含参数的一元二次不等式的解法

含参数的一元二次不等式的解法

含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：

一、按2

x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122

>+++x a ax

分析：本题二次项系数含有参数，()04422

2

>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项

系数进行分类讨论。

解：∵()04422

2

>+=-+=∆a a a

解得方程 ()0122

=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a

a a x 24

222++--=

∴当0>a 时,解集为⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或

当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭

⎬⎫⎩⎨⎧>

21|x x 当0

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22

例2 解不等式()00652

≠>+-a a ax ax

分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2

>--=+-x x a x x a

∴当0>a 时，解集为{}32|>

变式：解关于x 的不等式

1、0)2)(2(>--ax x ；

2、(1－ax )2

<1.

}

2,2

|{,1)5(}

2|{,1)4(}2

,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22

|

{,0)1(><>≠=><<<<=<<

x x a x x a a

x x x a x x a x a

x a 或时当时当或时当时当时当

【解】由(1－ax )2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1.即ax (ax －2)<0.

(1)当a ＝0时，不等式转化为0<0，故原不等式无解．

(2)当a <0时，不等式转化为x (ax －2)>0，

即x (x －2

a )<0.

∵2a <0，∴不等式的解集为{x |2a

}11

|

{1)5(1)4(}

1

1|{10)3(}

1|{0)2(}1,1

|{0)1(<<>Φ=<<<<>=><

x a a a

x x a x x a x a

x x a 时，当时，当时，当时，当或时，当3、ax 2

－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)

二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042

>++ax x

分析 本题中由于2

x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。 解：∵162-=∆a

∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≠

∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，2

16

22---=a a x ，显然21x x >,

∴不等式的解集为⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或

例4 解不等式()

()R m x x m ∈≥+-+01412

2

解 因,012>+m (

)(

)2

2

2

3414)4(m m -=+--=∆

所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭

⎬⎫⎩⎨⎧

=

21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩

⎪

⎨⎧+--+-+>132132222

2m m x m m x x 〈或； 当33>-

(3)当a >0时，

不等式转化为x (ax －2)<0，又2a >0， ∴不等式的解集为{x |0

当a >0时，不等式解集为{x |0

}．

变式：解关于x 的不等式：012<++x ax Φ

≥-+-<<---<<-<=--->-+-<

<时，当时，当时，当或时，当4

1

)4(}

24112411|{410)3(}1|{0)2(}

2411,2411|{0)1(a a a x a a x a x x a a

a

x a a x x a

三、按方程02

=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；

例5 解不等式)0( 01)1

(2

≠<++

-a x a

a x 分析：此不等式可以分解为：()0)1

(<--a

x a x ，故对应的方程必有两解。本题

只需讨论两根的大小即可。

解：原不等式可化为：()0)1(<--a x a x ，令a

a 1

=，可得：1±=a ∴当1-

，故原不等式的解集为⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧

<

a 1

=

,可得其解集为φ； 当01<<-a 或1>a 时, a a 1>

,解集为⎭

⎬⎫⎩⎨⎧<

2>+-a ax x ，0≠a

分析 此不等式()02452

22

>=--=∆a a a ，又不等式可分解为()0)3(2>--a x a x ，故只需比较两根

a 2与a 3的大小.

解 原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为 a x a x 3,221==，当0a

时，即23a a ，解集为{}a x a x x 23|<>或；当0

a ，解集为

{}|23x x a x a ><或

变式：1、2

23()0x

a

a x a 2、0222<--a ax x

解：∵x 2－（a+a 2）x+a 3＝（x －a ）（x －a 2） ∴当a>1，或a<0时，不等式的解为a

,221a x a x -==得方程的两根为a

x a a 2,0)1(<<->则若Φ

<=此时解为则原不等式为若,0,0)2(2x a