第7章波动率模型.ppt
随机波动率模型PPT课件
:
( 1
,
2 1
2
)=(h
,
2 h
)
则有以下：
但是，也正是因为SV 模型中包含着潜在变量，涉及的似然函 数和无条件矩要通过高维积分来计算，极大似然法不能直接求 解。
7
2.SV模型的矩条件
❖ 之所以要先介绍矩条件，是因为模型估计方法要用
❖ 原点矩
E[XP]= x p f (x)dx
性质1：GMM估计量是相合的，即ˆT P
性质2：1
T
T t i
ft ( ) d (0, S), S是N * N正定矩阵
则ˆT 渐进服从正态分布，渐进方差 — 协方差矩阵为：
A
var(ˆT
)
(GWG)
1GTWSWG(G
WG)1
,
其中G
E[
ft (
s 1 s2 2
e 2 ,s ¡
它们在计算SV模型的矩条件时使用。
9
SV模型（ =0 ）
对于 SV 模型（t =0， =0）
rhtt
eht
/2 zt , zt : iidN (0,1)
ht1 vt , 0
1, vt
:
iidN (0,1)
8)
11
❖ （3）其他矩条件（Jacquier、Polson、Rossi(1994)）：
E[rt2rt
2 i
]
exp(2h
2 h
(1
i ))
E[
rt rti
]
2
exp(h
2 h
波动率
波动率研究一、波动率概念波动率是金融资产价格的波动程度，是对资产收益率不确定性的衡量，用于反映金融资产的风险水平。
波动率越高，金融资产价格的波动越剧烈，资产收益率的不确定性就越强；波动率越低，金融资产价格的波动越平缓，资产收益率的确定性就越强。
二、波动率的分类1、隐含波动率隐含波动率是将市场上的权证交易价格代入权证理论价格模型，反推出来的波动率数值。
从理论上讲，要获得隐含波动率的大小并不困难。
由于期权定价模型(如BS模型)给出了期权价格与五个基本参数(标的股价、执行价格、利率、到期时间、波动率)之间的定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权的实际市场价格作为已知量代入定价公式，就可以从中解出惟一的未知量，其大小就是隐含波动率。
因此，隐含波动率又可以理解为市场实际波动率的预期。
2、历史波动率历史波动率是指投资回报率在过去一段时间内所表现出的波动率，它由标的资产市场价格过去一段时间的历史数据（即St的时间序列资料）反映。
这就是说，可以根据{St}的时间序列数据，计算出相应的波动率数据，然后运用统计推断方法估算回报率的标准差，从而得到历史波动率的估计值。
显然，如果实际波动率是一个常数，它不随时间的推移而变化，则历史波动率就有可能是实际波动率的一个很好的近似。
3、预测波动率预测波动率又称为预期波动率，它是指运用统计推断方法对实际波动率进行预测得到的结果，并将其用于期权定价模型，确定出期权的理论价值。
因此，预测波动率是人们对期权进行理论定价时实际使用的波动率。
这就是说，在讨论期权定价问题时所用的波动率一般均是指预测波动率。
需要说明的是，预期波动率并不等于历史波动率，因为前者是人们对实际波动率的理解和认识，当然，历史波动率往往是这种理论和认识的基础。
除此之外，人们对实际波动率的预测还可能来自经验判断等其他方面。
4、已实现波动率已实现波动率是针对频率较高的数据计算的一种波动率，又称为日内波动率或高频波动率。
高频数据是指以小时、分钟或秒为采集频率的数据。
波动率模型
Consequently, m4 =
the conditional variance of a return.
Chapter 3 Conditional Heteroscedastic Models
(3)
Two general categories of conditional heteroscedastic models:
- exact function - stochastic equation
Chapter 3 Conditional Heteroscedastic Models
November 30, 2014
Introduction
The objective of this chapter is to study some econometric methods for modeling the volatility of an asset return. Volatility is an important factor in options trading.
Chapter 3 Conditional Heteroscedastic Models
3.3 Model Building
Building a volatility model consists of four steps:
1
Specify a mean equation for the return series to remove any linear dependence. (e.g., removing the sample mean, or an ARMA model) Use the residuals of the mean equation to test for ARCH effects. Specify a volatility model if ARCH effects are statistically significant, and perform a joint estimation of the mean and volatility equations. Check the fitted model carefully and refine it if necessary.
