积分方程的数值解法
非线性分数阶微积分方程的数值解法研究
非线性分数阶微积分方程的数值解法研究偏微分方程是数学中一个十分重要的分支，而非线性分数阶微积分方程则是其中相对复杂的一类问题之一。
许多实际问题的建模都可以归结于这类问题，而数值解法是解决这类问题的一个重要手段。
一、分数阶导数的定义及性质首先来看分数阶导数的定义。
对于函数$f(t)$，有如下定义：$$D^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}t^n}\int_0^t\frac{f(\tau)}{(t-\tau)^{\alpha+1-n}}\mathrm{d}\tau$$其中$\alpha$是一个实数，$n=\lfloor\alpha\rfloor+1$，$\Gamma$是欧拉伽马函数。
可以看出，分数阶导数的定义需要进行积分运算，这一点和整数阶导数是有区别的。
分数阶导数也有一些特殊的性质，例如线性性和链式法则等。
这些性质与整数阶导数的性质有一些相似之处，但也存在一些区别。
例如，分数阶导数并不满足幂等性，即$(D^\alpha)^n\neqD^{n\alpha}$。
二、非线性分数阶微积分方程的数值解法对于非线性分数阶微积分方程的数值解法，常用的方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
这里介绍其中的有限差分法。
有限差分法是一个比较简单而又实用的数值计算方法，基本思路是将连续的函数转化为离散的数值。
对于一个分数阶微积分方程，可以采用有限差分法对其进行离散化求解。
具体来说，有限差分法首先将定义域分为一段段固定长度的小区间，然后在每个小区间内选取若干个节点，用这些节点处的函数值来代替对应的区间上的函数值，从而将分数阶微积分方程转化为一个差分方程。
对于非线性分数阶微积分方程而言，由于其非线性性质，需要通过迭代或其他方法来求解数值解。
三、数值实验与应用为了验证有限差分法对于非线性分数阶微积分方程的求解能力，我们可以通过许多数值实验来进行验证。
第五章：常微分方程数值解法第一节欧拉法
第八章常微分方程的数值解法
y( xn1 )
15
Euler法的收敛性
称初值问题(8.1.1)的数值解法是收敛的，如:
h0 ( n )
lim yn y ( x)
其中： x xn x0 nh , x [ x0 , b]
16
例考察以下初值问题Euler法的收敛性
dy y dx y (0)＝y0 ( 0)
★
可得： h (k ) ( k 1) y y | f ( xn 1 , yn ) f ( x , y 1 n 1 n 1 ) | 2 hL ( k ) hL k 1 (1) ( k 1) (0) | yn 1 yn 1 | ( ) | yn 1 yn 1 | 2 2 hL k 1 ( k 1) 从而 : lim( ) 0 , 故有 lim yn 1 y n 1 。 k 2 k
★
由y0＝y( x0 ), 假定yn＝y( xn ), 往证：
y0 yn 1 y ( xn 1 ) xn 1； x0
14
证明
yn yn1 yn hf ( xn , yn ) yn h xn 1 1 yn (1 h ) y( xn )(1 h ) xn xn y0 y0 1 xn (1 h ) ( xn h) x0 xn x0 y0 xn 1 x0
8
局部截断误差
假设第n步在点xn的值计算没有误差,即yn y( xn ), 由单步法计算出yn1 , 则
Tn1 y( xn1 ) yn1 称为点xn1上的局部截断误差.
