2015 年“认证杯”数学中国数学建模A题
2015年数学建模国赛A题
二、 问题分析
问题一要建立直杆影子长度变化的数学模型， 首先需知道太阳影子长度计算 公式，故引入太阳高度角[1]这个概念。即若已知某时刻太阳高度角的大小和直 杆高度，根据其满足的三角函数关系便可得到此时太阳影子长度。太阳高度角与 观测地地理纬度、地方时角和太阳的赤纬[2]相关。其中太阳赤纬是太阳直射点 所在纬度，与日期有关；时角由当地经度及其所用时区时间决定，故根据影长、 太阳赤纬、时角计算公式可求得直杆影子长度变化模型，并根据模型分析影子长 度关于各参数的变化规律。将附件一中直杆的有关数据直杆影长变化模型中，可 求出该直杆的具体影长变化公式。根据所建立的模型，运用 MATLAB 软件便可得 到影子长度随时间的变化曲线。 问题二需根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据， 建立数学 模型确定直杆所处的地点。首先由问题一可推测影子长度与时间的关系，故可将 太阳影子长度与对应时间进行拟合，得到影长与时间关系模型。当某个时刻影长 得到极小值时，该时刻为太阳与直杆距离最近，即地方时正午 12 时，结合当地 所使用的标准时间便可得到当地经度。 最后利用太阳高度角与直杆长度以及影长 满足的三角关系式，便可得到影长关于直杆高度、直杆所在地点的纬度的函数关 系式，即得到了有关太阳影子顶点坐标与直杆地点经纬度的模型。将附件一中影 子顶点坐标数据应用于该直杆位置模型，可得到直杆所在位置。用相对误差分析 法分析误差[3](168-169 页)，若所得的相对误差小于 2.5%，认为得到的模型合 理。 问题三可根据光照成影原理和太阳高度角计算公式建立影长与时间变 化模型，根据相关数据，运用 MATLAB 软件拟合可得到直杆所在位置的经纬 度。令年份均为 2015 年，根据太阳赤纬角计算公式，可求解具体的日期。 将附件 2 和附件 3 时间和对应直杆影长数据分别代入模型中，通过拟合计
2015 年“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛 第一阶段 A 题绳结
2015 年“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛
第一阶段
A 题绳结
给绳索打结是人们在日常生活中常用的技能。
对登山、航海、垂钓、野
外生存等专门用途，结绳更是必不可少的技能之一。
针对不同用途，有多种绳结的编制方法。
最简单的绳结，有时称为单结，死结或反手结，英文称为Overhand Knot，是最常用的绳结之一，在各种复杂绳结中也是经常出现的
基本元素。
图1: 单结的一种打法
这种绳结有两种打法，在三维空间中分别是对方的镜像。
图2: 单结的另一种打法
这种结有一个特点，如果用于捆扎物体，由于无法彻底拉紧，所以很容易
松脱，无法单独使用。
但如果能够彻底拉紧，对较软和细的绳子而言，相当难以解开。
所以用于捆扎物体时，可以连打两次单结，并将第二个结彻底拉紧，
图3: 拉紧后的单结
这就构成一个难以自动松开的结。
最常见的系鞋带方法，在本质上就是连打两次单结。
为了便于解开，所以在打第二次结的时候需要把鞋带折成双股。
第一阶段问题：
1. 在连打两次单结的时候，两次使用相同的打法还是互为镜像，得到的
结果是不同的。
结的结构不同，是否容易自动松脱的性质可能也有区别。
这
可以来判断系紧的鞋带是否容易自动松开。
请你建立合理的数学模型，分析
这两种打法中，哪种更容易自动松脱。
2. 一般的经验表明，绳索的直径、软硬和表面的摩擦力等机械性能都会
影响打的绳结是否容易自动松脱。
请你建立合理的数学模型，向大家解释在
不同的打结方法下，绳索的机械性能与绳结是否容易自动松脱之间的关系。
2015年全国大学生数学建模竞赛A题
§ 3 模型的假设
1、所收集的数据资料都是真实可靠的；
2
2、文章所统计的出租车均正常运营； 3、出租车和乘客不会中途中断交易； 4、假设乘客使用打车软件均呼叫出租车； 5、匹配程度只与乘客对打车软件服务平台的需求量与司机对打车软件服务平台的供给 量有关。
§ 4 名词解释与符号说明