量化投资中的波动率模型
神经网络模型
神经网络是一种模拟人脑神经元网络结构的计算模型 ，由多个神经元相互连接而成。在股票波动率预测中 ，神经网络通常采用历史价格数据作为输入特征，预 测未来的波动率。
神经网络模型的优点在于其可以自适应地学习和处理复 杂的非线性关系，同时其结构可以根据问题的需要进行 灵活调整。然而，神经网络模型容易过拟合，并且其性 能高度依赖于训练数据的质量和数量。
详细描述
通过对历史数据法、统计理论法和机器学习法等不同 模型的比较分析，我们可以发现各种模型的优缺点和 适用范围。例如，历史数据法简单易用，但可能受到 历史数据和市场环境变化的影响；统计理论法较为严 谨，但需要足够的样本数据和假设条件；机器学习法 精度较高，但需要大量的训练数据和计算资源。此外 ，还需要对不同模型进行案例研究，以检验模型的准 确性和可靠性。
要点二
详细描述
统计理论法通常采用随机游走、自回归模型、GARCH模型 等统计模型来描述市场数据的分布特征和波动性，从而预 测未来市场的走势和波动率。此外，还可以通过分析不同 市场指数之间的相关性，预测市场指数之间的联动关系和 风险传递效应。
基于机器学习的实证分析
总结词
机器学习法是一种基于人工智能的方法，通过训练大量 数据来学习市场的内在规律和特征，从而预测未来市场 的走势和波动率。
指数加权移动平均模型
总结词
指数加权移动平均模型是一种基于历史数据的波动率模 型，它根据时间的远近为不同时期的平均值分配不同的 权重，且权重呈指数递减。
详细描述
指数加权移动平均模型的基本原理是，为近期的价格变 动分配较大的权重，且权重随着时间的推移呈指数递减 。这可以更好地反映近期价格变动对未来波动率的影响 。指数加权移动平均模型的计算公式为：EMA(n) = (1 α) * EMA(n-1) + α * Pn，其中EMA(n)表示指数加权移 动平均值，α表示平滑因子，Pn表示第n天的价格。
随机波动率模型表达式
随机波动率模型表达式
随机波动率模型(Stochastic Volatility Model)是一种用于描述金融市场波动率的模型。
具体的表达式可能因模型而异，但一般可以表示为以下形式：
1. 平方跳跃：该模型假设波动率的变化是随机的，并且遵循某种随机过程。
通常，波动率的平方(即波动率的平方)被建模为随机过程。
2. 随机波动率模型：该模型假设波动率是随机的，并且遵循某种随机过程。
这个随机过程通常由一组随机微分方程描述，其中包含一些未知的参数和随机变量。
这些模型试图通过模拟波动率的变化来更准确地预测金融市场的价格行为。
然而，这些模型的具体表达式可能因不同的假设和参数而异。
波动率讲解 PPT
例
估计一个变量服从均值为0得正态分布得方差
Maximize: or:
This gives:
n i1
1 2v
exp
ui2 2v
n
i 1
ln(v)
ui2 v
v
1 n
n i 1
ui2
GARCH(1,1)得应用
选择参数,最大化下式
n
i 1
ln(vi
)
ui2 vi
日元汇率数据得计算
/ 2)T
d1
T
VIX指数 VIX指数就是S&P500指数得波动率指数
VIX指数
VIX 就是芝加哥期权期货交易所 使用得市场波动性指数。通过该指数,可以了解 到市场对未来30天市场波动性得预期。
VIX由CBOT(芝加哥期权期货交易所)编制,以S&P500指数期权得隐含波动率计算 得来(1993年从8只成分股为基础计算,现在覆盖了标普500所有成分股)。若隐含 波动率高,则VIX指数也越高。该指数反映出投资者愿意付出多少成本去对冲投资 风险(用股票期权对冲风险得成本)。因此,VIX广泛用于反映投资者对后市得恐慌 程度,又称“恐慌指数”。指数愈高,意味着投资者对股市状况感到不安;指数愈低, 表示股票指数变动将趋缓。
日波动率得最新估计为每天1、53%
GARCH(p,q)
p
q
2 n
w
aiun2i
j
2 n
j
i 1
j 1
其它模型
许多其它得GARCH模型已被提出 比如,我们可以设计一个GARCH模型,使其赋予 ui2 得权重依赖
于 ui 得正负值
方差目标
一种估计GARCH(1,1)参数得很好方法就是所谓得方差目标 将长期平均方差设定为由数据计算出得抽样方差 模型只需要估计两个参数
波动率PPT课件
不同的标准下，波动率可以进行不同的分类，这里按照 波动率的计算方法与应用不同，将波动率分为：隐含波动 率、历史波动率和已实现波动率(高频波动率/日内波动率) 等几类。
