小学数学排列问题课件四年级奥数
四年级奥数系列第4讲-排列
如果是四位小朋友站成一排排列的所有情况就是：
如果是从出n个学生排成一排的所有不同情况就是：
排列
排列
可以引用乘法原理进行总结：从n个不同元素中取出m个 （m≤n）元素的排列问题可以这样计算： 第一步：排第一个位置上的元素从n个中任取，可以有n种选法； 第二步：排第二个位置的可以有n-1（n个抽掉1个只剩n-1个）种 选法； 第三步：则有n-2种选法； 。。。。。。 第m步：前面已排了m-1个元素，这里只能从剩下的n-（m-1）中选， 则有n-m+1种选法。
排列
例六 联欢晚会共有五个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求两个舞蹈不能相邻，
共有多少种节目表？
排列
练一练 三名男生五名女生站成一排照相，男生不能相邻，有多少种不同的站法？
排列
例七
法排 除
一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单 （1）前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？ （2）3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？ （3）3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？
排列
例一
（1）
（2）
（3）
排列
例二 6名同学到照相馆站成一排照相，可以有多少种不同的站法？
排列
练一练
10个人走进只有6辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须 且只能坐一个人，那么共有多少种不同的坐法？
排列
例三 从六位课代表候选人中选出三位分别当选数学课代表、语文课代表和英语 课代表，有多少种情况？
排列
练一练 3名女生和5名男生站成一排照相要求两端站女生且每个女生之间至少 有两个男生 排法有几种?
排列
例八
由０,２,４,５,７,８组成无重复数字的数 ⑴五位数有几个？ ⑵五位奇数有几个？ ⑶五位偶数有几个？ ⑷自然数有几个？ ⑸是５的倍数的三位数有几个？
最新四年级奥数找规律课件PPT教学文稿
例题5 下面每个括号里的两个数都是按一定的 规律组合的，在 里填上适当的数。
（8，4）、（5，7）、（10，2）、（ ，9） 【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：每个括
号里的每个数相加的和都是12。根据这一规律， 里应填的数位：12-9=3.
小试牛刀
课后作业
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上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家） 数列，也叫做“兔子数列”。
小试牛刀
先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填 上适当的数。
（1）2、4、6、10、16、（）、（） （2）34、21、13、8、5、（）、2、（） （3）3、7、15、31、63、（）、（） （4）33、17、9、5、3 （5）0、1、4、15、56 （6）1、3、6、8、16、18、（）、（）、76、
四年级奥数找规律课件PPT
例题1
先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填 上适当的数。 1、4、7、10、（ ）、16、19
【思路导航】在这列数种，相邻的两个数的差都是3， 即每一个数加上3都等于后面的数。根据这一规律， 括号应该填的数为：10+3=13或者16-3=13. 等差数列：像上面这样按照一定的顺序排列的一串 数叫做数列。在例1这个数列中，因为每相邻两个 数的差都相等，所以叫等差数列。
例题3
先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填 上适当的数。 23、4、20、6、17、8、（）、（）、11、12
【思路导航】在这列数中，第一个数减去3的差事第 三个数，第二个数加上2的和是第四个数，第三个 数减去3的差是第五个数，第四个数加上2的和事第 六个数· · · · · · · 依次规律，8后面的一个数为： 17-3=14. 11前面的数位：8+2=10 应填的数分别为：17-3=14，8+2=10
举一反三4年级数学奥数PPT课堂讲义课件
【练习4】先找出规律，然后在括号里填上适当的数。 （1）2，2，4，6，10，16，（ ），（ ） （2）34，21，13，8，5，（ ），2，（ ） （3）0，1，3，8，21，（ ），144 （4）3，7，15，31，63，（ ），（ ） （5）33，17，9，5，3，（ ） （6）0，1，4，15，56，（ ） （7）1，3，6，8，16，18，（ ），（ ），76，78 （8）0，1，2，4，7，12，20，（ ）
1、
2、
3、
