解析几何之—直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质
专题 圆锥曲线的定义、方程与性质(课件)2023届高考数学二轮专题复习
√
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解析：由题意可知，抛物线 的标准方程为 , ,设直线 的方程为 , , ,联立得 消去 ,得 , ,则 , . ,所以当 时， 的面积取得最小值，最小值为2，故选D.
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（2）（2022·新高考卷Ⅱ）已知直线 <m></m> 与椭圆 <m></m> 在第一象限交于 <m></m> ， <m></m> 两点， <m></m> 与 <m></m> 轴、 <m></m> 轴分别交于 <m></m> ， <m></m> 两点，且 <m></m> , <m></m> ，则 <m></m> 的方程为__________________．
，所以 ①,又 ②, 得 ,所以四边形 的面积为18.
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考点二 圆锥曲线的几何性质
例2.（1）（2022·陕西西安五校高三联考）已知双曲线 <m></m> 的离心率为2，则双曲线 <m></m> 的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
解析：由题意可知，双曲线的实半轴长的平方 ,虚半轴长的平方 ,所以双曲线的离心率 满足 ,从而 ,所以双曲线的渐近线方程为 ,故选A.
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2. <m></m> ， <m></m> 是椭圆 <m></m> 的两个焦点， <m></m> 是椭圆 <m></m> 上异于顶点的一点， <m></m> 是 <m></m> 的内切圆圆心，若 <m></m> 的面积等于 <m></m> 的面积的3倍，则椭圆 <m></m> 的离心率为_ _.
专题五 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质
考点一 考点二 考点三 课后训练 提升能力
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考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
[全练——快速解答]
1根．据(20双17曲·高线考C全的国渐卷近Ⅲ线)已方知程双为曲y＝线 25Cx：，xa22－by22＝1(a＞0，b＞0) 的可一知条ba＝渐近25线.①方程为 y＝ 25x，且与椭圆1x22＋y32＝1 有公共焦点， 则 A又所.x8C2椭以－的圆a1y方2021＋x＝22程＋b12为＝y32(＝9.②B1 的)B焦.x4点2－坐y52标＝为1 (3,0)和(－3,0)， C根所.x52据以－①Cy42②＝的可1方知程为a2＝x42－4D，.yx542b2＝－2＝1y3. 椭圆离心率求法·T10
学科素养 通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、 方程及几何性质的考查，着重考查了
数学抽象、数学建模与数学运算三大
核心素养.
考情分析 明确方向
考查角度及命题 年份 卷别
位置
命题分析及学科素养
抛物线与圆的综 命题分析
Ⅰ卷
合问题·T10
1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高
线与双曲线的位置关 空题的形式考查，常出现在第 4～
系·T11 双曲线的渐近线方
11 或 15～16 题的位置，着重考查 圆锥曲线的几何性质与标准方程，
Ⅱ卷 程·T5
2018
椭圆的离心率·T12
双曲线的离心率·T11
难度中等． 2.圆锥曲线的综合问题多以解答题 的形式考查，常作为压轴题出现在 第 20 题的位置，一般难度较大．
3．(2018·惠州模拟)已知 F1，F2 是双曲线ay22－xb22＝1(a＞0，b＞
0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的
圆锥曲线所有知识点和二级结论
圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本形式。
它们在数学、物理、工程等领域均有重要应用，具有广泛的研究价值。
下面将从几何、代数、物理等多个角度对圆锥曲线进行系统介绍和分析。
一、圆锥曲线的概念圆锥曲线的定义：在平面上依旧定点F到平面上所有定点P的距离的比值（|PF|/|PM|）为常数e（e>1）的动点M所得的轨迹即为双曲线。
在平面上的直线l与定点F的距离与到定点P的距离的比值始终为常数e（0<e<1）时，动点P所得的轨迹即为椭圆。
在平面上的直线上的所有点P到定点F的距离与到直线l的距离的差始终为常数e时，点P的轨迹即为抛物线。
二、椭圆的知识点1. 定义及表示：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点P的集合。
2. 几何性质：椭圆有等轴对称性、焦点F1和F2为椭圆的两个焦点、平行于长轴或短轴的弦都过椭圆的焦点、焦距等于长轴长度、离心率等于c/a（c为焦距，a为长轴半径）等。
3. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cos(t), y = b*sin(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与长短轴的关系。
三、双曲线的知识点1. 定义及表示：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P的集合。
2. 几何性质：双曲线有两条渐近线、两个焦点F1和F2、两个顶点、离心率等于c/a（c为焦距，a为顶点到中心的距离）等。
3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a * cosh(t), y = b * sinh(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与距离关系。
四、抛物线的知识点1. 定义及表示：抛物线是平面上到定点F和直线l的距离相等的点P 的集合。
2. 几何性质：抛物线有顶点、准直线、对称轴、离心率等。
3. 参数方程：抛物线的参数方程为x = a * t^2, y = 2*a*t，其中t为参数。
完美版圆锥曲线知识点总结
完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若为椭圆上任意一点，则有。
椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。
注：①以上方程中的大小，其中；②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。
例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质①范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。
若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。
同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，且，即；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。
当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。
2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。
注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。
高考总复习二轮数学精品课件 专题6 解析几何 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
3
a
在双曲线 C 上,若△AF1F2 的周长为 10,则△AF1F2 的面积为(
)
A. 15
B.2 15
C.15
D.30
(2)已知|z+ 5i|+|z- 5i|=6,则复数 z 在复平面内所对应的点 P(x,y)的轨迹方程
是椭圆的右焦点,若 AF⊥BF,则 a=
答案 3+ 3
.
解析 设椭圆C的左焦点为F1,如图,连接AF1,BF1,因为|OA|=|OB|,|OF1|=|OF|,
所以四边形AF1BF为平行四边形.
又 AF⊥BF,所以四边形 AF1BF
π
为矩形,所以∠F1AF= ,则
2
|OF1|=|OF|=|OA|=2 3.
为
.
(3)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x
Hale Waihona Puke 轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程
为
答案 (1)A
.
2
(2)
9
2
+ =1
4
3
(3)x=2
解析 (1)由题意得
e=
所以双曲线方程为
=
2
1 + 2
=
3
1 + 2=2,所以 a2=1.
2
即 x±2y=0,故 B 正确;
2 5
5
e1·
e2= 5 × 2 =1,所以 C1 与 C2 的离心率互为倒数,故 C
(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线一、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。
用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心率用集合表示为：；（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
（3）参数方程：（θ为参数）；3、双曲线：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。
用集合表示为：②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线：（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；二、复习点睛：1、平面解析几何的知识结构：2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。
则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
3、椭圆形状与e的关系：当e→0，c→0，椭圆→圆，直至成为极限位置的圆，则认为圆是椭圆在e=0时的特例。
当e→1，c→a椭圆变扁，直至成为极限位置的线段，此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。
第1课时 圆锥曲线的定义、方程与性质
3 =2 3 .故选C. 2
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考点二 圆锥曲线的几何性质(高频考点)
命题点 1.求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围; 2.由圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程;
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3.求双曲线的渐近线方程.
1 2 3 2
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方法归纳 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”. (1)定型:就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准 方程.
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(2)计算:即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法
确定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),椭圆常设为mx2+ny2=1(m>0, n>0,且m≠n),双曲线常设为mx2-ny2=1(mn>0).
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跟踪集训
x2 y 2 1.(2017辽宁沈阳质量检测(二))已知双曲线C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的左、 a b 高考导航
右焦点分别为F1,F2,点M与双曲线C的焦点不重合,点M关于F1,F2的对称 点分别为A,B,线段MN的中点在双曲线的右支上,若|AN|-|BN|=12,则a=
(3)抛物线的标准方程为x2=±2py,y2=±2px,其中p>0.
