小升初数学讲义

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小升初数学冲刺复习讲义

第一讲图形面积本次阴影专题是在阴影专题（一）的基础上加深对三角形的认识，再引入圆形阴影部分。

1、r2的运用涉及圆的面积有：nπr2圆的面积公式S圆=πr2；扇形面积公式S扇=360“月牙形”面积公式S月牙=0.285 r2；“风筝形”面积公式S风筝=0.215 r2通过以上公式，我们发现一个共同的特点，即在计算圆的阴影面积时，从本质上讲，我们不用求出r的值，只要求出r2是多少，把r2作为一个整体，即可求解。

这是学习圆的阴影面积时首先需要掌握的。

2、割补法学习圆的阴影面积时，有一个解题办法非常重要，它是“割补法”。

很多看似无法解的问题，运用割补法，解起来非常巧妙、简洁。

3、“容斥”原理在例题中讲解。

总体看，与三角形相比，求圆的阴影面积，变化不多，题型较为简单。

因此本讲仍将把三角形阴影面积的求法做为学习重点，继续运用“等底等高，高相等底倍数”的办法解题，达到熟练掌握的程度，同时学习用代数法、等分法、旋转法、割补法、填补法等方法解题。

[关键词]：r2的运用割补法代数法例1、如图，三角形ABC的面积是1平方厘米，且BE=2EC，F是CD的中点。

那么阴影部分的面积是多少平方厘米？例2、如图正方形ABCD的边长为10cm，EC=2BE，求阴影部分面积？例3、如图正方形边长10厘米，E、F、H分别为三边中点，阴影四边H形面积是多少平方厘米？例4、如图：有一张斜边为22厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为36厘米的蓝色直角三角形的纸片，一张黄色正方形纸片，拼成一个直角三角形，红、蓝两张三角形纸片的面积之和为多少平方厘米？例5、如图所示四边形ABCD，线段BC长为6厘米，角ABC为直角，角BCD为135o，而且点A到边CD的垂线AE的长为12厘米，线段ED的长为5厘米，求四边形ABCD 的面积。

例6、有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠放，如图所示。

已知露出部分中红色面积是20，黄色部分是14，绿色部分是10，那么正方形盒子的面积是多少？例7、如图⑴把线段OA绕点O向右旋转90°，图中阴影部分即为OA扫过的面积。

小升初衔接数学讲义(共13讲)

第一讲数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成mn（0,,n m n≠互质）。

4、性质：①顺序性（可比较大小）；②四则运算的封闭性（0不作除数）；③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5、绝对值的意义与性质：①(0)||(0)a aaa a≥⎧=⎨-≤⎩②非负性2(||0,0)a a≥≥③非负数的性质： i）非负数的和仍为非负数。

ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。

二、【典型例题解析】：若||||||0,a b ababa b ab+-则的值等于多少？如果m是大于1的有理数，那么m一定小于它的（ D ）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd-+++++-的值。

如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b-++化简的结果等于（）A.2aB.2a- C.0 D.2b已知2(3)|2|0a b-+-=，求b a的值是（）A.2B.3C.9D.6有3个有理数a,b,c，两两不等，那么,,a b b c c ab c c a a b------中有几个负数？设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a+的形式式，又可表示为0，ba，b的形式，求20062007a b+。

三个有理数,,a b c的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc acXa b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx+++的值是多少？若,,a b c为整数，且20072007||||1a b c a-+-=，试求||||||c a a b b c-+-+-的值。

三、课堂备用练习题。

1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+20062、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)3、计算：5917336512913248163264+++++-4、已知,a b为非负整数，且满足||1a b ab-+=，求,a b的所有可能值。