【例题3】先计算下面一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规 律直接写出后几题的得数。
12345679×9=
12345679×18=
12345679×54=
12345679×81=
【思路导航】
题中每个算式的第一个因数都是12345679，它是有趣的“缺8数”， 与9相乘，结果是由九个1组成的九位数，即：111111111。不难发现，这组 题得数的规律是：只要看每道算式的第二个因数中包含几个9，乘积中就包 含几个111111111。
【例题2】
先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。 1，2，4，7，（ ），16，22
【思路导航】
四年级数学找规律-简单排列_课件.pdf
用８、 0、５三个数字能 组成几个不同的三位数？
用８、 2、５、 3四个数字 能组成几个不同的四位数？
? 课后小记：
? 课堂气氛是很好。整节课比上节课更有趣 和挑战。在例题中，学生一开始上当的可 不少，想到了 3×3=9 。借这个算式，使学 生很明确地意识到了“重复”问题的存在。
? 我感觉这节课主要要讲清楚什么时候用乘 法、什么时候用加法。课堂上觉得强调得 还不够仔细。应该通过对比，使学生发现： 当求“组合”有几种时，就用加，如握手、 打电话、踢足球等；当遇到排列的时候， 要用乘法。
如果小明站在左边第一个 ,就有 两种 不同的排法
如果小红站在左边第一个 ,就有 两种 不同的排法
如果用 A、B、C代表这三位 小朋友 ,你能把各种排法都表 示出来吗 ?
小A军
小B明
小C红
B
C
A
C
B
A
C
B
C
A
AB
C BA
注意
按顺序选定一个 ,再把剩下 的所有情况排好
如果这三个小朋友每次选 两人 排在
一起拍照，有多少种不同的排法？
小A军
小B明
小C 红
AB AC BC
BA CA CB
注意
先选出有多少组 ,再在 组内按顺序排列
想想做做
用８、２、５三个数字能 组成几个不同的三位数？
想想做做
小军、小明、小红他们 3人
每两人都 通了一次电话 ,一
共通了多少次 ?
如果他们互相寄一张 节日贺卡 ,一共寄了多 少张 ?
教学目标
让学生在现实的情景中经历 对几个事物进行排列的过程， 探索简单排列现象中的规律。
教学重点
? 让学生在现实的情景中经历对几个事物进 行排列的过程，探索简单排列现象中的规 律。
四年级奥数第4讲数阵图
第4讲数阵图一.常识要点在平庸的数学王国中,有一类异常有味的数学问题,它变更多端,惹人入胜,奥妙无限.它就是数阵,一座真正的数字迷宫,它对爱好探讨数字纪律的人有着极大的吸引力,以至有些人留连个中,用平生的精神来研讨它的变更.那么,到底什么是数阵呢？我们先不雅察下面两个图：左上图中有3个大圆,每个圆周上都有四个数字,有意思的是,每个圆周上的四个数字之和都等于13.右上图就更有意思了,1～9九个数字被排成三行三列,每行的三个数字之和与每列的三个数字之和,以及每条对角线上的三个数字之和都等于15,是不是很奥妙！上面两个图就是数阵图.一些数按照必定的规矩,填在某一特定图形的划定地位上,这种图形,我们称它为“数阵图”,数阵图的种类繁多,壮丽多彩,这里只介绍两种数阵图,即凋谢型数阵图和关闭型数阵图.二.精讲精练例1：把1～5这五个数分离填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9.解析：中央方格中的数很特别,横行的三个数有它,竖列的三个数也有它,我们把它叫做“重叠数”.也就是说,横行的三个数之和加上竖列的三个数之和,只有重叠数被加了两次,即重叠了一次,其余各数均被加了一次.因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9,所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9,重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3.重叠数求出来了,其余各数就好填了(见右图).演习1：1.把1～5这五个数分离填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8和10.2.将1～7这七个天然数填入左下图的七个○内,使得每条边上的三个数之和都等于10.例2：把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5),使两条直线上的三个数之和相等.解析：与例1不合之处是已知“重叠数”为5,而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数.所以,必须先求出这个“和”.依据例1的剖析知,两条直线上的三个数相加,只有重叠数被加了两遍,其余各数均被加了一遍,所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10.是以,两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于10-5=5.在剩下的四个数1, 2, 3, 4中,只有1+4=2+ 3=5.故有右图的填法.演习2：1.