第四章 控制算法的模拟化设计方法1

s(10s 3)
希望满足的性能指标为：(1)阶跃响应的超调量小于20%；（2）
过渡过程时间小于6秒。设计计算机控制系统的数字控制器D(z)。
解：（1）模拟控制器D(s)的设计
设闭环传递函数为典型二节系统
(s)
D(s)G(s) 1 D(s)G(s)
s2
n2 2n
n2
根据超调量、过渡过程时间与阻尼系数 和无阻尼振荡频率 n
dt
T
T是采样周期，k=0,1,2…k，为采样序号
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2.1 标准数字PID控制算法
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u(k
)
K
p
e(k
)
T Ti
k e( j) Td
j0
T
[e(k) e(k 1)]
k
K pe(k) Ki e( j) Kd [e(k) e(k 1)] j0 微分系数
2.1 标准数字PID控制算法
2、模拟PID控制器的离散
化 从微分方程-差分方程（后向差分）：
u(t
)
K
p
[e(t
)
1 Ti
t
e(t)dt
0
Td
de(t ) ] dt
u(t) u(k)
e(t) e(k)
t
k
k
e(t)dt e( j)T T e( j)
0
j0
j0
de(t) e(k) e(k 1)
积分系数
比例系数
上式称之为位置式数字PID算法，因为每次的输出值对应执行
机构的位置。
存在的问题
k
由积分项 e(i) 的存在所产生 j 0
2.1 标准数字PID控制算法
增量式PID控制算法 计算PID控制器输出的相邻两次之差，即输出的增量
u(k) u(k) u(k 1)
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因此，s平面的稳定区域映射到z平面一个以（0,0）为圆心，以1 为半径的单位圆，即稳定的D(s)变换后仍为稳定的D(z)。
第一节 模拟化设计方法的基本原理
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3、零阶保持器法
也叫阶跃响应不变法，即离散化后的数字控制器响应序列与模拟 控制器的阶跃响应采样值相等。
第二节 数字PID控制算法
一、标准数字PID控制算法
标准模拟PID控制器如何描述？ 标准数字PID控制算法如何实现？ 标准数字PID参数如何整定？
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2.1 标准数字PID控制算法
1、标准模拟PID控制器
PID—P：比例（Proportional） I：积分（Integral） D：微分（Differential）
经验规则：在闭环系统的响应中，每个振荡周期至少采样6-10次。
因此，取采样周期T=1s。
（3）求数字控制器D(z)
采用双线性变换法对D(s)进行离散化，得到数字控制器D(z)为
D(z)
7.667 5.667z1 1 0.3333z1
第一节 模拟化设计方法的基本原理
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前提：采样周期足够小 2、离散化设计方法：按照离散控制系统设计控制器，推导出控制 器输出的差分方程。
第一节 模拟化设计方法的基本原理
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一、模拟化设计思想
以经典的连续控制器设计方法为基础，整个系统完全用连续系统 的设计方法来设计，待确定了连续控制器之后，再用合适的离散化方 法将连续的模拟量控制器“离散”处理为数字控制器，以便于计算机 的实现。
R D(S)
Y G(S)
第一节 模拟化设计方法的基本原理
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二、模拟化设计一般步骤
1、设计模拟控制器D(s)
2、选择采样周期T 3、D(s)离散化为D(z) 4、设计控制算法（即D(z)变成差分方程） 5、校验（仿真检验是否达到设计要求）
若没有达到，修改控制器参数（减小T，其它参数则相应修 改），直到达到满意为止。
第四章 控制算法的模拟化设计方法
本章主要内容
第一节 模拟化设计方法的基本原理 第二节 数字PID控制算法 第三节 Smith预估补偿控制算法 第四节 串级控制算法 第五节 前馈-反馈控制算法
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第一节 模拟化设计方法的基本原理
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考虑：前向差分变换法
根据z变换的定义，z esT，利用泰勒级数将其展开，有
z esT 1 Ts (Ts)2 L 2!