一、名词解释 出行强度：每人每天出行次数，它可以反映城市交通服务水平； 出租车使用率：在各种出行方式中，选择出租车出行所占比例； 二、符号说明 序号 符号 含义 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 qij xi λi ci tj pij bj Amn α β y1 y2 te 表示第 i 个城市第 j 个时段出租车的需求量 表示第 i 个城市的人口数 表示第 i 个城市出行强度 表示第 i 个城市出租车使用率 表示第 j 个时段出租车需求比 表示第 i 个城市第 j 时段的匹配程度 表示第 j 个城市出租车总量 表示准则层对方案层的判断矩阵 表示乘客使用打车软件打车意愿 表示司机使用打车软件接单意愿 表示打车软件公司对乘客的补贴金额 表示打车软件公司对司机的补贴金额 表示某一时段出租车需求比
§ 5 模型的建立与求解
问题一的分析与求解 1、匹配程度时间函数模型 日常生活中，当需求与供给越接近，既不会造成需求得不到满足，也不会造成资源
3
浪费，同时表示此时匹配程度较好。由此说明匹配程度由需求和供给共同决定。所以建 立出租车匹配程度时间函数，需要出租车在所有出行方式中的占用率和出租车的总量。 查阅相关文献[1-2]可得以下数据，如表格 1 所示。 表格 1 基本数据 人口数 （万人） 出行强度 （次/人.天） 出 租 车 占 用 率 出租车总量（万 （%） 辆） 北京（1） 1917 2.64 9.01 6.6646 广州（2） 625.33 1.86 6.25 2.0300 成都（3） 533.96 2.56 7.60 1.4898 济南（4） 360 1.88 15.04 0.8043 哈尔滨（5） 495 2.54 18.23 1.4300 人们每日日常生活，相对比较规律，所以在出行规律也存在一定的相似性。我们通 过查阅相关文献[3]，做出每天从早上 6:30 至晚上 22:00 每隔半小时的出租车需求百分比 图，如图 1 所示。
2015全国大学生数学建模竞赛A题解析
V
是' 无变位时的显示储油量。
i
以下为附加内容
不需要的朋友下载后 可以编辑删除，谢谢
让更多的农民成为新型职业农民 中央农业广播电视学校 刘天金
2013˙05˙07 陕西
农业部部长韩长赋： 这是一项基础性工程、创新性工作，
要大抓特抓、坚持不懈。
——让更多的农民成为新型职业农民（目标） ——生产更多更好更安全的农产品供给社会（方向）
由于本问较复杂，需要分情况建立模型，可以先考 虑只发生纵向变位的情况。
三、解题思路（续）
球冠Ⅰ的体积表达式为：
其中
三、解题思路（续）
球冠III的体积表达式为：
其中
三、解题思路（续）
圆柱体II的体积表达式为：
其中
三、解题思路（续）
在不考虑罐体横向变位的情况下（即 ） ，0 储油罐 的体积与辅助变量 的H 关1 系表达式为：
2r,
r(1cos)h纵2r
由于罐体只产生纵向变位时油位高度 与h 纵储油量 V (, h纵) 的对应关系已得到，再根据上面推导出的 h 与纵 同 时发生纵向和横向变位时油位高h，就可以求出一般情 况下，即罐体同时产生纵向和横向变位的油位高h与储
油量V之间的关系模型 VF(。,,h)
三、解题思路（续）
二、问题分析（续）
（3）对于（2）得到的实验罐在纵向倾斜变位情形 下油位高度与储油量的模型，将变位参数 4.1 代入 计算，得出修正后的油位高度间隔为1cm的罐容表标定 值。并与原标定值比较，分析罐体变位的影响。
第二部分：根据实际检测数据，识别实际储油罐罐 体是如何变位的，估计出变位参数，给出实际罐罐容表 的修正标定方法和结果。并分析检验模型的正确性和方 法的可靠性。
2015认证杯数学中国数学建模网络挑战赛第二阶段成绩初稿
了一定的
方法探
讨，但是
73
三等奖
结论不够 清晰，缺
本科组
尹鑫卫
贺治杰
高亚平
少问题二
的结论和
实施方案
。
模型建立
过程较详
66
三等奖
细，仿真 结果尚
本科组
翟婷婷
崔广智
陈宜
可，分析
不佳
一些重要
数据来自
60 优秀奖 文献，并 本科组 王士林 曲文雅 张振振
没有给出
合理说明
单纯基于
单字母频
率的破
译, 在噪
70
二等奖
通过三种
方法进行
69
三等奖
破译，内 容表述较
本科组
褚柯
黄晶晶 林雄
为充分，
参考不佳
主要基于
退火算法
等进行研
66 三等奖 究，算法 本科组 王怡璐 张苗苗 姚驍玲
主体来源
文献，分
析不完整
摘要还可
以，参考
了一些文
60 优秀奖 献，但是 本科组 蒯杨 黄达梦 文翰锋
问题二明
显深入不
够
思路较
好，分析
的也比较
声干扰下 是很困难
本科组
吴兴蛟
刘智文
南峰涛
的.缺少
算法破译
效果评价
方法.
