机械制图立体的投影
画法几何及机械制图第六章 立体的投影
S
a' b' C A a B s b c
s"
X
a" (c") b" Y
正三棱锥的三视图
s'
Z s"
a' X a
b'
c' O c
a" (c")
b" YW
s
b
YH
棱锥表面取点：
正三棱锥的表面有特殊位置平面，也有一般位置平面。属于特殊位置 平面的点的投影，可利用该平面的积聚性作图。属于一般位置平面的点投 影，可通过在平面上作辅助线的方法求得。
第六章 立体的投影
第一节 基本体的三视图和尺寸 平 棱柱 棱锥 面 常 立 见 体 的
基 本 立 体
曲 面 立 体
圆柱
圆锥
圆球
圆环
棱柱
棱柱的组成： 上下两底面 —— 多边形 若干侧棱面 棱 线 —— 侧棱面的交线 棱线数 —— 三棱柱，四棱柱….. 直棱柱 —— 棱线垂直底面
五棱柱的三视图:
作图时先画反映底面实形的那 个投影，然后再画其它两面投影。
六棱柱的三视图: A
F
B C
E
D
（ f '） （ e '） a' b' c' d'
（c" ） （e" ） （d" ） f" a" b"
f 先画H面投 影（反映六 棱柱特征）
e d
a
积聚
b
c
表面取点： 由于三棱柱的表面都是平面，所以在三棱柱的表面上取点与 在平面上取点的方法相同。首先弄清楚：所取的点在哪一个表面 上！
机械制图之立体的投影
机械制图之立体的投影引言在机械制图中，立体的投影是一个非常重要的概念。
立体的投影是将三维物体在二维平面上反映出来的一种方法，能够在制图过程中更加清晰地表达物体的形状、结构和尺寸。
本文将介绍机械制图中立体的投影的基本原理和常见的投影方法。
立体的投影原理立体的投影是基于投影原理来实现的。
在机械制图中，通常使用平行投影和透视投影两种方法。
平行投影平行投影是指通过平行投影线来投影物体的方法。
在平行投影中，投影线与物体平面平行，物体上各点在投影面上的投影位置与物体上的位置相对应，从而构成了物体的平行投影。
平行投影主要分为正射投影和斜投影两种。
正射投影是投影线与投影面垂直的一种投影方法，适用于表达物体的外形和尺寸。
斜投影是指投影线与投影面不垂直的投影方法，适用于表达物体在空间中的位置和形状。
透视投影透视投影是指通过透视原理来投影物体的方法。
在透视投影中，投影线与投影面相交，物体上的各点在投影面上的位置与物体上的位置不完全对应，从而构成了物体的透视投影。
透视投影能够更加真实地反映物体在空间中的位置和形状，适用于表达物体的逼真程度和透视效果。
常见的投影方法在机械制图中，常见的立体投影方法包括主视图、剖视图和投影视图。
主视图主视图是指将物体在三个主要投影面上的投影呈现出来的一种视图。
主视图包括前视图、俯视图和左视图。
前视图是指物体在前方投影面上的投影，能够表达物体的前方形状和尺寸。
俯视图是指物体在上方投影面上的投影，能够表达物体的上方形状和尺寸。
左视图是指物体在左侧投影面上的投影，能够表达物体的左侧形状和尺寸。
主视图通常以正交投影的方式呈现，即投影线与投影面相互垂直。
剖视图是指将物体通过截面呈现出来的一种视图。
在剖视图中，物体被切割，并将切面投影到投影面上。
剖视图能够表达物体的内部结构和细节。
剖视图常用于显示物体的内部零部件和装配方式，便于理解和分析。
投影视图投影视图是指将物体在其他投影面上的投影呈现出来的一种视图。
机械制图 立体的投影
模块三 立体的投影
图3-10 圆柱的形成及投影
模块三 立体的投影
2．圆柱表面上点的投影 如图3-11a）所示，已知圆柱表面上有A、B、C、D 四点，各点已 知一个投影a′、b′、c′、d，求每一个点的另外两个投影。
图3-11 圆柱表面上点的投影
模块三 立体的投影
