离散数学(第14讲)

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步骤1.任选<A, >中一个极小元x;
2.令A=A-{x}; 3.如A= Φ,算法停止;否则执行 ①任选极小元y A; ②定义序关系x ′y; ③令A=A-{y},x:=y,转3 很明显,新的序关系 ′确定为的拓扑排序。
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集 最大 最小 上 下 最小 最大 合 元 元 极大元 极小元 界 界 上界 下界 B1 6 B2 无 B3 无
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1
6
1
6
1
6
无 无
1 1 1
16
无 2,3,5,7 2,3,5,7 无 1 1 5,6,7,8 1 无 1
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良序关系
定义5.10设<A, >是一偏序集，若A的任何一 个非空子集都有最小元，则“ ”称为良序关系， 简称良序，此时<A, >称为良序集。 由上述定义，良序集的任何一个非空子集 都有最小元，所以，对任意a,b∈A，集合{a,b}有 最小元，所以有a b或b a，因此，良序关系 “ ”一定是全序关系。
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即：
“ ”是良序关系
“ ”是全序关系
“ ”是偏序关系 （“”？）
但：有限全序集良序集
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一般地，任何有限的全序集的每一个非空
的子集一定有最小元，所以，有限全序集一定
是良序集。对于无穷的全序集，则并非如此。
如全序集<N, >是良序集，但全序集<Z, >
定理5.3: 任何有限偏序集都可以转变成全序集。
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习题五
8、9、10、13、15
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系，<2A,>是全序集。若|A|≥２，则<2A,>不 是全序集。
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偏序集中的特殊元素
定义5.8
设<A, >是偏序集，a是A的一个元素。 若对任意b∈A,都有b a,则称a为A中的最大元 。 若对任意b∈A,都有a b,则称a为A中的最小元 。 若对任意b∈A,或者b a，或者b与a不可比较,则 称a为A中的极大元。 若对任意b∈A,或者a b，或者b与a不可比较,则 称a为A中的极小元 。
为盖住关系，可以用符号表示为
Cover(R)={(x,y)∈R∣(t∈A)[(t≠x∧t≠y) →((x,t)R∧(t,y)R)]} 求出了R的cover(R)，作Hasse图就容易了。
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例5-2.4
作出下面偏序集对应的Hasse图：<2{a,b,c} ,> 偏序关系对应的盖住关系是： Cover()={(,{a}), (,{b}),(,{c}), ({a},{a,b}), ({a},{a,c}), ({b},{a,b}), ({b},{b,c}), ({c},{a,c}), ({c},{b,c}), ({a,b},{a,b,c}), ({a,c},{a,b,c}), ({b,c},{a,b,c})}
序号 当前A
算法结束
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定义的全序为:
2′3 ′6′12′24 ′36 由拓扑排序定义的全序关系是什么？完全取决于 极小元的选择方法。 如上例中也可以定义为: 3′2 ′6 ′12 ′36 ′24, （ 因 为 在 <{2,3,6,12,24,36},︱>中，2和3是不可比的）由此可 得:
例5-2.3
1）集合A={a,b,c}，偏序集<2A,>中，{a}与{a,b}是可比 的，{a}与{b,c}不是可比的。 偏序集<R,≤>中，对任意x,y∈A，x与y都是可比的。 偏序集<Z,≤>中，对任意x,y∈A，x与y都是可比的。 偏序集<N,|>中，2与3不是可比的；2与6是可比的；2与 8是可比的。
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设A＝{2,3,6,12,24,36},“|”是A上的整除关系 ，画出其一般的关系图。
24 36
6
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2 关系图
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偏序集的哈斯图
1) 用小圆圈或点表示A中的元素，省掉关系图中 所有的环。 (因自反性) 2) 对任意x,y∈A，若x y，则将x画在y的下方， 可去掉关系图中所有边的箭头。 (因反对称性) 3) 去掉有向边，即当（i，j）和（j，k）都是 有向边时，去掉有向边（i，k）。 (因传递性) 按1),2),3)所作成的图称为哈斯图(Hasse图)。
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全序关系
定义5.6设<A, >是一个偏序关系，若对任意 x,y∈A， x与y都是可比的，则称关系“ ”为 A上的全序关系。称<A, >为全序集。 定义5.7设<A, >是一个偏序集， 。如
果<B, >是一个全序子集，则称B为A中的一条
链。链中元素数目减1称为该链的长度。
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例5-3.4
利用拓扑排序算法把偏序集<{2,3,6,12,24,36},︱>转 变为一个全序集
解
1 2 3 4 5 6 7
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我们把算法列成下面的表:
x y ′ 使用步骤 1 3 3 6 12 24 6 12 24 36 2′3 3′6 6′12 12′24 24′36 2,3①, ② 3③,3①,3 ② 同上 同上 同上 {2,3,6,12,24,36} 2 {3,6,12,24,36} {6,12,24,36} {12,24,36} {24,36} {36} Φ
定义5.11 设 、 ′是集合A上的两个偏序关系。
如果 对 a,b A,当a b时必导致 a ′b, 则称关 系 ， ′是可比较的 。
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例5-3.3 ‘整除’和‘小于等于’是自然数集上的两个偏序 关系,而且‘︱‟和‘ ≤’是可比较的, ∵对任何a,b N,a︱b时也有a≤b。 注意:例5-3.3中的‘︱‟是偏序而非全序,„≤‟ 却是一个全序,现在问: 对于任何一个有限偏序集<A, >,能否在A上 定义一个全序′,使 与′可比较? 答案是肯定的。我们可以通过所谓‘拓扑排序’ 的过程来达到目的。
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定义5.12 设和′是集合A上的两个偏序关系,如果
和′是可比较的且′是全序关系,则称关系′是关 系的一个拓扑排序。 由一个给定的有限偏序集构造全序集的 拓扑排序算法: 输入:偏序集<A, > 输出:全序集<A, ′>

