3.1.2-两条直线平行与垂直的判定-习题
专题3-1-2 两条直线平行与垂直的判定-试题君之K三关2017-2018学年高一数学必修2 含解析 精品
3.1. 2 两条直线平行与垂直的判定一、两直线平行1．特殊情况下的两条直线平行的判定两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为 ，故它们互相平行.2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的 相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们 ，即1212l l k k ⇔=∥. 证明如下：设两条直线12,l l 的斜率分别为12,k k .如果12l l ∥(如图)，那么它们的倾斜角相等，即12αα=.∴12tan tan αα=,∴12k k =.反过来，如果两条直线的斜率相等，即12k k =,那么12tan tan αα=. 由于11220180(90),0180(90)αααα≤<≠≤<≠ ，∴12αα=. 又两条直线不重合，∴12l l ∥. 二、两直线垂直1．特殊情况下的两条直线垂直的判定当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 时，两条直线互相垂直. 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相 ，即1212=1l l k k ⇔-⊥. 证明如下：设两条直线1l 与2l 的倾斜角分别为1α与2α.如果12l l ⊥,这时12αα≠.否则12αα=,则12l l ∥,与12l l ⊥相矛盾. 设21αα<(如下图)，图(1)的特征是1l 与2l 的交点在x 轴上方； 图(2)的特征是1l 与2l 的交点在x 轴下方；图(3)的特征是1l 与2l 的交点在x 轴上，无论哪种情况下都有1290αα=+ . ∵1l ,2l 的斜率分别是12,k k ,且190α≠ ，∴20α≠ . ∴1221tan tan(90)tan ααα=+=-.∴121k k =-,即12=1k k -. 反过来，若121k k =-，即12=1k k -.不失一般性，设10k <，则1221tan tan(90)tan ααα=-=+ ,即1290αα=+ ,∴12l l ⊥.K 知识参考答案：一、1．90° 2．斜率 平行 二、1．90° 0° 2．−1 垂直K —重点 两条直线的平行、垂直关系，根据直线的位置关系求参数K —难点 两条直线平行与垂直的综合应用 K —易错忽略直线斜率的存在性致错1．两条直线的平行关系在判断两条直线是否平行时，首先应判断直线的斜率是否存在，然后根据斜率的关系进行判断，同时不要漏掉两条直线重合的情况.【例1】根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行. (1)l 1经过点Α(2，1)，B (－3，5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1经过点E (0，1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3，4)，H (2，3)； (3)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点，；(4)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0，5). 【解析】(1)由题意知，12514734325835，k k --+==-==----，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，又()53443335BC k --==-≠---，故l 1∥l 2.(2)由题意知，121134112023，k k ---====---，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，又()()41132FG k --==--，故直线l 1与直线l 2重合.(3)由题意知，12233tan 603321，k k --=︒===--，则k 1＝k 2，所以直线l 1与直线l 2平行或重合.(4)由题意知l 1的斜率不存在，且不是y 轴，l 2的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以l 1∥l 2. 2．两条直线的垂直关系判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于−1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行或重合时，这两条直线也垂直. 【例2】根据下列给定的条件,分别判断直线l 1与l 2是否垂直: (1)l 1经过点A (1,3),B (-1,-1),l 2经过点C (2,1),D (4,0); (2)l 1经过点E (-1,3),F (-1,-5),l 2经过点G (2,4),H (-1,4); (3)l 1的倾斜角为30°,l 2经过点M (1,),N (2,0);(4)l 1经过点P (2,-1),Q (3,4),l 2经过点R (5,2),S (0,1).【思路点拨】若斜率均存在，求出斜率，利用12121l l k k ⇔=-⊥进行判断，注意数形结合及斜率不存在的特殊情况.3．根据直线的位置关系求参数已知两直线平行或垂直求解参数的相关问题时，首先需考虑直线的斜率是否存在，若斜率都存在，则依据斜率间的关系求解；若斜率不存在，则需注意特殊情形.此外，已知两直线垂直求解参数时，还需注意斜率是否为零.【例3】已知直线1l 经过点(3,),(1,2)A a B a -,直线2l 经过点(1,2),(2,2)M N a -+. （1）若12l l ∥,求a 的值; （2）若12l l ⊥,求a 的值.【解析】由题意知直线2l 的斜率存在且222213a ak +-==---.（1）若12l l ∥,则直线1l 的斜率也存在,又122134a ak a a --==---,由12k k =,得243a aa -=--,解得1a =或6a =. 经检验,当1a =或6a =时, 12l l ∥. （2）若12l l ⊥，当20k =时, 0a =,112k =-,不符合题意; 当20k ≠时,直线2l 的斜率存在且不为0,则直线1l 的斜率也存在，且121k k =-,即2134a a a --⋅=--,解得3a =或4a =-.经检验，当3a =或4a =-时，12l l ⊥.【例4】已知点A (−2，−5)，B (6，6)，点P 在y 轴上，且∠APB =90°，则点P 的坐标为 A ．(0，−6) B ．(0，7)C ．(0，−6)或(0，7)D ．(−6，0)或(7，0)【答案】C4．两直线平行和垂直的综合应用利用直线平行与垂直的条件判断三角形或四边形的形状是常见题型，同时要熟知各种图形的特点及判定方法.证明两直线平行时，仅有斜率相等是不够的，注意排除两直线重合的情况. 【例5】已知(0,1),(1,0),(3,2),(2,3)A B C D ,试判断四边形ABCD 的形状. 【解析】由题意，可得013220311,1,1,110233120AB CD BC DA k k k k ----==-==-====----, ∴,AB CD BC DA k k k k ==. ∴AB ∥CD ,BC ∥DA .∴四边形ABCD 为平行四边形.又1AB BC k k ⋅=-,∴直线AB 与BC 垂直，即∠ABC =90°. ∴四边形ABCD 为矩形.【思路点拨】画图直观猜想四边形ABCD 是矩形.要说明四边形ABCD 为矩形，只要计算,,,AB CD BC DA k k k k ,再结合两条直线平行、垂直的判定求解即可. 5．忽略直线斜率的存在性致错【例6】已知(3,2),(24,4),(,),(3,32)A m B m C m m D m -----+,若直线AB CD ⊥，求m 的值. 【错解】由斜率公式知，42224(3)(1)AB k m m m -==------+,322(1)3()3CD m m m k m m +-+==--+.∵AB CD ⊥,∴1AB CD k k ⋅=-，即22(1)1(1)3m m m +⋅=--++，解得m =1,∴m 的值为1.【错因分析】漏掉了直线斜率不存在的情况.【正解】∵A ,B 两点纵坐标不相等，∴AB 与x 轴不平行. ∵AB ⊥CD ,∴CD 与x 轴不垂直，3,3m m -≠≠-.当AB 与x 轴垂直时，324m m --=--,解得1m =-,而1m =-时，C ,D 纵坐标均为1-，则CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ,满足题意.当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式知，42224(3)(1)AB k m m m -==------+,322(1)3()3CD m m m k m m +-+==--+.∵AB ⊥CD ,∴1AB CD k k ⋅=-,即22(1)1(1)3m m m +⋅=--++,解得m =1.综上，m 的值为1或1-.【误区警示】对于含有参数的直线垂直问题，要分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，避免漏解.1．下列命题：①若两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；②若两直线平行，则它们的斜率相等；③若两直线的斜率之积为−1，则它们垂直；④若两直线垂直，则它们斜率之积为−1.其中正确的为 A ．①②③④ B ．①③ C ．②④D ．以上全错2．直线1l 的斜率为2，12∥l l ，直线l 2过点()1,1-，且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为 A ．()3,0 B ．()3,0- C ．()0,3-D ．()0,33．若直线l 经过点(a −2，−1)和(−a −2，1)，且与斜率为23-的直线垂直，则实数a 的值是 A ．23-B ．32-C ．23D ．324．以A (5，−1)，B (1，1)，C (2，3)为顶点的三角形是 A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 为直角顶点的直角三角形D ．以B 为直角顶点的直角三角形5．