从初值y( x0 ) y0出发，由单步法显式或隐式 逐步计算，得xn 1的值yn 1 , 则
n1 y( xn1 ) yn1
数值积分与微分方程数值解法
数值积分与微分方程数值解法数值积分和微分方程数值解法是数值计算中的重要组成部分，在科学计算、工程分析和实际问题求解中起着不可或缺的作用。
本文将介绍数值积分的基本概念和常用方法，以及微分方程数值解法的应用和实现过程。
一、数值积分的基本概念和常用方法数值积分是求解定积分近似值的方法，通过将连续函数的积分转化为离散形式的求和，以达到近似计算的目的。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
（1）矩形法：将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间内取点，用函数在相应点处的取值近似代替该子区间内的函数值，最后将所有子区间的函数值相加得到近似积分值。
（2）梯形法：与矩形法类似，但是将每个子区间近似为一个梯形，通过计算梯形的面积来近似计算积分值。
（3）辛普森法：将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间内取三个点，根据这三个点构造出一个二次函数，并用该二次函数的积分来近似计算积分值。
二、微分方程数值解法的应用和实现过程微分方程数值解法是对微分方程进行近似求解的方法，通过离散化微分方程来构造数值格式，然后通过数值计算来求解。
常用的微分方程数值解法包括常微分方程的欧拉法、改进欧拉法和龙格-库塔法，以及偏微分方程的有限差分法、有限元法等。
（1）常微分方程数值解法：- 欧拉法：根据微分方程的定义，将微分项近似为差分项，通过迭代逼近真实解。
- 改进欧拉法：在欧拉法的基础上，通过利用两个点的斜率来逼近解的变化率，提高精度。
- 龙格-库塔法：通过多次迭代，根据不同的权重系数计算不同阶数的近似解，提高精度。
（2）偏微分方程数值解法：- 有限差分法：将偏微分方程中的一阶和二阶导数近似为差分项，通过离散化区域和时间来构造矩阵方程组，然后通过求解线性方程组来获得数值解。
- 有限元法：将区域进行剖分，将偏微分方程转化为变分问题，通过选取适当的试函数和加权残差法来逼近真实解。
总结：数值积分和微分方程数值解法是数值计算中重要的工具，能够帮助我们处理实际问题和解决科学工程中的复杂计算。
积分方程的数值解法及其应用
积分方程的数值解法及其应用积分方程是一种重要的数学工具，广泛应用于科学和工程等各个领域。
然而，积分方程通常没有解析解，需要借助数值方法来求解。
本文将介绍积分方程的数值解法及其应用。
积分方程的数值解法积分方程的数值解法有很多种，常用的方法包括：•格点法：将积分方程离散化为一组代数方程组，然后用数值方法求解代数方程组。
格点法是积分方程数值解法中最简单的方法，但精度不高。
•边界元法：将积分方程转化为一组边界积分方程，然后用数值方法求解边界积分方程。
边界元法比格点法精度更高，但计算量更大。
•谱法：将积分方程转化为一组谱方程，然后用数值方法求解谱方程。
谱法是一种高精度的积分方程数值解法，但计算量非常大。
积分方程的应用积分方程在科学和工程等各个领域都有广泛的应用，例如：•电磁学：积分方程可以用来求解电磁场问题，如天线设计、微波电路设计等。
•流体力学：积分方程可以用来求解流体力学问题，如流体流动、湍流、热传导等。
•固体力学：积分方程可以用来求解固体力学问题，如弹性力学、塑性力学、断裂力学等。
•化学工程：积分方程可以用来求解化学工程问题，如反应器设计、传质、传热等。
•生物学：积分方程可以用来求解生物学问题，如种群动态、流行病学、药物动力学等。
积分方程数值解法的发展前景积分方程数值解法是一个不断发展的领域，随着计算技术的进步，积分方程数值解法的方法和精度也在不断提高。
近年来，积分方程数值解法在以下几个方面取得了重大进展：•快速算法的开发：近年来，人们开发了许多快速算法来求解积分方程，如快速多极子算法、快速边界元算法、快速谱法等。
这些算法大大提高了积分方程数值解法的速度和效率。
•并行算法的开发：随着并行计算技术的兴起，人们也开发了许多并行算法来求解积分方程。
这些算法可以充分利用多核处理器和分布式计算资源，进一步提高积分方程数值解法的速度和效率。
•自适应算法的开发：自适应算法是一种根据积分方程的局部误差来调整计算精度的算法。
第9章 常微分方程初值问题数值解法
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
《常微分方程》中介绍的微分方程主要有:
(1)变量可分离的方程 (2)一阶线性微分方程(贝努利方程) (3)可降阶的一类高阶方程 (4)二阶常系数齐次微分方程 (5)二阶常系数非齐次微分方程 (6)全微分方程 本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的数值解法。