图示中的圆柱，两个端面为水平面，其正投影和侧投影有积聚性； 圆柱曲面在投影为圆的图中有积聚性（类似于铅垂面）。所以，各个表 面在三投影图中至少有1～2个投影有积聚性。因此，求圆柱表面上点的 投影均可利用积聚性直接求出，不需要作辅助线。
模块三 立体的投影
图3-3 六棱柱三视图及其画法
模块三 立体的投影
2）棱柱表面上点的投影 如图3-4a）所示正六棱柱，已知其表面上A、B、C 三点中各点的一 个投影a′、b′、c，求每一个点的另外两个投影。 由于棱柱正放时每一表面都是特殊位置平面，其表面上点的投影均 可利用平面投影的积聚性来作图。 （1）利用积聚性，先求出a、b、b″、c′、c″。 （2）利用“三等”关系求出a″，如图3-4b）所示。
模块三 立体的投影
（1）纬圆法：过c′ 点作垂直于轴线的直线与圆锥极限位置的素线 相交于2′点，求出该交点在圆锥投影为圆的图形中的投影2，然后以圆心 到点2的距离为半径画出纬圆的投影，再过c′ 作投影连线到纬圆上求出圆 视图中的投影c 点。最后利用“三等”关系再求出c″。
（2）素线法：将锥顶s 和c′ 点用直线连接并延长，该直线与圆锥底 面的投影相交于点1′，则直线s′1′为圆锥曲面上通过C 点的素线。然后求 出点1在圆视图中的投影1点，并用直线连接s1，则该直线s1为素线在圆 视图中的投影。再过c′ 点作投影连线到圆视图中的素线投影s1上求出圆 视图中的投影c 点。最后利用“三等”关系再求出c″。
大一机械制图 第4章 立体的投影
P Q
48
例：求作水平投影
画步出骤未: 截切前
的1. 空俯间视和图投影分析 2.找特殊点，补充中间点 3.依次光滑连线判别可见性 4.完成轮廓线的投影
49
截平面与立体的相交形式
单体单面
基本形式
单体多面 多体多面
分别分析单面 与单体交线
截平面与截平面 之间的交线分析
体与体连接处的 交线分析
50
4.３ 两立体相交
判别可见性 4.完成轮廓线。
辅助平面为水平面
63
例:画出两圆柱相贯线的投影
64
相贯线的变化趋势分析
相交体大小对交线的影响
平面曲线
交线总弯向直径大的圆柱的轴线 等径圆柱
65
66
例：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
● ●
●
●
● ●
● ●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯 ◆ 一内表面和一外表面相贯
★ 内形交线
轮廓线上的点是
a'
a'' 曲线虚实分界点
b'
(c'')
b''
(c') d'
(d'')
c
d a
b
分析
ac不平行轴线 故AC为曲线
作图
①找特殊点 ②求H投影 ③求W投影 ④光滑连接曲线
11
圆锥体
s'
s"
S
V
W
H
s
正面 轮廓线
侧面 轮廓线
13
圆锥体表面取点取线
机械制图第二章立体的投影
第二章立体的投影§2—1 liti表面上的点与线立体由其表面所围成，可分为两类：表面都是平面的平面立体和表面是曲面或曲面与平面的曲面立体。
一、平面立体平面立体由若干多边形所围成，因此，绘制平面立体的投影，可归结为绘制它的所有多边形表面的投影，也就是绘制这些多边形的边和顶点的投影。
多边形的边是平面立体的轮廓线，分别是平面立体的每两个多边形表面的交线。
当轮廓线的投影为可见时，画粗实线；不可见时，画虚线；当粗实线与虚线重合时，应画粗实线。
工程上常用的平面立体是棱柱和棱锥(包括棱台)。
图2一l是一个正五棱柱的立体图和投影图。
本书从这里开始，在投影图中都不画投影轴。
只要按照各点的正面投影和水平投影位于铅垂的投影连线上，正面投影与侧面投影位于水平的投影连线上，以及任两点的水平投影和侧面投影保持前后方向的宽度相等和前后对应的三条原则绘图，投影轴是不必画的，在实际应用中通常也不画投影轴。
