解析几何之—直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质

y=k(x+2),即 kx-y+2k=0,则 2k 3 2k =4,解得 k=- 7 ,故另一条切线的方程为
k2 1
24
y=- 7 (x+2),即 7x+24y+14=0.综上,故选 C. 24
答案:(1)C
︱高中总复习︱二轮·理数
(2)(2019·唐山市高三模拟)已知直线l:kx-y-k+2=0与圆C:x2+y2-2y-7=0相交于
e1 e2 (A) 2 (B)2 2 (C)3 2 (D)4 2
︱高中总复习︱二轮·理数
解析:不妨设椭圆的长轴长为 2a1,双曲线的实轴长 2a2,|F1F2|=2c,|PF1|=m,|PF2|=n,
则 m+n=2a1,m-n=2a2,所以 m=a1+a2,n=a1-a2,于是 1 + 1 = a1 + a2 = a1 a2 = m .由余
(D)椭圆
解析:(1)设动圆P和定圆B内切于点M.动点P到定点A(-3,0)和定圆圆心 B(3,0)距离之和恰好等于定圆半径,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>6. 所以点P的轨迹是以A,B为两焦点,长半轴为4的椭圆.故选D.
︱高中总复习︱二轮·理数
(2)(2018·衡阳三模)椭圆
a 02 0 02 =5,得 a=5,
所以,圆 O1 的方程为(x-5)2+y2=20, 故选 C. 答案:(1)C
︱高中总复习︱二轮·理数
(2)(2018·全国Ⅰ卷)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=
.
解析:(2)由 x2+y2+2y-3=0,得 x2+(y+1)2=4. 所以圆心 C(0,-1),半径 r=2. 圆心 C(0,-1)到直线 x-y+1=0 的距离 d= 1 1 = 2 ,
︱高中总复习︱二轮·理数
解析 :(2)易知抛物 线 C1 的焦点为 (1,0),所以抛物 线 C1 的方程 为 y2=4x. 由
y2
x
4x,
12
y2
4,
及点
A
位于第一象限可得点
A(1,2).因为抛物线
C2:x2=8y
的焦
点 F(0,2),准线方程为 y=-2,所以由抛物线的定义得|BM|=|BF|.如图,在平面直 角坐标系中画出抛物线 C2及相应的图形,可得|BM|-|AB|=|BF|-|AB|≤|AF|(当且 仅当 A,B,F 三点共线,且点 B 在第一象限时,不等式取等号).故所求最大值为 |AF|=1,故选 A.
︱高中总复习︱二轮·理数
热点训练1:(1)已知☉C:x2+y2-4x-6y-3=0,M(-2,0)是☉C外一点,则过点M的圆C 的切线的方程是( ) (A)x+2=0或7x-24y+14=0 (B)y+2=0或7x+24y+14=0 (C)x+2=0或7x+24y+14=0 (D)y+2=0或7x-24y+14=0
a 3 1 故离心率为 3 +1,故选 A.
︱高中总复习︱二轮·理数
(2)(2019·河南省九师联盟高三 2 月质量检测)设椭圆 E: x2 + y 2 =1(a>b>0)的 a2 b2
一个焦点为 F(1,0),点 A(-1,1)为椭圆 E 内一点,若椭圆 E 上存在一点 P,使得 |PA|+|PF|=9,则椭圆 E 的离心率的取值范围是( )
︱高中总复习︱二轮·理数
热点训练 2:(1)在平面直角坐标系中,经过点 P(2 2 ,- 2 )且离心率为 3 的双曲线 的标准方程为( ) (A) x2 - y 2 =1
72 (B) x2 - y2 =1
7 14 (C) x2 - y 2 =1
36 (D) x2 - y 2 =1
14 7
︱高中总复习︱二轮·理数
︱高中总复习︱二轮·理数
(5)经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程及简单几 何性质. (6)了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及它们的简单几何 性质. 2.命题规律 (1)直线与圆的内容主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离、直线与圆的 位置关系、简单的弦长与切线问题.多以选择题、填空题的形式出现,有时也可 能出直线与圆的位置关系的解答题,难度为中、低档. (2)椭圆、双曲线、抛物线的概念、方程与几何性质一直是高考的重点内容,多 以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题,难度为中、低档.
