2020年中考数学试题分类：相似三角形 含解析

2020年中考数学试题分类汇编之十

相似三角形

一、选择题

1．（2020成都）（3分）如图，直线123////l l l ，直线AC 和DF 被1l ，2l ，3l 所截，5AB =，6BC =，4EF =，则DE 的长为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．

10

3

解：直线123////l l l ，∴

AB DE

BC EF

=， 5AB =，6BC =，4EF =，∴

564

DE =， 103

DE ∴=

， 选：D ．

2．（2020哈尔滨）（3分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作//EF BC ，交AD 于点F ，过点E 作//EG AB ，交BC 于点G ，则下列式子一定正确的是( )

A ．

AE EF

EC CD

= B ．

EF EG

CD AB

= C ．

AF BG

FD GC

= D ．

CG AF

BC AD

= 解：//EF BC ，∴AF AE

FD EC

=， //EG AB ，∴

AE BG

EC GC

=， ∴

AF BG

FD GC

=， 故选：C ．

3.（2020河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（）

A. 四边形NPMQ

B. 四边形

NPMR

C. 四边形NHMQ

D. 四边形

NHMR

解：如图所示，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ．

故选：A

4.（2020四川绵阳）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD

＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，若BB′＝2，则AA′＝（）

A．B．2C．D．

解：过D作DE⊥BC于E，

则∠DEC ＝∠DEB ＝90°， ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠DAB ＝∠ABC ＝90°， ∴四边形ABED 是矩形， ∴BE ＝AD ＝2，DE ＝AB ＝2

，

∵将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转后得△A ′B ′C ，

∴∠DB ′C ＝∠ABC ＝90°，B ′C ＝BC ，A ′C ＝AC ，∠A ′CA ＝∠B ′CB ， ∴△A ′CA ∽△B ′CB ， ∴

＝

，

∵△B ′CD 为等腰三角形， ∴△B ′CD 为等腰直角三角形， ∴CD ＝

B ′

C ，

设B ′C ＝BC ＝x ，则CD ＝x ，CE ＝x ﹣2，

∵CD 2＝CE 2+DE 2， ∴（

x ）2＝（x ﹣2）2+（2

）2，

∴x ＝4（负值舍去）， ∴BC ＝4， ∴AC ＝＝2，

∴

＝

，

∴A ′A ＝，

故选：A ．

5.（2020无锡）如图，等边ABC ∆的边长为3，点D 在边AC 上，1

2

AD =

，线段PQ 在边BA 上运动，1

2

PQ =

，有下列结论：

①CP 与QD 可能相等；②ΔAQD 与BCP ∆可能相似；③四边形PCDQ

面积的最大值为

；④四边形PCDQ

周长的最小值为3+．其中，正确结论的序号为（ ）

A. ①④

B. ②④

C. ①③

D. ②③

解：①∵线段PQ 在边BA 上运动，12

PQ =， ∴QD P AP C ≤＜,

∴CP 与QD 不可能相等，则①错误； ②设AQ x =， ∵1

2

PQ =

，3AB =， ∴1

3-

=2.52

AQ ≤≤0，即 2.5x ≤≤0， 假设ΔAQD 与BCP ∆相似， ∵∠A=∠B=60°，

∴AD AQ BP BC =，即

1

21332

x x =--， 从而得到22530x x -+=，解得1x =或 1.5x =（经检验是原方程的根）， 又 2.5x ≤≤0，

∴解得的1x =或 1.5x =符合题意， 即ΔAQD 与BCP ∆可能相似，则②正确；

③如图，过P 作PE ⊥BC 于E ，过F 作DF ⊥AB 于F ，

设AQ x =，

由12PQ =

，3AB =，得1

3-=2.52

AQ ≤≤0，即 2.5x ≤≤0， ∴1

32

PB x =-

-，

∵∠B=60°，∴132P x E --=

⎫⎪⎝⎭

，

∵12AD =

，∠A =60°，∴1224

DF =⨯=

,

则1115332222PBC

S

BC PE x x ⎫⎫=

⨯=⨯--=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭

，

1122DAQ

S

AQ DF x x =

⨯=⨯=， ∴四边形PCDQ 面积为：

153+22428

88ABC PBC DAQ

S

S S

x x x ⎛⎫

--=⨯⨯---= ⎪⎝⎭, 又∵ 2.5x ≤≤0，

∴当 2.5x =时，四边形PCDQ 面积最大，最大值为：

+ 2.5=

8816

，

即四边形PCDQ 面积最大值为16

， 则③正确；

④如图，作点D 关于直线AB 的对称点D 1，连接D D 1，与AB 相交于点Q ，再将D 1Q 沿着

AB 向B 端平移PQ 个单位长度，即平移

1

2

个单位长度，得到D 2P ，与AB 相交于点P ，连接PC ，

∴D 1Q=DQ=D 2P ，1121

2

AD D D AD ===

，且∠AD 1D 2=120°， 此时四边形PCDQ 的周长为：2CP DQ CD PQ CD CD PQ +++=++，其值最小，