隐含波动率 历史波动率 1预2 测波动率 已实现波动率 其他高频波动率
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隐含波动率
S
T
r
其中： 2
—期权价格；
—期权执行价格N(d；),N(— d ) 标的资产即
1
2
期率价；格—；年—度期化权方有差效，期隐；含— 波率连；续21 复X利eX2计2d— x无标风准险正利态
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历史波动率的估计
也是一种静态波动率的估计，假定一定时期内波动 率保持不变。
目前，最常用的条件异方差模型是GARCH(1,1)模型， 基本能反映金融时间序列方差(或波动率)的特征。
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ARCH模型法：
在模型中，我们也可以给长期方差率指定权重，VL为长期
平均方差
2 n
VL
u m
2
i1 i ni
三个8 层次
波动率估计（方法研究）
波动率特征（自相关、长记忆、杠杆效应）
波动率预测（参数估计、模型评价）
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波动率研究发展的三个阶段
从纵向看，波动率模型经历了三个发展阶段： 第一个阶段：经典的金融分析模型中的波动率，如Black-Scholes的期权定价模型，这些模型假定市场收益率呈正 态分布，波动率是恒定的，遵从随机游走过程。 第二个阶段：Engle(1982)提出了ARCH模型，Bollerslev(1986)把这个模型一般化，得到GARCH，由此产生出 一个新的条件波动率研究领域，条件波动率模型层出不穷，它们大多是对GARCH的拓展，以更好的模拟某种特定 的市场效应。与此同时，Taylor(1986)、Hull和White(1987)以及Chesney和Scott(1989)提出了随机波动率模 型。随机波动率模型更易于写成连续形式，往往用于对衍生工具的理论分析（例如期权定价）。 第三阶段：近十年来，用高频分时数据估计波动率的方法开始流行，Andersen、Bollerslev、Diebold、Labys等 （1998、1999、2000、2001）对此方法进行了一系列的研究。以往的波动率都是无法观测到的，它们隐含在价 格曲线或收益率曲线中，人们只能通过收益曲线的时间序列来估计随机波动率模型的参数，继而预测波动率以及评 价各种波动率模型。高频估计能得到准确的波动率估计值，因而可以把波动率的高频估计当做一个观测到的时间序 列，以此为基础，波动率的实证检验和预测研究将能大大拓展。
随机波动率ppt课件
另一种解释是Stock（1988）提出的时间 扭曲观，这种观点认为是因为经济事件 的发生时间与日历时间不一致。
.
波动性的特征
（3）波动非对称性：不同种类的信息对股价 波动的影响不对称，下跌引起的波动比上升引 起的波动大
一种解释是杠杆效应：指股价运动与波动呈现 出负相关的关系。即下降的股价将提高资产负 债比（财务杠杆），因此提高了公司的风险， 从而导致未来波动的上升。
dxadb t dz
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。
.
Markov过程
Markov过程是一种重要的随机过程，它 有如下性质：
当随机过程在时刻ti所处的状态已知时， 过程在时刻t(t>ti)所处的状态仅与过程在 ti时刻的状态有关，而与过程在ti时刻以 前所处的状态无关。此特性称为随机过 程的无后效性或马尔可夫性。
考察变量z在一段较长时间T中的变化情
形，我们可得：
N
z(T)z(0)i
t
i1
当 t0时，我们就可以得到极限的标准
布朗运动：
dz dt
.
普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1。
我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值 为b2，就可得到变量x的普通布朗运动
另一种解释是如果投资者在趋势十分明 显前忽略了信息，然后以累积的方式对 所有以前被忽略的信息作出反应，就会 得到厚尾。
因此，许多文献提出把资产收益作为厚 尾分布抽取的独立同分布序列建模。假 定误差项服从t分布或广义误差分布等非 正态的厚尾分布，以较好刻画尖峰厚尾 的特征。
.
