北师大 数学 七升八 暑假 预习讲义
七升八数学暑假衔接讲义
）
A.4 对
B.5
对
C.6
对
D.7
对
5. 若三条线段中 a=3， b=5，c 为奇数，那么由 a,b,c 为边组成的三角形共有（
）
A ．1 个
B.3 个
C. 无数多个
6. 如果线段 a，b，c 能组成三角 形，那么它们的长度比可能是（
A. 1: 2: 4
B. 1:3: 4
C. 3: 4 : 7
7. 三角形的一条高是一条（
例 5. 已知等腰三角形的周长是 角形各边的长。
25，一腰上的中线把三角形分成两个，
两个三角形的周长的差是
4, 求等腰三
例 6. 已知：△ ABC的周长为 48cm，最大边与最小边之差为 的各边的长。
14cm，另一边与最小边之和为
25cm，求：△ ABC
※例 7. 如图所示，已知在△ ABC中， AB=AC=8，P 是 BC上任意一点， PD⊥ AB于点 D，PE⊥ AC于点 E. 若△ ABC
的面积为 14，问： PD+PE的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定，请说明理由
.
【课堂练习】 1. 下列说法错误的是 ( ).
A. 三角形的三条高一定在三角形内部交于一点；
B. 三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C. 三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点；
D. 三角形的三条高可能相交于外部一点
若 x 是奇数，则 x 的值是 ______；这样的三角形有 ______ 个； ?若 x?是偶数，则 x?的值是 ______；这样
的三角形又有 ________个．
20. 现有 8 根木棒，它们的长分别是 1,2,3,4,5 ， 6,7,8 ，若从 8 根木棒中抽取 3 根拼成三角形，要求三角形
七升八暑假衔接学习讲义
七升八暑假衔接学习讲义公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]一、图形的全等1.定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形.观察右面两组图形，它们是不是全等图形为什么2. 由全等图形类比得出：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
比如，在图中，△ABC与△DEF能够完全重合，它们是全等的。
其中顶点A，D重合，它们是对应顶点；AB边与DE边重合，它们是对应边；A∠重合，它们是对应角.∠与D△ABC与△DEF全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”.记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等三角形的对应边，对应角。
全等三角形的对应边上的中线，对应边上的高，对应角的角平分线；全等三角形的周长，面积。
几何语言：（）∠A= , ∠C= ，∠B= .（）练习：1．如图6，△ABC≌△AEC，∠B=75°, ∠ACB=55°,求出△AEC各内角的度数。
解：A2．如图7，△ABD ≌△EBC ，AB=3 cm ，AC=8 cm ，求DE解： 3.判断：○1全等三角形的边相等，角相等，中线相等，角平分线相等.（ ）○2全等三角形的周长相等.（ ） ○3周长相等的两个三角形是全等三角形.（ ） ○4全等三角形的面积相等.（ ）○5面积相等的两个三角形是全等三角形.（ ） 4.填空：如图所示，已知△AOB ≌△COD ，∠C =∠A ,AB =CD ,则另外两组对应边为________________，另外两组对应角为________________。
5.如图3，已知CD ⊥AB 于D ， BE ⊥AC 于E,△ABE ≌△ACD ，∠C=20°,AB=10，AD=4，G 为AB 延长线上的一点，求∠ABE 的度数和简记为"边角边"，符号表示："SAS" 例1. 下列哪组三角形能完全重合（全等）例2.如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知AB ＝A ′B ′，∠B ＝∠B ′，BC ＝B ′C ′．这两个三角形全等吗例3. 在△ABC 和△A ′B ′C ′中（自己画图）(1)⎪⎩⎪⎨⎧''='∠=∠''=C B BC B B B A AB (2) ⎪⎩⎪⎨⎧='∠=∠''=______A A B A ABA BC(图ADB GACDBOA D CB FEAD ∴C B A ABC '''∆≅∆( SAS ) ∴C B A ABC '''∆≅∆( )(3) ⎪⎩⎪⎨⎧''=∠=∠''=C B BC C A AC ____∴C B A ABC '''∆≅∆( ) 练习1：1．根据题目条件，判断下面的三角形是否全等 （1） AC ＝DF ， ∠C ＝∠F ， BC ＝EF ； （2） BC ＝BD ， ∠ABC ＝∠ABD ． 2． 如图2，△AOB 和△COD 全等吗为什么 3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ， AD 平分∠BAC ，求证：△ABD ≌△ACD ．4. 如图3，已知AD ∥BC ，AD ＝CB ，证明：△ABC ≌△CDA.5.如图4，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2，证明：△ABD ≌ACE.6. 如图，已知AB=AC ，AE=AD ，那么图中哪两个三角形全等并进行证明.7.已知： AD ∥BC ，AD ＝ CB(如图)．现有条件能证明△ADC ≌△CBA 吗如果能请写出证明过程，若不能，那么还需添加怎样的条件才能证明 练习21.已知：如图，AC=AD ，∠CAB=∠DAB ，求证：△ACB ≌△ADB 2.已知：AD ∥BC ，AD=CB 求证：△ADC ≌△CBA3.