思路比较
清晰，分
析细致，
75
二等奖
但是模型 实用性不
本科组
赵伟
苏素珠 王兴执
强，论文
排版效果
不好。
摘要不应
该超过一
页，目录
不应该和
正文处在
74
二等奖
一页，问 题二的深
2015年全国大学生数学建模竞赛A题全国二等奖优秀论文设计
太阳影子定位摘要如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法，该技术的日益成熟将有利于对视频中的场景进行大致定位和推算出拍摄时间。
可能会对部分案件的破解等事件产生极大的帮助。
为了更精确的计算视频中的拍摄地点和摄影时间，本文主要基于 MATLAB 与Excel处理软件，运用了遗传优化算法与模拟退火算法等，采用了视频数据化法、图片灰度化等处理手法，使计算更简便精确，使模型更完整可靠。
针对问题一，根据权威文献给出的太阳高度角算法建立模型一，先计算出太阳时角和太阳赤纬角后得到太阳高度角，再经过三角函数转换得到直杆的影长。
随后我们还考虑到因地球的大气状态并非真空状态会使到达地球的阳光折射，于是对太阳高度角进行了修正，使结果更加精确。
针对问题二，可以把这个问题当做是第一问的逆过程。
直杆影子的理论值与实际值的最小误差所对应的经纬度即为最优解。
在模型一的基础上，建立模型二并利用遗传算法计算此优化模型。
利用所给的21组坐标数据得到最优的直杆地点若干。
针对问题三，相较于问题二多了一个未知参数，在问题二的模型中加入这个未知参数即可得到模型三，得到最优的直杆地点与日期若干。
针对问题四，第一问中，利用 MATLAB 将视频每隔1min截取一张图片，把图片灰度化，测出影子、直杆底端与顶端的坐标，算得图中影长。
再根据已知图中影长、直杆实际长度与图中直杆长度的比例算出影长，运用模型二并进行优化后得出结果。
第二问中，运用模型三得到最优的视频的拍摄地点与日期若干，再进行优化得到最后结果关键词：遗传算法太阳高度角模拟退火算法最小二乘拟合问题粒子群算法1一、问题重述如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析技术的一个重要方面。
太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
现需通过数学建模解决以下四个问题。
2015年数学建模竞赛题目
2015年数学建模竞赛题目（原创实用版）目录1.2015 年数学建模竞赛概述2.竞赛题目分类及解析3.竞赛题目解答思路及方法4.竞赛对学生的意义和影响正文【2015 年数学建模竞赛概述】2015 年数学建模竞赛，即全国大学生数学建模竞赛，是我国面向全国大学生的一项重要的学科竞赛活动。
该竞赛旨在激发大学生学习数学的积极性，提高他们的创新意识和运用数学知识解决实际问题的综合能力，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。
【竞赛题目分类及解析】2015 年数学建模竞赛共有 A、B、C 三个题目，分别涉及不同的领域。
A 题：飞行器设计优化题目要求：根据给定的飞行器参数，建立数学模型，并求解最优设计方案。
解析：此题属于优化问题，需要运用线性规划、非线性规划等相关知识。
B 题：水质监测与评价题目要求：分析给定的水质监测数据，建立评价模型，对水质进行评价。
解析：此题涉及数据处理、统计分析、模糊评价等知识。
C 题：智能家居系统题目要求：设计一个智能家居系统，满足给定的功能需求。
解析：此题需要了解图论、动态规划等知识，以解决网络拓扑结构、任务调度等问题。
【竞赛题目解答思路及方法】1.对题目进行仔细阅读，理解题意，明确题目要求。
2.分析题目涉及的领域和知识点，确定解题思路。
3.利用相关数学方法和工具，建立数学模型。
4.求解模型，得到结果。
5.对结果进行分析和检验，撰写论文。
【竞赛对学生的意义和影响】参加数学建模竞赛，对学生具有重要的意义和影响。
首先，它可以激发学生学习数学的兴趣，提高他们的数学素养。
其次，通过解决实际问题，学生可以锻炼自己的创新能力和团队协作能力。
最后，竞赛成绩优秀的学生，还有机会获得奖学金、保研等优惠政策。
总之，2015 年数学建模竞赛题目涉及多个领域，对参赛学生的知识储备和解题能力提出了较高的要求。
2015年数学建模国赛A题全国优秀论文40
三．模型假设
1.假设一天中的太阳赤纬角保持不变； 2.假设附件 4 中视频里的时间为北京时间； 3.假设大气层对太阳光的折射率保持不变； 4.假设影子长度和角度与该点的海拔无关；