如图2一la所示，正五棱柱的顶面和底面都是水平面，它们的边分别都是四条水平线和一条侧垂线，棱面是四个铅垂面和一个正平面，棱线是五条铅垂线。
图2一lb是正五棱柱的投影图，请读者自行阅读分析棱线和棱面的投影及其可见性。
在图2一lb中，请特别注意水平投影与侧面投影之间必须符合宽度相等和前后对应的关系。
例如前棱线与后棱面之间的宽度，左、右棱线与后棱面之间的宽度，分别为y和y。
；并且，前棱线和左、右棱线都分别在后棱面之前。
这种水平投影和侧面投影之间的关系，一般可如图2—1b所示，直接量取相等的距离作图；但也可如图2—2所示，用添加45。
辅助线作图。
图2—2是一个正三棱锥的投影图。
从图中可见：底面是水平面；前、后棱面都是一般位置平面；右棱面是正垂面。
从图中还可看出：除了底面的正面投影和侧面投影、右棱面的正面投影有积聚性外，三个棱面的水平投影都可见，底面的水平投影不可见；前棱面的正面投影可见，后棱面的正面投影不可见；前、后棱面的侧面投影可见，右棱面的侧面投影不可见。
机械制图6立体的投影
a″
b″
d″
宽度
e
宽度
a
点侧面投影的宽度（Y）坐 标，可以从水平投影中直接 c 量取。
d
b
棱锥体表面上取点和取直线
） （b′ e′ b″ c″ ） （e″ a″
c′ a′ d′
d″
e c a b
C
(B) A
D E
d
例：补全斜棱锥表面的点和线
d′ b′
（ d″ ）
b″
c′
a′
A
（ c″ ）
a″
A C
棱柱
棱锥
•平面立体各表面的交线称为棱线。 •棱线的交点称为顶点。 •若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱。 •若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥。
常见的平面立体
棱 柱
棱 锥
一、棱柱体的投影图
Z
X
O
Yw
Yh
一、棱柱体的投影图
特点
● ●
无投影轴 投影原则：长对正、宽相等、高平齐
●
可见轮廓线画成粗线
m
a(b)
圆球体表面取点
a' a”
分析：
点在圆球面上，则过点 可在圆球面上作纬圆，可 作正平圆或水平圆。点在 前左半圆球面上，则其正 面投影和侧面投影都是可 见的。 作图(1)过a(b)作水平纬圆 的水平投影，并求其另两 面投影，其正面侧面投影 反映为水平线段；
(2)在纬圆的投影上求得点 的两面投影。
s o
A
o1
圆锥的投影图
圆锥面的2种形成方法
H
2. 圆锥面上取点
素线法
圆锥面上取点
素线法
k
s
s
●
s
机械制图之立体的投影
s''
X a' b' a
s
b
O
Y
c' a'' (c'') b& b' a
s
b
y2
c' a'' (c'') b''
y1
y2
y1
c
从本章开始，在投影图中将省略投影轴，省略投影轴 后三面投影之间的投影关系不变。利用各点之间的相对 距离来确定立体上各点的位置。
8
（2）正五棱柱的投影
a' e' b' d' c'
• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面立体的形状及截平面对平面立体的 截切位置。
• 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 •求截交线的实质是求两平面的交线，或者说是求棱
线与截平面的交点。
27
2. 平面截切立体的画图 关键是正确地画出截交线的投影。
28
例1 画出截切五棱柱的三面投影
分别为圆锥面不同方向的
两条转向轮廓线的投影。
s
⑶ 轮廓线素线的投影与 曲面的可见性的判断
●s
15
3.圆球
⑴ 圆球的形成 圆母线以它的直
