抽象代数

近世代数练习题

一、填空题

1、设集合A={1,2,3,⋯,m}，B={1,2,3,⋯,n}，是正整数n m ,，集合B A ⨯含有 个元素。

2、设集合{},,,A e f m n =，{}ργβα,,,=B ，则集合A 到B 之间可以建立 个映射。

3、设集合A 含有m 个元素，则A 上的变换共有 个

4、n 次对称群n S 的阶是 。

5、在模5的剩余类加群的子集{}]1[=A 生成的子群是 。

6、设R 是模2

n （N N n ,∈为自然数集）的剩余类环，[]x R 中的多项式2

x 在R 里有

个根。

7、由13

=x 的三个根对于普通乘法构成的群里，阶数大于2的元的个数是 。 8、一个 环是域。

9、设μ一个环R 的一个不等于R 的理想，如果除了R 和μ以外，没有包含μ的理想，那么μ叫作一个 。

10、若域F 的一个扩域E 的每一个元都是F 上的一个代数元，那么E 叫做F 的 。

二、选择题

1、设集合{}3,2,1=A ，则下列集合A 上的变换不是一一映射的是（ ）

。 332211:→→→τA 133221:→→→ρB 233221:→→→δC

132231:→→→σD

2、下列说法错误的是（ ）

域是除环A

域是整环B 可交换除环是域C

可交换整环是域D

3、在一个有限群里，阶数大于2的元的个数一定是（ ）。

奇数A 偶数B 0C 整数D

4、下列环中不是除环的是（ ）

整数集A 有理数集B 实数集C 复数集D

5、设有理数域Q 上的一元多项式环[]x Q ，理想()()()

=+++11

35

2

x x

x （ ）

。

()1A

()12

+x

B

()135

++x x

C

()

2235

+++x x x

D

6、对于实数的普通乘法，以下实数域R 的变换中同态满射的是( ）

αασ→:A

2:αατ→B

ααρ-→:C ααδ→:D

7、设2

2⨯R

是数域R 上的一切22⨯矩阵构成的集合，它对于矩阵的加法和乘法做成一个环，则

以下矩阵可作为环2

2⨯R

的零因子的是（ ）。

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛0000A

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛0001B ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛0111C ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛1101D 8、整数环Z 中，可逆元的个数是（ ）。

1A 2A 3C 4A

9、剩余类加群Z 18的子群有( )。

个3A 个4B 个5C 个6D

10、设有理数域Q 上的一元多项式环[]x Q ，理想()()()

=+++11

35

2x x

x （ ）

。 ()1A

()12

+x

B

()135

++x x

C

()

2235

+++x x x

D

三、计算题

1、设集合{}1174,1，，=A ，{}642，，=B ，求A ⋃B ， A ⋂ B ,B A ⨯。

2、设集合{}864,2，，=A ，{}963，，=B ，求A ⋃B ， A ⋂ B ， B A ⨯。

3、试举出一个由正实数集+

R 到实数集R 的一一映射。 4、设6元置换

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=254613654321;456132654321;245316654321

ρτπ (1)求1

-π

,τρ

(2)求π, τ和ρ的循环置换表达式,并求||π, τ, ρ。

5、求出3次对称群3S 的所有子群。

6、求出剩余类加群8Z 的所有子群。

7、设{}

Q Q b a b a R ,,2∈+=是有理数集，问R 对于普通加法和乘法能否构成一个域。

8、设{}

Q Q b a bi a C ,,∈+=是有理数集， 1-=i ，问C 对于普通加法和乘法能否构成一

个域。

9、设P 是模7的剩余类环，在[]x R 里计算乘积：

[][][]()[][]()

453622

3

+--+x x

x x 。

10、在[]x Z 7中计算：[][][]()[][][]()

32445322++++x x x x 四、证明题

1、设ϕ是群G 与群G 的同态满射，则

(1) 若G H ≤,那么 ()G H ≤ϕ； (2) 若G H ,那么

()G H ϕ。

2、证明：任何一个群都同一个变换群同构。

3、设G 是群，G g g ∈∀21,，则21g g 与12g g 的阶相同。

4、设G 是群，证明：G 的指数为2的子群H 为正规子群。

参考答案

一、填空题

1、n m ⨯

2、4

4 3、m

m 4、n 5、

{}]4[],3[],2[],1[],0[

6、n

7、2

8、交换除

9、最大理想 10、代数扩域（或扩张）

二、选择题

1、C

2、D

3、B

4、A

5、A

6、D

7、B

8、B

9、D 10、A 三、计算题

1、解： A ⋃B={}11

,764,21，，，, A ⋂ B ={}4； =

⨯B A ()()()()()()()()()()()(){}6,11,4,11,2,116,7,4,7,2,76,4,4,4,2,4,6,1,4,1,2,1，，

2、解： A ⋃B ={2,3,4,6,8,9}，A ⋂ B ={6}

B

A ⨯()()()()()()()()()()()(){

}9,8,6,8,3,89,6,6,6,3,6,9,4,6,4,3,4,9,2,6,2,3,2，= 3、解：

x x R R ln :→→+

σ是由正实数集+R 到实数集R 的一一映射。因为：

1）∈∀y x ,+R ，若y x ln ln =，则

y x =，所以σ为单射；

2）R z ∈∀，z e x =∃，使得：

z e x z

==ln ln ，所以σ为满射。 所以σ为一一映射。