2015届高三(文)一轮同步训练：第5单元《平面向量与复数》(含答案)

第五单元 平面向量与复数

第26讲 平面向量的概念及线性运算

1.设平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →

＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( )

A ．菱形

B ．梯形

C ．矩形

D ．平行四边形

2.已知向量a ＝(x,1)，b ＝(3,6)，a ∥b ，则实数x 的值为( ) A.1

2

B ．－2

C ．2

D ．－1

2

3.△ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB →＝a ，CA →

＝b ，|a|＝1，|b|＝2，则CD →

＝( )

A.13a ＋2

3b B.23a ＋13b C.35a ＋45b D.45a ＋35

b 4.设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →

，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PB →＋PC →＝0 C.PC →＋P A →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝0

5.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，BD →＝(－3，－5)，则AC →

＝________.

6.设向量a ＝(cos θ，1)，b ＝(1,3cos θ)，且a ∥b ，则cos 2θ＝________.

7.已知向量OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →

的模的最大值是________． 8.如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，M 、N 分别是DE 、BC

的中点，已知BC →＝a ，BD →＝b ，试用a 、b 分别表示DE →、CE →和MN →

.

9.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cos θ，t )．

(1)若向量a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →

的坐标；

(2)若a ∥AB →

，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．

第27讲平面向量的数量积

1.已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝()

A．0 B．2 2

C．4 D．8

2.已知A、B、C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sin A,1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是()

A．锐角B．钝角

C．直角D．不确定

3.已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．若|a＋b|不超过5，则k的取值范围是()

A．[－4,6] B．[－6,4]

C．[－6,2] D．[－2,6]

4.已知向量a＝(4,3)，b＝(－2,1)，如果向量a＋λb与b垂直，则|2a－λb|的值为()

A．1 B. 5

C．5 D．5 5

5.若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．

6.若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于________．

7.若b与a＝(2，－2)共线，且b·a＝－16，则b的坐标是.

8.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．

(1)设c＝4a＋b，求(b·c)·a的值；

(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；

(3)求向量a在b方向上的投影．

9.已知向量a＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，向量b＝(3，－1)．

(1)若a⊥b，求θ的值；

(2)若|2a－b|

第28讲 平面向量的应用

1.在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2

，则三角形ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形

2.一条河宽为400 m ，一船从A 处出发航行垂直到达河对岸的B 处，船速为20 km/h ，水速为12 km/h.则船到达B 所需的时间为( )

A ．1.5分钟

B ．1.8分钟

C ．2.2分钟

D ．3分钟

3.在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC

的中点，则MA →·MD →

＝( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4.已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →

)( ) A ．最大值为8 B ．是定值6

C ．最小值为2

D ．与P 的位置有关

5.已知两个非零向量a ，b ，定义|a ×b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为a 与b 的夹角，若a ＋b ＝(－3,6)，a －b ＝(－3,2)，则|a ×b|＝ .

6.若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为1

2

，则α和β的夹角θ的取值范围是____________． 7.设i ，j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单

位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →

＝4i ＋3j ，则△AOB 的面积等于______．

8.已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →

＝(5－m ，－3－m )． (1)若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；

(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．

9.已知a ＝(2cos x 2，tan(x 2＋π4))，b ＝(2sin(x 2＋π4)，tan(x 2－π

4

))．令f (x )＝a·b.

(1)求函数f (x )的最大值，最小正周期，并写出f (x )在[0，π]上的单调区间；

(2)是否存在实数x ∈[0，π]，使f (x )＋cos x －sin x ＝0？若存在，求出x 的值；若不存在，请证明．