小升初衔接班数学讲义

第一讲丰富的图形世界【知识要点】一、正方体的平面展开图（11 种）；1．“一四一”型：6 个2．“二三一”型：3 个3．“三三”型： 1 个4．“二二二”型：1 个田字格对顶格二、几何体的三视图（正视图、左视图、俯视图）；（一）已知几何体，画三视图1．正（主）视图：从左往右看（有几列，每列最高有几层），数字化写了下面；2．左视图：从里往外看（有几列，每列最高有几层），数字化写了左侧；3．俯视图：最底层（方位）.如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体，请画出它的三种视图.（二）已知三视图，确定几何体1．将正视图数字化写在俯视图的下面；将左视图数字化写在俯视图的左侧；2．将“ 1”所在的行或列全部填“ 1”；3．分析其它空格的可能性（最高值）如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是.【新知讲授】1．如图，将标号为A、 B、 C、 D 的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为组图形，则按 A、 B、 C、 D的顺序确定正确对应的图形顺序是 ().(A) P 、M、Q、NA B C(B)Q 、N、M、P(C)M 、P、Q、N(D) N 、Q、P、MP Q M2.在桌子上放着五个薄圆盘 , 如右图所示 . 它们由下到上放置的次序应当是(A)X ，Y， Z，W，V(B)X，W，V，Z，Y(C)Z ，V， W，Y，X(D)Z，Y，W，V，X3．在下列图形中( 每个小正方形皆相同 ) 可以是一个正方体表面展开图的是( ). P、 Q、 M、N 的四DN ( ).(A)(B)(C)(D)4．在下列图形中( 每个小正方形皆相同) 可以是一个正方体表面展开图的是().(A)(B)(C)(D)5．如右图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的().(A)(B)(C)(D)6．正方体的平面展开图是右图，原正方体形如().(A)(B)(C)(D)7．如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的左视图是().8．由几个小立方体搭成的一个几何体如图 1 所示，它的主（正）视图见图2，那么它的俯视图为().(A)(B)(C)(D)9．下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是().(A)(B)(C)(D)10．如果用□表示 1 个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面右图由7 个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是().(A)(B)(C)(D)11．下图是由一些相同的小正方形构成的几何体的三视图，那么这些相同的小正方形的个数是( ).(A)4 (B)5 (C) 6 (D)712. 已知一个物体由x 个相同的正方体堆成，它的主视图和左视图如图所示，那么x 的最大值是（） .(A)13 (B)12 (C)11 (D)10（第 11 题图）（第12题图）（第13题图）13．一个画家有14 个边长为1m的正方体，他在地面上把它们摆成如图所示的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为().(A)19m 2(B)21m 2(C)33m2(D)34m 214.把图中的片沿虚线折起来,便可成为一个正方体，这个正方体 4 号面的对面是_______号面 .（第 14 题图）（第15题图）（第16题图）16．把图 (1) 的正方体表面展开成图(2) 时，有—个面的 4 条棱都没有被剪开，这个面是正方形.(用字母表示)．17．由一些相同的小正方体构成一个立体图形，如图是从不同的方向看这个立体图形的平面图形，则构成这个立体图形的小正方形的个数是.C 2B 1A 4主视图左视图俯视图18．如图是一个正方体木块的表面展开图. 若在正方体的各面填上数，使得对面两数之和为7，则 A 处填的数是，B 处填的数是，C 处填的数是.19．一张桌子上摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如下图所示，则这张桌子上共摆放有 ________个碟子 .21. 如图都是由边长为 1 的正方体叠成的图形. 例如第（ 1）个图形的表面积为 6 个平方单位，第（ 2）个图形的表面积为18 个平方单位，第（3）个图形的表面积是36 个平方单位 .