第1章 数学建模与误差分析
误差分析课件线性回归及应用
案例二：销售预测
总结词
销售预测是商业决策的重要依据，线性回归模型能够预测未来销售情况。
详细描述
通过收集历史销售数据，选择影响销售的因素作为自变量，销售量或销售额作为因变量，建立线性回归模型。通 过模型预测未来一段时间内的销售趋势，帮助企业制定生产和销售计划。
案例三：医学数据分析
总结词
医学数据中存在许多变量之间的关系，线性回归模型可以帮助研究这些关系。
当一个变量的误差以非线性方式影响 另一个变量的预测结果时，产生的误 差传递。
02 线性回归模型
线性回归模型概述
线性回归模型是一种预测模型，通过找到最佳拟合直线来预测一个因变量 （目标变量）的值，作为自变量（特征变量）的函数。
它基于最小二乘法原理，通过最小化预测值与实际值之间的平方误差来拟 合最佳直线。
曲线拟合
非线性回归允许自变量和因变量之间存在非线性关系，通过将非 线性函数引入模型来拟合数据。
参数估计
使用优化算法或迭代方法来估计非线性回归模型的参数。
模型评估
通过残差图、散点图和决定系数等可视化工具评估模型的拟合效 果。
时间序列线性回归
时间依赖性
时间序列数据具有时间依赖性，即数据点之间存 在时间上的相关性。
线性回归模型适用于因变量与自变量之间存在线性关系的场景，并且自变 量对因变量有显著影响。
线性回归模型的建立
确定因变量和自变量
首先需要明确预测的目标，并选择与该目标 相关的特征作为自变量。
数据收集
收集包含因变量和自变量的数据集，用于训 练和验证线性回归模型。
数据预处理
对数据进行清洗、缺失值处理、特征缩放等 操作，以确保数据的质量和一致性。
结构误差
由于模型结构或参数设置不当导致的误差。
i0l第一章误差分析
9 0. 076672
10 0. 233280
11 -1. 566080
20
In(B)
0. 3678794 0. 2642411 0. 2072766 0. 1708934 0. 1455329 0. 1268023 0. 1123835 0. 1009319 0. 0916123 0. 0838769 0. 077354
=
e( x*)
x
为
x*
的相对误差。
实用中，常用 e ( x *) 表示 x* 的相对误差。
x*
e ≤ ε 称 r ( x*)
r 为 x* 的相对误差限。
3．有效数字
x a a a a 设
m * = ±10 ( 0. 1 2 ⋅ ⋅ ⋅ n p )
若 x − x * ≤ 1 × 10 m − n
2
(a1 ≠ 0, p ≤ ∞)
*
−1
= 10 (0.270)
,故该不等式又可写为
x − x * ≤ 1 × 10 − 1 − 3 2
由有效数字定义可知, x* 有3位有效数字，分别
是2,7，0。
例1.2
x = 32.93, x* = 32.89,
x − x * = 0.04 < 0.05 = 1 × 10 −1 2
x − x * ≤ 1 × 10 2 − 3 2
只需做14次乘法运算即可。
若直接计算每一项的值，然后再相加：
这里，n=4
• 总结
在数值计算中误差的危害是一个特别值得 重视的问题。若不控制误差的传播与积， 则计算结果就会与真值有很大的偏差，甚 至它完全淹没真值。
注：模型误差和观测误差不作为数值计算方法的讨论对象。
1.2数值计算的误差
∂S ∂S = d， = l，S A = l Ad A = 10800m 2。 ∂l ∂d
于是有误差界 相对误差界
ε（S A） 120 × 0.2 + 90 × 0.2 = 42m 2 ≈
ε（S A） = r
ε（S A）
l Ad A
n 位有效数字的近似值。 有效数字的近似值 的近似值。
第一章 绪论 的准确值已知的情况下，若要取有限位数的数字作为近似值， 通常在 x 的准确值已知的情况下，若要取有限位数的数字作为近似值， 就采用四舍五入得到的近似值， 就采用四舍五入得到的近似值，其绝对误差界可以取被保留的最后数位上的 半个单位。 半个单位。 例如 π − 3 . 14 ≤ 0 . 5 × 10 − 2 , π − 3 . 142 ≤ 0 . 5 × 10 − 3 。 按定义， 分别是具有三位和四位有效数字的近似值。 按定义，3.14和3.142分别是具有三位和四位有效数字的近似值。 和 分别是具有三位和四位有效数字的近似值 显然，近似值的有效数字位数越多，相对误差越小，反之也对。下面， 显然，近似值的有效数字位数越多，相对误差越小，反之也对。下面， 我们给出相对误差界与有效数字的关系。 我们给出相对误差界与有效数字的关系。
第一章 绪论 例1.4 设有长为 l ,宽为 d 的某场地。现测得 l 的近似值 l A = 120M,d 宽为 的某场地。 l 的近似值 d A =90M，并已知它们的差界为 l − l A ≤ 0.2m, d − d A ≤ 0.2m . ， 的误差界和相对误差界。 试估计该场地面积 s = ld 的误差界和相对误差界。
（1.2.3）
