积分方程的数值解法

dy = − 2 g (h − y ) sin β ， dt
因此
dt = −
上式两边从 0 到 h 积分，并记
dy . 2 g (h − y ) sin β
2
ϕ ( y) =
就有
1 ， sin β
∫
h
0
ϕ ( y) dy = − 2 g f1 (h) . h− y
记- 2 g f1 (h) = f (h) ,最后得到
K 1 ( x, y ) = K ( x, y ) χ [ a, x ] ，
可见（1.7） ， （1.8）实际上也是 Fredholm 方程.尽管如此，由于 Volterra 型方程还 是具有与一般 Fredholm 型方程本质不同的性质，所以把它单独拿出来加以研究仍然
3
是非常必要的. 在（1.5） ～（1.8）中，左端可看成是作用于 ϕ ( x ) 上的线性算子，因此它们统称 为线性积分方程.若在上述诸式中被积式 K ( x, y )ϕ ( y ) 换成更一般的函数 K ( x, y,ϕ ( x )) 或 K ( x, y )ψ (ϕ ( x )) ，则分别称为相应的非线性积分方程. 在（1.5） ～（1.8）中， K ( x, y ) 称为积分方程的核.有时根据问题的性质，核本 身常常具有某些特点， 例如 K ( x, y ) 对变元连续， 这时称之为连续核， 记作 K ( x, y ) ∈ C ；
考虑线性 F-Ⅰ方程
∫
b
a
K ( x, y )ϕ ( y )dy = f ( x )
其中 f ( x), K ( x, y ) ∈ L2 ， a, b 有限或无限，并在 L2 中求解未知函数 g ( x) .线性 F-Ⅰ方 程可解性的讨论一般比较复杂，下面举一些实例说明. 例1 解：令 A= ∫ cos yϕ ( y )dy ， B= ∫ sin yϕ ( y )dy ，
K ( x, y ) 若满足条件 ∫
b
a
∫
b
a
| K ( x, y ) |2dxdy < ∞ ,称它为 L 2 核，记作 K ( x, y ) ∈ L2 ；
面对积分方程，我们自然关注的是它是否有解；如果有解，解是否唯一以及如何 求出？下面我们来讨论以上四种方程解的情况.
2.四种方程解的情况
2.1 F-Ⅰ方程的可解性
内容摘要： 本文主要介绍了积分方程的两种数值解法：逐次逼近法和用退化核近 似任意核的方法.本文的结构如下：先是简要介绍了积分方程的基本知识，接着讨论 了四种常见方程的可解性和一类特殊方程（退化核方程）的解法，最后由于对于大多 数积分方程我们是不能求出它们的精确解析解的， 因而我们转向介绍积分方程的两种 数值解法. 关键词：积分方程 用退化核近似任意核 四类方程的可解性 退化核方程 数值解 逐次逼近法
the method of successive approximation
1
1.积分方程概述
我们在常微分方程中学习过微分方程的初值问题， 例如我们考虑由微分方程确定 的简单问题
y ' ( x ) = y ( x ),
具有条件
x≥0
（1.1）
y (0) = 1 ，
（1.2）
这个问题的解显然是 y = e x .关于 x 积分式（1.1） ，并利用初始条件（1.2）则有
y ( x ) − 1 = ∫ y (ξ )d ξ .
