第三章线性系统状态方程的解
第三章-4-状态方程的解
0 1 0
，利用方法1求解 exp(At)
0 A3 0 0 1 0 1 0 1 A 0
A
2
0 0 0
1 0 1
及 及
A A3 A5
e
At
( t ) ax ( t ) x
x ( t ) e at x ( 0 )
x (t ) e At x (0 )
n=n
于是
e
At
At (A t)2 (A t)3 (A t)k I 1! 2! 3! k!
其中，A 是方阵，exp[At] 是与 A 具有相同阶数的方阵。实际上，
exp(At ) exp(TT1t ) T exp(t )T1
4) 方法 4-----Cayley-Hamilton 4 Cayley Hamilton 定理
e
A t
exp[
At ]
n 1
k 0
k
(t ) A
k
13
状态方程的解
状态转移矩阵的计算：1) 直接计算
例 1. 假定 A 矩阵为 解：
6) 对于 nn 方阵 A 和 B，如果有 AB=BA，则
exp( A t ) exp( B t ) exp[( A B ) t ]
7) ) 对于任意非奇异矩阵 T，有
(T 1ATt ) 2 (T 1AT ) 2 t 2 (T 1 AT )(T 1 AT )t 2 2! 2! 2!
状态方程的解
状态转移矩阵的计算
对于给定的矩阵 A，计算 STM 闭合形式的方法包括：
1) 方法 1----1 直接计算
信号与线性系统分析第三章
系统描述 分析方法
连续系统 微分方程 卷积积分 变换域（傅氏、s） 系统函数
离散系统 差分方程 卷积和 变换域（离散傅氏、z） 系统函数
第 2页
§2.1 LTI离散系统的响应
• 差分与差分方程 —前向差分、后向差分以及差分方程
• 差分方程解 —数值解、经典解，以及不同特征根对应的齐 次解和不同激励对应的特解
yzi (-2) = y(-2)
-----------
yzi (n) = ？
----------------yzi (-n) = y(-n)
第 13 页
零输入举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；初始状态 y(–1)=0, y(–2)=1/2 求系统的零输入响应
解：yzi(k)零输入响应满足：
yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0
yzi(–1)= y(–1)= 0 yzi(–2) = y(–2) = 1/2 递推求 yzi(0)、 yzi(1) yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2)
yzi(0)= –3yzi(–1) –2yzi(–2)= –1
yzs(0)、yzs(1)、---yzs(n)=？ 借助微分方程
n
若其特征根均为单根： yzk (k ) Czsjkj y p (k ) j 1
第 16 页
零状态举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；求系统的零状态响应 解：零状态响应yzs(k) 满足
信号与线性系统第3章
由于激励加入系统前，系统未储能，所以有y(j)(0-)=0。
但是由于在t=0时刻激励的加入，可能使得yf(j)(0+)不为 零。 因此需要根据激励来确定yf(j)(0+)，从而确定零状态响应中 齐次解系数的值。
用δ(t)函数匹配法求0+初始值
若激励f(t)在t=0时刻接入系统，则确定待定系数Ci时用 t=0+ 时刻的值，y(j)(0+)(j=0,1,2,……n-1).