进一步: 令
y n1 y n
xn 1 xn
y n 1 y( x n 1 ) , y n y( x n )
f ( x , y( x ))dx h f ( x n , y n )
宽
9
高
实际上是矩形法
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
(3)
用Taylor多项式近似并可估计误差
解决方法：有的可化为显格式，但有的不行 18
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
与Euler法结合，形成迭代算法 ，对n 0，2， 1，
( yn0 )1 yn hf x n , yn ( k 1) h ( yn1 yn f x n , yn f x n1 , ynk )1 2
7
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
建立数值解法的常用方法
建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散 化. 一般采用以下几种方法: (1) 用差商近似导数
dy yx yx x x dx x y
n 1 n n 1 n
n
,
n
进一步: 令
yn1 y( xn1 ) , yn y( xn )
由 x0 , y0 出发取解曲线 y y x 的切线（存在！），则斜率
数学物理方程的数值解法
数学物理方程的数值解法数学物理方程是自然界和科学中描述物体运动、能量转化和相互作用的基本规律。
我们通常使用数值解法来求解这些方程，以得到近似的解析解。
数值解法既可以用于数学问题，也可以用于物理问题。
本文将介绍几种常见的数学物理方程的数值解法。
一、微分方程的数值解法微分方程是描述物体运动和变化的重要工具。
常见的微分方程有常微分方程和偏微分方程。
常见的数值解法包括：1. 欧拉法（Euler's method）欧拉法是最简单的数值解法之一，通过将微分方程离散化为差分方程，在每个小时间步长上近似计算微分方程的导数。
欧拉法易于实现，但精度相对较低。
2. 龙格-库塔法（Runge-Kutta method）龙格-库塔法是一类常用的数值解法，包括二阶、四阶等不同的步长控制方法。
龙格-库塔法通过计算多个离散点上的导数来近似微分方程，精度较高。
3. 有限差分法（Finite difference method）有限差分法是一种常用的数值解法，将微分方程转化为差分方程并在网格上逼近微分方程的导数。
有限差分法适用于边值问题和初值问题，且精度较高。
二、积分方程的数值解法积分方程描述了给定函数的积分和积分变换之间的关系。
常见的数值解法有：1. 数值积分法数值积分法是通过数值逼近求解积分方程，常用的数值积分法包括梯形法则、辛普森法则等。
数值积分法适用于求解一维和多维积分方程。
2. 蒙特卡洛法（Monte Carlo method）蒙特卡洛法通过随机采样和统计分析的方法，将积分方程转化为概率问题，并通过大量的随机样本来估计积分值。
蒙特卡洛法适用于高维空间和复杂积分方程。
三、优化问题的数值解法优化问题是寻找在给定约束条件下使目标函数取得极值的数学问题。
常见的数值解法有：1. 梯度下降法（Gradient descent method）梯度下降法是一种常用的优化算法，通过迭代和梯度方向来寻找目标函数的局部最优解。
梯度下降法适用于连续可导的优化问题。
volterra积分微分方程数值解法的研究
近年来，随着科学技术的不断发展，对于微分方程数值解法的研究也愈发深入。
其中，volterra积分微分方程数值解法备受关注。
在本文中，我将为您深入解析volterra积分微分方程数值解法，并共享我个人对这一研究的理解和观点。
1. 了解volterra积分微分方程volterra积分微分方程最早由意大利数学家Vito Volterra在20世纪提出，是描述系统动力学行为的重要数学工具。
它所描述的系统通常包括了历史信息对当前状态的影响，因此对于这类方程的数值解法，要求更高的深度和广度。
2. volterra积分微分方程的数值解法在volterra积分微分方程的数值解法中，常常涉及到离散化、插值、逼近等数值计算方法。
对于不同类型的volterra积分微分方程，如延迟型、非线性型等，需要采用不同的数值解法。
在研究过程中，研究者们不断探索新的数值解法，以提高计算精度和效率。
3. 我的观点和理解在我看来，volterra积分微分方程数值解法是一个非常值得深入研究的课题。
在实际应用中，许多系统对历史信息的依赖程度较高，因此对于这类系统的数值模拟和预测，需要充分理解和掌握volterra积分微分方程的数值解法。