0
x
（1.3）
这就得到了关于未知函数 y ( x) 的一个等式（1.3） ，且式子中未知函数 y ( x) 出现在积 分符号的下面.实际上， 我们在现实生活中和处理物理问题时经常会遇到类似的方程. 早在 1823 年，Abel 就研究了如下问题(后被称为等时曲线问题). 已知一个质点在重力的作用下，沿铅直平面中某条曲线无摩擦地滑动.问题要求 确定此曲线的形状，使质点沿此曲线以纵坐标 y = h 的点为起点，从静止开始滑动， 经过预定的时间 f1 (h) 到达 x 轴（ y = 0 ）上的终点，即质点沿此曲线下降 h 所需的时 间 t ，是起点纵坐标 h 的一个已知函数 f1 (h) ： t = f1 (h) . 设质点的质量为 m ，重力加速度为 g ，由能量守恒定律可知，在任何位置，运动 1 质点动能的增加，等于其位能的减少，即 mv 2 = mg (h − y ) ，因此运动质点速度的绝 2 对值 v = 2 g (h − y ) ( y < h ) .设 β 为曲线的切线与 x 轴的夹角， 于是运动质点在 y 方向 的分速度的绝对值为
Abstract ： This paper describes two numerical solution methods of integral equations ,namely,successive approximation method and the use of any nuclear degenerate kernel approximation method. This paper is structured as follows.first briefly introduces the basic knowledge of integral equations, then discusses whether the solutions of four common equations exist and how to slove a special kind of equation (Degenerate equation) , finally since for the majority of the integral equations we can not find out their exact analytical solutions,therefore we turn to introducing the two numerical solution methods of integral equations. Key words： integral equation of integral equations equations with degenerate kernel numerical solution
题 目
积分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程的数值解法
目
录
内容摘要................................................................................................................... 1 关 键 词................................................................................................................... 1 Abstract................................................................................................................... 1 Key words................................................................................................................. 1 1.积分方程概述........................................................................................................ 2 2.四种方程解的情况................................................................................................ 4 2.1 F-Ⅰ方程的可解性..................................................................................... 4 2.2 F-Ⅱ方程的可解性..................................................................................... 5 2.3 V-Ⅰ方程的可解性..................................................................................... 8 2.4 V-Ⅱ方程的可解性..................................................................................... 9 3.退化核方程..........................................................................................................11 4.算法及例子..........................................................................................................13 4.1 逐次逼近法................................................................................................ 13 4.2 用退化核近似任意核................................................................................14 参考文献................................................................................................................. 24
−π −π
∫
π
−π
cos( x − y )ϕ ( y )dy = e x
π
π
则方程可写为 A cos x +B sin x = e x , 其中，A，B 为二常数.令 x = 0, π 时，将有 A=1 及 A=- e π ,矛盾.故原方程无解. 例2
∫
x
a
K ( x, y )ϕ ( y )dy = f ( x ) ,
x a
a< x<b a< x<b
（1.7） （1.8）
ϕ ( x ) − λ ∫ K ( x, y )ϕ ( y )dy = f ( x ) ,
由意大利数学家 V.Volterra 提出，故分别称（1.7） ， （1.8）为 Volterra 第一种方程 和 Volterra 第二种方程，简记为 V-Ⅰ，V-Ⅱ方程.如果令
∫
b
a
K ( x, y )ϕ ( y )dy = f ( x ) ，
b a
（1.5） （1.6）
ϕ ( x ) − λ ∫ K ( x , y )ϕ ( y )dy = f ( x ) ，
其中 a, b 有限或无限， λ 为复参数， K ( x, y ), ϕ ( x), f ( x ) 为实变量的复函数， ϕ ( x ) 是未 知函数，分别称（1.5） ， （1.6）为 Fredholm 第一种方程和 Fredholm 第二种方程，简 记为 F-Ⅰ， F-Ⅱ方程.这类方程由瑞典几何学家 I. Fredholm 首先提出并进行过系统 的研究. 含变限的方程
∫
h
0
ϕ ( y) dy = f (h) . h− y
（1.4）
式子 ϕ ( y ) 是未知函数， f (h) 是已知函数.式（1.4）称为 Abel 方程，它是关于未知函 数 ϕ ( y ) 的一个方程，且 ϕ ( y ) 出现在积分号下. 综合（1.3） 、 （1.4） ，我们把未知函数出现在积分号下的方程叫做积分方程. 为了研究方便，我们对积分方程分类，如