将 10～20填入左下图的○内,个中15已填好,使得每条边上的三个数字之和都相等.例3：把1～5这五个数填入右图中的○里,使每条直线上的三个数之和相等.解析：例1是知道每条直线上的三数之和,不知道重叠数;例2是知道重叠数,不知道两条直线上的三个数之和;本例是这两样都不知道.但由例1.例2的剖析知道,(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线上三数之和×2,所以,每条直线上三数之和等于(15+重叠数)÷2.因为每条直线上的三数之和是整数,所以重叠数只可能是1,3或5.若“重叠数”=1,则两条直线上三数之和为(15+1)÷2=8.若“重叠数”=3,则两条直线上三数之和为(15+3)÷2=9.若“重叠数”=5,则两条直线上三数之和为(15+5）÷2=10.填法见右下图.由以上几例看出,求出重叠数是解决数阵问题的症结.(1)若已知每条直线上各数之和,则重叠数等于(直线上各数之和×直线条数-已知各数之和)÷重叠次数.如例1.(2)若已知重叠数,则直线上各数之和等于(已知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数.如例2.(3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道,则要从重叠数的可能取值剖析评论辩论,如例3. 演习3：1、将3～9这七个数分离填入下图的○里,使每条直线上的三个数之和等于20.2.将1～11这十一个数分离填入右上图的○里,使每条直线上的三个数之和相等,并且尽可能大. :例4：将1~6,使每条边上的三个○内的数的和都等于9.解析：因为1＋2＋39,则三条边上的和为9×3 = 27, 27－21 = 6,这个6就是因为三个极点都被反复算了一次.所以三个极点的和为6,在1-6中,只能选1.2.3 填入三个极点中,再将4.5.6填入别的的三个圈即可.a .b .c .d f .演习4：1.把1-8个数分离填入○中,使每条边上三个数的和相等.例5：把20以内的质数分离填入下图的一个○中,使得图顶用箭头衔接起来的四个数之和都相等.解析：由上图看出,三组数都包含左.右两头的数,所以每组数的中央两数之和必定相等.20以内共有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数,两两之和相等的有5＋19＝7＋17＝11＋13,于是得到下图的填法.演习5：1.将1~8个数分离填入图中,使每个圆圈上五个数和分离为20,21,22.例6：在右图的六个○内各填入一个质数（可取雷同的质数）,使它们的和等于20,并且每个三角形（共5个）极点上的数字之和都相等.解析：因为大三角形的三个极点与中央倒三角形的三个极点正好是图中的六个○,又因为每个三角形极点上的数字之和相等,所以每个三角形极点上的数字之和为20÷2＝10.10分为三个质数之和只能是2＋3＋5,由此得到右图的填法.演习6：1.把1~9,填入下图中,使每条线段三个数和及四个极点的和也相等.2.把1~12这十二个数,填入下图中的12个○内,使每条线段上四个数的和相等,两个齐心圆上的数的和也相等.三、课后巩固1.把1~8这8个数,分离填入图中的方格内(每个数必须用一次),使“十一”三笔中每三个方格内数的和都相等.2.把1~9个数分离填入○中,使每条边上四个数的和相等.3.把1~10填入图中,使五条边上三个○内的数的和相等.4.把4~9填入下图中,使每条线上三个数的和相等,都是18.5.将1~9这九个数分离填入图中○内,使每条线段三个数相等.6. 把1~8这8个数填入下图,使每边上的加.减.乘.除成立.7.把0~9填入104个小三角形构成的大三角形的和相等.8.图有五个圆,它们订交互相分成9个区域,如今两个区域里已经填上10与6,请在别的七个区域里分离填进2.3.4.5.6.7.9七个数,使每圆内的和都等于15.9.把1~8,.10.将1-12这十二个数分离填入图中的十二个小圆圈里,使每条直线上的四个小圆圈中的数字之和26.11.将1~10这十个数分离填入下图中的十个○内,使每条线段上四个○内数的和相等,每个三角形三个极点上○内数的和也相等.。
四年级数学下册排列问题优质课公开课课件
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人数
2 3 4 5 6 7 …… n
算式
2×1 3×2×1 4×3×2×1 5×4×3×2×1 6×5×4×3×2×1 7×6×5×4×3×2×1 …… n×(n-1)×(n-2)…×2×1
排法总数
2 6 24 120 720 5040 …… ……
其实这种乘法方式叫做阶乘，它是由19世纪法 国著名数学家基斯顿·卡曼于1808年发明的，阶乘 被广泛地应用于计算机科学领域，为人类做出了巨 大的贡献。
排列问题
照 相 了
1
两位同学排成一行照相， 有多少种不同的排法？
照 相 了
2
三个同学排成一行照相， 有多少种不同的排法？
先确定第一个人的位置，其 他两人任意排列，数出有几 种排法，依次类推。可以不 重复，不遗漏地数出一共有 多少种不同的排法。
音乐课上，音乐老师给出1、3、5三个
发 音符，要求排列出没有重复音符的简谱 现 并唱出，你能试唱出哪种？ 音 乐