激励为0，因此令方程右端为0：
y(n) (t) + an−1y(n−1) (t) +L+ a1y′(t) + a0 y(t) = 0
可知，零输入响应与经典解法中的齐次解形式相 同。 由于对yx(t)而言，t ≥0时，f(t)=0
所以： { yx(k)(0+) }= { yx(k)(0-) } 因此：零输入响应的系数Ci（i=1,2,…,n)可以由系统的起
y(t) = yx (t) + yf (t)
其中： yx (t) = T[x1(0− ), x2 (0− ),L xn (0− ),0] = T[{x(0− )},0] yf (t) = T[0, f1(t), f2 (t),L, fn (t)] = T[0,{ f (t)}]
求解零输入响应yx(t)
¾ 在每次平衡低阶冲激函数项时，若方程左端所有同阶次δ(t) 函数项不能和右端平衡，则应返回到y(t)的最高阶次项进行补 偿，但已平衡好的高阶次δ(t)函数项系数不变。
系统全响应 y(t) = yx (t) + yf (t)
yf’(0+) = 2+ yf’(0-) = 2 代入初始值求得： yf(t) = -7e-t+4e-2t+3, t>0
第三章线性系统的运动分析
Chapter 3 Analysis of Linear System3.1 INTRODUCTION运动分析的数学实质：从数学的角度，运动分析的实质就是求解系统的状态方程。
以解析形式或数值分析形式，建立系统状态随输入和初始状态的演化规律。
(Solving the time-invariant state equation)3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATION系统响应=系统的零输入响应+系统的零状态响应System response=a term consisting of the transition of the initial state +a term arising from the input vector零输入响应：自由运动，由系统矩阵决定，不受外输入影响。
零状态响应：强迫运动，响应稳态时具有和输入相同的函数形态。
01!k k ∞−+=∑0k k b t ∞=+=∑2012Ab Ab t Ab t +=+++b k 0)b +Equating the coefficients of the equal powers of t, we obtain By substituting this assumed solution in to Equation (1)解的说明：1.零输入响应是状态空间中由初始状态经线性变换矩阵所导出的一个变换点。
2.自由运动3.自由运动的轨迹由唯一决定。
4.当自由运动轨迹趋于平衡状态时，则系统是渐近稳定的。
At e0x Ate 0=x若初始时间取为t 0≠0则0)(,)(0t t x e t x t t A ou ≥=−00)(x t x =01!k k ∞−+=∑+232322332323332)()2!3!F F I Ft t t F t A t A Ft AF t F t ++++++0+=0,1,2,))AtAt Ae A e A ++=+=利用性质+λ)neλ)n t0000i i λλ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦12)l J t J tJ t e e 0i i t t e e e λλ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦系统状态运动规律的基本表达式设系统的状态空间描述为有表达式⎰⎰≥−+=+=−t A Att t A At t d t Bu e x e d Bu e x e t x 000)(00,)(,)()(ττττττ⎰≥+=−−t t t A t t A t t d Bu e x e t x 000)(0)(,)()(τττ对初始时刻t 0=0 情形有表达式注意：物理意义解的讨论:(1)卷积特征；(2)零初始响应的几何特征；(3)可达性；(4)任意时刻的表达式00≥,=)(),(+=t t x t x t Bu Ax x3.3连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵State-Transition Matrix设连续时间线性时不变系统，状态方程为：as To verify this, note thatWe thus confirm that Equation (2) is the solution of Equation (1))2()0()()(x t t x Φ=where )(Φt is n n ⨯Matrix and is the unique solution of)0()0()0()0(x x x =Φ=Ate t =)(Φ)(=)0()(Φ=)0()(Φ=)(t Ax x t A x t t xI t A t =)0(Φ)(Φ=)(Φ )1(=Ax x and状态转移矩阵的形式为()()()0000,0000t t e t t t t e t t t t A At ≥=−Φ≠≥=Φ=−时，时，基于状态转移矩阵的系统响应表达式()()()()()()()()()⎰⎰−Φ+−Φ=≥−Φ=−Φ=tt t t ox ou d Bu t x t t t x t t d Bu t t x x t t t x 0000000ττττττ。