径为轴旋转而成。
⑵ 圆球的投影
三个投影分别为三 个和圆球的直径相等的 圆，它们分别是圆球三 个方向转向轮廓线的投影。
⑶ 轮廓线的投影与曲 面可见性的判断
16
3.圆环
3)在平面立体的每一投影中，若外形轮廓线内的两 可见表面相交，其交线为可见(其中有一个表面可 见则交线可见)，两不可见表面的交线为不可见。
10
机械制图 第3章 平面立体
截平面截断所有 侧棱,截交线为与底 面类似的多边形
例3 求四棱柱开槽的截交线
例4：补全六棱柱被截切后的俯视图和左视图。
1(2) 2"●
●
1"
3(4)
5´
4"
3"
5"
2(4)
注意：
要逐个截平面分析和绘制 截交线。当平面体只有局 部被截切时，先假想为整 体被截切，求出截交线后 再取局部。
1(3)
一 圆柱
1 圆柱的投影
V
一面投影为反映 底面实形的圆， 另两面投影为相 同的矩形。
分析圆柱转向素线的投影规律
圆柱投影不为 圆的两个视图 上，转向素线 在一个图的两 边，一定在另 一个图的中间！
2 在圆柱表面上取点 c´ c"直接利用积
b´
a´
(d´)
(d") a"
b"
聚性在圆周 上取点
d a b c
例3：补全三棱锥被截后的左视图和俯视图
1´ 3´
1"
3" 5´（6´）
2" 6" 5"
2´
4´
4
3 4
O A
3.2 回转体
O1
A1
由曲面或曲面与平面所围成的立体。 曲面可看作由直线或曲线绕轴线旋转所形成。 这条运动的线称为母线，而母线在曲面上任—位置称 为素线。母线上的点绕轴线旋转时，形成回转面上垂 直于轴线的纬圆。 在画回转体的投影时，除了画出轮廓线外，还要画出 曲面投影的转向轮廓线，简称为转向素线。
a
2 在棱锥表面上取点
当棱锥表面的投影没有积 聚性时，可利用平面上的 辅助线进行作图。
机械制图立体的投影
H
六棱柱的三视图
三等规律？
2. 棱柱表面取点
所谓立体表面取点，是指在已知立体表面上某点的一
棱柱表面取点的关键： 1、棱柱表面均为平面；
个投影（或两个投影）的前提下，求其另外投影的过程。
2、可用积聚性原理作图；
3、点的投影的可见性判断。
例：已知棱柱表面的点A、B、C的投影a’、b’、c，求其 它两面投影。
P
PH
截平面与圆柱轴线平行，截交线为矩形
P
P
Pv Pv
截平面与圆柱轴线
截平面与圆柱轴线 倾斜截交线为椭圆
垂直截交线为圆
例1：求斜切圆柱体的投影，已知正面和水平面 的投影，完成侧面投影。
2' c'(d') • d"• 3'(4') • a'(b') • 4"• • b"• 1' • 4 b• • 2" •
W
V面投影叫主视图
H面投影叫俯视图
W面投影叫左视图
X
0
YW
俯视图
H
YH
在工程图上，视图主要用来表达物体的形状与结构，没
有必要表达物体与投影面间的距离，因此绘制视图时不必画 出投影轴；为使图形清晰，也不必画出投影连线；三个视图 展开后位置相对固定，视图名称也不必标注。
物体的三 视图
B
a' (b') b"• •a" A
b a
分析：四棱柱的上部被一个正垂面和 一个侧平面所截切，因四棱柱的四个 棱面均垂直于水平面，截平面与棱线 的交点均在棱面的投影上。此题还应 作出两截平面的交线AB的投影。
完成后的投影图：
a' (b') b"• a" •
机械制图_3 立体的投影
第四章立体的投影根据围成立体的表面不同，我们可将立体作如下分类：1．平面立体：棱柱、棱锥、棱台2．曲面立体：一般曲面体，回转体（圆柱、圆锥、圆台、球、圆环等）§4-1 平面立体的投影及其表面取点由于平面立体的表面均为平面，各表面相交形成棱线．．，故可将绘制平面立体的投影归结为绘制其各表面的投影；或者归结为绘制各棱线及各顶点的投影。
