论级数求和的解题策略开题报告

论级数求和的解题策略开题报告

开题报告

论级数求和的解题策略

一、选题的背景、意义

级数理论是数学研究的重要对象,它不但在日常的生产、生活中都有广泛的应用,而且还是研究函数性质进行数值计算的有力工具。其中级数求和是级数理论的基本问题之一,也是较难解决的问题,因为除等比级数、等差级数等一些常见的特殊级数外,一般级数都难以求出它的部分和,所以级数求和的方法比较灵活,技巧性也比较强,因此懂得一些解题策略和掌握一些解题方法也就显得尤为重要。

无穷级数出现的很早,往往都是出现在对个别问题的研究中。到了中世纪,无穷级数引起了当时哲学家与数学家的兴趣。17世纪微积分诞生之后,无穷级数作为一种工具在数学的前进中起到了巨大的推动作用。为了把早期的微积分方法应用于超越函数,常常需要把这些函数表示为可以逐项微分或积分的无穷级数,泰勒定理为此做出了贡献。将函数展成无穷级数之后,人们又在考虑这个问题的逆问题,即级数的求和问题[1]。

现今数学理论的学习与研究中,无穷级数也是一个有效工具,无穷级数求和更是一块重要内容,它促使数学家在数学发展上进行大胆的尝试,虽然产生许多悖论,但使数学产生了很多分支,丰富了数学理论的发展。经过历史的研究与发展,结合历史上大量数学家的研究理论与所得结论。当今学者还对级数问题与级

数求和问题都做出了深入的考察与进一步的探究,创造性地提出了许多级数求和的策略与方法。此外,发散级数在天文、物理上的广泛应用,推动了人类发展的进步。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

本课题尝试对级数求和问题策略方法及理论逻辑进行归纳梳理,并通过深入理解、构造、举例……从多方面、各角度对各类级数求和的思维转化策略及问题转化的技巧作出大胆的研究和探索。

(一)、利用收敛定义求数项级数的和:

由级数收敛定义,若数项级数的部分数列收敛于(即),则称数项级数收敛,称为数项级数的和(即)[2]

其要点即求部分和,而求的方法有:

1、形如的数项级数可用待定系数法(即交差相消法)来求[3];

2、当求较困难时,可用先求和(为适当系数)的分项相减法(即错位相减法)来求[3];

3、利用熟悉的等差、等比数列及三角公式等来求[4]。

(二)、利用幂级数求数项级数的和:

找一个适当的幂级数,使收敛域内某一点对应的数项级数恰好为所要求的数项级数,因此可以借助幂级数的和函数求数项级数的和,

即求出幂级数的和函数,则有[5]。

(三)、利用傅里叶级数求数项级数的和:

1、将函数展开成傅里叶级数;

2、将函数经奇(偶)延拓后展开成正弦(余弦)级数,

再将某些指定点代入展开式中即可得到所要求的数项级数的和[4]。

(四)、利用递推公式求数项级数的和:

1、利用已知恒等式,如函数函数,华利斯公式等[6];

2、通过推导证明得到的一些固定的有趣的求和公式[7]。

(五)、利用微分方程求数项级数的和:

即某些数项级数的和可通过一个引进的辅助的函数项级数,来构造级数所满足的微分方程,然后解这个微分方程就可得到所要求的数项级数的和[8]。

(六)、通过求导求数项级数的和:

即可利用多项式导算子计算幂级数和数项级数的和[9]。

(七)、利用差分法求数项级数的和:

即通过介绍差分的定义及性质[10],求一般项级数和某些系数为多项式的幂级数的和[11]。

(八)、利用概率组合求数项级数的和:

即运用概率知识,构造适当的概率模型,再运用概率论的有关性质、公式、结论和数学特征,计算出所构造模型中相关事件的概率,进而推导出某些组合恒等式[12],并可对组合数公式进行深入探讨,得到新性质并通过对其恒等式变形,来求得数项级数的和[13]。

三、研究的方法与技术路线、研究难点,预期达到的目标

1、研究方法

本课题通过大量阅读有关文献资料,查阅、研究已有的成果,并对已有的结果进行系统地归纳总结并加以深入研究和探索推广整理,来增强我们洞察级数问题的能力,提高我们解答级数求和问题的速度与准确率。

2、研究难点

1 数学学习功底不够扎实、全面,对有些实际例子中的概念不是特别的清晰;有些不常用的知识点运用不够熟练,甚至遗忘;还有可能在研究的过程中会运用到我们所没有学习到的知识。

2所讨论的级数求和的策略与方法之间不是孤立的,往往相互渗透、共同作用才能解决问题,需要我们能熟练并灵活地掌握,并反复思考,深入挖掘其本质。

3有些级数求和公式的证明比较抽象,比较困难。

3、预期达到的目标

本课题对级数、级数收敛及级数求和有关性质、内容等进行探讨,并对一些公式及结论进行证明。从多方面、各角度,如利用收敛定义、幂级数、傅里叶级数、递推公式、微分方程、求导、差分法及概率组合等对各类级数求和的思维转化策略及问题转化的技巧作出大胆的研究和探索,并作出较完整地呈现。在已有的学习基础上,对前人研究结果的参考学习、理解分析、归纳总结与推广探究,使在提高解题效率与准确率的同时对级数求和问题上有更开宽阔创新的思维,并做出更深一步的研究,提出更进一步的理论。

四、论文详细工作进度和安排

1、2010-11-18至2011-01-06 收集、阅读大量文献,完成文献综述,外文翻译,并整理、分析文献,对其归纳、总结、思考后进行论文构思,完成开题报告;

2、2011-02-21至2011-03-20仔细研读、分析资料,理清文章脉络,完成初稿;

3、2011-03-21至2011-04-20积极与导师交流,在导师的指导下完成第一次

修改;

4、2011-04-21至2011-05-20反复与导师交流,在导师的指导下完成第二次修改并定稿;

5、2011-05-21至2011-05-23对论文进行深入研究,弥补不足之处,最后定稿,准备论文答辩。

五、主要参考文献:

[1] [美] 莫里斯?克莱因,古今数学思想,上海科学技术出版社,2002

[2] 华东师范大学数学系编. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.

[3]康国强、华守亮,《数项级数的求和问题初探》[J],殷都学刊(自然科学版),1998年12月,第六卷:3-5

[4]于乃福,《数项级数求和法》[J],,山东纺织工学院学报,1989年3月,第四卷(第1期):75-80

[5]仲济?,《级数求和的解题策略》[J],高等数学研究,2006年5月,第九卷(第3期):36-38

[6] 郭定根,《数项级数求和的若干方法》[J],湘潭师范学院学报,1991年6月,第十二卷(第3期):76-81

[7] 汤光宋,《几类有趣分式型数列的求和公式》[J],大庆高等专科学校学报,1998年12月,第十八卷(第4期):11-15

[8] 潘天娟,《利用解微分方程求无穷级数的和》[J],金华职业技术学报,2006年2月,第六卷(第1期):89-90

[9] 刘珍儒,《一个求无穷级数和的方法》[J],陕西渭南师专