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画出相应的Hasse图
{a,b,c} {a,b}
{a,c}
{b,c} {c}
{wk.baidu.com}
{b}

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可比较的
定义5.5
设<A, >是一个偏序集，对任意x,yA，如果x y 或y x，则称x与y是可比较的。否则，称x与y是不可比较 的。
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例5-3.2
设集合A＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，|是A上的整除关系， 则<A，|>是偏序集，考虑A的子集：B1＝{1,2,3,6}，B2＝ {2,3,5,7}，B3＝A。 求出B1，B2，B3的最大(小)元、极大(小)元、上(下)界、 最小上界、最大下界。
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例5-3.1
集合A＝{a,b,c}上定义的关系
R＝{<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>,<b,c>,<a,c>} c b a
是一个全序关系，<A, >的哈斯图如右图。 实数集合R上定义的“≤”是全序关系，
<R,≤>是全序集。 集合A＝{a}的幂集2A上定义的“”是全序关
设R是集合A上的自反的、反对称的、可传 递的关系，则称R是A上的偏序关系(记为“ ”, 读作“小于等于”)。序偶<A，R>称为偏序集。
容易证明：偏序 的逆关系 1 也是一个偏 序，我们用“ ”表示，读作“大于等于”。
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例5-2.1
1) 集合A的幂集2A上定义的“”是偏序关系。<2A,>是 偏序集。 2) 实数集合R上定义的“≤”是偏序关系，<R,≤>是偏 序集。 3) 大于零的自然数集合N＋上定义的“整除”关系“|” 也是一个偏序关系,<N＋,|>是偏序集。 4) ALGOL或PL/I等都是块结构语言，设： B＝{b1,b2,b3,…,bn} 是这种语言的一个程序中的块的集合。对所有i和j， 定义关系“ ”如下： bi bj当且仅当bi被bj所包含。 则“ ”也是一个偏序关系,<B, >是偏序集。
冯伟森
Email：fws365@scu.edu.cn 2013年7月4日星期四
主要内容
1、偏序关系
1）偏序集的哈斯图
2）偏序集中的特殊元素
2、全序集与良序集
1）全序关系
2）良序关系
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§5.2

偏序关系
偏序关系是集合上的自反的、可传递、反 对称关系,它提供比较集合中元素的工具;也提 供了事物之间的顺序关系。 定义5.4
和<[0,1), >都不是良序集，因为Z的子集
(负整数集)和[0,1)的子集(0,1)都没有最小元。
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有限偏序集到全(良)序集的转化

在实际问题中,如程序控制流,数据分析流中,有
时需要把一个不是全序集的有限偏序集合转化全序集,
或良序集,这就涉及到由一种偏序关系转变成另一种偏 序关系的问题。
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定义5.9
设B A，a∈A
若对任意b∈B,都有b a,则称a为B的上界。
若对任意b∈B,都有a b,则称a为B的下界。
若元素c∈A是B的任何一个上界,若均有a c,则
称a为B的 最小上界。
若元素c∈A是B的任何一个下界,若均有c a,则 称a为B的 最大下界。 注意：上下界均针对于子集而言。
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例5-2.2
设A＝{2,3,6,12,24,36},“|”是A上的整除关系，画出其 一般的关系图和哈斯图。
24 36 24 36
12 6 12 6
2
3
2
3
关系图
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哈斯图
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偏序关系R的Hasse图是由R的一个真子集
cover(R)的关系图构成的。这个cover(R)又称