位有效数字。 则 x A 至少具 n 位有效数字。 证 由（1.2.1）可得到 ）
在机械加工过程中的误差分析及数学建模研究
在机械加工过程中的误差分析及数学建模研究机械加工是制造过程中不可或缺的一环。
然而，在机械加工过程中，由于种种因素的影响，难免会出现误差。
误差的存在直接影响到零部件的质量和精度，因此对机械加工过程中的误差进行分析和数学建模研究具有重要的意义。
一、误差来源分析在机械加工过程中，误差可以来源于多个方面，包括：1.制造设备的误差：制造设备本身的精度会对加工零件的准确性产生影响。
例如，机床的刚性、热变形、传动系统的间隙等都会造成误差的产生。
2.切削力的变化：由于刀具的磨损或者加工条件的变化，切削力会发生变化，从而导致零件加工中出现误差。
3.工件的变形：加工过程中，工件可能会因为切削力等原因而发生变形，使得加工结果与设计要求不符。
4.加工过程中的振动：振动是机械加工中不可避免的现象，但过大的振动会引起工件位置的偏移，从而影响加工精度。
二、误差分析方法为了更好地理解机械加工过程中的误差，并对其进行建模研究，我们通常采用以下几种误差分析方法：1.测量方法：通过测量零件的几何属性，使用测量仪器和测量技术分析零件的误差情况。
常用的测量方法包括三坐标测量、投影仪测量等。
2.试验方法：通过设计一系列的试验，控制其他因素不变，仅改变某个因素，如切削速度、刀具刃磨状况等，来测量零件加工结果的误差。
通过对试验结果的分析，可以得到误差与各个因素之间的关系。
3.仿真模拟方法：利用计算机建立机械加工过程的仿真模型，通过对模型进行参数调整和试验，得到加工结果的误差。
仿真模拟方法可以节省时间和成本，并能够更好地在加工过程中控制误差。
三、数学建模研究数学建模是解决误差分析问题的重要方法之一。
在机械加工领域，数学建模可以针对不同的误差来源进行研究，建立与之相关的数学模型，从而帮助我们更加深入地理解误差的本质，并提供改善加工精度和质量的方法。
在误差分析中，常用的数学模型包括：1.误差传递模型：利用数学方法研究误差在加工过程中的传递规律，分析传递路径和影响因素，以便为误差的减小提供方向。
第一章误差分析的基本概念
第一章 误差分析的基本概念§1 误差的来源1． 误差概念 ：精确值与近似值之差称为误差，也叫绝对误差。
2． 产生误差的主要原因① 模型误差：在解决实际问题时，在一定条件下抓住主要因素将现实系统理想化的数学描述称为实际问题的数学模型，这种数学描述常常是近似的，数学模型与实际系统之间存在误差，这种误差称为模型误差。
② 观测误差：数学模型中往往含有一些由观测得到的物理量（如温度、电阻、长度）或由物理量估算出的模型参数，这些观测物理量或模型参数常常与实际数据存在误差。
这种由观察产生的误差称为观测误差。
③ 截断误差：数值计算中用有限运算近似代替无穷过程产生的误差。
例如计算一个无穷次可微函数的函数值时，理论上只要能算出这个函数的泰勒级数值即可，但是实际工程上仅用泰勒级数中前面有限项来近似计算函数值，而舍去高阶无穷小量。
这个被舍的高阶无穷小量正是截断误差。
④ 舍入误差：计算中按四舍五入进行舍入而引起的误差或因计算机字长有限，数据在内存中存放时进行了舍入而引起的误差。
3.举例说明例1 设一根铝棒在温度t 时的实际长度为L t ,在 t=0℃时的实际长度为L 0,用t l 来表示铝棒在温度为t 时的长度计算值，并建立一个数学模型：)t (L l t α+=10,其中α是由实验观察得到的常数 =α（0.0000238±0.0000001）1/℃，称t t l L -为模型误差，0.0000001/℃是α的观测误差。
这个问题中模型误差产生的原因是：实际上t L 与t 2有微弱关系，也就是说模型未能完全反映物理过程。
例2 已知xe 在 x=0 处展开的泰勒级数为：∑∞==n nx!n x e 为了计算近似值,可取前面有限项计算.如取前面五项计算,计算过程中与计算结果都取五位小数得e ≈1+1+1/2+1/6+1/24≈2.7083，e 取五位小数时的准确值为e ~=2.71828，于是截断误差为: 0099507083271828215...!=-≈∑∞=n n这表明：只要在计算中采用了有限步运算近似代替无限步运算的方法，截断误差就一定存在。
数学模型第01章第五版ppt课件
3）据连续函数的基本性质, 必存在0 ( 0< 0 < /2) , 使h(0)=0, 即 f(0) = g(0) . 4）因为 f(0) • g(0)=0, 所以 f(0) = g(0) = 0.
结论：在模型假设条件下，将椅子绕中心旋转， 一定能找到四只脚着地的稳定点.
表现特性 建模目的
确定和随机
静态和动态
离散和连续
线性和非线性
描述、优化、预报、决策、…
了解程度 白箱
灰箱
黑箱
1.8 怎样学习数学建模—— 学习课程和参加竞赛
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术.
技术大致有章可循. 艺术无法归纳成普遍适用的准则.
