二重积分地计算方法(1)

1 利用直角坐标系计算

1.1 积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算

对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数

(,)

f x y在积分区域D上连续时，若D为x型区域（如图1），即{}

12

(,)()(),

D x y x x x a x b

ϕϕ

=≤≤≤≤，

其中

12

(),()

x x

ϕϕ在[,]

a b上连续，则有

2

1

()

()

(,)(,)

b x

a x

D

f x y d dx f x y dy

ϕ

ϕ

σ=

⎰⎰⎰⎰；（1）

若D为y型区域（如图2），即{}

12

(,)()(),

D x y y y y c y d

ψψ

=≤≤≤≤，其中

12

(),()

y y

ψψ在[,]

c d上连续，则有

2

1

()

()

(,)(,)

d y

c y

D

f x y d dy f x y dx

ψ

ψ

σ=

⎰⎰⎰⎰．[1]（2）

例1 计算2

2

D

y

dxdy

x

⎰⎰，其中D是由2

x=，y x=，及1

xy=所围成．

分析积分区域如图3所示，为x型区域()1

D=,12,

x y x y x

x

⎧⎫

≤≤≤≤

⎨⎬

⎩⎭

．确定了积分区域然后可以利用公式（1）进行求解．

解积分区域为x型区域

()1

D=,12,

x y x y x

x

⎧⎫

≤≤≤≤

⎨⎬

⎩⎭

则

y

y=x

xy=1

D2

D1

2

1

图1

2

2

21221x x D

y y dxdy dx dy x x =⎰⎰⎰⎰ 32

121

3x

x

y dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰

2

51

133x dx x ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭⎰

22

1

412761264

x x ⎛⎫=+=

⎪⎝⎭

1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计算

当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计算，这是可以将复杂的积

分区域划分为若干x 型或y 型区域，然后利用公式

1

2

3

(,)(,)(,)(,)D

D D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （3）

进行计算，

例2 计算二重积分D

d σ⎰⎰，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域．

分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不

是x 型区域也不是

y 型区域，但是将可D 划分为

()(){}

12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬

⎩⎭=≤≤≤≤-均为x 型区

域，进而通过公式

（3）和（1）可进行计算．

解 D 划分为

()1,01,22x D x y x y x ⎧⎫

=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭

，(){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤-

则

1

2

D

D D d d d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12230

1

2

2

x

x

x x

dx dy dx dy -=+⎰⎰

⎰⎰ 1

20112322x x dx x dx ⎛

⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭⎰⎰

y

图

4

12

22013333442x x x ⎡⎤⎡

⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦

1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算

二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算．

例3

计算二重积分D

，其中D 为区

域1x ≤，02y ≤≤． 分析 由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直接求得，以至于不能

直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难发

现当我们把积分区域

划分为21211x y D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩，2

2011y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩两部分后，

被积函数在每一个积

分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得．

解 区域D 如图6可分为12D D U ，其中

21211x y D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩，2

2011

y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩

由公式（3）则

1

2

D

D D =+

2

212

1

1

1

5

23

x x

dx dx π

--=+=

-⎰⎰⎰⎰

2 利用变量变换法计算

定理1 设(,)f x y 在有界区域D 上可积，变换():,T x x u v =，(),y y u v =，将,u v 平面按段光滑封闭曲线所围成的区域∆一对一地映成,x y 平面上的区域D ，函数(),x u v ，(),y u v 在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的雅克比行列式()()

()

,,0,x y J u v u v ∂=

≠∂，(),u v ∈∆．则