现代控制理论-状态方程的解
3、复频域上
非齐次状态方程的解
2、说明
e At 状态转移矩阵
一般用 t 表示，即 t e At
考虑初始条件拉氏变换
sX ( s ) X (0 ) AX ( s ) BU ( s ) 有 ( sI A) 1 X ( s ) X ( 0 ) BU ( s ) 即 1 X ( s ) ( sI A) X (0) ( sI A) 1 BU ( s ) 则
e
d At e Ae At e At A dt
At 1
e At
[5]、对于 n n的方阵 A、 B 当且仅当 AB BA时 有 e At e Bt e( A B)t , 而当AB BA, e At e Bt e( A B)t。
电气工程学院
几个特殊的矩阵指数eAt
设单变量系统的差分方程为：
y(k n) an1 y(k n 1) a0 y(k ) bnu(k n) bn1u(k n 1) b0u(k )
相应的系统脉冲传递函数为
bn z n bn 1 z n 1 b1 z b0 G( z ) n z an 1 z n 1 a1 z a0
有
d At At AX ] e X e [X dt e At Bu(t )
考虑初始条件 拉氏变换得 sX ( s ) X ( 0 ) AX ( s )
将上式积分有 t t X (t ) 1 ( sI A) 1 X (0) A d A e Bu( ) d d e X ( ) 0 0 d 1 显然 e At 1 t ( sI A) At A X ( 0 ) e X ( t ) e 可得 At Bu( )d
现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性
A'
0
0
0
a0 a1 a2
0
0 可
0
0
B'
控 标
1
an1
0 1
准 形
AT=A’
BT=B’
0 0 0 1 0 0 A 0 1 0
a0
a1
C 0
0 1
0 0
a2
可观标准形
1 an1
结论：状态方程具有可观测标准形的系统一定可观测。
C 0 0
CA
0
0
V
CA2
3.2线性定常系统的可观测性
1．线性定常离散系统状态可观测性
(1) 离散系统可观测定义
x(k 1) Gx(k) Hu(k ) y(k) Cx(k) Du(k)
已知输入u(0)，…，u(n－1)的情况下，通过在
有限个采样周期内测量到的输出y(0)，y(1)，…， y(n-1)，能唯一地确定任意初始状态x(0)的n个分量， 则称系统是完全可观测的，简称系统可观测。
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
x Ax Bu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc B AB
满秩，即 rankSc n
An1B
示例
(3) 可控标准形
结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
x1 0
x2
0
xn
1
0
xn a0
使上述方程组有解的充分必要条件是
Sc' Gn1H
GH H
满秩，且 rankSc' n
亦即 Sc H GH
Gn1H 且rankSc n
离散可控性例题
信号与线性系统分析--第三章
第三章 离散系统的时域分析
本章概述
离散时间域的方程求解
连续时间域 时间函数 微分方程 卷积积分 离散时间域 离散序列 差分方程 卷积求和
求解方法
迭代法 经典法 卷积法
连续时间信号、连续时间系统
连续时间信号
f(t)是连续变化的t的函数，除若干不连续点之外 对于任意时间值都可以给出确定的函数值。函数 的波形一般具有平滑曲线的形状，一般也称模拟 信号
f (n) .... f (1) (n 1) f (0) (n) f (1) (n 1) ...
i
f (i) (n i)
f(k ) f(2) f(-1) f(1) f(0) … 1 2 i f(i) … k
可推出：离散系统的零状态响应
y zs (n)
m
f (m) (n m)
单位阶跃序列
与阶跃函数的不同？
延时的单位阶跃序列
用单位样值序列来表示
u( n) ( n) ( n 1) ( n 2) ( n 3) (n k )
k 0
( n) u(n) u( n 1)
题目中 y0 y1 0 ,是激励加上以后的,不是初始状 态,需迭代求出 y 1, y 2 。
n 1 y1 3 y0 2 y 1 2u 1 2 u 0
0
0 0 2 y1 2 1 1
1 y 1 2
n0
y0 3 y 1 2 y 2 2 u 0 2 u 1
0 1
0 3 y 1 2 y 2 1
y 2 5 4
将初始状态代入方程求系数
现代控制理论课后答案
前言
本书是为了与张嗣瀛院士等编写的教材《现代控制理论》相配套而编写的习题解答。
本书对该教材中的习题给予了详细解答，可帮助同学学习和理解教材的内容。由于习题数量较多，难易程度不同，虽然主要对象是研究型大学自动化专业本科学生，但同时也可以作使用其它教材的专科、本科、以及研究生的学习参考书。