已知A (−4,2)，B (6，−4)，C (12，6)，D (2，12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥AD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD 中正确的个数为 A ．1 B ．2 C ．3D ．46．若不同两点P ，Q 的坐标分别为(),a b ，()()3,33b a a b --+≠，则线段PQ 的垂直平分线的斜率为__________.7．若l 1过点A (m ,1)，B (−3,4)，l 2过点C (0,2)，D (1,1)，且12l l ∥，则m =__________. 8．(1)已知直线经过点经过点32,2R ⎛⎫- ⎪⎝⎭,50,2S ⎛⎫ ⎪⎝⎭,试判断与是否平行?(2)若的倾斜角为45°,经过点,问与是否垂直？9．当m 为何值时，过A (1，1)，B (2m 2＋1，m −2) 两点的直线： （1）倾斜角为135°；（2）与过两点(3，2)，(0，−7)的直线垂直； （3）与过两点(2，−3)，(−4，9)的直线平行？10．已知A (1，5)，B (−1，1)，C (3，2)，若四边形ABCD 是平行四边形，求D 点的坐标．11．若直线12,l l 的斜率是方程2310x x --=的两根，则l 1与l 2的位置关系是A ．平行B ．重合C ．相交但不垂直D ．垂直12．已知经过点A (3,n ),B (5,m )的直线l 1与经过点P (-m ,0),Q (0,n 2)(mn ≠0)的直线l 2平行,则mn的值为 A ．-1 B ．-2 C ．-1或2D ．-2或113．在平面直角坐标系中,四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0)、P (1,t )、Q (1-2t ,2+t )、R (-2t ,2),其中t >0.试判断四边形OPQR 的形状.1 2 3 4 5 11 12 BDADCDC1．【答案】B【解析】①③显然正确.对于②，当两直线都垂直于x 轴时，它们互相平行，但斜率不存在，所以②错误；对于④，当一条直线的斜率为0，一条直线的斜率不存在时，它们互相垂直，不满足斜率之积为−1，所以④错误.故选B. 2．【答案】D【解析】∵k 1=2，12∥l l ，∴k 2=2. 设()0,P y ，则211201y k y -==-=+，∴y =3，即()0,3P .5．【答案】C【解析】由题意得42312631225,,,6(4)521252(4)3AB CD AD k k k ----==-==-==-----6212(4)AC k -==--1,412(4)426BD k --==--，所以AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AC ⊥BD . 6．【答案】1- 【解析】因为313PQ a bk b a--==--，所以线段PQ 的垂直平分线的斜率为1-.7．【答案】0【解析】∵l 1∥l 2，且221101k -==--，∴14113k m -==---，∴m =0. 8．【解析】(1)∵()()()53061122,3152022MN RSk k ---====-----,∴12∥l l . (2)∵()()121261tan 451,1,132k k k k ---=︒===-=---,∴.10．【解析】设D (x ，y )，则15211AB k -==--，23CD y k x -=-，51AD y k x -=-，2113(1)4BC k -==--， 由AB ∥CD ，得223y x -=-，即y =2x −4.① 由AD ∥BC ，得5114y x -=-，即x −4y ＋19=0.② 由①②解得56x y =⎧⎨=⎩.∴D 点的坐标为(5，6)． 11．【答案】D【解析】因为方程2310x x --=有两个不相等的实数根，直线l 1，l 2的斜率是方程2310x x --=的两根，所以12l l k k ≠，且121l l k k ⋅=-，所以l 1与l 2垂直.故选D. 12．【答案】C【解析】由题意得12l m n k -=, , 因为l 1∥l 2,所以,即22m n n m -=,化简得m 2-mn-2n 2=0, 所以m =-n 或m =2n ,得m n =-1或2,故选C.。
【精品提分练习】高中数学必修二3.1.2两条直线平行与垂直的判定
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定【选题明细表】知识点、方法题号两直线平行关系1,5,7,9两直线垂直关系4,6,10,12 两直线平行、垂直关系的应用2,3,8,11,131.(2018·贵州贵阳高一检测)若l1与l2为两条直线,它们的倾斜角分别为α1,α2,斜率分别为k1,k2,有下列说法:(1)若l1∥l2,则斜率k1=k2;(2)若斜率k1=k2,则l1∥l2;(3)若l1∥l2,则倾斜角α1=α2;(4)若倾斜角α1=α2,则l1∥l2.其中正确说法的个数是( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:需考虑两条直线重合的特殊情况,(2),(4)都可能是两条直线重合,(1),(3)正确.2.若过点A(2,-2),B(5,0)的直线与过点P(2m,1),Q(-1,m)的直线平行,则m的值为( B )(A)-1 (B)(C)2 (D)解析:由k AB=k PQ,得=,即m=.故选B.3.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以A,B,C,D为顶点的四边形是( B )(A)梯形(B)平行四边形(C)菱形(D)矩形解析:如图所示,易知k AB=-,k BC=0,k CD=-,k AD=0,k BD=-,k AC=,所以k AB=k CD,k BC=k AD,k AB·k AD=0,k AC·k BD=-,故AD∥BC,AB∥CD,AB与AD不垂直,BD与AC不垂直.所以四边形ABCD为平行四边形.4.若A(0,1),B(,4)在直线l1上,且直线l1⊥l2,则l2的倾斜角为( C )(A)-30° (B)30°(C)150° (D)120°解析:因为==,所以l1的倾斜角为60°.因为两直线垂直,所以l2的倾斜角为60°+90°=150°.故选C.5.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l2∥l1,且l2过点A(-2,-1)和B(3,a),则a的值为.解析:因为l2∥l1,且l1的倾斜角为45°,所以==tan 45°=1,即=1,所以a=4.答案:46.直线l1的斜率为2,直线l2上有三点M(3,5),N(x,7),P(-1,y),若l1⊥l2,则x= ,y= .解析:因为l1⊥l2,且l1的斜率为2,则l2的斜率为-,所以==-,所以x=-1,y=7.答案:-1 77.(2018·南京检测)l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1,), N(-2,-2),则两直线l1与l2的位置关系是.解析:由题意知,k1=tan 60°=,k2==,k1=k2,所以直线l1与直线l2平行或重合.答案:平行或重合8.已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点,求点D,使直线CD⊥AB,且CB∥AD.解:设D(x,y),则k CD=,k AB=3,k CB=-2,k AD=.因为k CD·k AB=-1,k AD=k CB,所以所以即D(0,1).9.(2018·湖南师大附中高一测试)已知直线l1的斜率为2,l2过点A(-1,-2),B(x,6),若l1∥l2,则lo x等于( D )(A)3 (B)(C)2 (D)-解析:由题意得=2,得x=3,所以lo3=-.10.已知点A(-2,-5),B(6,6),点P在y轴上,且∠APB=90°,则点P的坐标为( C )(A)(0,-6) (B)(0,7)(C)(0,-6)或(0,7) (D)(-6,0)或(7,0)解析:由题意可设点P的坐标为(0,y).因为∠APB=90°,所以AP⊥BP,且直线AP与直线BP的斜率都存在.又k AP=,k BP=,k AP·k BP=-1,即·(-)=-1,解得y=-6或y=7.所以点P的坐标为(0,-6)或(0,7),故选C.11.若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),则给出下面四个结论:①AB∥CD,②AB⊥CD,③AC∥BD,④AC⊥BD.其中正确结论的序号是 . 解析:因为k AB=-,k CD=-,k AC=,k BD=-4,所以k AB=k CD,k AC·k BD=-1,所以AB∥CD,AC⊥BD.答案:①④12.已知△ABC的顶点坐标为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角三角形,试求m的值.解:k AB==-,k AC==-,k BC==m-1.若AB⊥AC,则有-·(-)=-1,所以m=-7;若AB⊥BC,则有-·(m-1)=-1,所以m=3;若AC⊥BC,则有-·(m-1)=-1,所以m=±2.综上可知,所求m的值为-7,±2,3.13.已知在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(2,1),中心E(3,3).(1)判断平行四边形ABCD是否为正方形;(2)点P(x,y)在平行四边形ABCD的边界及内部运动,求的取值范围. 解:(1)因为平行四边形的对角线互相平分,所以由中点坐标公式得C(5,4),D(4,5).所以k AB=-1,k BC=1.所以k AB·k BC=-1,所以AB⊥BC,即平行四边形ABCD为矩形.又|AB|=,|BC|=3,所以|AB|≠|BC|,即平行四边形ABCD不是正方形.(2)因为点P在矩形ABCD的边界及内部运动,所以的几何意义为直线OP的斜率.作出大致图象,如图所示, 由图可知k OB≤k OP≤k OA,因为k OB=,k OA=2,所以≤k OP≤2,所以的取值范围为[,2].。
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
画图
例2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0, 0), B(2, －1), C(4, 2), D(2, 3)，试判
断四边形ABCD的形状，并给出证明.