尤其是在生态系统、经济模型等领域，volterra 积分微分方程数值解法的研究将有着更为广阔的应用前景。
4. 总结与回顾通过本文的深度探讨，我们对volterra积分微分方程数值解法有了更为清晰的认识。
在数值解法的研究中，我们需要不断探索新的方法，提高计算精度和效率，以满足实际应用的需求。
我也希望更多的科研工作者能够投入到这一领域的研究中，共同推动数值解法的发展。
通过对volterra积分微分方程数值解法的研究，我们将能够更好地理解系统的动力学行为，并为实际应用提供更有力的支持。
希望本文能够为您对这一课题的理解提供一定的帮助。
5. 进一步探讨volterra积分微分方程数值解法的应用领域除了生态系统和经济模型领域，volterra积分微分方程数值解法还有许多其他的应用领域。
matlab解积分方程
matlab解积分方程在数学中，积分方程是包含一个未知函数与它的积分之间的关系的方程。
通常，积分方程经常出现在物理、工程、生物和经济学等各个领域的模型中。
解积分方程可以帮助我们获得未知函数的解析解或数值解，从而帮助我们理解问题的本质和性质。
在MATLAB中，有多种方法可用于解积分方程。
下面将介绍一些常用的方法以及MATLAB中相应的函数和工具。
1. 数值解法：MATLAB中的ode45函数可以用来求解常微分方程组。
而对于一阶线性常微分方程，可以使用ode45、ode23或ode15s等函数。
这些函数可以使用不同的数值方法，如龙格-库塔法和刚性方程处理技术，来求解积分方程的数值解。
2. 递推解法：对于一些特殊类型的积分方程，可以使用递推解法。
例如，对于线性常微分方程，可以使用拉普拉斯变换或傅立叶变换将方程转化为代数方程，并使用MATLAB中的符号计算工具箱求解。
对于线性常微分方程组，可以使用矩阵方法求解。
MATLAB中的'\ '运算符可以用于求解线性方程组。
3. 变换方法：某些积分方程可以通过变换方法转化为更简单的形式。
例如，使用拉普拉斯变换、傅立叶变换或Z变换可以将微分方程转化为代数方程，从而更容易求解。
MATLAB中有相应的函数用于计算这些变换。
4. 近似解法：对于高阶积分方程或非线性积分方程，可以使用近似解法求解。
MATLAB中的fminsearch函数和fsolve函数可以用于求解非线性方程组的近似解。
5. 符号计算：在一些特殊情况下，可以使用MATLAB中的符号计算工具箱求解积分方程的解析解。
符号计算工具箱可以对方程进行代数运算和求解。
例如，可以使用syms命令定义符号变量，并使用dsolve命令求解微分方程。
综上所述，MATLAB提供了多种方法和函数用于求解积分方程。
具体选择哪种方法取决于方程的类型和特性，以及求解的精确度要求。
数值分析李庆扬第9章常微分方程初值问题数值解法讲义.
② 由 x0 , y0 f x0 , y0 切线 P0P1 ，
切线与 x x1 交点 P1 ： y1 的近似值 ；
③ 再由 x1 , y1 向前推进到 P2 ， 得到折线 P0P1 Pn ，近似 y yx 。
7
2021年5月4日
《数值分析》 黄龙主讲
h
yxn
yxn1
yn1 yn f
h
xn1 , yn1
yn1 yn h f xn1 , yn1
——后退的欧拉公式（隐式）
注意：① 显式计算方便，隐式稳定性较好；
② 上式隐含 yn1 ? ，采用迭代法求解。
12
2021年5月4日
《数值分析》 黄龙主讲来自欧拉公式的另一种理解：
将常微分方程 y f x, y 改写 dy f t , ytdt
“步进式”：顺着节点排列顺序，一步一步地向前推进。
步长：常用等步长 hn xn1 xn ，节点为 xn x0 nh 单步法：计算 yn1 时，只用到前一点的值 yn k 步法：计算 yn1 时，用到前面 k 点的值 yn , yn1 , , ynk1
5
2021年5月4日
《数值分析》 黄龙主讲
对微分方程从 xn 到 xn1 积分
y xn1 yxn
xn1 f t , yt dt
xn
由积分左矩形公式得
xn1 xn
f
t ,
yt dt
hf
xn ,
yxn
例如：
lim
h0
yxn1
h
yxn
yxn
yxn1
h
yxn
yxn
f xn , yxn
设计积分方程的数值解法在理论上需要研究的问题
（ ｉ ｎ ）和． 种 情 况 对计 算 最为 方便 ， 估计 Ｒｅ ｎ ｍａ 这 但
Ｒ 的信息 太少 ． 另外 一个 常 用构造 机械 求积 的原 则是 以多 项式 为标 准 ．
１ ２ 代数精 确 度 ．
丁ｌ 一 ｌ ｒｄ ，（） ｒ
Ｊ
（） １
的近似 计算 问题． 般地 ， 要考 虑 一 需
摘
要 ： 讨论 设 计积 分 方程 的数 值 解 法在 理 论 上 需要 研 究 两 个 问题 ． 先 是 逼近 解的 存在 性 首