已知：AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF求证：△AFD ≌△CEB4.已知：EA=EC ，ED=EB ，A DC B FEA DCBE12求证：△AED ≌△CEB5.已知：AC=DB ，AE=DF ，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，求证：△EAB ≌△FDC6.已知：AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2求证：∠B=∠C三、三角形的判定定理：角边角定理定理：两个三角形的两组对应角相等且它们的夹边也相等，那么这两个三角形全等，简记为"角边角"，符号表示："ASA"例1. 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去 例2.如图，AD ∥BC ，BE ∥DF ，AE ＝CF ，试说明：△ADF ≌△CBE .例3.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于与BE 交于F ，若BF ＝AC ，试说明：△ADC ≌△BDF .例4.在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E .试说明：(1)△BDA ≌△AEC ； (2)DE ＝BD ＋CE . 练习：1. 如图，已知AO =DO ，∠AOB 与∠DOC 是对顶角，还需补充条件_________=___________，就可根据“ASA ”说明△AOB ≌△DOC ；或者补充条件_______________=_______________，就可根据“SAS ”，说明△AOB ≌△D OCABoAB CDEF2. 已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB=AC ，∠B=∠C 。
七升八数学暑期衔接班讲义
暑期七升八衔接班讲义第一讲 与三角形有关的线段知识点1、三角形的概念☑ 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
☑ 三角形的表示方法 三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C 的三角形，记作“△ABC ” 三角形ABC 用符号表示为△ABC 。
三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示.知识点2、三角形的三边关系【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？☑ 三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b ＞c ，b+c ＞a ，a+c ＞b 拓展：a+b ＞c ，根据不等式的性质得c-b ＜a ，即两边之差小于第三边。
即a-b ＜c ＜a+b （三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差）【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ）A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．11cm【练习2】有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？(1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12【辨析】有三条线段a 、b 、c ，a+b ＞c ，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？为什么？【小结】三角形的两边之和是指任意两边之和【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？ 知识点3 三角形的三条重要线段☑ 三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶 a bc (1)C B A点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高）(2)高的叙述方法AD是△ABC的高AD⊥BC，垂足为D点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90度[练习]画出①、②、③三个△ABC各边的高,并说明是哪条边的高.①②③AB边上的高是线段____ AB边上的高是线段____ AB边上的高是线段____BC边上的高是_________ BC边上的高是_________ BC边上的高是_________AC边上的高是_________ AC边上的高是_________ AC边上的高是_________[辨析] 高与垂线有区别吗？_____________________________________________[探究] 画出图1中三角形ABC三条边上的高，看看有什么发现？如果△ABC是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？试着画一画【结论】________________________________________☑三角形的中线（1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线[练习]画出①、②、③三个△ABC各边的中线,并说明是哪条边的中线.①②③AB边上的中线是线段____ AB边上的中线是线段____ AB边上的中线是线段____BC边上的中线是_________ BC边上的中线是_________ BC边上的中线是_________AC边上的中线是________ AC边上的中线是_________ AC边上的中线是_________图中有相等关系的线段：___________________________________________________[探究1]观察△ABC的三条边上的中线，看看有什么发现？如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？【结论】_________________________________[探究2]如图，AD为三角形ABC的中线，△ABD和△ACD的面积相比有何关系？【结论】__________________________________________【例2】如图，已知△ABC的周长为16厘米，AD是BC边上的中线，AD=45AB，AD=4厘米，△ABD的周长是12厘米，求△ABC各边的长。
