数学建模例题_之_饮酒驾驶模型[1]
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饮酒驾驶模型
摘要
本文针对酒后驾车造成交通事故死亡率高,以及根据国家质量检验检疫局发布的饮酒后驾车新标准,建立了饮酒后血液中酒精含量的数学模型。通过了解酒精在体内吸收,分布和排除的动态过程,及这些过程与人体内酒精反应的定量关系建立微分方程,运用药物动力学原理建立单室和双室模型。得出血液中的酒精含量)(t C ,与进入体内总酒量)(t x 、时间t 的函数关系式:
单室模型:()()()()k k e e x k t x t C a t k kt a a --==--0
双室模型:()()n n p n p t p
t p
t v t x v t x AUC AUC n n
∆⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛++=--1001
本文还运用了 Wagner-Nelson 法(待吸收的百分数对时间作图法),与题中给出的参考数据在计算机运行的结果作对比。
本文还解决了如下问题:
1、从模型分析了大李第二次被判为饮酒驾车是因为二次饮酒,而使血液中酒精含量累积而超标。
2、对喝了低度酒多长时间驾车违反规则作了量化分析;
3、从单室模型得出了一个血液中酒精含量峰值计算公式:
()k k k gk t a a -=303.2max
4、用本文的模型对天天喝酒能否开车作了讨论。 本文最后对模型的优点和不足作了评价。
一、问题提出
据报载,2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万,其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。
大李在中午12点喝了一瓶啤酒,下午6点检查时符合新的驾车标准,紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒,为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家,又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车,这让他既懊恼又困惑,为什么喝同样多的酒,两次检查结果会不一样呢?
请你参考下面给出的数据(或自己收集资料)建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型,并讨论以下问题:
1. 对大李碰到的情况做出解释;
2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准,在以下情况下回答:
1)酒是在很短时间内喝的;
2)酒是在较长一段时间(比如2小时)内喝的。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。
4. 根据你的模型论证:如果天天喝酒,是否还能开车?
5.根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文,给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。
二、问题假设
1、机体分为中心室(I 室)和周边室(II 室),两个室的容积(即血液体积或药物分布容积)的过程中保持不变[1]。
2、药物从一室向另一室的转移速率,及向体外的排除速率,与该室的血药浓度成正比。
3、酒精含量的变化基本只受消除速度常数支配。
4、假定消除只发生在中心室,两个房室内酒精初始量都为零(即没有喝酒)。
5、酒在体内运动的配置和消除都是药物动力学过程。
6、人都是在精神状态正常情况下喝酒。
7、酒精可在整个机体内以同速度达到平衡。
三、符号定义
v :房室表观分布容积; k :酒精消除速度常数; a k :酒精吸收速度常数;
cp k :酒精转移速度常数(pc k );
)(t f :t 时刻体内吸收酒精的速度; m C :血酒浓度的最高峰值;
)(t C : 时刻的t 血液中酒精含量; )(t x :进入体内的总酒量; 0x :一次喝下的酒量;
()t x a :t 时刻体内吸收的酒精量; ()t x c :t 时刻中心室内的酒精量; ()t x p :t 时刻周边室内的酒精量;
n t :第n 次喝酒的时刻;
m t :血液浓度达到最高峰值的时刻;
I :已经代谢排泄酒物总量; p AUC :一次喝酒后的吸收总量;
四、模型建立
(一)、单室模型
将人的机理作为一个房室处理的模型,人喝酒后,酒精需要一定的吸收过程,可建立模型图(1):
图(1) 依条件及示意图,得到单室模型;
()kx t f dt
dx
-= (1) ()x x =0
()()v t x t C = (2) ()v x C C 000== 酒精逐渐进入血液循环后;
()()t k a a a a e k t x k t f x -==0* (3) 得到:
()()()k k e e x k t x a t k kt a a --=--0 (4) 将(2)式代入(3)得
()()()()k k e e x k t x t C a t k kt a a --==--0 (5)
根据动力学原理的有关计算方法,总结出的血液中酒精含量最大峰值和达到最大峰值时间计算公式[2]
x e C m kt 0max -= (6) ()k k k gk t a a -=303.2max (7)
(二)、双室模型[3]
二室模型假设酒精进入体内后在两个房室内配置,一个中心室,另一个是外周室,酒精在体内的配置和消除都是一级动力学过程,但酒精的吸收可以是任意的,见图(2):
图(2)
按照质量平衡原理,时间t -0范围内吸收进入体内的总酒量)(t x 为
()()()()I t X t X dt t f t x p c t
++==⎰0 (8)
其中
()dt t X k I t
c ⎰=0 (9)
代入式(5) 并在等号两边同时除以表观分布容积V 得到
()()()()v t x dt t c k t c v t x p t ++=⎰0 (10)
其中血液中酒精含量()t c =()
v
t x c 。
根据式(7), 当∞→t 时,计算酒精吸收分数的公式为:
()()()()⎰
⎰∞
∞
+
+=0
0)(dt
t c k v t x dt t c k t c x t x p t
(11) 我们运用Wagner-Nelson 方法求解,对此,我们在算法作如下基本假设:在时间
1-n t 和n t 之间外周室酒精量()t x p 可以用线性插值近似逼近,因此()
t v
t x p -曲线下的面积
n n t t p
AUC 1
-可用梯形法进行运算
()()()()2111
1
---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰
--n n n p n p t t p t t p
t t v t x v t x dt v t x AUC n
n n n (12) 则
()()()()()21
10
000
111---⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=+==---⎰⎰⎰n n n p n p t p
t t p t p t p t p
t t v t x v t x AUC dt v
t x dt v t x dt v t x AUC n n n n n n (13)
为了叙述方便,令
2
1--=∆n n n t
t t
则有
()()n n p n p t p
t p
t v t x v t x AUC AUC n n ∆⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=--10
1 (14)