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典型例题
x2 y 2 (1)(2017河南郑州质量预测(三))椭圆 5 + 4 =1的左焦点为F,直线x=
a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是 ( )
圆锥曲线标准方程
圆锥曲线标准方程圆锥曲线是平面上的一类重要曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
它们在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
本文将重点介绍圆锥曲线的标准方程，以及它们在几何和代数上的性质。
首先，我们来看圆的标准方程。
圆的标准方程可以表示为：(x h)² + (y k)² = r²。
其中(h, k)为圆心的坐标，r为圆的半径。
这个方程描述了平面上所有到圆心距离为r的点的集合。
圆是一种特殊的椭圆，其长短轴相等。
接下来，我们来讨论椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以表示为：(x h)²/a² + (y k)²/b² = 1。
其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
椭圆是一种闭合曲线，其所有点到两个焦点的距离之和是一个常数。
椭圆在几何光学、天体力学等领域有着重要的应用。
双曲线是另一种重要的圆锥曲线。
它的标准方程可以表示为：(x h)²/a² (y k)²/b² = 1。
或者。
(x h)²/a² (y k)²/b² = -1。
双曲线有两条渐近线，其性质和椭圆有很大的不同。
在电磁学、光学等领域，双曲线也有着重要的应用。
最后，我们来讨论抛物线的标准方程。
抛物线的标准方程可以表示为：y = ax² + bx + c。
其中a、b、c为常数，且a不等于0。
抛物线是一种开口朝上或开口朝下的曲线，其在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
通过以上介绍，我们可以看到圆锥曲线的标准方程在数学和实际应用中有着重要的地位。
它们描述了平面上各种不同的曲线形状，具有丰富的几何和代数性质。
深入理解和熟练运用圆锥曲线的标准方程，对于提高数学水平和解决实际问题都具有重要意义。
总之，圆锥曲线的标准方程是数学中的重要概念，对于理解和应用各种曲线形状具有重要意义。
二轮专题复习——解析几何
二轮专题复习——解析几何一．专题内容分析解析几何：解析几何综合问题（椭圆或抛物线）及基本解答策略+圆锥曲线的定义和几何性质+直线与圆+极坐标、参数方程+线性规划二．解答策略与核心方法、核心思想 圆锥曲线综合问题的解答策略：核心量的选择：常见的几何关系与几何特征的代数化：①线段的中点：坐标公式②线段的长：弦长公式；解三角形③三角形面积： 21底×高，正弦定理面积公式④夹角：向量夹角；两角差正切；余弦定理；正弦定理面积公式⑤面积之比，线段之比：面积比转化为线段比，线段比转化为坐标差之比 ⑥三点共线：利用向量或相似转化为坐标差之比 ⑦垂直平分：两直线垂直的条件及中点坐标公式 ⑧点关于直线的对称，点关于点，直线关于直线对称 ⑨直线与圆的位置关系⑩等腰三角形，平行四边形，菱形，矩形，正方形，圆等图形的特征代数运算：设参、消参重视基本解题思路的归纳与整理但不要模式化，学会把不同类型的几何问题转化成代数形式．三．典型例题分析1.（海淀区2017.4）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q , 若点P 在直线4x =上，直线BP 边形APQM 为梯形？若存在，求出点P解法1：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形.由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ AP MQ k k =.设点0(4,)P y ，11(,)M x y ，06AP y k =，114MQ y k x =-,∴01164y y x =-① ∴直线PB 方程为0(2)2yy x =-， 由点M 在直线PB 上，则011(2)2y y x =-② ①②联立，0101(2)264y x y x -=-，显然00y ≠，可解得1x =又由点M 在椭圆上，211143y +=，所以132y =±，即3(1,)2M ±， 将其代入①，解得03y =±，∴(4,3)P ±.解法2：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形.由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ 平行, AP MQ k k =， 显然直线AP 斜率存在，设直线AP 方程为(2)y k x =+.由(2)4y k x x =+⎧⎨=⎩，所以6y k =，所以(4,6)P k ，又(2,0)B ，所以632PB k k k ==.∴直线PB 方程为3(2)y k x =-，由223(2)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，消y ，得2222(121)484840k x k x k +-+-=.又(2,0)B , 所以212482121k x k +=+，即212242121k x k -=+，∴112123(2)121ky k x k -=-=+.∴22224212(,)121121k k M k k --++.由APMQ k k =可得22212612124264121kk k k k -+=--+， 解得12k =±, ∴3(1,)2M ±，(4,3)P ±，解法3：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形.由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ 平行, AP MQ k k = . 显然直线MB 存在斜率且斜率不为0，∴设直线MB 方程为2x ty =+(0)t ≠.24x ty x =+⎧⎨=⎩由，得2(4,)P t .∴2163APt k t ==，由22234120x ty x y =+⎧⎨+-=⎩得22(34)120t y ty ++=， 设11(,)M x y ，又因为(2,0)B ，∴121234ty t -=+， ∴211268234t x ty t -+=+=+，即2226812(,)3434t tM t t -+-++.由APMQ k k =，所以22212134683434tt t t t -+=-+-+，解得23t =±解法4：假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ 平行, 所以||1||2BM BP =. 过点M 作M H AB ⊥于H ，则有||||BH BQ =∴||1BH =，∴(1,0)H ，即11x =，代入椭圆方程，求得∴(4,3)P ±.2.（东城区2016.4理科）已知抛物线2:2(C y px p =>x 轴）过点F 且与抛物线C 交于,A B 两点，直线OA 与OB 的斜率之积为p -．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若M 为线段AB 的中点，射线OM 交抛物线C 于点D ，求证：2OD OM>.备注：以抛物线为背景，核心变量的选择（直线方程的不同形式）；几何特征翻译代数关系（先转化再翻译）解：（Ⅰ）因为直线AB 过点F 且与抛物线C 交于,A B 两点，(,0)2PF ， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB （不垂直x 轴）的方程可设为()(0)2py k x k =-≠． 所以2112(0)y px p =>，2222y px =． 因为直线OA 与OB 的斜率之积为p -， 所以1212y y p x x =-． 所以221212()y y p x x =，得 124x x =． ……4分 由2(),22,p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 消y 得22222(2)04k p k x k p p x -++= 其中 22222(2)0k p p k p k =+->V所以2124p x x =， 21222k P P x x k ++=． 所以4p =，抛物线2:8C y x =． ……8分 （Ⅱ）设0033(,),(,)M x y P x y ，因为M 为线段AB 的中点，所以2201222122(2)()22k P P k x x x k k ++=+==，004(2)y k x k =-=. 所以直线OD 的斜率为02022op y kk x k ==+. 直线OD 的方程为222op ky k x x k ==+代入抛物线2:8C y x =的方程， 得22322(2)k x k +=.所以23(2)x k x =+.因为 20k >, 所以23(2)2OD x k OMx ==+>. ……13分 3.（东城区2018.5文科）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）,A B 是椭圆C 在y 轴右侧部分上的两个动点，若原点O 到直线ABABF的周长为定值．解：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）①当AB 垂直于x 轴时，可得 4AF BF AB ++=． ②当AB 不垂直于x 轴时，设AB 的方程为m kx y +=． 因为原点O 到直线AB=223(1)m k =+．由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=，即222(34)8120k x kmx k +++=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122834km x x k -+=+，21221234k x x k=+．所以12|||AB x x =-====24||||34m k k =+． 因为A ,B 在y 轴右侧，所以0mk <，所以24||34mkAB k=-+． 22222111122111(1)(1)3(1)41124(2)42.x AF x y x x x x =-+=-+-=-+=-又所以11||22AF x =-，同理21||22BF x =-． 所以121||||4()2AF BF x x +=-+221844()423434km kmk k -=-=+++． 所以2244||||||443434km kmAF BF AB k k ++=+-=++．综上，△ABF 的周长等于椭圆C 的长轴长4．解法2：作OH AB ⊥于H ，所以||OH =所以2222222211111||||||33(1)344x x AH OA OH x y x =-=+-=+--=，即1||2x AH =， 同理2|B |2x H =， 所以121||||||()2AB AH BH x x =+=+， 又11||22AF x =-，同理21||22BF x =-． 所以．1212111||||||22()4222AF BF AB x x x x ++=-+-++= 综上，△ABF 的周长等于椭圆C 的长轴长4．解析几何选择填空题练习：1.（2018年全国3卷）设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是原点．过2F作C 一条渐近线的垂线，垂足为P．若1|||PF OP = ，则C 的离心率为（ ）2分析：由题可知22||,||PF b OF c == ，所以||PO a =， 在2Rt POF ∆中，222||cos ||PF bPF O OF c∠== ， 又在12PF F ∆中，2222121212|PF ||FF |||cos 22|PF ||FF |PF PF O +-∠=⋅，=，所以b c = 所以223c a =，所以离心率ce a==.故选C. 解法二：过左焦点作渐近线的垂线，垂足为Q ，利用直角三角形勾股定理建立关系，可求。
(统考版)2023高考数学二轮专题复习：圆锥曲线的定义、方程与性质课件
3 6
4
答案：
x2
(2)[2022·新高考Ⅱ卷]已知直线l与椭圆6 Nhomakorabeay2
+ ＝1在第一象限交于A，
3
B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2 3，
x＋ 2y－2 2＝0
则l的方程为______________．
归纳总结
直线与圆锥曲线关系的求解技巧
18
16
2
x
y2
C． + ＝1
3
2
答案：B
x2
y2
B． + ＝1
9
8
2
x
D． ＋y2＝1
2
(2)[2022·贵州毕节模拟预测]如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西
安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作
的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴截面可
以近似看作双曲线C的一部分，若C的中心在原点，焦点在x轴上，离
(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在
使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，
要检验直线与圆锥曲线是否相交．
(2)椭圆
x2
a2
y2
+ 2
b
＝1(a>b>0)截直线所得的弦的中点是P(x0，y0)(y0≠0)，
b2 x0
则直线的斜率为－ 2 .