2018年七年级升八年级暑期衔接班数学讲义：第一部分 专题一 整式运算(北师大版,无答案 )
第一部分——温故知新专题一 整式运算1.由数字与字母 组成的代数式叫做单项式。
单独一个数或字母也是单项式。
单项式中的 叫做单项式的系数单项式中所有字母的 叫做单项式的次数2.几个单项式的和叫做多项式多项式中 叫做这个多项式的次数3.单项式和多项式统称为4.整式加减实质就是 后5.同底数幂乘法法则：n m n m a a a +=·（m.n 都是正整数）；逆运算=+n m a 6.幂的乘方法则：()=n m a （m.n 都是正整数）；逆运算=mn a 7.积的乘方法则：()=n ab （n 为正整数）；逆运算=nn b a 8.同底数幂除法法则：n m n m a a a -=÷（a ≠0，m.n 都是正整数）；逆运算=-n m a9.零指数的意义：()010≠=a a ；10.负指数的意义：()为正整数p a aa p p ,01≠=- 11.整式乘法：（1）单项式乘以单项式；（2）单项式乘以多项式；（3）多项式乘以多项式12.整式除法：（1）单项式除以单项式；（2）多项式除以单项式知识点1.单项式多项式的相关概念归纳：在准确记忆基本概念的基础上，加强对概念的理解，并灵活的运用例1.下列说法正确的是（ ）A ．没有加减运算的式子叫单项式 B.35ab π-的系数是35- C.单项式-1的次数是0 D.3222+-ab b a 是二次三项式例2.如果多项式()1132+---x n xm 是关于x 的二次二项式，求m ，n 的值知识点2.整式加减归纳：正确掌握去括号的法则，合并同类项的法则例3.多项式()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--8313322xy ykxy x 中不含xy 项，求k 的值知识点3.幂的运算归纳：幂的运算一般情况下，考题的类型均以运算法则的逆运算为主，加强对幂的逆运算的练习，是解决这类题型的核心方法。
例4.已知5,3==n m a a求（1）n m a 32+的值 （2）n m a 23+的值例5.计算 （1）20102011324143⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛- （2）()1012201021---+⎪⎭⎫ ⎝⎛π知识点4.整式的混合运算归纳：整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据，注意运算时灵活运用法则。
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第十三讲矩形、正方形一、【基础知识精讲】（一）矩形：有一个角为直角的平行四边形叫矩形．1．矩形的性质: （1）具有平行四边形的一切性质．（2）矩形的四个内角是直角．（3）矩形的对角线相等且互相平分．2．矩形的判定方法:（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形（2）对角线相等的平行四边形为矩形．（3）三个角是直角的四边形是矩形．3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（二）正方形:有一组邻边相等的矩形叫正方形．（或有一个角是直角的菱形叫正方形）1. 正方形的性质: 由于正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形和菱形，它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身.因此，正方形具有以下性质：(1)对边平行，四条边都相等.(2)四个角都是直角．(3)两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．2. 正方形的判定方法:(1)有一组邻边相等的矩形是正方形. (2)有一个角是直角的菱形是正方形.二、【例题精讲】例1．矩形具有一般平行四边形不具有的性质是( )A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线相等D. 对角线互相平分例2．已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所成锐角的度数为__.例3．四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判定这个四边形是正方形的是( )A. AO=BO=CO=DO，AC⊥BDB. AB∥CD，AC⊥BDC. AD∥BC，∠A=∠CD. AO=CO，BO=DO，AB=BC例4．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则对角线长为_______，短边长为_______．例5．正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______．例6．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：四边形CFDE是正方形．三、【同步练习】A组一、选择题1.两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是（）A. 