3/4
| 1 3 5-| 1 5 3-| 3 1 5-| 3 5 1-| 5 1 3 -| 5 3 1
我会唱
要在酒店大门的上方挂6只大灯笼（如 图），如果把形状相同的灯笼挨在一起， 可以有多少种不同的挂法？
温馨小贴士：
把下面三个数字分别填入方框中， 1.组成不同的小数。 2.组成不同的整数。
0
3
你知道吗？
34 295 489 253 679 26 125 798
856 725 968 514 64 73 312
来谈谈你的收获吧!
四年级奥数讲义：排列组合的综合应用
四年级奥数讲义：排列组合的综合应用排列组合是数学中风格独特的一部分内容.它具有广泛的实际应用.例如：某城市电话号码是由六位数字组成，每位可从0～9中任取一个，问该城市最多可有多少种不同的电话号码？又如从20名运动员中挑选6人组成一个代表队参加国际比赛.但运动员甲和乙两人中至少有一人必须参加代表队，问共有多少种选法？回答上述问题若不采用排列组合的方法，结论是难以想像的.（前一个问题，该城市最多可有1000000个不同电话号码.后一个问题，代表队有20196种不同选法.）当然排列组合的综合应用具有一定难度.突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理；即排列组合的基石.其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题？若能，再判断是属于排列问题还是组合问题？②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析.有时利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握.例1 从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？分析首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理.解：符合要求的选法可分三类：不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有5×3＝15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有5×2＝10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2＝6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的.因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有15＋10＋6＝31种.注运用两个基本原理时要注意：①抓住两个基本原理的区别，千万不能混.不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数.不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数.②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分.③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的.例2 一学生把一个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列.分析要不重不漏地写出所有排列，利用树形图是一种直观方法.为了方便，树形图常画成倒挂形式.解：由此可知，排列共有如下八种：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反.例3 用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数.分析此题属于有条件限制的排列问题，首先弄清楚限制条件表现为：①某位置上不能排某元素.②某元素只能排在某位置上.分析无重复数字的四位数的千位、百位、十位、个位的限制条件：千位上不能排0，或说千位上只能排1～9这九个数字中的一个.而且其他位置上数码都不相同，下面分别介绍三种解法.解法1：分析某位置上不能排某元素.分步完成：第一步选元素占据特殊位置，第二步选元素占据其余位置.解：分两步完成：第一步：从1～9这九个数中任选一个占据千位，有9种方法.第二步：从余下的9个数（包括数字0）中任选3个占据百位、十位、个位，百位有9种.十位有8种，个位有7种方法.由乘法原理，共有满足条件的四位数9×9×8×7=4536个.答：可组成4536个无重复数字的四位数.解法2：分析对于某元素只能占据某位置的排列可分步完成：第一步让特殊元素先占位，第二步让其余元素占位.在所给元素中0是有位置限制的特殊元素，在组成的四位数中，有一类根本无0元素，另一类含有0元素，而此时0元素只能占据百、十、个三个位置之一.解：组成的四位数分为两类：第一类：不含0的四位数有9×8×7×6=3024个.第二类：含0的四位数的组成分为两步：第一步让0占一个位有3种占法，（让0占位只能在百、十、个位上，所以有3种）第二步让其余9个数占位有9×8×7种占法.