波动性的特征
金融市场中的波动率模型与资产定价
金融市场中的波动率模型与资产定价在金融市场中，波动率模型被广泛应用于资产定价和风险管理。
波动率是指资产价格波动的程度，它是金融市场风险的重要度量指标。
波动率模型是对资产价格波动的预测，准确的波动率模型可以帮助投资者制定更为有效的投资策略和风险管理计划。
本文将探讨金融市场中的波动率模型与资产定价的关系，并分析不同波动率模型的特点及适用范围。
一、波动率与资产定价波动率是资产价格波动的程度，波动率越高则表明市场风险越大，投资者需要承担更高的风险。
根据资产定价理论，资产价格的合理价格应当等于其未来现金流的现值。
而波动率对资产价格具有影响，高波动率会导致资产价格下跌，反之亦然。
因此，波动率模型是资产定价的重要基础。
二、波动率模型的种类目前市面上的波动率模型有许多种类，常见的有历史波动率模型、隐含波动率模型和蒙特卡罗模拟模型。
1.历史波动率模型历史波动率模型是根据过去资产价格波动的历史数据进行预测。
该模型的优点是简单易懂，易于应用；缺点是过于依赖历史数据，无法捕捉市场变化和突发事件的影响。
2.隐含波动率模型隐含波动率模型是基于期权市场上的隐含波动率进行预测，期权价格反映了市场对未来波动率的预期。
该模型的优点是能够反映市场对未来波动率的预期，适用于固定收益类资产；缺点是需要大量数据支持，对期权市场反应速度要求高，且容易受到市场异常波动的影响。
3.蒙特卡罗模拟模型蒙特卡罗模拟模型是通过随机模拟资产价格的变化，进而推算出波动率的模型。
该模型的优点是能够模拟出市场的复杂性和相互关系，能够处理大量不确定因素；缺点是计算量大，需要高质量的随机数生成器，且不适用于所有资产类型。
三、选择合适的波动率模型波动率模型的选择要根据所研究的资产类型、市场趋势和投资者风险偏好等因素进行综合考虑。
一般来说，随着市场变化和投资者风险偏好的不同，波动率模型应当随时进行调整。
对于固定收益类资产，隐含波动率模型可以较好地反映市场预期，历史波动率模型则更加适用于股票市场的短期波动。
郑振龙金融工程第7章
∂f Π= f − S ∂S
要求交易成本项,关键要获得n值，显然：
∂f ∂f n= ( S + ∆S , t + ∆t ) − ( S , t ) ∂S ∂S
Copyright@Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
H-W-W模型推导
构造无风险组合 ∆t之后 ,整个组合价值的变化相应减少：
2 ∂f ∂f 1 2 2 ∂ f E[ ∆Π] = E ∆f − ∆S − kS n = + σ S 2 ∆t − E kS n （7-1） ∂S ∂t 2 ∂S
dS = rdt + V dzS S dV = a ( b − V ) dt + ξV α SdzV
Copyright@Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
随机波动率对定价的影响
当波动率是随机的，且与股票价格不相关时，欧式期权 的价格是BS价格在期权有效期内平均方差率分布上的积 分值：
Copyright@Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
随机波动率模型
一般模型 dS = µ Sdt + σ Sdz1
dσ = p ( S , σ , t ) dt + q ( S , σ , t ) dz2
股票风险中性的随机波动率模型 （Hull等）
GARCH模型
GARCH模型可以分为多种，其中最常见的是 GARCH(1,1)模型：
波动率
一波动率计算波动率模型1.显示数据范围最近一年,例今日2010/11/8,范围默认2009/11/8-2010/11/8,最大10年2.周期默认日线图1年,可选2年,周线图,月线图,季线图,年线图.3.周期为日, 年化系数默认260可输入;周期为周,年化系数默认52可输入4.证券可输入股票5.历史默认5 15 30 50, 选取计算波动率的取值时间范围6.模型默认历史法算法1.传统波动率模型(CLA模型)传统模型为波动模型的基础模型，也是运用最广泛的波动模型之一, 表达公式为：Xi=Ln(P i+1/P i)σ: 波动率, Volatility n: 观察值的数量X：资产的平均对数收益Xi：资产的对数收益Pi+1：当日价格Pi：前日价格基础波动率计算过程中应注意的事项：1.对观察值的取值只取每天的收盘价；2.对数的计算应为现值比前值，如Ln（P12/P11）；3.对数取值应比实际观察数量少1（n-1）；4.计算所得的基础波动率应按取值的频率对应年化，如：按日取值的基础波动率年化应乘以根号260。
