高中数学竞赛模拟试题一汇总

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高中数学竞赛模拟试题一

一 试

(考试时间:80分钟 满分100分)

一、填空题(共8小题,5678=⨯分)

1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。

2、设()f n 为正整数n (十进制)的各数位上的数字的平方之和,比如

()22212312314

f =++=。记

1()()

f n f n =,

1()(())

k k f n f f n +=,

1,2,3...

k =,则

=)2010(2010f

3、如图,正方体1

111D C B A ABCD -中,二面角

1

1A BD A --的度数

是 。

4、在2010,,2,1 中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概率是 。

5、若正数c b a ,,满足

b

a c

c a b c b a +-

+=+,则c a b +的最大值是 。

6、在平面直角坐标系xoy 中,给定两点(1,2)M -和(1,4)N ,点P 在X 轴上移动,当MPN ∠取最大值时,点P 的横坐标是 。

7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ,则∑=n

i i

a 01

的值是 。

8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x

x x

x x

x x

++++=+++++++在(,)2

x o π∈时的最

小值为 。

二、解答题(共3题,分44151514=++)

9、设数列}{n a 满足条件:2,121==a a ,且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n )

求证:对于任何正整数n ,都有:n n

n n a a 111+≥+

10、已知曲线m y x M =-22:,0>x ,m 为正常数.直线l 与曲线M 的实轴不垂直,且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点,O 为坐标原点。

(1)若||||||CD BC AB ==,求证:AOD ∆的面积为定值;

(2)若BOC ∆的面积等于AOD ∆面积的3

1,求证:||||||CD BC AB ==

11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根,函数=)(x f

1

22

+-x t

x 的定义域为[,]αβ. (Ⅰ)求);(min )(max )(x f x f t g -= (Ⅱ)证明:对于)

2

,0(π∈i u )3,2,1(=i ,若1sin sin sin 321=++u u u ,则

64

3

)(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试

(考试时间:150分钟 总分:200分)

一、(本题50分)如图,

1O 和2

O 与

ABC ∆的三边所在的三条直线都相

切,,,,E F G H 为切点,并且EG 、FH 的

延长线交于P 点。 求证:直线PA 与BC 垂直。 二、(本题50分)正实数z y x ,,,满

1≥xyz 。证明:

E F

A

B C G

H P

O 1。

O 2

三、(本题50分)对每个正整数n ,

定义函数

0()n f n n ⎧⎪=⎨⎪⎩

(当

为平方数)不为平方数)

(其中[]x 表示不超过x 的最大整数,])[}{x x x -=。试求:∑=240

1

)(k k f 的值。

四、(本题50分)在世界杯足球赛前,F 国的教练员为了考察

1234567,,,,,,A A A A A A A 这七名队员,准备让他们在三场训练比赛(每场比赛

90分钟)中都上场,假设在比赛的任何时刻,这些队员都有且只有一人在场上,并且1234,,,A A A A 每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除,567,,A A A 每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除.如果每场换人的次数不限,那么,按每名队员上场的总时间计,共有多少种不同的情况? 答案与解析 一、填空题 1、4

53

。y x 42+

≥=33

,24

x y ==时取最小值,

2、4。 解: 将5)2010(=f 记做52010→,于是有 从89开始,n f 是周期为8的周期数列。故

4)89()89()89()2010(58250520052010====⨯+f f f f 。

3、60。 解:连结1D C ,作⊥1CE BD ,垂足为E ,延长CE 交1A B 于F ,则1FE BD ⊥,连结AE ,由对称性知1,AE BD FEA ⊥∴∠是二面角11A BD A --的平面角。

连结AC ,设1AB =

,则11AC AD BD ==

=

1Rt ABD ∆在

中,11AB AD AE BD ⋅=

=

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