所以含0的四位数有3×9×8×7=1512个.∴由加法原理，共有满足条件的四位数3024+1512=4536个.解法3：从无条件限制的排列总数中减去不合要求的排列数（称为排除法）.此题中不合要求的排列即为0占据千位的排列.解：从0～9十个数中任取4个数的排列总数为10×9×8×7，其中0在千位的排列数有9×8×7个（0确定在千位，百、十、个只能从9个数中取不同的3个）∴共有满足条件的四位数10×9×8×7-9×8×7=9×8×7×（10-1）=4536个.注用解法3时要特别注意不合要求的排列有哪几种？要做到不重不漏.例4 从右图中11个交点中任取3个点，可画出多少个三角形？分析首先，构成三角形与三个点的顺序无关因此是组合问题，另外考虑特殊点的情况：如三点在一条直线上，则此三点不能构成三角形，四点在一条直线上，则其中任意三点也不能构成三角形.此题采用排除法较方便.解：组合总数为C311，其中三点共线不能构成的三角形有7C33，四点共线不能构成的三角形有2C34，∴C311-（7C33+2C34）=165-（7+8）=150个.例5 7个相同的球，放入4个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？（请注意，球无区别，盒是有区别的，且不允许空盒）分析首先研究把7分成4个自然数之和的形式，容易得到以下三种情况：①7=1+1+1+4②7=1+2+2+2③7=1+1+2+3其次，将三种情况视为三类计算不同的放法.第一类：有一个盒子里放了4个球，而其余盒子里各放1个球，由于4个球可任意放入不同的四个盒子之一，有4种放法，而其他盒子只放一个球，而球是相同的，任意调换都是相同的放法，所以第一类只有4种放法.第二类：有一个盒子里放1个球，有4种放法，其余盒子里都放2个球，与第一类相同，任意调换都是相同的放法，所以第二类也只有4种放法.第三类：有两个盒子里各放一个球，另外两个盒子里分别放2个及3个球，这时分两步来考虑：第一步，从4个盒子中任取两个各放一个球，这种取法有C24种.第二步，把余下的两个盒子里分别放入2个球及3个球，这种放法有P22种.由乘法原理有C24×P22=12种放法.∴由加法原理，可得符合题目要求的不同放法有4+4+12=20（种）答：共有20种不同的放法.注本题也可以看成每盒中先放了一个球垫底，使盒不空，剩下3个球，放入4个有区别盒的放置方式数.例 6 用红、橙、黄、绿、蓝、青、紫七种颜色中的一种，或两种，或三种，或四种，分别涂在正四面体各个面上，一个面不能用两色，也无一个面不涂色的，问共有几种不同涂色方式？分析首先介绍正四面体（模型）.正四面体四个面的相关位置，当底面确定后，（从上面俯视）三个侧面的顺序有顺时针和逆时针两种（当三个侧面的颜色只有一种或两种时，顺时针和逆时针的颜色分布是相同的）.先看简单情况，如取定四种颜色涂于四个面上，有两种方法；如取定一种颜色涂于四个面上，只有一种方法.但取定三种颜色如红、橙、黄三色，涂于四个面上有六种方法，如下图①②③（图中用数字1，2，3分别表示红、橙、黄三色）如果取定两种颜色如红、橙二色，涂于四个面上有三种方法.如下图④⑤⑥但是从七种颜色里，每次取出四种颜色，有C47种取法，每次取出三种颜色有C37种取法，每次取出两种颜色有C27种取法，每次取出一种颜色有C17种取法.因此着色法共有2 C47+6 C37+3 C27+ C17=350种.习题六1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？5.如右图：在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，问总共能作多少个三角形？6.有十张币值分别为1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元的人民币，能组成多少种不同的币值？并请研究是否可组成最小币值1分与最大币值（总和）之间的所有可能的币值.。
青岛版五四制小学四年级数学下册《智慧广场—简单的排列问题》课件
三、自主练习
1.用下面的数字卡片，你能摆出多少种不同的三位数？分 别是多少？（每个数字只能用一次）
2
① ②
3
③
④
4 3 2 4 3 4 2
⑤ ⑥
2 3 4 2 4 3
4 2 3 4 3 2
答：有6种不同的排法。
三、自主练习
2.四位同学排一行表演小合唱，
乙同学担任领唱。为了让他靠近
麦克风，需要把他安排在左起第 二个位置上，其余同学任意排。 有多少种不同的排法？
二、合作探究
合作要求: 想一想：怎样排才能不重复、 不遗漏的找出所有排法？ 排一排：组长借助学具排一小 冬小 华小 平
排，组员把排列的结果用你喜欢
的方式记录下来。
二、合作探究
二、合作探究
先 确定第 一个人 的位置， 剩下两 人任意 排列， 依 此类推， 这样就 可以不 重复、 不遗漏 地找出 所有的 排法。
排列问题
定位法
按顺序
列举法
不 重 复 不 遗 漏
答：有6种不同的排法。
3、生活中的排列
3、生活中的排列
用0,1,2,3四个数字组成四 位的密码
4、拓展提升：用0,1,2,3四个数字可以组成多少个不 同的四位数？（每个数字只用一次）
千
百
