分数裂项法解分数计算

分数裂项计算

本讲知识点属于计算大板块容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项

一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即

1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b

=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)

n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)

n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

（1）11a b a b a b a b a b b a

+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

【例 1】

11111

1223344556

++++=

⨯⨯⨯⨯⨯

。

【巩固】

111

...... 101111125960 +++

⨯⨯⨯

【巩固】

2222 109985443 ++++=⨯⨯⨯⨯

【例 2】1111 11212312100 ++++

++++++

【例 3】

1111 133******** ++++=⨯⨯⨯⨯

【巩固】计算：

1111

25

1335572325

⎛⎫

⨯++++=

⎪

⨯⨯⨯⨯

⎝⎭

【巩固】251251251251251 4881212162000200420042008 +++++

⨯⨯⨯⨯⨯

【巩固】计算：

3245671 255771111161622222929 ++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯

【例 4】计算：

11111111

()128 8244880120168224288

+++++++⨯=

【巩固】11111111 612203042567290

+++++++=_______

【巩固】

111111

1

3610152128 ++++++=

【巩固】计算：111111111 2612203042567290

--------＝

【巩固】

11111 104088154238

++++=。

【例 5】计算：

1111 135357579200120032005 ++++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

【例 6】

7

4.50.16

1111

18

13153563 13 3.75 3.2

3

⨯+

⎛⎫

⨯+++=

⎪

⎝⎭-⨯

【例 7】计算：

11111 123420 261220420 +++++

【巩固】计算：

11111 20082009201020112012

1854108180270

++++= 。

【巩固】计算：11224

26153577

++++=____。

【巩固】计算：1111111 315356399143195 ++++++

【巩固】计算：1511192997019899 2612203097029900

+++++++=．

【例 8】

111 123234789 +++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯

【巩固】计算：

111 1232349899100 +++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯

【巩固】计算：

1111 135246357202224 ++++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

【巩固】

4444

...... 135357939597959799 ++++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

【巩固】

9998971 12323434599100101 ++++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

【例 9】

11111 123423453456678978910 +++⋅⋅⋅++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