04-第四章-幂函数、指数函数和对数函数(带答案)曹喜平
2024-2025年北师大版数学必修第一册4.4-5指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(带答案)
§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较§5信息技术支持的函数研究必备知识基础练知识点一指数函数、幂函数、对数函数增长的差异1．研究函数y＝0.5e x－2，y＝ln (x＋1)，y＝x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．知识点二指数函数、幂函数、对数函数增长的比较2．下面对函数f(x)＝log12 x，g(x)＝(12)x与h(x)＝x－12在区间(0，＋∞)上的衰减情况的叙述正确的是( )A．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变慢B．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变快C．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变慢D．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变快3．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2 D．x2>log2x>2x4．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象关于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2．(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)的大小．知识点三指数函数、幂函数、对数函数的实际应用5．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？(可用计算器)关键能力综合练1．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 3x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人对应的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 3xD ．f 4(x )＝2x2．以下四种说法中，正确的是( ) A ．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B ．对任意的x >0，x a>log a x C ．对任意的x >0，a x >log a xD ．一定存在x 0，当x >x 0，a >1，n >0时，总有a x>x n>log a x 3．已知－1<α<0，则( )A ．0.2α>(12 )α>2αB ．2α>0.2α>(12 )αC ．(12 )α>0.2α>2αD ．2α>(12 )α>0.2α4．有一组实验数据如下表所示：A ．y ＝log a x (a >1)B ．y ＝ax ＋b (a >1)C ．y ＝ax 2＋b (a >0) D ．y ＝log a x ＋b (a >1) 5.如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的关系图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( ) A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t26．(探究题)某校甲、乙食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份( )A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相同D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高7．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．8．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝e kt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k＝________，经过5小时，1个病菌能繁殖为________个．9．(易错题)某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．核心素养升级练1．(多选题)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f i(x)(i ＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x3，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则以下结论正确的是( )A．当x>1时，甲走在最前面B．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲2．(情境命题—生活情境)某地区第1周、第2周、第3周患某种传染病的人数分别为52，54，58.为了预测以后各周的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y ＝p·q x＋r，其中y为患病人数，x为周数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果第4周、第5周、第6周的患病人数分别为66，82，115，你认为谁选择的模型较好？§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较§5信息技术支持的函数研究必备知识基础练1．解析：分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图所示，从图象上可以看出函数y＝0.5e x－2的图象首先超过了函数y＝ln (x＋1)的图象，然后又超过了函数y＝x2－1的图象，即存在一个x0满足0.5e x0－2＝x2－1，当x>x0时，ln (x ＋1)<x2－1<0.5e x－2.y＝ln (x＋1)增长最慢，y＝0.5e x－2增长最快．2．答案：C解析：由函数f(x)＝log12 x，g(x)＝(12)x与h(x)＝x－12在区间(0，＋∞)上的图象(图略)知函数f(x)，g(x)，h(x)的衰减速度均逐渐变慢，故选C.3．答案：B解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象(图略)，由图象，可知在区间(2，4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象．所以当2<x<4时，x2>2x>log2x.4．解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<6<x2.由图可知g(6)>f(6).5．解析：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N＋)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N＋)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N＋)进行描述．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．画出三个函数的图象，如图所示，由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．下面再看累计的回报数．列表如下：因此，投资1～6天，应选择第一种投资方案；投资7天，应选择第一或第二种投资方案；投资8～10天，应选择第二种投资方案；投资11天(含11天)以上，应选择第三种投资方案．关键能力综合练1．答案：D解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )，f 4(x )的图象(图略)，可知当x >4时，f 4(x )>f 1(x )>f 2(x )>f 3(x )，故选D.2．答案：D解析：对于A ，幂函数的增长速度受指数影响，指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，而B ，C 中x a ，log a x ，a x的大小都受a 的影响，选D.3．答案：A解析：∵12 >0.2，－1<α<0，∴2α<(12 )α<0.2α.故选A.4．答案：C解析：通过所给数据可知y 随x 增大，其增长速度越来越快，而A 、D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，故选C.5．答案：A解析：由题中图象可知该函数模型为指数函数． 6．答案：A解析：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a >0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x .由题意，可得m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝m （m ＋8a ） .因为y 21 －y 22 ＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2>0，所以y 1>y 2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．7．答案：y ＝x 2解析：当x 变大时，x 比ln x 增长要快，∴x 2要比x ln x 增长得要快． 8．答案：2ln 2 1 024解析：设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2＝e k2 ，解得k ＝2ln 2，y (5)＝e(2ln2)·5＝e10ln 2＝210＝1 024(个).9．答案：②③解析：由t ∈[0，3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1).反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3，8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停止生产，所以②③正确．核心素养升级练1．答案：BCD解析：路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为：f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 3，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1).它们相应的函数模型分别是指数型函数、幂函数、一次函数和对数型函数模型． 当x ＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝8，∴选项A 不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x ＝1时甲、乙、丙、丁四个物体重合，从而可知当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面，∴选项B 正确；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，∴选项C 正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体．∴选项D 正确．故选B 、C 、D.2．解析：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ·12＋b ·1＋c ＝52，a ·22＋b ·2＋c ＝54，a ·32＋b ·3＋c ＝58， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝52，4a ＋2b ＋c ＝54，9a ＋3b ＋c ＝58， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝52， 所以甲：y 1＝x 2－x ＋52，又⎩⎪⎨⎪⎧p ·q 1＋r ＝52， ①p ·q 2＋r ＝54， ②p ·q 3＋r ＝58， ③②—①，得p ·q 2－p ·q 1＝2， ④ ③—②，得p ·q 3－p ·q 2＝4， ⑤ ⑤÷④，得q ＝2.将q ＝2代入④式，得p ＝1. 将q ＝2，p ＝1代入①式，得r ＝50， 所以乙：y 2＝2x＋50.计算当x ＝4时，y 1＝64，y 2＝66； 当x ＝5时，y 1＝72，y 2＝82； 当x ＝6时，y 1＝82，y 2＝114. 可见，乙选择的模型较好．。
人教B版(2019)高中数学必修第二册 第四章指数函数、对数函数与幂函数4.4幂函数同步习题含答案
4.4 幂函数知识点一幂函数的概念及图像1．下列函数为幂函数的是( )①y＝－x2；②y＝x n(n为常数)；③y＝(x－1)3；④y＝1x2；⑤y＝x2＋1x.A．①③⑤B．①④C．②④D．只有⑤2．如图，函数y＝1x，y＝x，y＝1的图像和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图像经过的部分是④⑧，则f(x)可能是( )A．y＝x2B．y＝1 xC．y＝x 1 2D．y＝x－23．函数的图像恒过定点( )A．(1,0) B．(2,1)C．(0，－1) D．(m＋1,1)4.如图所示，图中的曲线是幂函数y＝x n在第一象限的图像，已知n取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－125．下列说法中错误的序号有________． ①y ＝x 0的图像是一条直线； ②若函数y ＝1x 的定义域是{x |x >2}，则它的值域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |y <12；③若函数y ＝x 2的值域是{y |0≤y ≤4}，则它的定义域一定是{x |－2≤x ≤2}． 6．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图像上，问当x 为何值时，分别有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )． 知识点二 幂函数的奇偶性及其应用7．(多选)下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( ) A ．y ＝B ．y ＝x 4C ．y ＝x －2D ．y ＝x 28．幂函数f (x )＝的大致图像为( )9．已知幂函数f (x )＝x α(α∈Z )具有如下性质：f 2(1)＋f 2(－1)＝2[f (1)＋f (－1)－1]，则f (x )( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数10．函数y ＝(m ，n ∈N *，且m ，n 互质)的图像如图所示，则( )A ．m ，n 是奇数，mn <1B ．m 是偶数，n 是奇数，m n >1C ．m 是偶数，n 是奇数，m n <1D ．m 是奇数，n 是偶数，m n>1 11．已知幂函数y ＝ (m ∈N *)的图像与x 轴、y 轴均无交点，且关于原点对称，则m ＝________.知识点三 幂函数的单调性及其应用 12．函数y ＝x 5在[－1,1]上是( ) A ．增函数且是奇函数 B ．增函数且是偶函数 C ．减函数且是奇函数 D ．减函数且是偶函数13．(多选)已知函数f (x )＝是幂函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f x 1－f x 2x 1－x 2>0.若a ，b ∈R ，且f (a )＋f (b )的值为负值，则下列a ，b 的取值可能为( )A ．a ＝1，b ＝2B ．a ＝－2，b ＝1C ．a ＝－2，b ＝－3D ．a ＝3，b ＝－214．幂函数的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是________，单调递减区间是________．15．已知幂函数f (x )＝(m ∈Z )的图像关于y 轴对称，并且f (x )在第一象限内是单调递减函数，则m ＝________.16．比较下列各题中两个值的大小：17．已知幂函数f (x )＝x 9－3m (m ∈N ＋)的图像关于原点对称，且在R 上函数值随x 的增大而增大．(1)求f (x )的解析式；(2)求满足f (a ＋1)＋f (3a －4)<0的实数a 的取值范围． 18．已知幂函数在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1,2]时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，求实数k 的取值范围．易错点一 条件考虑不全致误 若，则a 的取值范围是________．易错点二 对幂函数的概念理解不清致错 已知函数y ＝是幂函数，求实数a 的取值范围．一、单项选择题1．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C ．32D ．22．设α∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域是R ，且为奇函数的所有α的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,33．函数y ＝的图像是( )4．下列结论中，正确的是( ) A ．幂函数的图像都经过点(0,0)，(1,1) B ．幂函数的图像可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数D ．当α＝－1时，幂函数y ＝x α在其整个定义域上是减函数 5．当0<x <1时，f (x )＝x 2，g (x )＝，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是( )A ．f (x )>g (x )>h (x )B ．g (x )>h (x )>f (x )C ．h (x )>f (x )>g (x )D ．h (x )>g (x )>f (x )6．幂函数y ＝，当x ∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m 的值为( )A ．m ＝2B ．m ＝－1C ．m ＝－1或2D ．m ≠1±527．已知幂函数f (x )＝x n 的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，且f (a ＋1)<f (2)，则a 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)8．函数y ＝－1的图像关于x 轴对称的图像大致是( )二、多项选择题9．下列函数不是幂函数的是( ) A ．y ＝2x 3 B ．y ＝2x 2－1 C ．y ＝1xD ．y ＝3x210．已知当x ∈(1，＋∞)时，函数y ＝x α的图像恒在直线y ＝x 的下方，则α的值可以是( )A ．－1B ．2C ．15D ．011．下列比较大小中，正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫230.5>⎝ ⎛⎭⎪⎫350.5 B ．C ．D ．(－0.31)4>0.35412．已知幂函数y ＝x α的图像经过点(2,4)，则下列说法正确的是( ) A ．该函数为偶函数 B ．该函数为奇函数 C ．当x >1时，y >1 D.f x 1＋f x 22>f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22(x 1≠x 2) 三、填空题13．若y ＝mx α＋(2n －4)是幂函数，则m ＝________，n ＝________. 14．若a ＝，b ＝，c ＝(－2)3，则a ，b ，c 的大小关系为________．15．已知幂函数f (x )的图像过点(9,3)，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1的定义域为________．16．定义函数f (x )＝max{x 2，x －2}(max{a ，b }表示a ，b 中的较大者)，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f (x )的最小值为________．四、解答题17．已知幂函数f(x)＝)(m∈N)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式．18．已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a的取值范围．19．已知幂函数f(x)＝ (m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝f x＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．20．已知函数f(x)＝ (m∈N*)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数图像经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a －1)的实数a的取值范围．4.4 幂函数知识点一幂函数的概念及图像1．下列函数为幂函数的是( )①y＝－x2；②y＝x n(n为常数)；③y＝(x－1)3；④y＝1x2；⑤y＝x2＋1x.A．①③⑤B．①④C．②④D．只有⑤答案 C解析①y＝－x2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；③y＝(x－1)3的底数是x－1 而不是x，故不是幂函数；⑤y＝x2＋1x是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显②④是幂函数．2．如图，函数y＝1x，y＝x，y＝1的图像和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图像经过的部分是④⑧，则f(x)可能是( )A．y＝x2B．y＝1 xC．y＝x 1 2D．y＝x－2答案 B解析∵函数y＝xα的图像过④⑧部分，∴函数y＝xα在第一象限内单调递减，∴α<0，故排除A，C.对于B，又x＝2时，y＝12，1>12>12，∴函数y＝1x的图像经过⑧部分，当x＝12时，y＝2，1<2<2，∴函数y＝1x的图像经过④部分，∴B符合题意．对于D，当x＝2时，y＝14，14<12，∴排除D.故选B.3．函数的图像恒过定点( )A．(1,0) B．(2,1)C．(0，－1) D．(m＋1,1)答案 B解析∵所有的幂函数都过定点(1,1)，∴当x－1＝1时，即x＝2时，f(2)＝1，则f(x)恒过定点(2,1)．