书中第5、6、8章习题由高立群教授组织编选和解答；第4、7 章由井元伟教授组织编选和解答，第1、2章由郑艳副教授组织编选和解答。
+
若取 ，则有
（2）解 由（1）知
取 ，则有
若取 ，则有 ，
3.11 求下列系统在输入作用为：① 脉冲函数；② 单位阶跃函数；③ 单位斜坡函数下的状态响应。
(1)
(2)
图P2.2
解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。令 为输入量，即 ， ， 的位移量 ， 为输出量，
选择状态变量 ， = ， = ， 。
根据牛顿定律对 有：
对 有：
经整理得：
状态方程为：
输出方程为：
写成矩阵形式为：
2.5 系统的结构如图P2.5所示。以图中所标记的 、 、 作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中， 、 分别为系统的输入、输出， 、 、 均为标量。
图P2.5系统结构图
解 图P2.5给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。
(2) 解 由已知得：
，
令： ，
得：
状态变量图如下：
线性系统理论第三章(1)
第三章 线性时不变系统的标准形与最小阶实现把系统动态方程化为等价的简单而典型的形式，对于揭示系统代数结构的本质特征，以及系统的分析与设计将会带来很大的方便，因此利用等价变换化系统动态方程为标准形的问题成为线性系统理论中的一个重要课题。
在第一章中已经指出，动态方程等价变换的矩阵P 是由状态空间基底的选取来决定的。
因此常把构造P 阵的问题化为选取状态空间适当基底的问题来讨论。
由于所给的条件不同和选取基底的方法不同，从而可以得到各种不同形式的标准形。
在实际实用中，常是根据所研究问题的需要而决定采用什么样的标准形。
本章所介绍的几种标准形，是以后讨论极点配置和观测器设计等问题时要用到的。
实现问题，也是线性系统理论的重要课题之一。
这是因为：状态空间方法在系统设计和计算上都是以动态方程为基础的，为了应用这些方法，我们需要把传递函数阵用动态方程予以实现，特别是在有些实际问题中，由于系统物理过程比较复杂，通过分析的方法来建立它的动态方程十分困难，甚至不可能，这时可能采取途径之一就是先确定输入输出间的传递函数阵，然后根据传递函数阵来确定系统的动态方程。
其次，复杂系统的设计往往希望能在模拟计算机或数字计算机上仿真，以便在构成物理系统之前就能检查它的特性，系统的动态方程描述则比较便于仿真，例如在模拟机上指定积分器的输出作为变量，就很容易仿真系统。
在实际应用中，动态方程实现也提供了运算放大器电路综合传递函数的一个方法。
每一个可实现的传递函数阵，可以有无限多个实现。
我们感兴趣的是这些实现中维数最小的实现，即最小阶实现。
在实用中，最小阶实现在网络综合和系统仿真时，所用到的元件和积分器最少，从经济和灵敏度的角度来看是必要的。
关于有理函数阵的最小阶实现问题，定理2—20及定理2—21是基本的，本章则着重于构成最小阶实现的方法。
§3—1系统的标准形关于等价变换 等价变换的关系A PAPB PBC CP 11,,--===其中P 为坐标变换阵，即有x Px =。
线性系统理论-郑大钟(3-4章)
1
2 n
n 1 n
t e n
1
0 1
21
n 1 2
(n 1)1 (n 1)(n 2) n 3 1 2! n2 (n 1)1 n 1 1 1
矩阵指数函数的算法 1：定义法
e At I At
1 2 2 A t 2!
只能得到eAt的数值结果，难以获得eAt解析表达式，但用计算机计算，具 有编程简单和算法迭代的优点。 2：特征值法
A P 1 AP
A PA P 1
e At Pe A t P 1
P为变换A为约当规范型的变换矩阵 1）若A的特征值为两两互异
如果系统矩阵A(t),B(t)的所有元在时间定义区间[t0,tα]上为时间t的连续实函数，输 入u(t)的所有元为时间t的连续实函数，那么状态方程的解x(t)存在且唯一。 从数学观点，上述条件可减弱为： ①系统矩阵A(t)的各个元aij(t)在时间区间[t0,tα]上为绝对可积，即：
t
t0
| aij (t ) | dt ,
－1
te1t 1t e e3t
0 2tet e 2t 1 3tet 2et 2e 2t 2 tet et e 2t
e At 0 I 1 A 2 A2 (2tet e 2t ) I (3tet 2et 2e 2t ) A (tet et e 2t ) A2 2et e 2t 0 e t e 2t 0 et 0 2et 2e 2t 0 et 2e 2t
s3 ( s 1)( s 2) 2 ( s 1)( s 2)
现代控制理论(8-11讲：第3章知识点)
f () I - A n an1 n1 a1 a0
f (A) An an1An1 a1A a0I 0
f () I - A 2 5 7 0
用A代替λ ，则
f (A) A 5A 7I 0
1 2 2 t 0 0 1t 2! 1 1 1 .. .. 0 nt 1 0
1 2 2 1 k k P (I + At + A t + ... + A t + ...)P 2! k!