画图
变式练习1：已知A(2, 3), B(-4, 0), Ｃ(0, 2), 判断直线AB、BC的位置关系？
画图
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讲授新课
（ 一 ）两条直线互相平行(不重合) 设两条直线l1，l2的斜率分别为k1 ， k2 问题1 ：同学们在直角坐标系画两条平行线， 观察l1，l2的倾斜角关系：α1 = α2． 斜率关系： k1 = k2． l1∥l2 k1 = k2
讲授新课
问题2 ：如果两条直线的斜率相等，那么两条 直线l1∥l2吗？
复习引入
1、定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基 准，x轴 正向 与直线l 向上 方向之间所成的 角叫做直线l的倾斜角。 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 o O 0 ，当直线l与x轴垂直时，它的倾斜角为 90 。 2、倾斜角的范围是 . 3、一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜 率。斜率常用小写字母k来表示，即k = ， 倾斜角为90o的直线斜率 4、经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线 的斜率公式为k = .
复习引入
1、定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基 准，x轴 正向 与直线l 向上 方向之间所成的 角叫做直线l的倾斜角。 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 o O 0 ，当直线l与x轴垂直时，它的倾斜角为 90 。 O 2、倾斜角的范围是 0O≤ ＜180 . 3、一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜 率。斜率常用小写字母k来表示，即k = ， 倾斜角为90o的直线斜率 4、经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线 的斜率公式为k = .
3.1.2两条直线平行与垂直的判定同步练习含答案
13．已知△ABC 的顶点分别为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．14．已知四点A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状．3.1.2 两条直线平行与垂直的判定答案例1 (1)直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (1,2)，B (a －1,3)，l 1∥l 2，则a 的值为( )A ．－3B ．1 C.103 D.74例1.1(2)已知l 1经过点A (－3,3)，B (－8,6)，l 2经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－212，6，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－3，求证：l 1∥l 2. 【解析】 (1)直线l 2的斜率k 2＝3－2a －1－1＝1a －2，∵l 1∥l 2，∴k 1＝k 2，∴1a －2＝34，∴a ＝103.(2)证明：直线l 1的斜率为k 1＝6－3－8－－3＝－35，直线l 2的斜率为k 2＝6－－3－212－92＝－35，因为k 1＝k 2，且k AN ＝3－－3－3－92＝－45，所以l 1与l 2不重合，所以l 1∥l 2. 【答案】 (1)C (2)见解析跟踪训练1 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行． (1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (3,23)，N (－2，－33)．解析：(1)由题意知k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3＝－45.因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2.(2)由题意知k 1＝tan60°＝3，k 2＝－33－23－2－3＝ 3.因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合． 例2 判断下列各题中l 1与l 2是否垂直．(1)l 1经过点A (－3，－4)，B (1,3)，l 2经过点M (－4，－3)，N (3,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,10)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40)．【解析】 (1)k 1＝3－－41－－3＝74，k 2＝1－－33－－4＝47，k 1k 2＝1，∴l 1与l 2不垂直．(2)k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴；k 2＝40－4010－－10＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2.跟踪训练2 已知点A (－2，－5)，B (6,6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－6) B ．(0,7) C ．(0，－6)或(0,7) D ．(－6,0)或(7,0)解析：由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52，k BP ＝y －6－6，k AP ·k BP ＝－1，即y ＋52·⎝⎛⎭⎪⎫－y －66＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0,7)，故选C. 答案：C例3 已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，求第四个顶点D 的坐标． 【解析】 设第四个顶点D 的坐标为(x ，y )， 因为AD ⊥CD ，AD ∥BC ，所以k AD ·k CD ＝－1，且k AD ＝k BC .所以⎩⎪⎨⎪⎧y －1x －0·y －2x －3＝－1，y －1x －0＝2－03－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1不合题意，舍去．所以第四个顶点D 的坐标为(2,3).跟踪训练3 已知A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，D (2,3)，试判断四边形ABCD 的形状．解析：由题意，可得k AB ＝0－11－0＝－1，k CD ＝3－22－3＝－1，k BC ＝2－03－1＝1，k DA ＝3－12－0＝1，∵k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA ，∴AB ∥CD ，BC ∥DA ， ∴四边形ABCD 为平行四边形． 又∵k AB ·k BC ＝－1，∴直线AB 与BC 垂直，即∠ABC ＝90°， ∴四边形ABCD 为矩形． [巩固提升] 一、选择题1．下列命题中，正确的是( ) A ．斜率相等的两条直线一定平行B ．若两条不重合的直线l 1，l 2平行，则它们的斜率一定相等C ．直线l 1：x ＝1与直线l 2：x ＝2不平行D ．直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3平行解析：A 错误，斜率相等的两条直线还可能重合．B 错误，当两条不重合的直线l 1，l 2平行时，它们的斜率可能相等，也可能不存在．C 错误，直线l 1与l 2的斜率都不存在，且1≠2，所以两直线平行．D 正确，由于直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3的斜率分别为k 1＝1－2，k 2＝－12＋1＝1－2，则k 1＝k 2，所以l 1∥l 2.答案：D2．由三条直线l 1：2x －y ＋2＝0，l 2：x －3y －3＝0和l 3：6x ＋2y ＋5＝0围成的三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角三角形解析：kl 2＝13，kl 3＝－3，∴kl 2·kl 3＝－1，∴l 2⊥l 3.答案：A3．若两条直线y ＝ax －2和y ＝(2－a )x ＋1互相平行，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1解析：因为两条直线平行，则a ＝2－a ，得a ＝1. 答案：B4．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A.1aB ．a(4)当90°<α<180°时，l2的倾斜角为α－90°.(如图4)答案：无（α=45°，D也可以）(1)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0,5)；(2)l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3,4)，H (2,3)； (3)l 1经过点A (－1,6)，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)．解析：(1)由题意知l 1的斜率不存在，且l 1不是y 轴，l 2的斜率也不存在，l 2恰好是y 轴，所以l 1∥l 2.(2)由题意知k 1＝－1－1－2－0＝1，k 2＝3－42－3＝1，虽然k 1＝k 2，但是k EG ＝4－13－0＝1，即E ，F ，G ，H 四点共线，所以l 1与l 2重合．(3)直线l 1的斜率k 1＝2－61－－1＝－2，直线l 2的斜率k 2＝1－－12－－2＝12，k 1k 2＝－1，故l 1与l 2垂直．12．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线： (1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．解析：(1)由k AB ＝m －32m 2＝－1，得2m 2＋m －3＝0，解得m ＝－32或1.(2)由－7－20－3＝3及垂直关系，得m －32m 2＝－13，解得m ＝32或－3.(3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2，解得m ＝34或－1.经检验m ＝－1，m ＝34均符合题意．13．已知△ABC 的顶点分别为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5×1＋11－5＝－1，解得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5×m －12－1＝－1，解得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5×m －12－1＝－1，解得m ＝±2.综上，m 的值为－7，－2,2或3.14．已知四点A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状． 解析：由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置如图所示，由斜率公式可得k AB ＝5－32－－4＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－－4＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12.所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，所以AB ∥CD ，因为k AD ≠k BC ，所以AD 与BC 不平行．又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．。
国家课程校本化 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定(习题)