平面立体投影的作图原则：1. 分别作出各顶点的三面投影，然后依次连接同面相邻的点。
2. 可见棱线用粗实线绘制，不可见棱线用细实线绘制。
一．棱柱（一）棱柱的三面投影1．投影分析分析各条棱线的位置。
2．作图步骤（1）先画对称线；（2）再画积聚投影；（二）棱柱表面上取点基本思路：1. 点与表面有从属关系。
2. 从积聚投影出发。
3. 注意点的可见性分析。
二．棱锥（一）棱锥的投影1．投影分析底面为水平面；三个侧棱面为一般位置平面和侧垂面；分析各条棱线的位置。
2．作图步骤（1）先画底面的水平投影和另两个投影；（2）再画出锥顶的三面投影；（3）连接锥顶和底面三个顶点的同面投影。
（二）棱锥表面上取点基本思路：1. 点与表面有从属关系。
2. 先作辅助线的投影，再作点的投影。
3. 判断可见性：可见面上的点即可见。
辅助线作法：1.过顶点和欲求点作辅助线，并延长至底边（点从属辅助线）。
2.过欲求点作底边的平行线（利用平行性）。
三．棱台棱台为截去顶部的棱锥，作图方法与棱锥类似。
（一）作图步骤：1．画顶面和底面的三面投影；2．连接顶面和底面的顶点的同面投影。
（二）表面取点作辅助线：方法与棱锥相同，但由于棱台没有顶点，多作底边的平行线。
§4-2 回转体的投影及其表面取点、线工程上最常见的曲面立体是回转体。
回转体的形成：由母线（直线或曲线）绕其轴线旋转而成。
回转体的特性：母线的任一具体位置称为素线；母线上各点的运动轨迹皆为垂直于轴线的圆——纬圆一．圆柱(直母线∥轴线)（一）圆柱的投影1．投影分析（1）圆（2）圆圆柱面为铅垂面；（3）水平投影积聚；正面和侧面投影画出圆柱面的最大轮廓线（最左、最右、最前、最后素线）2．作图步骤（1）先画轴线；（2）再画积聚性的投影（圆）；（3）根据投影关系画出其它两个投影（同样大小的矩形）。
【机械制图】第4章 立体的投影
表面求点只
k”
能用辅助圆 法！
M
m
（3）圆球表面上取点
完成圆球表面指定点的另两投影。
m’ (n’)
注意：圆球
m”
表面求点只
k”
能用辅助圆 法！
M
m
（3）圆球表面上取点
完成圆球表面指定点的另两投影。
m’ k’ (n’)
m”
k” (n ”)
注意：圆球 表面求点只 能用辅助圆
法！
(n) M
m k
4.3 立体的截交线
截交线为平面几边形？
——平面七边形
2、投影分析：
截交线的正面投影？
——落在截平面的积聚性投 影上；
截交线的水平投影？
——其中六条边落在六棱柱 棱面的积聚性投影上，另一 条边为截平面与棱柱顶面相 交的一条正垂线。
3、投影作图：
4、整理图线：
【例题3】求正四棱锥被截切后的水平和侧面投影。
6′5′7′
4′8′
Y 可见；反之为不可见。
棱柱表面上取点和取线
已知正六棱柱表面上点M的正面投影及点N的 水平投影，分别求它们的其余两面投影。
a’ d’ n’ m’
a” n” d” m” 请同学们思考：
b’ c’
如果将已知点
b”
c” 加上括号，会是
什么结果？
a
(b)
n
m
d(c)
2. 棱锥的投影
V
a'
X
Z
s'
s” S
n”
请同学们思考：
m’
m”
如果将已知点
a’ 2’ b’ c’ a”(c”)
加上括号，会是 b” 什么结果？
机械制图 07 立体的投影
§7-1 立体的投影概念
§7-2 平面立体的投影特性 §7-3 曲面立体的投影特性
§7-1 立体的投影概念
立体的投影是由围成立体的所有表面的同面 投影组成。
V
常见的基本立体 平面立体 曲面立体
棱柱
棱锥
圆柱
圆锥
圆球
圆环
§7-1 平面立体的投影特性
一、棱柱的投影、取点 二、棱锥的投影、取点
圆母线以它的直径为 轴旋转而成。
⑵ 圆球的投影
三个面投影分别为三 个和圆球的直径相等 的圆，它们分别是圆 球三个方向轮廓线的 投影。