11
习题: 2.4 (2) (3) 2.5 (1):1, 2
12
（2）系统矩阵A具有n重特征值: 则
Φ(t ) e
At
i t e Q
te e
i t
i t
0
1 ( n 1) i t ... t e (n 1)! 1 ... ... Q .. tei t i t e
2
15
例2：设矩阵为:
0 0 A 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
试用Cayly-Hamilton定理，求A7-A3+2I。 解：
0 1 0 0 1 0 4 1 0 I A 0 0 1 1 0 0
At
e 0 (t )I 1 (t )A an1 (t )A
At
n1
证： A 即
n
an1A
n1
a1A a0I 0
An an1An1 a1A a0I
an1 (an1An1 a1A a0I) an2 A n1 ... a0 A
3.3 线性时变连续系统状态方程的解
目录(1/1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
目 录
� � � � � � � � 概述 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 3.2 状态转移矩阵及其计算 3.3 线性时变连续系统状态方程的解 3.4 线性定常连续系统的离散化 3.5 线性定常离散系统状态方程的解 3.6 Matlab问题 本章小结
状态转移矩阵的性质 (4/8)
4) 对角线矩阵的状态转移矩阵。 如果时变的系统矩阵A(t) 如下表示的对角线矩阵。 A(t)=diag{a11(t) a22(t) … ann(t)} 式中,aii(t)(i=1,2,…,n)为标量函数,则A(t)的状态转移矩阵Φ (t,t0)为如下对角线矩阵。 Φ(t,t0)=diag{ϕ11(t,t0) ϕ22(t,t0) … ϕnn(t,t0)} 式中 , ϕii(t,t0)(i=1,2,…,n) 为满足如下标量微分方程的状态转 移函数
Φ (t , t0 ) = I + ∫ A(τ1 )Φ (τ1 , t0 )dτ1
t0 t
状态转移矩阵的求解(2/7)
Φ(t , t0 ) = I + ∫ A(τ 1 ) Φ(τ 1 , t 0 )dτ 1
t0 t
� 如果将上式中积分号内的Φ(τ1,t0)再按上式展开,则有
Φ(τ1 , t0 ) = I + ∫ A(τ 2 )Φ(τ 2 , t0 )dτ 2
̇ ( t , t ) = A ( t ) Φ (t , t ) ⎧Φ i 0 i i 0 ⎨ ⎩ Φ i (t 0 , t 0 ) = I
i = 1, 2,..., l
—例 3-9 6/8)— 状态转移矩阵的性质(6/8)
9 求如下时变系统的状态转移矩阵Φ(t,t0)。 � 例33-9
第三章系统分析-状态方程的解
1.非齐次方程解的通式
已知系统状态空间表达式为： • 直接法积分求解
Ax Bu x y Cx Du
x(t ) (t t 0 ) x(t 0 ) (t )Bu( )d
t0
t
t0 0
x(t ) (t ) x(0) (t )Bu( )d
k j 0 k 1
得系统状态的迭代计算式为：
x(k ) G x(0) G k j 1Hu( j )
k j 0
k 1
注：计算结果为逐点形式，便于计算机运算，但有累积误差。
与连续状态方程的求解公式在形式上类似
（2） z 变换法
x(k 1) Gx(k ) Hu(k ) zx( z ) zx(0) Gx( z ) Hu( z ) ( zI G) x( z ) zx(0) Hu( z ) x( z ) [( zI G) z ]x(0) ( zI G) Hu( z ) x(k ) Z 1[( zI G) 1 z ]x(0) Z 1[( zI G) 1 Hu( z )]
书上p58~60页
0 （4）T-1AT= 0 0
1
0 0
0 1
0
0 1 t t 0 At 为约旦阵，则 (t ) e e T 0 1 1 0 0 0 0
At
1 2 t 2! t 1 0
1 3 t 3! 1 2 1 t T 2! t 1
返回
(8) 若 Ann Bnn Bnn Ann ，则有
注：上述性质由定义导出。
1 2 2 1 i i x(t ) ( I At A t A t ) x(0) e At x(0) 2! i!