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定【基础达标】1．下列说法正确的个数为 ( )． ①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 当两直线斜率相等时，两直线平行或重合，故①错；②中l 1∥l 2时，也可能l 1，l 2的倾斜角都为90°，此时斜率均不存在；④同①也错；只有③正确． 答案 A2．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为45°，则直线l 2的倾斜角为( )．A ．45°B ．135°C ．－45°D ．120° 解析 由l 1⊥l 2及k 1＝tan 45°＝1，知l 2的斜率k 2＝－1，∴l 2的倾斜角为135°.答案 B3．已知ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0，1)，B (1，0)，C (4，3)，则顶点D 的坐标为( )． A ．(3，4)B ．(4，3)C ．(3，1)D ．(3，8)解析 设D (m ，n )，由题意得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0－11－0＝3－n 4－m ，n －1m －0＝3－04－1，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝4，， ∴点D 的坐标为(3，4)．答案 A4．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a ，1，直线l 2经过点M (1，1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．解析 由题意得l 1∥l 2，∴kl 1＝kl 2.∵kl 1＝k AB ＝2－4a＝－a 2，kl 2＝k MN ＝－2－10－1＝3， ∴－a 2＝3，∴a ＝－6.答案 －65．若不同两点P 、Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b ，3－a )，则线段PQ 的垂直平分线的斜率为________．解析 由两点的斜率公式可得：k PQ ＝3－a －b 3－b －a ＝1，所以线段PQ 的垂直平分线的斜率为－1.答案 －16．(2014·济宁高一检测)若A (－4，2)，B (6，－4)，C (12，6)，D (2，12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ，②AB ⊥CD ，③AC ∥BD ，④AC ⊥BD .其中正确的序号是________．解析 ∵k AB ＝－35，k CD ＝－35，k AC ＝14，k BD ＝－4，∴k AB ＝k CD ，k AC ·k BD ＝－1，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD .答案 ①④7．直线l 1过点A (3，m )，B (m －1，2)，直线l 2过点C (1，2)，D (－2，m ＋2)．(1)若l 1∥l 2，求m 的值； (2)若l 1⊥l 2，求m 的值．解 由题知直线l 2的斜率存在且k 2＝2－（m ＋2）1－（－2）＝－m 3. (1)若l 1∥l 2，则直线l 1的斜率也存在，由k 1＝k 2，得2－m m －4＝－m 3，解得m ＝1或m ＝6，经检验，当m ＝1或m ＝6时，l 1∥l 2.(2)若l 1⊥l 2.当k 2＝0时，此时m ＝0，l 1斜率存在，不符合题意；当k 2≠0时，直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k 1·k 2＝－1，即－m 3·2－m m －4＝－1，解得m ＝3或m ＝－4， 所以m ＝3或m ＝－4时，l 1⊥l 2.【能力提升】8．已知A (m ，3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1，2)，D (1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )． A ．1B ．0C ．0或2D ．0或1 解析 当AB 与CD 斜率均不存在时，m ＝0，此时AB ∥CD ，当k AB ＝k CD 时，m ＝1，此时AB ∥CD .答案 D9．已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2，－3)，直线l 2经过点C (2，3)、D (－1，a －2)，如果l 1⊥l 2，则a ＝________．解析 当k 2＝0时，由两直线垂直知直线l 1的斜率不存在，得a ＝5.当k 2≠0时，由k 1·k 2＝－1，得a ＝－6.故a 的值为－6或5.答案 －6或510．如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD ＝5 m ，宽AB ＝3 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，问如何在BC 上找到一点M ，使得两条小路所在直线AC 与DM 相互垂直？解 如图所示，以点B 为坐标原点，BC 、BA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系．由AD ＝5，AB ＝3，可得C (5，0)，D (5，3)，A (0，3)．设点M的坐标为(x ，0)，因为AC ⊥DM ，所以k AC ·k DM ＝－1，所以3－00－5·3－05－x＝－1，即x ＝165＝3.2，即BM ＝3.2 m 时，两条小路所在直线AC 与DM 相互垂直．。
21-22版：3.1.2 两条直线平行与垂直的判定(步步高)
11. 已 知 点 A( － 3 ， － 2) ， B(6,1) ， 点 P 在 y 轴 上 ， 且 ∠BAP ＝ 90° ， 则 点 P 的 坐 标 是 _(0_，__－__1_1_)_.
l1的斜率不存在，l2的斜率为0 ⇒__l1_⊥__l2__
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行.( × ) 2.若l1∥l2，则k1＝k2.( × )
3.若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线
解 ∵l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合， ∴l1∥l2.
题型二 两条直线垂直的判定
例2 判断下列各题中l1与l2是否垂直. (1)l1经过点A(－3，－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3，1)； 解 k1＝13－－－－34＝74，k2＝13－ －－ －34＝47， k1k2＝1，∴l1与l2不垂直.
PART ONE
知识点一 两条直线(不重合)平行的判定
类型 前提条件
对应关系
斜率存在 α1＝α2≠90°
l1∥l2⇔_k_1_＝__k_2_
斜率不存在 α1＝α2＝90°
l1∥l2⇐两直线的斜率都不存在
图示
知识点二 两条直线垂直的判定
图示
对应关系
l1⊥l2(两直线的斜率都存在) ⇔_k_1_k_2＝__－__1__
m的值为
A.58
√B.－58
C.－14
D.14
解析 由题意知AB的斜率存在且不为0， 则 kAB·kPQ＝－1，即0－5－－22×－－1m－－21m＝－1，解得 m＝－58.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
高一数学人教A版必修2课后练习3.1.2两条直线平行与垂直的判定及解析
课后导练基础达标1直线l 1的倾斜角为30°,直线l 2⊥l 1,则直线l 2的斜率为( ) A.3 B.3- C.33 D.33- 解析：设l 1的斜率为k 1,则k 1=tan30°=33,设l 2的斜率为k 2,∵l 1⊥l 2,∴k 1k 2=-1.∴k 2=3-. 答案：B2若l 1与l 2为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别是α1,α2,斜率分别为k 1,k 2,则下列命题,其中正确命题的个数是( )①若l 1∥l 2,则斜率k 1=k 2 ②若k 1=k 2,则l 1∥l 2 ③若l 1∥l 2,则倾斜角α1=α2 ④若α1=α2,则l 1∥l 2A.1B.2C.3D.4解析：由两线平行的判定方法可知,①②③④都正确.答案：D3已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m 的值( )A.-8B.0C.2D.10解析：k AB =24+-m m ,由24+-m m =-2,得m=-8. 答案：A4直线l 过点(a,b)和(b,a),其中a≠b ,则( )A.l 与x 轴垂直B.l 与y 轴垂直C.l 过一、二、三象限D.l 的倾角为135°解析：设直线l 的斜率为k,倾斜角为α.则k=tanα=ab b a --=-1,∴α=135°. 答案：D5若直线l 1∥l 2,且l 1的倾斜角为45°,l 2过点(4,6),则l 2还过下列各点中的( )A.(1,8)B.(-2,0)C.(9,2)D.(0,-8)解析：∵k 1=tan45°,又l 1∥l 2.∴k 2=1.设过点(x,y),则46--x y =1. 即y=x+2,代入检验可知选B.答案：B6原点在直线l 上的射影是P(-2,1),则l 的斜率为_______.解析：设l 的斜率为k,由条件知k OP =21-,又知l ⊥OP, ∴21-k=-1.∴k=2. 答案：27已知点P(3,m)在过M(2,-1)和N(-3,4)的直线上,则m 的值是____________.解析：因为P,M,N 三点共线,所以k PM =k MN .即3241231+--=-+m .得m=-2. 答案：-28顺次连结A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),所组成的图形ABCD 是什么图形？解析：如图.∵k AB =314235=+-k BC =216235-=--, k CD =313603=+-, k DA =3403+--=-3. 则k AB =k CD .∴AB ∥CD.k AB ·k DA =-1.∴AD ⊥AB,同理AD ⊥DC.又k BC ≠k AD .∴AD 与BC 不平行.故四边形ABCD 是直角梯形.综合运用9过点(6,3),(0,3)的直线与过点(2,6),(2,0)的直线的位置关系为( )A.相交不垂直B.垂直C.平行D.重合解析：由条件知k 1=320336-=--, k 2=2312602-=--. ∴k 1·k 2=-1.答案：B10已知直线l 1的斜率为3,直线l 2经过点A(1,2),B(2,a),若l 1∥l 2,则a 的值为________;若l 1⊥l 2,则a 的值为____________.解析：k 1=3.k 2=a-2,若l 1∥l 2,则k 1=k 2.即a-2=3.∴a=5,若l 1⊥l 2,则k 1·k 2=-1.即3(a-2)=-1.得a=35. 答案：5 5/311已知△ABC 的顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),求顶点A 的坐标.解：设A(a,b),∵H 为△ABC 的垂心,∴AH ⊥BC,BH ⊥AC.又知k AH =32+-a b ,k BC =41-,k BH =51-,k AC =63+-a b , 由⎩⎨⎧-=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-∙+--=-∙+-.62,19.1)51(63,1)41(32b a a b a b 解得 ∴A 的坐标为(-19,-62).拓展探究12已知A(0,3),B(-1,0),C(3,0),求点D 的坐标,使四边形ABCD 为直角梯形(A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列).解：如图,设D(a,b),(1)当AB ∥CD,且∠BAD=90°时,∵k AD =a b 3-,k AB =3,k CD =3-a b .由于AD ⊥AB.且AB ∥CD. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=∙-.59,518,33,133b a a b a b 解得 此时AD 与BC 不平行.(2)当AD ∥BC 且∠ACD=90°时,此时D(3,3),此时AB 与CD 不平行.故点D 的坐标为(3,3)和(59,518).。
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
公式成立的条件：
y
l1
l2
①两直线不重合；
②两直线的斜率均存在.