4.如图所示，图中的曲线是幂函数y＝x n在第一象限的图像，已知n取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12答案 B解析 根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图像当n >0时，n 越大，y ＝x n递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12；当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2，故选B.5．下列说法中错误的序号有________． ①y ＝x 0的图像是一条直线； ②若函数y ＝1x 的定义域是{x |x >2}，则它的值域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |y <12；③若函数y ＝x 2的值域是{y |0≤y ≤4}，则它的定义域一定是{x |－2≤x ≤2}． 答案 ①②③解析 y ＝x 0的图像是直线y ＝1上去掉点(0,1)，①错误；若函数y ＝1x的定义域是{x |x >2}，则它的值域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |0<y <12，②错误；若函数y ＝x 2的值域是{y |0≤y ≤4}，则它的定义域也可能是{x |0≤x ≤2}，③错误．所以说法错误的有①②③.6．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图像上，问当x 为何值时，分别有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )． 解 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－1 2，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图像，如图所示．由图像知：①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；②当x＝1时，f(x)＝g(x)；③当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．知识点二幂函数的奇偶性及其应用7．(多选)下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( ) A．y＝B．y＝x4C．y＝x－2D．y＝x2答案BD解析偶函数为B，C，D，但过(0,0)，(1,1)的是B，D. 8．幂函数f(x)＝的大致图像为( )答案 B解析f(x)＝3x2，∵x∈R，f(－x)＝3－x2＝f(x)，∴f(x)是偶函数，且在第一象限单调递增，故选B.9．已知幂函数f(x)＝xα(α∈Z)具有如下性质：f2(1)＋f2(－1)＝2[f(1)＋f(－1)－1]，则f(x)( )A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．是非奇非偶函数答案 B解析已知幂函数f(x)＝xα(α∈Z)具有性质f2(1)＋f2(－1)＝2[f(1)＋f(－1)－1]，则12α＋(－1)2α＝2[1α＋(－1)α－1]，即1＋1＝2[1＋(－1)α－1]，所以(－1)α＝1，故α为偶数．由幂函数的图像和性质可知，函数f(x)是偶函数．10．函数y＝(m，n∈N*，且m，n互质)的图像如图所示，则( )A．m，n是奇数，mn<1B．m是偶数，n是奇数，mn>1C．m是偶数，n是奇数，mn<1D．m是奇数，n是偶数，mn>1答案 C解析由图像可知y＝是偶函数，而m，n是互质的，故m是偶数，n是奇数．又当x∈(1，＋∞)时，y＝的图像在y＝x的图像下方，故mn<1.11．已知幂函数y＝ (m∈N*)的图像与x轴、y轴均无交点，且关于原点对称，则m＝________.答案 2解析∵幂函数y＝(m∈N*)的图像与x轴、y轴均无交点，且关于原点对称，∴该幂函数为奇函数，∴m2－2m－3<0且m2－2m－3为奇数，即－1<m<3且m2－2m－3为奇数，又m∈N*，∴m＝2.知识点三幂函数的单调性及其应用12．函数y＝x5在[－1,1]上是( )A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数答案 A解析 由幂函数的性质知，当α>0时，y ＝x α在第一象限内是增函数，所以y ＝x 5在(0,1]上是增函数．设f (x )＝x 5，x ∈[－1,1]，则f (－x )＝(－x )5＝－x 5＝－f (x )，所以f (x )＝x 5是奇函数．因为奇函数的图像关于原点对称，所以x ∈[－1,0)时，y ＝x 5也是增函数．当x ＝0时，y ＝0，故y ＝x 5在[－1,1]上是增函数且是奇函数．13．(多选)已知函数f (x )＝是幂函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f x 1－f x 2x 1－x 2>0.若a ，b ∈R ，且f (a )＋f (b )的值为负值，则下列a ，b 的取值可能为( )A ．a ＝1，b ＝2B ．a ＝－2，b ＝1C ．a ＝－2，b ＝－3D ．a ＝3，b ＝－2答案 BC解析 由函数f (x )为幂函数可知m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.当m ＝－1时，f (x )＝1x3；当m ＝2时，f (x )＝x 3.由题意得函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，因此f (x )＝x 3，在R 上单调递增，且为奇函数．结合f (－x )＝－f (x )以及f (a )＋f (b )<0可知f (a )<－f (b )＝f (－b )，所以a <－b ，所以a ＋b <0.结合选项，可知选BC.14．幂函数的图像过点⎝⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是________，单调递减区间是________．答案 (－∞，0) (0，＋∞)解析 设f (x )＝x α，由2α＝14，得α＝－2，即f (x )＝x －2，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．15．已知幂函数f (x )＝(m ∈Z )的图像关于y 轴对称，并且f (x )在第一象限内是单调递减函数，则m ＝________.答案 1解析 因为幂函数f (x )＝(m ∈Z )的图像关于y 轴对称，所以函数f (x )是偶函数，所以m 2－2m －3为偶数，所以m 2－2m 为奇数，又f (x )在第一象限内是单调递减函数，故m2－2m－3<0，所以m＝1.16．比较下列各题中两个值的大小：解(1)∵函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，又17>19，∴(2)∵y＝在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.3，∴(3)∵函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，23>π6，∴(4)由幂函数的单调性知0.20.6<0.30.6，又0.30.6<0.30.4，∴0.20.6<0.30.4.17．已知幂函数f(x)＝x9－3m(m∈N＋)的图像关于原点对称，且在R上函数值随x的增大而增大．(1)求f(x)的解析式；(2)求满足f(a＋1)＋f(3a－4)<0的实数a的取值范围．解(1)由题可知，函数在R上单调递增，∴9－3m>0，解得m<3.又m∈N＋，∴m＝1,2.又函数图像关于原点对称，∴9－3m为奇数，故m＝2.∴f(x)＝x3.(2)∵f(a＋1)＋f(3a－4)<0，∴f(a＋1)<－f(3a－4)．∵f(x)为奇函数，∴f(a＋1)<f(4－3a)．又函数在R 上单调递增，∴a ＋1<4－3a . ∴a <34，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，34.18．已知幂函数在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1,2]时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，求实数k 的取值范围．解 (1)∵f (x )为幂函数，∴(m －1)2＝1， ∴m ＝0或2.当m ＝0时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，满足题意；当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，不满足题意，舍去． ∴m ＝0.(2)由(1)知，f (x )＝x 2.∵f (x )，g (x )在[1,2]上单调递增， ∴A ＝[1,4]，B ＝[2－k,4－k ]． ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴⎩⎨⎧2－k ≥1，4－k ≤4，解得0≤k ≤1.故实数k 的取值范围为[0,1]．易错点一 条件考虑不全致误 若，则a 的取值范围是________．易错分析 由幂函数y ＝为增函数，直接得a ＋1<3－2a ，解得a 的取值范围，未考虑到y ＝x 12本身的定义域条件限制导致错误．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23正解 由y ＝的单调性及定义域知，0≤a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.易错点二 对幂函数的概念理解不清致错 已知函数y ＝是幂函数，求实数a 的取值范围．易错分析 对幂函数的概念理解不清，易错解为指数11－a 2有意义，有1－a 2≠0，即a ≠±1，所以实数a 的取值范围是{a |a ≠±1}，未考虑a 2＋1＝1导致错误．正解 根据幂函数y ＝x α(α为常数)的定义，知a 2＋1＝1，即a ＝0，此时指数11－a 2有意义，所以实数a 的取值范围为{0}．一、单项选择题1．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C ．32D ．2答案 A解析 由已知得k ＝1，f (x )＝x α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2，∴α＝－12，∴k ＋α＝1－12＝12，选A.2．设α∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域是R ，且为奇函数的所有α的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案 A解析当α＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当α＝1时，函数y＝x的定义域是R且为奇函数；当α＝12时，函数y＝的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数．当α＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A.3．函数y＝的图像是( )答案 B解析y＝是幂函数，过点(1,1)．当0＜x＜1时，＞x，当x＞1时，＜x.故选B.4．下列结论中，正确的是( )A．幂函数的图像都经过点(0,0)，(1,1)B．幂函数的图像可以出现在第四象限C．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y＝xα是增函数D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数答案 C解析当α＝－1时，幂函数不过原点，A错误；幂函数的图像不可能出现在第四象限，B错误；y＝x－1在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，在其整个定义域上不具有单调性，D错误，所以选C.5．当0<x<1时，f(x)＝x2，g(x)＝，h(x)＝x－2，则f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是( )A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>h(x)>f(x)C．h(x)>f(x)>g(x) D．h(x)>g(x)>f(x)答案 D解析分别作出f(x)，g(x)，h(x)的大致图像如图所示，可知h(x)>g(x)>f(x)．故选D.6．幂函数y ＝，当x ∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m 的值为( )A ．m ＝2B ．m ＝－1C ．m ＝－1或2D ．m ≠1±52答案 A 解析 ∵y ＝为幂函数．∴m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.又当x ∈(0，＋∞)时，y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3为减函数，∴m 2－2m －3<0，解得－1<m <3.∴m 的值为2.7．已知幂函数f (x )＝x n 的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，且f (a ＋1)<f (2)，则a 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)答案 B解析 因为幂函数f (x )＝x n 的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，所以2n ＝14，即2n ＝2－2，解得n ＝－2.因此f (x )＝x －2是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．由f (a ＋1)<f (2)，得a ＋1<－2或a ＋1>2，解得a <－3或a >1.故选B.8．函数y ＝－1的图像关于x 轴对称的图像大致是( )答案 B 解析 函数y ＝－1的图像由幂函数y ＝的图像沿y 轴向下平移一个单位长度得到，则函数y ＝－1过点(0，－1)，(1,0)且单调递增，则函数关于x轴对称的函数的图像一定过点(0,1)，(1,0)且单调递减，故大致图像如B 所示．二、多项选择题9．下列函数不是幂函数的是( ) A ．y ＝2x 3 B ．y ＝2x 2－1 C ．y ＝1xD ．y ＝3x2答案 ABD解析 y ＝2x 3中，x 3的系数不是1，故A 不是幂函数；y ＝2x 2－1不是x α的形式，故B 不是幂函数；y ＝1x ＝x －1是幂函数；y ＝3x2＝3x －2中x －2的系数不是1，故D 不是幂函数．10．已知当x ∈(1，＋∞)时，函数y ＝x α的图像恒在直线y ＝x 的下方，则α的值可以是( )A ．－1B ．2C ．15D ．0答案 ACD解析 由幂函数的图像特征知α<1.故选ACD. 11．下列比较大小中，正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫230.5>⎝ ⎛⎭⎪⎫350.5B ．C ．D ．(－0.31)4>0.354答案 AC解析 对于A ，∵y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数，且23>35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫230.5>⎝ ⎛⎭⎪⎫350.5，故A 正确；对于B ，∵y ＝为(0，＋∞)上的减函数，且2<3，∴，故B 错误；对于C ，∵y ＝在[0，＋∞)上是增函数，∴，故C 正确；对于D ，∵y ＝x 4为R 上的偶函数，∴(－0.31)4＝0.314.又函数y ＝x 4在[0，＋∞)上是增函数，且0.31<0.35，∴0.314<0.354，即(－0.31)4<0.354，故D 错误．故选AC.12．已知幂函数y ＝x α的图像经过点(2,4)，则下列说法正确的是( ) A ．该函数为偶函数 B ．该函数为奇函数 C ．当x >1时，y >1 D.f x 1＋f x 22>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22(x 1≠x 2) 答案 ACD解析 ∵y ＝x α的图像经过点(2,4)，∴2α＝4，∴α＝2，∴y ＝x 2，该函数为偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，∴当x >1时，y >1.幂函数y ＝x 2在[0，＋∞)上的大致图像如图所示．设A (x 1，0)，C (x 2，0)，其中0<x 1<x 2，则AC 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，0，AB ＝f (x 1)，CD ＝f (x 2)，EF ＝f x 1＋f x 22，EG ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，由图易知EF >EG ，即f x 1＋f x 22>f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，同理可证，当x 1<x 2<0，x 1<0<x 2时，f x 1＋f x 22>f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22也成立． 三、填空题13．若y ＝mx α＋(2n －4)是幂函数，则m ＝________，n ＝________. 答案 1 2解析 ∵y ＝mx α＋(2n －4)是幂函数， ∴m ＝1,2n －4＝0，即m ＝1，n ＝2.14．若a ＝，b ＝，c ＝(－2)3，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 a >b >c 解析 y ＝是幂函数，在[0，＋∞)上递增． ∴>>0>(－2)3，∴a >b >c .15．已知幂函数f (x )的图像过点(9,3)，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1的定义域为________．答案 (0,1]解析 令f (x )＝x α，∵f (9)＝3，即9α＝3，∴α＝12，故f (x )＝＝x ，令1x －1≥0，得0<x ≤1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1的定义域为(0,1]． 16．定义函数f (x )＝max{x 2，x －2}(max{a ，b }表示a ，b 中的较大者)，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f (x )的最小值为________．答案 1解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝x 2与y ＝x －2的图像，如图所示，则f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≤－1，x －2，－1<x <0，x －2，0<x ≤1，x 2，x >1.∴f (x )在x ＝－1与x ＝1处均取得最小值1，即f (x )min ＝1. 四、解答题17．已知幂函数f (x )＝)(m ∈N )是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f (x )的解析式．解由f(x)＝ (m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，得13(m－2)<0，所以m<2.因为m∈N，所以m＝0或1，因为f(x)是偶函数，所以只有当m＝0时符合题意，故f(x)＝.18．已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a的取值范围．解因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，所以m＝1,2.因为函数的图像关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1，则原不等式可化为因为y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋3>5－2a>0或5－2a<a＋3<0或a＋3<0<5－2a，解得23<a<52或a<－3.19．已知幂函数f(x)＝ (m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝f x＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．解(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，依据函数y＝m2－2m－3的图像，解得－1<m<3.又m∈Z，∴m＝0,1,2.当m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数；当m＝1时，f(x)＝x4是偶函数．故函数f(x)的解析式为f(x)＝x4.(2)由(1)知f(x)＝x4，则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋c－1.∵g(x)>2对任意的x∈R恒成立，∴g (x )最小>2，且x ∈R .又g (x )最小＝g (－1)＝c －1，∴c －1>2，解得c >3.故实数c 的取值范围是(3，＋∞)．20．已知函数f (x )＝ (m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数图像经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解 (1)∵m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *，∴m 与m ＋1中必定有一个为偶数，∴该函数的定义域为[0，＋∞)，由幂函数的性质，该函数在定义域上单调递增．(2)∵该函数图像过点(2，2)，∴＝2，∴m 2＋m ＝2，∴m ＝1(m ∈N *)． 由f (2－a )>f (a －1)，得⎩⎨⎧ 2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32. 故m 的值为1，满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.。
专题二,函数概念与基本初等函数,第四讲指数函数对数函数幂函数—附解析答案
