆的影长是6 m，则旗杆高为(C) A．4.5 m B．6 m C．8 m D．9 m5．已知点A(－3，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y ＝4x的图象上，则 ( D ) A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 36．下面四组图形中，必是相似三角形的为 ( D )A ．两个直角三角形B ．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形C ．有一个角为40°的两个等腰三角形D ．有一个角为100°的两个等腰三角形7．在平面直角坐标系中，点P (1，－2)是线段AB 上一点，以原点O 为位似中心把△AOB 放大到原来的两倍，则点P 对应点的坐标为 ( B )A ．(2，－4)B ．(2，－4)或(－2，4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 8．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝ax ＋c (a ≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是 ( D )9．已知：正比例函数y ＝k 1x 的图象与反比例函数y ＝k 2x(x ＞0)的图象交于点M (a ，1)，MN ⊥x 轴于点N (如图)，若△OMN 的面积等于2，则 ( A )A．k1＝14，k2＝4 B．k1＝4，k2＝14C．k1＝14，k2＝－4 D．k1＝－14，k2＝4第9题图第10题图第13题图10．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①a b c＞0；②2a＋b＝0；③m为任意实数，则a＋b＞am2＋b m；④a－b＋c＞0；⑤若ax21＋bx1＝ax22＋bx2，且x1≠x2，则x1＋x2＝2.其中正确的有(C)A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．若y＝(m－1)xm2＋2m－1是二次函数，则m的值是－3 .12．反比例函数y＝kx图象上的一点到x轴距离为2，到y轴距离为3，且当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的值是－6 .13．★如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝3相交于点A，B，与y轴交于点C(0，－1)，若∠ACB为直角，则当ax2＋c＜0时，自变量x的取值范围是－2＜x＜2 .14．在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝12，BC ＝18，D 为AC 上一点，其中DC ＝23AC ，在AB 上取一点E 得△ADE ，若△ABC 与△ADE 相似，则DE ＝ 6或8 .三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．已知：a ∶b ∶c ＝2 ∶3 ∶5，求代数式3a －b ＋c 2a ＋3b －c的值． 解：∵a ∶b ∶c ＝2 ∶3 ∶5，∴设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝5k (k ≠0)，则3a －b ＋c 2a ＋3b －c ＝6k －3k ＋5k 4k ＋9k －5k＝1. 16.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A(1，5)，B(－1，9)，C(0，8)．求这个二次函数的表达式，开口方向，对称轴和顶点坐标．解：由题意得，⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝5，a －b ＋c ＝9，c ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝8，∴二次函数表达式为y ＝－x 2－2x ＋8，∵y ＝－x 2－2x ＋8＝－(x ＋1)2＋9，∴这个二次函数的抛物线开口向下，对称轴为x ＝－1，顶点坐标为(－1，9)．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．在如图所示的网格中，已知△ABC 和点M(1，2)．(1)以点M 为位似中心把三角形放大，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．(2)△A′B′C′的各顶点坐标分别为A′(3，6)，B′(5，2)，C′(11，4)．18．某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(k Pa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．(1)求这个函数的表达式；(2)当气球内的气压大于150 k Pa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气体的体积应至少是多少？解：(1)设p＝kV，将A(0.5，120)代入求出k＝60，∴p＝60V.(2)当p＞150 kPa时，气球将爆炸，∴p ≤150，即p ＝60V≤150， 解得V ≥60150＝0.4. 故为了安全起见，气体的体积应不小于0.4 m 3.五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．某数学兴趣小组想用所学的知识测量小河的宽．测量时，他们选择了河对岸的一棵大树，将其底部作为点A ，在他们所在的岸边选择了点B ，使得AB 与河岸垂直，并在B 点竖起标杆BC ，再在AB 的延长线上选择点D ，竖起标杆DE ，使得点E ，C ，A 共线．已知：CB ⊥AD ，ED ⊥AD ，测得BC ＝1 m ，DE ＝1.5 m ，BD ＝7 m (测量示意图如图所示)．请根据相关测量信息，求河宽AB 的长．解：∵CB ⊥AD ，ED ⊥AD ，∴∠ABC ＝∠ADE.又∵∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC ∽△ADE ，∴BC DE ＝AB AD ，∴11.5＝AB AB ＋7， 解得AB ＝14 m ，经检验：AB ＝14是分式方程的解．答：河宽AB 的长为14米．20．如图，一次函数y 1＝k x ＋b 的图象与反比例函数y 2＝6x的图象交于A(m ，3)，B(－3，n)两点．(1)求一次函数的表达式；(2)观察函数图象，直接写出关于x 的不等式6x＞k x ＋b 的解集．解：(1)∵A (m ，3)，B (－3，n )两点在反比例函数y 2＝6x的图象上，∴m ＝2，n ＝－2.∴A (2，3)，B (－3，－2)．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝3，－3k ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，∴一次函数的表达式是y 1＝x ＋1.(2)根据图象得0＜x ＜2或x ＜－3.六、(本题满分12分)21．已知：如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，点E 在AB 上，且BD 2＝BE·BC.(1)求证：∠BDE ＝∠C ；(2)求证：AD 2＝AE·AB.证明：(1)∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∵BD 2＝BE·BC ，∴BD BE ＝BC BD，∴△EBD ∽△DBC ， ∴∠BDE ＝∠C.(2)∵∠BDE ＝∠C ， ∠DBC ＋∠C ＝∠BDE ＋∠ADE ，∴∠DBC ＝∠ADE ，∵∠ABD ＝∠CBD ，∴∠ABD ＝∠ADE ，∴△ADE ∽△ABD ， ∴AD AB ＝AE AD，即AD 2＝AE·AB. 七、(本题满分12分)22．某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第x天(1≤x≤30且x为整数)的销量为y件．(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)在这30天内，哪一天的利润是6 300元？(3)设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．解：(1)由题意可知y＝5x＋30.(2)根据题意可得(130－x－60－4)(5x＋30)＝6 300，即x2－60x＋864＝0，解得x＝24或36(舍)，∴在这30天内，第24天的利润是6 300元．(3)根据题意可得w＝(130－x－60－4)(5x＋30)＝－5x2＋300x＋1 980＝－5(x－30)2＋6 480，∵a＝－5＜0，∴函数有最大值，∴当x＝30时，w有最大值为6 480元，∴第30天的利润最大，最大利润是6 480元．八、(本题满分14分)23．如图甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分别为B，D，P，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．(1)求证：AB·CD＝PB·PD；(2)如图乙也是一个“三垂图”，上述结论还成立吗？请说明理由；(3)已知抛物线交x轴于A(－1，0)，B(3，0)两点，交y轴于点(0，－3)，顶点为P，如图丙所示，若Q是抛物线上异于A，B，P的点，设AQ与y轴相交于D，且∠QAP＝90°，利用上述结论求Q点坐标．(1)证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∴∠A＋∠APB＝90°，∵AP⊥PC，∴∠APB＋∠CPD＝90°，∴∠A＝∠CPD，∴△ABP∽△PDC，∴ABPD＝PBCD，∴AB·CD＝PB·PD.(2)解：AB·CD＝PB·PD仍然成立．理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠CDP＝90°，∴∠A＋∠APB＝90°，∵AP⊥PC，∴∠APB＋∠CPD＝90°，∴∠A＝∠CPD，∴△ABP∽△PDC，∴ABPD＝PBCD，11 ∴AB·CD ＝PB·PD.(3)解：设抛物线表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵抛物线与x 轴交于点A (－1，0)，B (3，0)，与y 轴交于点(0，－3)，∴⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，∴y ＝x 2－2x －3， ∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴顶点P 的坐标为(1，－4)， 过点P 作PC ⊥x 轴于C ，∵AQ 与y 轴相交于D ，∴AO ＝1，AC ＝1＋1＝2，PC ＝4，由(2)得，AO ·AC ＝OD·PC ，∴1×2＝OD·4，解得OD ＝12，∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 设直线AD 的表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝12，∴y ＝12x ＋12， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋12，y ＝x 2－2x －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝72，y 1＝94，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－1，y 2＝0.(与A 重合，舍去)∴点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，94.。