O
x
特别地，两直线的倾斜角都为90°时，它们互相平行
或重合.
两条直线平行与斜率之间的关系
类型 前提条件 对应关系
斜率存在 α 1=α 2≠90° l1∥l2⇔ _____ k 1=k2
斜率不存在 α 1=α 2=90° l1∥l2⇐两直线斜率都不存在
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若两条不重合的直线的倾斜角相等,则这两条直线必定平
行. ( ) ( ( ) )
(2)若两条直线平行,则两条直线的倾斜角一定相等. (3)若两条直线垂直,则它们的斜率的乘积一定等于-1.
提示:(1)正确.依据直线的倾斜角的定义可知. (2)正确.不论斜率存在还是不存在,只要平行,依据直线 的倾斜角的定义可知,则倾斜角必相等. (3)错误.只有斜率存在的情况下才成立.
答案：A
二、两条直线垂直的判定
设两条直线l1与l2的斜率分别为k1 ,k2，
y l2 l1
两直线的斜 率均存在.
O
x
l1 ⊥l2 k1k2 = -1.
特别地：一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的 倾斜角为0°，两直线互相垂直.
例3 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3）， Q（6，-6），试判断直线AB与PQ的位置关系.
④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则 这两条直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：若k1＝k2，则这两条直线平行或重合，所以①错； 当两条直线垂直于x轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所 以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的 斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．故选 A.
高中数学二 3.1.2两条直线平行与垂直的判定 (学生版)
3.1.2两条直线平行与垂直的判定时间:30分钟，总分：70分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分)1．已知下列说法：①若直线l1与l2的斜率相等，则l1∥l2;②若直线l1∥l2，则两直线的斜率相等；③若直线l1，l2的斜率均不存在，则l1∥l2;④若两直线的斜率不相等，则两直线不平行；⑤如果直线l1,l2平行，且l1的斜率不存在,那么l2的斜率也不存在．其中说法正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．42．已知直线l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为45°，则直线l2的倾斜角为( )A．45°B．135°C．－45°D．120°3．若直线l经过点（a－2,－1）和(－a－2，1)，且与经过点（－2,1），斜率为－错误!的直线垂直，则实数a的值是（）A．－错误!B．－错误! C.错误! D.错误!4．已知A(m,3)，B(2m，m＋4），C(m＋1，2)，D（1,0),且直线AB与直线CD平行,则m的值为( ）A．1 B．0 C．0或2 D．0或1 5．若直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2，且l1⊥l2，则有( )A．α1－α2＝90°B．α2－α1＝90°C．｜α2－α1|＝90°D．α1＋α2＝180°6．顺次连接A(－4,3），B（2,5)，C（6,3),D(－3，0）所构成的图形是（)A．平行四边形B．直角梯形C．等腰梯形D．以上都不对二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7、以点A(1，3），B(－5，1）为端点的线段的垂直平分线的斜率为________．8．已知直线l1经过点A（0，－1）和点B错误!，直线l2经过点M（1，1)和点N(0，－2），若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．9、已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，错误!），B(－2，－2错误!),则直线l1，l2的位置关系是____________．10．已知△ABC的顶点B(2，1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为________．三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）11、判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系：(1)l1经过点A（3，4)，B(3，100)，l2经过点M (－10，40），N（10,40);（2)l1经过点A（0，1）,B（1,0)，l2经过点M（－1，3)，N（2，0)．12、已知△ABC三个顶点坐标分别为A（－2，－4），B（6，6)，C(0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．。
【课堂新坐标】高中数学人教版必修二练习：3.1.2两条直线平行与垂直的判定（含答案解析）
【课堂新坐标】高中数学人教版必修二练习：3.1.2两条直线平行与垂直的判定（含答案解析）学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，有下列说法：①若l1∥l2，则斜率k1＝k2；②若斜率k1＝k2，则l1∥l2；③若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；④若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2.其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3 D．4【解析】需考虑两条直线重合的情况，②④都可能是两条直线重合，所以①③正确．【答案】 B2．已知过(－2，m)和(m,4)两点的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是() A．－8 B．0C．2 D．10【解析】由题意知m≠－2，m－4－2－m＝－2，得m＝－8.【答案】 A3．若点A(0,1)，B(3，4)在直线l1上，l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为() A．－30°B．30°C．150°D．120°【解析】k AB＝4－13－0＝3，故l1的倾斜角为60°，l1⊥l2，所以l2的倾斜角为150°，故选C.【答案】 C4．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是() A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形【解析】∵k AB ＝－1－12＋1＝－23，k AC ＝4－11＋1＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∠A 为直角．【答案】 C5．设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，则下面四个结论：①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④RP ⊥QS .正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】∵k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35， k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4，k PR ＝6－212＋4＝14 . 又P 、Q 、S 、R 四点不共线，∴PQ ∥SR ，PS ⊥PQ ，RP ⊥QS .故①②④正确．【答案】 C二、填空题6．已知直线l 1过点A (－2,3)，B (4，m )，直线l 2过点M (1,0)，N (0，m －4)，若l 1⊥l 2，则常数m 的值是______.【导学号：09960101】【解析】由l 1⊥l 2，得k AB ·k MN ＝－1，所以m －34－－·m －40－1＝－1，解得m ＝1或6. 【答案】 1或67．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，则第四个顶点D 的坐标为________．【解析】设D 点坐标为(x ，y )，∵四边形ABCD 为长方形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，即y －2x －3＝－1，① y －1x ＝1，②联立①②解方程组得x ＝2，y ＝3，所以顶点D 的坐标为(2,3)．【答案】 (2,3)三、解答题8．(2016·泰安高一检测)已知A ?1，－a ＋13，B 0，－13，C (2－2a,1)，D (－a,0)四点，当a 为何值时，直线AB 和直线CD 垂直？【解】 k AB ＝－13＋a ＋130－1＝－a 3，k CD ＝0－1－a －2＋2a ＝12－a(a ≠2)．由－a 3×12－a ＝－1，解得a ＝32. 当a ＝2时，k AB ＝－23，直线CD 的斜率不存在．∴直线AB 与CD 不垂直．∴当a ＝32时，直线AB 与CD 垂直． 9．已知在?ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判断?ABCD 是否为菱形．【解】(1)设D (a ，b )，由四边形为平行四边形，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得a ＝－1，b ＝6，所以D (－1,6)．(2)因为k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1，所以k AC ·k BD ＝－1，所以AC ⊥BD ，故?ABCD 为菱形．[自我挑战]10．已知两点A (2,0)，B (3,4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，有O ，A ，B ，C 四点共圆，那么y 的值是( )A ．19 B.194C ．5D ．4【解析】由题意知AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即4－03－2×4－y 3－0＝－1，解得y ＝194，故选B. 【答案】 B。
3.1.2两直线平行与垂直的判定(优秀经典公开课教案及练习答案详解)