文科数学2010-2019高考真题分类训练专题二,函数概念与基本初等函数,第四讲指数函数对数函数幂函数—后附解析答案专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ第四讲指数函数、对数函数、幂函数 20xx年 1.（20xx年一、选择题1．(20xx年全国I卷）若，，则A． B． C． D． 12．（20xx年全国I卷）函数在[–2,2]的图像大致为 A． B． C． D． 13．（20xx年全国II 卷）下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是 A．y=x B．y=lgx C．y=2x D． 14．（20xx 年 1. 解析由题意知，，将数据代入，可得，所以.故选A. 2.解析因为，，所以，所以为上的奇函数，因此排除A；又，因此排除B，C；故选D． 3.解析：由函数，，单调性相反，且函数图像恒过可各满足要求的图象为D.故选D． 20xx年 1．D【解析】，因为为增函数，所以．因为函数为减函数，所以，故，故选D． 2．B【解析】当时，因为，所以此时，故排除A．D；又，故排除C，选B． 3．B【解析】解法一设所求函数图象上任一点的坐标为，则其关于直线的对称点的坐标为，由对称性知点在函数的图象上，所以，故选B．解法二由题意知，对称轴上的点即在函数的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B． 4．C【解析】由，知，在上单调递增，在上单调递减，排除A、B；又，所以的图象关于对称，C正确． 5．D【解析】由，得或，设，则，关于单调递减，，关于单调递增，由对数函数的性质，可知单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为．选D． 6．C【解析】函数为奇函数，所以，又，，由题意，，选C． 7．B【解析】由，得为奇函数，，所以在R上是增函数．选B． 8．A【解析】对于A,令,，则在R上单调递增，故具有性质,故选A． 9．D 【解析】设，两边取对数得，，所以，即最接近，选D． 10．B【解析】函数的对称轴为，①当，此时，，；②当，此时，，；③当，此时，或，或．综上，的值与有关，与无关．选B． 11．B【解析】因为，所以在上单调递减，又，所以，故选B． 12．D【解析】∵是偶函数,设,则,所以，所以排除A，B；当时，，所以，又，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，所以在有，所以在存在零点，所以函数在单调递减，在单调递增，排除C，故选D． 13．D【解析】函数的定义域为，又，所以函数的值域为，故选D． 14．A 【解析】因为，，所以，故选A． 15．C【解析】由在区间是单调减函数可知，，又，故选C． 16．B【解析】由于为偶函数，所以，即，其图象过原点，且关于轴对称，在上单调递减，在上单调递增．又，，．且，所以． 17．C 【解析】，；．因为，由是个递增函数，，所以． 18．C【解析】设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为（），由已知知（）在函数的图像上，∴，解得，即，∴，解得，故选C． 19．D【解析】由图象可知，当时，，得． 20．B【解析】∵，，，所以． 21．D【解析】当时，函数单调递增，函数单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C错；当时，函数单调递增，函数单调递减，且过点(1，0)，排除A，又由幂函数的图象性质可知C错，因此选D． 22．D 【解析】，解得或．由复合函数的单调性知的单调递增区间为. 23．D【解析】，由下图可知D正确．解法二，，由，可得答案D正确． 24．B【解析】,,≠1. 考察对数2个公式：对选项A：，显然与第二个公式不符，所以为假．对选项B：，显然与第二个公式一致，所以为真．对选项C：，显然与第一个公式不符，所以为假．对选项D：，同样与第一个公式不符，所以为假．所以选B． 25．D【解析】取特殊值即可，如取． 26．C【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，且，所以，即，因为函数在区间单调递增，所以，即，所以，解得，即a的取值范围是，选C． 27．D 【解析】． 28．B【解析】由指数函数与对数函数的图像知，解得，故选B. 29．A【解析】因为，所以，，所以，选A. 30．D【解析】根据对数函数的性质得． 31．D【解析】当时，，所以点在函数图象上． 32．D【解析】当时，解得，所以；当时，，解得，所以，综上可知． 33．A【解析】因为当x=2或4时，2x =0，所以排除B、C；当x=2时，2x =，故排除D，所以选A． 34．D【解析】因为，所以<<． 35．B【解析】+1=2，故=1，选B． 36．A 【解析】又 37．C【解析】 38．C【解析】画出函数的图象，如图所示，不妨设，因为，所以，的取值范围是，所以的取值范围是． 39．C【解析】由分段函数的表达式知，需要对的正负进行分类讨论．． 40．【解析】由得，，所以，即． 41．【解析】由，得，所以． 42．【解析】由题意为奇函数，所以只能取，又在上递减，所以． 43．【解析】由题意，，上面两式相加，得，所以，所以，因为，所以． 44．【解析】因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，即，解得，故实数的取值范围为． 45．【解析】由题意得：，解集为． 46．【解析】；． 47．【解析】∵，，而，即，所以三个数中最大数是． 48．【解析】原式＝． 49．4 【解析】当时取等号，结合，，，可得 50．1【解析】由得函数关于对称，故，则，由复合函数单调性得在递增，故，所以实数的最小值等于． 51．【解析】当时，由得，∴；当时，由得，∴，综上． 52．【解析】，易知单调递减区间是． 53．【解析】．当且仅当，即时等号成立． 54．1【解析】． 55．2【解析】由，得，于是56．【解析】当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意. 57．18【解析】，∵且，则=．当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为18． 58．【解析】由题意知，函数的定义域为，所以该函数的单调增区间是．。
指数函数、对数函数和幂函数作业题及答案解析2.1第1课时.doc
§3.2 对数函数 3.2.1 对数（一）课时目标 1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.掌握对数的基本性质，会用对数恒等式进行运算．1．对数的概念如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即________，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作__________．其中a 叫做__________，N 叫做______． 2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做________，以e 为底的对数叫做________，log 10N 可简记为________，loge N 简记为________． 3．对数与指数的关系若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝____.对数恒等式：log a Na ＝____；log a a x ＝____(a >0，且a ≠1)． 4．对数的性质(1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数________．一、填空题1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为________．2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若 e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是________．(填序号)3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是_____________________________．4．方程3log 2x＝14的解集是________．5．若log a 5b ＝c ，则下列关系式中正确的是________． ①b ＝a 5c ；②b 5＝a c ；③b ＝5a c ；④b ＝c 5a .6．0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为________．7．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x -＝________. 8．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________.9．已知lg a ＝2.431 0，lg b ＝1.431 0，则ba＝________.二、解答题10．(1)将下列指数式写成对数式：①10－3＝11 000；②0.53＝0.125；③(2－1)－1＝2＋1. (2)将下列对数式写成指数式：①log 26＝2.585 0；②log 30.8＝－0.203 1； ③lg 3＝0.477 1. 11．已知log a x ＝4，log a y ＝5，求A＝12x ⎡⎢⎢⎢⎣的值．能力提升12．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n 的值是________． 13．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值：①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13.(2)已知6a＝8，试用a 表示下列各式： ①log 68；②log 62；③log 26.1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)log a Na＝N .2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算． 3．指数式与对数式的互化§2.3 对数函数 2．3.1 对 数 第1课时 对数的概念知识梳理1．a b ＝N log a N ＝b 对数的底数 真数 2.常用对数 自然对数 lg N ln N 3.x N x 4.(1)零 (2)1 (3)没有对数 作业设计 1．3解析 ①、③、④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x ＝N 才能化为对数式． 2．①②解析 ∵lg 10＝1，∴lg(lg 10)＝0，故①正确； ∵ln e ＝1，∴ln(ln e)＝0，故②正确；由lg x ＝10，得1010＝x ，故x ≠100，故③错误； 由e ＝ln x ，得e e ＝x ，故x ≠e 2，所以④错误． 3．2<a <3或3<a <5解析 由对数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧ 5－a >0，a －2>0，a －2≠1⇒⎩⎨⎧a <5，a >2，a ≠3⇒2<a <3或3<a <5.4．{x |x ＝19}解析 ∵3log 2x＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.5．①解析 由log a 5b ＝c ，得a c ＝5b ， ∴b ＝(ac )5＝a 5c . 6．8解析 0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭＝(12)－1·12log 412⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2×4＝8.7.24解析 由题意得：log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，转化为指数式则有x ＝23＝8， ∴128-＝1218＝18＝122＝24. 8．3解析 由题意得：log x 9＝2，∴x 2＝9，∴x ＝±3， 又∵x >0，∴x ＝3. 9.110解析 依据a x ＝N ⇔log a N ＝x (a >0且a ≠1)， 有a ＝102.431 0，b ＝101.431 0， ∴b a ＝101.431 0102.431 0＝101.431 0－2.431 0＝10－1＝110. 10．解 (1)①lg 11 000＝－3；②log 0.50.125＝3；③log2－1(2＋1)＝－1.(2)①22.585 0＝6；②3－0.203 1＝0.8；③100.477 1＝3.11．解 A ＝12x ·11622x y -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭＝51213x y .又∵x ＝a 4，y ＝a 5，∴A ＝5353a a＝1.12．45解析 由log a 3＝m ，得a m ＝3， 由log a 5＝n ，得a n ＝5. ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.13．解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝252-＝582.②因为log x 3＝－13，所以x －13＝3，所以x ＝3－3＝127.(2)①log 68＝a .②由6a ＝8得6a ＝23，即36a ＝2，所以log 62＝a3.③由36a ＝2得32a＝6，所以log 26＝3a .。
部编版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数带答案知识点归纳总结(精华版)
(名师选题)部编版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数带答案知识点归纳总结(精华版)单选题1、已知a =log 20.6,b =log 20.8,c =log 21.2，则（ ） A ．c >b >a B ．c >a >b C ．b >c >a D ．a >b >c2、函数y =|lg(x +1)|的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．3、若f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,5]B ．[32,5)C ．(32,5)D ．(1,5)4、化简(1og 62)2+log 62⋅log 63+2log 63−6log 62的值为（ ） A ．−log 62B ．−log 63C ．log 63D ．-15、青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足L =5+lgV ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（√1010≈1.259） A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.66、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ） A ．[0,34]B ．(0,34)C ．[0,916]D ．(0,916) 7、中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C =Wlog 2(1+SN ).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）附：lg2≈0.3010A ．10%B ．20%C ．50%D ．100%8、已知函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．√e )B ．(−∞,√e )C ．√e )D ．(0,√e )多选题9、若直线y =2a 与函数y =|a x −1|（a >0，且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值可以是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．2 10、已知函数f(x)=2x 2x +1+m(m ∈R)则下列说法正确的是（ ）A ．f (x )的定义域为R .B ．若f(x)为奇函数，则m =−12 C ．f(x)在R 上单调递减D ．若m =0，则f(x)的值域为(0,1) 11、已知函数f(x)=1−2x1+2x ，则下面几个结论正确的有（ ） A ．f(x)的图象关于原点对称 B ．f(x)的图象关于y 轴对称 C ．f(x)的值域为(−1,1) D ．∀x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2,f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0恒成立填空题12、函数f(x)=lg(kx)−2lg(x+1)仅有一个零点，则k的取值范围为________．部编版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数带答案(四十七)参考答案1、答案：A分析：由对数函数得单调性即可得出结果. ∵y =log 2x 在定义域上单调递增，∴log 20.6<log 20.8<log 21.2，即c >b >a . 故选：A. 2、答案：A分析：由函数y =lgx 的图象与x 轴的交点是(1,0)结合函数的平移变换得函数y =|lg(x +1)|的图象与x 轴的公共点是(0,0)，即可求解.由于函数y =lg(x +1)的图象可由函数y =lgx 的图象左移一个单位而得到，函数y =lgx 的图象与x 轴的交点是(1,0)，故函数y =lg(x +1)的图象与x 轴的交点是(0,0)，即函数y =|lg(x +1)|的图象与x 轴的公共点是(0,0)，显然四个选项只有A 选项满足. 故选：A. 3、答案：B分析：由题意得{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解不等式组可求得答案 因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解得32≤a <5， 故选：B 4、答案：A分析：运用对数的运算性质即可求解. 解析：(log 62)2+log 62⋅log 63+2log 63−6log 62=log 62(log 62+log 63)+2log 63−2=log 62+2log 63−2=2(log 62+log 63)−log 62−2=2−log 62−2=−log 62故选：A. 5、答案：C分析：根据L,V 关系，当L =4.9时，求出lgV ，再用指数表示V ，即可求解. 由L =5+lgV ，当L =4.9时，lgV =−0.1， 则V =10−0.1=10−110=√1010≈11.259≈0.8.故选：C. 6、答案：D分析：根据题意，作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 与y =12x +m 的图像，然后通过数形结合求出答案.函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0的图像如下图所示：若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点， 若直线y =12x +m 经过原点时，m ＝0，若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切，令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0，令Δ=94−4m=0⇒m=916.故m∈(0,916).故选：D．7、答案：B分析：根据题意，计算出log24000log21000的值即可；当SN =1000时，C=Wlog21000，当SN=4000时，C=Wlog24000，因为log24000log21000=lg4000lg1000=3+2lg23≈3.60203≈1.2所以将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了20%，故选：B.小提示：本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.8、答案：B分析：f(x)=x2+e x−12(x<0)关于y轴对称的函数为：f(−x)=x2+e−x−12(x>0)，函数f(x)=x2+e x−12(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点，即f(−x)=g(x)有解，通过数形结合即可得解.f(x)=x2+e x−12(x<0)关于y轴对称的函数为：f(−x)=x2+e−x−12(x>0)，函数f(x)=x2+e x−12(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点，即f(−x)=g(x)有解，即x2+e−x−12=x2+ln(x+a)，整理的：e−x−12=ln(x+a)，y=e−x−12和y=ln(x+a)的图像存在交点，如图：临界值在x=0处取到（虚取），此时a=√e，和y=ln(x+a)的图像存在交点，故当a<√e时y=e−x−12故选：B.9、答案：AB分析：对a分类讨论，利用数形结合分析得解.，（1）当a>1时，由题得0<2a<1,∴0<a<12因为a>1，所以此种情况不存在；，（2）当0<a<1时，由题得0<2a<1,∴0<a<12因为0<a<1，所以0<a<1.2故选：AB小提示：方法点睛：取值范围问题的求解，常用的方法：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.10、答案：ABD分析：根据函数的定义域的求法，可判定A正确；根据函数的奇偶性列出方程，求得m的值，可判定B正确，化简f(x)=−12x+1+m+1，结合指数函数的单调性，可判定C错误；化简函数f(x)=1−12x+1，结合指数函数的值域，可判定D正确.由题意，函数f(x)=2x2x+1+m(m∈R)，对于A中，由2x+1≠0，所以函数f(x)的定义域为R，所以A正确；对于B中，由函数f(x)为奇函数，则满足f(−x)=−f(x)，即2−x2−x+1+m=−2x2x+1−m，所以2m=−2x2x+1−2−x2−x+1=−2x2x+1−12x12x+1=−2x2x+1−12x+1=−1，即m=−12，所以B不正确；对于C中，由f(x)=2x2x+1+m=2x+1−12x+1+m=−12x+1+m+1，因为函数y=2x+1为单调递增函数，则y=−12x+1递增函数，所以f(x)函数在R上单调递减，所以C不正确；对于D中，当m=0时，可得f(x)=2x2x+1=1−12x+1，因为2x+1>1，可得−1<−12x+1<0，所以1−12x+1∈(0,1)，即函数f (x )的值域为(0,1)，所以D 正确. 故选：ABD. 11、答案：ACD分析：利用奇函数的定义和性质可判断AB 的正误，利用参数分离和指数函数的性质可判断CD 的正误. 对于A ，f(x)=1−2x 1+2x ，则f(−x)=1−2−x 1+2−x =2x −11+2x=−f(x)，则f(x)为奇函数，故图象关于原点对称，故A 正确.对于B ，计算f(1)=−13，f(−1)=13≠f(1)，故f(x)的图象不关于y 轴对称，故B 错误. 对于C ，f(x)=1−2x 1+2x=−1+21+2x，1+2x =t,t ∈(1,+∞)，故y =f(x)=−1+2t，易知：−1+2t∈(−1,1)，故f(x)的值域为(−1,1),故C 正确. 对于D ，f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ， 因为y =1+2x 在R 上为增函数，y =−1+21+t为(1,+∞)上的减函数，由复合函数的单调性的判断法则可得f (x )在R 上单调递减， 故∀x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0恒成立，故D 正确.故选：ACD.小提示：方法点睛：复合函数的单调性的研究，往往需要将其转化为简单函数的复合，通过内外函数的单调性结合“同增异减”的原则来判断. 12、答案：(−∞,0)∪{4}分析：由题意f(x)仅有一个零点，令y 1=kx 、y 2=(x +1)2，即y 1、y 2在f(x)定义域内只有一个交点，讨论k >0、k <0并结合函数图象，求k 的范围.由题意，f(x)=lg(kx)−2lg(x +1)=0，即lg(kx)=lg(x +1)2， ∴在f(x)定义域内，y 1=kx 、y 2=(x +1)2只有一个交点， 当k >0时，即(0,+∞)上y 1、y 2只有一个交点；∴仅当y 1、y 2相切，即x 2+(2−k)x +1=0中Δ=(2−k)2−4=0，得k =4或k =0(舍)，∴当k=4时，(0,+∞)上y1、y2只有一个交点；当k<0时，即(−1,0)上y1、y2只有一个交点，显然恒成立.∴k∈(−∞,0)∪{4}.所以答案是：(−∞,0)∪{4}。