线性系统理论第三章
为约旦标准型
J1 0
A
P 1AP
0
J2
0 A PAP 1
0
0
0
J
n
i 1
Ji
0
i
0
0
0
1
i nini
, eJit
如何计算矩阵指数函数 eAt ？
§3.2 矩阵指数函数的计算
Linear system theory
1. 拉普拉斯变换方法：
eAt I
At
1
A2t 2
2!
两边取拉普拉斯变换，有
1 Ak t k
k0 k !
L
e At
L
I
At
1 2!
A2t
2
1 s
I
1 s2
A
1 s3
A2
另外一方面，有
exp[(M 1AM )t] M 1eAt M = exp[(M 1AM )t]
(M 1AM )k t k
M 1 Ak M t k
M 1(
Ak t k )M = M 1eAt M
k 0
k ! k0
k!
k0 k !
§3.1 状态方程的解
Linear system theory
3. 强迫运动： 当 u(t) 0，给定
t2 )
A2
(
t12 2!
t1t2
t22 ) 2!
A3 (t13 3!
t12t2 2!
t1t22 2!
t23 ) 3!
Ak ( t1k
t1k 1t2
t1k
t2 2 2
k ! (k 1)! (k 2)!
t12t2k2 t1t2k2 t2k ) = e A(t1t2 ) 2!(k 2)! (k 1)! k !
3.5线性时变系统状态方程的解
=G( kT) x( kT) + H( kT) u( kT) .
其中： 其中：
G( kT)
H( kT) TB( kT) .
I +TA( kT) ,
第三章 状态方程的解 3.6.2 线性时不变系统状态方程的离散化 考虑系统： 考虑系统： & x( t) = A ( t) + B ( t) , x u 其状态方程的解为： 其状态方程的解为：
第三章 状态方程的解 第一项是由初始状态引起的响应； 第一项是由初始状态引起的响应； 第二项是由控制输入引起的响应。 第二项是由控制输入引起的响应。
连续系统的时间离散化 3.6 连续系统的时间离散化
3.6.1 近似离散化 考虑系统
& x( t) = A( t) x( t) + B( t) u( t) ,
t t t0 t0
t A(τ ) d x( t ) x( t) =exp ∫ τ 0 t0
0 =exp 0
( t −t0 ) ( t +1) ( t0 +1) x( t0 )
0
1 = 0
( t −t0 ) ( t +1) ( t0 +1) x t ( 0)
1
第三章 状态方程的解
t 1 & 例3.5.2 x( t) = x( t) 初始值为 x( 0) .求 x( t)。 1 t
解：
t2 2 t ∫t0 A(τ ) dτ = t t2 2,
t
A( t) ∫ A(τ ) dτ = ∫ A(τ ) dτA( t) ,
第三章状态方程的解课堂课资
e2t 1 3t et
2e2t
2
3t
et
4e2t 5 3t et
0 1 0
A
0
0
1
6 11 6
1 1 1 P 1 2 3
1 4 9
6 5 1
P 1
1 2
6
8
2
2 3 1
1 0 0
A
P1 AP
0
2
0
0 0 3
et 0 0
e At PeAt P1 P 0 e2t
0
e
nt
eT 1ATt I T 1 ATt 1 T 1 A2Tt 2 1 T 1 A3Tt 3
2!
3!
T 1 I At 1 A2t 2 1 A3t 3 T
2!
3!
T 1e AtT et
e At TetT 1
12
例 已知矩阵
0 1 1
A 6
-11
6
试计算矩阵指数 eAt .
a n1 n1 1
e1t
a n1 n1 2
e2t
a0 a1n
a0
1
an1 1
a n1 n1 n
ent
n1 1
1
e1t
.