a y0
x2
c
a
2c
2a
＝ 7m，所以C的离心率e＝ ＝ ＝
F1 F2
PF1 − PF2
＝
7m
7
解析几何与圆锥曲线
解析几何与圆锥曲线解析几何是数学中的一个分支，研究的是几何图形在坐标系中的性质和关系。
而圆锥曲线是解析几何中的一个重要概念，指的是在平面上由一个定点(焦点)和一个定直线(直角平分线)确定的几何图形。
本文将详细解析解析几何与圆锥曲线之间的关系。
一、解析几何基础解析几何的基础是坐标系，通常使用直角坐标系来描述平面上的点和几何图形。
在直角坐标系中，每个点都可以用两个坐标表示，分别表示该点在横轴和纵轴上的位置。
我们可以利用坐标系来描述线段、直线、曲线等几何图形，并通过代数的方法来研究它们的性质和关系。
二、圆锥曲线的定义与分类圆锥曲线是指在平面上由一个定点(焦点)和一个定直线(直角平分线)确定的几何图形。
根据焦点和直角平分线的相对位置，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
1. 椭圆：焦点到直角平分线的距离之和是一个常数，称为椭圆的离心率。
当离心率小于1时，椭圆是闭合曲线，当离心率等于1时，椭圆是一个线段，当离心率大于1时，椭圆是两个分离的曲线。
2. 双曲线：焦点到直角平分线的距离之差是一个常数，称为双曲线的离心率。
当离心率小于1时，双曲线是两个分离的曲线，当离心率等于1时，双曲线是两条渐进线，当离心率大于1时，双曲线是两个分离的曲线。
3. 抛物线：焦点到直角平分线的距离等于一个常数，称为抛物线的离心率。
抛物线有两种形式，一种是开口向上的抛物线，一种是开口向下的抛物线。
三、解析几何与圆锥曲线的关系解析几何主要研究的是几何图形在坐标系中的性质和关系，而圆锥曲线可以通过解析几何的方法进行研究和描述。
通过引入坐标系，我们可以将焦点和直角平分线的位置用代数的方式表示，从而推导出圆锥曲线的方程和各种性质。
以椭圆为例，假设焦点为F(a,0)，直角平分线为x=k，其中a和k为常数。
根据椭圆的定义，点P(x,y)到焦点和直角平分线的距离之和等于常数，即PF1+PF2=2a，可以得到以下方程：(x-a)^2+y^2+(x-a)^2+y^2=4a^2化简后即为椭圆的标准方程。
2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题六解析几何第二讲圆锥曲线的方程与性质
第二讲 圆锥曲线的方程与性质——小题备考微专题1 圆锥曲线的定义及标准方程常考常用结论1．椭圆的定义与方程：|MF 1|＋|MF 2|＝2a(2a>|F 1F 2|)； 焦点在x 轴上：x 2a 2+y 2b 2＝1(a>b>0)， 焦点在y 轴上：y 2a 2+x 2b 2＝1(a>b>0)．2．双曲线的定义与方程：||MF 1|－|MF 2||＝2a(2a<|F 1F 2|)； 焦点在x 轴上：x 2a 2−y 2b 2＝1(a>0，b>0)，焦点在y 轴上：y 2a 2−x 2b 2＝1(a>0，b>0)．3．抛物线定义与方程：|MF|＝d(d 为M 点到准线的距离) y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py(p>0)．保分题1.[2022·山东济南三模]“0<a<12”是“方程x 22a−1+y 2a ＝1表示的曲线为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．[2022·全国乙卷]设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( )A ．2B ．2√2C ．3D ．3√23．[2022·湖南湘潭三模]椭圆E ：x 2a 2+y 2a+2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 与E 交于A ，B 两点，若△ABF 2的周长为12，则E 的离心率为( )A ．23 B ．13 C ．19 D ．49提分题例1 (1)[2022·山东济南历城二中模拟]设F 1，F 2分别是双曲线x 24−y 245＝1的左、右焦点，P 是该双曲线上的一点，且3|PF 1|＝5|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．14√3B ．7√15C ．15√3D ．5√15(2)[2022·河北石家庄二模]已知，点P 是抛物线C ：y 2＝4x 上的动点，过点P 向y 轴作垂线，垂足记为点N ，点M(3，4)，则|PM|＋|PN|的最小值是( )A ．2√5－1B ．√5－1C ．√5＋1D ．2√5＋1技法领悟1．关于圆锥曲线定义的应用：对于椭圆、双曲线如果涉及曲线上的点与焦点的距离，一般要利用定义进行转化．对应抛物线涉及曲线上的点到焦点的距离、到准线的距离时需要相互转化．2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”：所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．巩固训练11.已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216+y 24＝1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________．2．[2022·湖南岳阳一模]已知抛物线y ＝14x 2的焦点为F ，P 为抛物线上一动点，点Q(1，1)，当△PQF 的周长最小时，点P 的坐标为________．微专题2 圆锥曲线的几何性质常考常用结论1．椭圆中，长轴是最长的弦，过焦点的所有弦长中，垂直长轴的弦长最短，最短为2b 2a.距焦点最短的点是相应的对称轴同侧顶点．过双曲线的焦点作对称轴的垂线，与双曲线交于A ，B 两点，|AB|＝2b 2a.过抛物线的焦点作对称轴的垂线，与抛物线交于A ，B 两点，|AB|＝2p.2．双曲线x 2a 2−y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±ba x. 双曲线y 2a 2−x 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±ab x. 3．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca ＝√1−(b a )2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca ＝√1+(ba )2.4．抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F(p 2，0)，准线方程x ＝－p2； 抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点F(0，p2)，准线方程y ＝－p2.保分题1.[2022·湖北武汉二模]若椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a>0)的离心率为√22，则a 的值为( ) A ．√2B ．12C ．√2或√22D ．√2或122．[2022·河北沧州二模]已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率e 是它的一条渐近线斜率的2倍，则e ＝( )A ．2√33B ．√2C ．√3D ．23．[2022·山东潍坊一模]抛物线C ：x 2＝4ay 的焦点坐标为(0，2)，则C 的准线方程为________．提分题例2 (1)[2022·全国甲卷]椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为( )A ．√32B ．√22C ．12D ．13(2)[2022·河北唐山一模](多选)已知直线l ：x ＝ty ＋4与抛物线C ：y 2＝4x 交于A(x 1 ，y 1)，B(x 2，y 2)两点，O 为坐标原点，直线OA ，OB 的斜率分别记为k 1，k 2，则( )A ．y 1·y 2为定值B ．k 1·k 2为定值C ．y 1＋y 2为定值D ．k 1＋k 2＋t 为定值 听课笔记：技法领悟1．理清圆锥曲线中a，b，c，e，p的关系是关键．2．求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求ca的值．巩固训练21.[2022·河北保定一模]已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，在右支上存在点P，Q，使得POQF为正方形(O为坐标原点)，设该双曲线离心率为e，则e2＝() A．3+√52B．3＋√5C．9+√652D．9＋√652．已知椭圆C：x2m2−1+y2m2＝1(m>0)的两个焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值为√3，则椭圆C的短轴长为________．微专题3圆锥曲线的交汇问题保分题1.[2022·山东淄博三模]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为2√3，则p＝()A．1 B．√3C．2 D．42．已知双曲线C：x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝√52x，且与椭圆x212+y23＝1有公共焦点．则C的方程为()A．x28−y210＝1 B．x24−y25＝1C．x25−y24＝1 D．x24−y23＝13．[2022·全国甲卷]若双曲线y2－x2m2＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．提分题例3 (1)[2022·福建泉州模拟]已知椭圆C1：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)与圆C2：x2＋y2＝4b25，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A．(0，2√105) B．(0，√64)C ．[2√105，1) D ．[√64，1)(2)[2022·湖北武汉模拟]已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a2−y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左支、右支分别交于A 、B 两点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为( )A ．√3B ．2C ．√7D ．3 听课笔记：技法领悟1．解决圆锥曲线之间、圆锥曲线与圆之间的综合问题时，关键是抓住两种曲线之间的联系，再结合其自身的几何性质解题．2．