2019_2020学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数幂函数课后篇巩固提升新人教B版必修第二册
4.4幂函数课后篇巩固提升夯实基础1.(多选)有下列函数:①y=√x;②y=1x2;③y=x4+x-2;④y=3x2.其中是幂函数的是()A.①B.②C.③D.④2.设α∈{-1,1,12,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为()A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3-1=1x的定义域不是R,y=x12的定义域不是R,y=x与y=x3的定义域是R,且它们都是奇函数,故选A.3.已知a=(35)-13,b=(35)-12,c=(43)-12,则a,b,c三个数的大小关系是()A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<cf(x)=(35)x在其定义域上是减函数,又-13>-12,所以a<b.因为幂函数g(x)=x12在其定义域上是增函数,所以c=(43)-12=(34)12<1.又因为a=(35)-13=(53)13>1,所以a>c.因此c<a<b.4.当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x-5m-3为减函数,则实数m的值为()A.m=2B.m=-1C.m=-1或m=2D.m≠1±√52,{-5x -3<0,x 2-x -1=1,解得m=2.5.设函数y=x 3与y=(12)x -2的图像的交点为(x 0,y 0),则x 0所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4),由图像得1<x 0<2.6.已知幂函数y=f (x )的图像过点(2,√2),则这个函数的解析式为 .x 12f (x )=x α(α∈R ),将点(2,√2)代入,得√2=2α,所以α=12.所以f (x )=x 12.7.函数y=(3x-2)12+(2-3x )-13的定义域为 . (23,+∞){3x -2≥0,2-3x ≠0,解得{x ≥23,x ≠23,即x>23.8.设函数f 1(x )=x 12,f 2(x )=x -1,f 3(x )=x 2,则f 1(f 2(f 3(2 020)))= .1{f 2[f 3(2020)]}=f 1[f 2(20202)]=f 1(120202)=12020.9.设幂函数y=x x2-3x在(0,+∞)内是减函数,指数函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)内是增函数,对数函x在(0,+∞)内是减函数,求a的取值范围.数y=lo g(x2-2x+1)幂函数y=x x2-3x在(0,+∞)内是减函数,∴a2-3a<0.①又∵y=(a2-1)x在(-∞,+∞)内是增函数,∴a2-1>1,即a2>2.②x在(0,+∞)内是减函数,又∵y=lo g(x2-2x+1)∴0<a2-2a+1<1,③解①②③,得√2<a<2.即a的取值范围为(√2,2).能力提升1.下面六个幂函数的图像如图所示,试建立函数与图像之间的对应关系:(1)y=x32;(2)y=x13;(3)y=x23;(4)y=x-2;(5)y=x-3;(6)y=x-12.:(1)y=x32=√x3的定义域为[0,+∞),既不是奇函数也不是偶函数,在[0,+∞)内是增函数;(2)y=x13=√x3的定义域为R,是奇函数,在[0,+∞)内是增函数;3的定义域为R,是偶函数,在[0,+∞)内是增函数;(3)y=x23=√x2的定义域为{x|x≠0},是偶函数,在(0,+∞)内是减函数;(4)y=x-2=1x2(5)y=x-3=1的定义域为{x|x≠0},是奇函数,在(0,+∞)内是减函数;x3(6)y=x-12=的定义域为{x|x>0},既不是奇函数也不是偶函数,在(0,+∞)内是减函数.√x通过上面分析,可以得出(1)↔A,(2)↔F,(3)↔E,(4)↔C,(5)↔D,(6)↔B.2.设幂函数f(x)=(a-1)·x k(a∈R,k∈Q)的图像经过点(√2,2).(1)求a,k的值;(2)若函数h(x)=-f(x)+2b√x(x)+1-b在[0,1]上的最大值为2,求实数b的值.由题知a-1=1,(√2)k=2,∴a=2,k=2.(2)f(x)=x2,h(x)=-x2+2bx+1-b=-(x-b)2+b2-b+1,x∈[0,1],①b≥1时,h max=h(1)=b=2;②0<b<1时,h max=h(b)=b2-b+1=2,∴b=1±√5(舍).2③b≤0时,h max(x)=h(0)=1-b=2,∴b=-1.综上,b=2或b=-1.。
函数概念与基本初等函数第四讲指数函数对数函数幂函数答案.pdf
( , 2)
质，可知 y lnu 单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为
(4, ) ．选 D．
1
6． C【解析】函数 f (x) 为奇函数，所以 a f ( log ) f (log 5) ，
2
2
5
又
log 5 log 4.1 log 4 2 ， 1 20.8 2 ，
2
2
2
由题意， a b c ，选 C．
y ln(2 x) ，故选 B．
解法二 由题意知，对称轴上的点 (1,0) 即在函数 y ln x 的图象上也在所求函数的图象
上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除
A ，C， D，选 B．
2(1 x)
4． C【解析】由
， 0 x 2 知， f ( x) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1,2) 上
16． B【解析】由于 f ( x) 为偶函数，所以 m 0 ，即 f (x) 2|x| 1，其图象过原点，且关
3
于 y 轴对称，在 ( ,0)上单调递减，在 (0, ) 上单调递增．又
a f (log 3) f ( log 3) f (log 3) ， b f (log 5) ， c f (0) ．
N
a
10． B【解析】函数 f ( x) 的对称轴为 x ， 2
a ①当 ≤ 0 ，此时 M f (1) 1 a b ， m f (0) b ， M m 1 a ；
2 a ②当 ≥ 1，此时 M f (0) b ， m f (1) 1 a b ， M m 1 a ； 2
③当 0
a
a
1，此时 m f ( ) b
1
7． B 【解析】由 f x
x
x
新高考高中数学核心知识点全透视：指数函数、对数函数与幂函数(精讲精析篇)(附答案及解析)
专题4.1 指数函数、对数函数与幂函数（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 指数幂的化简与求值指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【典例1】计算：．【典例2】已知则的值为__________．【特别提醒】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形．热门考点02 指数函数的图象及应用常考题型及技法(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较． 【典例3】（2019·华东师大二附中前滩学校高三月考）函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是（ ）． A ． B ．C ．D ．【典例4】(2019·天津河西区一模)已知f (x )＝|2x－1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 C ．2－a＜2cD ．1＜2a＋2c＜2【典例5】（2019·安徽马鞍山二中高三月考（文））若函数3x my a n -=+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(3,2)，则m n +=______． 【总结提升】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．3.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 4.过定点的图象(1)画指数函数y ＝ax(a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）； (2) xy a ＝与xy a-＝的图象关于y 轴对称；(3)当a ＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a ＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．热门考点03 指数函数的性质及应用有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 【典例6】（2016新课标全国III ）已知，，，则（ ）A. B. C.D.【典例7】（2017·北京高考真题（理））已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【典例8】（2015·江苏高考真题）不等式224xx-<的解集为________.【典例9】（2019·浙江学军中学高一期中）已知函数1()421x x f x a +=-⋅+． （1）若函数()f x 在[]0,2x ∈上有最大值8-，求实数a 的值； （2）若方程()0f x =在[]1,2x ∈-上有解，求实数a 的取值范围． 【总结提升】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b. 规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．热门考点04 对数的化简、求值1.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【典例10】()52016? 1.2b aa b a b log b log a a b 浙江卷已知＞＞若＋＝，＝，则a ＝ ，b ＝ . 【典例11】（2019·全国高考真题（理））已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________. 【易错提醒】(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)的错误．(2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．热门考点05 对数函数的图象及应用应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【典例12】（2019·四川省眉山第一中学高三月考（文））函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【典例13】（2019·浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）A. B.C. D.【典例14】（2019·江西高三高考模拟（文））已知函数lg ,0()1lg ,0x x f x x x >⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，若()()f m f m >-，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,0)(1,)-⋃+∞ B ．(,1)(1,)-∞-+∞U C ．(1,0)(0,1)-UD ．(,1)(0,1)-∞-U【总结提升】log a y x =的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线1x =的右侧，1a >时，底大图低（靠近x 轴）；01a <<时，底大图高（靠近x 轴）．（2）左右比较（比较图象与1y =的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.热门考点06 对数函数的性质及应用1.比较对数式大小的类型及相应的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (3)若底数与真数都不同，则常借助1,0,-1等中间量进行比较． 2. 解对数不等式的类型及方法（1）形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．（2）形如log a x ＞b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．【典例15】（2018·全国高考真题（理））设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（ ） A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【典例16】（2019·山东高考模拟（文））已知1()44x f x x -=+-e ，若正实数a 满足3(log )14a f <，则a的取值范围为（ ） A ．34a >B ．304a <<或43a >C ．304a <<或1a > D ．1a >【典例17】（2018·上海市大同中学高一期末）函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是______．【易错提醒】利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．热门考点07 幂函数的图象和性质1.比较幂值大小的常见类型及解决方法2.幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0,1时，幂函数y ＝x α在第一象限的图象特征：【典例18】（2018·上海高考真题）已知112112322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，，，，，，，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0+∞，上递减，则a =____． 【典例19】（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数的图象过点，且，，，则、、的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．【总结提升】1在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b. 规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．4.幂函数y ＝x α的形式特点是“幂指数坐在x 的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y 轴左侧的增减性即可．热门考点08 函数与方程1.判断函数零点所在区间有三种方法：①解方程，直接求出零点；②利用零点存在定理，判断零点所在区间；③图象法，观察交点所在区间.特别提醒：在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断． 2.判断函数零点个数的方法：（1）直接法：即直接求零点，令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点；（2）定理法：利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点（3）图象法：即利用图象交点的个数，画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数.（4）性质法：即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数. 【典例20】（2019·山东高二期末）函数3()2xf x e x =--(e=2.71828…是自然对数的底数)一定存在零点的区间是（ ） A.(-1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，e)【典例21】（2015·天津高考真题（文））已知函数,函数,则函数的零点的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【典例22】（2019·新疆高考模拟（文））关于x 的方程()00,1xa x a a a --=>≠且有两个解，则a 的取值范围是（ ）A ．()1+∞， B ．()01， C ．()0+∞，D ．ϕ【总结提升】1.在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断．2. 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．巩固提升1.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是( ) A.B.y =C.D.2．已知a ，b 均为不等于1的正数，且满足lg lg 0a b +=，则函数()xf x a =与函数()log b g x x =-的图象可能是（ ）A. B.C. D.3．（2010·全国高考真题（文））已知函数()lg f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则+a b 的取值范围是 （ ） A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞4．（2018·全国高考真题（文））下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是( ) A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+5．（2019·河北高三月考（理））已知奇函数()f x 满足()(4)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，()2x f x =，则()2log 12f =（ ）A.43- B.2332 C.34D.38-6．（2019·天津高三高考模拟）若，则函数的值域是（ ）A ．B ．C ．D ．7.（2019·北京高考真题（文））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.1 8.（2019·天津高考真题（文））已知，，，则的大小关系为（ ）A. B. C.D.9.（2018·天津高考真题（文））已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>10. (2018届山东、湖北部分重点中学冲刺（二）)定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（ ）A. B. C. D.11.（2019·上海市高桥中学高一期末）式子()2log 3y x =-的定义域为_________. 12.函数log ()a y x k =+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点()0,0，则函数1log ()ay x k =-的图象恒过点______.13.（2019·上海市大同中学高三月考）幂函数ky x =的图象经过点(14,2)，则它的单调减区间为________14.（2019·上海市行知中学高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2xf x =，则()4log 9f 的值为______.15.（2015·湖南高考真题（理））已知函数32,(),x x m f x x x m ⎧≤=⎨>⎩，，若存在实数a ，使函数g(x)=f(x)-a 有两个零点，则实数m 的取值范围是________．16.（2019·上海市高桥中学高一期末）在下列命题中：①两个函数的对应法则和值域相同，则这两个是同一个函数；②()222xxf x -=在R 上单调递增，③若函数()1f x -的定义域为[]0,2，则函数()1f x +的定义域为[]2,0-；④若函数()f x 在其定义域内不是单调函数，则()f x 不存在反函数；⑤()42222xx f x =+++函数的最小值为4；⑥若关于x 的不等式1202xx m --<在[]0,1区间内恒成立，则实数m 的范围是()0,2其中真命题的序号有_________.专题4.1 指数函数、对数函数与幂函数（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 指数幂的化简与求值指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【典例1】计算：．【答案】12.【解析】．【典例2】已知则的值为__________．【答案】【解析】题意，∴，∴，故答案为．【特别提醒】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形．热门考点02 指数函数的图象及应用常考题型及技法(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．【典例3】（2019·华东师大二附中前滩学校高三月考）函数1(0,1)xy a a aa=->≠的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵0a >，∴10a>，∴函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过（0,1）点，所以排除A ，当1a >时，∴101a <<，所以排除B ， 当01a <<时，∴11a>，所以排除C ，故选D.