1) 周期: 1年日线1.周期: 1年日线, 为一年历史数据. 样本数据为每日价格. Pi+1：当日收盘价格;Pi：前日收盘价格2.X i+1=LN(P i+1/P i),从最初的数据开始,X2=LN(P2/P1)3.15日为例:STEDV15(X2:X15)----- STEDV16(X3:X16)----4.Volatility15= STEDV15(X2:X15) * SQRT(260),其中260为年化天数,用户可自己手工录入2) 周期:1年周线1. 周期:1年周线为一年周线历史数据,样本数据为每周价格.Pi+1:当周价格;Pi: 前周价格2. 高低价波动率模型(PKM ParKinson 模型)公式：21)(241i i n i L H Ln nLn ∑==σσ: 波动率Volatility n: 观察值的数量 Hi ：当日最高价 Li ：当日最低价 推荐计算步骤：1. 计算当日最高与最低的对数；2. 求对数平方的和；3. 计算常值241nLn 4. 将步骤2、3的结果相乘，并开方，所得结果即为PKM 波动率5. 根据取值频率相应年化1) 周期: 1年日线1. 周期: 1年日线, 为一年历史数据. 样本数据为每日价格. Hi ：当日最高价; Li ：当日最低价2. X i =(LN(Hi/Li))2, 从最初的数据开始,X 1=(LN(Hi 1/Li 1))23. 以30日为例: sum(X 1: X 30)4. 常数: 241nLn , n 为观察值数量 5. 30日: SQRT(sum(X 1: X 30)/ (4*30Ln2))6. Volatility 30= SQRT(sum(X 1: X 30)/ (4*30Ln2))*SQRT(260),其中260为年化天数,用户可自己手工录入2) 周期:1年周线1. 周期:1年周线,为一年周线历史数据,样本数据为每周价格.Hi:周线最高点;Pi: 周线最低点)3. Rogers 与 Satchell 模型(R&S 模型)模型公式：)(1n 1OL Ln C L Ln O H Ln C H Ln n i +=∑=σ σ：波动率 n ： 观察值数量 H ：当日最高值 L ：当日最低值 O ：当日开市值 C ：当日收市值计算R&S 模型公式的步骤建议如下：1. 求各组对数的值：C H Ln ，O H Ln ，C L Ln 和OL Ln ； 2. 合计所有对数乘积的和，除以对象值数量，如10日应除以10,30日应除以30等；3. 开根号，得到单日波动率；4. 将得到的单日波动率年化，即乘以根号260，如遇周数据或月数据应年化乘以根号52或根号12，以此类推；1) 周期: 1年日线1. 周期: 1年日线, 为一年历史数据. 样本数据为每日价格. H ：当日最高价; L ：前日最低价 O ：当日开始值 C ：当日收市值;2.X= C H Ln *O H Ln +C L Ln *OL Ln ； 3. 以30日为例: SQRT(sum(X 1: X 30)/30)4. Volatility 30= SQRT(sum(X 1: X 30)/30)*SQRT(260),其中260为年化天数,用户可自己手工录入2) 周期:1年周线1. 周期:1年周线,为一年周线历史数据,样本数据为每周价格.H:周线最高点;L: 周线最低点 O: 当周开盘价 C: 当周收市价4. Garman 与Klass 模型(G&K 模型)该模型是在PKM 模型的基础上通过对偏离程度的衡量而形成的另一种波动公式：21121)(383.0)2(019.0)(511.0O C Ln n O L Ln O H Ln O C Ln O L Ln O C Ln L H Ln n L H Ln n n i n i n i ∑∑∑===--+-=σσ：波动率n ： 观察值数量H ：当日最高值L ：当日最低值O ：当日开始值C ：当日收市值由于GK 公式的复杂性，建议计算步骤如下：1.计算各对数值: Ln(H/L), Ln(C/O), Ln(L/O),Ln(H/O)； 2.计算Ln(H/L)平方, Ln(H/L)* Ln(C/O), Ln(L/O)* Ln(C/O),Ln(H/O)* Ln(L/O)和Ln(C/O)平方； 3.乘以各自系数并处以n ，如10日取值则应除以10； 4.所得波动率按周期年化，如乘以根号252；月数据则应乘以根号12； 5. 应注意第二项系数为0.019而非0.195、 GARCH 模型对于平稳的时间序列i y （一般情况下取股价的收益率乘以100作为计算的标准，这样可以确保指数是平稳的），建立GARCH 模型：（a ）：0t y αε=+t z ε= ()iid 0,1t z N如果t h 是t ε的基于过去信息的条件方差，并且满足（b ）：201121t t t h h γγεγ--=++则称（a ）与（b ）为GARCH （1，1）模型，这里（a ）称为均值方程，（b ）称为条件方差方程，从（b ）式可以看到某一特定时期的随机误差的方差t h 不仅取决于以前的误差211t γε-（ARCH 项），还取决于早期的方差21t h γ-（GARCH 项）。
汽车发动机原理第7章 特殊燃烧问题课件
2．爆燃性表面点火
程度严重或长时间的早火，往往会引起爆燃性表面点火， 也称激爆，其危害程度比普通爆燃更甚。由于表面点火的产生 ，使发动机实际着火时间提前，导致爆燃产生，而爆燃又明显 提高了燃烧室的温度水平，使表面点火愈发严重，两者相互促 进，导致激爆产生。此时压力升高率为正常值的5倍，最高燃 烧压力为正常燃烧的1.5 倍。由于表面点火的时间随温度水平 上升逐渐前移，有时会造成单缸机停车和多缸机破损。
但目前所用的无铅汽油并非完全无铅，我国对汽油含铅量的要 求是，普通无铅汽油小于13.5mg/L，优质无铅汽油小于5mg/L。