当T很小时，上式可近似为
z 1 Ts s z 1 ,则有 T
D(s) D( z) s z1 T
s和z一种近似的映射关系
上式称为前向差分法（欧拉法）。就是在选择一个合适的采样周期 T后，将微分方程中的导数用差分替换，用得到的差分方程近似微分方 程。
第一节 模拟化设计方法的基本原理
映射关系： z Ts 1
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第一节 模拟化设计方法的基本原理
的关系，可以求出： 0.5, n 1
(s)
s2
1 s
1
D(s) 10s 3 s 1
第一节 模拟化设计方法的基本原理
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解：（2）采样周期的选择
由 0.5, n 1 可求得阻尼振荡频率为 d n 1 2
则振荡周期为： Td
2
d
7.25s
解：（3）阶跃响应不变法
D(z)
u(z) e(z)
Z
1
e s
Ts
•
2 (s 2)(s
3)
0.00848z1 0.0072z2 11.5595z1 0.60ห้องสมุดไป่ตู้5z2
整理得差分方程为：
u(k) 1.5595u(k 1) 0.6065u(k 2) 0.008484e(k 1) 0.0072e(k 2)
即：s平面的稳定区域映射到z平面的哪里？
Re(s) Re(1 z1 ) Re( z 1) 0
T
Tz
根据上式，求出z的范围，即可判断对应D(z)的稳定性。
第一节 模拟化设计方法的基本原理
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Re(s) Re(1 z1 ) Re( z 1) 0
连续系统关系式：
u(t)
K
p [e(t )
1 Ti
t
e(t)dt
0
Td
de(t ) ] dt
1
U (s) K pE(s)
传递函数的形式：
K
p
Ti s
E(s)
K
pTd
sE ( s)
U (s)
1
D(s) E(s) K p[1 Tis Td s]
关联型PID
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一、什么是控制算法？
控制器用计算机编程实现的方法，包括：（1）控制器的设 计；（2）控制器的编程实现（能画出程序流程框图即可）。
控制器的设计：要确保系统稳定、并满足稳态指标和动态指标。 控制器的编程实现：要得到控制器输出的差分方程表达式。
二、控制算法的设计方法
1、模拟化设计方法：按照连续控制系统设计控制器，再用合适的 方法将控制器离散化，推导出控制器输出的差分方程。
k
u(k) K pe(k) Ki e( j) Kd [e(k) e(k 1)] j0 k 1
u(k 1) K pe(k 1) Ki e( j) Kd [e(k 1) e(k 2)] j0
u(k) K p[e(k) e(k 1)] Kie(k) Kd [e(k) 2e(k 1) e(k 2)] q0e(k ) q1e(k 1) q2e(k 2)
方法如下：
D(z)
Z
1
eTs s
D(s)
第一节 模拟化设计方法的基本原理
四、基于D(z)的控制算法
数字控制器D(z)的一般形式为：
D(z)
u(z) e(z)
b0 b1z 1 b2 z 2 1 a1z 1 a2 z 2
bm z m an zn
u(z)[1 a1z1 a2 z2 an zn ]
1 1
z z
1 1
第一节 模拟化设计方法的基本原理
稳定性分析：稳定的D(s)是否对应稳定的D(z)？
s 2 1 z1 T 1 z1
2 1 z1
2 z 1
Re(s) Re(
) Re(
)0
T 1 z1
T z 1
z jw
Re(s) Re( jw 1) 0 jw1
2 w2 1
D(z) u(z)
2
e(z)
T
2
1 1
z 1 z 1
2
T
2
1 1
z 1 z 1
3
0.004 11.5573z1 0.6047z2
整理得差分方程为：
u(k) 1.5573u(k 1) 0.6047u(k 2) 0.004e(k)
第一节 模拟化设计方法的基本原理
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2、双线性变换法
也叫图斯汀(Tustin)变换，是一种精度较高的D(s)转换成D(z)的方
法。
sT
z esT
e2
sT
e2
1 sT
1
2 sT
2
取前两项，则得到了s与z的关系：
s
2 T
1 1
z 1 z 1
,
（梯形法）
D( z)
D(s)
s
2 T
第一节 模拟化设计方法的基本原理
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例题1：已知某模拟控制器的传递函数为 D(s)
2
(s 2)(s 3)
试分别用后向差分法、双线性变换法、阶跃响应不变法求出相
应的数字控制D(z)及其差分方程（采样周期T=0.1s）。
解：（1）后向差分法
D(z) u(z)
e(z)[b0 b1z1 b2 z2 bm zm ]
u(k) a1u(k 1) anu(k n)
b0e(k) b1e(k 1) bme(k m)
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u(k) b0e(k) b1e(k 1) bme(k m) [a1u(k 1) anu(k n)]
T
Tz
T为正数，对上式成立与否无影响。令 z jw
Re( jw 1) Re[ ( jw 1)( jw)]
jw
( jw)( jw)
2 w2 0 2 w2
( 1)2 w2 (1)2
2
2
因此，s平面的稳定区域映射到z平面一个以（1/2,0）为圆心，以1/2 为半径的单位圆内的一个小圆，即稳定的D(s)变换后仍为稳定的D(z)。
第一节 模拟化设计方法的基本原理
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三、模拟控制器离散化方法
1、差分变换法
根据z变换的定义，z esT，利用泰勒级数将其展开，有
z1 esT 1 Ts (Ts)2 2!
当T很小时，上式可近似为
z1 1 Ts s 1 z 1 ,则有 T
2
e(z)
1 z1
T
2
1
z T
1
3
1
0.0128 1.6025z1 0.641z
2
整理得差分方程为：
u(k) 1.6025u(k 1) 0.641u(k 2) 0.128e(k)
第一节 模拟化设计方法的基本原理
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解：（2）双线性变换法
说明：上面各种离散化方法在实际中都得到了应用，对于同 一模拟控制器采用不同的离散化方法得到的数字控制器也不 同，从性能上比较，一般认为双线性变换法更接近于模拟控 制器。
第一节 模拟化设计方法的基本原理
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例题2：已知某系统被控对象的传递函数为 G(s) 1
D(s) D( z) s1z1 T
s和z一种近似的映射关系
上式称为后向差分法。就是在选择一个合适的采样周期T后，将微 分方程中的导数用差分替换，用得到的差分方程近似微分方程 。
第一节 模拟化设计方法的基本原理
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稳定性分析：近似后，稳定的D(s)是否对应稳定的D(z)？
（4）写出控制器编程实现的差分方程
u(k) 0.33u(k 1) 7e(k) 6.33e(k 1)
（5）仿真校验
设计完成后，需要对整个闭环控制系统进行仿真，以校验系统 的性能是否达到要求。
校验结果：超调量将近50%，过渡过程时间约12秒。 再设计：采样周期T取0.3秒，系统性能满足要求。
1、通过上例也可以看出，只有T很小时，才能通过近似模拟控制器得到数 字控制器。 2、本例matlab演示：（1）c2d指令的用法；（2）计算机控制系统的仿真 方法；（3）仿真说明T对控制性能的影响。