四．符号说明
符号
h
表示含义 表示太阳高度角 表示修正后的太阳高度角 表示杆子的长度 表示杆子的影长 表示太阳赤纬角 表示某点的地理纬度 表示某点的地理经度 表示太阳时角 表示大气层的折射率 表示日期 表示某一具体时刻 表示太阳方位角
1
一．问题的背景与重述
1.1 问题的背景 早在 15 世纪时， 定位技术就已经随着海洋探索的开始而产生。 随着社会和科技的不 断发展，我们对定位的需求已不再局限于航海、航空等领域，对于地球上的精确坐标定 位已逐渐成为人们关注的热点问题。对于地球表面经纬度的精确定位，可利用变化的太 阳影子来进行分析，其作为一种直观简便的定位技术，已受到广泛关注。 1.2 问题的重述 太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和 日期的一种方法，请建立合理的数学模型解决以下问题： 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并根据 建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场 （北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆 所处的地点，并将模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据， 建立数学模型确定直杆 所处的地点和日期，并将模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据，给出若 干个可能的地点与日期。 4．附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直 杆的高度为 2 米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用该模型给出若干个可能 的拍摄地点。如果拍摄日期未知，是否可以根据视频确定出拍摄地点与日期。
2015全国建模大赛a 题
赛区评阅编号(由赛区组委会填写):2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》与《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程与参赛规则”,可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果就是违反竞赛章程与参赛规则的,如果引用别人的成果或其她公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处与参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛章程与参赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程与参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会,可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示,在书籍、期刊与其她媒体进行正式或非正式发表等)。
我们参赛选择的题号(从A/B/C/D中选择一项填写):我们的报名参赛队号(12位数字全国统一编号):参赛学校(完整的学校全称,不含院系名):参赛队员(打印并签名) :1、2、3、指导教师或指导教师组负责人(打印并签名):日期: 年月日(此承诺书打印签名后作为纸质论文的封面,注意电子版论文中不得出现此页。
以上内容请仔细核对,特别就是参赛队号,如填写错误,论文可能被取消评奖资格。
)赛区评阅编号(由赛区组委会填写):2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用):送全国评奖统一编号(由赛区组委会填写):全国评阅统一编号(由全国组委会填写):此编号专用页仅供赛区与全国评阅使用,参赛队打印后装订到纸质论文的第二页上。
注意电子版论文中不得出现此页,即电子版论文的第一页为标题与摘要页。
基于matlab与太阳方位角的经纬度计算方法摘要根据影子的变化挖掘出测量地点的信息就是一项有挑战性的数学工作,这一工作可能会应用到安全领域的工作之中,本文利用影子的数据挖掘出太阳高度方位信息进而求解出所测量地点的经度纬度实现了成功定位。