3.1.2两直线平行与垂直的判定学科：数学年级：高一班级【学习目标】1.知道两条直线平行或垂直的判断条件．2.会利用斜率判断两条直线平行或垂直．3.利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．【学习重难点】重点：两条直线平行和垂直的条件难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．【预习指导】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线斜率相等，则两直线平行．( )(2)若l1∥l2，则k1＝k2.( )(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交．( )(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行．( )2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是( )A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直3．下列各组点中，在同一直线上的是( )A．(－2，3)，(－7，5)，(3，－5)B．(3，0)，(6，－4)，(－1，－3)C．(0，5)，(2，1)，(－1，7)D．(0，1)，(3，4)，(－1，－1)4．经过点A(m，1)，B(－1，m)的直线与过点P(1，2)，Q(－5，0)的直线平行，则m＝________.【合作探究】(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)∴tgα1=tgα2．即 k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点．．．．．．．P．和一个倾斜角α．．．.们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.下面我们研究两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°，可以推出: α1=90°+α2． L1⊥L2．结论: 两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.例1、已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ 的位置关系, 并证明你的结论.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,因为 k1=k2=0.5, 所以直线BA∥PQ.例2 、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证)例3、已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.例4 、已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略)【巩固练习】教材P89练习1、2题【当堂检测】1．下列说法中正确的是( )A．平行的两条直线的斜率一定存在且相等B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等C ．垂直的两直线的斜率之积为－1D ．只有斜率相等的两条直线才一定平行2．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)，(x ，6)，且l 1∥l 2，则x 等于( )A ．2B ．－2C ．4D ．13．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2，1)，且与斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值是( )A ．－23B ．－32 C.23 D.324．已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形5． l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M(1，3)，N(－2，－23)，则两直线l 1与l 2的位置关系是________．6．已知直线l 1经过点A(0，－1)和点B(－4a，1)，直线l 2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．【拓展延伸】已知A(－m －3，2)，B(－2m －4，4)，C(－m ，m)，D(3，3m ＋2)，若直线AB⊥CD，求m 的值．【课堂小结】(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.【课外作业】习题3.1第3、6题【教学反思】。
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
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课前篇 自主预习
一二
4.填表:两条直线垂直与斜率的关系
l1 与 l2 的斜率都存在,分别为 k1,k2,则 l1⊥l2⇔k1·k2=-1
l1 与 l2 中的一条斜率不存在,另一条 斜率为零,则 l1 与 l2 的位置关系是 l1 ⊥l2.
5.做一做:已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1=2,l1⊥l2,则
解因为OPQR为矩形,所以OQ的中点也是PR的中点.
设 R(x,y),则由中点坐标公式知
0+1-2������ 2
=
1+������ 2
,
0+2+������ 2
=
������+������ 2
,
解得
������ ������
= =
-2������,所以 2.
R
点的坐标是(-2t,2).
探究一
探究二
(2,1),(x,6),且l1∥l2,则x=
.
解析:由题意知l1⊥x轴.又l1∥l2,所以l2⊥x轴,故x=2.
答案:2
5.做一做: 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的
画“×”.
(1)若两条直线斜率相等,则这两条直线平行.( ) (2)若l1∥l2,则k1=k2.( ) (3)若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在, 则两直线相交.( ) (4)若两直线斜率都不存在,则两直线平行.( )
所以kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合,
所以AB∥CD,由kAD≠kBC,所以AD与BC不平行.
又因为kAB·kAD=
1 3
×(-3)=-1,
所以AB⊥AD,故四边形ABCD为直角梯形.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
(2)依据直线的斜率的定义可知: ①若不重合的两条直线l1,l2的斜率都存在,分别为k1,k2,倾斜角分别为 α 1,α 2,则l1∥l2⇔α1=α 2⇔k1=k2; ②当不重合的两条直线的斜率都不存在时,由于它们的倾斜角都是 90°,故它们也互相平行.
2.对两条直线平行的判定条件的理解 l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件有两个: (1)两条直线的斜率都存在.(2)这两条直线不重合.
综上,m的值为1或-1.
【误区警示】解答本题易漏掉直线斜率不存在的情况.
【补偿训练】直线l1的斜率k1= l1⊥l2,求实数a的值.
3 ,直线l2经过点A(3a,2),B(0,a),且 4 3 a－2 －1， 4 0－3a
【解析】由l1⊥l2可知k1k2=-1,即 解得a= － 2 .
3
4.已知点A(2,-1),B(3,2),则线段AB的垂直平分线的斜率为 【解析】直线AB的斜率为kAB= 2－(－1) =3,由于线段AB的垂直平分线
3－2
.
与直线AB垂直,故两直线的斜率乘积等于-1,则线段AB的垂直平分线的 斜率为 － 1 . 答案: － 1
3 3
5.已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6), 且l1∥l2,则x= .
3 ).
2.(2015·通辽高一检测)已知P(-2,m),Q(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若 直线PQ∥直线MN,求m的值.
【解题探究】1.典例1中判断直线l1与直线l2是否平行要从哪两个方面 分析? 提示:一是判断两条直线的斜率是否相等,二是判断两条直线是否重合. 2.典例2中由直线PQ∥直线MN,需要讨论直线PQ,MN斜率的存在性吗? 如何讨论? 提示:分当m=-2或m=-1以及m≠-2且m≠-1时进行讨论.
人教新课标版数学高一人教A版必修2练习3-1-2两条直线平行与垂直的判定
双基达标 (限时20分钟)1．下列说法正确的有( )．①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 若k 1＝k 2，则两直线平行或重合，所以①不正确；当两条直线垂直于x 轴时，两直线平行，但斜率不存在，所以②不正确，④正确；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，这两条直线垂直，所以③不正确．故选A.答案 A2．已知过A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值是( )．A ．－8B ．0C ．2D ．10解析 由题意可知，k A B ＝4－m m ＋2＝－2， 所以m ＝－8.答案 A3．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与经过点(－2,1)，斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值是( )．A ．－23B ．－32 C.23 D.32解析 由于直线l 与经过点(－2,1)且斜率为－23的直线垂直，可知a －2≠－a －2.∵k l ＝1－(－1)－a －2－(a －2)＝－1a ， ∴－1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，∴a ＝－23. 答案 A4．直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2过A (－2，－1)，B (3,4)，则l 1与l 2的位置关系为________．解析 ∵直线l 1的倾斜角为45°，∴k 1＝1.又∵直线l 2过A (－2，－1)，B (3,4)，∴k 2＝4－(－1)3－(－2)＝1. ∴k 1＝k 2，∴l 1与l 2平行或重合．答案 平行或重合5．直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是________． 解析 ∵l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，不妨设斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.答案 垂直6．(2012·威海高一检测)已知A (1,0)，B (3,2)，C (0,4)，点D 满足AB ⊥CD ，且AD ∥BC ，过求点D 的坐标．解 设D (x ，y )，则k AB ＝23－1＝1，k BC ＝4－20－3＝－23，k CD ＝y －4x ，k AD ＝y x －1.