二、圆球表面上取点
辅助圆法
圆的半径？
返回
小 结
重点掌握：
★平面基本体与曲面基本体的投影特点；
★表面的 取点方法。
返回
一、棱柱的投影特性
由上、下底面 和侧棱面围成， 棱线平行
一个投影 为多边形， 另外两个 投影轮廓 线为矩形。
返回
棱柱表面上取点
(a")
利 用 集 聚 性 求 解
a
返回
二、三棱锥的投影特性
由底面和侧棱 面围成，侧棱 线交于一点。
S
B
C A
其投影由 底面和侧 棱面的投 影组成
返回
s'
三棱锥的投影特性
SO
●
s
A
●
s
b′
b
b″
二、圆锥表面上取点
S
(N)●
●
s
●
●
s
A
★辅助直线法 ★辅助圆法
k ) (n n
d′ s
●
(n) k
d
机械制图讲义之第二章_立体的投影
第2章立体的投影2.1 立体及其表面上的点与线立体由其表面所围成，可分为两类：表面都是平面的平面立体和表面是曲面或曲面与平面的曲面立体。
一、平面立体平面立体由若干多边形所围成，因此，绘制平面立体的投影，可归结为绘制它的所有多边形表面的投影，也就是绘制这些多边形的边和顶点的投影。
多边形的边是平面立体的轮廓线，分别是平面立体的每两个多边形表面的交线。
当轮廓线的投影为可见时，画粗实线；不可见时，画虚线；当粗实线与虚线相重合时，应画粗实线。
常见的平面立体有棱柱和棱锥。
1、棱柱2、棱锥平面立体的投影的外围轮廓总是可见的，应画粗实线；而在投影的外围轮廓内部的图线，则应根据线、面的投影分析，按前遮后、上遮下、左遮右直接判断投影的可见性，决定画粗实线或虚线，必要时还可利用交叉两直线的重影点的可见性进行判断。
二、曲面立体曲面立体由曲面或曲面与平面所围成。
有的曲面立体有轮廓线，即表面之间的交线，如圆柱；有的曲面立体有尖点，如圆锥；有的曲面立体全部由光滑的曲面所围成，如圆球。
在画曲面立体的投影时，除了画出轮廓线和尖点外，还要画出曲面投影的转向轮廓线。
曲面立体的转向轮廓线是切于曲面的诸投射线与投影面的交点的集合，也就是这些投射线所组成的平面或柱面与曲面的切线的投影，常常是曲面的可见投影和不可见投影的分界线。
曲面立体的投影就是它的所有曲面表面或曲面表面与平面表面的投影，也就是曲面立体的轮廓线、尖点的投影和曲面投影的转向轮廓线。
常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球，圆环。
1、圆柱圆柱由圆柱面、顶面和底面所围成。
圆柱面由直线绕与它平行的轴线旋转而成。
因此，画圆柱的投影就是画顶面和底面及轮廓线、圆柱面投影的转向轮廓线、轴线。
当圆柱的轴线与投影面垂直时，圆柱面在轴线垂直的投影面上的投影具有积聚性。
因此，作圆柱表面2、 圆锥圆锥由圆锥面和底面所围成。
圆锥面由直线绕与它相交的轴线旋转而成。
因此，画圆锥的投影就是画尖点（即锥顶）、底面及轮廓线、圆锥面投影的转向轮廓线、轴线。
画法几何及机械制图第三章 立体的投影
3-1 平面立体及其表面取点
以若干个多边形平面所围成的立体叫做平面立体。 工程中常见的平面立体是棱柱（主要是直棱柱）及棱锥 （常以棱台的形式出现）。 一、棱柱 1.投影 用前一章的知识，研究平面立体上各个多边形的投 影，即研究各多边形的边及顶点的投影，综合起来，就 是平面立体的投影。2Fra bibliotek图3-1
11
2.四棱台上挖方槽 从图3-7（a)的立体图上观察到，所谓开槽，实质上 是三个平面P、Q、R截切立体的结果。 该题给出四棱台的三面投影及正面投影上给出槽形， 试补作槽的另外两个投影。
12
图3-7
13
3-2 回转体及其表面取点
由曲面或曲面与平面所围成的立体叫做曲面立体， 而本节只论述曲面立体中的回转体，即圆柱、圆锥、圆 球等。
19
图3-10
20