【典例4】(2019·天津河西区一模)已知f (x )＝|2x－1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 C ．2－a＜2cD ．1＜2a＋2c＜2【答案】D【解析】作出函数f (x )＝|2x－1|的图象，如图所示，因为a ＜b ＜c ，且有f (a )＞f (c )＞f (b )，所以必有a ＜0,0＜c ＜1，且|2a－1|＞|2c－1|，所以1－2a ＞2c －1，则2a ＋2c ＜2，且2a ＋2c＞1，故选D.【典例5】（2019·安徽马鞍山二中高三月考（文））若函数3x m y a n -=+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(3,2)，则m n +=______． 【答案】7【解析】∵函数3x my an -=+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点，令0x m -=，可得x m =，2y n =-，可得函数的图象经过定点(),2m n -.再根据函数的图象经过定点()3,2， ∴3m =，22n -=，解得3m =，4n =，则7m n +=， 故答案为：7． 【总结提升】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．3.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 4.过定点的图象(1)画指数函数y ＝ax(a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）； (2) xy a ＝与xy a-＝的图象关于y 轴对称；(3)当a ＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a ＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．热门考点03 指数函数的性质及应用有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 【典例6】（2016新课标全国III ）已知，，，则（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】因为，，所以，故选A ．【典例7】（2017·北京高考真题（理））已知函数1()3()3x x f x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】分析：讨论函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，可得答案. 详解：函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333xx xx x xf x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xxy ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数.故选A.【典例8】（2015·江苏高考真题）不等式224xx-<的解集为________.【答案】(1,2).- 【解析】,2222,xx-∴<是一个递增函数；故答案为：.【典例9】（2019·浙江学军中学高一期中）已知函数1()421x x f x a +=-⋅+． （1）若函数()f x 在[]0,2x ∈上有最大值8-，求实数a 的值； （2）若方程()0f x =在[]1,2x ∈-上有解，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）5；（2）1718a ≤≤【解析】（1）因为[]0,2x ∈，所以令[]21,4xt =∈，所以得到函数()221f t t at =-+，开口向上，对称轴为t a =，当52a ≤时，则在4t =时，()f t 取最大值，即()()max 48f t f ==-， 所以16818a -+=-，解得258a =，不满足52a ≤，所以舍去，当52a >时，则1t =时，()f t 取最大值，即()()max 18f t f ==-，所以1218a -+=-，解得5a =，满足52a >，综上，a 的值为5.（2）因为[]1,2x ∈-，所以令12,42xm ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，所以得到函数()221f m m am =-+令()0f m =，得2210m am -+=，即12a m m=+， 所以要使()0f m =有解， 则函数2y a =与函数1y m m=+有交点，而函数1y m m =+，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,4上单调递增， 故在1x =时，有min 2y =，在4x =时，有max 174y =， 所以可得21724a ≤≤， 所以a 的范围为1718a ≤≤.【总结提升】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b. 规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．热门考点04 对数的化简、求值1.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【典例10】()52016? 1.2b aa b a b log b log a a b 浙江卷已知＞＞若＋＝，＝，则a ＝ ，b ＝ .【答案】4，2.【解析】设log ,1b a t t =>则，因为21522t t a b t +=⇒=⇒=，因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒==【典例11】（2019·全国高考真题（理））已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________. 【答案】-3【解析】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x ->，()()axf x f x e -=--=．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e -=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-． 【易错提醒】(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)的错误．(2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．热门考点05 对数函数的图象及应用应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【典例12】（2019·四川省眉山第一中学高三月考（文））函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】对于A 、B 两图， ，而ax 2+bx=0的两根为0和，且两根之和为，由图知0＜＜1得-1＜＜0，矛盾， 对于C 、D 两图，0＜＜1，在C 图中两根之和＜-1，即＞1矛盾，C 错，D 正确．故选：D ．【典例13】（2019·浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D 选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【典例14】（2019·江西高三高考模拟（文））已知函数lg ,0()1lg ,0x x f x x x >⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，若()()f m f m >-，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,0)(1,)-⋃+∞ B ．(,1)(1,)-∞-+∞U C ．(1,0)(0,1)-U D ．(,1)(0,1)-∞-U【答案】A【解析】由函数的解析式可得函数为奇函数，绘制函数图像如图所示，则不等式()()f m f m >-即()()f m f m >-，即()0f m >， 观察函数图像可得实数m 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞. 故选：A . 【总结提升】log a y x =的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线1x =的右侧，1a >时，底大图低（靠近x 轴）；01a <<时，底大图高（靠近x 轴）．（2）左右比较（比较图象与1y =的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.热门考点06 对数函数的性质及应用1.比较对数式大小的类型及相应的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (3)若底数与真数都不同，则常借助1,0,-1等中间量进行比较．2. 解对数不等式的类型及方法（1）形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．（2）形如log a x ＞b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．【典例15】（2018·全国高考真题（理））设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（ ） A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<< D ．0ab a b <<+【答案】B 【解析】求出0.2211log0.3,0.3log a b ==，得到11a b+的范围，进而可得结果. 详解：.0.30.3log0.2,2a b log ==Q0.2211log0.3,0.3log a b ∴== 0.3110.4log a b ∴+= 1101a b ∴<+<,即01a b ab +<<又a 0,b 0><Qab 0∴<即ab a b 0<+<故选B.【典例16】（2019·山东高考模拟（文））已知1()44x f x x -=+-e ，若正实数a 满足3(log )14a f <，则a的取值范围为（ ） A ．34a >B ．304a <<或43a > C ．304a <<或1a > D ．1a >【答案】C【解析】因为1x y e-=与44y x =-都是R 上的增函数，所以1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数， 又因为11(1)441f e -=+-=所以()3(log )114af f <=等价于3log 14a <， 由1log a a =，知3log log 4a a a <,当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上单调递减，故34a <，从而304a <<； 当1a >时，log a y x =在()0,∞+上单调递增，故34a >，从而1a >， 综上所述， a 的取值范围是304a <<或1a >，故选C. 【典例17】（2018·上海市大同中学高一期末）函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是______．【答案】()1,2【解析】函数()()log 2a f x ax =-，所以真数位置上的20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立， 由一次函数保号性可知，2a <，当01a <<时，外层函数log a y t =为减函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为增函数， 所以0a ->，即0a <，所以a ∈∅， 当1a >时，外层函数log a y t =为增函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为减函数， 所以0a -<，即0a >，所以1a >， 综上可得a 的范围为()1,2. 故答案为：()1,2. 【易错提醒】利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．热门考点07 幂函数的图象和性质。
指数函数、对数函数、幂函数基本性质练习(含答案)
1、用根式的形式表示下列各式)0(>a 151a = 232a- =2、用分数指数幂的形式表示下列各式： 134y x = 2)0(2>=m mm3、求下列各式的值 12325= 232254-⎛⎫⎪⎝⎭=4、解下列方程 11318x - = 2151243=-x1、下列函数是指数函数的是 填序号1xy 4= 24x y = 3xy )4(-= 424x y =..2、函数)1,0(12≠>=-a a a y x 的图象必过定点 ..3、若指数函数xa y )12(+=在R 上是增函数;求实数a 的取值范围 ..4、如果指数函数xa x f )1()(-=是R 上的单调减函数;那么a 取值范围是 A 、2<a B 、2>a C 、21<<a D 、10<<a5、下列关系中;正确的是A 、5131)21()21(> B 、2.01.022> C 、2.01.022--> D 、115311()()22- - >6、比较下列各组数大小：10.53.1 2.33.1 20.323-⎛⎫⎪⎝⎭0.2423-⎛⎫⎪⎝⎭3 2.52.3- 0.10.2-7、函数xx f 10)(=在区间1-;2上的最大值为 ;最小值为 .. 函数xx f 1.0)(=在区间1-;2上的最大值为 ;最小值为 ..8、求满足下列条件的实数x 的范围：182>x22.05<x9、已知下列不等式;试比较n m ,的大小：1nm22< 2nm 2.02.0< 3)10(<<<a a a n m10、若指数函数)1,0(≠>=a a a y x的图象经过点)2,1(-;求该函数的表达式并指出它的定义域、值域和单调区间..11、函数x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31的图象与xy -⎪⎭⎫⎝⎛=31的图象关于 对称..12、已知函数)1,0(≠>=a a a y x在[]2,1上的最大值比最小值多2;求a 的值 ..13、已知函数)(x f =122+-x x a是奇函数;求a 的值 ..14、已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数;且当0<x 时;xx f 21)(+=;求此函数的解析式..对数第11份1、将下列指数式改写成对数式11624= 2205=a答案为：1 2 2、将下列对数式改写成指数式13125log 5= 210log 2a =-答案为：1 2 3、求下列各式的值164log 2= 227log 9 = 30001.0lg = 41lg = 59log 3= 69log 31= 78log 32=4、此题有着广泛的应用;望大家引起高度的重视已知.,0,1,0R b N a a ∈>≠>12log a a =_________ 5log a a =_________ 3log -a a =_________ 51log a a =________一般地;ba a log =__________2证明：N a Na =log5、已知0>a ;且1≠a ;m a =2log ;n a =3log ;求n m a +2的值..6、1对数的真数大于0； 2若0>a 且1≠a ;则01log =a ； 3若0>a 且1≠a ;则1log =a a ；4若0>a 且1≠a ;则33log =a a；以上四个命题中;正确的命题是 7、若33log =x ;则=x8、若)1(log 3a -有意义;则a 的范围是 9、已知48log 2=x ;求x 的值10、已知0)](lg [log log 25=x ;求x 的值对数第12份1、下列等式中;正确的是___________________________.. 131log 3= 210log 3=303log 3= 413log 3=53log 53log 252= 612lg 20lg =-7481log 3= 824log 21=2、设1,0≠>a a 且;下列等式中;正确的是________________________.. 1)0,0(log log )(log >>+=+N M N M N M a a a 2)0,0(log log )(log >>-=-N M NM N M a a a3)0,0(log log log >>=N M NMN M a a a4)0,0(log log log >>=-N M NMN M a a3、求下列各式的值1)42(log 532⨯=__________2125log 5=__________31)01.0lg(10lg 2lg 25lg 21-+++=__________ 45log 38log 932log 2log 25333-+- =__________525lg 50lg 2lg 20lg 5lg -⋅-⋅=__________ 61lg 872lg 49lg 2167lg214lg +-+-=__________ 750lg 2lg )5(lg 2⋅+=__________85lg 2lg 3)5(lg )2(lg 33⋅++=__________ 4、已知b a ==3lg ,2lg ;试用b a ,表示下列各对数.. 1108lg =__________ 22518lg=__________ 5、1求32log 9log 38⨯的值__________；28log 7log 6log 5log 4log 3log 765432⨯⨯⨯⨯⨯=__________6、设3643==yx ;求yx 12+的值__________.. 7、若nm 110log ,2lg 3==;则6log 5等于 ..对数函数第13份1、求下列函数的定义域： 1)4(log 2x y -= 2)1,0(1log ≠>-=a a x y a 3)12(log 2+=x y411lg-=x y 5)1(log )(31-=x x f 6)3(log )()1(x x f x -=- 答案为1 2 3 4 5 6 2、比较下列各组数中两个值的大小：133log 5.4log 5.5⎽⎽⎽⎽⎽ 21133log log e π⎽⎽⎽⎽⎽3lg 0.02lg3.12⎽⎽⎽⎽⎽ 4ln 0.55ln 0.56⎽⎽⎽⎽⎽ 52log 7⎽⎽⎽⎽⎽4log 50 676log 5log 7⎽⎽⎽⎽⎽ 75.0log 7.0⎽⎽⎽⎽⎽ 1.17.080.5log 0.3;0.3log 3;3log 2 97.0log 2 7.0log 3 7.0log 2.0 答案为8 93、已知函数x y a )1(log -=在),0(+∞上为增函数;则a 的取值范围是 ..4、设函数)1(log 2-=x y ;若[]2,1∈y ;则∈x5、已知||lg )(x x f =;设)2(),3(f b f a =-=;则a 与b 的大小关系是 ..6、求下列函数的值域1 )1lg(2+=x y 2)8(log 25.0+-=x y对数函数2第14份1、已知5log,5.0log ,6.0log 325.0===c b a ;则c b a ,,的大小 ..2、函数0(3)3(log >+-=a x y a 且)1≠a 恒过定点 ..3、将函数)2(log 3+=x y 的图象向 得到函数x y 3log =的图象；将明函数3log 2y x =+的图象向 得到函数x y 3log =的图象..4、1函数1lg 1lg )(++-=x x x f 的奇偶性是 .. 2函数()1()log (0,1)111a xf x a a x x+=>≠-<<-的奇偶性为5、若函数x x f 21log )(=;则)3(),31(),41(-f f f 的大小关系为 ..6、已知函数)1,0(log ≠>=a a x y a 在]4,2[∈x 上的最大值比最小值多1;求实数a 的值 ..幂函数第15份幂函数的性质A 、xy 2= B 、2x y -=C 、x y 2log =D 、21-=xy2、写出下列函数的定义域;判断其奇偶性12x y =的定义域 ;奇偶性为 23x y =的定义域 ;奇偶性为 321x y =的定义域 ;奇偶性为 431x y =的定义域 ;奇偶性为 51-=x y 的定义域 ;奇偶性为3、若一个幂函数)(x f 的图象过点)41,2(;则)(x f 的解析式为4、比较下列各组数的大小 17.17.14.3____5.3 23.03.03.1___2.1 36.16.15.2___4.2--5、已知函数12+=m x y 在区间()+∞,0上是增函数;求实数m 的取值范围为 ..6、已知函数2221()(1)m m f x m m x --=++是幂函数;求实数m 的值为 ..函数与零点第16份1、证明：1函数462++=x x y 有两个不同的零点；2函数13)(3-+=x x x f 在区间0;1上有零点2、二次函数243y x x =-+的零点为 ..3、若方程方程2570x x a --=的一个根在区间1-;0内;另一个在区间1;2内;求实数a 的取值范围 ..二分法第17份1、设0x 是方程062ln =-+x x 的近似解;且),(0b a x ∈;1=-a b ;z b a ∈,;则b a ,的值分别为 、2、函数x x y 26ln +-=的零点一定位于如下哪个区间A 、()2,1B 、()3,2C 、()4,3D 、()6,53、已知函数()35xf x x =+-的零点[]0,x a b ∈;且1b a -=;a ;b N *∈;则a b += .4、根据表格中的数据;可以判定方程20xe x --=的一个根所在的区间 为5、函数()lg 3f x x x =+-的零点在区间(,1)m m +()m Z ∈内;则m = ．6、用二分法求函数43)(--=x x f x 的一个零点;其参考数据如下：据此数据;可得方程043=--x x的一个近似解精确到0.01为 7、利用计算器;列出自变量和函数值的对应值如下表：那么方程22xx =的一个根位于下列区间的分数指数幂第9份答案12、33222,x y m3、1125 281254、1512 216指数函数第10份答案1、12、1,12⎛⎫⎪⎝⎭3、12a >- 4、C5、C6、,,<<<7、11100,,10,10100 8、13(2)1x x ><-9、1m n <2m n >3m n >10、12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭;定义域R;值域()0,+∞单调减区间(),-∞+∞11、y 轴12、213、114、12,0()0,012,0xx x f x x x -⎧+<⎪==⎨⎪-->⎩对数第11份答案1、略2、略3、1623234-405262-7354、12;5;3-;15;b 2略5、126、123478、1a <9、10、100对数第12份答案1、45672、43、1132337241-51-607181 4、123a b +2322a b +-5、1103236、17、1m n m+- 对数函数第13份答案1、1{}|4x x <2{}|1x x > 31|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭4{}|1x x >5{}|12x x <≤6{}|132x x x <<≠且2、1<2<3<4<5<6<7>80.5log 0.3>3log 2>0.3log 3; 92log 0.7<3log 0.7<7.0log 2.03、2a >4、[]3,55、a b >6、1[)0,+∞2{}|3y y ≥- 对数函数2第14份答案1、c a b >>2、()4,33、向右平移2各单位；向下平移2各单位4、1偶函数2奇函数5、11()()(3)43f f f >>-6、122或 幂函数第15份答案1、D2、略3、1R;偶函数；2R;奇函数；3{}|0x x ≥;非奇非偶函数；4R;奇函数；5{}|0x x ≠;奇函数；6{}|0x x ≠;偶函数4、245、{}|0x x >6、原点7、减8、B 9、C10、D 11、2()f x x -=12、,,><> 13、12m >-14 函数与零点第16份答案1、 略2、 3;13、解：令2()57f x x x a =--则根据题意得(1)057012(0)000(1)0202(2)0201406f a a f a a f a a f a a ->⇒+->⇒<⎧⎪<⇒-<⇒>⎪⎨<⇒--<⇒>-⎪⎪>⇒-->⇒<⎩ 06a ∴<<二分法第17份答案1、2;32、B3、3其中1,2a b ==4、1;25、26、1.567、(1.8,2.2)。