一般平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形2.在矩形ABCD的边AB上有一点E，且CE=DE，若AB=2AD，则∠ADE等于（）A.45°B.30°C.60°D.75°3.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（）A.16B.22C.26D.22或264.在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）A.12+122B.12+62C.12+2D.24+62二、填空题1.延长等腰△ABC的腰BA到D，CA到E，分别使AD=AB，AE=AC，则四边形BCDE是________，其判别根据是_______.2.矩形ABCD的周长是56 cm，它的两条对角线相交于O，△AOB的周长比△BOC的周长少4 cm，则AB=_______，BC=_______.3.在一正方形的四角各截去全等的等腰直角三角形而得到一个小正方形，若小正方形的边长为1，那么所截的三角形的直角边长是________.三、解答题1.在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，且AB=CD，四边形ABCD是矩形吗？为什么？2. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，顺次连结E、F、G、H所得的四边形EFGH是矩形吗？说明理由.3. E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD的度数.B组1．矩形的边长为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分为______________.2．E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，CE＝CA，AE交CD于F，则∠AFC＝____ .3．M为□ABCD的边AD的中点，且MB=MC，你能说明□ABCD一定为矩形吗？写出你的说明过程．第十四讲几种特殊平行四边形的关系一、【基础知识精讲】（一）正方形，矩形，菱形，平行四边形的关系（二）几种特殊平行四边形的性质（三）几种特殊平行四边形的常用判定方法平行四边形（1）两组对边分别平行； （2）两组对边分别相等； （3）一组对边平行且相等； （4）两条对角线互相平分； （5）两组对角分别相等。
七升八暑假数学衔接学习讲义
1. 定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形.观察右面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？2. 由全等图形类比得出：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
比如，在图中，△ABC与△DEF能够完全重合，它们是全等的。
其中顶点A，D重合，它们是对应顶点；AB边与DE边重合，它们是对应边；A与 D 重合，它们是对应角.△ABC与△ DEF全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”.记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.A D A(D)B C E F B(E) C(F)一、图形的全等观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？全等三角形的对应边全等三角形的对应边上的中线形的周长，面积几何语言：，对应角。
，对应边上的高，对应角的角平分线；全等三角∵△ ABC≌△ DEF （已知）∴AB= ，AC= ，BC= （）∠A= , ∠C=，∠B= .（）练习：1．如图6，△ABC≌△AEC，∠B=75°, ∠ACB=55°, 求出△AEC各内角的度数。
解： ABEC( 图6)2．如图7，△ ABD≌△ EBC，AB=3 cm，AC=8 cm，求DE的长。
D解：E3. 判断：A B C(图7)○1 全等三角形的边相等，角相等，中线相等，角平分线相等.（）○2 全等三角形的周长相等.（）○3 周长相等的两个三角形是全等三角形.（）○4 全等三角形的面积相等.（）CBD5.如图 3，已知 CD ⊥ AB 于 D ， BE ⊥ AC 于 E,△ ABE ≌△ ACD ，∠ C=20°, AB=10，AD=4， G 为 AB 延长线上的一点，求∠ ABE 的度数和 CE 的长 .CEFA二、三角形的判定定理：边角边公理DB G定理： 两个三角形的两组对应边相等且它们的夹角相等，那么这两个三角形全等，简记为 " 边角边 " ，符号表示： "SAS"例 1. 下列哪组三角形能完全重合（全等）？例 2. 如图，在△ ABC 和△ A ′ B ′C ′中，已知 AB ＝ A ′ B ′，∠ B ＝∠ B ′， BC ＝ B ′ C ′．这两个三角形全等吗 ?○5 面积相等的两个三角形是全等三角形 .（ ）4. 填空：如图所示，已知△AOB ≌△ COD ，∠ C=∠ A,AB=CD ,则另外两组对应边为，另外两组对应角为。
北师版数学初一升初二暑假衔接教材
第一讲、三角形总复习基础知识1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理；2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论；3. 全等三角形的性质与判定；4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；5. 直角三角形的性质与判定。
三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。
从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题。