（ 也就是 数值 解 的存 在 性 ） 其 次是 逼近 解 在一 定意 义下逼 近 ， 可行性 问题 和 收敛性 问题． ， 即
前 者一般依 赖 后 者的 结果 ， 而研 究 收敛性 问题 是一 个相 当困难 的 事．
第２ ８卷 第 ２期 ２１ 年 ０ 月 ００ ３
佳 木 斯 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｉｍｕ ｉ ｉｅ ｓｔ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅＥｄｔｏ ） ｏ ｒ ａ ｆ ａ ｓ Ｕｎｖ ｒｉｙ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｉｉｎ Ｊ
Ｖｏ ． ８ Ｎｏ ２ １２ ．
关 键 词 ： 机 械 求积 公 式 ； 数 精 确 度 ； 值 解 法 代 数
中图分类 号 ： Ｏ１ ５ ５ ７ ．
文 献标 识码 ： Ａ 义 线性泛 函．
Ｑ ｆ 一 ． Ｈｉ ｒ） ｆ（ｉ （） ３
Ｏ 引 言
对积 分方程
ｒ ６
用 Ｑ 厂近 似
， 即
（）一 ￡
在实 际 应用 中往 往 需要 提 出方 便 简 洁 的方 法
来求 出积 分方程 的近 似解 ［ ， 就是 积 分方程 数 值 １这 ］ 解法 的 内容． 常 的想法是 利用 一 个有 限秩 算子 逼 通 近积 分算子 ， 然后 把带 有 限秩算 子 的方 程化 成线 代 方程组 ． 现这种 想法 的前 提 是考 虑积 分 实
计算方法课件第八章常微分方程初值问题的数值解法
整体截断误差与局部截断误差的关系
定理：如果f(x，y)满足李普希兹（Lipschitz）条件
f(x ,y 1 )f(x ,y 2) L y 1y 2
且局部截断误差有界：
|R n|1 2h2M 2
(n1,2, )
则Euler法的整体截断误差n满足估计式：
ne(ba)L 0h 2L M 2(e(ba)L1)
分光滑。初值问题的解析解(理论解）用 y(x表n ) 示, 数值解法的精确解用 y表n 示。
常微分方程数值解法一般分为：
（1）一步法：在计算y n 1 时，只用到x n 1 ,x n和 y，n 即前一步的值。
（2）多步法：计算 y n 1 时，除用到 x n 1 ,x n 和 y n 以外，还要用 x n p 和 y n p (p1 ,2 k;k0) ,即前
其中L为李普希兹常数，b-a为求解区间长度，
M2 mayx(x) 。 axb
证明参见教材。
Remark：该定理表明，整体截断误差比局部截 断误差低一阶。对其它方法，也有类似的结论。
收敛性与稳定性
收敛性定义：如果某一数值方法对于任意固定的
xn=x0+nh，当h0(同时n )时有yn y(xn)，
则称该方法收敛。 稳定性定义 定义 用一个数值方法，求解微分方程初值问 题时，对给定的步长h>0，若在计算 y n 时引入 误差 （n 也称扰动），但由此引起计算后面的 ynk(k1,2, )时的误差按绝对值均不增加，则 称这个数值方法是稳定的。
一般的显式rk方法可以写成型钢截面只需少量加工即可用作构件省工省时成本低但型钢截面受型钢种类及型钢号限制难于完全与受力所需的面积相对应用料较多其中为常数选取这些常数的原则是要求第一式的右端在处泰勒展开后按h型钢截面只需少量加工即可用作构件省工省时成本低但型钢截面受型钢种类及型钢号限制难于完全与受力所需的面积相对应用料较多上述公式叫做n级的rungekutta方法其局部截断误差为显然euler法是一级一阶rk方法
第一章常微分方程初值问题数值解法
（1.2.3）
其中rn,k(t)为插值余项。 代到（1.2.2）式中得
u ( tn +1 ) = u ( tn ) +
舍去余项 并用uj代替u(tj)即得
∫
tn+1 tn
Ln , k ( t ) dt + ∫ t rn , k ( t ) dt
tn+1
n
(1.2.4 (1.2.5)
Rn , k = ∫
⎡ ∑ ⎣α u
j =0
j =0
αk ≠ 0
（1.2.1）
j n+ j
⎤ − hβ j f n + j ⎦ = 0（数值解满足的差分方程）
因此称（1.2.1）为多步法 或 k-步法。 又因为(1.2.1)关于 u n + j , f n + j 是线性的，所以称为线性多步法。 为使多步法的计算能够进行，除给定的初值u0 外，还要 知道附加初值u1,u2,…,uk-1 ，这可用其它方法计算。 若 β k = 0 则称(1.2.1)是显式的； 若 β k ≠ 0 则方法（1.2.1）是隐式的。 例如，一般线性二步法可写成：
f ( t , u ( t ) ) = Ln , k +1 ( t ) + rn , k +1 ( t )
其中rn,k+1(t)为插值余项。 同理即
un +1 = un + h ∑ bk +1i f ( tn −i +1 , un −i +1 )