圆锥曲线常与向量知识交汇考查，一般是利用圆锥曲线的几何性质转化条件，再利用其他的知识解题，或者是其他的知识点转化条件，再利用圆锥曲线的几何性质解题．巩固训练31.[2022·山东威海三模]已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以原点O 为顶点，F 2为焦点的抛物线与双曲线C 在第一象限的交点为P.若∠PF 1F 2＝45°，则C 的离心率为( )A ．√2B ．√2＋1C ．√3D ．√3＋12．[2022·全国甲卷]已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为13，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1 [TX →]·BA 2＝－1，则C 的方程为( )A ．x 218+y 216＝1 B ．x 29+y 28＝1 C ．x 23+y 22＝1D ．x 22＋y 2＝1第二讲 圆锥曲线的方程与性质微专题1 圆锥曲线的定义及标准方程保分题1．解析：方程x 22a−1+y 2a＝1表示的曲线为双曲线，则a (2a －1)＜0，解得0＜a ＜12，故“0<a <12”是“方程x 22a−1+y 2a ＝1表示的曲线为双曲线”的充要条件． 答案：C2．解析：由已知条件，易知抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.又B (3，0)，则|AF |＝|BF |＝2.不妨设点A 在第一象限，则A (x 0，2√x 0)．根据抛物线的定义可知x 0－(－1)＝2，所以x 0＝1，所以A (1，2)，所以|AB |＝√(1−3)2+(2−0)2＝2√2.故选B.答案：B3．解析：因为△ABF 2的周长为12，根据椭圆的定义可得4a ＝12，解得a ＝3， 则c 2＝a 2－a －2＝4，所以c ＝2，则椭圆E 的离心率为e ＝ca ＝23.答案：A提分题[例1] 解析：(1)设|PF 1|＝5x ，|PF 2|＝3x ，则由双曲线的定义可得：|PF 1|－|PF 2|＝5x －3x ＝2x ＝2a ＝4，所以x ＝2，故|PF 1|＝10，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝14，故cos ∠F 1PF 2＝100+36−1962×10×6＝－12，故sin ∠F 1PF 2＝√32，所以△PF 1F 2的面积为12×10×6×√32＝15√3.(2)由抛物线C ：y 2＝4x 知，焦点F (1，0)，准线方程为x ＝－1， 过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为Q ，如图，由抛物线定义知|PN |＋|PM |＝|PQ |－1＋|PM |＝|PF |＋|PM |－1，当F ，P ，M 三点共线时，|PM |＋|PN |最小值为|MF |－1＝√(3−1)2+(4−0)2－1＝2√5－1.答案：(1)C (2)A[巩固训练1]1．解析：因为P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点， 且|PQ |＝|F 1F 2|，所以四边形PF 1QF 2为矩形， 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝8，m 2＋n 2＝48， 所以64＝(m ＋n )2＝m 2＋2mn ＋n 2＝48＋2mn, mn ＝8，即四边形PF 1QF 2面积等于8. 答案：82．解析：如图，设l ：y ＝－1是抛物线的准线，过P 作PH ⊥l 于H ，作QN ⊥l 于N ，则|PF |＝|PH |，F (0，1)，|FQ |＝1，|PF |＋|PQ |＝|PQ |＋|PH |，易知当Q ，P ，H 三点共线时，|PQ |＋|PH |最小，且最小值为1＋1＝2，所以△PQF 的周长最小值为3，此时x P ＝1，y P ＝14， 即P (1，14)． 答案：(1，14)微专题2 圆锥曲线的几何性质保分题1．解析：当a 2>1，即a >1时，则a 2−1a 2＝(√22)2，解得a ＝√2；当a 2<1，即0<a <1时，则1−a 21＝(√22)2，解得a ＝√22，综上：a 的值为√2或√22. 答案：C2．解析：由题意得{c a =2ba a 2+b 2=c2，解得c 2a 2＝43，即e ＝2√33. 答案：A3．解析：因为抛物线C ：x 2＝4ay 的焦点坐标为(0，2)， 所以C 的准线方程为y ＝－2. 答案：y ＝－2提分题[例2] 解析：(1)设P (x 1，y 1)，则点Q 的坐标为(－x 1，y 1)．由题意，得点A (－a ，0)．又直线AP ，AQ 的斜率之积为14，所以y 1x1+a·y 1−x1+a＝14，即y 12 a2－x 12 ＝14①.又点P 在椭圆C 上，所以x 12 a2＋y 12 b2＝1②.由①②，得b 2a 2＝14，所以a 2＝4b 2，所以a 2＝4(a 2－c 2)，所以椭圆C 的离心率e ＝ca＝√32.故选A.(2)由{x =ty +4y 2=4x 得：y 2－4ty －16＝0，则{y 1+y 2=4t y 1y 2=−16；对于A ，y 1y 2＝－16为定值，A 正确；对于B ，k 1·k 2＝y 1y 2x 1x 2＝y 1y 2y 12y 2216＝16y1y 2＝－1，B 正确；对于C ，y 1＋y 2＝4t ，不为定值，C 错误； 对于D ，k 1＋k 2＋t ＝y 1x 1+y2x 2＋t ＝x 2y 1+x 1y 2x 1x 2＋t ＝(ty 2+4)y 1+(ty 1+4)y 2y 12y 22 16＋t ＝2ty 1y 2+4(y 1+y 2)y 12y 22 16＋t ＝−32t+16t16＋t ＝－t ＋t ＝0，则k 1＋k 2＋t 为定值，D 正确．答案：(1)A (2)ABD [巩固训练2]1．解析：由题意，当POQF 为正方形时，点P 的坐标为(c2，c2)，代入x 2a 2−y 2b 2＝1(a >0，b >0)可得c 24a 2−c 24b 2＝1，整理得b 2c 2－a 2c 2＝4a 2b 2， 即(c 2－a 2)c 2－a 2c 2＝4a 2(c 2－a 2)，整理得c 4－6a 2c 2＋4a 4＝0， 即e 4－6e 2＋4＝0，解得e 2＝3＋√5. 答案：B2．解析：由椭圆的方程可知，椭圆的焦点F 1，F 2在y 轴上，且|F 1F 2|＝2√m 2−(m 2−1)＝2，由题意可知，当点P 为椭圆C 左右顶点时，△PF 1F 2的面积最大，且12|F 1F 2|√m 2−1＝√3，解得m ＝2，所以椭圆C 的短轴长为2√m 2−1＝2√3.答案：2√3微专题3圆锥曲线的交汇问题保分题1．解析：由题，圆与抛物线都关于x轴对称，故所截得的弦AB与x轴垂直，圆心为原点，圆半径为2，则有x A2+y A2＝22，y A＝√3，x A<0，解得x A＝－1，故－p2＝－1，得p＝2.答案：C2．解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y＝√52x，则ba ＝√52①.又因为椭圆x212+y23＝1与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距2c＝6，即c＝3，则a2＋b2＝c2＝9②.由①②解得a＝2，b＝√5，则双曲线C的方程为x24−y25＝1.答案：B3．解析：由题意，得双曲线的一条渐近线方程为y＝xm，即x－my＝0.圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.由渐近线与圆相切，结合点到直线的距离公式，得√m2+1＝1，解得m＝±√33.又因为m＞0，所以m＝√33.答案：√33提分题[例3]解析：(1)由题意，如图，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则只需∠APB ≤90°，即α＝∠APO ≤45°，sin α＝2b √5a ≤sin 45°＝√22， 即8b 2≤5a 2，因为a 2＝b 2＋c 2，解得：3a 2≤8c 2.∴e 2≥38，即e ≥√64，而0<e <1， ∴√64≤e <1，即e ∈[√64，1)．(2)∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即边BF 2的中线与边BF 2垂直，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |＝|AF|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 同理可知△ABF 2为正三角形，|BF 1|－|BF 2|＝|BF 1|－|BA |＝|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝4a ，取AB 中点D ，|F 1D |＝4a ，|F 2D |＝2√3a ，|F 1F 2|＝2c ， ∵F 2D ⊥F 1D ，则(2c )2＝(4a )2＋(2√3a )2，整理得c 2a 2＝7， ∴e ＝√7.答案：(1)D (2)C[巩固训练3]1．解析：由题知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，则抛物线方程为：y 2＝4cx ，直线PF 1方程为：y ＝x ＋c ， 由{y =x +c y 2=4cx⇒x 2－2cx ＋c 2＝0⇒x ＝c ，∴P (c ，2c )，∴PF 2⊥x 轴，∴|PF 2|＝2c ，|PF 1|＝2√2c ， ∴双曲线离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF1|−|PF 2|＝2√2−2＝√2−1＝√2＋1. 答案：B2．解析：由椭圆C 的离心率为13，可得e ＝c a ＝√a 2−b 2a 2＝13.化简，得8a 2＝9b 2.易知A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B (0，b )，所以BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－a ，－b )·(a ，－b )＝－a 2＋b 2＝－1.联立得方程组{8a 2=9b 2，−a 2+b 2=−1，解得{a 2=9，b 2=8.所以C 的方程为x 29+y 28＝1.故选B. 答案：B。
专题七 解析几何 第二讲 圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题——2022届高考理科数学三轮
③|F1A|＋|F1B|＝
2 p
；④以弦
AB
为直径的圆与准线相切．
[典型例题]
1.已知椭圆 T : x2 y2 1(a b 0) 的长半轴为 2，且过点 M 0,1 .