• 着重培养数学建模的意识和能力 数学建模的意识 对于日常生活和工作中那些需要 或者可以用数学知识分析、解决的实际问题，能够 敏锐地发现并从建模的角度去积极地思考、研究.
用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(x y) 30 750
x=20
( x y) 50 750 求解 y =5
答：船速为20km/h.
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数） • 用符号表示有关量（x, y分别表示船速和水速） • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程） • 求解得到数学解答（x=20, y=5）
1.4 建模示例之二 路障间距的设计
背景 校园、居民小区道路需要限制车速——设置路障 问题 限制车速≤40km/h, 相距多远设置一个路障？
分析 汽车过路障时速度接近零, 过路障后加速.
车速达到40km/h时让司机看到下一路障而 减速, 至路障处车速又接近零. 如此循环以达到限速的目的.
1 误差分析 计算方法课件及实验 教学课件
其中1,2,,n都是0,1,2,,9中的一个数字，1 0 ；
n是正整数；m是整数。
若 x *的 误差限为
(x)xx* 110mn
2
则称 x * 为具有 n位有效数字的有效数.或称它精确到 10mn
例：3.1416 具有五位有效数字,精确到0.0001; 3.14159具有
例1： 当 用3.1416来表示近似值时，它的相对误差是多少？
解： 3.1416具有五位有效数字，α1 =3 ，由相对误差限公式得
r
1 1 05111 04
23
6
例2 测量一木板长是954 cm，问测量的相对误差是多少？ 解: 测量时绝对误差限一般不超过最小刻度的半个单位
当 x 954时，(x)0.5cm
| er (x*) |
e( x* ) x*
2 100
2%，
| er ( y*) |
e( y*) y*
1 10
10%
x* = 100，y*= 10的相对误差限分别是2%与10%， 故x*近似x的程度比y*近似y的程度好。
2.有效数字与绝对误差的关系
如何描述有效数字？（一般用下面的科学计数法表示）
解 r 0 .3 % 1300 2 1 1 020 2 (9 1 1 ) 1 1 0
n2
例5为使 70近似数相对误差限小于0.1%，问开方表时，要取几 位有效数字？
解 设要取 n位有效数字， 8 709
取 1 8 为 r 0.1% 使，只需
2 111 0 n121 81 0 n10.1%
得 n3. 查表得
r(94 )5 9 0.550 4.000 5 0.0 25 4 % 2 15
数学建模中的误差分析与处理方法
数学建模中的误差分析与处理方法引言：数学建模是一门研究如何用数学方法解决实际问题的学科，它在科学研究、工程设计、经济管理等领域中扮演着重要的角色。
然而，在数学建模的过程中，由于各种因素的影响，误差是不可避免的。
本文将探讨数学建模中的误差分析与处理方法，帮助读者更好地理解和应用数学建模。
一、误差来源及分类1. 人为误差：人为误差是指由于实验者的主观因素引起的误差，例如实验操作不规范、读数不准确等。
2. 仪器误差：仪器误差是指由于仪器本身的精度和灵敏度限制引起的误差，例如仪器的零位漂移、量程限制等。
3. 环境误差：环境误差是指由于环境条件的变化导致的误差，例如温度、湿度等因素的变化。
4. 模型误差：模型误差是指由于建模过程中对实际问题的简化和假设引起的误差，例如忽略某些影响因素、使用近似公式等。
二、误差分析方法1. 绝对误差：绝对误差是指测量值与真值之间的差别，可以表示为|测量值-真值|。
绝对误差越小，表示测量结果越接近真值。
2. 相对误差：相对误差是指绝对误差与真值之间的比值，可以表示为|测量值-真值|/真值。
相对误差可以用来评估测量结果的准确度，一般以百分比形式表示。
3. 标准偏差：标准偏差是指一组数据的离散程度，用来衡量测量结果的稳定性。
标准偏差越小，表示测量结果越稳定。
4. 置信区间：置信区间是指在一定置信水平下，真值可能存在的范围。
通过构建置信区间，可以评估测量结果的可靠性。
常用的置信水平有95%和99%。
三、误差处理方法1. 数据平滑：数据平滑是指通过滤波等方法去除数据中的噪声，使得数据更加平稳。
常用的数据平滑方法有移动平均法、指数平滑法等。
2. 数据插值：数据插值是指通过已知数据点之间的关系，推测未知数据点的值。
常用的数据插值方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法等。
3. 数据修正：数据修正是指通过对已知数据进行修正，使其更接近真值。
修正方法可以根据误差来源的不同而不同，例如对人为误差可以通过重新进行实验来修正，对仪器误差可以通过校正仪器来修正。
第1章数学建模与误差分析
应用与推广应用的方式与问题性质、建模目的以及最终的结果有关。应当指出的是，并不是所有问题的建模都要经过这些步骤，有时几个步骤之间的界限也不是那么分明，建模时不要拘泥于形式上的按部就班，要采用灵活的表述形式。
各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。
科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的
计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学
计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。
在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水
利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻。虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出许多需要用数学方法解决的新问题；高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题（如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等）迎刃而解；建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段。