沪科版九年级上册数学期中考试试题带答案
沪科版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．抛物线122+-=x y 的对称轴是（ ）A ．直线12x =B ．直线12x =- C ．直线x=2 D ．y 轴 2．已知（5，-1）是双曲线y k x =（k≠0）上的一点，则下列各点中不在．．该图象上的是 A ．（13，-15） B ．（-1，5） C ．（5，1） D ．（10，21-） 3．已知x ：y=5：2，则下列各式中不正确的是A ．x y y +=72B ．x y x -=53C ．x x y +=57D ．x y y-=32 4．下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是5．如图，过点O 作直线与双曲线y=（k≠0）交于A 、B 两点，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，作BD ⊥y 轴于点D ．在x 轴上分别取点E 、F ，使点A 、E 、F 在同一条直线上，且AE=AF ．设图中矩形ODBC 的面积为S 1，△EOF 的面积为S 2，则S 1、S 2的数量关系是（ ）A ．S 1=S 2B ．2S 1=S 2C ．3S 1=S 2D ．4S 1=S 2 6．如图，在△ABC 中，∠ADE ＝∠C ，那么下列等式中，成立的是（ ）A ．＝B ．＝C ．＝D ．＝ 7．函数y ＝﹣2x 2﹣8x +m 的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若﹣2＜x 1＜x 2，则（） A ．y 1＜y 2 B ．y 1＞y 2C ．y 1＝y 2D ．y 1、y 2的大小不确定8．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点D 是AB 上的一个动点（不与A 、B 两点重合），DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，点D 从靠近点A 的某一点向点B 移动，矩形DECF 的周长变化情况是A ．逐渐减小B ．逐渐增大C ．先增大后减小D ．先减小后增大9．下列函数中，能表示y 是x 的反比例函数的是（ ）A ．2y x =B ．2y x =C ．2y xD ．1y x =- 10．若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数b y x=在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题11．写出一个开口向下，顶点坐标是(1，-2)的二次函数解析式____．12．已知二次函数y=-x2+4x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+4x+m =0的解为_________．13．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①a+b+c=0；②4a+b=0；③abc<0；④4ac-b2＜0；⑤当x=2时，总有4a+2b＞ax2+bx其中正确的有______ （填写正确结论的序号）．14．如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长．15．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD ＝__．三、解答题16．如图，已知：∠ACB =∠ADC=90°，AD=2，CD=2,当AB的长为_____________时，△ACB 与△ADC 相似．17．已知a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，且2a ＋3b －2c ＝10，求a ，b ，c 的值．18．已知二次函数6422++-=x x y ．（1）求该函数图象的顶点坐标．（2）求此抛物线与x 轴的交点坐标．19．如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A 处出手，出手时球离地面约2．5m ．铅球落地点在B 处，铅球运行中在运动员前4m 处（即OC=4）达到最高点，最高点高为3m ．已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系信息，请你算出该运动员的成绩．（即求OB 的长度）20．李华晚上在两站相距50m 的路灯下来回散步，DF=50m ．已知李华身高AB=1．7m ，灯柱CD=EF=8．5m ．（1）若李华距灯柱CD 的距离为DB=xm ，他的影子BQ=ym ，求y 关于x 的函数关系式．（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后两个影子PB+BQ 是否会发生变化？请说明理由．21．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，2），若∠ACB=90°，试求：（1）A、B两点的坐标；（2）二次函数的表达式．的图象交于A（1,m）、B（4,n）两点．22．如图，一次函数与反比例函数y2=kx（1）求A、B两点的坐标和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出当y＞y时x的取值范围；（3）求△AOB的面积．23．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E．（1）连接AE ，当△APE 与≌△ADE 时，求BP 的长；（2）设BP=x ，CE=y ，确定y 与x 的函数关系式；（3） 当x 取何值时，AE 的长最短，求x 的值和AE 的长．24．某公司生产一种环保产品，需要添加一种新型原料，若每件产品的利润与新型原料价格成一次函数关系，且每件．．产品的利润y （元）与新型原料的价格x （元/千克）的函数图象如图：（1）当新型原料的价格为600元/千克时，每件产品的利润是多少？（2）新型原料是一种稀少材料，为了珍惜资源，政府部门规定：新型原料每天使用量m （千克）与价格x （元/千克）的函数关系为x =10m +500，且m 千克新型原料可生产10m 件产品．那么生产300件这种产品，一共可得利润是多少？（3）受生产能力的限制，该公司每天生产这种产品不超过450件，那么在（2）的条件下，该公司每天应生产多少件产品才能获得最大利润？最大利润是多少？C DEA B P参考答案1．D ．【解析】试题解析：抛物线122+-=x y 的对称轴是y 轴．故选D ．考点：二次函数的性质．2．B ．【解析】试题解析：因为点（5，-1）是双曲线y k x =（k≠0）上的一点，将（5，-1）代入y k x =（k≠0）得k=-5；四个选项中只有B 不符合要求：k=5×1≠-5．故选B ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．3．B ．【解析】试题解析：A 、由合比性质得，72x y y +=，故A 正确； B 、由反比性质，得y ：x=2：5．由分比性质得35y x x -=-，再由反比性质得53x y x =--，故B 错误；C 、由反比性质，得y ：x=2：5．由合比性质得75y x x +=，再由反比性质得57x y x =+，故C 正确；D 、由分比性质，得32y x y -=，故D 正确； 故选B ．考点：比例的性质．4．D ．【解析】试题解析：A 、根据函数的图象可知y 随x 的增大而增大，故本选项错误；B 、根据函数的图象可知在第三象限内y 随x 的增大而增大，故本选项错误；C 、根据函数的图象可知，当x ＜0时，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，故本选项错误；D 、根据函数的图象可知，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；故本选项正确．故选：D ．考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象；3．反比例函数的图象．5．B【分析】根据反比例函数和正比例函数的性质，设出AB 两点的坐标，根据矩形的面积公式求出S 1；再根据中点的性质求出EF 的坐标，利用三角形的面积公式求出S 2，即可得出答案.【详解】根据反比例函数和正比例函数的性质可知，点A 和点B 关于原点对称，设A （a,-b ），B （-a,b ），故1S ab =，∵AE=AF ，根据中点的性质，可得OF=2b ，OE=2a ，故21122222S OE OF a b ab =⨯=⨯⨯=，故122S S =. 【点睛】本题主要考查的是正比例函数和反比例函数的几何意义，运用到的知识点有两点间的距离公式.6．A【解析】试题分析：∵在△ABC 中，∠ADE=∠C ，∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，DE AE BC AB=． 故选A ．考点：相似三角形的判定与性质．7．B【解析】试题解析：∵y=-2x 2-8x+m=-2（x+2）2+m+8，∴对称轴是x=-2，开口向下，距离对称轴越近，函数值越大，∵-2＜x 1＜x 2，∴y 1＞y 2．故选B ．考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．二次函数的性质．8．A ．【解析】试题解析：设DE=λ，DF=μ；∵DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，∴四边形DECF 为矩形，∴CF=DE=λ，CE=DF=μ，∴矩形DECF 的周长η=2λ+2μ；∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴AD BC AB λ=①；同理可证BDAC AB μ=②，由①+②得：168λμ+=，∴μ=8-43λ ∴82163μλλ=+- =-23λ+16，∵-23＜0，∴μ随λ的增大而减小；∵点D 从靠近点A 的某一点向点B 移动时，λ逐渐变大，∴矩形DECF 的周长η逐渐减小．故选A ．考点：相似三角形的判定与性质．9．B【分析】根据反比例函数的定义直接解答即可．【详解】A. y 是x 的正比例函数，故本选项错误；B. 符合反比例函数的定义，故本选项正确；C. y 是2x 的正比例函数，故本选项错误；D. y 是x 的一次函数，故本选项错误；故选：B【点睛】 本题考查了反比例函数的定义，()0k y k x =≠和()10y kx k -=≠都是反比例函数的形式． 10．B【分析】根据ab ＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a ＞0，b ＜0和a ＜0，b ＞0两方面分类讨论得出答案．【详解】解：∵ab ＜0，∴分两种情况：（1）当a ＞0，b ＜0时，正比例函数y ax =的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；（2）当a ＜0，b ＞0时，正比例函数y ax =的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B 符合．