同济大学第五版高等数学(下)课件D102对坐标曲线积分

因为L 为光滑弧 ,
同理可证
n
l i0m i1P[(i),(i)](i)ti
P[(t) , (t)](t)dt
Q[(t) , (t)](t) dt
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特别是, 如果 L 的方程为 y(x )x ,:a b ,则
a bP [x,(x) ]Q [x,(x)](x)dx
Mxkk1
A
x
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4
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2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 在L 上定义了一个向量函数
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
n
lim
0
k 1
P (k, k) x k Q (k ,k ) y k
记作
LP (x,y)dxQ (x,y)dy
第二节
第十章
对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念 与性质
二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系
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一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用
y L
B
F ( x ,y ) ( P ( x ,y ) ,Q ( x ,y )) A x
证明: 下面先证
P[(t) , (t)](t)dt
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根据定义
n
l im 0i1P(i,i)xi
设分点 x i 对应参数 t i ,
对应参数 i , 由于
xixixi 1(ti)(ti 1 )(i)ti
n
l i0m i1P[(i),(i)](i)ti
都存在, 则称此极限为函数
在有向曲线弧 L 上
对坐标的曲线积分, 或第二类曲线积分. 其中,
称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
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n
P(x,
L
y)dx
l im 0k 1P(k,k)称xk为,对
x
的曲线积分;
n
LQ(x,y)dyl i0m k 1Q(k,k)称yk为,对 y 的曲线积分.
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3. 性质
(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧
则 P (x,y)dxQ (x,y)dy L k P(x,y)dxQ(x,y)dy i1Li
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
说明:
L P (x ,y )d x Q (x ,y )d y
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例2. 计算
其中 L 为
y
(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;
B a o
(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
A ax
解: (1) 取L的参数方程为
则
y2dx a2 sin2 t (asitn )dt
若记 ds(d x,dy), 对坐标的曲线积分也可写作
L F d s L P ( x ,y ) d x Q ( x ,y ) d y
类似地, 若 为空间曲线弧 , 记 d s (x d ,d y ,d z)
F ( x , y , z ) ( P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ))
解法1 取 x 为参数, 则 L:AO OB A:O y x ,x:1 0
y x
o
x
O:y B x , x:0 1
y x
x y d x x y d x x y d x
L
AO OB
解法2 取 y 为参数, 则
A(1,1)
2 1x32dx4
0
5
xydx1y2y(y2)dy
L
1
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x (t) 对空间光滑曲线弧 : y (t) t :, 类似有
z (t)
P [(t) ,(t),(t)](t)
(t)
(t)
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定理 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 计算 xydx, 其中L 为沿抛物线 y2 x 从点 L
A (1, 1)到 B (1,1 )的一段.
y B(1,1)
• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
• 定积分是第二类曲线积分的特例.
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二、对坐标的曲线积分的计算法
定理:
在有向光滑弧 L 上有定义且
连续,
L 的参数方程为
x y
(t) (t)
t:,则曲线积分
存在, 且有
P[(t) , (t)](t)Q [(t) ,(t)](t)dt
L
0
2a3 2 1 4 a 3
3
3
(2) 取 L 的方程为 y 0 ,x :a a ,则
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例3. 计算
其中L为 y
B(1,1)
(1) 抛物线 L:yx2,x:0 1; x y 2
(2) 抛物线
y x2
(3) 有向折线 L:OAAB.
o A(1,0) x
所做的功为
则
n
W Wk
k 1
2) “常代变”
y F(k,k)
L
M yk k B
Mxkk1
A
x
有向小弧段
用有向线段
近似代替, 在
上任取k 1 M k
P ( k ,k ) x k Q ( k ,k ) y k
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解: (1) 原式
4 1x3 dx 0
(2) 原式 1 ( 2y2y2y y4 )dy 0
(3) 原式
1(2x0x20)dx
1
(2y01)dy
0
0
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例4. 设在力场 沿移动到
在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移
动过程中变力所作的功W.
变力沿直线所作的功
F WFAB cos
A
B FAB
解决办法: “大化小” “常代变” “近似和” “取极限”
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1) “大化 小”. 把L分成 n 个小弧段, F 沿
3) “近似和”
n
W P ( k ,k ) x k Q ( ξ k ,k ) y k
k 1
4) “取极限”
n
W
lim
0
k1
P ( ξ k , η k ) Δ x k Q ξ k , η k ) Δ y k (
(其中 为 n 个小弧段的
最大长度)
y F(k,k)
L
M yk k B