04-第四章 幂函数、指数函数和对数函数(带答案)曹喜平
§4.1 幂函数的性质与图像（1）A 组1．幂函数23x y =的定义域是 ；值域是 ．),0[∞+；),0[∞+2．幂函数4-=x y 的定义域是 ，值域是 ．)0,(-∞0,+∞（）；0,+∞（） 3．幂函数23-=xy 的定义域是____________；值域是 ．0,+∞（）；0,+∞（）4．幂函数)(Q x y ∈=αα的图象恒过定点 ．)1,1(5．幂函数)(Q x y ∈=αα的图象经过点)2,21(，则=α ．1-6．若b ax x f +=2)(是幂函数，则实数b a ,满足条件 . 0,1==b aB 组 填空题7．若)(x f 既是一次函数, 又是幂函数, 则=)(x f . x 8．若幂函数3(*)m y xm N =∈是奇函数，则m 的最小值为 . 19．若幂函数)(Q x y ∈=αα的图象在第一象限内单调递增，则α的取值范围是 .0,+∞（） 10．若幂函数)(Q x y ∈=αα的图象与y 轴无公共点，则α的取值范围是 .]0,(-∞11．函数y 2y x =的图像的交点的坐标是 ．(0,0)和（1，1） 12．若幂函数是互质的自然数）||,||(q p x y pq=的图象关于y 轴对称，则q p ,满足的条件 是 . q 为非零偶数, p 为奇数13．若幂函数)(Q x y ∈=αα的图像关于原点对称，且当0x >时单调递减，则α的一个可取的值为 .1-选择题14．下列函数是幂函数的是( C )（A ）x y 4= （B ）2=y（C ）)()1(1是有理常数αα+=xy （D ）x y 2=15．下列命题中，正确的是 ( D )（A ）当=0α时，函数y x α=的图像是一条直线 （B ）幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)两点（C ）若幂函数y x α=是奇函数，则y x α=在定义域上增函数 （D ）幂函数的图像不可能出现在第四象限解答题16．讨论函数322)(--=k kx x f 在),0(∞+上的单调性.解：当1-<k ,或3>k 时, 函数)(x f 在),0(∞+上单调递增;当31<<-k 时, 函数)(x f 在),0(∞+上单调递减; 当1-=k 或3=k 时, )(x f 在),0(∞+上是常值函数.17．已知3131)21()3(--+<-x x ，求实数x 的取值范围．解法一：（1）03124x x x >->+⇒<-；（2）3120x x ->+>，无解；（3）1120332x x x +>>-⇒-<<.综上x 的取值范围是1(,4)(,3)2-∞--. 解法二：111133331111(3)(12)()()312312x x x x x x---<+⇔<⇔<-+-+ 41043(3)(21)2x x x x x +⇔<⇔<--<<-+或.C 组18．若偶函数()()Z m x x f m m ∈+=++-123212在+R 上是增函数。
专题 幂函数、指数函数与对数函数-高一数学上学期(沪教版2020必修第一册)(解析版)
专题04幂函数、指数函数与对数函数（17个考点）【知识梳理+解题方法】一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域【知识点归纳】幂函数的定义：一般地，函数y＝x a叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．解析式：y＝x a＝定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．而只有a为正数，0才进入函数的值域．由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．二．幂函数的图象【知识点归纳】三．幂函数的性质【知识点归纳】所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．（1）当a＞0时，幂函数y＝x a有下列性质：a、图象都通过点（1，1）（0，0）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．（2）当a＜0时，幂函数y＝x a有下列性质：a、图象都通过点（1，1）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．（3）当a＝0时，幂函数y＝x a有下列性质：a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．四．幂函数的单调性、奇偶性及其应用【知识点归纳】1、幂函数定义：一般地，函数y＝x a（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．（1）指数是常数；（2）底数是自变量；（3）函数式前的系数都是1；（4）形式都是y＝x a，其中a是常数．2、幂函数与指数函数的对比式子名称a x y指数函数：y底数指数幂值＝a x指数底数幂值幂函数：y＝x a3、五个常用幂函数的图象和性质（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y ＝；（5）y＝x﹣1y＝x y＝x2y＝x3y＝x﹣1y ＝定义域R R R[0，+∞）{x|x≠0}值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，+∞）时，增x∈（﹣∞，0]时，减增增x∈（0，+∞）时，减x∈（﹣∞，0）时，减公共点（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）4、幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．五．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【知识点归纳】指数函数的解析式、定义、定义域、值域1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．②规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x ＝，x ＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．六．指数函数的图象与性质【知识点的认识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y＝a x a＞10＜a＜1图象定义域R值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数2、底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a＞0，且a≠l时，函数y＝a x与函数y ＝的图象关于y轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．七．指数型复合函数的性质及应用【知识点归纳】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．八．指数函数的单调性与特殊点【知识点归纳】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a ＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y 值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．九．指数函数的实际应用【知识点归纳】指数函数图象的应用：函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．十．指数式与对数式的互化【知识点归纳】a b＝N⇔log aN＝b；a log aN＝N；log a a N＝N指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）a f（x）＝b⇔f（x）＝log a b；log a f（x）＝b⇔f（x）＝a b（定义法）（2）a f（x）＝a g（x）⇔f（x）＝g（x）；log a f（x）＝log a g（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）a f（x）＝b g（x）⇔f（x）log m a＝g（x）log m b；（两边取对数法）（4）log a f（x）＝log b g（x）⇔log a f（x）＝；（换底法）（5）A log x+B log a x+C＝0（A（a x）2+Ba x+C＝0）（设t＝log a x或t＝a x）（换元法）十一．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①＝N；②log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．十二．对数函数的定义【知识点归纳】一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．即a b＝N，log a N＝b．底数则要大于0且不为1．十三．对数函数的定义域【知识点归纳】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．十四．对数函数的值域与最值【知识点归纳】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）十五．对数值大小的比较【知识点归纳】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）十六．对数函数的图象与性质【知识点归纳】十七．对数函数的单调性与特殊点【知识点归纳】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a＜1时，y＝log a x在（0，+∞）上为减函数2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十八．指数函数与对数函数的关系【知识点归纳】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十九．反函数【知识点归纳】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C（其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y 轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．【专题过关】一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域（共2小题）1．（2021秋•长宁区期末）幂函数y＝x﹣2的图像在第一和二象限．【分析】根据y＝x﹣2＝＞0，即可求解结论．【解答】解：∵幂函数y＝x﹣2＝＞0，故幂函数y＝x﹣2的图像在第一和第二象限，故答案为：一和二．【点评】本题考查了幂函数的性质，属于基础题．2．（2021秋•闵行区期末）若幂函数y＝x a的图像经过点，则此幂函数的表达式为y＝x．【分析】将点的坐标代入，解得参数，从而求得其解析式．【解答】解：∵幂函数的图象经过点（3，），∴＝3α，∴α＝∴y＝x，故答案为：y＝x．【点评】本题主要考查求幂函数的解析式问题，其实质是点在曲线上，则点的坐标适合曲线的方程，应用的是方程思想．二．幂函数的图象（共2小题）3．（2022秋•黄浦区校级期中）如图是幂函数y＝xα的部分图像，已知α分别取、3、﹣3、这四个值，则与曲线C1、C2、C3、C4相应的α依次为（）A．3，，﹣，﹣3B．﹣3，﹣，，3C．﹣，3，﹣3，D．3，，﹣3，﹣【分析】根据幂函数的图象与性质：图象越靠近x轴的指数越小，即可判断出．【解答】解：根据幂函数的图象与性质，当x＞1时，图象越靠近x轴的指数越小，因此相应于曲线C1、C2、C3、C4相应的α依次为3，，﹣，﹣3．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质，属于基础题．4．（2021秋•宝山区校级期末）幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA．那么αβ＝1．【分析】先确定M、N的坐标，然后求得α，β；再求αβ的值．【解答】解：BM＝MN＝NA，点A（1，0），B（0，1），所以MN，分别代入y＝xα，y＝xβ故答案为：1【点评】本题考查指数与对数的互化，幂函数的图象，是基础题．三．幂函数的性质（共4小题）5．（2022秋•浦东新区校级期中）下列函数中，既是幂函数又是（0，+∞）上的严格增函数的是（）A．y＝2x B．y＝x2C．y＝2x D．【分析】利用幂函数的定义判断即可．【解答】解：幂函数的一般结构是：y＝xα．对于A：是一次函数与幂函数的复合函数，A错误；对于B：是幂函数，在（0，+∞）上的严格增函数，B正确；对于C：是指数函数，不是幂函数，C错误；对于D：是反比例函数（幂函数与一次函数的复合函数），D错误．故答案为：B．【点评】本题考查幂函数的定义，属于基础题．6．（2021秋•徐汇区校级期末）已知函数f（x）＝（m2﹣5m+1）x m+1（m∈Z）为幂函数，且为奇函数．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）令，求y＝g（x）在的值域．【分析】（1）由题意，利用幂函数的定义和性质，求得m值以及函数的解析式．（2）由题意，利用单调性求出函数的值域．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝（m2﹣5m+1）x m+1（m∈Z）为幂函数，且为奇函数，∴m2﹣5m+1＝1，且m+1为奇数，求得m＝0，函数f（x）＝x．（2）令，则y＝g（x）＝x+在上单调递增，当x＝﹣时，y＝﹣；当x＝1时，y＝1+，故函数g（x）＝x+在[﹣，1]上的值域为[﹣，1+]．【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，利用单调性求函数的值域，属于基础题．7．（2021秋•虹口区期末）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，则α＝﹣1．【分析】由已知幂函数的性质可知，α为奇数，且α＜0，结合已知集合即可求解．【解答】解：因为α∈{﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}，由幂函数f（x）＝xα为奇函数，在（0，+∞）上单调递减，所以α为奇数，且α＜0，所以α＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了幂函数的性质的应用，属于基础题．8．（2021春•徐汇区期末）已知幂函数y＝x﹣1，及直线y＝x、y＝1、x＝1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ（如图所示），那么，幂函数y＝的图象在第一象限中经过的“卦限”是（）A．Ⅵ、ⅦB．Ⅳ、ⅧC．Ⅲ、ⅧD．Ⅲ、Ⅶ【分析】若＝2与x﹣1＝2，则x＝与x＝，从而判断即可．【解答】解：∵﹣1＜﹣＜0，若＝2与x﹣1＝2，则x＝与x＝，∴幂函数y＝的图象在第一象限中经过的“卦限”是Ⅳ、Ⅷ，故选：B．【点评】本题考查了幂函数图象的判断，属于基础题．四．幂函数的单调性、奇偶性及其应用（共2小题）9．（2020秋•天心区校级期末）下列大小关系，正确的是（）A．0.993.3＜0.994.5B．log20.8＜log3πC．0.535.2＜0.355.2D．1.70.3＜0.93.1【分析】结合函数y＝0.99x，y＝x5.2，等指数函数、对数函数和幂函数的单调性判断各函数值的大小或与0和1的大小，从而比较大小．【解答】解：对于A：考察指数函数y＝0.99x，由于0.99＜1，故它在R上是减函数，∵3.3＜4.5，∴0.993.3＞0.994.5故A错；对于B：考察对数函数log2x，由于2＞1，故它在（0，+∞）上是增函数，∴log20.8＜log21＝0，而log3π＞log31＝0，∴log20.8＜log3π故B正确；对于C：考察幂函数y＝x5.2，由于5.2＞0，故它在（0，+∞）上是增函数，∵0.53＞0.35，∴0.535.2＞0.355.2故C错；对于D：考考察指数函数y＝1.7x，由于1.7＞1，故它在R上是增函数，∴1.70.3＞1.70＝1，考考察指数函数y＝0.9x，由于0.9＜1，故它在R上是减函数，0.93.1＜0.90＝1，故1.70.3＞0.93.1故D错；故选：B．【点评】本题是幂函数、指数函数与对数函数的单调性的简单应用，在比较指数（对数）式的大小时，若是同底的，一般直接借助于指数（对数）函数的单调性，若不同底数，也不同指（真）数，一般与1（0）比较大小．10．（2020秋•金山区校级月考）若（m+1）＜（3﹣2m），则实数m的取值范围﹣1．【分析】根据题中不等式的结构，考察幂函数y＝，它在[0，+∞）上是增函数，从而建立关于m的不等关系，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：考察幂函数y＝，它在[0，+∞）上是增函数，∵（m+1）＜（3﹣2m），∴0≤m+1＜3﹣2m，解得：﹣1≤m＜，则实数m的取值范围﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了幂函数的单调性、奇偶性及其应用，构造出幂幂函数y＝是关键．五．指数函数的定义、解析式、定义域和值域（共3小题）11．（2022秋•宝山区校级期中）下列函数不是指数函数的是（）A．y＝2x+1B．y＝3﹣x C．y＝4x D．y＝23x【分析】由指数函数的定义即可判断出选项A不是指数函数．【解答】解：指数函数是形如y＝a x（a＞0且a≠1）的函数，对于A：y＝2x+1＝2×2x，系数不是1，所以不是指数函数；对于B：y＝3﹣x＝（）x，符合指数函数的定义，所以是指数函数；对于C：y＝4x，符合指数函数的定义，所以是指数函数；对于D：y＝23x＝8x，符合指数函数的定义，所以是指数函数；故选：A．【点评】本题主要考查了指数函数的定义，是基础题．12．（2021秋•宝山区校级期中）若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为f（x）＝．【分析】利用待定系数法求解．【解答】解：设指数函数的解析式为f（x）＝a x（a＞0且a≠1），∴，解得a＝，∴f（x）＝，故答案为：f（x）＝．【点评】本题主要考查了指数函数的概念，是基础题．13．（2021秋•黄浦区校级期中）函数y＝（2a﹣1）x指数函数，则实数a的取值范围是（，1）∪（1，+∞）．【分析】由题意利用指数函数的定义和性质，求得a的范围．【解答】解：∵函数y＝（2a﹣1）x指数函数，∴2a﹣1＞0，且2a﹣1≠1，求得a＞，且a≠1，则实数a的取值范围（，1）∪（1，+∞），故答案为：（，1）∪（1，+∞）．【点评】本题主要考查指数函数的定义和性质，属于基础题．六．指数函数的图象与性质（共4小题）14．（2022秋•浦东新区校级期中）设实数a＞0，且a≠1，b∈R．函数f（x）＝a x+b（x＞0），若f（x）的图像与x轴没有交点，则（）A．或B．或C．或D．或【分析】分a＞1和0＜a＜1两种情况，分别画出f（x）和y＝a x（x＞0）的图象，根据图象和图象沿y轴平移的变换方法即可得出b的范围．【解答】解：a＞1时，可画出y＝a x（x＞0）和f（x）＝a x+b（x＞0）图象如下所示：∴b≥﹣1；0＜a＜1时，画出y＝a x（x＞0）和f（x）＝a x+b（x＞0）的图象如下所示：∴b≥0或b≤﹣1，∴综上得，或．故选：B．【点评】本题考查了指数函数的图象，沿y轴方向的平移变换的方法，考查了数形结合解题的方法，属于基础题．15．（2022秋•徐汇区校级期中）函数f（x）＝a x﹣b的图像如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（）A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0【分析】根据函数图象的变化趋势及特殊点确定答案即可．【解答】解：由图象从左到右下降可知，0＜a＜1；由图象与y轴的交点可知，0＜a﹣b＜1，故b＜0；故0＜a＜1，b＜0；故选：D．【点评】本题考查了函数的图象与性质，属于基础题．16．（2022秋•闵行区校级期中）指数函数y＝a x（a＞0，a≠1）在区间[0，4]上的最大值与最小值之和为17，则a＝2．【分析】根据已知条件，分a＞1或0＜a＜1两种情况讨论，即可求解．【解答】解：当a＞1时，由题意可得，a4+a0＝17，解得a＝2，当0＜a＜1时，由题意可得，a0+a4＝17，解得a＝2，不符合题意，综上所述，a＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查指数函数的性质，属于基础题．17．（2021秋•徐汇区校级期末）如图所示，设平行于x轴的直线l分别与函数y＝2x和y＝2x+1的图像相交于点A、B，若在函数y＝2x的图像上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则C点的纵坐标为．【分析】设直线l的方程为y＝a（a＞0），求出A，B两点的坐标，得到|AB|＝1，取AB的中点D，连接CD，根据等边三角形的性质求出点C的坐标，再根据点C在函数y＝2x的图像上，得到关于a的方程，求出a，进而可得点C的坐标．【解答】解：设直线l的方程为y＝a（a＞0），由2x＝a，得x＝log2a，∴A（log2a，a），由2x+1＝a，得x＝log2a﹣1，∴B（log2a﹣1，a），∴|AB|＝1，取AB的中点D，连接CD，如图所示，∵△ABC为等边三角形，则CD⊥AB，且|CD|＝，∴C（，a﹣），∵点C在函数y＝2x的图像上，∴a﹣＝＝，解得a＝＝＝，∴点C的纵坐标为a﹣＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了指数函数的图像和性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．