故选：B ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．11．y=-3（x-1）2-2（答案不唯一）．【解析】试题分析：由于二次函数的图象开口向下，所以二次项系数是负数，而图象还经过（1，-2）点，由此即可确定这样的函数解析式不唯一．试题解析：∵若二次函数的图象开口向下，且经过（1，-2）点，∴y=-（x-1）2-2符合要求．考点：二次函数的性质．12．x 1=-2，x 2=6．【分析】由二次函数y=-x 2+4x+m 的部分图象可以得到抛物线的对称轴和抛物线与x 轴的一个交点坐标，然后可以求出另一个交点坐标，再利用抛物线与x 轴交点的横坐标与相应的一元二次方程的根的关系即可得到关于x 的一元二次方程-x 2+4x+m=0的解．【详解】根据图示知，二次函数y=-x 2+4x+m 的对称轴为直线x=2，与x 轴的一个交点为（6，0），根据抛物线的对称性知，抛物线与x 轴的另一个交点与点（6，0）关于对称轴对称， ∴另一交点坐标为（-2，0）则当x=-2或x=6时，函数值y=0，即-x 2+4x+m=0，故关于x 的一元二次方程-x 2+4x+m=0的解为：x 1=-2，x 2=6．13．①②④⑤．【详解】试题解析：①由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0．∴正确；②由图象可知：对称轴x=-2b a =2， ∴4a+b=0，∴正确；由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2-4ac ＞0，正确；③由抛物线的开口方向向下可推出a ＜0因为对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=-2b a＞0， 又因为a ＜0，b ＞0；由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c ＜0，故abc ＞0，错误；④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2-4ac ＞0∴4ac-b 2＜0正确；⑤∵对称轴为x=2，∴当x=2时，总有y=ax 2+bx+c=4a+2b+c ＞0，∴4a+2b ＞ax 2+bx 正确． 考点：1．二次函数图象与系数的关系；2．抛物线与x 轴的交点．14．5.【分析】由已知角相等，加上公共角，得到三角形ABD与三角形ACB相似，由相似得比例，将AB 与AD长代入即可求出CD的长．【详解】在△ABD和△ACB中，∠ABD=∠C，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB，∴AB AD AC AB=，∵AB=6，AD=4，∴23694ABACAD===，则CD=AC﹣AD=9﹣4=5．【点睛】考点：相似三角形的判定与性质．15．4．【分析】根据相似三角形性的性质得到对应边成比例，列式求出AD的长．【详解】∵△ABC∽△ACD，∴AB AC AC AD=，∵AB＝9，AC＝6，∴966AD=，解得：AD＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．16．3或【解析】试题解析：∵AD=2，∴要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有AC ABAD AC=，∴AB=3；（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有AC ABCD AC=，∴即当AB的长为3或考点：相似三角形的判定．17．a=4，b=6，c=8【解析】试题分析：运用设k法，再进一步得到关于k的方程，解得k的值后，即可求得a、b、c的值．试题解析：设a=2k，b=3k，c=4k，又∵2a+3b-2c=10，∴4k+9k-8k=10，5k=10，解得k=2．∴a=4，b=6，c=8．考点：比例的性质．18．（1）顶点坐标（1，8）；（2）与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）．【解析】试题分析：（1）首先把已知函数解析式配方，然后利用抛物线的顶点坐标、对称轴的公式即可求解；（2）根据抛物线与x轴交点坐标特点和函数解析式即可求解．试题解析：（1）∵y=-2x2+4x+6=-2（x-1）2+8，∴顶点坐标（1，8）；（2）令y=0，则-2x2+4x+6=0，解得x=-1，x=3．所以抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）．考点：1．二次函数的性质；2．抛物线与x轴的交点．19．10m．【解析】试题分析：设抛物线的解析式为y=a（x-4）2+3，运用待定系数法求出解析式．当y=0时代入解析式就可以求出结论．试题解析：能．∵OC=4，CD=3∴顶点D 坐标为（4，3）．∵抛物线经过点A （0，2．5）和（4，3）∴设y=a （x-4）2+3，由题意，得52=a （0-4）2+3，解得：a=-112．∴y=-112（x-4）2+3． 当y=0，-112（x-4）2+3=0，∴x 1=10，x 2=-2（舍去）．∴该运动员的成绩为10m ．考点：二次函数的应用．20．（1）y=4x ；（2）定值，理由见解析． 【解析】试题分析：（1）易证△QAB ∽△QCD ，根据相似三角形的对应边的比相等就可以得到x ，y 的一个关系式，从而求出函数的解析式．（2）在两个路灯之间行走时影长之和为定值．试题分析：（1）∵CD ∥AB ，∴△QAB ∽△QCD ． ∴QB AB QD CD=， ∵DB=xm ，他的影子BQ=ym ，AB=1．7米，CD=8．5米， ∴ 1.78.5x x y =+ 整理得：y=4x ； （2）由（1）可得BQ=4DB ， 同理可得PB=4BF ，则PB+BQ=4DB +4BF =4DF =12．5，是定值． 考点：1．相似三角形的应用；2．中心投影． 21．（1） A （-4，0），B （1，0）；（2） y=-12x 2-32x+2． 【解析】试题分析：（1）根据题意可知，OC=2，由勾股定理可求OB ，再由△AOC ∽△COB ，利用相似比求OA ，可确定A 、B 两点坐标；（2）根据A 、B 两点坐标，设抛物线解析式的交点式，将C （0，2）代入求a 即可．试题解析：（1）在Rt △OBC 中，OC=2，由勾股定理得，由△AOC ∽△COB ，得AO OC OC OB =， 即221AO =，解得AO=4， ∴A （-4，0），B （1，0）；（2）∵抛物线与x 轴交于A （-4，0），B （1，0）两点，∴设抛物线解析式y=a （x+4）（x-1），将C （0，2）代入解得a=-12， ∴y=-12（x+4）（x-1），即y=-12x 2-32x+2． 考点：待定系数法求二次函数解析式．22．（1）A 点坐标为（1，4），B 点坐标为（4，1），反比例函数解析式为y 2=4x ；（2）x ＜0或1＜x ＜4时；（3）7．5．【解析】试题分析：（1）先根据一次函数图象上点的坐标特征得到m=-1+5=4，n=-4+5=1，这样得到A 点坐标为（1，4），B 点坐标为（4，1），然后利用待定系数求反比例函数的解析式；（2）观察函数图象找出一次函数图象都在反比例函数图象上方时x 的取值范围； （3）先确定一次函数图象与x 轴交点D ，与y 轴交点C 的坐标，然后利用S △AOB =S △COD -S △COA -S △BOD 进行计算．试题解析：（1）分别把A （1，m ）、B （4，n ）代入y1=-x+5，得m=-1+5=4，n=-4+5=1，所以A 点坐标为（1，4），B 点坐标为（4，1），把A （1，4）代入y 2=k x ，得k=1×4=4， 所以反比例函数解析式为y 2=4x ；（2）根据图象可知，当y 1＞y 2时x 的取值范围是x ＜0或1＜x ＜4时；（3）如图，设一次函数图象与x 轴交于点D ，与y 轴交于点C ．当x=0时，y=-x+5=5，则C 点坐标为（0，5），当y=0时，-x+5=0，解得x=5，则D 点坐标为（5，0），所以S △AOB =S △COD -S △COA -S △BOD =12×5×5-12×5×1-12×5×1=7．5． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题．23．（1（2）y=-13x 2+43x ；（3）当x=2时，AE 的长最短=133． 【解析】试题分析：（1）由矩形的性质得出AB=CD=3，AD=BC=4，∠B=∠C=90°，当△APE 与≌△ADE 时，AP=AD=4，由勾股定理求出BP 即可；（2）由角的互余关系得出∠BAP=∠EPC ，由∠B=∠C=90°，证明△ABP ∽△PCE ，得出对应边成比例，即可得出y 与x 的函数关系式；（3）AE 的长最短时，DE 最短，CE 最长，由y 与x 的函数关系式得出x=2时，y 最大=43，得出DE 的最小值=53，由勾股定理求出AE 即可． 试题解析：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠B=∠C=90°，∴AD ＞AB ，∴当△APE 与≌△ADE 时，AP=AD=4，∴=（2）∵AP ⊥PE ，∴∠APE=90°，∴∠APB+∠EPC=90°，又∵∠APB+∠BAP=90°，∴∠BAP=∠EPC，∵∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCE，∴BP ABCE PC=，即34xy x=-，∴y=-13x2+43x；（3）AE的长最短时，DE最短，CE最长，由（2）得：y=-13x2+43x=-13（x-2）2+43，即x=2时，y最大=43，即CE的最大值=43，∴DE的最小值=3-43=53，由勾股定理得：133==；即当x=2时，AE的长最短=133．考点：四边形综合题．24．（1）利润是180元．（2）4800元；（3）工厂每天消耗新型原料产生利润为4950元．【解析】试题分析：（1）把（0，300），（500，200）代入直线解析式可得一次函数解析式，把x=600代入函数解析式可得利润的值；（2）利润=用新型原料量×每千克新型原料产生利润；（3）结合该工厂每天用新型原料量不超过45千度，得到利润的最大值即可．试题解析：（1）工厂每千克新型原料产生利润y（元/千克）与电价x（元/千克）的函数解析式为：y=kx+b（k、b是常数，且k≠0）．该函数图象过点（0，300），（500，200），∴500200300k bb+==⎧⎨⎩，解得15300 kb⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴y=-15x+300（x≥0）．当新型原料价x=600元/千克时，该工厂消耗每千克新型原料产生利润y=-15×600+300=180（元/千克）．答：工厂消耗每千克新型原料产生利润是180元．（2）设工厂每天消耗新型原料产生利润为w元，由题意得：W=my=m（-15x+300）=m[-15（10m+500）+300]．化简配方，得：w=-2（m-50）2+5000．∵m千克新型原料可生产10m件产品，∴那么生产300件这种产品需要新型原料30千克，∴当m=30时，w=-2（m-50）2+5000=-2×400+5000=4800元；（3）由题意得：w=-2（m-50）2+5000，a=-2＜0，∴当m=50时，w最大=5000，∵该公司每天生产这种产品不超过450件，∴m=45时，最大利润为w=-2（45-50）2+5000=4950，即当工厂每天消耗45千克新型原料时，工厂每天消耗新型原料产生利润为4950元．考点：二次函数的应用．。