a2 b2 若过点 M 引两条互相垂直的直线 l1 ， l2 ，P 为椭圆上任意一点，
记点 P 到 l1 ， l2 的距离分别为 d1 ， d2 ，则 d12 d22 的最大值为( B )
C. x2 y
D. x2 1 y 2
[解析]
本题考查抛物线的定义、标准方程. 抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的准线方程为 y p .因为 | AF | 4 ，
2 所以由抛物线的定义得 p 3 4 ，解得 p 2 ，
2 所以抛物线 C 的方程为 x2 4 y .故选 A.
因为 | BC | 2 | BF | ，所以 | BC | 2 | BN | ，所以 BC 2 ，所以 BN 2 ，
CF 3
p3
所以 BN BF 4 ， BC 8 ，
3
3
[解析]
所以 CF 4 ,因为 p CF ， AM CA
所以 2 CF 4 4 , AM CF AF 4 AF 4 AM 4
则 d12 d22 x2 (1 y)2 ，因为 P 在椭圆上，所以 x2 4 4 y2 ，
所以
d12
d
2 2
5
3y2
2y
5
3
y
1 2 3
1 3
，
y [1,1]，
[解析]
所以当
y
1 3
时，
பைடு நூலகம்d12
d22
有最大值
16 3
，所以
圆锥曲线的定义、
感悟高考 明确考向
x y + 2 =1(a >0,b >0) 2 （2009山东）设椭圆E： b a
2 2
过点M（2， 2 ）N（ 6 ，1）两点， O为坐标原点. （1）求椭圆E的方程；
（删）考点2、圆锥曲线的方程
海南、 例3 (2009·海南、宁夏 已知椭圆C的中 海南 宁夏)已知椭圆 的原点， 心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在 x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离 轴上， 分别是7和 分别是 和1. (1)求椭圆C的方程； 求椭圆 的方程； (2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂 上的动点， 若 直于x轴 OP 的直线上的一点， 的直线上的一点， O M ＝λ，求点M的轨 迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
感悟高考 明确考向
山东理） （2008山东理）设椭圆 C1的离 山东理 5 焦点在x轴上且长 心率为 1 3 ，焦点在 轴上且长 轴长为26， 轴长为 ，若曲线 C2 上的点到 椭圆 C1 的两个焦点的距离的差 的绝对值等于8， 的绝对值等于 ，则曲线 C2 的标 准方程为_________ 准方程为
1.圆锥曲线的定义是根本，它是相联系应标准 圆锥曲线的定义是根本， 圆锥曲线的定义是根本 方程和几何性质的“ 方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有 关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识， 关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识， 回归定义”是一种重要解题策略. “回归定义”是一种重要解题策略 2.注意定义中的条件 注意定义中的条件. 注意定义中的条件 3. 涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的 涉及椭圆、 三角形问题，常用定义结合正弦定理、 三角形问题，常用定义结合正弦定理、余弦定 理来解决. 理来解决
圆锥曲线的定义、方程与性质
平面内与两个定点 ， 的距离之差的绝对值等于常数 （小于 ）的点的轨迹叫做双曲线．
【 】
渐近线方程 或
共渐近线的双曲线系方程： 的渐近线方程为
求准线方程
双曲线焦点三角形：
，（ ）；
等轴双曲线：双曲线 称为等轴双曲线，其渐近线方程= , 方程法：建立关于 的齐次；
如：已知点F是双曲线 的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于 轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF是直角三角形，则该双曲线的离心率是2;
以等边三角形顶点AB为焦点的椭圆经过两腰的中点，求其离心率：；
弦长
焦半径：椭圆： ；
抛物线焦点弦 ＝
通径 ,2p,
弦长
抛物线
平面内到一个定点 和一条定直线 （定点 不在定直线 ）距离相等的点的轨迹是抛物线。
圆锥曲线的定义、方程与性质
圆锥曲线的定义、方程与性质
定义
标准方程
几何性质
范围
顶点
焦点
对称性
离心率
椭圆
平面内与两个定点 ， 的距离之和等于常数 （大于 ）的点的轨迹叫做椭圆．
【 ， 】
轴
轴
坐标原点
椭圆中
双曲线中
椭圆焦点三角形：
． ，（ ）；
．点 是 内心， 交 于点 ，则 ；
共离心率的椭圆系的方程：方程 是大于0的参数，我们称为共离心率椭圆系方程．
【焦点到准线的距离等于 ， ，焦参数】
轴
【离心率是曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比】
轴
提醒
*1.用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后，注意用判别式、韦达定理、弦长公式；注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用；注意焦点弦可用焦半径公式，其它用弦长公式.