0
十
2 3 0
个
3 2 3 0 2 0
0
1
2
3
1
2
3 0
3
2
四、回顾反思
回顾这节课所学内容，你有哪些收获？
排列
情境导入 合作探究 自主练习 回顾反思
一、情境导入
小冬、小华两位同学排成一行照相
小冬 小华 小华 小冬 在拍照中，小冬、小华排成一行时的位置顺序不同就产生了不 同的排法，这种现象在数学上称为排列。
四年级奥数.计数综合.排列
1. 使学生正确理解排列的意义；2. 了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；3. 掌握排列的计算公式；4. 会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等．一、 排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关． 一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法；……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法；考试要求知识结构排列由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．二、 排列数一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（） ．（1） 捆绑法.（2） 插空法.【例 1】 计算：⑴ 25P ；⑵ 4377P P -．【巩固】 计算：⑴ 23P ；⑵ 32610P P -．【例 2】 有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？(照相时3人站成一排)【巩固】 4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？重难点例题精讲【例 3】 9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？【例 4】 丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少种不同的站法？【巩固】 5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？【例 5】 6名小朋友、、、、、A B C D E F 站成一排，若，A B 两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？若、A B 两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？【巩固】 将A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七位同学在操场排成一列，其中学生B 与C 必须相邻．请问共有多少种不同的排列方法？【例 6】 5个同学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排法共有_______种？【例 7】在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？【巩固】有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少种不同的信号？【例 8】用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？【巩固】由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的三位数？【例 9】用0、1、2、3、4可以组成多少个没重复数字的三位数？【巩固】用2、3、5、7、9可以组成多少个没重复数字且百位不为3的三位数？【例 10】 用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？【巩固】 用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？【随练1】 计算：⑴321414P P -； ⑵53633P P -．【随练2】 有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【随练3】 由数字0，1，3，9可以组成多少个无重复数字的三位自然数？课堂检测家庭作业【作业1】班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员．问：有多少种不同的分工方式？【作业2】由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数，四位数有多少个？【作业3】一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14个车站(包括北京和上海)，这条铁路线共需要多少种不同的车票．【作业4】4个男生2个女生6人站成一排合影留念，有多少种排法？如果要求2个女生紧挨着排在正中间有多少种不同的排法？【作业5】4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？【作业6】停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，一共有多少种不同的停车方案?教学反馈学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：。