沪科版九年级上册数学期中考试试题含答案
沪科版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．在下列关于x 的函数中，一定是二次函数的是（）A ．y=x 2B ．y=ax 2+bx+cC ．y=8xD ．y=x 2（1+x ）2．某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x （x ＞0），设2015，2016，2017这三年该产品的总产量为y 吨，则y 关于x 的函数关系式为（）A ．y ＝100（1﹣x ）2B ．y ＝100（1+x ）C ．y ＝2100(1)x +D ．y ＝100+100（1+x ）+100（1+x ）23．在平面直角坐标系中，抛物线y=-12（x+1）2-12的顶点是（）A ．（-1，-12）B ．（-1，12）C ．（1，-12）D ．（1，12）4．函数22(21)m y m x -=-是反比例函数，在第一象限内y 随x 的增大而减小，则m ＝（）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．5．二次函数222=++y x x 与坐标轴的交点个数是()A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．如图，若一次函数y ax b =+的图象经过二、三、四象限，则二次函数2y ax bx =+的图象可能是()A ．B ．C ．D ．7．已知：0.5a =， 3.2b =，16c =， 2.5d =，下列各式中，正确的是（）A ．a b =c dB ．a c =d bC ．a b =d cD ．d c =b a8．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（）A ．∠ABP=∠CB ．∠APB=∠ABC C ．AP ABAB AC =D ．AB ACBP CB=9．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x ＝2，且OA ＝OC ，则下列结论：①abc ＞0；②9a +3b +c ＜0；③c ＞﹣1；④关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有一个根为1；其中正确的结论个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，已知点A 是反比例函数6y x=在第一象限图像上的一个动点，连接OA ，以为长，OA 为宽作矩形AOCB ，且点C 在第四象限，随着点A 的运动，点C 也随之运动，但点C 始终在反比例函数ky x=的图像上，则k 的值为（）A ．-B ．C ．D ．二、填空题11．若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是________．12．若53x x y =-，则y x=________．13．如图，直线A l A ∥BB 1∥CC 1，若AB=8，BC=4，A 1B 1=6，则线段A 1C 1的长是________．14．如图，在钝角△ABC 中，AB ＝3cm ，AC ＝6cm ，动点D 从点A 出发到点B 止．动点E 从点C 出发到点A 止．点D 运动的速度为1cm /s ，点E 运动的速度为2cm /s ．如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时．运动的时间是_____．三、解答题15．已知二次函数y ＝212x ﹣2x +6．用配方法求函数图象的顶点坐标和对称轴．16．将抛物线y ＝﹣x 2向左平移3个单位，再向上平移4个单位．（1）写出平移后的抛物线的函数关系式．（2）若平移后的抛物线的顶点为A ，与x 轴的两个交点分别是B 、C ，求△ABC 的面积．17．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax 2+bx +c ＝0的两个根；（2）写出不等式ax 2+bx +c ＞0的解集；（3）若方程ax 2+bx +c ＝k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．18．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC=°，BC=；（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.19．如题图，已知A（-4，2），B（n，-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数m yx的图象的两个交点．（1）求m，n的值；（2）求一次函数的关系式；、（3）结合图象直接写出一次函数小于反比例函数的x的取值范围．20．如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度？21．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为16元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y＝﹣2x+100．（利润＝售价﹣制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）如果厂商每月的制造成本不超过480万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？22．如图三角形ABC，BC＝12，AD是BC边上的高AD＝10．P，N分别是AB，AC边上的点，Q，M是BC上的点，连接PQ，MN，PN交AD于E．求（1）若四边形PQMN是矩形，且PQ：PN＝1：2．求PQ、PN的长；（2）若四边形PQMN是矩形，求当矩形PQMN面积最大时，求最大面积和PQ、PN的长．23．如图1，点M放在正方形ABCD的对角线AC(不与点A重合)上滑动，连结DM，做MN⊥DM,交直线AB于N．(1)求证：DM=MN；(2)若将(1)中的正方形变为矩形，其余条件不变如图，且DC=2AD，求MD:MN的值；(3)在(2)中，若CD=nAD，当M滑动到CA的延长线上时(如图3)，请你直接写出MD：MN 的比值．参考答案1．A【分析】根据二次函数的定义：y=ax2+bx+c（a≠0．a是常数），可得答案．【详解】解：A、y=x2是二次函数，故A符合题意；B、a=0时不是二次函数，故B不符合题意，C、y=8x是一次函数，故C不符合题意；D、y=x2（1+x）不是二次函数，故D不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意a是不等于零的常数．2．D【分析】直接表示出2016年，2017年的产量进而得出y关于x的函数关系式．【详解】解：设2015，2016，2017这三年该产品的总产量为y吨，则y关于x的函数关系式为：y＝100+100（1+x）+100（1+x）2．故选：D．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确表示出2017年的产量是解题关键．3．A【分析】结合抛物线的解析式和二次函数的性质即可得出该抛物线顶点坐标．【详解】∵抛物线的解析式为y＝12（x+1）2﹣12，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1 2）.故选A【点睛】本题考查二次函数的性质.4．A【分析】根据反比例函数的定义列出方程求解，再根据它的性质决定解的取舍．【详解】解：根据题意得：2m21 2m10⎧-=-⎨->⎩，解得：m＝1．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y＝kx，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．5．B【分析】先计算根的判别式的值，然后根据b 2−4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数进行判断．【详解】∵△＝22−4×1×2＝−4＜0，∴二次函数y ＝x 2＋2x ＋2与x 轴没有交点，与y 轴有一个交点．∴二次函数y ＝x 2＋2x ＋2与坐标轴的交点个数是1个，故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标，令y ＝0，即ax 2＋bx ＋c ＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根之间的关系：△＝b 2−4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数；△＝b 2−4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2−4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2−4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．6．C 【分析】根据一次函数的性质判断出a 、b 的正负情况，再根据二次函数的性质判断出开口方向与对称轴，然后选择即可．【详解】解：y ax b =+ 的图象经过二、三、四象限，0a ∴<，0b <，∴抛物线开口方向向下， 抛物线对称轴为直线02bx a=-<，∴对称轴在y 轴的左边，纵观各选项，只有C 选项符合．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向与对称轴，确定出a 、b 的正负情况是解题的关键．7．C 【分析】如果其中两个数的乘积等于另外两个数的乘积，则四个数成比例．【详解】因为16×0.5=8，3.2×2.5=8，所以ac=bd ，可得：a d b c=，故选C点睛：此题考查比例线段问题，理解成比例的概念，注意在数两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两个数相乘，看它们的积是否相等进行判断．8．D 【详解】试题分析：A ．当∠ABP=∠C 时，又∵∠A=∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项错误；B ．当∠APB=∠ABC 时，又∵∠A=∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项错误；C ．当AP ABAB AC=时，又∵∠A=∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项错误；D ．无法得到△ABP ∽△ACB ，故此选项正确．故选D ．考点：相似三角形的判定．9．B 【分析】根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案．【详解】解：由抛物线的开口可知：a ＜0，由抛物线与y 轴的交点可知：c ＜0，由抛物线的对称轴可知：﹣2ba＞0，∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；令x ＝3，y ＞0，∴9a +3b +c ＞0，故②错误；∵OA ＝OC ＜1，∴c ＞﹣1，故③正确；观察图象可知关于x 的方程ax 2+bx +c （a ≠0）＝0的两根：一个根在0与1之间，一个根在3与4之间，故④错误；故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．本题属于中等题型．10．