一般是用最坏情况下所花的时间来作讨论。设输入数据的规模是l(在网络问题
第一章 误差分析与数据分析
(a)
(b )
23.5m的近似值，其绝对误差限等于该近似 值末位的半个单位。
截断误差求解数学模型所用的数值计算方法如果是近似的方法那么只能得到数学模型的近似解由此产生的误差称为截断误差或方法误差
第一章
误差分析与数据分析
第一节 误差分析 1.1 误差的来源和分析 1 模型误差
反映实际问题有关量之间的计算公式，即 数学模型，通常只是近似的。由此产生的 数学模型的解与实际问题的解之间的误差， 称为模型误差。
a
称为近似值 a 的相对误差限和相对误差界，有er r 。
例 1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆乙，分别读出长度 r ( a) 、 r (b) 各是多少？两杆的实 a=312mm 和 b=24mm，问 (a) 、 (b) 、 际长度 x 和 y 的范围？
解： (a) = (b) =0.5mm
5 尽量减少运算次数
定义 设 a 是数 x 的近似值，如果 a 的绝对误差限是它的某一位的半个 单位，并且从该位到它的第一位非零数字共有 n 位，则称用 a 近似 x 时具有 n 位有效数字。
数 a 可以写成如下形式： 0.a1a2…ak × a= 10m a 其中 m 是整数，ai 是 0 到 9 中的一个数字， 1 0。 如果 a 作为 x 的近似值，且
如，由Taylor(泰勒)公式，函数f(x)可表示为，
为简化计算，当误差不大时，去掉上式 右端的最后一项，得近似公式：
此近似公式的误差就是截断误差。
4 舍入误差 由于计算机的字长有限，参加运算的数据 以及运算结果在计算机上存放会产生误差， 这种误差称为舍入误差或计算误差。 如 1/3=0.333333333 (1.000002)2-1.000004=0 在数值分析中，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响，而一般不考虑模型误 差和观测误差。
数学建模：露天矿生产车辆安排之案的优化模型6模型的讨论、灵敏度分析与误差分析 高一上学期数学
模型的讨论、灵敏度分析与误差分析★1 模型的讨论就本题来说，题目中给出的两条原则是相互矛盾的，要想总运量最小，运输成本最小，其生产量必定不能达到最大；相反，若要想生产量获得最大，就不可能使得总运量和运输成本最小．下面讨论一下这两种情况．1．总运量最小，成本最少要获得总运量最小，主要取决于卡车的装载量、卡车数量、各卡车运输次数、各卸点的产量和总路程．对于本题来说，卡车的装载量是确定的，各卸点的产量也是确定的，所以影响总运量和成本的最大因素就是卡车的数量、各卡车运输次数和总路程．（1）铲车数量的影响讨论．模型Ⅰ、Ⅱ是针对原则1建立的模型，从结果来看我们出动6辆铲车就可以满足原则1的需求；模型II是针对原则2建立的模型，从结果来看需要7辆铲车全部出动才能满足要求．对于原则1，它主要是从总运量和成本最小来考虑的，所以在这种情况下，对产量要求就不十分苛刻，只要满足各卸点的产量要求即可．（2）卡车数量的影响讨论．模型Ⅰ、Ⅱ是针对原则1建立的模型，从结果来看我们出动13辆卡车就可以满足原则1的需求．2．产量最大要想获得生产量最大，主要取决于铲车数量、卡车数量、各卡车运输次数和卡车的装载量．同上，卡车的装载量也是已知的．（1）铲车数量的影响讨论．对于原则2，它主要是从总产量最大来考虑的，所以对总运量最小的考虑就相对减少．而铲车数量对开采铁矿来说，它主要是从影响卡车的运输来影响总产量，所以原则1的条件下求得的铲车数量上就不需要全部出动，而原则2的条件下求得的铲车数量上就必须全部出动．（2）卡车数量的影响讨论．模型Ⅲ是针对原则2建立的模型，从结果看来需要20辆卡车全部出动才能满足要求．同上，在原则1和原则2条件下，卡车所产生数量的影响有满足总运量最小的部分，也有满足最大产量的部分．★2灵敏度分析由于本题中对模型结果产生影响的因素有很多，我们在此取几个关键的参数进行了灵敏度分析．模型对这些参数的敏感性反映了各种因素影响结果的显著程度：反之，通过对模型参数的稳定性和敏感性分析，又可反映和检验模型的实际合理性．1．对模型Ⅱ卡车数量的灵敏度分析对模型Ⅱ卡车数量不仅关系到总运量的大小，而且原则1要求出动最少的卡车，这就要求我们在实际的规划中要充分考虑到卡车数量的变化对目标值的影响，假设在其他条件不变的情况下，通过逐个减少卡车的数量，计算得到相应的最小总运量，结果如表3.13和图3.7所示．由上面的计算结果我们可以知道，卡车的数量和总运量呈正比的关系，即卡车数量增加时总运量也增加；反之，则减少．从图3.7中我们可以很直观地看出，在卡车数为10、11、12时，总运量有一明显的增加．由此可知，我们在规划卡车数量时，如果不是矿产运输量有限的情况下，应尽量选择车辆数不小于11辆，当然其具体的数值应根据具体情况而定．2．对模型II的铲车数量以及品位限制的灵敏度分析（1）铲车数量．由于模型II铲车是关系到最大产量的重要因素，所以我们对模型Ⅱ铲车数量进行灵敏度分析，假设其他条件不变的情况下，逐个减少铲车的数量，得到相应的最大出车次数，其结果如表3.14和图3.8所示．从图3.8可以看出，铲车数和最大出车次数呈线性关系（也就是和产量呈线性关系)，由此知铲车的数量对于产量来说是至关重要的，建议在开采矿产时，应对铲车的数量进行合理的规划，使铲车得到充分利用．（2）品位限制．同样，在考虑品位限制对产量的影响时，不考虑其他因素的影响，我们逐步对改变品位限制的范围，得到在一定的品位限制条件下的最大产量值（在本题中由于没有给出铲车确切的装填速度，所以无法计算精确的产量，所以用最大的出车量作为目标来代替产量)．经过计算，得到的结果，如表3.15和图3.9所示．从上面的结果中可以看出，品质限制变化范围较小时，最大出车次数随品质限制范围的增加而快速上升，当增加到一定的范围时，最大出车次数就不再增长，也就是说，产量的上升也是依此规律上升的．★3 误差分析（数据近似误差）在建立模型的之前，为了满足卡车每次都是满载运输，考虑到卸点和矿位运输的实际，我们分两种情况对模型的数据进行了近似取值．（1）退零取整对矿位的最大运输车次近似取值．（2）进一法对卸点的最大运输车次近似取值．近似取值使模型的求解产生了数据误差，造成了模型求解结果的不精确，对三种参数的近似分别如表3.16、表3.17和表3.18所示．通过表3.16、表3.17和表3.18的近似取值可以看出表3.16数据的近似取值增大了卸点车次的下限，表3.17和表3.18数据的近似取值减小了运矿车次和运岩车次．卸点的车次下限、运矿车次和运岩车次都是目标函数的约束条件，增大或者减小了实际约束条件的范围，使总运量和产量的目标值都跟准确值有一定的误差．由于数据的近似取值对模型结果的影响，卸点所需车次下限的增大导致了总运量和产量目标值的增大；运矿和运岩车次的减小导致总运量和产量的减小．数据的近似取值是考虑了生产运输的实际，简化了模型的计算量．卸点车次下限和岩石矿石运输车次对模型结果影响有一定量相互调整，本章模型结果所得的运输车次与数据的近似值没有十分接近的情况，对目标值没有太大的影响，所以这个误差是可以接受的．针对本章的模型，调整模型数据误差，尽量不要使模型的结果和近似取值的数据贴近．。