2020版高考数学二轮复习第2部分专题5解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程及性质教案(文)
第2讲 圆锥曲线的定义、方程及性质[做小题——激活思维]1．椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，则△F 1AB 的周长为( )A ．12B ．16C ．20D ．24 C [△F 1AB 的周长为 |F 1A |＋|F 1B |＋|AB |＝|F 1A |＋|F 2A |＋|F 1B |＋|F 2B | ＝2a ＋2a ＝4a .在椭圆x 225＋y 216＝1中，a 2＝25，a ＝5，∴△F 1AB 的周长为4a ＝20，故选C.]2．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线D [由已知得|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．]3．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝________.17 [由题意知|PF 1|＝9＜a ＋c ＝10，所以P 点在双曲线的左支，则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17.]4．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ＝23，则实数k 的值是________．209或365[当k ＞4时，有e ＝1－4k ＝23，解得k ＝365；当0＜k ＜4时，有e ＝1－k4＝23，解得k ＝209.故实数k 的值为209或365.]5．双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.5 [∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3ax .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.]6．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132 [由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y . ∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，－132.][扣要点——查缺补漏]1．圆锥曲线的定义及标准方程(1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件，如T 3.(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化．如T 1，T 2.(3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”． 2．圆锥曲线的几何性质(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，如T 4.(2)要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．圆锥曲线的定义与标准方程(5年4考)[高考解读] 高考对圆锥曲线的定义及标准方程的直接考查较少，多对于圆锥曲线的性质进行综合考查.1．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 切入点：|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|.关键点：挖掘隐含条件，确定点A 的位置，求a ，b 的值．B [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由椭圆定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .∵|AB |＝|BF 1|， ∴|AF 1|＋2|AB |＝4a .又|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 2|＝a ，∴A 为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A (0，b )，又F 2(1,0)，AF 2→＝2F 2B →，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－b 2.将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b2＝1，∴a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.]2．(2015·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．切入点：△APF 的周长最小．关键点：根据双曲线的定义及△APF 周长最小，确定P 点坐标．126 [由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3，0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋662＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)， 所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F＝12×6×66－12×6×26＝12 6.] [教师备选题]1．[一题多解](2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．x 24－y 2＝1 [法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ， ∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)， ∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.]2．(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 23－y 29＝1B.x 29－y 23＝1C.x 24－y 212＝1 D.x 212－y 24＝1 A [设双曲线的右焦点为F (c,0)．将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得c 2a 2－y 2b 2＝1，∴ y ＝±b 2a.不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，即bx －ay ＝0，则d 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c －a ·b 2a b 2＋－a2＝|bc －b 2|c＝bc(c －b )，d 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c ＋a ·b 2a b 2＋－a2＝|bc ＋b 2|c＝bc(c ＋b )，∴ d 1＋d 2＝bc·2c ＝2b ＝6，∴ b ＝3. ∵ c a＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴ a 2＝3， ∴ 双曲线的方程为x 23－y 29＝1.故选A.]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)．易错提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误． 2．求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”(1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程； (2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆方程常设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )，双曲线方程常设为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)．1．(椭圆的定义)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514 B.59 C.49 D.513D [如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝513.故选D.]2．(双曲线的标准方程)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为45，渐近线方程为2x ±y ＝0，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 216＝1 B.x 216－y 24＝1 C.x 216－y 264＝1 D.x 264－y 216＝1 A [易知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y ＝0，得b a＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝2 5.结合c 2＝a 2＋b 2，可得a ＝2，b ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1.]3．(抛物线的定义)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.4 [设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＞x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2,4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C (图略)，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.]圆锥曲线的性质(5年17考)[高考解读] 高考对圆锥曲线性质的考查主要涉及椭圆和双曲线的离心率、双曲线的渐近线，难度适中.1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8 切入点：抛物线的焦点是椭圆的焦点． 关键点：正确用p 表示抛物线和椭圆的焦点．D [抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，椭圆x 23p ＋y 2p＝1的焦点坐标为(±2p ，0)．由题意得p2＝2p ，∴p ＝0(舍去)或p ＝8.故选D.]2．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5切入点：以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2相交且|PQ |＝|OF |.关键点：正确确定以OF 为直径的圆的方程．A [令双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)，则c ＝a 2＋b 2.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，∴c a ＝2，即离心率e ＝ 2.故选A.]3．[一题多解](2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)切入点：C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°.关键点：求椭圆上的点与椭圆两端点连线构成角的范围建立关于m 的不等式． A [法一：设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ， 则N (x,0)．故tan∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |·3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan∠AMB ＝tan 120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1可得x 2＝3－3y 2m，则23|y |3－3y 2m＋y 2－3＝23|y |⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3m y2＝－ 3. 解得|y |＝2m3－m. 又0<|y |≤m ，即0＜2m3－m ≤m ，结合0＜m ＜3解得0＜m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.法二：当0<m <3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.] [教师备选题]1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x A [因为双曲线的离心率为3，所以c a＝3，即c ＝3a .又c 2＝a 2＋b 2，所以(3a )2＝a 2＋b 2，化简得2a 2＝b 2，所以b a ＝ 2.因为双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，所以y ＝±2x .故选A.]2．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32D [因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D.]3．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13A [由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a＝13，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63. 故选A.]1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．1．(椭圆的离心率)[一题多解]直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34B [法一：如图，|OB |为椭圆中心到l 的距离，则|OA |·|OF |＝|AF |·|OB |，即bc ＝a ·b 2，所以e ＝c a ＝12.故选B.法二：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意可取直线l 的方程为y ＝ba 2－b 2x ＋b ，椭圆中心到l 的距离为b a 2－b 2a ，由题意知b a 2－b 2a ＝14×2b ，即a 2－b 2a ＝12，故离心率e ＝12.] 2．(双曲线的离心率)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，M为双曲线右支上一点，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，且ON ⊥MF 2,3|ON |＝2|MF 2|，则C 的离心率为( )A ．6B ．5C ．4D ．3B [连接MF 1(图略)，由双曲线的定义得|MF 1|－|MF 2|＝2a ，因为N 为MF 2的中点，O 为F 1F 2的中点，所以ON ∥MF 1，所以|ON |＝12|MF 1|，因为3|ON |＝2|MF 2|，所以|MF 1|＝8a ，|MF 2|＝6a ，因为ON ⊥MF 2，所以MF 1⊥MF 2，在Rt△MF 1F 2中，由勾股定理得(8a )2＋(6a )2＝(2c )2，即5a ＝c ，因为e ＝c a，所以e ＝5，故选B.]3．(椭圆与抛物线的综合)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12B [抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c＝2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2＝a2－c 2＝12.由题意知|AB |＝2b 2a ＝2×124＝6.故选B.]直线与圆锥曲线的综合问题(5年5考)[高考解读] 直线与圆锥曲线的位置关系是每年高考的亮点，主要涉及直线与抛物线、直线与椭圆的综合问题，突出考查研究直线与圆锥曲线位置关系的基本方法，注意通性通法的应用，考查考生的逻辑推理和数学运算核心素养.角度一：直线与圆锥曲线的位置关系1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .切入点：①直线l 过点A ；②l 与C 交于M ，N 两点；③l 与x 轴垂直． 关键点：将问题转化为证明k BM 与k BN 具有某种关系．[解] (1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得点M 的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y 2＝2x 得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝2k，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2y 1＋y 2x 1＋2x 2＋2.①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k y 1＋y 2k＝－8＋8k＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .角度二：直线与圆锥曲线的相交弦问题2．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|. 切入点：①直线l 与椭圆C 相交；②AB 的中点M (1，m )．关键点：根据FP →＋FA →＋FB →＝0及点P 在C 上确定m ，并进一步得出|FP →|，|FA →|，|FB →|的关系．[证明] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.由题设得0<m <32，故k <－12.(2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)．由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0. 又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P 1，－32，|FP →|＝32.于是|FA →|＝x 1－12＋y 21＝x 1－12＋31－x 214＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|. [教师备选题](2018·北京高考)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程；(2)若k ＝1，求|AB |的最大值；(3)设P (－2,0)，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若C ，D 和点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－74，14共线，求k .[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝22，解得a ＝3，b ＝1.所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝3m 2－34.所以|AB |＝ x 2－x 12＋y 2－y 12＝ 2x 2－x 12＝ 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝12－3m 22. 当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6. (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意得x 21＋3y 21＝3，x 22＋3y 22＝3. 直线PA 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1＋2x ＋2，x 2＋3y 2＝3，得[(x 1＋2)2＋3y 21]x 2＋12y 21x ＋12y 21－3(x 1＋2)2＝0. 设C (x C ，y C )，所以x C ＋x 1＝－12y 21x 1＋22＋3y 21＝4x 21－124x 1＋7. 所以x C ＝4x 21－124x 1＋7－x 1＝－12－7x 14x 1＋7.所以y C ＝y 1x 1＋2(x C ＋2)＝y 14x 1＋7. 设D (x D ，y D )，同理得x D ＝－12－7x 24x 2＋7，y D ＝y 24x 2＋7.记直线CQ ，DQ 的斜率分别为k CQ ，k DQ ，则k CQ －k DQ ＝y 14x 1＋7－14－12－7x 14x 1＋7＋74－y 24x 2＋7－14－12－7x 24x 2＋7＋74＝4(y 1－y 2－x 1＋x 2)． 因为C ，D ，Q 三点共线，所以k CQ －k DQ ＝0. 故y 1－y 2＝x 1－x 2. 所以直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.1．判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得到一个一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：画出直线与圆锥曲线，根据图形判断公共点个数． 2．弦长公式设斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 的两交点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 则|PQ |＝|x 1－x 2|1＋k 2＝[x 1＋x 22－4x 1x 2]1＋k2.或|PQ |＝|y 1－y 2|1＋1k2＝[y 1＋y 22－4y 1y 2]⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 2(k ≠0)．3．弦的中点圆锥曲线C ：f (x ，y )＝0的弦为PQ .若P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0.1．(直线与椭圆的综合)已知离心率为12的椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，上顶点为B ，且BA 1→·BA 2→＝－1.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆左焦点F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，且直线l 与x 轴不垂直，若D 为x 轴上一点，|DM →|＝|DN →|，求|MN ||DF |的值．[解] (1)A 1，A 2，B 的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，(0，b )，BA 1→·BA 2→＝(－a ，－b )·(a ，－b )＝b 2－a 2＝－1，∴c 2＝1. 又e ＝c a ＝12，∴a 2＝4，b 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F (－1,0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∵直线l 与x 轴不垂直，∴可设其方程为y ＝k (x ＋1)． 当k ＝0时，易得|MN |＝4，|DF |＝1，|MN ||DF |＝4.当k ≠0时，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x ＋1，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2， ∴|MN |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝12＋12k 23＋4k2. 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2)＝6k3＋4k2， ∴MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 23＋4k 2，3k 3＋4k 2，∴MN 的垂直平分线方程为y －3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4k 23＋4k 2(k ≠0)， 令y ＝0得，1k x ＋k 3＋4k 2＝0，解得x ＝－k23＋4k2.|DF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 23＋4k 2＋1＝3＋3k 23＋4k 2，∴|MN ||DF |＝4.综上所述，|MN ||DF |＝4.2．(直线与抛物线的综合)过抛物线E ：x 2＝4y 的焦点F 的直线交抛物线于M ，N 两点，抛物线在M ，N 两点处的切线交于点P .(1)证明点P 落在抛物线E 的准线上； (2)设MF →＝2FN →，求△PMN 的面积．[解] (1)抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1.设直线MN 的方程为y ＝kx ＋1，代入抛物线方程x 2＝4y ，整理得x 2－4kx －4＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 对y ＝14x 2求导，得y ′＝12x ，所以直线PM 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)．①直线PN 的方程为y －y 2＝12x 2(x －x 2)．②联立方程①②，消去x ，得y ＝－1. 所以点P 落在抛物线E 的准线上．(2)因为MF →＝(－x 1,1－y 1)，FN →＝(x 2，y 2－1)，且MF →＝2FN →.所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2y 2－1，得x 21＝8，x 22＝2.不妨取M (22，2)，N (－2，12)，由①②得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－1.易得|MN |＝92，点P 到直线MN 的距离d ＝322，所以△PMN 的面积S ＝12×92×322＝2728.。
【知识梳理】解析几何的20个微专题(附高考数学真题讲析)
【知识梳理】解析几何的20个微专题[1]专题1：直线与方程知识梳理： （1）直线的倾斜角定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为︒0.倾斜角的范围为[)︒︒180,0. （2）直线的斜率：定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即=k αtan .倾斜角是︒90的直线，斜率不存在. （3） 过两点的直线的斜率公式：经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式：当21x x ≠时，1212x x y y k --=；当21x x =时，斜率不存在.注：①任何直线都有倾斜角，但不是任何直线都有斜率，倾斜角是︒90的直线的斜率不存在.②斜率随倾斜角的变化规律：③可以用斜率来证明三点共线，即若AC AB k k =，则C B A ,,三点共线. 直线方程的五种形式注意：①求直线方程的方法主要有两种：一是直接法，根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程；二是待定系数法，先设出直线方程，再根据条件求出待定系数，最后代入求出直线方程.但使用直线方程时，一定要注意限制条件，以免解题过程中丢解.②截距与距离的区别：截距可为一切实数，纵截距是直线与y 轴交点的纵坐标，横截距是直线与x 轴交点的横坐标，而距离是一个非负数.直线与直线位置关系1．两条直线的交点若直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A 相交，则交点坐标是方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 的解. 2．两条直线位置关系的判定 （1）利用斜率判定若直线1l 和2l 分别有斜截式方程1l ：11b x k y +=和2l ：22b x k y +=，则 ①直线1l ∥2l 的等价条件为2121,b b k k ≠=. ②直线1l 与2l 重合的等价条件为2121,b b k k ==.③直线1l 与2l 相交的等价条件为21k k ≠；特别地，1l ⊥2l 的等价条件为121-=⋅k k .若1l 与2l 斜率都不存在，则1l 与2l 平行或重合.若1l 与2l 中的一条斜率不存在而另一条斜率为0，则1l 与2l 垂直.（2）用直线一般式方程的系数判定设直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，则 ①直线1l ∥2l 的等价条件为0012211221≠-=-C B C B B A B A 且. ②直线1l 与2l 重合的等价条件为0012211221=-=-C B C B B A B A 且.③直线1l 与2l 相交的等价条件为01221≠-B A B A ；特别地， 1l ⊥2l 的等价条件为02121=+B B A A .注：与0=++CBy Ax 平行的直线方程一般可设为0=++m By Ax 的形式，与0=++C By Ax 垂直的直线方程一般可设为0=+-n Ay Bx 的形式.（3）用两直线联立的方程组的解的个数判定设直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，将这两条直线的方程联立，得方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A ，若方程组有惟一解，则1l 与2l 相交，此解就是1l ，2l 交点的坐标；若方程组无解，此时1l 与2l 无公共点，则1l ∥2l ；若方程组有无数个解，则1l 与2l 重合.3. 直线系问题（1）设直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A若1l 与2l 相交，则0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ表示过1l 与2l 的交点的直线系（不包括2l ）；若1l ∥2l ，则上述形式的方程表示与与2l 平行的直线系.（2）过定点),(00y x 的旋转直线系方程为))((00R k x x k y y ∈-=-（不包括0x x =）；斜率为0k 的平行直线系方程为)(0R b b x k y ∈+=.注：直线系是具有某一共同性质的直线的全体，巧妙地使用直线系，可以减少运算量，简化运算过程. 距离公式与对称问题 1.距离公式（1）两点间的距离公式平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离=21P P 212212)()(y y x x -+-.特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离=OP 22y x +.若x P P //21轴时，=21P P 21x x -；若y P P //21轴时，=21P P 21y y -. （2）点到直线的距离公式已知点),(000y x P ，直线l ：0=++C By Ax ，则点0P 到直线l 的距离=d 2200BA CBy Ax +++.已知点),(000y x P ，直线l ：a x =，则点0P 到直线l 的距离=d a x -0. 已知点),(000y x P ，直线l ：b y =，则点0P 到直线l 的距离=d b y -0. 注：用此公式求解点到直线距离问题时，直线方程要化成一般式. （3）两条平行直线间的距离公式已知两平行直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，若点),(000y x P 在1l 上，则两平行直线1l 和2l 的距离可转化为),(000y x P 到直线2l 的距离.已知两平行直线1l ：01=++C By Ax 和2l ：02=++C By Ax ，则两直线1l 和2l 的距离=d 2221BA C C +-.注：用此公式求解两平行直线间的距离时，直线方程要化成一般式，并且y x ,项的系数必须对应相等. 2.对称问题 （1）中心对称 ①点关于点的对称点),(00y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(001y b x a P --. ②直线关于点的对称在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线的方程，或者求出一个对称点，再利用1l ∥2l ，由点斜式求出直线的方程，或者在所求直线上任取一点),(y x ，求出它关于已知点的对称点的坐标，代入已知直线，即可得到所求直线的方程. (2）轴对称①点关于直线的对称点),(00y x P 关于b kx y +=的对称点为),(111y x P ,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++⋅=+-=⋅--b x x k y y k x x y y 22101010101,由此可求出11,y x .特别地, 点),(00y x P 关于a x =的对称点为),2(001y x a P -，点),(00y x P 关于b y =的对称点为)2,(001y b x P -. ②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称直线相交，一是已知直线与对称直线平行. 本章知识结构专题2：圆的标准方程与一般方程知识梳理:⑴.圆的一般方程的概念：当 时，二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程。
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︱高中总复习︱二轮·理数
解析:(1)依题意,得 O(0,0),R= 5 ,O1(a,0),半径为 r. 两圆在 A 点处的切线互相垂直,则两切线必过两圆的圆心,如图, OA⊥O1A,OO1⊥AB,OC= OA2 AC2 =1, 所以 OA2=OC·OO1, 即 5=1×OO1,所以 OO1=5, 所以 O1C=4,r=AO1= 22 44 =2 5 ,
2 所以|AB|=2 r2 d 2 =2 4 2 =2 2 . 答案:(2)2 2
︱高一般有两类方法:①几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、 圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量;②代数法,即用待定系数法先设出 圆的方程,再由条件列出方程组求得各系数.如果已知条件与圆心、半径有 关,常设圆的标准方程求解;如果已知条件与圆心、半径无直接关系,常设圆 的一般方程求解. (2)处理直线与圆的位置关系问题时,主要是几何法,即利用圆心到直线的距 离与半径的大小关系判断,并依据圆的几何性质求解;直线与圆相交涉及弦 长问题时,主要依据弦长的一半、弦心距、半径恰构成一直角三角形的三 边进行求解;经过圆内一点,垂直于过这点的半径的弦最短.