A 【解析】分析：设A （a ，b ），则，分别过A ，C 作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ，根据相似三角形的判定证得△AOE ∽△COF ，由相似三角形的性质得到，b ，则k=-OF•CF ．详解：设A （a ，b ），∴OE=a ，AE=b ，∵在反比例函数y=x的图象上，∴，分别过A ，C 作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ，∵四边形AOCB 是矩形，∴∠AOE+∠COF=90°，∴∠OAE=∠COF=90°-∠AOE ，∴△AOE ∽△OCF ，∵OA ，∴OC OF CFOA AE OE==，∴b ，OE=a ，∵C 在反比例函数y=kx的图象上，且点C 在第四象限，∴，故选：A．点睛：本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数的几何意义和求法，正确作出辅助线证得△AOE ∽△COF 是解题的关键，同时注意k 的符号．11．（﹣2，﹣3）【解析】∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点(2,3)关于原点对称，∴该点的坐标为(−2,−3).故答案为(−2,−3).12．25【解析】解：∵53x x y =-，∴3x =5（x ﹣y ），∴2x =5y ，∴25y x =．故答案为25．13．9【解析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，利用比例的基本性质即可得解．解：∵A l A ∥BB 1∥CC 1，∴1111B C A B =BC AB，∵AB=8，BC=4，A 1B 1=6，∴B1C 1=3．∴A1C 1=A 1B 1+B1C 1=6+3=9．“点睛”考查了平行线分线段成比例定理，明确线段之间的对应关系．14．32秒或125秒【分析】如果以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，由于A 与A 对应，那么分两种情况：①D 与B 对应；②D 与C 对应．根据相似三角形的性质分别作答．【详解】解：如果两点同时运动，设运动t 秒时，以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则AD ＝t ，CE ＝2t ，AE ＝AC ﹣CE ＝6﹣2t ．①当D 与B 对应时，有△ADE ∽△ABC ．∴AD ：AB ＝AE ：AC ，∴t ：3＝（6﹣2t ）：6，∴t ＝32；②当D 与C 对应时，有△ADE ∽△ACB ．∴AD ：AC ＝AE ：AB ，∴t ：6＝（6﹣2t ）：3，∴t ＝125．∴当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是32秒或125秒．故答案为：32秒或125秒．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定定理，相似三角形的对应边成比例的性质．本题分析出以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，有两种情况是解决问题的关键．15．顶点坐标为（2，4）对称轴为x ＝2【分析】根据配方法的步骤把一般式转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标．【详解】解：y ＝212x ﹣2x +6＝12（x 2﹣4x +4+8）＝12（x ﹣2）2+4，所以顶点坐标为（2，4）对称轴为x ＝2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，配方法，二次函数的顶点式y ＝a （x−h ）2＋k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x ＝h ．16．（1）y ＝﹣（x +3）2+4；（2）8【分析】（1）分别根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可；（2）在解析式中令y ＝0，求得x 的值，即可求得B 和C 的横坐标，则BC 的长即可求得，然后根据三角形的面积公式即可求得．【详解】解：（1）由“左加右减”的原则可知，将抛物线y ＝﹣x 2向左平移3个单位所得直线的解析式为：y ＝﹣（x +3）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y ＝﹣（x +3）2向上平移4个单位所得抛物线的解析式为：y ＝﹣（x +3）2+4．故平移后的抛物线的函数关系式是：y ＝﹣（x +3）2+4．（2）顶点坐标A （﹣3，4）令y ＝﹣（x +3）2+4＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝﹣5．∴B （﹣1，0），C （﹣5，0），BC ＝4．则三角形ABC 底边BC 边上的高h=4，∴S △ABC ＝12BC ×h ＝12×4×4=8．【点睛】本题考查了抛物线的平移以及二次函数与x 轴的交点坐标的求法，正确理解平移法则是关键．17．（1）x 1＝1，x 2＝3；（2）1＜x ＜3；（3）k ＜2．【分析】（1）根据函数图象，二次函数图象与x 轴的交点的横坐标即为方程的根；（2）根据函数图象写出x 轴上方部分的x 的取值范围即可；（3）能与函数图象有两个交点的所有k 值即为所求的范围．【详解】解：（1）∵函数图象与x 轴的两个交点坐标为（1，0）（3，0），∴方程的两个根为x 1＝1，x 2＝3；（2）由图可知，不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为1＜x ＜3；（3）∵二次函数的顶点坐标为（2，2），∴若方程ax 2+bx +c ＝k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为k ＜2．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，抛物线与x 轴的交点问题，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．18．(1)(2)△ABC ∽△DEF .【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC 的度数，根据，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC 的长；（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC 与△DEF 相似．【详解】(1)9045135ABC ∠=+= ，BC ===故答案为(2)△ABC ∽△DEF .证明：∵在4×4的正方形方格中，135,9045135ABC DEF ∠=∠=+= ，∴∠ABC =∠DEF .∵2,2,AB BC FE DE ====∴222AB BC DE FE ====∴△ABC ∽△DEF .【点睛】考查勾股定理以及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.19．（1）m=-8,n=2;（2）y=-x-2;（3）-4<x<0,或x>2.【解析】分析：（1）先把A 的坐标代入反比例函数y=m x中求出m 的值，写出反比例函数的解析式，再将点B 的坐标代入求n 的值；（2）利用待定系数法求一次函数的关系式；（3）结合图象写结论即可．本题解析：(1)把A(−4,2)代入y=mx，即：m=−8，∴y=8x-，把B(n,−4)代入y=8x-得：解得n=2，∴B(2,−4)；(2)把A(−4,2),B(2,−4)代入y=kx+b中，得24{42k bk b=-+-=+，解得k=−1，b=−2，∴y=−x−2；(3)由图象得：一次函数小于反比例函数的x的取值范围是：−4<x<0或x>2.20．24m【解析】试题分析：首先设AH=x，BH=y，根据△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，得出B B=B B，B B= D B，然后将各数字代入求出x的值.试题解析：由题意知，设AH=x，BH=y，△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，∴B B=B B，B B=D B，∴3x=1.5×（y+3），5x=1.5×（y+30+5）解得x=24m．答：旗杆AH的高度为24m．21．（1）z＝﹣2x2+132x﹣1600；（2）当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为570万元．【分析】（1）根据每月的利润z＝（x−16）×y，再把y＝−2x＋100代入即可求出z与x之间的函数解析式，（2）先根据制造成本不超过480万元知生产量不超过30万件，结合一次函数解析式得出x 的取值范围，把函数关系式变形为顶点式运用二次函数的性质求出最值．【详解】解：（1）根据题意知，z＝（x﹣16）（﹣2x+100）＝﹣2x2+132x﹣1600；（2）厂商每月的制造成本不超过480万元，每件制造成本为16元，∴每月的生产量为：小于等于48016＝30万件，则y＝﹣2x+100≤30，解得：x≥35，∵z＝﹣2x2+132x﹣1600＝﹣2（x﹣33）2+578，∴图象开口向下，对称轴右侧z随x的增大而减小，∴x＝35时，z最大为570万元．当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为570万元．【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值．22．（1）PQ＝154，PN＝152；（2）PQ＝5，PN＝6．【分析】（1）设PQ＝y，则PN＝2y，根据相似三角形的对应边上的高的比＝相似比，构建方程即可解决问题；（2）设AE＝x．利用相似三角形的性质，用x表示PN，PQ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【详解】解：（1）设PQ＝y，则PN＝2y，∵四边形PQMN是矩形，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∵AD⊥BC，∴AD⊥PN，∴PNBC＝AEAD，即212y＝1010y-，解得y＝15 4，∴PQ＝154，PN＝152．（2）设AE＝x．∵四边形PQMN是矩形，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∵AD⊥BC，∴AD⊥PN，∴PNBC＝AEAD，∴PN＝65x，PQ＝DE＝10﹣x，∴S矩形PQMN ＝65x（10﹣x）＝﹣65（x﹣5）2+30，∴当x＝5时，S的最大值为30，∴当AE＝5时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是30，此时PQ＝5，PN＝6．【点睛】本题考查相似三角形的应用、二次函数的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性质构建二次函数或方程解决问题，属于中考常考题型．23．（1）见解析；（2）MD：2MN=；（3）MD：MN n=.