第7章波动率模型.ppt

q

0

i 1


i
t i
ht i
i
t i
ht i



p
j
j 1
Fra Baidu biblioteklog
ht j
EGARCH(1,1)模型
log ht
0
t 1
ht 1

t1 log
ht 1
ht 1
说明：
在这个模型中，εt >0和εt< 0对条件方差有不同影响：好消息

t ht et ,
et
i.i.d. N 0,1

ht
0

1
2 t 1
1ht1
其中0 0,1 0, 1 0,1 1 1
GARCH-M模型
金融理论表明具有较高可观测到的风险的资产可以 获得更高的平均收益，其原因在于人们一般认为金 融资产的收益应当与其风险成正比，风险越大，预 期的收益就越高。
异方差的分类
异方差一般可分为以下三种类型：
单调递增型，单调递减型，复杂型。
方差齐性残差图
递增型异方差残差图
异方差的检验
图示法
残差图检验法：以时间t为横轴，残差εt为纵轴，画出 散点图，观察残差是否具有趋势性或周期性.
残差平方图检验法：E(εt2)=σε2，以时间t为横轴，残差 平方εt2为纵轴，画出散点图，观察残差是否具有趋势 性或周期性.
在以前信息集的条件下，某一时刻的残差服从正态分布，而且该正 态分布的均值为零。又方差是一个随时间变化的量——条件异方差, 并且这个随时间变化的方差是过去有限项残差项平方的线性组合— —自回归形式。
ARCH模型的结构
称为ARCH项，在 EVIEWS中用ARCH(i) 或RESID(-i)^2表示
这种利用条件方差表示预期风险的模型被称为依均 值GARCH (GARCH-in-mean，简称GARCH-M)模型， 在GARCH-M中我们把条件方差函数引进到均值方程 中。
GARCH-M模型
q
p
ht 0

i
2 t i

jht j g ht
i 1
j 1
i 1
j 1
p是GARCH 项的阶数，q是ARCH 项的阶数
i
2 t i
称为ARCH
项，
i
在EVIEWS中用RESID

i

2表示
jht j称为GARCH项， j在EVIEWS中用GARCH j 定义
GARCH(1,1)模型
Xt f t, Xt1, Xt2 , t
主要有三种形式：
把条件方差引进到均值方程中
X t f t, X t1, X t2 , ht t



t

ht et , et
i.i.d. N 0,1


ht
0

q

i
2 t i

p
j ht j

i 1
j 1
GARCH-M模型
说明：
ARCH(q)的误差项εt在已知前t-1时刻所有信息的条件下，
服从N(0, ht)
εt的条件异方差
ht
0

1
2 t 1

2
2 t2

qt2q
是过去的波动干扰εt-i对市场未来的波动的影响，q决定了
影响的持续时间。
GARCH模型
X t f t, X t1, X t2 , t
有一个 +φ 的冲击；坏消息有一个 -φ 的冲击。
如果φ 0，则信息是非对称的；如果φ <0 ，我们说存在杠杆 效应，非对称效应的主要效果是使得波动加大；如果φ >0， 则非对称效应的作用是使得波动减小。
杠杆效应的存在能够通过φ <0的假设得到检验。
EViews5的对话框
log ht
ARCH LM 检验的原理：
原假设：残差中直到q阶都没有ARCH F统计量是对所有滞后平方残差联合显著性所作的检验，
Obs*R2统计量是LM检验统计量。
残差平方相关图检验
平方残差相关图可以用来检查残差自回归条件异方差性 如果残差中不存在ARCH，在各阶滞后自相关系数和偏
自相关系数应为0，且Q统计量应不显著。 显示残差平方εt2相关图和Q-统计量，选择View/Residual
EViews5的对话框
ht
0


2 t 1
ht1
t21dt1
ht

0.037

0.24


2 t 1
0.956 ht1

0.399


d 2
t1 t
1
结果表中的
(RESID)*ARCH(1) 项是公式中的φ， 也称为TARCH项。
在上式中，非对 称项TARCH的系 数φ=-0.3999，且 显著不为零。
TARCH模型
TARCH或者门限(Threshold)ARCH模型由Zakoian(1990)和 Glosten，Jafanathan，Runkle(1993)独立的引入。
模型结构：
Xt f t, X t1, X t2 , t



t

ht et , et
Xt f t, Xt1, Xt2, ln ht t



t

ht et , et
i.i.d. N 0,1
ht 0
q

i
2 t i

p
j ht j

i 1
j 1
GARCH-M模型通常用于关于资产的预期收益与预期风险紧密 相关的金融领域。预期风险的估计系数是风险收益交易的度量.
ARCH模型是1982年由恩格尔(Engle, R.)提出，并由博勒斯 莱文(Bollerslev, T., 1986)发展成为GARCH (Generalized ARCH )—广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用 于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。
ARCH模型的基本思想：
把条件方差的标准差 引进到均值方程中
把条件方差的对数形 式引进到均值方程中