3.表面上取点 (1)辅助素线法 从圆锥面的形成可知，圆锥面可理解成若干直素线 所包围的面，这些素线都通过锥顶。在图3-11的立体图 上，圆锥面上有一点M，它在素线SA上，按线上的点的 作图方法，根据已知的正面投影m′，求出另两投影m及 m″。此法在解决处于转向轮廓线上的点最为方便，见图 3-11的投影图。图中另有一点N，已知其水平投影n，求 另外两投影n′及n″，其作法相同。
17
图3-9
18
二、圆锥 1.形成 圆锥是由一圆锥面和一底平面所围成。圆锥面的形 成，是一条与轴线斜交的直母线绕轴线作圆周运动，回 转的轨迹即是圆锥面。母线在回转过程中的任一位置称 为素线，母线与轴线的夹角α始终不变，α＜90°，称为 半锥角，见图3-10（a)。 2.投影分析 图3-10（b)是圆锥的三面投影图。圆锥面和底面的 水平投影重合，中心线的交点是圆锥轴线及锥顶S的投 影。
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(1) 圆锥的投影
转向轮 廓线
圆锥的投影分析: 底面的水平投影反映实形 为一个圆，正面投影和侧面投 影分别重影为一直线；
圆锥面的水平投影为一个 圆，正面投影和侧面投影分别 为转向轮廓线的投影。
图5-14 圆锥的投影分析
作圆锥投影图
四条转向轮廓线 正面投影画最左、最右的 侧面投影画最前、最后的
圆锥的投影特性: •回转轴线用点画线表示； •水平投影为一个圆（底面轮 廓线），无积聚性； •正面投影和侧面投影为相同 的等腰三角形。
回转体——表面有回转面的立体
母线
a)
b)
图5-7 回转体和回转面的形成
轴线
工程上常见的回转体有圆柱、圆锥、球、圆环等。
a) 圆柱
b) 圆锥
c) 圆球
图5-8 常见的回转体
d) 圆环
绘制回转体的投影，即是绘制回转体的回转面和平面 的投影，也就是绘制回转体的轮廓线、尖顶的投影以及转 向轮廓线的投影。
转向轮廓线——曲面上可见面与不可见面的分界线。
分析：点在圆柱面上， 利用水平投影积聚性， 可以求出点的水平投影。
(a') (c') b'
d'
作图：如图5-12所示。
c a
a"
c"
(b")
d"
(d)
b
图5-12 圆柱面上取点
2. 圆锥——由圆锥面、底面围成
圆锥面---- 一直线绕与 它相交的轴线回转而成。
图5-13 圆锥的形成
圆锥立体分析:当圆锥的轴 线是铅垂线时,底面为水平 面，圆锥面上的所有素线 都是通过锥顶的直线。
1. 圆柱——由圆柱面、顶面、底面围成
圆柱面——一直线绕与它平 行的轴线回转而成。
圆柱立体分析:当圆柱的轴线 是铅垂线时,圆柱面上的所有 素线都是铅垂线,顶面和底面 为水平面。
图5-9 圆柱的形成
(1) 圆柱的投影
转向轮廓线
圆柱的投影分析: 顶面、底面的水平投影重 合为一圆，正面投影和侧面投 影分别重影为两直线； 圆柱面的水平投影积聚为 一圆，正面投影和侧面投影分 别为转向轮廓线的投影。
b) 投影图
(2) 棱柱表面上点的投影
由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在 平面上取点的方法相同。
A
B
M
D
C
a) 直观图 图5-4 正六棱柱表面取点
【例5-1】 已知六棱柱表面上点M的正面投影m'和N点的 水平投影n ，求其另两面投影，并判别可见性。
先求点M的另两面投影
b′ a′
m' c′
第5章 立体的投影
5.1 基本体的投影及其表面上的点 5.2 立体表面的交线
5.1 基本体的投影及其表面上的点
5.1.1 平面立体 5.1.2 曲面立体
根据立体的组成可以把立体分为基本体和组合体。 柱、锥、球、圆环等几何体是基本体。
a) 棱柱
b) 棱锥
c) 圆柱