n1 n
ent
17
2)有 n个重特征值 1 n
et a0 t a1 t an1 t n1
两端对求1至n 阶1 导数得：
t 是满足 t At,0 I 的 n n 的矩阵。 t 定义为转移矩阵。
对于线性定常方程 t e At 。
t e At 表示 x(0) 到 x(t) 的转移矩阵。 t t0 e A(tt0 ) 表示 x(t0 ) 到 x(t) 的转移矩阵。
现代控制理论课后习题及答案
《现代控制理论》课后习题及答案第一章控制系统的状态空间表达式1-1.试求图1-1系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
图1-27系统方块结构图图1-1 系统结构方块图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图图1-2 双输入—双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••6543211654321111111126543210000010000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp n p b1-2.有电路如图1-3所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
U图1-28 电路图图1-3 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
3.4 线性定常离散系统状态方程的解
因此, 离散系统的状态方程的解为:
x(k ) G x(0) G
k j 0 k 1 k j 1
Hu( j )
该表达式与前面递推法求解结果一致 例3-9 已知某系统的状态方程和初始状态分别为
0 x(k 1) 0.16 1 1 x( k ) u ( k ) 1 1 1 x(0) 1
(k mi )
1 ik C k ik 1 1 1 k Gi , 1 k 1 C k i k i
其中 : Ck
m
k! m!(k m)!
(k mi )
递推法(10/10)
(4) 对系统矩阵G, 当存在线性变换矩阵P, 使得
试求系统状态在输入u(k) 1时的响应
Z变换法(4/7)
解 1. 用递推法求解 分别令k 1, 2, 3, …, 则由状态方程有
1 1 1 0 0 x(1) 1 1 1.84 0.16 1 1 0 1 2.84 0 x(2) 1.84 1 0.84 0.16 1 1 2.84 1 0.16 0 x(3) 0.84 1 1.386 0.16 1
j 0
k 1
递推法(3/10)
若初始时刻k0不为0, 则上述状态方程的解可表达为:
x( k ) G
k k0
x( k 0 )
G
j k0
k 1
k j 1
Hu( j )
或
x( k ) G
k k0 k k 0 1
x( k 0 )
G Hu(k j 1)
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第三章 系统的分析——状态方程的解§3-1线性连续定常齐次方程求解一、齐次方程和状态转移矩阵的定义１、齐次方程状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为：)()(t Ax t x =&线性定常连续系统：Ax x=& 初始条件：00x x t ==２、状态转移矩阵的定义齐次状态方程Ax x =&有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。
其解为)0()(x e t x At ⋅=。
其中At e 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为：At e t =)(φ。
若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：)(00)(t t A e t t -=-Φ 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。
但它一般不能写成指数形式。
（１）幂级数法——直接求解设Ax x=&的解是t 的向量幂级数 ΛΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b t x 2210)(式中ΛΛ，，，，，k b b b b 210都是n 维向量，是待定系数。
则当0=t 时， 000b x x t ===为了求其余各系数，将)(t x 求导，并代入)()(t Ax t x=&，得：ΛΛΛΛ&+++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x)(2210ΛΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b A上式对于所有的t 都成立，故而有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧======00323021201!1!31312121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K M且有：00x b =故以上系数完全确定，所以有：ΛΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b t x 2210)(ΛΛ+++++=k k t b A k t b A t Ab b 020200!1!21)0()!1!21(22x t A k t A At I kk ΛΛ+++++=定义（矩阵指数或矩阵函数）：∑∞==+++++=022!1!1!21K kk k k AttA k t A k t A At I eΛΛ则)0()(x e t x At⋅=。
（２）拉氏变换解法将Ax x=&两端取拉氏变换，有)()0()(s AX X s sX =- )0()()(X s X A sI =-)0()()(1X A sI s X ⋅-=-拉氏反变换，有)0(])[()(11x A sI L t x ⋅-=--则由微分方程解的唯一性可知：])[()(11---==A sI L et Atφ【例3.1.1】 已知系统的状态方程为x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010&，初始条件为)0(x ，试求状态转移矩阵和状态方程的解。
解：（１）求状态转移矩阵ΛΛ+++++==k k At t A k t A At I e t !1!21)(22φ 此题中： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡====000032nA A A ΛΛ 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+==1010001001)(t t At I e t At φ （２）状态方程的解 )0(101)0()(x t x e t x At⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅=【例3.1.2】 已知系统状态方程为x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3210&，初始条件为)0(x ，试求状态方程的解。