（1）依此规律，求第（ 5）个图形的表面积是多少个平方单位？（2）第（ n）个图形的表面积又是多少个平方单位？22．请在图中用阴影标出六个小正方形，它们是一个正方形的展开图（要求画法各不相同）.23．如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，分别写出搭成这个几何体所用的小立方块的个数 .（1）共用块小立方块；主视图左视图俯视图（2）共用块小立方块；主视图左视图俯视图（3）共用块小立方块；24.如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单的几何体的主视图和俯视图.（1）请你画出这个几何体的一种左视图；（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为ｎ，请你写出ｎ的所有可能值 .第二讲线段【知识要点】一、直线、射线、线段；1．区别：直线射线线段图形几何表示直线 AB（直线 BA）射线 AB（射线 BA）线段 AB（线段 BA）同一条直线不同射线同一条线段端点没有 1 个 2 个延伸方向两端延伸一端延伸无延伸长度度量不能不能能2．关系（联系）：射线、线段是直线的一部分射线：直线上一点及一旁的部分；线段：直线上两点及两点之间的部分；3 ．注意：两点确定一条直线；两点确定两条射线；两点确定一条线段；二、线段的中点；1．定义：将一条线段平均分成相等的两段的点.A P B2．性质：如图， P为线段 AB的中点，则有：①PA=PB；② AB=2PA；③ AB=2PB；④ PA=1AB；⑤ PB=1AB；223．判定 P 为线段 AB的中点：注意点P 是否在线段AB上；．．（注意在无图条件下区别：在直线．． AB上）；三、线段的有关计算（和、差、倍、分）；四、两点间的距离1．定义：连接两点间的线段的长度．．；2．能用“两点之间线段最短”来解释生活中的实际问题；3．应用：判断 A、 B、 C 三点共线的方法：AB、 AC、 BC三条线段的长度满足其中两条线段的长等于第三条线段的长. 【新知讲授】O AB1．如图，下列说法不正确的是 ( ).(A) 直线 AB与直线 BA是同一条直线(B) 射线 OA与射线 OB是同一条射线2．下列图形中，能相交的是( ).CDO CAABBBBDAOCAC(A) (B) (C) (D)3．点 C 在线段 AB 上，给出下列关系：① AC+BC=AB ；② AB-AC=BC ；③ AB-BC=AC ；④ AC=BC.其中一定正确的个数是 ( ).(A)0 个(B)1个(C)2 个 (D)3个4. 点 M 在直线 AB 上，下列条件中能判断点M 为线段 AB 的中点的是 ().(A)AM= 1AB(B)AB=2BM(C)AM=BM(D)AM+BM=AB25．下面说法中不正确的是 ( ).(A) 两点之间线段最短(B)两点确定一条直线(C) 直线、射线、线段都有中点(D) 两条不同的直线相交有且只有一个交点6．下面各种情况中， A 、B 、 C 三点在同一条直线上的是 ( ).(A)AB=5cm ， AC=4cm ， BC=2cm(B)AB=20cm， AC=8cm ， BC=15cm (C)AB=16cm ， AC=10cm ， BC=3cm (D)AB=13cm， AC=16cm ， BC=3cm7． C 为线段 AB 延长线上的一点，且 AC=3AB ，则 BC 为 AB 的.8．已知 A 、 B 、C 在同一直线上， AB=8， BC=4，则线段 AC 的长度为. 9．已知 AB=3，AC=9，当 BC= 时，点 A 、B 、 C 在同一条直线上 .10．如图， AC=BC=a ， BD=b ，则 AD=.11．如图，已知线段 AB=11，C 、D 为 AB 上的两点，且 AD=8， BC=9，则线段 CD 的长为 .aaBA C DAC D bB12．如图， B 、C 两点把线段 AD 分成 2∶ 3∶ 4 三部分， M 是 AD 的中点， MC=1，则 AD= . 13．如图，已知 B 、C 是线段 AD 上的两点， M 是 AB 的中点， N 是 CD 的中点， MN=a ， BC=b ，则线段 AD=．AB M C D A M B C N D14．一质点 P 从距原点 1 个单位的 A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点 A 1 处，第二次从 A 1 点跳动到 O A 1 的中点 A 2 处，第三次从 A 2 点跳动到 O A 2 的中点 A 3 处，如此不断跳动下去，则第 n 次跳动后，该质点到原点 O 的距离为。