i =0
k +1
其中
bk +1i
=∫ ∏
−1
j =0 j ≠i
0
k +1
积分方程的数值解法与应用
汇报人：XX 2024-01-29
目 录
• 积分方程基本概念与分类 • 数值解法原理及步骤 • 常见数值解法介绍与比较 • 积分方程在物理问题中应用 • 积分方程在工程技术领域应用 • 总结与展望
01
积分方程基本概念与分类
定义及性质
01
积分方程定义
含有未知函数的积分运算的方程 ，其中未知函数出现在积分号下 。
如y(x)=f(x)+∫bak(x,t,y(t))dtdy(x) = f(x) + int_{a}^{b} k(x, t, y(t)) dty(x)=f(x)+∫abk(x,t,y(t))dt，其中 核函数k(x,t,y)k(x, t, y)k(x,t,y)依赖于 未知函数yyy。
实际应用背景
物理学
02
线性与非线性
03
适定性与不适定性
根据未知函数在方程中出现的形 式，可分为线性积分方程和非线 性积分方程。
根据解的存在性、唯一性和稳定 性，可分为适定积分方程和不适 定积分方程。
常见类型举例
弗雷德霍姆积分方程
沃尔泰拉积分方程
非线性积分方程
形如y(x)=f(x)+λ∫bak(x,t)y(t)dtdy(x) = f(x) + lambda int_{a}^{b} k(x,t) y(t) dty(x)=f(x)+λ∫abk(x,t)y(t)dt 的 线性积分方程，其中λlambdaλ为常 数，k(x,t)k(x, t)k(x,t)为已知核函数。
统计物理中相关函数计算
关联函数
描述物理系统中不同粒子或不同时刻的物理量之间的关联程度，通过数值解法如 蒙特卡罗模拟、分子动力学模拟等方法计算关联函数，可以得到系统的统计性质 如均值、方差、协方差等。
非线性Volterra积分方程---精品管理资料
一类第二种非线性Volterra 积分方程积分数值解方法1前言微分方程和积分方程都是描述物理问题的重要数学工具,各有优点。
相对于某种情况来说，对于某种物理数学问题，积分方程对于问题的解决比微分方程更加有优势，使对问题的研究更加趋于简单化，在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较方便，结果也比较完美，所以研究积分方程便得越来越有用，日益受到重视.积分方程的发展，始终是与数学物理问题的研究息息相关。
一般认为，从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》，该书是被认为第一个清醒的认为应用积分方程求解的是Abel.Abel 分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分方程的文章，但其正式的名称却是由数学家du Bois-Raymond 首次提出的，把该问题的研究正式命名为积分方程.所以最早研究积分方程的是Abel,他在1823年从力学问题时首先引出了积分方程，并用两种方法求出了它的解,第一的积分方程便是以Abel 命名的方程。
该方程的形式为：⎰=-baax f dt t x t )()()(ϕ，该方程称为广义Abel 方程,式中a 的值在(0，1）之间.当a=21时，该式子便成为)()(x f dt tx x x a =-⎰ϕ。
在此之前，Laplace 于1782年所提出的求Laplace 反变换问题，当时这个问题就要求解一个积分方程。
但是Fourier其实已经求出了一类积分方程的反变换，这就说明在早些时候积分方程就已经在专业性很针对的情况下得到了研究，实际上也说明了Fourier 在研究反变换问题是就相当于解出了一类积分方程。
积分方程的形成基础是有两位数学家Fredholm 和V olterra 奠定的，积分方程主要是研究两类相关的方程，由于这两位数学家的突出贡献,所以这两个方程被命名为Fredholm 方程和V olterra 方程。
后来又有德国数学家D 。
Hilbert 进行了重要的研究,并作出了突出的贡献，由于D.Hilbert 领头科学家的研究,所以掀起了一阵研究积分方程的热潮，并出现了很多重要的成果，后来该理论又推广到非线性部分.我国在60年代前，积分方程这部分的理论介绍和相关书本主要靠翻译苏联的相关书籍，那时研究的积分方程基本是一种模式,即用古典的方法来研究相关的积分方程问题，这样使得问题的研究变得繁琐、复杂,在内容方面比较单一、狭隘,甚至有些理论故意把积分方程的研究趋向于复杂化。
第二类Fredholm型积分方程的一种数值解法
Ｋｅ ｒ ｓ Ｃ ｌ ａｉｎｍｅｈ ：Ｉ ｒｔｄ ｃ ｌ ａｉ ｔｏ ：Ｐ ｏｅｔ ｅｏ ｅ ａｏ ｙ ｗｏ ｄ ｏ ｏ ｔ ｔｏ ｃ ｏ ｄ ｔ ａｅ ｏ ｏ ｔ ｎ ｍｅｈ ｅ ｃ ｏ ｄ ｒｊｃｉ ｐ ｒｔｒ ｖ