2）非铅类抗爆添加剂
在汽油中加入一定量的醇类和醚类添加剂可提高汽油的辛烷值 ，如表7-2所示。但添加醇类燃料会产生甲醛等新的有害排放物， 欧美等国家有一定程度的应用，但添加量一般小于5%。也有人认 为MTBE有致癌作用。
实际汽油机的转速和转矩波动程度要比柴油机要大的多， 例如，汽油机的转速波动一般大于±10r/min，而柴油机可稳 定到±2r/min。这种波动主要来源于各循环之间的燃烧过程的 波动。如图7-5所示的例子，在10个循环的示功图采样中，最 高燃烧压力pz的波动范围是2.5-3.5MPa，pz的位置及着火时刻 也都是变动的；基于这组示功图算出的最大放热速率（ dQb/d）max的最大值与最小值相差2倍左右。
3）调整汽油组分
烃的分子结构对抗爆性有一定影响，按烷烃、烯烃、环烷烃、 芳香烃的排列顺序，辛烷值依次增高。通过调整汽油中各类烃的比 例，可以改变其辛烷值。如芳香烃辛烷值最高，在国外普通汽油中 的含量可达40%，在高级汽油中的含量超过52%，而国产70号汽油 中只有5-10%。但是国外近年来发现，芳香烃会导致排放中有毒的 苯以及CO2增加，所以其比例又有逐年下降的趋势。
波动率的估计(ARCH模型)ppt课件
50
40
30
20
10
0 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
H30V
H120V
H60V
H240V
滑动平均波动率
30天与240天 60
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0 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
H30V
H240V
滑动平均波动率－关于n的选择
异方差性例子：在实际经济问题中，随机
扰动项Ui往往是异方差的，例如
（1）调查不同规模公司的利润，发现大公 司的利润波动幅度比小公司的利润波动幅度大；
（2）分析家庭支出时发现高收入家庭支出 变化比低收入家庭支出变化大。
在分析家庭支出模型时，我们会发现高收入 家庭通常比低收入家庭对某些商品支出有更大 的方差。
数学表达： Yt = βXt＋εt (1)
其中， Yt为被解释变量， Xt为解释变量， εt为误差项。
2 t
的特点
令 t t2Et1(t2) 即t t2 ht
重新表述ARCH（1）模型：
t2
01
2
t1 t
能够证明 t 是白噪声过程，即
E(t ) 0
E(ts)0
因此
2 t
服从AR(1)过程
ARCH(q) t htt
h t01t2 1 qt2 q
Vt是独立白噪声过程 E(vt | vt1,...)0 Var(vt | vt1,...)1
0 >0, j 0, j=1,…q, 1 + 2 +…+ q <1
ARCH过程的特点
{t }是ARCH(1)过程
波动率模型_ARCH_GARCH
可以用迭代计算条件方差的h步预测。预测公式如 下： 2 2 hT (1) 0 1 T q T 1q
2 2 hT (2) 0 1hT (1) 2 T q T 2q
2 ( p) 度。LM服从
分布。
ˆ 确定阶数的方法可以观察时间序列 { t }的自相关系数
2
和偏自相关系数。使用建立ARMA模型时确定p和q的
ˆ 方法来确定{ t2} 的滞后长度。也可以使用AIC和BIC准
则来确定适当的滞后长度。
假设对误差项建立ARCH(q)模型，ARCH模型是关于
参数的非线性模型，可以使用极大似然法估计系数， 似然函数如下：
无条件方差为： c Yt t 1 t 1 1 1 c 2 var(Yt ) E (Yt ) E ( t 1 t 1 ) 2 1 1
E ( t2 ) 0 /(1 0 ) var(Yt ) 2 1 1 1 12
i 1
T计Βιβλιοθήκη 样本的自相关系数：i t i 1
( t2 2 )( t2i 2 ) ˆ ˆ ˆ ˆ ( t2 2 ) 2 ˆ ˆ
t 1 T
T
计算Q统计量。
ARCH-LM检验（自回归条件异方差-拉格朗日乘子
检验）Engle (1982) ˆ 计算残差用 t 表示，进行下面的回归分析：
ARCH(1)过程{εt}的条件期望仍然是常数，但是条件 方差不再是常数。这样的过程根据定义是不相关的， 但是并不独立。
ARCH模型表明，如果εt-1异常地偏离它的条件期望，
那么εt的条件方差ht要比通常情况下大，所以有理由 预期εt会比较大，这样使得ht+1比较大；反之，如果 εt-1异常地小，那么条件方差ht要比通常情况下小，所 以有理由预期εt会比较小。这样使得ht+1比较小。虽然
第7章波动率模型
在上式中，非对 称项TARCH的系 数φ=-0.3999，且 显著不为零。
EGARCH模型
EGARCH模型或Exponential GARCH模型由Nelson 在1991年提出。
模型结构：
非对称项
X t f t , X t 1 , X t 2 , t t ht et , et i.i.d . N 0,1 q t i t i i i log ht 0 ht i ht i i 1
TARCH项
TARCH模型
TARCH(1,1)模型结构：
ht 0
2 t 1
说明：