小升初数学衔接讲义

小升初数学衔接讲义一、数与数的运算（一）整数1、整数的意义：整数包括自然数、0和负整数。

2、整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续有几个0都只读一个“零”。

3、整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。

4、十进制计数法：数级从右起，第一级是个位，计数单位是一，表示几个一；第二级是十位，计数单位是十，表示几个十；第三级是百位，计数单位是百，表示几个百……在整数中，每级中间的0也要读出来。

5、计算整数加法：先把数位对齐，从低位加起，满十进一。

6、计算整数减法：先把数位对齐，从高位减起，不够减的向前借一当十。

7、大小比较：借助数轴比较大小。

（二）小数1、小数的意义：小数由整数部分、小数部分和小数点组成。

2、小数的读法：整数部分按整数的读法读，小数部分按顺序读出每个数字。

3、小数的写法：整数部分按整数的写法写，小数部分要写出每个数字所在的位置。

4、小数的性质：在小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。

5、小数的四则运算：小数加减法与整数加减法的计算方法相同；小数乘法与整数乘法的计算方法相同；小数除法与整数除法的计算方法相同。

6、小数的近似值：求小数的近似值时，要根据需要用“四舍五入”法保留一定的小数位数。

（三）分数1、分数的意义：分数由分子、分母和分数线组成。

2、分数的读法：读分数时，先读分母，再读分数线和分子，分子和分母之间加一条斜线。

3、分数的写法：写分数时，先写分数线，再写分母，最后写分子。

分子和分母按照整数的写法来写。

4、分数的性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

5、分数的四则运算：分数加减法与整数加减法的计算方法相同；分数乘法与整数乘法的计算方法相同；分数除法与整数除法的计算方法相同。

6、分数大小的比较：同分母的分数比较大小，分母相同的分数比较大小；异分母的分数比较大小，先通分再比较大小。

小升初数学讲义

第一讲：四大重点全方位训练之一—计算与简算（1）‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥1第二讲：四大重点全方位训练之一—计算与简算（2）‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥4第三讲：解较复杂的方程‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥7第四讲：列方程解应用题‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10第五讲：和差、和倍及差倍应用题‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥12第六讲：算术法解分数应用题——玩转对应关系（1）‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥14第七讲：算术法解分数应用题——玩转对应关系（2）‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥17第八讲：算术法解分数应用题——玩转单位“1”‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20第九讲：经典分数应用题类型‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥23第十讲：工程问题（一）‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥27第十一讲：工程问题（二）‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥30第十二讲：工程问题（三）‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥33 第十三讲：牛吃草问题‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥36第十四讲：行程中的相遇问题‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥38第十五讲：行程中的追击问题‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥41小升初数学讲义知识改变命运，思维决定未来12010+⨯298100+⨯97019702++20102010+122011++++43++-11123+- 11⎛++ ⎝119⎛⨯+ ⎝1249505050⎛⎫++++⎪⎝⎭99019900+122010++++。

小升初数学讲义

第一章有理数课题：1.1 正数和负数（1）【学习目标】：1、掌握正数和负数概念；2、会区分两种不同意义的量，会用符号表示正数和负数；3、体验数学发展是生活实际的需要，激发学生学习数学的兴趣。

【重点难点】：正数和负数概念【导学指导】：一、知识链接：1、小学里学过哪些数请写出来：、、。

2、阅读课本P2三幅图（重点是三个例子，边阅读边思考）回答下面提出的问题：3、在生活中，仅有整数和分数够用了吗？有没有比0小的数？如果有，那叫做什么数？二、自主学习1、正数与负数的产生（1）、生活中具有相反意义的量如：运进5吨与运出3吨；上升7米与下降8米；向东50米与向西47米等都是生活中遇到的具有相反意义的量。

请你也举一个具有相反意义量的例子：。

（2）负数的产生同样是生活和生产的需要2、正数和负数的表示方法（1）一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为正的，而与它相反的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负的。

正的量就用小学里学过的数表示，有时也在它前面放上一个“+”（读作正）号，如前面的5、7、50；负的量用小学学过的数前面放上“—”（读作负）号来表示，如上面的—3、—8、—47。

（2）活动两个同学为一组，一同学任意说意义相反的两个量，另一个同学用正负数表示.（3）阅读P3练习前的内容3、正数、负数的概念1）大于0的数叫做，小于0的数叫做。

2）正数是大于0的数，负数是的数，0既不是正数也不是负数。

【课堂练习】：1. P3 1,2（直接做在课本上）。

2．小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______,-4万元表示________________。

3．已知下列各数：51-，432-，3.14，+3065，0，-239；则正数有_____________________；负数有____________________。

4．下列结论中正确的是 …………………………………………（） A ．0既是正数，又是负数 B ．O 是最小的正数C ．0是最大的负数D ．0既不是正数，也不是负数5．给出下列各数：-3，0，+5，213-，+3.1，21-，2004，+2010；其中是负数的有 ……………………………………………………（） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【要点归纳】：正数、负数的概念：（1）大于0的数叫做，小于0的数叫做。

小升初数学培优专题讲义

小升初培优冲刺训练第1讲简便运算（一）第2讲简便运算（二）第3讲转化单位“1”（一）第4讲转化单位“1”（二）第5讲转化单位“1”复习第6讲倒推法解题第7讲比的应用（一）第8讲比的应用（二）第9讲用“组合法”解工程问题第10讲特殊工程问题第11讲工程问题复习第12讲面积计算（一）第13讲面积计算（二）第14讲面积计算（三）第1讲简便运算（一）一、知识要点根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。

二、精讲精练【例题1】计算：36×1.09+1.2×67.3【思路导航】此题表面看没有什么简便算法，仔细观察数的特征后可知：36=1.2×30。

这样一转化，就可以运用乘法分配律了。

所以原式＝＝＝＝＝练习1：计算：1.45×2.08+1.5×37.6 2.52×11.1+2.6×778【例题2】计算81.5×15.8＋81.5×51.8＋67.6×18.5【思路导航】先分组提取公因数，再第二次提取公因数，使计算简便。

所以原式＝＝＝＝＝练习2：1、53.5×35.3＋53.5×43.2＋78.5×46.52、235×12.1＋+235×42.2－135×54.3【例题3】计算1993×1994－11993＋1992×1994【思路导航】仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中1993×1994可变形为1992＋1）×1994=1992×1994＋1994，同时发现1994－1=1993，这样就可以把原式转化成分子与分母相同，从而简化运算。