2015年数模A题
2.2问题二的分析
第二个问题根据对竞赛评委有不同的基本素质要求，给出合理的度量评委基本素质的指标体系。我们根据题目附件给出的数据，去发掘测评评委基本素质要求的一些指标体系。测评基本素质指标体系主要三个方面构成：指标一是评委打分的准确度，指标二是评委打分的稳定度，指标三是评委打分的偏差度。为了使指标准确可靠，需要把不同的论文的结果分为两大类，一个是得奖论文，另一个是未得奖论文。为简化问题的复杂度，我们从得奖论文入手，分别找到这三个指标的评价标准：
序号
阅卷号
评委
打分
标准分
1
A1
评委A04
35
46.25937
2
A2
评委A11
53
55.66406
3
A3
评委A06
46
60.54732
……
……
……
……
……
353
A9020
评委A03
62
61.27679
354
A9021
评委A12
28
46.8965
355
A9022
评委A11
30
36.32556
【数学建模国赛获奖】2015年全国数学建模竞赛A题全国一等奖论文17
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立影子坐标关 于经纬度的数学模型，确定直杆所处的地点。将模型应用于附件 1 的影子顶点坐 标数据，通过求解模型确定若干个可能的地点。
3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立影子坐标关 于经纬度以及日期序数的数学模型，确定直杆所处的地点和日期。将模型分别应 用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据，通过求解模型确定若干个可能的地点 与日期。
2
符号 i ai t t0 ni i i Hi hi Li fi Ci i i ti
二. 符号说明
定义 纬度 经度 北京时间（东八区标准时间，东经 120 度） 北京当地时间（东经 116 度 23 分 29 秒） 日期序数 杆的高度 太阳高度角 杆在不同时刻的影子长度 太阳方位角 投影与 x 轴所夹角和太阳方位角之差 N 组杆长的算数平均数 N 组杆长的标准差 附件 1 影子长度的测量地点当地时间与北京时间的时差
1.2. 题中涉及知识点的说明
1.赤纬角是指地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角。 2.太阳时角是指观测点天球子午圈沿天赤道量至太阳所在时圈的角距离[4] 。 3.太阳方位角指太阳光线在地平面上的投影与当地经线的夹角。 4.太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角。
1.3. 所要解决问题的说明
针对问题 4：首先，运用 MATLAB 将视频转化为图片，通过分析图片建立合 理的空间直角坐标系，从图片中获取时间对应于影长的 y 值；其次，建立 x 关于 y 以及太阳高度角和影长之间函数关系，将 x 用表示；然后，将问题 2 中得到的 y 关于 x 与经纬度的函数方程化简为 y 关于经纬度的函数方程并用 MATLAB 拟 合定位；最后，根据拟合参数结合视频中获取的数据选择最优解。
2015年全国数学建模竞赛A题全国一等奖论文14
的 9 月 23 日，冬至日为每年的 12 月 22 日。
三、符号说明
符号 R
含义 地球半径，6371km
2
测量地点的纬度
（南纬为负，北纬为正）
测量地点的经度
（西经为负，东经为正）
太阳赤纬角
到各个点的空间坐标：A R cos,0, Rsin ，BR cos cos, R cos sin, Rsin ， C R cos, Rsin,0 ， D R,0,0 。
Z
N
E
阳光
B βO
A α
Y
C
θ
D
X S
图 1 太阳光直射地球正面图（1）
通过对包含点 A,B 的最大圆进行几何学分析，我们得到长度为 AE 的物体在 太阳光的照射下，投影长度为 AF，则：
子与 Y 轴夹角 arctan(xi / yi )，进一步求出 20 组相邻时刻的影子之间的夹角 i arctan(xi / yi ) arctan(xi1 / yi1) 作为实际值。接着再引入影子与正北方向的 夹角 作为参数。我们运用几何学知识可以求出 与各参数, , 之间的函数关 系。并且与上一模型类似，我们对直杆所在地点的经度 ，纬度 ，测量时间 t 进行穷举法遍历，通过建立的模型对于每一组 ( , ) 求解出 20 组 i i i1 作