因为AB ⊥CD ，AD ∥BC ，所以k AB ·k CD ＝－1，k AD ＝k BC ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1×y －4x ＝－1y x －1＝－23，解得⎩⎨⎧x ＝10y ＝－6， 即D (10，－6)．综合提高 (限时25分钟)7．直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )．A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3) 解析 设P (0，y )，∴k 2＝y －1，∵l 1∥l 2，∴y －1＝2，∴y ＝3，故选D.答案 D8．若点P (a ，b )与Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则l 的倾斜角为( )．A ．135°B ．45°C ．30°D ．60°解析 由题意知，PQ ⊥l ，∵k PQ ＝a ＋1－b b －1－a＝－1， ∴k l ＝1，即tan α＝1，∴α＝45°.答案 B9．(2012·济宁高一检测)若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ，②AB ⊥CD ，③AC ∥BD ，④AC ⊥BD .其中正确的序号是________．解析 ∵k AB ＝－35，k CD ＝－35，k AC ＝14，k BD ＝－4，∴k AB ＝k CD ，k AC ·k BD ＝－1，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD .答案 ①④10．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a ，1，直线l 2经过点M (1,1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．解析 由题意得，l 1∥l 2，∴k 1＝k 2，∵k 1＝－a 2，k 2＝3，∴－a 2＝3，∴a ＝－6.答案 －611．已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2，－3)，直线l 2经过点C (2，3)，D (－1，a －2)，如果l 1⊥l 2，求a 的值．解 设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2.∵直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，且2≠－1， ∴l 2的斜率存在．当k 2＝0时，k 1不存在，a －2＝3，则a ＝5；当k 2≠0时，即a ≠5，此时k 1≠0，由k 1·k 2＝－1，得－3－a a －2－3·a －2－3－1－2＝－1，解得a ＝－6. 综上可知，a 的值为5或－6.12．(创新拓展)已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？解 (1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5.解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝6， ∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， ∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．。
2019年高中数学第三章直线与方程3.1.2两条直线平行与垂直的判定(含解析)
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定1.直线l1的斜率为a,l1⊥l2，则直线l2的斜率为( D ）（A)(B）a（C)-(D）-或不存在解析：若a=0，则l2的斜率不存在;若a≠0，则l2的斜率为—.故选D.2.若l1与l2为两条直线,它们的倾斜角分别为α1,α2，斜率分别为k1,k2，有下列说法：(1）若l1∥l2,则斜率k1=k2;（2)若斜率k1=k2,则l1∥l2；(3）若l1∥l2，则倾斜角α1=α2;(4）若倾斜角α1=α2，则l1∥l2。
其中正确说法的个数是（ B )(A）1 (B）2 (C)3 (D)4解析：需考虑两条直线重合的特殊情况，(2)，(4）都可能是两条直线重合，(1）,(3)正确。
3.已知A(m2+2,m),B(m+1,-1),若直线AB与斜率为2的直线平行，则m 的值为( B ）（A）(B)或1（C)1 (D）—1解析：由题知k AB=2，即==2,整理得2m2-3m+1=0，解得m=或m=1.4.若A（0,1),B(,4）在直线l1上,且直线l1⊥l2，则l2的倾斜角为（ C )（A）-30°(B)30°(C)150°（D）120°解析：因为==，所以l1的倾斜角为60°。
因为两直线垂直,所以l2的倾斜角为60°+90°=150°.故选C.5。
以A(—1,1)，B（2,—1），C（1,4)为顶点的三角形是（ C ）(A)锐角三角形（B)钝角三角形（C)以A点为直角顶点的直角三角形（D)以B点为直角顶点的直角三角形解析：如图所示,易知k AB==—，k AC==，由k AB·k AC=-1知三角形是以A点为直角顶点的直角三角形，故选C。
6.已知A(—4，3）,B（2,5)，C（6，3)，D(—3,0)四点，若顺次连接A,B，C,D四点，则四边形ABCD的形状是（ D )(A）平行四边形（B)矩形(C)菱形(D)直角梯形解析：因为k AB==，k CD==,k AD==-3，k BC==—，所以AB∥CD,AD⊥AB，所以四边形ABCD为直角梯形.7。
两条直线平行与垂直的判定题型总结及习题测试含答案
两条直线平行与垂直的判定一、基础知识1.两条直线平行的判定(1)l1∥l2,说明两直线l1与l2的倾斜角相等,当倾斜角都不等于90°时,有k1=k2;当倾斜角都等90°时,斜率都不存在.(2)当k1=k2时,说明两直线l1与l2平行或重合.2.两直线垂直的判定(1)当两直线l1与l2斜率都存在时,有k1·k2=-1⇔l1⊥l2;当一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在时,也有l1⊥l2.(2)若l1⊥l2,则有k1•k2=-1或一条直线斜率不存在,同时另一条直线的斜率为零.3.如何判断两条直线的平行与垂直判断两条直线平行或垂直时,要注意分斜率存在与不存在两种情况作答.二、典例剖析题型一直线平行问题例1:下列说法中正确的有( )①若两条直线斜率相等,则两直线平行.②若l1∥l2,则k1=k2.③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交.④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行.规律技巧:判定两条直线的位置关系时,一定要考虑特殊情况,如两直线重合,斜率不存在等.一般情况都成立,只有一种特殊情况不成立,则该命题就是假命题. 变式训练1:已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m的值为( )A.-8B.0C.2D.10题型二直线垂直问题例2:已知直线l1的斜率k1= ,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2,求实数a的值. 3 4变式训练2:已知四点A(5,3),B(10,6),C(3,-4),D(-6,11).求证:AB ⊥CD. 题型三 平行与垂直的综合应用例3:已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D 的坐标.规律技巧:利用图形的几何性质解题是一种重要的方法. 易错探究例4:已知直线l 1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l 2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a 的值.错因分析:只有两条直线的斜率都存在的情况下,才有l 1⊥l 2k 1•k 2=-1,本题中直线l 2的斜率存在,而l 1的斜率不一定存在,因此要分l 1的斜率存在与不存在两种情况解答. 正解：三、基础强化训练1.下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等,则它们平行; ②如果两直线平行,则它们的斜率相等; ③如果两直线的斜率之积为-1,则它们垂直; ④如果两直线垂直,则它们斜率之积为-1.2.已知点A(1,2),B(m,1),直线AB 与直线y=0垂直,则m 的值为( ) A.2B.1C.0D.-1121122:l l ,k k 1.35k ,,53351,53a a k a a a a --==-⊥∴⋅---∴⋅=---=-Q 错解又3.以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)为顶点的三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A为直角顶点的直角三角形D.以B为直角顶点的直角三角形4.已知l1⊥l2,直线l1的倾斜角为45°,则直线l2的倾斜角为( )A.45°B.135°C.-45°D.120°5.经过点P(-2､-1)､Q(3,a)的直线与倾斜角为45°的直线垂直.则a=________.6.试确定m的值,使过点A(2m,2),B(-2,3m)的直线与过点P(1,2),Q(-6,0)的直线(1)平行;(2)垂直.7.已知A(1,5),B(-1,1),C(3,2),若四边形ABCD是平行四边形,求D点的坐标.8.如果下列三点:A(a,2)､B(5,1),C(-4,2a)在同一直线上,试确定常数a的值.9.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,4)共线,则a的值等于____.10. l1过点A(m,1),B(-3,4),l2过点C(0,2),D(1,1),且l1∥l2,则m=_______.题组练习一、选择题1、直线l 1:ax+y=3;l 2:x+by-c=0，则ab=1是l 1||l 2的 A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件2、两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是 A m=1 B m=±1 C ⎩⎨⎧-≠=11n m D ⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧-≠=1111n m n m 或 3、直线xsin α+ycos α+1=0与xcos α-ysin α+2=0直线的位置关系是A 平行B 相交但不垂直C 相交垂直D 视α的取值而定4、已知P(a,b)与Q(b-1,a+1)(a ≠b-1)是轴对称的两点，那么对称轴方程是A x+y=0B x-y=0C x+y-1=0D x-y+1=05、已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足坐标为(1,p)，则m-n+p=A 24B 20C 0D -46、由三条直线3x-4y+12=0,4x+3y-9=0,14x-2y-19=0所围成的三角形是A 锐角不为450的直角三角形B 顶角不为900的等腰三角形C 等腰直角三角形D 等边三角形7、已知△ABC 中，A （2,4），B （－6，－4），C （5，－8），则∠C 等于 A 2740arctanB -2740arctanC +π2740arctan D -π2740arctan8、直线3x+3y+8=0直线xsin α+ycos α+1=0)24(παπ<<的角是A 4πα-B απ-4C 43πα-D απ-45二、填空题1、与直线2x+3y+5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为10/3的直线的方程为______＿＿；2、与直线2x-y+4=0的夹角为450，且与这直线的交点恰好在x 轴上的直线方程为＿＿＿＿＿；3、直线过点A （1，)33且与直线x-y 3=0成600的角，则直线的方程为＿＿ 三、解答题1、直线过P （1,2）且被两条平行直线4x+3y+1=0和4x+3y+6=0截得的线段长为2，求这条直线的方程。