所以原式＝＝＝练习3：计算下面各题：362＋548×361362×548－1862．1988＋1989×19871988×1989－1【例题4】计算：73115×1815×27+35×41原式＝原式＝＝＝＝＝＝＝练习4计算下面各题：1.14×39+34×27 2.16×35+56×173.64117×194.22120×121【例题4】计算：56×113+59×213+518×613原式＝＝＝＝练习4计算下面各题：1．117×49+517×192．59×791617+50×19+19×517【例题5】计算：（1）166120÷41（2）1998÷199819981999解：（1）原式＝＝＝＝练习5计算下面各题：1.5425÷17 2.238÷238238239三、课后练习1.4.75-9.63+（8.25-1.37）2.12×79+790×6666114（2）原式＝＝＝＝3.48×1.08+1.2×56.84.72×2.09－1.8×73.65． 6.8×16.8＋19.3×3.26．137138＋137×11387． 4.4×57.8＋45.3×5.68．38×5730＋16.2×62.5 9．23456＋34562＋45623＋56234＋6234510．124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68 11．99999×77778＋33333×6666612．34.5×76.5－345×6.42－123×1.45204＋584×19911992×584―380―114314.1415×815.225×12616.35×113617.73×747518.19971998×199919.517×38+115×716+115×31220.163113÷4113921.17×571622.4113×34+5114×4523.18×5+58×5+18×1024.17×34+37×16+67×112第2讲简便运算（二）一、知识要点前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。

专题03因数与倍数(讲义)-2024年小升初数学复习

专题3：因数与倍数（小升初复习讲义）2024年小升初数学复习专题：第一章数的认识（高频考点梳理+重难点讲解+同步练习+答案）【知识梳理】1、在整数除法中，如果商是整数而没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。

例如：12÷2＝6 → 2是12的因数，12是2的倍数。

2×6＝12 → 2和6是12的因数，12是2和6的倍数。

2、因数和倍数是相互依存的，不能单独存在，不能说谁是因数，也不能说谁是倍数，应该说谁是谁的因数或谁是谁的倍数。

倍数和因数都是自然数（一般不包括0），不能是小数或分数。

3、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

4、一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

一个非0自然数既是它本身的因数，也是它本身的倍数。

5、表示一个数的因数和倍数的方法：列举法；集合表示法。

【例1】如果一个数的最大因数和它的最小倍数的积是49，那么这个数是（）。

【解题分析】因为一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，已知这个数的最大因数和最小倍数的积是49，而7×7＝49，则这个数是7。

【答案】7；【例2】把24个玻璃杯分别装在盒子里，要使每个盒子中玻璃杯的数量同样多，且刚好可以全部装完，一共有（）种不同的装法。

【解题分析】24的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18，36；装法有：（1）24＝1×24，①每盒24个，装1盒，因为这个装法不能体现每个盒子装得同样多，所以不可以这样装；②每盒装1个，装24盒；（2）24＝2×12，③每盒装12个，装2盒；④每盒装2个，装12盒；（3）24＝3×8，⑤每盒装8个，装3盒；⑥每盒装3个，装8盒；（4）24＝4×6，⑦每盒装6个，装4盒；⑧每盒装4个，装6盒；所以一共有7种装法。

【答案】7；【例3】古希腊的毕达哥拉斯学派在研究自然数时发现了一些珍贵的数字。

小升初全套数学专题复习讲义

数学专题一数论考点扫描数论知识包括数的奇偶性、质数、合数、数的整除、余数的性质、数位的含义、平均数、分解因数、平方数、倍数与因数。

1.数的奇偶性奇数+奇数=偶数奇数+偶数=奇数偶数+偶数=偶数奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数奇数个奇数相加=奇数偶数个奇数相加=偶数（只要式子中含有偶数，那么相乘结果就是偶数）2.数的整除，常见的数的整除特征（1）2：个位是偶数；（2）3：各个数位之和是3的倍数；（3）5：个位是 0或5；（4）4、25：后两位可以被4（25）整除；（5）8、125：后三位可以被8（125）整除；（6）9：各个数位之和是9的倍数；（7）7：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数；（8）11：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(以大减小)是11的倍数；（9）13：一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，可以被13整除即可被13整除；（10）17：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

3.余数的性质（1）余数的可加性：和的余数等于余数的和；（2）余数的可减性：差的余数等于余数的差；（3）余数的可乘性：积得余数等于余数的积；（4）同余的性质：对于同一个余数，如果有两个整数余数相同，那么它们的差就一定能被这个除数整除；对于同一个除数，如果有两个整数余数相同，那么它们的乘方就一定能被这个除数整数。