因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。
因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。
例题精讲一、三角形内角和定理的应用【例1】如图1，已知∆A B C 中，∠=︒⊥B A C A D B C 90，于D ，E 是AD 上一点。
求证：∠>∠B E D C二、三角形三边关系的应用【例2】已知：如图，在∆A B C中，AB>AC ，AM 是BC 边的中线。
求证：()A M A B A C >-12。
三、角平分线定理的应用【例3】如图，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC 。
求证：AM 平分DAB 。
四、全等三角形的应用1、构造全等三角形解决问题【例4】已知如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN。
求证：∆A M N 的周长等于2。
2、“全等三角形”在综合题中的应用【例5】如图，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。
点B在AE的延长线上，点D在AF上。
若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。
求AC的长。
五、中考点拨【例6】如图，在∆A B C中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为【】A. 9B. 8C. 7D. 6六、题型展示【例7】已知：如图，∆A B C 中，AB ＝AC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，AE 垂直BD 的延长线于E ，AE BD =12。
七升八数学暑假衔接讲义
三角形第一讲与三角形有关的线段1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。
3.三角形的高：从三角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
三角形的三条高相交于一点。
．．．．．．．．．．．．．4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。
（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6.三角形的稳定性:例1.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.例2.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC 的各边的长。
例3.已知△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.例4.已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．例5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。
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第 五 讲探 索 勾 股 定 理一、【基础知识精讲】1．勾股定理：假如直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，那么a 2b 2c 2即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2．用面积法证明勾股定理：（1）如图，将四个全等的直角三角形拼成正方形。
（Ⅰ） S正方形ABCD2 c 2 1 。
(Ⅱ) S 正方形EFGH c2(ab) 21 。
(ab) 4 2 ab4ab2∴c 2a 2b 2.∴a 2b 2c 23．勾股定理各样表达式：在Rt ABC 中,C 90，∠A、∠B、∠C 的对边分别为则c 2a 2b 2，a 2c 2 b 2，b 2 c 2 a 24.勾股定理的作用:(1)已知直角三角形的两边求第三边 (2)用于证明平方关系的问题。
二、【例题精讲】例1：在△ABC 中，∠C=90°，1）若a=3，b=4，则c=_______；2）若a=6，c=10，则b=_________；例2.如图1-1，在△ABC 中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC 边上的高AD ．例3.已知：如图，在△ABC 中，∠A=90°，DE 为BC 的垂直均分 线，求证：BE 2AE 2AC 2三、【同步练习】 组1.一、填空题在△ABC 中，∠c=90°.(1)若a ＝8,b=15,则c=____；（2）若a=7,c=25,则b=______.某养殖厂有一个长2米、宽米的矩形栅栏，此刻要在相对角的极点间加固一条木板，则木板的长应取__________米．3.斜边的边长为17cm ，一条直角边长为8cm 的直角三角形的面积是。
4．如图，已知ABC中，C 90，BA15，A C12，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是。
二、选择题：小红要求△ABC最长边上的高，测得AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，则可知最长边上的高是()2.知足以下条件的△ABC，不是直角三角形的是()A、b2=c2－a2B、a∶b∶c=3∶4∶5C、∠C=∠A－∠BD、∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶153.在以下长度的各组线段中，能构成直角三角形的是()，6，7，4，9，12，13，11，12B组1．在直角三角形ABC中，∠C=90°，且c+a=9，c-a=4，则b=_________________2．如图，乐融融想知道灰太狼家旗杆的高度，他发现旗杆上的绳索垂到地面还多了1米，当他把绳索下端拉开5米后，发现下端恰巧接触地面，求旗杆的高度。