ห้องสมุดไป่ตู้
d) 圆锥
图5-1 基本体
e) 圆球
f) 圆环
5.1.1 平面立体
平面立体----各表面都是平面图形的实体
工程上常用的平面立体是棱柱（主要是直棱柱）和棱锥 （棱台）。
棱线
棱柱
棱锥
棱台
图5-2 平面立体
绘制平面立体的投影，即是绘制平面立体上所有平面 的投影，也就是绘制平面立体上各平面间的交线(棱线)和 各顶点(棱线的交点)的投影。
1. 棱柱
d′
A
B
M
a" m" b" d"
c"
D
C
m a(d) b(c)
a′ b′ m'
d′ c′
a(d) m b(c)
a"
b"
m"
d"
c"
a) 直观图
b)点M 的投影图
图5-4 正六棱柱表面取点
【例5-1】 已知六棱柱表面上点M的正面投影m'和N点的 水平投影n ，求其另两面投影，并判别可见性。
点的可见性判别： 若点所在平面的
直棱柱----顶面和底面是两个全等且相互平行的多边形 （特征面），各侧面为矩形。
正棱柱----顶面和底面为正多边形的直棱柱。
(1) 棱柱的投影
(1) 棱柱的投影
分析:正六棱柱由顶面、底面和六个侧棱面组成。正六棱 柱的顶面、底面为水平面，在俯视图中反映实形。
作图: 如图5-3所示。
动画
a) 直观图 图5-3 正六棱柱的投影
投影可见，点的投影 可见；若平面的投影 积聚成直线，点的投 影也可见。
n'
n"
(n)
c)点N 的投影图 图5-4 正六棱柱表面取点
2. 棱锥
棱锥——底面是多边形，各侧面为若干具有公共顶点的 三角形。 正棱锥----底面为正多边形,各侧面是全等的等腰三角形的棱锥。
(1) 棱锥的投影
S
A
C
B
(1) 棱锥的投影
分析:正三棱锥由底面和三个侧棱面组成。正三棱锥的底面为水平面， 在俯视图中反映实形。后侧棱面为侧垂面，在左视图中积聚为一斜线。左、 右侧棱面是一般位置平面，在三个投影面上的投影为类似形。
作图: 如图5-5所示。
s′
s"
a′
c′ a"
b′
(c")
b"
a
c
s
b
a) 直观图 图5-5 正三棱锥的投影
b) 投影图
【例5-2】 已知三棱锥表面上两点M、N的正面投影(m') 和n' ，求其水平投影和侧面投影，并判别可见性。
作图方法2:
n n
N
s'
s"
n
a'
b'
n
a"
c' (c")
b"
a
c
s
n n
b
a) 直观图
图5-6 三棱锥表面取点
b) 投影图
5.1.2 曲面立体
曲面立体——表面是平面与曲面或曲面的实体
曲面--- 一动线（直线、圆弧或其他曲线）在空间连续运动所形成的轨迹。 母线----形成曲面的动线 素线----母线在曲面上的任一位置 回转面---母线绕固定轴线作回转运动形成的曲面
2. 棱锥表面上点的投影
【例5-2】 已知三棱锥表面上两点M、N的正面投影(m')
和n' ，求其水平投影和侧面投影，并判别可见性。
平面上作辅助线
采用什么 方法？
作图方法1
s'
s"
n n
N
n
m
(m)
a"
a'
b'
c' (c")
n b"
n
a) 直观图
a
m
c
s
n
b
图5-6 三棱锥表面取点
b) 投影图
2. 棱锥表面上点的投影
图5-10 圆柱的投影分析
作圆柱投影图
四条转向轮廓线 最左、最右 最前、最后
圆柱的投影特性:
•回转轴线用点画线表示； •水平投影积聚为一圆； •正面投影和侧面投影均为矩形。
图5-11 圆柱的投影
(2) 圆柱面上取点
【例5-3】 已知圆柱表面上点A、B、C、D的一面投影，求 出点的另两面投影，并判别可见性。
图5-15 圆锥的投影
(2) 圆锥面上取点
【例5-4】 已知圆锥表面上点A的一面投影，求出点的另 两面投影，并判别可见性。
作图方法1：辅助素线法
辅助素线
a'
a"
b'
b"
A s