抛砖引玉【例1】下列各数中，（）同时是3和5的倍数．A．18 B．102 C．45【解析】同时是3和5的倍数必须满足：末尾是0或5，并且各个数位上的和能被3整除；进而得出结论．18个位上是8，不是5的倍数，102个位上是2，不是5的倍数，45是5的倍数，4+5=9，是3的倍数。

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小升初衔接专题讲义第一讲、【问题引入与归纳】数系扩张 --有理数（一）1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成 m （n 0,m,n 互质）。

n4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数5、绝对值的意义与性质:③非负数的性质：i ）非负数的和仍为非负数ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0、【典型例题解析】：x 2 (a b cd)x (a b)2006 ( cd)2007 的值。

如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，汐.1 ,'r ）如下图所示，那么|a b| |a b|化简的结果等于（）A. 2aB. 2aC.0D. 2b已知（a 3）2 |b 2| 0，求a b 的值是（）数学能力就是在练习中成长的——汤姆•杰瑞若abf 0,则罟詈的值等于多少?如果m 是大于1 的有理数，那么m —定小于它的（A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方已知两数a 、b 互为相反数，d 互为倒数，x 的绝对值是2，求①|a|a(a 0)a(a 0)② 非负性(|a| 0,a 2 0)小升初衔接专题讲义1、绝对值的几何意义① |a| |a 0|表示数a 对应的点到原点的距离 ② |a b|表示数a 、b 对应的两点间的距离。

2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值、【典型例题解析】：(1) 若 2 a 0，化简 |a 2| |a 2| (2) 若 xp 0，化简||x| 2x||x 3| |x|解答: 设ap0，且 x 高，试化简|x " |x 2| 解答：a 、b 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件?若|x 5| |x 2| 7，求x 的取值范围解答：不相等的有理数a,b,c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果| a b| | b c||a c|，那么B 点在A 、C 的什么位置？解答：设 apbpcpd ，求 | x a | | x b | | x c | | x d | 的最小值。

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小升初数学衔接讲义第一讲数系扩张 --有理数（一）问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成m（ n 0, m, n互质）。

n4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0 不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数5、绝对值的意义与性质：① |a| a（a a（a0）0）③ 非负数的性质：i ）非负数的和仍为非负数ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0典型例题解析】：x 2(a b cd)x (a b)2006( cd)2007的值。

如果在数轴上表示 a、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么 |a b| |ab |化简的结果等于（）A. 2aB. 2aC.0D.2b② 非负性(|a| 0,a2 0)|a| |b|ab|a ab b|的值等于多少？如果m是大于1 的有理数，那么m一定小于它的（A. 相反数B. 倒数C. 绝对值D. 平方已知两数a、b互为相反数，c、x 的绝对值是2 ，求若ab f 0, 则能力训练点】：1、绝对值的几何意义① |a | | a 0|表示数 a 对应的点到原点的距离 ② |a b|表示数 a 、b 对应的两点间的距离2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值典型例题解析】：1）若 2 a 0，化简 | a 2| |a 2 |2）若 xp 0，化简||x| 2x||x 3| | x|解答：a设ap 0，且 x ，试化简 |x 1| |x 2||a|解答：a 、b 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？若|x 5| |x 2| 7，求 x 的取值范围解答：不相等的有理数 a, b,c 在数轴上的对应点分别为 A 、B 、C ，如果 |a b| |b c| |a c|，那么 B 点在 A 、C 的什么位置？1）| a b| | a | | b |; 3）|a b| |b a |;5）若|a|p|b|，则 ap b 解答：2）|ab| |a||b |; 4）若 |a| b 则 a b 6）若af b ，则|a|f |b|小升初衔接专题讲义解答：2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。

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小升初衔接数学讲义(共13讲)小升初衔接专题讲义第一讲数系扩张--有理数（一）一、问题引入与归纳1.正负数、数轴、相反数、有理数等概念。

2.有理数的两种分类。

3.有理数的本质定义，能写成 m/n （n≠0，m、n 互质）。

4.性质：①顺序性（可比较大小）；②四则运算的封闭性（除数不能为零）；③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5.绝对值的意义与性质：① |a| = a（a≥0）或 |a| = -a（a<0）。

②非负性。

③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。

ii）几个非负数的和为零，则它们都为零。

二、典型例题解析：例1：若ab ≠ 0，则 (a+b)/|ab| 的值等于多少？例2：如果 m 是大于 1 的有理数，那么 m 一定小于它的（D）。

A。

相反数 B。

倒数 C。

绝对值 D。

平方例3：已知两数 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，x 的绝对值是 2，求 x^2-(a+b+cd)x+(a+b)2006+(-cd)2007 的值。