A,B两点,则|AB|的最小值为
.
解析:(2)直线 l 的方程为 y-2=k(x-1),经过定点 P(1,2),由已知可得圆 C 的标准方 程为 x2+(y-1)2=8,可知圆心 C(0,1),半径 r=2 2 ,由圆的性质可知当直线 l 与 CP
垂直时弦长最小,因为|CP|= 1 02 2 12 = 2 ,故|AB|min=2
2 所以|AB|=2 r2 d 2 =2 4 2 =2 2 . 答案:(2)2 2
︱高中总复习︱二轮·理数
方法技巧 (1)求圆的方程一般有两类方法:①几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、 圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量;②代数法,即用待定系数法先设出 圆的方程,再由条件列出方程组求得各系数.如果已知条件与圆心、半径有 关,常设圆的标准方程求解;如果已知条件与圆心、半径无直接关系,常设圆 的一般方程求解. (2)处理直线与圆的位置关系问题时,主要是几何法,即利用圆心到直线的距 离与半径的大小关系判断,并依据圆的几何性质求解;直线与圆相交涉及弦 长问题时,主要依据弦长的一半、弦心距、半径恰构成一直角三角形的三 边进行求解;经过圆内一点,垂直于过这点的半径的弦最短.
︱高中总复习︱二轮·理数
热点一 直线与圆
热点突破
例1:(1)(2019·四川绵阳高三第二次诊断)已知☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-a)2+y2=r2 (a>0)相交于A,B两点,若两圆在A点处的切线互相垂直,且|AB|=4,则☉O1的方程 为( ) (A)(x-4)2+y2=20 (B)(x-4)2+y2=50 (C)(x-5)2+y2=20 (D)(x-5)2+y2=50
2
22
2
2
=2 6 . 答案:(2)2 6
︱高中总复习︱二轮·理数
热点二 圆锥曲线的定义与标准方程
例2:(1)(2019·河北衡水第十三中学高三质检)已知动圆P过定点A(-3,0),并且
在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与定圆相切,则动圆的圆心P的轨迹是( )
(A)线段 (B)直线 (C)圆
2 (C) 5 (D)2
︱高中总复习︱二轮·理数
解析:(1)由题意知,∠F1PF2=90°,|PO|=|OF2|=|OF1|=|PF2|=c,三角形 POF2 为等边 三角形, 则|PF1|= 3 c,|PF2|=c, 则|PF1|-|PF2|= 3 c-c=2a, 解得 c = 2 = 3 +1,
e1 e2 c c
c
c
弦定理,得 4c2=m2+n2-2mncos π ,即 n2- 2 mn+m2-4c2=0,由Δ≥0,得 2m2-4m2+16c2≥0, 4
整理得 m2≤8c2,m≤2 2 c,所以 m ≤2 2 ,即 1 + 1 ≤2 2 ,故选 B.
c
e1 e2
︱高中总复习︱二轮·理数
方法技巧 椭圆或双曲线上一点与两个焦点构成的三角形通常称为焦点三角形,处理焦 点三角形问题通常从两个方面考虑: (1)利用椭圆或双曲线的定义得到三角形两边的关系; (2)利用正弦定理或余弦定理得到三角形边与角间的关系.
︱高中总复习︱二轮·理数
专题六 解析几何 第1讲 直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质
考情分析 热点突破
︱高中总复习︱二轮·理数
考情分析
1.考查内容 (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.能根 据斜率判定两条直线平行或垂直. (2)根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、 两点式及一般式). (3)能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.并掌握平面上两点间的距离公 式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. (4)在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程.能根据给定直 线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
︱高中总复习︱二轮·理数
解析:(1)依题意,得 O(0,0),R= 5 ,O1(a,0),半径为 r. 两圆在 A 点处的切线互相垂直,则两切线必过两圆的圆心,如图, OA⊥O1A,OO1⊥AB,OC= OA2 AC2 =1, 所以 OA2=OC·OO1, 即 5=1×OO1,所以 OO1=5, 所以 O1C=4,r=AO1= 22 44 =2 5 ,
︱高中总复习︱二轮·理数
方法技巧 (1)解有关圆锥曲线焦半径问题,常考虑用定义求解. (2)求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算” ①定型,就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程. ②计算,即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法 确定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),椭圆常设 mx2+ny2=1(m>0, n>0),双曲线设为mx2-ny2=1(mn>0).