【分析】（1）过M作MQ⊥AB于Q，MP⊥AD于P，则∠PMQ=90°，∠MQN=∠MPD=90°，根据ASA即可判定△MDP≌△MNQ，进而根据全等三角形的性质得出DM=MN；（2）过M作MS⊥AB于S，MW⊥AD于W，则∠WMS=90°，根据∠DMW=∠NMS，∠MSN=∠MWD=90°，判定△MDW∽MNS，得出MD：MN=MW：MS=MW：WA，再根据△AWM ∽△ADC ，DC=2AD ，即可得出MD ：MN=MW ：WA=CD ：DA=2；（3）过M 作MX ⊥AB 于X ，MR ⊥AD 于R ，则易得△NMX ∽△DMR ，得出MD ：MN=MR ：MX=AX ：MX ，再由AD ∥MX ，CD ∥AX ，易得△AMX ∽△CAD ，得出AX ：MX=CD ：AD ，最后根据CD=nAD ，即可得出MD ：MN=CD ：AD=n ．【详解】()1证明：过M 作MQ AB ⊥于Q MP AD ⊥，于P ，则9090PMQ MQN MPD ∠=∠=∠= ，，90DMN ∠= ，DMP NMQ ∴∠=∠，ABCD 是正方形，AC ∴平分DAB ∠，PM MQ ∴=，在MDP 和MNQ △中，MQN MPDPM MQ DMP NMQ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，MDP ∴ ≌()MNQ ASA ，DM MN ∴=；()2过M 作MS AB ⊥于S MW AD ⊥，于W ，则90WMS ∠=，MN DM ⊥ ，DMW NMS ∴∠=∠，又90MSN MWD ∠=∠= ，MDW ∴∽MNS ，MD ∴：MN MW =：MS MW =：WA ，//MW CD ，AMW ACD AWM ADC ∴∠=∠∠=∠，，AWM ∴ ∽ADC ，又2DC AD = ，MD ∴：MN MW =：WA CD =：2DA =；()3MD ：MN n =，理由：过M 作MX AB ⊥于X MR AD ，⊥于R ，则易得NMX ∽DMR ，MD ∴：MN MR =：MX AX =：MX ，由////AD MX CD AX ，，易得AMX ∽CAD ，AX ∴：MX CD =：AD ，又CD nAD = ，MD ∴：MN CD =：AD n =．【点睛】相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形、矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，运用相似三角形和全等三角形的性质进行推导即可．。
沪科版九年级上册数学期中考试试卷带答案
沪科版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案） 1．下列函数中是二次函数的是 A ．31y x =-B ．323y x x =--C ．22(1)y x x =+-D ．231y x =-2．已知2x ＝3y ，则下列比例式成立的是（ ） A ．32x y= B ．23x y = C ．32x y = D ．23x y = 3．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上．若测得BE =30m ，EC =15m ，CD =30m ，则河的宽度AB 长为（ ）A ．90mB ．60mC ．45mD ．30m4．若将抛物线y=5x 2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）A ．y=5（x ﹣2）2+1B ．y=5（x+2）2+1C ．y=5（x ﹣2）2﹣1D ．y=5（x+2）2﹣15．根据下列表格的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a 、b 、c 为常数）一个解的范围是A ．3＜x ＜3.23B ．3.23＜x ＜3.24C ．3.24＜x ＜3.25D ．3.25＜x ＜3.266．若点1231,,2,,()()(,)3y y y -在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（ ） A ．123y y y >>B ．321y y y >>C ．132y y y >>D ．231y y y >>7．如图，△ABC 中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A．B．C．D．8．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0．8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1．2m，又测得地面的影长为2．6m，请你帮她算一下，树高是（）A．3．25m B．4．25m C．4．45m D．4．75m9．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y＝kx在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是()A．1≤k≤4B．2≤k≤8C．2≤k≤16D．8≤k≤1610．定义：若点P（a，b）在函数y =1x的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y = ax2+bx称为函数y =1x的一个“派生函数”．例如：点（2，12）在函数y=1x的图象上，则函数y =2122x x+称为函数y =1x的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：（1）存在函数y =1x的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧（2）函数y =1x的所有“派生函数”的图象都经过同一点，下列判断正确的是（）A．命题（1）与命题（2）都是真命题B．命题（1）与命题（2）都是假命题C．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题D．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题二、填空题11．若12a c eb d f===，320b d f-+≠，则3232a c eb d f-+-+= __________．12．如图，直线y=－2x+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，四边形ABCD是正方形，曲线kyx=在第一象限经过点D，则k=_______．13．如图是二次函数y=ax²+bx+c 图像的一部分，图像过点A(－3，0)，对称轴为直线x=－1，给出以下五个结论:①abc<0;②b²-4ac>0;③4b+c<0;④若B(52-，y1)，C(12-y2)，y1，y2为函数图像上的两点，则y1>y2;⑤当-3≤x≤1时，y≥0;其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号)_____14．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3∶4,∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是(6，0)，则点C的坐标是______．15．如图，在△ABC中，M、N分别是AB、AC上的点，MN∥BC，若S△MBC：S△CMN＝3：1，则S△AMN：S△ABC＝_____．三、解答题16．已知抛物线的顶点坐标是（3，-1），与y轴的交点是（0，-4），求这个二次函数的解析式．17．已知：如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E．(1)求证：BC = CE；(2)求证：AD AC BD BC=18．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，若∠APB=120°，求证：△ACP∽△PDB．19．已知一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝－8x的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积；（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．20．某花圃销售一批名贵花卉，平均每天可售出20盆，每盆盈利40元，为了增加盈利并减少库存，花圃决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每盆花卉每降1元，花圃平均每天可多售出2盆．每盆花卉降低多少元时，花圃平均每天盈利最多，是多少？21．已知：如图，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使锐角△AOB的面积等于3．求点B 的坐标．22．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(4，6)．双曲线y＝kx(x>0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.(1)求k的值及点E的坐标；(2)若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的表达式．23．定义：底与腰的比是12的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，AB=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．（1）2AB=AA1•A C；（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）（3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB 交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A n﹣1A n．（n为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）24．如图甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分别为B、P、D，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．（1）证明：AB⋅CD=PB⋅PD．（2）如图乙，也是一个“三垂图”，上述结论成立吗？请说明理由．（3）用以上方法解决下列问题：已知抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点（0，-3），顶点为P，如图丙所示，若Q是抛物线上异于A、B、P的点，使得∠QAP=90°，求Q点坐标．参考答案1．D 【分析】根据二次函数的定义逐个分析即可. 【详解】A. 31,y x =-是一次函数；B. 323y x x =-- ，是三次函数；C. 22(1)y x x =+-=2x+1，是一次函数；D. 231y x =-，是二次函数. 故选D 【点睛】本题考核知识点：二次函数. 解题关键点：理解二次函数的定义. 2．C 【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x=3y ，即可判断 【详解】解：A 、变成等积式是：xy ＝6，故错误； B 、变成等积式是：3x ＝2y ，故错误； C 、变成等积式是：2x ＝3y ，故正确； D 、变成等积式是：3x ＝2y ，故错误． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可． 3．