第5课时 利用斜边和直角边判定直角三角形全等

斜边、直角边公理 (HL)
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
B
∵∠C=∠C′=90°
在Rt△ABC和Rt△ ABC中 A
C
AB=AB BC=BC
B′
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′ C′ (HL) A ′
C′
想一想
你能够用几种方法说明两个直角 三角形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以不 仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、 ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊 的判定方法——“HL”.
(2)在射线C′M上取B′C′=BC；
(3)以B′为圆心，AB为半径画弧， B
交射线C′ N于点A′；
(4)连接A′B′．
A
知1－导
N A′
C
现象：两个直角三角形能重合．
说明：这两个直角三角形全等．
M B′
C′
斜边、直角边公理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边”或“HL”
第十二章 全等三角形
12.2 全等三角形的判定
第5课时 利用斜边和直角边判 定直角三角形全等
1、判定两个三角形全等法， S，SS ，SAS ，ASA 。AAS 2、如图1，RtABC中，直角边BC 、 AC，边 。AB
A
B
C
图1
舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作 人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都 有一条直角边被花盆遮住无法测量. 你能帮工作人员想个 办法吗？
4 A．一个锐角对应相等 5 B．两个锐角对应相等 6 C．一条边对应相等 7 D．两条边对应相等
知识点 2 直角三角形全等的综合判定
知2－导
直角三角形全等的判定既可以用“SSS” “SAS” “ASA”和“AAS”,有可以用 “HL”.
知2－练
1 下列条件可使两个直角三角形全等的是( B ) A．一条边对应相等 B．两条直角边对应相等 C．一个锐角对应相等 D．两个锐角对应相等
知2－练
2 下列条件不能使两个直角三角形全等的是( C ) A．斜边和一锐角对应相等 B．有两边对应相等 C．有两个锐角对应相等 D．有一直角边和一锐角对应相等
知2－练
3 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点 E，AD⊥CE于点D，下面四个结论：①∠ABE＝ ∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB＝CE；④AD －BE＝DE.其中正确的是 ①__②__④_ ．(将你认为正 确结论的序号都写上)
共同学习
例题1：如图：AC⊥BC，BD⊥AD， AC=BD.求证：BC=AD.
D
C 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD
O ∴ ∠D=∠C=90°
在Rt△ACB和Rt△BDA中,则
A
B
AB=BA（共公边）
AC=BD.(已知）
∴ Rt△ACB≌Rtwenku.baidu.comBDA (HL).
∴BC=AD (全等三角形对应边相等).
即CE＝BF.
知1－练
知1－练
2 如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用 “HL”判定Rt △ABC与Rt △ABD全等．以下给出 的条件适合的是( A )
3 A．AC＝AD 4 B．AB＝AB 5 C．∠ABC＝∠ABD 6 D．∠BAC＝∠BAD
知1－练
3 (中考•西宁)下列可使两个直角三角形全等的条 件是( D )
导引：根据AB＝CB，∠ABE＝∠CBF＝90°，AE＝ CF，可利用“HL”证明
Rt△ABE≌Rt△CBF.
证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠CBF＝∠ABE＝90°. 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ∵AE＝CF， AB＝CB， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．
知1－讲
总结
知1－讲
应用“HL”判定两个直角三角形全等，书写时， 两个三角形符号前要加上“Rt”．
知2－练
4 如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上， 点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7， AD＝EB，DE＝EC，则AB＝____7____.
判定直角三角形全等的“四种思路”： (1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，
用“HL”判定． (2)若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定． (3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，①直角边是锐
知1－导
知识点 1 判定两直角三角形全等的方法：斜边、直角边
问题 任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°，再 画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC， A′B′=AB，然后把画好的Rt△A′B′C′剪下来放到 Rt△ABC上，你发现了什么？
画法： (1)画∠MC′N =90°；
2.如图，AB=CD，AE⊥BC， DF⊥BC，CE=BF. 求证：AE=DF.
C
D
F E
A
B
3.已知: AB BD, ED BD,C是BD上一点 且AC EC, AC EC 求证：BD AB ED
A
E
D
B
C
知1－讲
例1 〈重庆江津，节选〉如图，在△ABC中，AB＝ CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点 E在BC上，且AE＝CF. 求证： Rt△ABE≌Rt△CBF.
知1－练
1 如图，点C，E，B，F在一条直线上，AB⊥CF 于点B，DE⊥CF于点E，AC＝DF，AB＝DE.求 证：CE＝BF.
证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠ABC＝∠DEF＝90°.
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
AC DF
AB
DE
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．
∴BC＝EF.∴BC－BE＝EF－BE，
角的对边，用“AAS”判定；②直角边是锐角的邻边， 用“ASA”判定． (4)若有两组直角边分别相等，用“SAS”判定．