1 t 0 ht 1 d , 其中dt 0 t 0
2 t 1 t 1
在这个模型中，好消息(εt>0)和坏消息(εt<0)对条件方差有 不同影响：好消息有一个 的冲击；坏消息有一个+φ 的 冲击。 如果φ 0，则信息是非对称的，如果φ > 0 ，我们说存在杠 杆效应，非对称效应的主要效果是使得波动加大；如果 φ < 0 ，则非对称效应的作用是使得波动减小。
X t f t , X t 1, X t 2 , ln ht t t ht et , et i.i.d . N 0,1 q p 2 h t 0 i t i j ht j i 1 j 1
说明： ARCH(q)的误差项εt在已知前t-1时刻所有信息的条件下， 服从N(0, ht) εt的条件异方差 ht 0 1 t21 2 t22 q t2q 是过去的波动干扰εt-i对市场未来的波动的影响，q决定了 影响的持续时间。
波动率研究
=σ
我们知道，随着样本容量的增大，总体标准差与样本标准差之间的偏差越小，偏差程度 可以表示为： s = b(N)σ 式中：b N =
2 τ (2 ) 就是总体标准差的无偏估计。
通常，为了得到更准确的结果，会使用更多的样本数据进行估计，以尽量减小抽样误差 带来的影响。但是，样本量过多，样本中更可能掺杂与当前市场状态无关的数据。所以一般 有两种方法解决抽样误差的问题， 一是可以通过使用更高频率的估计量， 二是使用没有完全 剔除收盘价以外所有数据的估计量。上述的计算都是基于收盘价-收盘价的关系，为了得到 更好的估计量，需要引入更多的数据信息，从而得到以下四种估计量： ①、Parkinson 估计量： 1 4N ln 2
方差。 λ 越小意味着越早期的波动率对当前波动率的影响越小， 而越近期的波动对当前波动 率的影响越大。这个方法的优点是简单易用，便于理解，缺点是不够灵敏。如果一件事情确 实一个异常事件，比如业绩公告之类的，如果在未来预测期内确定没有类似的事情发生，那 最好将它从数据集中剔除。 该方法另一问题在于它并没有考虑最近的波动率估计量所处的市 场环境，比如波动率的均值回复特性。 2、广义自回归条件异方差（GARCH）模型族 由于这类模型引入了预期回复的长期平均方差水平项， 所以如果当前方差水平处于高位， 我们会期待它在短期内维持高位， 但最终还是会回归到正常水平。 GARCH(1,1)模型表达式如 下： 2 2 σ2 t = γ V + β σ t −1 + α rt −1 式中， V 是长期方差水平项， γ + α + β = 1。 所以 GARCH(1,1)模型表达式一般可表示为： 2 2 σ t =ω +β σ 2 t −1 + α rt −1 所以，V = 1−α
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ARCH模型的结构
称为ARCH项，在 EVIEWS中用ARCH(i) 或RESID(-i)^2表示
结论：
残差平方具有 相关性，即残 差具有异方差
残差的异方差检验(2)
方法二：ARCH LM 检验
检验时要求输入ARCH检验的滞后阶数，这可以从前面的 残差平方序列的相关图得到一点信息。
结论：拒绝原假设，残差具有异方差 应建立异方差模型，把刚才建立的模型修正一下
异方差模型
均值方程：与刚 才的模型一样
解析法
第二节 条件异方差模型
条件异方差模型
ARCH模型 GARCH模型 异方差模型的推广形式
GARCH-M模型 TARCH模型 EGARCH模型
ARCH模型
ARCH模型的全称：自回归条件异方差模型(Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model)
EViews5的对话框
非对称ARCH模型
模型背景：
对于资产而言，在市场中我们经常可以看到向下运动通 常伴随着比同等程度的向上运动更强烈的波动性。
为了解释这一现象，Engle(1993)描述了如下形式的对好 消息和坏消息的非对称信息曲线：
波动性
0
信息
非对称ARCH模型
模型分类：
TARCH模型 EGARCH模型
异方差的分类
异方差一般可分为以下三种类型：
单调递增型，单调递减型，复杂型。
方差齐性残差图
递增型异方差残差图Βιβλιοθήκη 异方差的检验 图示法
残差图检验法：以时间t为横轴，残差εt为纵轴，画出 散点图，观察残差是否具有趋势性或周期性.
残差平方图检验法：E(εt2)=σε2，以时间t为横轴，残差 平方εt2为纵轴，画出散点图，观察残差是否具有趋势 性或周期性.
t ht et ,
et
i.i.d. N 0,1
ht
0
1
2 t 1
1ht1
其中0 0,1 0, 1 0,1 1 1
GARCH-M模型
金融理论表明具有较高可观测到的风险的资产可以 获得更高的平均收益，其原因在于人们一般认为金 融资产的收益应当与其风险成正比，风险越大，预 期的收益就越高。
Xt f t, Xt1, Xt2, ln ht t
t
ht et , et
i.i.d. N 0,1
ht 0
q
i
2 t i
p
j ht j
i 1
j 1
GARCH-M模型通常用于关于资产的预期收益与预期风险紧密 相关的金融领域。预期风险的估计系数是风险收益交易的度量.