数学建模中的常见误差分析和解决方法
数学建模中的常见误差分析和解决方法数学建模是一种将实际问题抽象化为数学模型的方法，通过数学模型来描述和解决现实问题。
然而，在数学建模过程中，常常会遇到各种误差，这些误差可能会对模型的准确性和可靠性产生影响。
因此，对于数学建模中的常见误差进行分析并提出解决方法，是提高模型质量的关键。
首先，我们来讨论数学建模中常见的数据误差。
在实际问题中，收集到的数据往往存在着误差，例如测量误差、观测误差等。
为了减小这些误差对模型的影响，我们可以采取一些方法来处理数据。
一种常见的方法是重复测量或观测，然后取平均值。
通过多次测量或观测，可以减小随机误差的影响，得到更加准确的数据。
此外，还可以使用合适的数据处理技术，例如滤波、插值等，来降低数据误差。
其次，数学建模中还会遇到模型误差。
模型误差是指由于建模过程中对实际问题的简化和假设，导致模型与实际情况存在差异的情况。
为了减小模型误差，我们可以采取以下措施。
首先，要对实际问题进行充分的了解和研究，尽可能准确地描述问题的本质和特征。
其次，要选择合适的数学模型，确保模型能够较好地描述实际问题。
在建立模型时，还可以引入修正项或校正系数，以提高模型的准确性。
此外，还可以利用数值计算方法，例如数值积分、数值求解等，来近似求解模型，以减小模型误差。
另外，数学建模中还会面临参数误差的问题。
参数误差是指模型中所使用的参数值与实际情况存在差异的情况。
为了解决参数误差，我们可以采取以下策略。
首先，要尽可能准确地确定参数值，可以通过实验、观测或文献调研等方式来获取参数值。
其次，可以进行参数敏感性分析，即通过改变参数值，观察模型输出结果的变化情况，以评估参数对模型的影响程度。
进一步，可以采用参数优化方法，例如最小二乘法、遗传算法等，来寻找最优参数值，以提高模型的准确性和可靠性。
最后，数学建模中还需要考虑到数值计算误差。
数值计算误差是指在数值计算过程中引入的误差，例如截断误差和舍入误差等。
为了减小数值计算误差，我们可以采取以下措施。
模型误差 数学模型与实际问题之间出现的误差
模型误差数学模型与实际问题之间出现的误差观测误差在给出的数学模型中往往涉及一些根据观测得到的物理量，而观测不可避免会带有误差截断误差只能用有限过程来计算，于是产生了有限过程代替无限过程的误差舍入误差对有限位数进行运算时，进行四舍五入产生的误差 X*【准确值 X【X*的一个近似值e=x*-x【绝对误差,误差∣e∣=∣x*-x∣≤ε【绝对误差限,误差限（x*-x）/x*=e/x*=e r 【相对误差∣e r∣≤εr【相对误差限有效数字左起第一个非零数字到最右边误差防止五项原则使用数值稳定的计算公式；尽量避免两项近数相减；尽量避免用绝对值很大的数作乘数；防止大数吃掉小数；注意简化计算步骤，减少运算次数二分法：用对分区间的方法根据分点处函数值的符号逐步将有根区间缩小，使在足够小的区间内方程有且仅有一个根牛顿法把非线性方程线性化的方法最小二乘法求得逼近函数与己给函数从总体来说其偏差按某种方法度量能达到最小(baidu它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
第一章-C数学建模与误差分析
1.1 化工数学概论1.1.1 数学模型
1.1 化工数学概论1.1.1 数学模型
1.1 化工数学概论1.1.1 数学模型
数学建模和最优化的案例就 在咱们周围
不去了解和利用数学技术解 决身边的问题，实在可惜！
1.1 化工数学概论1.1.1 数学模型
需要事先说明的问题 （丑话说在前面）： （1）数学模型是一种定量分析问题的工具， 数学建模有一定的艺术性，否则问题的分析 会变糟 （2）定性分析是定量分析的基础 （3）定量分析是定性分析的支持 （4）从数学模型中求解出来的最终答案，仅 仅是为实际问题的系统处理提供了有用的可以 作为决策基础的信息。
1.1 化工数学概论1.1.3 化工问题的数学描述
二、大多数化学与化工问题可以用微分方程进行数学 描述，一般步骤是：
（1）画出示意图，列出所给数据；
（2）确定自变量和因变量：通常可独立选择用来描述系统变化 的量称为自变量，而当自变量变化时，反映体系某些性质的随 之变化的量称为因变量。自变量和因变量是由不同的问题所决 定的。对于非稳态问题，时间一般选做自变量； （3）写出系统规定的自变量及其对应的因变量的数值，这就是 所谓的边界条件或初始条件； （4）选用前述的四种关系式，列出问题的数学模型或方程式， 其中要注意简化问题时所采取的假设和近似的合理性；
1.1化工数学概论1.1.4计算机编程语言
MATLAB 语言是当今国际上科学界 最具影响力、也是
最有活力的软件。它起源于矩阵运算，并已经发展成一
种高度集成的计算机语言。它提供了强大的科学运算、 灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、
便捷的与其他程序和语言接口的功能。MATLAB 语言
在各国高校与研究单位起着重大的作用。 MATLAB 语 言由美国 The MathWorks开发，2003 年推出了其全新
数学建模与误差分析
第1章数学建模与误差分析1.1 数学与科学计算数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。
数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。
它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。
近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。
科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。
科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。