七．指数型复合函数的性质及应用（共2小题）18．（2020秋•黄浦区校级期末）函数f（x）＝x﹣3+e x的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（3，4）D．（4，+∞）【分析】直接利用函数的值确定f（a）f（b）＜0，进一步确定函数的零点所在的区间．【解答】解：根据函数f（x）＝x﹣3+e x的解析式，所以f（0）＝0﹣3+1＝﹣2＜0，f（1）＝1﹣3+e＞0，f（3）＝3﹣3+e3＞0，f（4）＝4﹣3+e4＞0，所以f（0）•f（1）＜0，故函数的零点所在的区间为（0，1）．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：函数的零点的确定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．（2021秋•普陀区校级月考）已知函数f（x）＝（a∈R），且f（1）＞f（3），f（2）＞f（3）（）A．若k＝1，则|a﹣1|＜|a﹣2|B．若k＝1，则|a﹣1|＞|a﹣2|C．若k＝2，则|a﹣1|＜|a﹣2|D．若k＝2，则|a﹣1|＞|a﹣2|【分析】分析选项知只需讨论k＝1和k＝2两种情况，①当k＝1时，f（x）在R上单调递减，②当k＝2时，f（x）在（﹣∞，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，再根据题中条件，确定|a﹣1|与|a﹣2|的大小关系．【解答】解：分析各选项，只需讨论k＝1和k＝2两种情况，①当k＝1时，f（x）＝2a﹣x，在R上单调递减，所以，必有f（1）＞f（3），f（2）＞f（3），这两个式子对任意的实数a都成立，因此，A选项和B选项都不能成立；②当k＝2时，f（x）＝，f（x）在（﹣∞，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，且函数f（x）的图象关于直线x＝a轴对称，又因为f（1）＞f（3），f（2）＞f（3），结合函数图象可知，对称轴x＝a＞，因此，|a﹣1|＞|a﹣2|．故选：D．【点评】本题主要考查了指数型复合函数的图象和性质，涉及函数的单调性和图象的对称性，以及函数值大小的比较，属于中档题．八．指数函数的单调性与特殊点（共4小题）20．（2021秋•浦东新区期末）“”是“指数函数y＝a x在R上是严格减函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】由题意，利用充分条件、必要条件、充要条件的定义，指数函数的单调性，得出结论．【解答】解：由a＝，可得指数函数y＝a x＝在R上是严格减函数，故充分性成立；由指数函数y＝a x在R上是严格减函数，可得0＜a＜1，不能推出a＝，故必要性不成立，故”是“指数函数y＝a x在R上是严格减函数”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，指数函数的单调性，属于基础题．21．（2021秋•金山区期末）若指数函数y＝（m﹣3）x在R上是严格减函数，则实数m的取值范围是（3，4）．【分析】根据指数函数的单调性，利用底数m﹣3满足的条件求解．【解答】解：因为指数函数y＝（m﹣3）x在R上是严格减函数，所以0＜m﹣3＜1，解得3＜m＜4．所以实数m的取值范围是（3，4）．故答案为：（3，4）．【点评】本题考查了指数函数的单调性问题，是基础题．22．（2021秋•普陀区校级期末）已知函数f（x）＝a x﹣3+2的图像恒过定点A，则A的坐标为（3，3）．【分析】令x﹣3＝0，结合a0＝1即可求出结果．【解答】解：函数f（x）＝a x﹣3+2，令x﹣3＝0得x＝3，此时y＝a0+2＝1+2＝3，∴函数f（x）＝a x﹣3+2的图像恒过定点A（3，3），故答案为：（3，3）．【点评】本题主要考查了指数型函数过定点坐标，是基础题．23．（2020秋•浦东新区校级期中）已知常数a＞0且a≠1，若无论a取何值，函数y＝a x﹣b+m（b，m为实数）的图象过定点（1，3），则b+m的值为3．【分析】令x﹣b＝0求出x的值和此时y的值，从而得到函数的图象过定点坐标，再结合条件即可求出b，m的值．【解答】解：令x﹣b＝0得：x＝b，此时y＝a0+m＝1+m，所以函数的图象过定点（b，1+m），所以b＝1，1+m＝3，解得b＝1，m＝2，所以b+m＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了对数型函数过定点问题，令a的指数整体等于0是本题的解题关键，属于基础题．九．指数函数的实际应用（共1小题）24．（2021秋•黄浦区校级期中）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．69【分析】根据所给材料的公式列出方程＝0.95K，解出t即可．【解答】解：由已知可得＝0.95K，解得e﹣0.23（t*﹣53）＝，两边取对数有﹣0.23（t*﹣53）＝﹣ln19，解得t*≈66，故选：C．【点评】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题一十．对数函数的定义（共1小题）25．（2022秋•黄浦区校级期中）对数表达式log（x﹣1）（5﹣x）中的x的取值范围是（1，2）∪（2，5）．【分析】直接根据底数与真数满足的条件求解即可．【解答】解：∵对数式的底数需大于0不等于1，真数大于0；故需：⇒⇒x的取值范围是：（1，2）∪（2，5）．故答案为：（1，2）∪（2，5）．【点评】本题主要考查对数表达式中底数与真数所满足的条件，属于基础题．一十一．对数函数的定义域（共3小题）26．（2021秋•长宁区期末）下列四组函数中，定义域相同的一组是（）A．和y＝lgx B．和C．和y＝lgx D．和【分析】分别求出四个选项中两函数的定义域得答案．【解答】解：A中，的定义域为[0，+∞），y＝lgx的定义域为（0，+∞），定义域不同；B中，的定义域为（0，+∞），的定义域为（0，1）∪（1，+∞），定义域不同；C中，的定义域为（0，+∞），y＝lgx的定义域为（0，+∞），定义域相同；D中，的定义域为[0，+∞），的定义域为（0，1）∪（1，+∞），定义域不同．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．27．（2020秋•普陀区校级期末）函数f（x）＝+lg（3x+1）的定义域是（﹣，1）．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．【解答】解：由，解得：﹣．∴函数f（x）＝+lg（3x+1）的定义域是（﹣，1）．故答案为：（﹣，1）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．28．（2021秋•闵行区期末）函数y＝ln（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．【分析】根据对数函数的性质求函数的定义域即可．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1＞0，解得x＞1．∴函数的定义域为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础，要求熟练掌握对数函数的性质．一十二．对数函数的值域与最值（共2小题）29．（2020秋•金山区期末）已知函数f（x）＝log a x（0＜a＜1）在[2，4]上的最大值比最小值大2，则a的值为．【分析】由0＜a＜1可得f（x）为减函数，求得最值代入条件可得解．【解答】解：∵0＜a＜1时，∴函数f（x）为减函数，则log a2﹣log a4＝1，即log a＝2，解得，所以实数a的值为．故答案为：．【点评】本题考查对数函数的图象及性质，对数的运算，属于基础题．30．（2020秋•杨浦区校级期末）函数f（x）＝lg（2x+2﹣x+a﹣1）的值域是R，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【分析】直接利用对数的性质和函数的恒成立问题的应用及不等式的性质的应用求出参数的取值范围．【解答】解：函数f（x）＝lg（2x+2﹣x+a﹣1）的值域是R，所以y＝2x+2﹣x+a﹣1的值域包含（0，+∞）；由于2x+2﹣x≥，当且仅当2x＝2﹣x时，即x＝0时，等号成立；所以2x+2﹣x﹣1≥1；所以a≤﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查的知识要点：对数的性质，恒成立问题的应用，不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．一十三．对数值大小的比较（共2小题）31．（2022秋•杨浦区校级期中）若log a2＜1，则实数a的取值范围是（）A．（1，2）B．（0，1）∪（2，+∞）C．（0，1）∪（1，2）D．（0，）【分析】对a分类讨论，利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：当a＞1时，∵log a2＜1＝log a a，∴a＞2，满足条件；当1＞a＞0时，∵log a2＜1＝log a a，∴0＜a＜2，∴0＜a＜1．综上可得：实数a的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了分类讨论、对数函数的单调性，属于基础题．32．（2021秋•宝山区校级期中）已知a，b∈R，则下列命题中正确的个数为（）（1）若0＜a＜b＜1，则a a＜b b；（2）若0＜a＜b＜1，则log a b＜log b a；（3）若a＞b＞1，则a b＜b a．A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】根据待比较式的特征构造函数，利用函数的单调性及不等式的性质进行比较．【解答】解：（1）设函数f（x）＝xlnx，则f′（x）＝1+lnx，所以x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（，+∞）时，f（x）＞0，f（x）单调递增．因为0＜a＜b＜1，所以存在0＜a＜＜b＜1，使得f（a）＝f（b），即alna＝blnb，此时a a＝b b，故（1）错误．（2）因为0＜a＜b＜1，所以log a a＞log a b，log b a＞log b b，所以log a b＜1＜log b a，故（2）正确，（3）举例说明：当a＝3，b＝2时，a b＝32＝9，b a＝23＝8，a b＞b a，故（3）错误，故选：C．【点评】本题考查不等式的性质，对数函数，指数函数的单调性，属于中档题．一十四．对数函数的图象与性质（共3小题）33．（2021秋•长宁区期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x+a与对数函数y＝log a x（a＞0且a≠1）的图像关系可能是（）。
高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.4幂函数课时素养评价含解析B版第二册
幂函数（15分钟30分）1。
已知幂函数y=(m2-2m—2)在（0，+∞)上单调递增,则实数m的值为（）A。
—1 B.3C.—1或3D。
1或-3【解析】选B。
幂函数y=(m2-2m—2）在(0，+∞)上单调递增，所以m2-2m—2=1，解得m=3或m=—1；又m2+m-1〉0,所以m=3时满足条件，则实数m的值为3。
【补偿训练】已知幂函数f(x)=(m2—m—1）x m-1在(0,+∞)上单调递减,则m的值为 ()A.—1B.2C.-1或2D.—2【解析】选A.幂函数f（x)=(m2-m—1)x m-1在(0,+∞）上单调递减,所以解得所以m的值为—1。
2。
函数y=的图像是（)【解析】选B。
幂函数过点（1,1),排除A,D，当x〉1时，<x。
3。
（2020·唐山高一检测)下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是()A.y=x—1 B。
y=tan xC。
y=x3D。
y=log2x【解析】选C。
y=x-1是非奇非偶函数,A不符合题意；y=tan x是周期函数,B不符合题意；y=x3满足条件,C符合题意;y=log2x是非奇非偶函数,D不符合题意。
4.若幂函数f（x）=x a的图像过点(3，9)，设m=，n=,t=-log a3,则m，n,t的大小关系是()A.m〉t>nB.n〉t〉mC.t>m>nD.m〉n>t【解析】选D。
幂函数f（x)=x a的图像过点(3,9），所以3a=9，a=2;所以m==，n==,t=—log a3=—log23<0,所以>〉—log23,所以m〉n>t。
5.已知点在幂函数y=f(x）的图像上，则f（x）的解析式是________,f=________。
【解析】设幂函数y=f（x)=xα，α为常数；把点的坐标代入解析式，得=，解得α=3,所以幂函数y=f(x）的解析式为f(x）=x3。
f==—。
答案：f（x）=x3-6。
新教材北师大版高中数学必修第一册练习-指数函数、幂函数、对数函数增长的比较答案含解析
第四章 对数运算与对数函数§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较*§5信息技术支持的函数研究（略）知识点1 三种函数的不同增长1.☉%#1￥@￥158%☉(2020·北京顺义区模拟)当x 越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是( )。
A.y =100x B.y =log 100x C.y =x 100 D.y =100x 答案：D解析：由于指数型函数的增长是爆炸式增长,则当x 越来越大时,函数y =100x 的增长速度最快。
故选D 。
2.☉%2*5@@*63%☉(2020·延安中学模拟)下面对函数f (x )=lo g 13x 与g (x )=(13)x在区间(0,+∞)上的衰减情况的说法中正确的是( )。
A.f (x )的衰减速度越来越慢,g (x )的衰减速度越来越快B.f (x )的衰减速度越来越快,g (x )的衰减速度越来越慢C.f (x )的衰减速度越来越慢,g (x )的衰减速度越来越慢D.f (x )的衰减速度越来越快,g (x )的衰减速度越来越快 答案：C解析：结合指数函数y =(13)x和对数函数y =lo g 13x 的图像易得C 正确。
故选C 。
3.☉%84*@@4#4%☉(2020·泉州七中月考)四个物体同时从某一点出发向前运动,其路程f i (x )(i =1,2,3,4)关于时间x (x >1)的函数关系是f 1(x )=x 2,f 2(x )=2x ,f 3(x )=log 2x ,f 4(x )=2x ,如果它们一直运动下去,最终在最前面的物体具有的函数关系是( )。
A.f 1(x )=x 2 B.f 2(x )=2x C.f 3(x )=log 2x D.f 4(x )=2x答案：D解析：由函数性质,可得选项D 正确。
故选D 。
知识点2三种函数图像性质的应用4.☉%#920@*￥7%☉(2020·临川一中月考)三个数60.7,0.76,log0.76的大小关系为()。
指数对数函数图像与性质(含答案)
指数对数函数图像与性质(含答案)指数函数和对数函数是高中数学中比较重要的函数类型之一。
对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集，图像在点(1,0)处经过y轴且单调递增。
指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集，图像在点(0,1)处经过y轴且单调递增。
对数函数和指数函数是互为反函数的函数对，它们之间有着很多有趣的性质和运算规律。
对于指数函数，有以下基本运算规律：(1) $a^r\cdota^s=a^{r+s}$，(2) $a^r\div a^s=a^{r-s}$，(3) $(a^r)^s=a^{rs}$，(4) $(ab)^r=a^r\cdot b^r$。
对于对数函数，有以下恒等式：$\log_aN=N$，$\log_ab=\frac{1}{\log_ba}$，$\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN$，以及以下几个小结论：$\log_ab^n=n\log_ab$，$\log_an^M=M\log_an$，$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$，$\log_aa=1$，$\log_a1=0$。
在解题时，我们可以利用对数函数和指数函数的性质和运算规律，来求解函数的定义域、值域、单调性等问题。
例如，对于函数$y=-x^2+2x+1$，我们可以求出它的顶点坐标为$(1,2)$，因此它的值域为$(-\infty,2]$，并且它在区间$(0,1)$上单调递减，在区间$(1,+\infty)$上单调递增。
对于函数$y=\log_2(x^2-ax+3a)-5x+6$，我们可以先求出它的定义域为$(a-3\sqrt{a},a+3\sqrt{a})$，然后判断它在该定义域内的单调性，最后求出使其在区间$[2,+\infty)$上单调递减的$a$的取值范围。
对于函数$y=4x-\frac{12}{2-a\cdot2x+2\sqrt{a^2x^2+1}}$，我们可以先求出它的定义域为$(0,2]$，然后求出它的导数，令其为0，解出$x$的值，再求出函数在该定义域上的最大值和最小值。
04-第四章-幂函数、指数函数和对数函数(带答案)曹喜平
§4。
1 幂函数的性质与图像（1）A 组1．幂函数23x y =的定义域是 ;值域是 ．),0[∞+;),0[∞+2．幂函数4-=x y 的定义域是 ，值域是 ．)0,(-∞0,+∞（）；0,+∞（） 3．幂函数23-=xy 的定义域是____________;值域是 ．0,+∞（）;0,+∞（） 4．幂函数)(Q x y ∈=αα的图象恒过定点 ．)1,1(5．幂函数)(Q x y ∈=αα的图象经过点)2,21(，则=α ．1-6．若b ax x f +=2)(是幂函数，则实数b a ,满足条件 。
0,1==b aB 组 填空题7．若)(x f 既是一次函数， 又是幂函数, 则=)(x f . x 8．若幂函数3(*)m y xm N =∈是奇函数，则m 的最小值为 . 19．若幂函数)(Q x y ∈=αα的图象在第一象限内单调递增,则α的取值范围是 。
0,+∞（） 10．若幂函数)(Q x y ∈=αα的图象与y 轴无公共点,则α的取值范围是 。
]0,(-∞11．函数y 2y x =的图像的交点的坐标是 ．（0，0)和(1,1) 12．若幂函数是互质的自然数）||,||(q p x y pq=的图象关于y 轴对称,则q p ,满足的条件 是 。
q 为非零偶数, p 为奇数13．若幂函数)(Q x y ∈=αα的图像关于原点对称，且当0x >时单调递减,则α的一个可取的值为 .1-选择题14．下列函数是幂函数的是( C ）（A)x y 4= （B ）2=y（C))()1(1是有理常数αα+=xy （D ）x y 2=15．下列命题中，正确的是 （ D ）(A ）当=0α时，函数y x α=的图像是一条直线 (B ）幂函数的图像都经过（0，0)和（1，1）两点（C ）若幂函数y x α=是奇函数，则y x α=在定义域上增函数 （D ）幂函数的图像不可能出现在第四象限解答题16．讨论函数322)(--=k kx x f 在),0(∞+上的单调性。
第四章-幂函数、指数函数和对数函数(带答案)曹喜平
．(0,0)和（ 1， 1）
q
12．若幂函数 y x p ( | p |, | q | 是互质的自然数） 的图象关于 y 轴对称，则 p , q 满足的条件
是
. q 为非零偶数 , p 为奇数
13．若幂函数 y x ( Q) 的图像关于原点对称，且当 x 0 时单调递减，则
为
.1
选择题
14．下列函数是幂函数的是 ( C ) （ A ） y 4x
经过平移变换后得到 . x2
12．下面给出了六个幂函数的图像，如图所示，试建立函数与图像之间的对应关系．
3
1
2
（ 1） y x 2 (2) y x 3 （ 3） y x3
y
y
y
（4） y x 2 y
1
（5） y x 3 （ 6） y x 2
y
y
O
xO
x
O
x
Ox
O
x
A
B
C
D
E
(1) 对应
；A
(2) 对应
2பைடு நூலகம்
12．函数 f ( x) ( a2 1) x 是减函数，则 a 的取值范围是
．2
． ( 2, 1) (1, 2)
13．函数 y (1) 3 4x x2 的单调递增区间为 3
；F
(3) 对应
(4) 对应
；C
(5) 对应
；D
(6) 对应
13．下列命题中，真命题的序号是
.（ 1）
（ 1）幂函数的图象不可能在到四象限；
（ 2）幂函数的图象不可能是一条直线；
（ 3）两个不同的幂函数的图象最多有两个公共点；
（ 4）两个不同的幂函数的图象关于某直线对称，则该直线一定是
核心突破_专题4指数函数与对数函数和答案详解