解：)0()(x e t x At⋅= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-321321000s s s s A sI⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++-+++-+-++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=--2211221221112112213)2)(1(1)(1s s s s s s s s s s s s A sI ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=-==----------t t tt t t tt Ate e ee e e e e A sI L e t 2222112222])[()(φ 故而)0(2222)0()(2222x e e ee e e e e x e t x t t tt t t tt At ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=⋅=-------- 二、状态转移矩阵At e 的性质ΛΛ+++++==kk Att A k t A At I et !1!21)(22φ（1）I =)0(φ（2）A t t A t )()()(φφφ==&A =)0(φ&（3）)()()()()(122121t t t t t t φφφφφ±=±=±证明：)()()()()(1221)()()(212121t t t t e e e t t t A t A t t A φφφφφ±=±=⋅==±±±（4）)()(1t t -=-φφ，)()(1t t φφ=-- 证明：)()()()()()0(1t t I t t t t -=⇒=-=-=-φφφφφφ（5）)()()(00t x t t t x -=φ证明：)0()()(x t t x φ=)()()0()0()()(00100t x t x x t t x ⋅=⇒=-φφ，代入上式∴)()()()()()(00001t x t t t x t t t x -=⋅=-φφφ 证毕。
（6）)()()(011202t t t t t t --=-φφφ证明：)()()(0022t x t t t x -=φ………………………. …………………(1) )()()(0011t x t t t x -=φ……………………………………………(2) )()()()()()(001121122t x t t t t t x t t t x --=-=φφφ…………….(3) 比较（1）、(3)式，有)()()(011202t t t t t t --=-φφφ成立。
证毕。
（7）[])()(kt t kφφ=证明：[])(][)()(kt e e e t kt A kAt k At kφφ====（8）若BA AB =，则AtBt Bt At t B A e e e e e ⋅=⋅=+)(若BA AB ≠，则At Bt Bt At tB A e e e e e ⋅≠⋅≠+)(（9）设)(t φ为Ax x=&的状态转移矩阵，引入非奇异变换x P x =后的状态转移矩阵为： P e P t At 1)(-=φ证明：将x P x =代入Ax x=&中，有 x AP P x1-=& APtP e t 1)(-=φΛΛ+++++=----k k APtP t AP P k t AP P APt P I e)(!1)(!21122111 ΛΛ+++++=----kk t AP P k t AP P APt P P P )(!1)(!21122111P t A k t A At I P k k )!1!21(221ΛΛ+++++=-P e P At1-= ∴P e P t At1)(-=φ。
证毕。
（10）两种常见的状态转移矩阵 ①设],,,[21n diag A λλλΛ=，即A 为对角阵，且具有互异元素。
则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t tn e e t λλφO O 00)(1②设A 为m m ⨯约当阵mm A ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ11OO，则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=--t t m t t t m t t t e e t m te e e t m e t te et λλλλλλλλφΛM O M M M MM M M ΛΛ00)!2(10)!1(1!21)(212【例3.1.3】 已知状态转移矩阵为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=--------t t tt t t t t Ate e e e e e e e e22222222 试求)(1t -φ和A 。
解：（1）根据状态转移矩阵的性质4，可知⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=-=-t t tt t t tt e e e e e e e e t t 222212222)()(φφ（2）根据状态转移矩阵的性质2，可知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-+-==--------32100442222)0(2222t e e ee e e e e A tt t t t t tt φ&【例3.1.4】 已知4401101⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλA 试求状态转移矩阵Ate 。
解：根据状态转移矩阵的性质10，可知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==t t t t t t t t t tAte te e e t te e e t e t te e et λλλλλλλλλλφ00002106121)(232【例3.1.5】 验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-t t t t sin cos 0cos sin 0001解：利用性质（1）I =)0(φI t t t t t ≠⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-010*******sin cos 0cos sin 0001，所以该矩阵不是状态转移矩阵。
【例3.1.6】 已知系统状态方程为Ax x=&， 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11)0(x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--t t e e t x 22)(当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=12)0(x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--t t e e t x 2)(试求系统矩阵A 和状态转移矩阵Ate 。
解：由性质（2）可知：)0(φ&=A 由已知，有)0()(x e t x At ⋅= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⇒----1121222At t tt te e ee e ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---------112121121222122t t t tt t t tAte ee e e e e e e⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=--------t t tt t t tt e e e e e e e e 22222222∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-+-===--------=3120424222)(022220t t t ttt t t t t e e e e e e e e t A φ&§3-2 线性连续定常非齐次状态方程的解线性定常非齐次状态方程：Bu Ax x +=&，求)(t x 。