科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。
它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。
随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。
在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。
因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。
了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。
因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。
1.2 数学建模及其重要意义数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。
1 误差分析 计算方法课件及实验 教学课件
若存在正数 ,使 r(x) ，则称 为近似值 x *的相对误差限。
实际中因为一个量的真值往往是不可能求出的，常用绝对误差 与近似值的比来描述。于是有：
r*(x)x(x*)x x*x*
绝对误差与相对误差的区别
绝对误差与量纲有关，而相对误差与量纲无关。
仍然考虑：x = 100 2，y = 10 1：
r(x)(xx)dxx dlnx
对于
y f(x)
y f(x)
(y) dy
r (y)
dln y
f '(x) dx
f (x)
同样，可推广至多元函数的情况。
例 uxy，则 ( u ) d d ( x u ) x y y d x d ( y y ) y x ( x ) r ( u ) d lu n d lx n d ly n r ( x ) r ( y )
上运算， 则 b19 010.111000.00000 0101000 01
0.111000.00000 010100000.11110019 0
b 2 4 a c ( 19 0 1 )2 4 19 0 190
所以
x1b2 b a 24a c190 2190190
bb24ac190190
x2
x 的近似值 x * 的规格化形式： x*0.12n1m 0
其中1,2,,n都是0,1,2,,9中的一个数字，1 0 ；
n是正整数；m是整数。
若 x *的 误差限为
(x)xx* 110mn
2
则称 x * 为具有 n位有效数字的有效数.或称它精确到 10mn
例：3.1416 具有五位有效数字,精确到0.0001; 3.14159具有
高等数学中的误差分析问题
高等数学中的误差分析问题误差分析是高等数学中的重要问题之一。
在现代科学技术中，任何测量都离不开误差分析。
误差分析可以帮助人们获得更真实、更准确的数据，并减少实验和计算中的误差。
针对误差分析中的一些常见问题，我们可以通过数学方法来解决，以确保结果的可靠性。
一、误差类型误差类型通常分为两类：系统误差和随机误差。
系统误差是由于测量过程中的不完善而产生的。
例如，一个仪器可能读取所有值时都有一个0.2度的偏差。
这种误差通常可以通过调整仪器的校准来减少。
随机误差是由于测量时环境的不稳定性、观测者的技能和注意力等多种因素造成的。
对于随机误差，我们可以通过采用足够大的样本来降低误差的影响。
二、误差分析方法误差分析涉及到一些数学方法，以便计算出测量结果的误差范围。
其中最常用的方法是方差分析。
方差分析是一种比较有效的方法，可以通过分析数据集中不同因素的方差来确定何种因素最影响数据的准确性。
例如，如果我们正在评估某种新药物的效果，并使用两组人群进行随机对照试验，那么我们需要分析每组人群中的方差。
如果两组人群中的方差非常相似，则这意味着该药物的效果对两组人群都有同样的影响。
如果两组人群的方差不同，则可能表明药物对其中一组人群的效果更好，或者存在其他因素影响效果。
三、误差控制在误差分析中，我们还需要考虑如何控制误差。
在实验中，我们可以采用如下措施，以控制误差：1、重复测量：通过多次输入，我们可以平均值结果并减少随机误差的影响。
2、校准仪器：我们可以校准装置，以确保准确性和一致性。
3、增加数据样本：通过增加样本数据量，我们可以使结果更具有代表性，并减少随机误差的影响。
4、控制实验条件：通过在实验中控制变量，我们可以消除不同因素之间的相互干扰。
特别是对于医学试验等涉及人体的试验，需要保证试验条件的连续性和一致性。
四、误差分析的重要性实验结果直接影响科学研究的结果，因此在科学研究中误差分析非常重要。
正确的误差分析可以确保我们得到更准确的数据和结论，也可以帮助我们识别问题，并进行改进。
数学建模与分析
数学建模与分析引言：数学建模是一门应用数学的学科，通过数学方法和技巧，将实际问题转化为数学模型，并利用数学模型进行分析、预测和优化。
数学建模在科学研究、工程设计、经济决策等领域起着重要的作用。
本教案将介绍数学建模的基本概念和方法，并通过实例分析展示其应用价值。
一、数学建模的基本概念（2000字）数学建模是一种将实际问题抽象化、形式化的过程，主要包括以下几个基本概念：1.1 实际问题的抽象化实际问题通常非常复杂，数学建模的第一步是将实际问题抽象化，即将问题中的主要因素和关系提取出来，形成一个数学模型。
抽象化的过程需要对实际问题进行深入的分析和理解，找出问题的关键点和核心要素。
1.2 数学模型的形式化数学模型是对实际问题的一种数学描述，它通常由数学符号、方程和不等式组成。
形式化的过程需要根据实际问题的特点选择合适的数学方法和技巧，将问题转化为数学语言。
1.3 模型的求解与分析求解和分析是数学建模的核心环节，通过数学方法和计算工具，对模型进行求解和分析，得到问题的解或结论。
求解和分析的过程需要灵活运用数学知识和技巧，结合实际问题的特点进行合理的假设和简化。
1.4 模型的验证与优化模型的验证是指将模型的结果与实际数据进行对比，检验模型的准确性和可靠性。
模型的优化是指通过对模型的改进和调整，提高模型的精度和适用性。
验证和优化是数学建模的重要环节，需要不断地修正和改进模型，使其更好地描述和解决实际问题。
二、数学建模的方法与技巧（2000字）数学建模的方法与技巧是指在实际问题的抽象化、形式化、求解和分析过程中所使用的数学方法和技巧。
下面介绍几种常用的数学建模方法与技巧：2.1 数理统计方法数理统计方法是数学建模中常用的一种方法，通过对实际数据的收集、整理和分析，建立概率模型，并利用统计推断和假设检验等方法对模型进行求解和分析。