核心突破_专题4 指数函数与对数函数和答案详细解析(题后)专题4指数函数与对数函数题号：1比较满足下列条件的m，n的大小：（1）；（2）；（3）；（4）.指数函数及其性质（1）概念：函数y＝a x（a>0且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.（2）指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域（0，＋∞）性质过定点（0，1），即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在（－∞，＋∞）上是增函数在（－∞，＋∞）上是减函数利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小题号：2已知，，则实数a，b，c的大小关系为（）A．c＞a＞b B．a＞b＞cC．a＞c＞b D．c＞b＞a【一题多变1】题号：3若 ，则下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．【一题多变2】题号：4已知函数，则（）A．在上是增函数B．的图象关于轴对称C．的图象关于点对称D．不等式的解集是【一题多变3】题号：5已知为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为（）.A．B．C．1D．【一题多变4】题号：6已知函数，若对任意的正数，恒有，则的取值范围是（）A．B．C．D．题号：7已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.（1）求该函数的解析式，并画出图象；（2）判断该函数的奇偶性和单调性.1.画指数函数y＝a x（a>0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：（1，a），（0，1），.2.在第一象限内，指数函数y＝a x（a>0且a≠1）的图象越高，底数越大.有关指数函数图象问题的解题思路（1）已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．（2）对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．（3）有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．（4）根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．题号：8已知，则函数的图象可能是（）A．B．C．D．【一题多变1】题号：9函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（ ）A．B．C．D．【一题多变2】题号：10若直线与函数（且）的图象有两个公共点，则的取值不可以是（）A．B．C．D．3【一题多变3】题号：11已知函数，则函数零点的个数是__________．题号：12已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．题号：13按复利计算利息的一种储蓄，本金为a（单位：元），每期利率为r，本利和为y（单位：元），存期数为x.（1）写出本利和y关于存期数x的函数解析式；（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型.（1）在两类函数模型中，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，对数函数模型是增长速度越来越慢（底数大于1）的一类函数模型.（2）在解决这两类函数模型时，一般先要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图像求解最值问题.解决函数应用问题的步骤（1）审题:弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型;（2）建模:将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型;（3）解模:求解数学模型，得出数学结论;（4）还原:将数学结论还原为实际问题的意义.题号：14“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式，若经过5年，二氧化碳的排放量为（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？（参考数据：）（）A．28B．29C．30D．31题号：15现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过．一杯茶泡好后置于室内，分钟、分钟后测得这杯茶的温度分别为、，给出三个茶温（单位：）关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟）的函数模型：①；②；③．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温（单位：）关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为（）（参考数据：，）A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟【一题多变2】题号：16渔民出海打鱼，为了保证运回鱼的新鲜度（以鱼肉内的三甲胺的多少来确定鱼的新鲜度，三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的，三甲胺积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质，进而腐败），负被打上船后，要在最短的时间内将其分拣，冷藏，已知某种鱼失去的新鲜度与其出海后时间(分）满足的函数关系式为，若出海后20分这种鱼失去的新鲜度为20%；出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失去50%的新鲜度（）考数据：A．23分钟B．33分钟C．50分钟D．56分钟【一题多变3】题号：17碳测年法是由美国科学家马丁·卡门与同事塞缪尔·鲁宾于年发现的一种测定含碳物质年龄的方法，在考古中有大量的应用放射性元素的衰变满足规律（表示的是放射性元素在生物体中最初的含量与经过时间后的含量间的关系，其中（为半衰期）．已知碳的半衰期为年，，经测量某地出土的生物化石中碳含量为，据此推测该化石活体生物生活的年代距今约（结果保留整数，参考数据）（）A．年B．年C．年D．年【一题多变4】题号：18某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）随时间（小时）变化的规律近似满足表达式《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升此驾驶员至少要过小时后才能开车___________.（精确到小时）题号：19比较满足下列条件的两个正数m,n的大小:(1);(2);(3);(4).对数函数及其性质（1）概念：函数y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）.（2）对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性质定义域：（0，＋∞）值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点（1，0）当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0在（0，＋∞）上是增函数在（0，＋∞）上是减函数比较对数值的大小（1）若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较（2）若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较（3）若底数、真数均不同，引入中间量进行比较【2020年新高考2卷（海南卷）】题号：20已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．【一题多变1】题号：21下列结论正确的是（）A．B．C．D．【一题多变2】题号：22已知函数，若在上为减函数，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【一题多变3】题号：23已知函数 若存在实数，，，，满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【一题多变4】题号：24设奇函数的定义域为，且对任意，都有．若当时，，且，则不等式的解集为__________．题号：25函数，，的图象如图所示，(1)试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么；(2)以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出，，的图象；(3)从（2）的图中你发现了什么？识别对数函数图象时，要注意底数a以1为分界：当a＞1时，是增函数；当0＜a＜1时，是减函数．注意对数函数图象恒过定点（1，0），且以y轴为渐近线．1.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．2.解决对数函数的综合应用有以下三个步骤：（1）求出函数的定义域；（2）判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式（包含单独一个字母）时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；（3）判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性题号：26函数的图象可能是（ ）．A．B．C．D．【一题多变1】题号：27已知函数满足，若，则（ ）A．B．C．D．【一题多变2】题号：28已知函数，关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值可以是（ ）A．B．C．D．【一题多变3】题号：29关于函数的性质的描述，正确的是（ ）A．的定义域为B．有一个零点C．的图像关于原点对称D．的值域为【一题多变4】题号：30已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．题号：31声强级(单位:dB)由公式给出,其中I为声强(单位:).(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为.求人听觉的声强级范围.(2)平时常人交谈时的声强约为,求其声强级.与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型.（1）在两类函数模型中，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，对数函数模型是增长速度越来越慢（底数大于1）的一类函数模型.（2）在解决这两类函数模型时，一般先要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图像求解最值问题.解决函数应用问题的步骤（1）审题:弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型;（2）建模:将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型;（3）解模:求解数学模型，得出数学结论;（4）还原:将数学结论还原为实际问题的意义.【2020年新高考1卷（山东卷）】题号：32基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R 0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天【一题多变1】题号：33某服装店对原价分别为175元和200元的甲乙两种服装搞促销活动，规定甲服装每天降价5%，直到其售完为止；乙服装每天降价7%，直到其售完为止.假设两种服装在10天内均没有售完，_____天后甲服装的售价将高于乙服装的售价.【一题多变2】题号：34中西方音乐的不同发展与其对音阶的研究有密切的关系，中国传统音阶是五声音阶：宫､商､角､徵､羽；西方音阶是七声音阶“Do､Re､Mi､Fa､Sol､La､Si”.它们虽然不同，却又极其相似，最终发展的结果均是将一个完整的八度音阶分成了12个半音，即“十二平均律”.从数学的角度来看，这12个半音的频率成公比为的等比数列.已知两个音高，的频率分别为，，且满足函数关系：，已知两个纯五度音高的频率比，则它们相差的半音个数________.(其中，，结果四舍五入保留整数部分).【一题多变3】题号：35对数的应用很广泛，有些速算的原理来自对数，例如：如果正整数的次方是个位数，那么根据，取常用对数得到，即可得到，由下面的对数表可知这个数是，已知某个正整数的次方是个位数，则该正整数是（）A．B．C．D．【一题多变4】题号：36中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（）(附：)A．10%B．20%C．30%D．40%答案详解1.2. 3. 4.5. 6.7. 8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.。
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§4.1幂函数的性质与图像（1）A 组1．幂函数23x y =的定义域是 ；值域是 ．),0[∞+；),0[∞+2．幂函数4-=x y 的定义域是 ，值域是 ．)0,(-∞0,+∞（）；0,+∞（） 3．幂函数23-=xy 的定义域是____________；值域是 ．0,+∞（）；0,+∞（）4．幂函数)(Q x y ∈=αα的图象恒过定点 ．)1,1(5．幂函数)(Q x y ∈=αα的图象经过点)2,21(，则=α ．1-6．若b ax x f +=2)(是幂函数，则实数b a ,满足条件 . 0,1==b aB 组 填空题7．若)(x f 既是一次函数, 又是幂函数, 则=)(x f . x 8．若幂函数3(*)m y xm N =∈是奇函数，则m 的最小值为 . 19．若幂函数)(Q x y ∈=αα的图象在第一象限内单调递增，则α的取值范围是 .0,+∞（） 10．若幂函数)(Q x y ∈=αα的图象与y 轴无公共点，则α的取值范围是 .]0,(-∞11．函数y =2y x =的图像的交点的坐标是 ．(0,0)和（1，1） 12．若幂函数是互质的自然数）||,||(q p x y pq=的图象关于y 轴对称，则q p ,满足的条件 是 . q 为非零偶数, p 为奇数13．若幂函数)(Q x y ∈=αα的图像关于原点对称，且当0x >时单调递减，则α的一个可取的值为 .1-选择题14．下列函数是幂函数的是( C )（A ）x y 4= （B ）2=y（C ）)()1(1是有理常数αα+=xy （D ）x y 2=15．下列命题中，正确的是 ( D )（A ）当=0α时，函数y x α=的图像是一条直线 （B ）幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)两点（C ）若幂函数y x α=是奇函数，则y x α=在定义域上增函数 （D ）幂函数的图像不可能出现在第四象限解答题16．讨论函数322)(--=k kx x f 在),0(∞+上的单调性.解：当1-<k ,或3>k 时, 函数)(x f 在),0(∞+上单调递增;当31<<-k 时, 函数)(x f 在),0(∞+上单调递减; 当1-=k 或3=k 时, )(x f 在),0(∞+上是常值函数. 17．已知3131)21()3(--+<-x x ，求实数x 的取值范围．解法一：（1）03124x x x >->+⇒<-；（2）3120x x ->+>，无解；（3）1120332x x x +>>-⇒-<<.综上x 的取值范围是1(,4)(,3)2-∞--. 解法二：111133331111(3)(12)()()312312x x x x x x---<+⇔<⇔<-+-+ 41043(3)(21)2x x x x x +⇔<⇔<--<<-+或. C 组18．若偶函数()()Z m x x f m m ∈+=++-123212在+R 上是增函数。
（1）确定函数()x f 的解析式；（2）求函数()(]()t x x f y ，∞-∈=的最小值()t d 的解析式； （3）设()()()1>-=a x a x f x g ，证明：()x g 在+R 上是减函数。
解：（1）由023212>++-m m 及Z m ∈，得2,1,0=m ，)(x f 是偶函数，故1=m 。
1)(2+=∴x x f （2）],(t x -∞∈ ，⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=∴)0(1)0(1)(2t t t t d （3）ax x x g -+=1)(2，设21x x o <<，()2122212221222121211111)()(x x a x x x x ax x ax x x g x g --+++-=++--+=-)11()(22212121a x x x x x x -++++⋅-=,021<-x x ，1211+<x x ，1222+<x x , 111222121<++++∴x x x x ，而1>a ，011222121<-++++a x x x x ，)()(21x g x g >∴，即)(x g 在区间),0(∞+上是减函数。
§4.1 幂函数的性质与图像（2）A 组1．幂函数43-=x y 的定义域为 .),0(∞+2．幂函数52x y =的值域是 . ),0[∞+3．幂函数)(x f 的图象经过点(2)2，，此函数的解析式=)(x f _______________．21-x4．函数)1(2≥=-x x y 的值域为 . ]1,0(5．若0=x 时幂函数αx y =有意义，则有理数α的取值范围是 .),0(∞+A BE F 6．若实数a 满足21213-->a, 则实数a 的取值范围是 . )3,0(B 组 填空题7．若312x x >，则实数的取值范围是____________________．(,0)(1,)-∞+∞8．幂函数)(122N n x y n n ∈=+是 函数(填奇、偶) 偶9．幂函数)(12N n x y n n∈=+-的图象一定经过定点 和 . )0,0(；)1,1(10．写出一个幂函数的解析式，满足图象关于y 轴对称，且在),0(∞+上递减： .2-=x y 等 11．函数数222+-=x x y 可以由幂函数=)(x f 经过平移变换后得到. 2x 12．下面给出了六个幂函数的图像，如图所示，试建立函数与图像之间的对应关系． （1）32y x = (2) 13y x = （3）23y x = （4）2y x -= （5）3y x -= （6）12y x-=(1) (4) 13（1）幂函数的图象不可能在到四象限； （2）幂函数的图象不可能是一条直线；（3）两个不同的幂函数的图象最多有两个公共点；（4）两个不同的幂函数的图象关于某直线对称，则该直线一定是y 轴。
选择题14．函数35y x =在区间［－1,1］上是（ A ）（A ）增函数且是奇函数 （B ）增函数且是偶函数 （C ）减函数且是奇函数 （D ）减函数且是偶函数15．函数211()()m m f x xm N *++=∈是一个（ C ）（A ） 定义在非负实数集上的奇函数 （B ）定义在非负实数集上的偶函数 （C ） 定义在实数集上的奇函数 （D ）定义在实数集上的偶函数解答题16．若函数)2()1()3()(-+-=a a x a x f ，当a 为何值时： （1）)(x f 是常数？ （2）)(x f 是幂函数？ （3）)(x f 是正比例函数？ （４）)(x f 是二次函数？2217．已知幂函数)(342Z m x y m m∈=+-的图像与x 轴、y 轴都无公共点，求m 的值，并作出它的图像．解：22m -4m+3=(m-2)-10m=1,2,3≤⇒。
1=m 或3=m 时，0y x =；2=m 时，1-=x y 。
图像略C 组18．已知函数5)(3131--=xx x f ，5)(3131-+=xx x g 。
（1）证明)(x f 是奇函数，并求)(x f 的单调区间；（2）分别计算)2()2(5)4(g f f -和)3()3(5)9(g f f -的值，由此概括出涉及)(x f 和)(x g 的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明。
解：(1) )(,),0()0,(,)()(x f x x f x f ∴∞+-∞∈-==- 且为奇函数；又取，单调递增上在可得),0()(,0)()(,02121∞+∴<=-+∞<<<x f x f x f x x 为奇函数又)(x f ,上也单调递增在)0,()(-∞∴x f .(2) 经计算可得：0)2()2(5)4(=-g f f ，0)3()3(5)9(=-g f f ，由此可概括出0)()(5)(2=-x g x f x f ，证明略.§4.2 指数函数的图像与性质（1）A 组1．计算：210319)41()2(4)21(----+-⋅- ＝ .6192．若0<x ，化简：=y 64x .y x 32-3．化简：=-⋅63a a .a --4．函数1x y a -=的图像过点(3,4)，则正数a 的值是 .2 5．函数3x y -=的图像与函数 的图像关于y 轴对称. 3x y = 6．函数2x y -=的值域是 .(0,)+∞B 组 填空题7．函数()21x f x =+的奇偶性是 .非奇非偶函数 8．下列函数是指数函数的有 .x y π=、2y x =、y =、2x y -=、2x y =-.9．若3142aa -->，则实数a 可能取值的范围是 .(0,1)10．函数2142x y -=-的定义域是 . 33(,)(,)22-∞+∞12．若10a b c >>>>，则,,b a b a c c 的大小关系得 . b b a a c c >>13．若122-=xa，则xx xx a a a a --++33等于 __________.1-选择题14．下列计算正确的是（ D ）（A ）53232a a a =+ （B ）()()xy xy xy 332=÷（C ）()53282b b = （D ）56236x x x ⋅=15．若01a <<，则a 、a a 、()a a a 三数的大小关系为（ C ） （A ）()a a a a a a << （B ）()a a a a a a << （C ）()a a a a a a << （D ）()a a a a a a <<解答题16．判断函数的奇偶性： （1）()22x x f x -=+；（2）1()()2x x f x a a -=-（其中0a >且1a ≠）；（3）()x xx xa a f x a a---=+（其中0a >且1a ≠）. 解：（1）偶函数；（2）奇函数；（3）奇函数. 17．（1）解不等式：221250.30.3xx xx++-+>；（2）解关于x 的表达式：22x x a a >（其中0a >且1a ≠）. 解：（1）1(,1)3；（2）当1a >时，解集为(,0)(2,)-∞+∞；当01a <<时，解集为(0,2).C 组18．写出函数212()3xy +=的单调区间，并求其最大值.解：递增区间(,0]-∞，递减区间[0,)+∞，当0x =时，max 23y =. §4.2 指数函数的图像与性质（2）A 组1．函数2123x y a -=+的图像过点(1,4)，则实数a 的值是 .122．已知0a >且1a ≠，则函数11x x a y a +=-的定义域是 .(,0)(0,)-∞+∞3．函数12()3x y -=的单调递增区间是 .(.)-∞+∞ 4．函数22x x y -=-的奇偶性是 .奇函数5．函数12xy =的定义域是 ，值域是 . (,0)(0,)-∞+∞；(0,1)(1,)+∞6．当x = 时，函数211(2xy -=有最大值 .0；2B 组 填空题7．函数13-=x y 的定义域是___________；值域是___________.[1,+) ,[1,+)∞∞8．函数11()2x y -=的单调性为： ．在R 上是增函数 9．函数y =121+x的值域是__________. (0，1) 10．若指数函数)(x f y =的图像经过点)21,21(，且161)(=a f ，则=a ．2 11．函数5422-+-=x xy 的最大值为________________.2112．函数x a x f )1()(2-=是减函数，则a 的取值范围是．(1)(1,2)-13．函数2341()3x x y -+-=的单调递增区间为 ．[)+∞,2选择题14．下列说法中，正确的是（ B ）① 任取x ∈R 都有32x x >； ② 当a ＞1时，任取x ∈R 都有x x a a ->； ③x y =是增函数； ④ ||2x y =最小值为1； ⑤ 在同一坐标系中，2x y =与2x y -=的图象对称于y 轴. （A ）①②③④⑤ （B ）①③④⑤ （C ）②③④⑤（D ）③④⑤15．函数x y a =、x y b =、x y c =、x y d =的图像如图， 则,,,a b c d 的大小关系是( C )（A ）1a b c d <<<< （B ）1a b c d <<<< （C ）1b a d c <<<< （D ）1a b d c <<<<16．是否存在实数a ，使1212)(+-⋅=x x a x f 在R 上是奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由。