四年级数学同步奥数 第二讲 认识多位数 (排列组合(一))
第二讲认识多位数(排列组合(一))[知识概述]生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中,又有几种可能的做法，那么考虑完成这件事所有可能的做法,就要用加法原理的知识去解决。
同样的，日常生活中常常会遇到这样一些问题:就是做一件事情时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就要用到乘法原理的知识去解决。
把两种方法灵活地运用，考虑顺序关系，称为排列问题，只考虑选出来，不需要按一一定的排列顺序去思考,称为组合,今天我们就来研究相关知识。
例题精学例1、从1到99 的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?[思路分析] 从1~99的所有自然数可分为两类: 即一位数、两位教，一位数中，不含4的有8个，它们是1,2,3,5,6,7,8,9;两位数中，不含4的可以这样考虑:十位上，不含4的有1，2，3，5，6，7，8，9这8种情况;个位上，不含4的有0,1,2,3,5,6,7,8,9这9种情况。
要确定一个两位数，可以先取十位教，再取个位教，应用乘法原理便可求出来。
同步精练1. 1~100的自自然数中，一共有多少个数字0?2.从1到99的所有自然数中，含有数字5的自然数有多少个?3.从1到99的所有自然数中，不含有数字2的自然数有多少个?例2、由数字0,1,2,3组成三位数，问:可组成多少个没有重复数字的三位数。
[思路分析]在确定由0,1,2,3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定。
所以可分成三个步骤来完成。
要求组成的三位数中没有重复数字，百位上不能取0，有3种取法;十位上，由于百位已在1,2,3中取走一个，故只剩下0和其余两个数字，故有3种取法;个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有2种取法，结合乘法原理，可求出有多少种不同的取法。
同步精练1.用0,3,4,6可组成多少个没有重复数字的三位数?2.用1,3,5,2可组成多少个没有重复数字的三位数?3.用1，2，3，4可组成多少个没有重复数字的三位数并且是双数?例3用1,2,3,4,5 可组成多少个没有重复数字的三位数?[思路分析] 这是一个从5个元素中取3个元素的排列问题，根据排到计算公式可进行计算，在这里介绍一下计算方法:如:A23=3X2,A24=4X3,A25=5X4A33=3X2X1,A34=4X3X2,A35=5X4X3也就是说A n m=mX(m-1)......X(m-n+1)，其中m≥n，从最多元素开始，从大到小，依次连续n个因数相乘。
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找准元素，应用公式
例题三（( )★★★）
书架上有 3 本不同的故事书，2 本不同的作文选和 1 本漫画书，全部竖起来排成一排。 ⑴如果同类的书可以分开，一共有多种排法？ ⑵如果同类的书不可以分开，一共有多少种排法？
（1）A66=6×5×4×3×2×1=720（种） （2）分三步来排： 先排故事书，有A33=3×2×1=6（种）排法； 再排作文选，有A22=2×1=2（种）排法； 最后排漫画书有1种排法，
例题五（★★★）
一共有红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一 串，有多少种不同的串法？ ⑴把 7 盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在第七位。 ⑵串起其中 4 盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位。
先考虑虑紫灯的·位置，除去第一位和第七位外，有5种选择； 然后把剩下的6盏灯随意排， 有A66=6×5×4×3×2×1=730（种）排法。 由乘法原理，一共有5×720=3600（种）。
；
例题二（★★★）
⑴6 个人走进有 10 辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车只能坐一个人， 那么共有多少种不同的坐法？
A610=10×9×7×6×5=151200（种）
例题二（★★★）
（2）某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有 7 个车站，现在新增 3 个 车站，铁路上两站 之间往返的车票不同，则这样需要增加多少种不同的车票？