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北师大数学暑假预科七升八2017.7目录第一讲无理数与平方根 (2)第二讲立方根 (6)第三讲实数 (10)第四讲实数的运算 (14)第五讲探索勾股定理 (18)第六讲勾股定理逆应用 (22)第七讲最短距离 (26)第八讲直角坐标系 (30)第九讲坐标系提升 (34)第十讲函数基本知识 (39)第十一讲一次函数与正比例函数 (44)第十二讲一次函数图形应用 (49)第十三讲二元一次方程概念与求解 (54)第十四讲二元一次方程组应用题 (59)第十五讲二元一次方程与一次函数关系 (64)第十六讲数据分析 (69)第十七讲证明（一）基本知识 (74)第十八讲三角形内角和 (80)第一讲 无理数与平方根一、【基础知识精讲】1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数。
2. 平方根: 如果x 2＝a （a≥0），那么x 叫做a 的平方根.3. 平方根的表示方法: ① 当a>0时，a 的平方根记为±a ； ② 当a ＝0时，a 的平方根是a ，即0＝0；③ 当a<0时，a 没有平方根.4. 平方根的性质: ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0有一个平方根，它就是0本身；③负数没有平方根.5. 算术平方根: ①正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a ，②0的算术平方根是0.6. 算术平方根的性质: 非负数的算术平方根是非负数，即当a ≥0时，a ≥0.7. (1) (a )2＝a ，(a≥0) (2) 00.........(0) 0a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩二、【例题精讲】例1、判断下列说法是否正确：① ±6的平方根是36；( ) ② 1的平方根是1；( )③ －9的平方根是±3；( ) ④ 19361±=； ( )⑤ 9是2)9(-的算术平方根；( ) ⑥ |－16|的平方根是±4；()例2、求下列各数的平方根和算术平方根：（1）169； （2）22514； （3）10－2；例3、填空题(1)1214的平方根是_________； (2) (－41)2的算术平方根是_________；(3) 9-2的平方根是_________； (4) 若｜x －4｜+y x 2=0, 那么x=__, y=__.例4、求下列各式中的x:（1）92x ＝34； （2）（3x －1）2＝25三、【同步练习】1．填空题（1）0.16的平方根是__________，0.16的平方是_________.(2）若17是m 的一个平方根，则m 的另一个平方根是_____.（3）9的平方根是_____，81的算术平方根是_____.2．求下列各式中的x:（1）49（x 2＋1）＝50； （2）（3x －1）2＝（－5）2．3．求下列各式的值：（1）225)12(+-； （2）2)7(-；三、【拓展练习】一.填空题1. 若22(5),5a b =-=-，则a b +的所有可能值为 ________.2. 10b +=，则______________.a b +=3. 下列说法：（1）任何数都有算术平方根；（2）一个数的算术平方根一定是正数；（3）2a 的算术平方根是a ，（4）2(4)π-的算术平方根是4π-，（5）算术平方根不可能是负数，正确的个数有____________个。
4.设x 是16的算术平方根，2(2)y =-，则x 与y 的关系是 _________________.二．解答题1．已知29160y -=，且y 是负数，求3y+5的算术平方根。
2.若实数a 、b 、c 满足23(5)0a b -++=，求代数式a b c+的值。
家庭作业1、在实数 -2，0...31，3π，17，0.80108中，无理数的个数为（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个2、下列语句不正确的是（ ）A 、0的平方根是零B 、非负数的平方根互为相反数C 、-22 的平方根是±2D 、一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数3、 ）A 、±9B 、±3C 、9D 、34、下列计算正确的是（ ）A =±5B 3=-C 、± 6 D5、0=，则a+b-5= .6、20x y -=，那么x+y 的值为 。
7、一个自然数的算术平方根是a 则下一个自然数的算术平方根是（ ）A B 1 C 、21a + D 、1a +8=m 为任意一个数，则m 等于（ ）A 、1B 、-5C 、5D 、1或-59、当-1<x<210、已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的平方根是±4，求a+2b 的平方根。
第二讲 立方根一、【基础知识精讲】1. 立方根的概念：若a x =3，则x 叫做a 的立方根；记作3a2．立方根的性质： (1) 正数有一个立方根，仍为正数.如：8的立方根是2，记作283=；(2) 零的立方根是零，记作003=；(3) 负数有一个立方根，仍为负数，如：－8的立方根为－2，记作283-=-。
3．开立方：① 求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方，其中a 叫被开方数。