随着社会 的发展 ， 积分 方程 出现在 越来 越多 的领 域中。 数学 物理中有些 问题直 接导 出积 分方程 ， 有一些 问题 虽然 还 导出的是 微分方程 ， 但是 可以把它 转化为积 分方程 。因此解 积分方程 成为了必 须研究 的问题 。但是 当积分 函数没有给 出
此时将 ”作 为 方程 （ ） １ 的新 的近似 解。这就 是迭 代 配 置
法。
以及它 的一种改进方法 ， 即迭代 配置法 ， 给出了一种插 值节 并 点的选取 方法 ：ｈｂｓｅ 多 项式 的零点 ， Ｃ ｅｙｈｖ 最后 用 一个数 值例 子验证前面所讲方法 的实用性。
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第０。 ６ ６卷 月 ２ ３年 第 ６期 ０８
东 北 林 业 大 学 学 报
Ｊ ＲＮＡＬ ＯＦ ＮＯＲ ＨＥＡ Ｔ Ｆ ＥＳ ＲＹ ＵＮ ＶＥ Ｉ Ｙ ＯＵ Ｔ Ｓ ＯＲ Ｔ Ｉ ＲＳ Ｔ
Ｖ １３ ｏ ６ ｏ． ６ Ｎ ．
系数 ａ（＝１２， ， ） ｉ ， … ｎ 由下面 的方程组来确定 ：
ｎ
（ ）＝ ｔ
Ａ ｓ Ｙ ｔ ，＝１２ … ， 竹（ ）＝ （ｆ ｉ ，， ｎ。 ）
（） ４
表达 式或者被积 函数有表达式 ， 原函数不 是初等 函数 时 ， 但 就 必须通过数值积分 的办法将积分 方程离 散化 ， 用所得 到的方 程去近似逼近原 方程。现在 有很多解 积分 方程 的方法 ， 下面就给出第二 类 Ｆ ｄ ｏ 型积分 方程 的一 种简 单方 便 的 ｅ ｒ ｈｌ ｍ 数值解法 。
三类时滞微积分方程的数值解法
三类时滞微积分方程的数值解法
时滞微积分方程是一种重要的微积分方程类型，它包含了未来时间点的状态对过去时间点的依赖关系。
根据时滞微积分方程的形式，可以将其分为三类：常微分方程时滞、偏微分方程时滞以及延迟微分方程时滞。
对于这三类时滞微积分方程，常用的数值解法有以下几种：
1. 离散化方法：将时滞微积分方程转化为一系列的离散方程组进行求解。
常见的离散化方法有Euler方法、改进的Euler方法、四阶Runge-Kutta方法等。
2. 插值方法：通过插值近似来解决时滞的问题，常用的插值方法有拉格朗日插值和样条插值。
3. 迭代方法：通过迭代逼近求解，常用的迭代方法有Picard
迭代法和Newton迭代法。
此外，还可以利用数值差分方法、辛方法和有限元方法等进行数值求解。
具体选择哪种方法，需要根据具体的时滞微积分方程形式、问题类型以及求解精度要求进行综合考虑。
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dy = − 2 g (h − y ) sin β ， dt
因此
dt = −
上式两边从 0 到 h 积分，并记
dy . 2 g (h − y ) sin β
2
ϕ ( y) =
就有
1 ， sin β
∫
h
0
ϕ ( y) dy = − 2 g f1 (h) . h− y
记- 2 g f1 (h) = f (h) ,最后得到
K 1 ( x, y ) = K ( x, y ) χ [ a, x ] ，
可见（1.7） ， （1.8）实际上也是 Fredholm 方程.尽管如此，由于 Volterra 型方程还 是具有与一般 Fredholm 型方程本质不同的性质，所以把它单独拿出来加以研究仍然
3
是非常必要的. 在（1.5） ～（1.8）中，左端可看成是作用于 ϕ ( x ) 上的线性算子，因此它们统称 为线性积分方程.若在上述诸式中被积式 K ( x, y )ϕ ( y ) 换成更一般的函数 K ( x, y,ϕ ( x )) 或 K ( x, y )ψ (ϕ ( x )) ，则分别称为相应的非线性积分方程. 在（1.5） ～（1.8）中， K ( x, y ) 称为积分方程的核.有时根据问题的性质，核本 身常常具有某些特点， 例如 K ( x, y ) 对变元连续， 这时称之为连续核， 记作 K ( x, y ) ∈ C ；
考虑线性 F-Ⅰ方程
∫
b
a
K ( x, y )ϕ ( y )dy = f ( x )
其中 f ( x), K ( x, y ) ∈ L2 ， a, b 有限或无限，并在 L2 中求解未知函数 g ( x) .线性 F-Ⅰ方 程可解性的讨论一般比较复杂，下面举一些实例说明. 例1 解：令 A= ∫ cos yϕ ( y )dy ， B= ∫ sin yϕ ( y )dy ，
K ( x, y ) 若满足条件 ∫
b
a
∫
b
a
| K ( x, y ) |2dxdy < ∞ ,称它为 L 2 核，记作 K ( x, y ) ∈ L2 ；
面对积分方程，我们自然关注的是它是否有解；如果有解，解是否唯一以及如何 求出？下面我们来讨论以上四种方程解的情况.