1
一、问题重述
确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位 技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一 种方法。
1、建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律， 并用建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场（北 纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变 化曲线。
2015数学建模A题
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要在整个“嫦娥三号”软着陆过程中发动机的燃耗问题是整个着陆过程的关键问题之一，其利用率直接影响到整个着陆过程的成果与否，本文主要利用数学建模的方法对整个软着陆过程进行分析，使得整个软着陆过程发动机能耗最优。
针对问题一，首先需建立一个三维立体坐标系，根据牛顿第二定律，结合科氏定律整理得到嫦娥三号在月固定坐标系中的运动方程，再以卫星运行轨道切面为基面建立二维平面坐标系，将嫦娥三号软着陆问题简化为平面几何问题，求解出主减速阶段嫦娥三号水平位移的距离。
通过坐标变换求得位置。
最后根据天体运动规律得到近日点与远日点速度分别为s6226.1。
km.1、skm7006针对问题二，通过寻找一个制导律u,来调整推力的大小和方向,使嫦娥三号在月面实现燃耗最优着陆轨道，应用极大值原理设计这个最优制导律。
在障碍规避过程中，将动力学模型进行进一步简化，忽略了月球的自转角速度等相关因素。
再利用双线性插值的方法求取规则的采样点处的高程值，这样有利于方便的建立障碍检测算法并对着陆区表面的障碍进行提取，最后利用基于平面拟合的障碍检测算法取得着陆区域内某局部区域内的地形平面，我们将利用这个地表平面来对障碍物进行识别，达到安全着陆的目的。
针对问题三，影响制导精度的误差源主要有偏离标准飞行轨迹的初始条件误差和导航与控制传感器误差。
初始条件误差由主制动段以前的任务决定，传感器误差则由导航系统和传感器本身决定，通过建立误差模型，可以很好地对初始状态偏差、传感器测量偏差等不同因素造成的误差进行分析。
关键词：月球着陆轨道能耗最优打靶法最优制导律控制策略一问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。
2015全国大学生数学建模竞赛A
5.1.2 直杆太阳影子长度的变化曲线 根据题目条件可得，日期为 2015 年 10 月 22 号，日期序号 n 295 ，时间T 的取值
范围为 9:00-15:00，地理纬度 39 54'26'' ，直杆长度 H 3m 。
图 2 直杆影子长度随时间的变化曲线
由图 2 可以看出：在 9:00——15:00 时间段内，直杆的太阳影子长度先减小后增大。 这种影子长度的变化说明太阳在地平线以上高度的变化。在 9:00——12:00 时间段内，
5.2.1 直杆所处地点经度的确定 已知东八区的经度为120 E 。假设直杆的影子长度最短时为当地时间正午 12:00，与
4．附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直 杆的高度为 2 米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个 可能的拍摄地点。
如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？
二、 问题分析
本文是利用影子的变化轨迹确定视频拍摄的地点和日期。所以要在视频拍摄地点或 者日期缺失的情况下，通过分析直杆的影子的变化轨迹补全缺失的信息。
，计算得出模型预估数据的误
差率为 6.25%，精度为 93.75%，所以问题一建立的影子长度变化模型能够准确的对影子 长度进行预测，反映直杆影子长度变化趋势。
5.2 问题二模型建立及求解 问题二要求根据附件 1 中给出的影子顶点坐标数据确定直杆所处的地点。结合问题
一影子长度变化模型中的赤纬、时角和太阳高度角、太阳方位角之间的数学关系，确定 直杆所处地点的纬度和经度，从而确定直杆所处的地点。
23.45sin