数理统计方法在经济预测、市场调研等领域有广泛的应用。
2.2 最优化方法最优化方法是数学建模中常用的一种方法，通过建立目标函数和约束条件，寻找使目标函数达到最大或最小值的变量取值。
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第1章数学建模与误差分析1.1 数学与科学计算数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。
数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。
它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。
近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。
科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。
科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。
科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。
它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。
随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。
在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。
因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。
了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。
因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。
1.2 数学建模及其重要意义数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。
用数学方法解决工程实际和科学技术中的具体问题时，首先必须将具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，然后将建立起的数学模型，利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算，得到欲求解问题的解析解或数值解，最后用求得的解析解和数值解来解决实际问题。
本章主要介绍数学建模基本过程和求解数学问题数值方法的误差传播分析。
1.2.1 数学建模的过程数学建模过程就是从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，一般通过表述、求解、解释、验证几个阶段完成。
数学建模过程如图1.2.1所示，数学模型求解方法可分为解析法和数值方法，如图1.2.2所示。
表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳。
数学模型的求解方法则属于演绎。
归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。
演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象做出科学预见，具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只有在这个前提下才能保证其正确性。
因此，归纳和演绎是辨证统一的过程：归纳是演绎的基础，演绎是归纳的指导。
图1.2.1 数学建模过程示意图图1.2.2 数学模型求解方法示意图解释是把数学模型的解答“翻译”回到现实对象，给出分析、预报、决策或控制的结果。
最后作为这个过程重要的一个环节，这些结果需要用实际的信息加以验证。
图1.2.1也揭示了现实问题和数学建模的关系。
一方面，数学模型是将现实生活中的现象加以归纳、抽象的产物，它源于现实，又高于现实。
另一方面，只有当数学模型的结果经受住现实问题的检验时，才可以用来指导实际，完成实践→理论→实践这一循环。
1.2.2 数学建模的一般步骤一般说来，建立模型需要经过哪几个步骤并没有一定的模式，通常与问题的性质和建模的目的等因素有关。
下面介绍建立数学模型的一般过程，如图1.2.3所示：图1.2.3 数学建模的一般步骤分析问题了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必要的信息，如数据和现象等，弄清楚所要研究对象的主要特征，形成一个比较清晰的“数学问题”。
提出假设根据现象的特征和建模的目的，抓住问题的本质、忽略次要因素，做出必要的、合理的、简化的假设，并且要在合理和简化之间做出恰当的折中。
通常，假设的依据一是处于对问题内在规律的认识，二是来自对现象、数据的分析，以及二者的结合。
建立模型根据所作的假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，建立包含常量、变量等的数学模型，如优化模型、微分方程模型、差分方程模型、图论模型等。
在建模过程中要遵循尽量采用简单的数学工具这一原则，以便更多的人了解和使用。
模型求解可以采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学方法，特别是当前迅猛发展的数学软件和计算机技术。
解的分析对求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的灵敏性分析、对假设的强健性分析等。
检验和验证把求解和分析的结果翻译回到实际问题中，与实际的现象、数据比较，检验模型的合理性和适用性。
如果结果与实际不符，问题常常出现在模型假设上，此时应该修改、补充假设，重新建立模型和求解。
应用与推广应用的方式与问题性质、建模目的以及最终的结果有关。
应当指出的是，并不是所有问题的建模都要经过这些步骤，有时几个步骤之间的界限也不是那么分明，建模时不要拘泥于形式上的按部就班，要采用灵活的表述形式。
1.2.3 数学建模的重要意义作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模自然有着与数学同样悠久的历史。