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F1,F2,A
为椭
圆上一动点(异于左、右顶点),若△AF1F2 的周长为 6 且面积的最大值为 3 ,则 椭圆的标准方程为( )
(A) x2 + y 2 =1 (B) x2 + y 2 =1
43
32
(C) x2 +y2=1 2
(D) x2 +y2=1 4
y=k(x+2),即 kx-y+2k=0,则 2k 3 2k =4,解得 k=- 7 ,故另一条切线的方程为
k2 1
24
y=- 7 (x+2),即 7x+24y+14=0.综上,故选 C. 24
答案:(1)C
︱高中总复习︱二轮·理数
(2)(2019·唐山市高三模拟)已知直线l:kx-y-k+2=0与圆C:x2+y2-2y-7=0相交于
(A)[ 1 ,1) 2
(B)[ 1 , 1 ] 32
(C)[ 1 , 1 ] 54
(D)[ 1 , 2 ] 23
︱高中总复习︱二轮·理数
解析:(2)设椭圆的左焦点为 F′(-1,0),则|PF′|+|PF|=2a,即|PF|=2a-|PF′|, 又椭圆 E 上存在一点 P 使得|PA|+|PF|=9, 所以|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF′|=9, 即|PA|-|PF′|=9-2a, 因为-|AF′|≤|PA|-|PF′|≤|AF′|, 所以-1≤|PA|-|PF′|≤1, 即-1≤9-2a≤1,解得 4≤a≤5.
︱高中总复习︱二轮·理数
解析:(2)由椭圆的定义可得 2(a+c)=6,
所以 a+c=3,
①
当 A 在上(或下)顶点时,△AF1F2 的面积取得最大值,
即最大值为 bc= 3 ,② 由①②及 a2=c2+b2 联立求得 a=2,b= 3 ,c=1,
可得椭圆方程为 x2 + y 2 =1.故选 A. 43
解析:(1)由题意得 e2=1+( b )2=3,得 b2=2a2.当双曲线的焦点在 x 轴上时,有 8 -
a
a2
2 =1,解得 a2=7,b2=2a2=14,所以双曲线的标准方程为 x2 - y 2 =1;当双曲线的焦
2a2
7 14
点在 y 轴上时,有 2 - 8 =1,此方程无解. a2 2a2
︱高中总复习︱二轮·理数
方法技巧 (1)解有关圆锥曲线焦半径问题,常考虑用定义求解. (2)求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算” ①定型,就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程. ②计算,即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法 确定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),椭圆常设 mx2+ny2=1(m>0, n>0),双曲线设为mx2-ny2=1(mn>0).
a 02 0 02 =5,得 a=5,
所以,圆 O1 的方程为(x-5)2+y2=20, 故选 C. 答案:(1)C
︱高中总复习︱二轮·理数
(2)(2018·全国Ⅰ卷)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=
.
解析:(2)由 x2+y2+2y-3=0,得 x2+(y+1)2=4. 所以圆心 C(0,-1),半径 r=2. 圆心 C(0,-1)到直线 x-y+1=0 的距离 d= 1 1 = 2 ,
2 (C) 5 (D)2
︱高中总复习︱二轮·理数
解析:(1)由题意知,∠F1PF2=90°,|PO|=|OF2|=|OF1|=|PF2|=c,三角形 POF2 为等边 三角形, 则|PF1|= 3 c,|PF2|=c, 则|PF1|-|PF2|= 3 c-c=2a, 解得 c = 2 = 3 +1,
︱高中总复习︱二轮·理数
(5)经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程及简单几 何性质. (6)了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及它们的简单几何 性质. 2.命题规律 (1)直线与圆的内容主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离、直线与圆的 位置关系、简单的弦长与切线问题.多以选择题、填空题的形式出现,有时也可 能出直线与圆的位置关系的解答题,难度为中、低档. (2)椭圆、双曲线、抛物线的概念、方程与几何性质一直是高考的重点内容,多 以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题,难度为中、低档.
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热点训练 2:(1)在平面直角坐标系中,经过点 P(2 2 ,- 2 )且离心率为 3 的双曲线 的标准方程为( ) (A) x2 - y 2 =1
72 (B) x2 - y2 =1
7 14 (C) x2 - y 2 =1
36 (D) x2 - y 2 =1
14 7
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(D)椭圆
解析:(1)设动圆P和定圆B内切于点M.动点P到定点A(-3,0)和定圆圆心 B(3,0)距离之和恰好等于定圆半径,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>6. 所以点P的轨迹是以A,B为两焦点,长半轴为4的椭圆.故选D.
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(2)(2018·衡阳三模)椭圆
2
22
2
2
=2 6 . 答案:(2)2 6
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热点二 圆锥曲线的定义与标准方程
例2:(1)(2019·河北衡水第十三中学高三质检)已知动圆P过定点A(-3,0),并且
在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与定圆相切,则动圆的圆心P的轨迹是( )
(A)线段 (B)直线 (C)圆
综上,双曲线的标准方程为 x2 - y2 =1,故选 B. 7 14
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(2)(2019·福建省五校第二次联考)已知以圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为焦点的抛 物线C1与圆C在第一象限交于A点,B点是抛物线C2:x2=8y上任意一点,BM与直线 y=-2垂直,垂足为M,则|BM|-|AB|的最大值为( ) (A)1 (B)2 (C)-1 (D)8
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专题六 解析几何 第1讲 直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质
考情分析 热点突破
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考情分析
1.考查内容 (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.能根 据斜率判定两条直线平行或垂直. (2)根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、 两点式及一般式). (3)能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.并掌握平面上两点间的距离公 式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. (4)在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程.能根据给定直 线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
a 3 1 故离心率为 3 +1,故选 A.
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(2)(2019·河南省九师联盟高三 2 月质量检测)设椭圆 E: x2 + y 2 =1(a>b>0)的 a2 b2
一个焦点为 F(1,0),点 A(-1,1)为椭圆 E 内一点,若椭圆 E 上存在一点 P,使得 |PA|+|PF|=9,则椭圆 E 的离心率的取值范围是( )
解析:(1)法一 因为圆C的方程可化为(x-2)2+(y3)2=16,所以圆心坐标为(2,3),半径为4.如图,在平面直角 坐标系中画出圆C,显然过点M的圆C的其中一条切线的方 程为x+2=0,另一条切线的斜率小于0,故选C.
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法二 因为圆 C 的方程可化为(x-2)2+(y-3)2=16,所以圆心坐标为(2,3),半径为 4, 易得过点 M 的圆 C 的其中一条切线的方程为 x+2=0,设另一条切线的方程为
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热点三 圆锥曲线的几何性质 例 3:(2019·四省八校双教研联盟高考联考)已知椭圆与双曲线有公共焦点 F1,F2,F1 为左焦点,F2 为右焦点,点 P 为它们在第一象限的一个交点,且∠F1PF2= π ,
4 设 e1,e2 分别为椭圆与双曲线的离心率,则 1 + 1 的最大值为( )
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热点训练 3:(1)(2019·安徽黄山高三第一次质量检测)已知双曲线 C: x2 - y 2 =1 a2 b2