2
284
365
n
(1)
时角表示地球与地球子午圈的角距离，可以通过时间衡量，小时作为计量单位。正
2015年全国大学生数学建模竞赛A题秀论文介绍
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太 阳 影 子 的 长 度 （m)
太 阳 影 子 的 长 度 （m)
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3
2
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1 -60
-40
-20 0 20 观测点的纬度（角度）
40
60
1 -25
-20
-15
-10 -5 0 5 10 太阳直射点的纬度（角度）
15
20
25
图 4 直杆影长与观测点纬度关系图
图 5 直杆影长与太阳直射点纬度的关系图
5
观测点与太阳直射点的经度差 进行灵敏度分析，分别分析改变此变量对直杆影 子长度的影响。 直杆影长与观测点纬度关系图如图 4 所示（图 4 为 11:00 时的关系图像） 。当 观测点纬度从南往当前的太阳高度角所在纬度靠近时，影长缩短，当观测点纬度 与太阳高度角处于同一纬度时，影长达到最小，随后观测点再往北移动，影长又 呈增大趋势，且增大速率明显加快。由图，在其他影响因素的取值都不变的前提 下，观测点纬度与太阳高度角处于同一纬度时，影长为 1m 左右，据推测， 12:00 时的图像，最小值应为 0m ，为太阳直射的情况。 直杆影长与太阳直射点纬度的关系图如图 5 所示。首先，太阳直射点的纬度 范围在南北回归线之间，而题设天安门所处的纬度在北回归线以北，故太阳直射 点纬度在由南到北的过程中，影长一直是减小的，且减小速率逐渐趋缓。
图 2 地球上过 A ， B 的大圆
考虑到太阳与地球之间相距较远，我们认为同一时刻照射到地球表面的太阳 光线是平行的，即 HF / / BO ，从而 AOB AHF 。
A 地 t 时刻的太阳高度角记为 angel 90 。
设图 1 中向量 AK 是与 A 点处经线相切且方向向北的单位向量，向量 AE 是与
2015年全国大学生数学建模竞赛A题
太阳影子定位（一）摘要根据影子的形成原理和影子随时间的变化规律，可以建立时间、太阳位置和影子轨迹的数学模型，利用影子轨迹图和时间可以推算出地点等信息，从而进行视频数据分析可以确定视频的拍摄地点。
本文根据此模型求解确定时间地点影子的运动轨迹和对于已知运动求解地点或日期。
直立杆的影子的位置在一天中随太阳的位置不断变化，而其自身的所在的经纬度以及时间都会影响到影子的变化。
但是影子的变化是一个连续的轨迹，可以用一个连续的函数来表达。
我们可以利用这根长直杆顶端的影子的变化轨迹来描述直立杆的影子。
众所周知，地球是围绕太阳进行公转的，但是我们可以利用相对运动的原理，将地球围绕太阳的运动看成是太阳围绕地球转动。
我们在解决问题一的时候，利用题目中所给出的日期、经纬度和时间，来解出太阳高度角ｈ，太阳方位角Α，赤纬角δ，时角Ω，直杆高度Ｈ和影子端点位置（x0，y o），从而建立数学模型。
影子的端点坐标是属于时间的函数，所以可以借助时间写出参数方程来描述影子轨迹的变化。
问题二中给出了日期和随时间影子端点的坐标变化，可以根据坐标变化求出运用软件拟合出曲线找到在正午时纵坐标最小，横坐标最大，影子最短的北京时间，根据时差与经度的关系，求出测量地点的经度。
根据太阳方位角Α，赤纬角δ，时角Ω，可以求出太阳高度角ｈ。
再结合问题一中的表达式，建立方程求解测量地点的纬度Ф。
我们在求解第三问的思路也是沿用之间的模型，但第三问上需要解出日期。
对于问题四的求解，先获取自然图像序列或者视频帧，并对每一帧图像检测出影子的轨迹点；然后确定多个灭点，并拟合出地平线；拟合互相垂直的灭点，计算出仿射纠正和投影纠正矩阵；进而还原出经过度量纠正的世界坐标；在拟合出经过度量纠正世界坐标中的影子点的轨迹，利用前面几问中的关系求出经纬度。
关键字：太阳影子轨迹Matlab曲线拟合（二）问题重述确定视频拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
全国大学生数学建模2015年国二a题
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：太阳影子定位摘要本文研究了太阳影子定位问题，基于天球坐标系相关知识、球面几何理论以及相似度理论，对不同情况下的数据，建立了相应的数学模型并得到了最优的匹配地点与日期。