进入20世纪以来，随着数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，以及计算机的出现和飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视，数学建模在现实世界中有着重要意义。
（1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。
在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻。
虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出许多需要用数学方法解决的新问题；高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题（如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等）迎刃而解；建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段。
（2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。
无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于传统工业区创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段。
数学建模、数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一。
在这个意义上，数学不仅仅作为一门科学，是许多技术的基础，而且直接走向了技术的前台。
有人认为“高技术本质上是一种数学技术”。
（3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。
随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。
当用数学方法研究许多领域中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤，同时也是这些学科发展与应用的基础。
在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度的模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地。
马克思说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步。
”展望21世纪，数学必将大踏步地进入所有学科，数学建模将迎来蓬勃发展的新时期。
美国科学院一位院士总结了将数学转化为生产力过程中的成功和失败，得出了“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”的结论，认为数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争力是有重要意义”，因而“计算和建模重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径”。
1.3 数值方法与算法稳定性数值计算已成为科学研究的第三种基本手段。
所谓数值方法，是指将欲求解的数学模型（数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑运算，以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收敛性和误差进行分析、计算。
这里所说的“算法”，不只是单纯的数学公式，而且是指由基本的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步骤。
一般可以通过框图（流程图）来直观地描述算法的全貌。
选定适合的算法是整个数值计算中非常重要的一环。
例如，当计算多项式0111)(a x a x a x a x P n n n n ++++=--的值时，若直接计算(0,1,,)i i a x i n =再逐项相加，共需做2)1()1(21+=+-+++n n n n 次乘法和n 次加法。
10n =时需做55次乘法和10次加法。
若用著名秦九韶（我国宋朝数学家）算法，将多项式()P x 改成12210()(((())))n n n P x a x a x a x a x a x a --=++++++来计算时，只要做n 次乘法和n 次加法即可。
对于小型问题，计算速度的快慢和占用计算机内存的多寡似乎意义不大。
但对于复杂的大型问题而言，却是起着决定性作用。
算法取得不恰当，不仅影响到计算的速度和效率，还会由于计算机计算的近似性和误差的传播、积累直接影响到计算结果的精度，甚至直接影响到计算的成败。
不合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而使计算最终失败，这就是算法的数值稳定性问题。
数值计算过程中会出现各种误差，它们可分为两大类：一类是由于算题者在工作中的粗心大意而产生的，例如笔误以及误用公式等，这类误差称为“过失误差”或“疏忽误差”。
它完全是人为造成的，只要工作中仔细、谨慎，是完全可以避免的；而另一类为“非过失误差”，在数值计算中这往往是无法避免的，例如近似带来的误差、模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差等。
对于“非过失误差”，应该设法尽量降低其数值，尤其要控制住经多次运算后误差的积累，以确保计算结果的精度。
下面是一个简单的例算，可以看出近似值带来的误差和算法的选择对计算结果所产生的巨大影响。
例1.3.1计算 3x = 可用下面四种算式算出：61)x =，99x =-6x =，x =。
不取近似，且计算过程没有误差，则上列四个算式的计算结果是相等的；75 1.4≈=1712 1.4166≈=按上列四种算式计算x 值，其结果如表1.3.1所示。
表1.3.1 四个算式的计算结果由表1.3.1可见，按不同算式和近似值计算出的结果各不相同，有的甚至出现了负值，这真是差之毫厘，谬以千里。
可见近似值和算法的选定对计算结果的精确度影响很大。
因此，在研究算法的同时，还必须正确掌握误差的基本概念、误差在数值运算中的传播规律、误差分析的基本方法和算法的数值稳定性。