异方差检验(ARCH 检验)
对模型的残差进行异方差检验，确定是否 需要建立异方差模型
主要方法：
ARCH LM 检验 残差平方相关图检验
ARCH LM 检验
Engle(1982)提出对残差中自回归条件异方差进行拉格朗 日乘数检验(Lagrange multiplier test)，即 LM检验。
这种利用条件方差表示预期风险的模型被称为依均 值GARCH (GARCH-in-mean，简称GARCH-M)模型， 在GARCH-M中我们把条件方差函数引进到均值方程 中。
GARCH-M模型
q
p
ht 0
i
2 t i
jht j g ht
i 1
j 1
q
0
i 1
i
t i
ht i
i
t i
ht i
p
j
j 1
log
ht j
EGARCH(1,1)模型
log ht
0
t 1
ht 1
t1 log
ht 1
ht 1
说明：
在这个模型中，εt >0和εt< 0对条件方差有不同影响：好消息
i.i.d. N 0,1
ht 0
q
i
2 t i
p
hj t j
d 2
t 1 t
1
其中dt
1 0
i 1
j 1
t 0 t 0
TARCH项
TARCH模型
TARCH(1,1)模型结构：
ht
0
2 t 1
ht1
d 2
t
ht et , et
i.i.d. N 0,1
ht 0
q
i
2 t i
p
j ht j
i 1
j 1
当p=0时，
GARCH(0,q) 即为ARCH(q)
q
p
其中p 0, q 0,0 0,i 0, j 0, i j 1
i 1
j 1
p是GARCH 项的阶数，q是ARCH 项的阶数
i
2 t i
称为ARCH
项，
i
在EVIEWS中用RESID
i
2表示
jht j称为GARCH项， j在EVIEWS中用GARCH j 定义
GARCH(1,1)模型
Xt f t, Xt1, Xt2 , t
主要有三种形式：
把条件方差引进到均值方程中
X t f t, X t1, X t2 , ht t
t
ht et , et
i.i.d. N 0,1
ht
0
q
i
2 t i
p
j ht j
i 1
j 1
GARCH-M模型
第七章 波动率模型
第七章 波动率模型
背景：
大量的经济和金融时间序列呈现出了随时间变化的 波动性，即时间序列二阶矩的时变性。
近20年来，描述金融市场波动性的模型---自回归异 方差模型(ARCH模型)。
内容：
第一节 异方差的定义与检验 第二节 条件异方差模型
第一节 异方差的定义与检验
异方差的定义
ARMA,ARIMA和SARIMA等模型对残差有以下假定：
零均值：Eεt=0 纯随机性：Cov(εs, εt)=E(εsεt)=0，(t≠s) 方差齐次性： Var(εt)=σε2
异方差的定义
随机误差序列的方差不是常数，会随着时间的变化而变化
异方差的影响
忽视异方差的存在会导致残差的方差会被严重低估，继而 参数显著性检验容易犯纳伪错误，这使得参数的显著性检 验失去意义，最终导致模型的拟合精度受影响。
把条件方差的标准差 引进到均值方程中
把条件方差的对数形 式引进到均值方程中
X
t
f
t, X t1, X t2 ,
ht t
t
ht et , et
i.i.d. N 0,1
ht 0
q
i
2 t i
p
j ht j
i 1
j 1
t 1 t
1
,
其中dt
1 0
说明：
t 0 t 0
在这个模型中，好消息(εt>0)和坏消息(εt<0)对条件方差有
不同影响：好消息有一个 的冲击；坏消息有一个+φ 的
冲击。
如果φ 0，则信息是非对称的，如果φ > 0 ，我们说存在杠 杆效应，非对称效应的主要效果是使得波动加大；如果 φ < 0 ，则非对称效应的作用是使得波动减小。
Xt f t, Xt1, Xt2 , t
t ht et , et
i.i.d. N 0,1
ht
0
1
2 t 1
2
2 t2
q
2 tq
均值方程 方差方程
ht为条件异方差,0 0,i 0,1 2 q 1
EViews5的对话框
ht
0
2 t 1
ht1
t21dt1
ht
0.037
0.24
2 t 1
0.956 ht1
0.399
d 2
t1 t
1
结果表中的
(RESID)*ARCH(1) 项是公式中的φ， 也称为TARCH项。
在上式中，非对 称项TARCH的系 数φ=-0.3999，且 显著不为零。
Xt Xt1 t 即Xt Xt1 t
接下去：看一下是 否需要建异方差模 型？
建随机游走模型
可作Xt关于Xt-1 的线性回归
然后进行残差 检验：
纯随机性检验 异方差检验
(有两种方法)
残差的纯随机性检验
结论：残差为 纯随机序列
残差的异方差检验(1)