X
t

f
t, X t1, X t2 ,

ht t


t

ht et , et
i.i.d. N 0,1

ht 0
q
i
2 t i

p
j ht j

i 1
j 1
0
t 1
ht 1

t1 log
ht 1
ht 1
在这个EGARCH 模型中，利好消息
的冲击：
0.306+(-0.07)=0.236; 利空消息的冲击：
0.306+(- 0.07 ) (-1) = 0.376。 利空消息能比等量 的利好消息产生更 大的波动，存在杠 杆效应。
Tests/Correlogram Squared Residual
GARCH模型拟合步骤
回归拟合 残差的纯随机性检验 残差的异方差检验 ARCH模型定阶 参数估计 正态性检验
对某大豆期货时间序列X建模
时间序列图 直观上：可以发
现序列非平稳
直方图和相关统计量
X的相关图
方差方程： 建立GARCH(1,1) 模型
Xt f t, Xt1, Xt2 , t

t ht et , et
i.i.d. N 0,1

ht
0

1
2 t 1


2
2 t2



q
2 tq
均值方程 方差方程
ht为条件异方差,0 0,i 0,1 2 q 1
解析法
第二节 条件异方差模型
条件异方差模型
ARCH模型 GARCH模型 异方差模型的推广形式
GARCH-M模型 TARCH模型 EGARCH模型
ARCH模型
ARCH模型的全称：自回归条件异方差模型(Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model)
EGARCH模型
EGARCH模型或Exponential GARCH模型由Nelson 在1991年提出。
模型结构：
非对称项
X t f t, X t1, X t2 , t

t ht et , et i.i.d. N 0,1

log ht
t 1 t
1
,
其中dt
1 0
说明：
t 0 t 0
在这个模型中，好消息(εt>0)和坏消息(εt<0)对条件方差有
不同影响：好消息有一个 的冲击；坏消息有一个+φ 的
冲击。
如果φ 0，则信息是非对称的，如果φ > 0 ，我们说存在杠 杆效应，非对称效应的主要效果是使得波动加大；如果 φ < 0 ，则非对称效应的作用是使得波动减小。
结论：
残差平方具有 相关性，即残 差具有异方差
残差的异方差检验(2)
方法二：ARCH LM 检验
检验时要求输入ARCH检验的滞后阶数，这可以从前面的 残差平方序列的相关图得到一点信息。
结论：拒绝原假设，残差具有异方差 应建立异方差模型，把刚才建立的模型修正一下
异方差模型
均值方程：与刚 才的模型一样
异方差的定义
ARMA,ARIMA和SARIMA等模型对残差有以下假定：
零均值：Eεt=0 纯随机性：Cov(εs, εt)=E(εsεt)=0，(t≠s) 方差齐次性： Var(εt)=σε2
异方差的定义
随机误差序列的方差不是常数，会随着时间的变化而变化
异方差的影响
忽视异方差的存在会导致残差的方差会被严重低估，继而 参数显著性检验容易犯纳伪错误，这使得参数的显著性检 验失去意义，最终导致模型的拟合精度受影响。
异方差检验(ARCH 检验)
对模型的残差进行异方差检验，确定是否 需要建立异方差模型
主要方法：
ARCH LM 检验 残差平方相关图检验
ARCH LM 检验
Engle(1982)提出对残差中自回归条件异方差进行拉格朗 日乘数检验(Lagrange multiplier test)，即 LM检验。
第七章 波动率模型
第七章 波动率模型
背景：
大量的经济和金融时间序列呈现出了随时间变化的 波动性，即时间序列二阶矩的时变性。
近20年来，描述金融市场波动性的模型---自回归异 方差模型(ARCH模型)。
内容：
第一节 异方差的定义与检验 第二节 条件异方差模型
第一节 异方差的定义与检验



t

ht et , et
i.i.d. N 0,1
ht 0
q

i
2 t i

p
j ht j

i 1
j 1
当p=0时，
GARCH(0,q) 即为ARCH(q)
q
p
其中p 0, q 0,0 0,i 0, j 0, i j 1
i.i.d. N 0,1
ht 0
q

i
2 t i

p

hj t j


d 2
t 1 t
1
其中dt

1 0

i 1
j 1
t 0 t 0
TARCH项
TARCH模型
TARCH(1,1)模型结构：
ht
0


2 t 1
ht1


d 2
Xt Xt1 t 即Xt Xt1 t
接下去：看一下是 否需要建异方差模 型？
建随机游走模型
可作Xt关于Xt-1 的线性回归
然后进行残差 检验：
纯随机性检验 异方差检验
(有两种方法)
残差的纯随机性检验
结论：残差为 纯随机序列
残差的异方差检验(1)
方法一：残差 平方的相关图
EViews5的对话框
非对称ARCH模型
模型背景：
对于资产而言，在市场中我们经常可以看到向下运动通 常伴随着比同等程度的向上运动更强烈的波动性。
为了解释这一现象，Engle(1993)描述了如下形式的对好 消息和坏消息的非对称信息曲线：
波动性
0
信息
非对称ARCH模型
模型分类：
TARCH模型 EGARCH模型
自相关系数缓 慢下降
结论：序列X 非平稳
序列平稳化： 差分
原序列X的单位根检验
结论：序列X有单位根 问题：有几个？
一阶差分序列的单位根检验
结论：一阶差分序列D(X)没有单位根 总结：序列X有1个单位根
一阶差分序列的相关图
一阶差分序列D(X) 是白噪声序列，即 原序列X是一个随 机游走模型：