例4：如果在数轴上表示 a、b 两个实数点的位置，如下图所示，那么 |a-b|+|a+b| 化简的结果等于（）A。

2a B。

-2a C。

0 D。

2b例5：已知 (a-3)^2+|b-2|=9，求 ab 的值是（）A。

2 B。

3 C。

9 D。

6例6：有 3 个有理数 a、b、c，两两不等，那么 a-b/b-c，c-a/a-b 中有几个负数？例7：设三个互不相等的有理数，既可表示为 1，a+b，a 的形式式，又可表示为 b/a，b 的形式，求 a^2006+b^2007.例8：三个有理数 a、b、c 的积为负数，和为正数，且 X = (abc/|ab|+|bc|+|ac|)+ab+bc+ac，则 ax^3+bx^2+cx+1 的值是多少？例9：若 a、b、c 为整数，且 |a-b|^2007+|c-a|^2007=1，试求 |c-a|+|a-b|+|b-c| 的值。

2023-2024学年小升初数学人教版总复习讲义第1讲《整数的认识》

第1讲：整数的认识姓名：班级：得分：考点1：整数的意义和分类▒考点归纳1．整数的意义和分类。

(1）像-3，-2，-1，0，1，2，3……这样的数统称为整数没有最小的整数，也没有最大的整数，整数的个数是无限的。

(2)整数可以分为正整数、0、负整数。

(3）用来表示物体个数的0，1，2，3，4……叫自然数。

2.整数数位顺序表。

3.计数单位、数位和位数。

计数单位:一(个)、十、百、千……都是计数单位。

数位:各个计数单位所在的位置叫作数位。

位数:一个自然数含有几个数位，它就是几位数。

※易错提示：0既不是正数也不是负数。

区别数位和位数：如:2024含有四个数位,则2024就是四位数。

▒例题精选例1：一个数由6个亿、6个千万、6个万、6个百和6个一组成，这个数写作(它是一个( )位数。

解析：根据数的组成写数时，可以先简写一个数位顺序表，再对应各数位写上计数单位的个数，即6个亿、6个千万、6个万、6个百、6个一分别对应亿位、千万位、万位、百位、个位写6，其他数位上一个计数单位也没有，都写0占位。

这个数的最高位是亿位，它是一个九位数。

解答：660060606 九▒ 举一反三11.在-3、4.5、25 、2、0中，( )是正数,( )是负数，( )既不是正数也不是负数。

2. 65020600中的“5”表示( )。

A.5个百B.5个十万C. 5个百万D.5个百亿3.在上古时期，人们没有“数”的概念。

打猎时，每收获一只猎物就用一个小石子表示，等到收获到很多猎物时，就用一个大石子代替若干个小石子，这里的大石子就相当于( )。

A.数位B.数级 C ．位数 D.计数单位考点2：整数的读写▒考点归纳1．整数的读法。

先把数分级，再从高位到低位，一级一级地读。

亿级和万级都按个级的读法来读，再在后面加上一个“亿”字或“万”字。

每-级末尾的0都不读，每一级中间有一个0或连续几个0，都只读一个“零”。

2．整数的写法。

从高位起，一级一级地写，哪个数位上没有计数单位，就在那个数位上写0占位。

小升初数学讲义[1]

小升初数学讲义 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】第一讲分、小数的基本计算【学习目标】1. 初步了解分、小数混合的计算方法，能熟练、准确地进行分数和小数的四则计算。

2. 能合理运用运算规律，准确、简捷地计算分、小数四则混合运算。

【基本练习】直接写出得数。

1. =⨯7394 =÷3894 =÷14376 =⨯3276 2. =+⨯652132 =÷-5125385 =÷⨯356153【问题思考】1. 说说下面各题的运算顺序，再计算。

（1） 32)]12561(1[÷+- （2） [2-34思考：有分数和小数混合的运算，该怎样去计算更简捷？2．下面各题，怎样简便就怎样算。

（1） 1039710945-⨯-（2） 75.14114725.1⨯+⨯ （3）)731.2541(8.3⨯+- 思考：你是怎样进行简便计算的？说一说你运用了什么运算定律与计算方法 3.解方程。