问题1中，利用球面三角形余弦定理给出了太阳高度角公式，并建立了影子长度变化的数学模型，定性的分析了影子长度关于时角、当地纬度以及赤纬角的变化规律：(1). 时角的绝对值越大，影子长度越大；(2). 在同一经度上（即时角一定），当地纬度与此时的太阳赤纬之差越大，影子长度越大；(3). 在同一纬度不同经度上，当地经度和此时太阳直射点所在的经度之差越大，影子长度越大。
用所建的模型，得到了2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
太阳影子定位 2015 数学建模 国赛 A题
st
2
n
H L
一年中的日期序号，如 1 月 2 日， n 2 ；10 月 22 日， n 295 ； 固定直杆的高度； 直杆被太阳光照射后的影子在地表的长度； 程序所求影长与问题二附件数据求得影长的方差； 程序所求影长与问题二附件数据求得影长的误差精度； 北京时间； Nhomakorabea
t
四 模型的建立与求解
图 9 影长与经度关系
图 10 影长与纬度关系
（4）影子长度 L 与当前地区纬度 的变化关系
在北半球，纬度的范围在 (0, ) 。直杆高度 H 、经度 固定的情况下，求解出影子 2
长度 L 与纬度 关系如图 10 所示。随着纬度 的增加，第 n 天的影长最大值先增大，在 北纬 80.21 度时突然骤减，影子长度 L 随着纬度 的增大，反而递减。在太阳赤纬角、 时角一定时，太阳的高度随着纬度变化，纬度高，太阳高度小，纬度低，太阳高度大， 因此纬度高的地方影子长，纬度低的地方影子短。
根据以上公式从而建立出影子长度变化的模型：
(7) 其中：
且： b 2 (n 1) / 365
图 5 太阳位置移动后影长的变化图
图 6 杆高、高度角和影长的关系图
5
3.分析影子长度关于各参数的变化规律 在上一节中，我们已得出影子长度 L 变化相关的四个参数：一年中的日期序号 n 、 北京时间 t 与当前地区经度 、纬度 。为了分析影子长度 L 关于某一个参数的变化规 律，我们固定其他三个参数值。 (1) 影子长度 L 与北京时间 t 的变化关系 以北京天安门广场 9：00~15：00 之间时刻为例，用 Matlab 运行 Test_4.m 程序拟合 出影子长度与时间的关系图，如下图 7 所示。 随着时间 t 的增长，影子长度 L 逐渐减小， 在到达最低点后再增大。其中最低点为 (11.9533,3.6633) ,即当北京时间 t 为 11 点 57 分 时，影子长度 L 最短，约为 3.66m 。由此可知，时间决定太阳的位置，位置决定影子的 长短，影子长度与最低点成左右对称关系。
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2015 年“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段
A 题绳结
给绳索打结是人们在日常生活中常用的技能。
对登山、航海、垂钓、野
外生存等专门用途，结绳更是必不可少的技能之一。
针对不同用途，有多种绳结的编制方法。
最简单的绳结，有时称为单结，死结或反手结，英文称为Overhand Knot，是最常用的绳结之一，在各种复杂绳结中也是经常出现的
基本元素。
图1: 单结的一种打法
这种绳结有两种打法，在三维空间中分别是对方的镜像。
1
图2: 单结的另一种打法
这种结有一个特点，如果用于捆扎物体，由于无法彻底拉紧，所以很容易
松脱，无法单独使用。
但如果能够彻底拉紧，对较软和细的绳子而言，相当难以解开。
所以用于捆扎物体时，可以连打两次单结，并将第二个结彻底拉紧，图3: 拉紧后的单结
这就构成一个难以自动松开的结。
最常见的系鞋带方法，在本质上就是连打2
两次单结。
为了便于解开，所以在打第二次结的时候需要把鞋带折成双股。
第一阶段问题：
1. 在连打两次单结的时候，两次使用相同的打法还是互为镜像，得到的
结果是不同的。
结的结构不同，是否容易自动松脱的性质可能也有区别。
这可以来判断系紧的鞋带是否容易自动松开。
请你建立合理的数学模型，分析这两种打法中，哪种更容易自动松脱。
2. 一般的经验表明，绳索的直径、软硬和表面的摩擦力等机械性能都会
影响打的绳结是否容易自动松脱。
请你建立合理的数学模型，向大家解释在不同的打结方法下，绳索的机械性能与绳结是否容易自动松脱之间的关系。
3。