︱高中总复习︱二轮·理数
热点训练 3:(1)(2019·安徽黄山高三第一次质量检测)已知双曲线 C: x2 - y 2 =1 a2 b2
(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,以线段 F1F2 为直径的圆与双曲线 C 在第一象限交 于点 P,且|PO|=|PF2|,则双曲线的离心率为( ) (A) 3 +1 (B) 13
︱高中总复习︱二轮·理数
解析:(2)由椭圆的定义可得 2(a+c)=6,
所以 a+c=3,
①
当 A 在上(或下)顶点时,△AF1F2 的面积取得最大值,
即最大值为 bc= 3 ,② 由①②及 a2=c2+b2 联立求得 a=2,b= 3 ,c=1,
可得椭圆方程为 x2 + y 2 =1.故选 A. 43
解析:(1)由题意得 e2=1+( b )2=3,得 b2=2a2.当双曲线的焦点在 x 轴上时,有 8 -
a
a2
2 =1,解得 a2=7,b2=2a2=14,所以双曲线的标准方程为 x2 - y 2 =1;当双曲线的焦
2a2
7 14
点在 y 轴上时,有 2 - 8 =1,此方程无解. a2 2a2
综上,双曲线的标准方程为 x2 - y2 =1,故选 B. 7 14
︱高中总复习︱二轮·理数
(2)(2019·福建省五校第二次联考)已知以圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为焦点的抛 物线C1与圆C在第一象限交于A点,B点是抛物线C2:x2=8y上任意一点,BM与直线 y=-2垂直,垂足为M,则|BM|-|AB|的最大值为( ) (A)1 (B)2 (C)-1 (D)8
︱高中总复习︱二轮·理数
热点三 圆锥曲线的几何性质 例 3:(2019·四省八校双教研联盟高考联考)已知椭圆与双曲线有公共焦点 F1,F2,F1 为左焦点,F2 为右焦点,点 P 为它们在第一象限的一个交点,且∠F1PF2= π ,
4 设 e1,e2 分别为椭圆与双曲线的离心率,则 1 + 1 的最大值为( )
解析:(1)法一 因为圆C的方程可化为(x-2)2+(y3)2=16,所以圆心坐标为(2,3),半径为4.如图,在平面直角 坐标系中画出圆C,显然过点M的圆C的其中一条切线的方 程为x+2=0,另一条切线的斜率小于0,故选C.
︱高中总复习︱二轮·理数
法二 因为圆 C 的方程可化为(x-2)2+(y-3)2=16,所以圆心坐标为(2,3),半径为 4, 易得过点 M 的圆 C 的其中一条切线的方程为 x+2=0,设另一条切线的方程为
(A)[ 1 ,1) 2
(B)[ 1 , 1 ] 32
(C)[ 1 , 1 ] 54
(D)[ 1 , 2 ] 23
︱高中总复习︱二轮·理数
解析:(2)设椭圆的左焦点为 F′(-1,0),则|PF′|+|PF|=2a,即|PF|=2a-|PF′|, 又椭圆 E 上存在一点 P 使得|PA|+|PF|=9, 所以|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF′|=9, 即|PA|-|PF′|=9-2a, 因为-|AF′|≤|PA|-|PF′|≤|AF′|, 所以-1≤|PA|-|PF′|≤1, 即-1≤9-2a≤1,解得 4≤a≤5.
x2 a2
+
wk.baidu.com
y2 b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F1,F2,A
为椭
圆上一动点(异于左、右顶点),若△AF1F2 的周长为 6 且面积的最大值为 3 ,则 椭圆的标准方程为( )
(A) x2 + y 2 =1 (B) x2 + y 2 =1
43
32
(C) x2 +y2=1 2
(D) x2 +y2=1 4