B 【详解】∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴∠ABE=∠DCE=90°，又∵∠AEB=∠DEC （对顶角相等）， ∴△ABE ∽△DCE ， ∴AB BEDC CE =, 又∵BE =30m ，EC =15m ，CD =30m ， ∴303015AB =， ∴AB ＝60(m). 故答案是B. 4．A 【详解】试题解析：将抛物线25y x =向右平移2个单位，再向上平移1个单位, 得到的抛物线的解析式是()252 1.y x =-+ 故选A.点睛：二次函数图像的平移规律：左加右减，上加下减. 5．C 【详解】试题分析：观察表格可知ax 2+bx+c 的值与0比较接近的是-0.02和0.03，相对应的x 的值分别为3.24秘3.25，因此方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a 、b 、c 为常数）一个解的范围是3.24＜x ＜3.25； 故选C.考点：一元二次方程的解 6．C 【分析】0k <，y 随x 值的增大而增大，()11,y -在第二象限，()22,y ，()33,y 在第四象限，即可解题. 【详解】 ∵0k <，∴在每个象限内，y 随x 值的增大而增大，∴当1x =-时，10y >， ∵23<， ∴231y y y << 故选C ． 【点睛】本题考查反比例函数及性质，熟练掌握反比例函数的图象及x 与y 值之间的关系是解题的关键. 7．C 【详解】试题解析：A 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D 、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误； 故选C ．点睛：相似三角形的判定：两组角对应相等，两个三角形相似. 两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似. 三组边对应成比例，两个三角形相似. 8．C 【解析】试题分析：此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影长的比值是相同的．所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值是相同的，利用这个结论可以求出树高． 试题解析：如图，设BD 是BC 在地面的影子，树高为x ，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，得：10.8 CBBD=而：CB=1．2∴BD=0．96∴树在地面的实际影长为：0．96+2．6=3．56．再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，得：1 3.560.8 x=∴x=4．45∴树高是4．45m．故选C．考点：相似三角形的应用．9．C【详解】试题解析：由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数kyx=经过点A时k最小，进过点C时k最大，据此可得出结论．∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数kyx=经过点A时k最小，经过点C时k最大，∴k最小=1×2=2，k最大=4×4=16，∴2≤k≤16．故选C．10．D【解析】（1）∵P（a，b）在y=1x上，∴a和b同号，所以对称轴在y轴左侧，∴存在函数y=1x的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧是假命题．（2）∵函数y=1x的所有“派生函数”为y=ax2+bx，∴x=0时，y=0，∴所有“派生函数”为y=ax2+bx经过原点，∴函数y=1x的所有“派生函数”，的图象都经过同一点，是真命题．故选D．【点睛】本题考查命题与定理、二次函数的性质，理解题意是解题的关键，记住二次函数y=ax2+bx的性质a、b同号对称轴在y轴左侧，a、b异号对称轴在y轴右侧．11．1 2【解析】因为12a c eb d f===，320b d f-+≠，所以得a=0.5b，c=0.5d，e=0.5f，所以3232a c eb d f-+-+＝1.50.532b d fb d f-+-+＝12.故答案是：1 2 .12．3.【解析】试题分析：作DE⊥x轴，垂足为E，连OD．可以证出△BOA≌△AED，得到AE=BO，AO=DE，所以S△DOE=12•OE•DE=12×3×1=32，∴k=32×2=3．故答案为3．考点：反比例函数综合题．13．②③⑤.【解析】由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，故①错误．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b 2-4ac ＞0，故②正确．∵抛物线对称轴为x=-1，与x 轴交于A （-3，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点为（1，0），∴a+b+c=0，-2b a=-1， ∴b=2a ，c=-3a ，∴4b+c=8a-3a=5a ＜0，故③正确．∵B （-52，y 1）、C （-12 ，y 2）为函数图象上的两点， 又点C 离对称轴近，∴y 1，＜y 2，故④错误，由图象可知，-3≤x≤1时，y≥0，故⑤正确．∴②③⑤正确，故答案是：②③⑤．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题．14．（2，【分析】根据题意得出D 点坐标，再解直角三角形进而得出答案．【详解】分别过A 、C 作AE ⊥OB ，CF ⊥OB ，∵∠OCD ＝90°，∠AOB ＝60°，∴∠ABO ＝∠CDO ＝30°，∠OCF ＝30°，∵△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B 的坐标是（6，0），∴D （8，0），则DO ＝8，故OC ＝4，则FO ＝2，CF ＝CO•cos30°＝故点C 的坐标是：（2，．故答案为：（2，．【点睛】此题主要考查了位似变换，运用位似图形的性质正确解直角三角形是解题关键． 15．1:9【分析】根据三角形相似的相关知识即可解答.【详解】解：∵MN ∥BC ，且S △MBC ：S △CMN ＝3：1可得MN ：BC=1：3所以S △AMN ：S △ABC= MN 2：BC 2=1:9.即答案为1:9.【点睛】本题考查了三角形相似时，面积比=边长比的平方，熟悉掌握是解题关键.16．21(3)13y x =--- 【解析】试题分析：根据顶点坐标设解析式，把点（0，-4）代入即可求出a ，即可求出答案． 试题解析：设抛物线解析式为y =a （x -3）2-1，把（0，-4）代入得：-4=9a-1，解得a=-13， 则抛物线解析式为()21313y x =---． 17．见解析【解析】试题分析：（1）根据CD 平分∠ACB ，可知∠ACD=∠BCD ；由BE ∥CD ，可求出△BCE 是等腰三角形，故BC=CE；（2）根据平行线的性质，及BC=CE可得出结论．试题解析：证明：(1)∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD．又∵BE∥CD，∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD．∵∠ACD=∠BCD，∴∠CBE=∠CEB．故△BCE是等腰三角形，BC=CE．(2)∵BE∥CD，根据平行线分线段成比例定理可得ADBD=ACCE，又∵BC=CE，∴ADBD=ACBC．18．见解析【解析】试题分析：先证明∠ACP=∠PDB=120°，然后由∠A+∠B=60°，∠DPB+∠B=60°可证明∠A=∠DPB，从而可证明△ACP∽△PDB．试题解析：证明：∵△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠PDC=60°．∴∠ACP=∠PDB=120°．∵∠APB=120°，∴∠A+∠B=60°．∵∠PDB=120°，∴∠DPB+∠B=60°．∴∠A=∠DPB．∴△ACP∽△PDB．19．（1）一次函数的解析式为y=﹣x+2；（2）S△AOB=6；（3）由图象可知：一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜4．【解析】试题分析：（1）由点A、B的横纵坐标结合反比例函数解析式即可得出点A、B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法即可得出直线AB的解析式；（2）设直线AB与y轴交于C，找出点C的坐标，利用三角形的面积公式结合A、B点的横坐标即可得出结论；（3）观察函数图象，根据图象的上下关系即可找出不等式的解集．试题解析：（1）令反比例函数y=-8x中x=-2，则y=4，∴点A的坐标为（-2，4）；反比例函数y=-8x中y=-2，则-2=-8x，解得：x=4，∴点B的坐标为（4，-2）．∵一次函数过A、B两点，∴42{24k bk b=-+-=+，解得：1{2kb=-=，∴一次函数的解析式为y=-x+2．（2）设直线AB与y轴交于C，令为y=-x+2中x=0，则y=2，∴点C的坐标为（0，2），∴S△AOB=12OC•（x B-x A）=12×2×[4-（-2）]=6．（3）观察函数图象发现：当x＜-2或0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围为x＜-2或0＜x＜4．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．20．每盆花卉降低15元时，花圃每天盈利最多为1250元．【解析】试题分析：利用每盆花卉每天售出的盆数×每盆的盈利=每天销售这种花卉的利润y，列出函数关系式解答即可．试题解析：解：设每盆花卉降低x元，花圃每天盈利y元，则y=（40-x）（20+2x）=-2x2+60x+800 =-2（x-15）2+1250，由400xx≥⎧⎨->⎩，解得：0≤x＜40，故当x=15时，y最大=1250，答：每盆花卉降低15元时，花圃每天盈利最多为1250元．21．（1）y=x2-3x，（2）（4，4）.【解析】试题分析：（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，也就得出了抛物线的解析式．（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB 的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可．试题解析：①∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=-1，∴y=x2-3x，②假设存在点B，过点B做BD⊥x轴于点D，∵△AOB的面积等于6，∴12AO•BD=6，当0=x2-3x，x（x-3）=0，解得：x=0或3，∴AO=3，∴BD=4即4=x2-3x，解得：x=4或x=-1（舍去）．又∵顶点坐标为：（1.5，-2.25）．∵2.25＜4，∴x轴下方不存在B点，∴点B的坐标为：（4，4）.考点：二次函数综合题．22．（1）k＝12，E (4,3)；（2）y＝23x＋103.【详解】（1）在矩形OABC中，∵B（4，6），∴BC边中点D的坐标为（2，6），∵又曲线y=kx的图象经过点（2，6），∴k=12，∵E点在AB上，∴E点的横坐标为4，∵y=12x经过点E，∴E点纵坐标为3，∴E点坐标为（4，3）；（2）由（1）得，BD=2，BE=3，BC=4，∵△FBC∽△DEB，∴BD BECF CB=，即234CF=，∴CF=83，∴OF=103，即点F的坐标为（0，103），设直线FB的解析式为y=kx+b，而直线FB经过B（4，6），F（0，103），∴46103k bb+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得23103kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BF的解析式为y=23x+103．