曲线积分与路径无关的问题之证明

设平面上的单连通区域G 内分别以A 和B 两点为起点和终点的弧 AEB 和弧 AFB ，有连续向量函数(,)(,)(,)F x y P x y i Q x y j =+

，要使该函数的曲线积分与路径无关，就有 ,A E B A F B P d x Q d y P d x Q d y +=+⎰⎰于是有

0,AEB AFB Pdx Qdy Pdx Qdy +-+=⎰

⎰即 0,AEB BFA Pdx Qdy Pdx Qdy +++=⎰⎰实际上弧 AEB 和弧 BFA 构成了一封闭曲线L ，上式等价为

0L Pdx Qdy +=⎰ ，记L 围起的区域为D ，D 在G 内可以取任意大小。用格林公式

()L D Q P dxdy Pdx Qdy x y ∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ ，因为

0L Pdx Qdy +=⎰ ，得到()0D

Q P dxdy x y ∂∂-=∂∂⎰⎰，又因为D 可以取任意小，于是有0Q P x y

∂∂-=∂∂，或者Q P x y ∂∂=∂∂。这就得到了函数曲面积分与路径无关的条件。