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优先排序法 ——特殊元素或位置
例题六（★★★★★）
八个同学照相，分别求出在下列条件下各有多少种站法？ ⑴八个人站成一排； ⑵八个人排成一排，某两人必须有一人站在排头； ⑶八个人排成一排，某两人必须站在两头； ⑷八个人排成一排，某两人不能站在两头。
（1）A88=40320（种）
例题六（★★★★★）
前言
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例题三（★★★）
用 1、2、3、4、5 这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个 3 的倍 数？
（3）三位数：由1，2与3；1,3与5；2，3与4；3,4与5四组 数字组成， 每一组可以组成A33=3×2×=6（个）不 同的三位数， 共可组成6×4=24（个）不同的三位数；
例题三（★★★）
用 1、2、3、4、5 这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个 3 的倍 数？
例题三（( )★★★）
书架上有 3 本不同的故事书，2 本不同的作文选和 1 本漫画书，全部竖起来排成一排。 ⑴如果同类的书可以分开，一共有多种排法？ ⑵如果同类的书不可以分开，一共有多少种排法？
而排故事书、作文选、漫画书的先后顺序也可以相互换，排列的先 后顺序有A33=3×2×1=6（种）。 故由乘法原理，一共有6×2×1×6=72种排法。
排列
四年级 第21课
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“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这 3 个字母用 3 种不同颜色来写， 现有 5 种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？
5××3=60（种）
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例题一（★★★）
（1） 计算：① A3 ＝ ；
②4 A4 ＝
；
③ A4 - A1 ＝
；
④4 A3 + A1 - A5 ＝
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一字之差，截然不同
例题三（★★★）
用 1、2、3、4、5 这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个 3 的倍 数？
按位数来分类考虑： （1）一位数只有1个3； （2）两位数由1与2,1与5,2与4,4与5四组数字组成，
每一组可以组成A22=2×1=2（个）不同的两位数， 共可组成2×4=8（个）不同的两位数；
例题五（★★★）
一共有红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一 串，有多少种不同的串法？ ⑴把 7 盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在第七位。 ⑵串起其中 4 盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位。
先后安排第一盏和第四盏灯。第一盏灯不是紫灯，有6种选择； 第四盏灯有5种选择； 剩下的5盏灯有5种选择； 剩下的5盏灯中随意选出2盏排列，有A25=5×4=20（种）选择。 由乘法原理，有6×5×20=600（种）。
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八个同学照相，分别求出在下列条件下各有多少种站法？ ⑴八个人站成一排； ⑵八个人排成一排，某两人必须有一人站在排头； ⑶八个人排成一排，某两人必须站在两头； ⑷八个人排成一排，某两人不能站在两头。
（2）2×A77=10080（种）
例题六（★★★★★）
八个同学照相，分别求出在下列条件下各有多少种站法？ ⑴八个人站成一排； ⑵八个人排成一排，某两人必须有一人站在排头； ⑶八个人排成一排，某两人必须站在两头； ⑷八个人排成一排，某两人不能站在两头。
（4）四位数：可由1,2,4,5，这四个数字组成， 有A44=4×3×2×1=24（个）不同的四位数； （5）五位数：可由1,2,3,4,5组成，
共有A55=5×4×3×2×1=12（个）不同的 五位数； 由加法原理，一共有1+8+24+24+120=177（个）3的倍数。
知识链接
数字组数常见分类方法 ————按位数分类
（3）A22×A66=1440（种）
例题六（★★★★★）
八个同学照相，分别求出在下列条件下各有多少种站法？ ⑴八个人站成一排； ⑵八个人排成一排，某两人必须有一人站在排头； ⑶八个人排成一排，某两人必须站在两头； ⑷八个人排成一排，某两人不能站在两头。
（4）A26×A66=21600（种）
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