23．（1）证明见试题解析；（2）△ABC是黄金等腰三角形；（3）1n a+．【详解】试题分析：（1）由角平分线的性质和相似三角形的判定与性质，得到△ABC∽△AA1B，从而有1AB AC AA AB=，求出即可； （2）设AC=1，则AB 2=1﹣AB ，求出AB 的值，进而得出AB AC，即可得出结论； （3）利用（2）中所求进而得出AA 1，A 1A 2的长，进而得出其长度变化规律求出即可． 试题解析：（1）∵AC=BC ，∠C=36°，∴∠A=∠ABC=72°，∵BA 1平分∠ABC ，∴∠ABA 1=12∠ABC=36°，∴∠C=∠ABA 1，又∵∠A=∠A ，∴△ABC ∽△AA 1B ，∴1AB AC AA AB =，即2AB =AA 1•A C ；（2）△ABC 是黄金等腰三角形，理由：由（1）知，2AB =AA 1•A C ，设AC=1，∴2AB =AA 1，又由（1）可得：AB=A 1B ，∵∠A 1BC=∠C=36°，∴A 1B=A 1C ，∴AB=A 1C ，∴AA 1=AC ﹣A 1C=AC ﹣AB=1﹣AB ，∴2AB =1﹣AB ，设AB=x ，即21x x =-，∴210x x +-=，解得：1x =，2x =（不合题意舍去），∴，又∵AC=1，∴AB AC，∴△ABC 是黄金等腰三角形； （3）由（2）得；当AC=a ，则AA 1=AC ﹣A 1C=AC ﹣AB=a ﹣AB=a=2a ， 同理可得：A 1A 2=A 1C ﹣A 1B 1=AC ﹣AA 1﹣A 1B 1=2111()22a a AC --=22111()[()]222a a a a ---=31()2a ； 故A n ﹣1A n=1n a +．考点：1．相似形综合题；2．新定义；3．探究型；4．综合题；5．压轴题；6．规律型．24．（1）（2）见解析；（3）（72，94）．【详解】试题分析：（1）根据同角的余角相等求出∠A=∠CPD，然后求出△ABP和△PCD相似，再根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证；（2）与（1）的证明思路相同；（3）利用待定系数法求出二次函数解析式，根据抛物线解析式求出点P的坐标，再过点P 作PC⊥x轴于C，设AQ与y轴相交于D，然后求出PC、AC的长，再根据（2）的结论求出OD的长，从而得到点D的坐标，利用待定系数法求出直线AD的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点Q的坐标．试题解析：（1）证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°，∴∠A+∠APB=90°，∵AP⊥PC，∴∠APB+∠CPD=90°，∴∠A=∠CPD，∴△ABP∽△PCD，∴AB PB PD CD，∴AB•CD=PB•PD；（2）AB•CD=PB•PD仍然成立．理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠CDP=90°，∴∠A+∠APB=90°，∵AP⊥PC，∴∠APB+∠CPD=90°，∴∠A=∠CPD，∴△ABP∽△PCD，∴AB PB PD CD=， ∴AB •CD =PB •PD ；（3）设抛物线解析式为()()12y a x x x x =+-（a ≠0），∵抛物线与x 轴交于点A （-1，0），B （3，0），与y 轴交于点（0，-3），∴()()13y a x x =+-， 把（0，-3）带入得 y =x 2-2x -3，∵y =x 2-2x -3=（x -1）2-4，∴顶点P 的坐标为（1，-4），过点P 作PC ⊥x 轴于C ，过点Q 向x 轴作垂线，垂足为E.设QE=m ，由第(2)题结论得AE=2m ，则Q 点坐标为（2m -1，m ）带入y =x 2-2x -3，解得m=94或m=0（舍去），把y=94带入y =x 2-2x -3，解得x=72或x=32-（舍去） ∴点Q 的坐标为（72，94） 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，综合题，但难度不大，根据同角的余角相等求出两个角相等得到两三角形相似是解题的关键．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
九年级数学期中复习卷
（满分：150分 时间：120分钟） 得分_________
一．选择题（每题4分，满分40分） 1抛物线122+-=x y 的对称轴是（ ）
A.直线1
2
x = B. 直线12x =- C. y 轴 D. 直线x=2
2.已知（5，-1）是双曲线)0(≠=k x
k
y 上的一点，则下列各点中不在．．该图象上的是（ ）
A ．（ 1
3 ，-15） B ．（5，1）
C ． (-1，5)
D ．（10，2
1
-
） 3.已知x ：y=5：2，则下列各式中不正确的是（ ）
A ．x+y y = 7
2
B ．x-y y = 3
2
C ．x x+y = 57
D ．x y-x = 53
4.下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是( )
A. B. C. D. 5.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，其面积比为1：2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为（ ） A ．1：2 B ．2:2 C ．1：4 D ．1:2 6.如图，在△ABC 中，∠ADE ＝∠C ，那么下列等式中，成立的是（ ）
A ．BC DE ＝A
B AE B ．B
C AE ＝BD
AD
C ．
AB AD ＝AC AE D ．BC DE ＝AB
AD
7.如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C =∠E ，AD ：DE = 3：5，
AE =8，BD =4，则DC 的长等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8.函数m x x y +--=822
的图象上有两点),(11y x A ，),(22y x B ，若
212x x <<-，则（ ）
A.21y y <
B.21y y >
C.21y y =
D.1y 、2y 的大小不确定
9.将抛物线221y x =+的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是
（ ）
A ．22(2)3y x =+-
B ．22(2)2y x =+-
C ．22(2)3y x =--
D ．22(2)2y x =--
10.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点D 是AB 上的一个动点 （不与A 、B 两点重合），DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，点D 从靠近点A
的某一点向点B 移动，矩形DECF 的周长变化情况是（ ）
A.逐渐减小
B.逐渐增大
C.先增大后减小
D.先减小后增大
11.写出一个开口向下，顶点坐标是（1，-2）的二次函数解析式 .
12.如图，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外取一点C ，连接AC 、BC ，在AC 上取点M ，使AM =3MC ，作MN ∥AB 交BC 于N ，量得MN =38m ，则AB 的长为 ．
13.教练对小明推铅球的录像进行技术分析(如图)，发现铅球行进高度y (m)与水平距离
x (m)之间的关系为() x －y 24121
-
=+3，由此可知铅球推出的距离是 m . 14.已知二次函数m x x y ++-=42
的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程
042=++-m x x 的解为 ．
15.如图，已知：∠ACB =∠ADC =90°，AD=2，CD =2,当AB 的长为_____________时，△
ACB 与△ADC 相似.
16.二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象如图所示，以下结论: ①a+b+c=0；②4a+b=0；③abc<0；④4ac-b 2<0；⑤当x ≠2时，总有4a+2b>ax 2
+bx 其中正确的有 (填写正确结论的序号). 17.已知二次函数6422
++-=x x y .
（1）求该函数图象的顶点坐标. （2）求此抛物线与x 轴的交点坐标.
18.如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，连接BD ，已知∠ABD=∠C ，AB=6，AD=4，求线段CD 的长．
y 第16题图
O 1 3
x
A D C B
第15题 2 6
第14题 第13题 A
B C E D F 第10题
第12题
200
300 x y O
19.如图，已知抛物线32
-+=bx ax y 的对称轴为直线1=x ，交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，其中B 点的坐标为（3,0）。
（1）直接写出A 点的坐标；
（2）求二次函数32
-+=bx ax y 的解析式。
20.如图是53⨯的网格，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形.
（1）图1中的格点△ABC 与△DEF 相似吗？请说明理由.
（2）请在图2中选择适当的位似中心作一个格点△111C B A 与△ABC 位似，且位似比不为1.
(3) 请在图3中画一个格点△222C B A 与△ABC 相似（注意：△222C B A 与△ABC 、△DEF 、△111C B A 都不全等）
图1 图2 图3
21.如图，一次函数51+-=x y 与反比例函数2k
y x =的图象交于A （1,m ）、B （4,n ）两点.
（1）求A 、B 两点的坐标和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出当y 1＞y 2时x 的取值范围； （3）求△AOB 的面积.
22.如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 是AB 边上一点，以CD 为一边，向上作等腰△DCE ，使△EDC ∽ABC ∆，连AE ，求证：AE ∥BC
23.某公司生产一种环保产品，需要添加一种新型原料，若每件产品的利润与新型原料价格成一次函数关系，且每件．．产品的利润y (元)与新型原料的价格x (元/千克)的函数图象如图：
（1）当新型原料的价格为600元/千克时，每件产品的利润是多少？
（2）新型原料是一种稀少材料，为了珍惜资源，政府部门规定：新型原料每天使用量m （千克）与价格x (元/千克)的函数关系为x =10m +500，且m 千克新型原料可生产10m 件产品.那么生产300件这种产品，一共可得利润是多少？
（3）受生产能力的限制，该公司每天生产这种产品不超过450件，那么在（2）的条件下，该公司每天应生产多少件产品才能获得最大利润？最大利润是多少？
A B C D
E F A B C
（元）
（元/千克）。