② 正如开平方是平方的逆运算一样，开立方运算也是立方运算的逆运算.4．(1) 33a a -=- (a>0), (2) a a =33)( (3) a a =)(33二、【例题精讲】例1、求下列各数的立方根：（1）512； （2）－0.729； （3）27102-； (4) 6变式训练:1．下列说法中正确的是（ ）A. －4没有立方根B. 1的立方根是±1C.361的立方根是61D. －5的立方根是35-2．在下列各式中：327102 =34 3001.0=0.1,301.0 =0.1,－33)27(-=－27,其中正确的个数是（ ） A.1 B.2C.3D.43．若m<0，则m 的立方根是（ ） A.3mB.－ 3mC.±3mD. 3m -4．如果36x -是6－x 的三次算术根，那么（ ）A. x<6B. x=6C. x ≤6D. x 是任意数例2、求下列各式的值：（1）3216--； （2）36427-； (3）3973.01-； （4）81643-。
例3、求下列各数的立方根。
（1）729（2）－42717例4、求下列各式中的x ．（1）125x 3=8 （2）(－2+x)3=－216三、【同步练习】一、选择题1．下列说法中正确的是（ ）A ．－5没有立方根B ．8的立方根是±2C ．125的立方根是15 D ．－22．X 是（2的平方根，y 是125的立方根，则x-y 的值是（ ）A ．7B ．3C ．-3或-7D ．1或9二、填空题 3.364的平方根是______． 4. (3x －2）3=343，则x=____ __．三、解答题5．求下列各数的立方根（1）216 （2）－641256．求下列各式中的x ．（1）x 3=－125 （2）8（x ＋1）3+27=0三、【拓展练习】1.（14=，则（x+13）的立方根是____________（2830b -==______________家庭作业1、下列说法中，不正确的是（ ）A 的平方根是±2B 2C 的立方根是2D 、的立方根是-224,= 则x= ; 2=，则= 。
3、一个正数x 的两个平方根分别是a+1和a-3,则a= ,x= .4、已知8x 3-1=0, 求221x x +的值5、若4x 2+y 2+4x+4y+5=0, 的值.6、已知3x+16的立方根是4，求2x+4的平方根。
7、求下列各式中的x ：①(4x-1)3=343第三讲 实数一、【基础知识精讲】1．有理数：整数和分数统称有理数。
2．无理数：无限不循环小数叫做无理数。
3．实数.：有理数和无理数统称为实数.4．实数的分类 ：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数小数数有限小数或无限循环小正分数、负分数分数正整数、零、负整数整数有理数实数)()()(5．实数大小的比较：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.6．实数和数轴上点的对应关系:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都 表示一个实数。
即实数和数轴上的点是一一对应的关系.7．实数的几个概念： （1）相反数；（2）倒数；（3）绝对值都和有理数范围内的概念相同.二、【例题精讲】例1、将下列各数填在相应括号内：π， 32， 3.14， ⋅⋅12.0， 327-， 21-， 3333+-，有理数集合{ }； 整数集合 { }； 正数集合 { }；例2、判断正误 （1）有理数包括整数、分数和零（ ） （2）无理数都是开方开不尽的数 （ ） （3）不带根号的数都是有理数 （ ） （4）带根号的数都是无理数 （ ） （5）无理数都是无限小数 （ ） （6）无限小数都是无理数（ ）例3、32-的相反数是________________；绝对值是_________________。
例4、点A 在数轴上和原点相距7个单位，点B 在数轴上表示的数为2，则A 、B 两点之间的距离是__________________。
三、【同步练习】一、填空题 1．下列各数中：－41，7，3.14159，π，310，－34，0，0.⋅3，38，16，2.121122111222…其中有理数有____________________________________________________．无理数有____________________________________________________．2．（1）在实数中绝对值最小的数是________，在负整数中绝对值最小的数是________．（2________________的绝对值是_______．3．已知一个数的相反数小于它本身，那么这个数是________．4．3.14－π的相反数是_________________, 绝对值是_________________.5．若a ，b 都是无理数，且a+b=2，则a ，b 的值可能是________．（填出一对即可） 二、选择题：1．下列判断正确的是（ ）A ．一个数的相反数是负数B ．最大的负数是-1C ．非负数中最小的数是0D ．比正数小的都是负数 2．两个无理数的和，差，积，商一定是（ ）A ．无理数B ．有理数 D ．0 D ．实数 3．三个数-π，-3，-3的大小顺序是（ ）A ．-3<-π<-3B ．-π<-3<-3C ．-3<-π<-3D ．-3<-3<-π 4．下列各组数中，互为相反数的是（ ） A ．-3与3 B ．│-3│与-13 C ．│-3│与13D ．-3与2(3)- 5．下列说法正确的是（ ）A ．两个无理数的和一定是无理数B ．两个无理数的差一定是无理数C ．两个无理数的积一定是无理数D ．两个无理数的商不一定是无理数四、【拓展练习】1.已知：a ，b 在数轴上的位置如图， 化简：22(1)(2)a b +--.2．（过程探究题）在计算32+22时，小芳是这样计算的：32+22=（3×2）2=62；小红是这样计算的：32+22=（3+2）22+=54=5×2=10；小颖是这样计算的：32+22=（3+2）2=52． 请问谁的计算正确？ .家庭作业一、选择题1． 有下列说法中正确的个数是（ ）（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数都是无限小数，有理数是有限小数；（4）无理数包括正无理数、零、负无理数；（5）无理数都可以用数轴上的点来表示。