2.四种方程解的情况
2.1 F-Ⅰ方程的可解性
内容摘要： 本文主要介绍了积分方程的两种数值解法：逐次逼近法和用退化核近 似任意核的方法.本文的结构如下：先是简要介绍了积分方程的基本知识，接着讨论 了四种常见方程的可解性和一类特殊方程（退化核方程）的解法，最后由于对于大多 数积分方程我们是不能求出它们的精确解析解的， 因而我们转向介绍积分方程的两种 数值解法. 关键词：积分方程 用退化核近似任意核 四类方程的可解性 退化核方程 数值解 逐次逼近法
the method of successive approximation
1
1.积分方程概述
我们在常微分方程中学习过微分方程的初值问题， 例如我们考虑由微分方程确定 的简单问题
y ' ( x ) = y ( x ),
具有条件
x≥0
（1.1）
y (0) = 1 ，
（1.2）
这个问题的解显然是 y = e x .关于 x 积分式（1.1） ，并利用初始条件（1.2）则有
y ( x ) − 1 = ∫ y (ξ )d ξ .
0
x
（1.3）
这就得到了关于未知函数 y ( x) 的一个等式（1.3） ，且式子中未知函数 y ( x) 出现在积 分符号的下面.实际上， 我们在现实生活中和处理物理问题时经常会遇到类似的方程. 早在 1823 年，Abel 就研究了如下问题(后被称为等时曲线问题). 已知一个质点在重力的作用下，沿铅直平面中某条曲线无摩擦地滑动.问题要求 确定此曲线的形状，使质点沿此曲线以纵坐标 y = h 的点为起点，从静止开始滑动， 经过预定的时间 f1 (h) 到达 x 轴（ y = 0 ）上的终点，即质点沿此曲线下降 h 所需的时 间 t ，是起点纵坐标 h 的一个已知函数 f1 (h) ： t = f1 (h) . 设质点的质量为 m ，重力加速度为 g ，由能量守恒定律可知，在任何位置，运动 1 质点动能的增加，等于其位能的减少，即 mv 2 = mg (h − y ) ，因此运动质点速度的绝 2 对值 v = 2 g (h − y ) ( y < h ) .设 β 为曲线的切线与 x 轴的夹角， 于是运动质点在 y 方向 的分速度的绝对值为
Abstract ： This paper describes two numerical solution methods of integral equations ,namely,successive approximation method and the use of any nuclear degenerate kernel approximation method. This paper is structured as follows.first briefly introduces the basic knowledge of integral equations, then discusses whether the solutions of four common equations exist and how to slove a special kind of equation (Degenerate equation) , finally since for the majority of the integral equations we can not find out their exact analytical solutions,therefore we turn to introducing the two numerical solution methods of integral equations. Key words： integral equation of integral equations equations with degenerate kernel numerical solution
题 目
积分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程的数值解法
目
录
内容摘要................................................................................................................... 1 关 键 词................................................................................................................... 1 Abstract................................................................................................................... 1 Key words................................................................................................................. 1 1.积分方程概述........................................................................................................ 2 2.四种方程解的情况................................................................................................ 4 2.1 F-Ⅰ方程的可解性..................................................................................... 4 2.2 F-Ⅱ方程的可解性..................................................................................... 5 2.3 V-Ⅰ方程的可解性..................................................................................... 8 2.4 V-Ⅱ方程的可解性..................................................................................... 9 3.退化核方程..........................................................................................................11 4.算法及例子..........................................................................................................13 4.1 逐次逼近法................................................................................................ 13 4.2 用退化核近似任意核................................................................................14 参考文献................................................................................................................. 24