3. 1. 2 两条直线平行与垂直的判定 习题
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定一、选择题1、下列说法正确的有< ）(注：两直线可以重合>①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则k1=k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两直线斜率都不存在，则两直线平行。
A、1个B、2个C、3个D、4个2、直线l1、l2的斜率是方程x2－3x－1=0的两根，则l1与l2的位置关系是< ）A、平行B、重合C、相交但不垂直D、垂直3、给定三点A<1，0）、B<－1，0）、C<1，2），则过A点且与直线BC垂直的直线经过点< ）b5E2RGbCAPA、<0，1）B、<0，0）C、<－1，0）D、<0，－1）4、已知直线x+my+6=0和(m－2>x+3y+2 m =0互相平行，则实数m的取值为< ）A．—1或3 B．—1 C．—3 D．1或—35、两条直线mx+y－n=0和x+my+1=0互相平行的条件是< ）A m=1B m=±1C D6、直线l1:ax+y=3;l2:x+by－c=0，则ab=1是l1||l2的< ）A 充要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分也不必要条件7、与直线2x+3y－6=0关于点对称的直线方程是< ）A．2x+3y+8=0 B．2x+3y+7=0C．3x－2y－12=0 D．3x－2y+2=08、已知P(a,b>与Q(b－1,a+1>(a≠b－1>是轴对称的两点，那么对称轴方程是< ）A x+y=0B x－y=0C x+y－1=0D x－y+1=09、如果直线(2a+5>x+(a－2>y+4=0与直线(2－a>x+(a+3>y－1=0互相垂直，则a的值等于< ）p1EanqFDPwA． 2 B．－2 C．2,－2 D．2,0,－210、两条直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A.A1A2+B1B2=0B.A1A2－B1B2=0C.=－1D.=－111、点A<4，0）关于直线l：5x+4y+21=0的对称点是< ）A<－6，8） B<－8，－6） C<6，8） D<―6，―8）12、直线xsinα+ycosα+1=0与xcosα－ysinα+2=0直线的位置关系是< ）A平行 B相交但不垂直 C 相交垂直 D 视α的取值而定二、填空题13、直线ax+3y+1=0与直线2x+(a+1>y+1=0平行,则a的值是 .14、若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a等于15、已知点A(1,2>、B(3,1>,则线段AB的垂直平分线的方程是 .16、点P<2，5）关于直线x+y=1的对称点的坐标是.17、已知点M<0，－1），点N在直线x－y+1=0上，若直线MN垂直于直线x+2y－3=0，则点N的坐标是.DXDiTa9E3d18、直线和与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为__________.三、解答题19、已知直线l1: x+(1+m>y+m－2=0 , l2: 2mx+4y+16=0 当且仅当m为何值时直线l1与l2分别有下列关系？RTCrpUDGiT(1> l1⊥l2 (2>.l1∥l220.直线x+m2y+6=0与直线<m-2）x+3my+2m=0没有公共点，求实数m 的值.21、已知A<1，－1），B<2，2），C<3，0）三点，求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD。
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3. 两条直线平行与垂直的判定
一、选择题
1、下列说法正确的有（ ）(注：两直线可以重合)
①若两直线斜率相等，则两直线平行；
②若l 1∥l 2，则k 1=k 2； ③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行。
"
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
2、直线l 1、l 2的斜率是方程x 2－3x －1=0的两根，则l 1与l 2的位置关系是（ ）
A 、平行
B 、重合
C 、相交但不垂直
D 、垂直
3、给定三点A （1，0）、B （－1，0）、C （1，2），则过A 点且与直线BC 垂直的直线经过点（ ）
A 、（0，1）
B 、（0，0）
C 、（－1，0）
D 、（0，－1）
4、已知直线x+my +6=0和(m －2)x+3y +2 m =0互相平行，则实数m 的取值为（ ）
A ．—1或3
B ．—1
C ．—3
D ．1或—3
5、两条直线mx+y －n =0和x+my +1=0互相平行的条件是（ ）
】
A m=1
B m=±1
C ⎩
⎨⎧-≠=11n m D ⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧-≠=1111n m n m 或 6、直线l 1:ax+y=3;l 2:x+by －c=0，则ab=1是l 1||l 2的（ ）
A 充要条件
B 充分不必要条件
C 必要不充分条件
D 既不充分也不必要条件
7、与直线2x +3y －6=0关于点)1,1(-对称的直线方程是（ ）
A ．2x +3y +8=0
B ．2x +3y +7=0
C ．3x －2y －12=0
D ．3x －2y +2=0
8、已知P(a,b )与Q(b －1,a +1)(a≠b －1)是轴对称的两点，那么对称轴方程是（ ） ￥
A x+y =0
B x －y =0
C x +y －1=0
D x －y +1=0
9、如果直线(2a +5)x +(a －2)y +4=0与直线(2－a )x +(a +3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（ ）
A ． 2
B ．－2
C ．2,－2
D ．2,0,－2
10、两条直线A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0垂直的充要条件是
1A +B 1B 2=0 1A －B 1B 2=0 C.2121B B A A =－1 D.2
121A A B B =－1 11、点A （4，0）关于直线l ：5x +4y +21=0的对称点是（ ）
A （－6，8）
B （－8，－6）
C （6，8）
D （―6，―8）
12、直线xsinα+ycosα+1=0与xcosα－ysinα+2=0直线的位置关系是（ ） 。
A 平行
B 相交但不垂直
C 相交垂直
D 视α的取值而定
二、填空题
13、直线ax +3y +1=0与直线2x +(a +1)y +1=0平行,则a 的值是 .
14、若直线x+ay +2=0和2x +3y +1=0互相垂直，则a 等于
15、已知点A (1,2)、B (3,1),则线段AB 的垂直平分线的方程是 .
16、点P （2，5）关于直线x +y =1的对称点的坐标是 .
17、已知点M （0，－1），点N 在直线x －y+1=0上，若直线MN 垂直于直线x+2y －3=0，则点
N 的坐标是 .
￥
18、直线02052:1=+-y x l 和0102:2=--y mx l 与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实
数m 的值为__________.
三、解答题
19、已知直线l 1: x +(1+m)y +m －2=0 , l 2: 2m x +4y +16=0 当且仅当m 为何值时直线l 1与l 2分别有下列关系
(1) l 1⊥l 2
(2). l 1∥l 2
|
20.直线x+m2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0没有公共点，求实数m的值.
：
21、已知A（1，－1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD。
'
22、已知经过点A（－2，0）和点B（1，3a）的直线l1与经过点P（0，－1）和点Q（a，－2a）的直线l2互相垂直，求实数a的值。
—
23、已知两直线12:40,:(1)0l ax by l a x y b -+=-++=,直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与直线2l 垂直, 求a 、b 的值．
必修2 两条直线平行与垂直的判定
参考答案
题号 1 ) 2
3 4 5 6 7 8 9 ） 10 11 12
答案 A D A B ( D
C A
D C A D C
—
13. －3 14. 3
2- 15. 4x －2y =5 16. （－4，－1） 17. (2,3) 18. m=－5
19. 20. m=0或m=-1
21. 解：设D （x ，y ），则k CD =
3-x y ，k AB =3，k CD =－2，k AD =1
1-+x y ∵k CD ·k AB =－1， k CB = k AD ∴
3
-x y ×3=－1 ∴ x=0 －2=11-+x y y=1 即D （0，1） 22. 解：l 1的斜率k 1=a a =---)
2(103 当a ≠0时，l 2的斜率k 2=
a
a a a 210)1(2-=---- ∵l 1⊥l 2 ∴k 1·k 2=－1，即a ×a a 21-=－1 得a=1 当a=0时，P （0，－1），Q （0，0），这时直线l 2为y 轴，A （－2，0）、B （1，0），这时直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2
综上可知，实数a 的值为1和0。
23. 解：（1）
12,(1)()10,l l a a b ⊥∴++-⋅=
即20a a b --= ① 又点(3,1)--在1l 上， 340a b ∴-++= ② 由①②解得： 2, 2.a b ==。