（1） 52)8.052(43=-⨯x （2）15761125=+x x 思考：说说你解方程的步骤。

你的过程是否合理与简捷？【简单应用】 1. 计算下面各题。

（1）53657273⨯-÷ （2）)4.0157(14÷÷ （3） ]45)54375.067[(613⨯⨯-÷2. 解方程。

（1） 653232=+x （2）514.053=-x （3）8325.0=-x x3. 下面各题，怎样简便就怎样算。

（1）375.0542192+÷+（2） 54)75.065(512++⨯ （3） )15854(3261-÷⨯（4）322691362-÷- （5） 125.0)]3215.2(311[5÷---【拓展练习】1. )9575()927729(+÷+ 549995499549543+++3. 2010减去它的21，再减去余下的31，再减去余下的41，再减去余下的51，……，一直减到最后余下的20101，最后结果是多少？4.学习水平检测（一）学校姓名成绩1. 直接写出得数。

重点小升初数学衔接讲义备课知识点

小升初衔接专题讲义小升初数学衔接讲义第一讲数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成mn（0,,n m n ≠互质）。

4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5、绝对值的意义与性质：① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。

ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。

二、【典型例题解析】：若||||||0,a b ab ab a b ab+-则的值等于多少？如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ D ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。

如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（）例1 例2例3 例4一、【能力训练点】：1、绝对值的几何意义① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。

② ||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。

2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。

二、【典型例题解析】：（1）若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++-（2）若0x，化简|||2||3|||x x x x ---解答：设0a ，且||ax a ≤，试化简|1||2|x x +-- 解答：a 、b 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）||||||;a b a b +=+ （2）||||||;ab a b = （3）||||;a b b a -=- （4）若||a b =则a b = （5）若||||a b ，则a b （6）若a b ，则||||a b解答：若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。

数学讲义小升初

第一讲有理数基础知识本讲要点：有理数的分类；数轴；相反数；绝对值基本概念。

本讲建议：本讲是有理数概念说明书，内容多，目的是理解和识记，暂不扩展，尤其是绝对值问题，后续专门讨论，这里只作介绍。

教学过程：一.正数与负数为了表示具有相反意义的量，我们引进了象-5，-2，-237，-3.6这样的数，这是一种新数，叫做负数（negative number ）.过去学过的那些数（零除外），如10，3，500，5.5等，叫做正数（positive number ）.正数前面有时也可放上一个号，如5可以写成+5，+5和5是一样的.注意：0既不是正数，也不是负数. 二.有理数正整数、零和负整数统称整数（integers ），正分数和负分数统称分数（fractions ）.整数和分数统称有理数（rational numbers ）.有如下分类表：正整数正整数整数零正有理数负整数正分数有理数有理数零正分数负整数分数负有理数负分数负分数把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集（setofn umbers ）. 所有的有理数组成的数集叫做有理数集. 所有的整数组成的数集叫做整数集. 所有的正数组成的数集叫做正数集. 所有的负数组成的数集叫做负数集.【例1】把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里：-18，227，3.1416，0，2001，−35，-0.142857，95%三.数轴1.数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.如图所示.2数轴的概念包涵的意思①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；③原点位置的选定，单位长度大小的确定都是根据实际而定的.一般取向右的方向为正方向.3.有理数与数轴上的点之间的关系（1）数对应点：任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示. （2）在数轴上，正数和负数分别位于原点的两侧. （3）找出数轴上的点对应的有理数的步骤是：①确定点与原点的位置关系（左负右正）； ②确定点与原点的距离.【例2】观察下列图形，数轴画得正确的是 .【例3】把下列各数在数轴上表示出来：34，-5，0，3.6，-3，−12，−12.四.相反数与倒数1相反数的定义只有符号不同的两个数互为相反数，这就是说，其中一个是另一个的相反数，特别规定：0的相反数是0.2相反数的意义①“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，千万不能漏掉；②“只有符号不同”指的是除符号不同以外，其他完全相同，不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数，例如：-2和+3符号不同，但它们不互为相反数.3相反数的几何意义两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两侧，与原点的距离相等.如：+3和-3，+4.4和-4.4互为相反数，在数轴上的位置如图所示：4相反数的表示方法一般地，数a 的相反数是-a ，这里a 表示任意一个数，它可以是正数、负数或者零. 5.运用相反数化简符号（1）理解：在任意一个数前面添上“﹣”号，新的数就是原数的相反数. 如：+5的相反数表示为－（+5），而5的相反数就是－5，所以－（+5）=－5. 简单的符号化简共有3种情况： ①－（+a ）=－a ； ②+（－a ）=－a ； ®－（－a ）=a . （2）延伸：①－[－（－a ）]=－a ；－[+（－a ）]= a 等. ②－0=0，表示0的相反数是0.多重符号的结果是由“－”号的个数决定的，与“+”号无关。

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专题03因数与倍数(讲义)-2024年小升初数学复习

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2023-2024学年小升初数学人教版总复习讲义 第1讲《整数的认识》

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