图论课件有向图
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图论课件--有向图33页PPT
45、自己的饭量自己知道。——苏联
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
图论课件--Biblioteka 向图26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
图论课件--Biblioteka 向图26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
chap14 有向图
19
有向H图的应用
任务的最佳排序问题：假设有任务t1, t2, …tn需在
同一设备上串行执行，从任务ti转到任务tj所需的 设备调整时间是aij，如何排任务执行次序，使设 备调整需时间最少？
1、建图：建立有向图D, 顶点对应于要执行的任务，
vivjA(D)当且仅当aijaji。边vivj带权aij。
T的高度为3 ;
T中的蓝色结点及弧构成 T的一个以v2为根的子树.
27
有序树
定义14.3.3：若对一个树T的结点(弧)从
上至下，同一层结点(弧)从左至右规定了 一个次序，则称T为有序树。 v0 有序树的编号：
v1 v2 v3
v21
v211 v212
v22
v213
v31
28
m元(有序)树
定义14.3.4：设T是(有序)树，m 1。
3 v3
D D’
17
竞赛图
竞赛图：完全图的定向图称为竞赛图。
n阶竞赛图可用来表示n个选手之间进行
循环赛的胜负状态。
有一人全胜，其余各胜 一场： 有一人全输，其余各胜 两场：
18
竞赛图都含有向H通路
有向图D的有向H通路是指一条包含D的所有顶
点的有向通路（有向哈密尔顿通路）。 推论14.2.1：每个竞赛图都含有向H通路。 证明：设D是竞赛图， D的基础图G是完全图， 于是， (G) = |V(D)| =p , 由定理14.2.1知，D中含长为p–1的有向通路， 也就是说，该通路上包含了所有的p个顶点， 即为有向H通路。
3(a). D 中任何一条有向(u, v)-通路(u≠v)P均满足 (u)≠(v) 3(b). D 中的任何弧(u,v) v 1 的首尾不同色 2 4. 总之，基础图G的 任何两个邻接的顶 点在下均不同色， 4 即是G的正常(k+1) v2 着色。 故k≥ (G) –1
有向H图的应用
任务的最佳排序问题：假设有任务t1, t2, …tn需在
同一设备上串行执行，从任务ti转到任务tj所需的 设备调整时间是aij，如何排任务执行次序，使设 备调整需时间最少？
1、建图：建立有向图D, 顶点对应于要执行的任务，
vivjA(D)当且仅当aijaji。边vivj带权aij。
T的高度为3 ;
T中的蓝色结点及弧构成 T的一个以v2为根的子树.
27
有序树
定义14.3.3：若对一个树T的结点(弧)从
上至下，同一层结点(弧)从左至右规定了 一个次序，则称T为有序树。 v0 有序树的编号：
v1 v2 v3
v21
v211 v212
v22
v213
v31
28
m元(有序)树
定义14.3.4：设T是(有序)树，m 1。
3 v3
D D’
17
竞赛图
竞赛图：完全图的定向图称为竞赛图。
n阶竞赛图可用来表示n个选手之间进行
循环赛的胜负状态。
有一人全胜，其余各胜 一场： 有一人全输，其余各胜 两场：
18
竞赛图都含有向H通路
有向图D的有向H通路是指一条包含D的所有顶
点的有向通路（有向哈密尔顿通路）。 推论14.2.1：每个竞赛图都含有向H通路。 证明：设D是竞赛图， D的基础图G是完全图， 于是， (G) = |V(D)| =p , 由定理14.2.1知，D中含长为p–1的有向通路， 也就是说，该通路上包含了所有的p个顶点， 即为有向H通路。
3(a). D 中任何一条有向(u, v)-通路(u≠v)P均满足 (u)≠(v) 3(b). D 中的任何弧(u,v) v 1 的首尾不同色 2 4. 总之，基础图G的 任何两个邻接的顶 点在下均不同色， 4 即是G的正常(k+1) v2 着色。 故k≥ (G) –1
第8章_有向图
图论及其应用
5
8.1 有向图——习题
10.1.1. 一个简单图有多少个定向图？ 10.1.2. 证明： = = 。 10.1.3. 设有向图D中无有向圈，则 d (v ) d (v ) v V v (a) = 0V； (b) 存在一个顶点排序v1，……，v ，使对1 i ，每条 以vi为 头的弧其尾都在{v1，……，vi-1} 中。 10.1.4. 证明：D是双向连通的 D是连通的，且D的每个块 是双向连通的。 10.1.5. D的逆图 是把D中每弧的方向都改为其反向所得的 有向图。试用逆图慨念及习题10.1.3.(a) 来证明： 若有向图D中 无有向圈，则+ = D 。 0 10.1.6. 证明：严格有向图包含长 max{ ，+}的有向路。 10.1.7. 证明：严格有向图中若max{ ，+} = k 1，则 D包含长 k+1 的有向圈。
图论及其应用
第8章 有向图
8.1 有向图
有向图（directed graph；digraph） D =（V，A） V(D) —— 顶点集。 a u v A(D) —— 弧集。 弧a = (u,v)：其头为v，其尾为u； 弧a从u连到(join to)v。 有向子图（subdigraph） 有向图D的基础图（underlying graph） 对应于D的无向图G（称D为G的一个定向 （orientation）图）
8.1 有向图
易见，有向图D = (V, A)中顶点间的双向连通性是V上 的一个等价关系，它的等价类确定了V的一个划分 （V1，……，Vm）， 使顶点u与v双向连通 u与v 同属某等价类Vi 。 称每个导出子图D[V1]，……，D[Vm]为有向图D的一 个双向分支（dicomponent；strong component）。 当D只有一个双向分支时，称D为双向连通的。 易见，D的任二双向分支之间的弧都是同一个方向的。 例
第七章 第一讲 无向图及有向图
完全图举例
K5
3阶有向完全图
4阶竞赛图
子图(subgraph)
定义8 设G＝<V,E>，G＝<V ,E>为两个图(同为无 向图或同为有向图)，若V V且E E，则称G 是G的子图，G为G 的母图，记作G G。 若V V或E E，则称G 为G的真子图。
若et∈E，使得et＝<vi，vj>，则称vi为et的始点，vj为 et的终点，并称vi邻接到vj，vj邻接于vi。
若ek的终点为el的始点，则称ek与el相邻(adjacent)。 el ek vi vj
定义3 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条 ，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。
3
欧拉：传奇的一生
年少时，听从父亲的安排，巴塞尔大学，学习神学和希伯来语 ，结果被约翰· 伯努利欣赏，17岁获得硕士学位之后，才开始 专供数学。
为获得圣彼得堡科学院的医学部的职位空缺，欧拉在巴塞尔便 全力投入生理学的研究，并出席医学报告会。1727年，等他到 达俄罗斯时，叶卡捷琳娜一世女皇去世，他进入数学部。 1733年，欧拉回到瑞士，并结婚，一生共生育13个孩子，5个 存活。 为了赢得巴黎奖金而投身于一个天文学问题，那是几个有影响 的大数学家搞了几个月时间的，欧拉在三天之后把它解决了。 可是过分的劳累使他得了一场病，病中右眼失明了。 欧拉到底出了多少著作，直至1936年人们也没有确切的了解。 但据估计，要出版已经搜集到的欧拉著作，将需用大4开本60 4 至80卷。彼得堡学院为了整理他的著作整整花了 47年。
解： (3,3,2,1)，(3,2,2,1,1) 不可以图化
(3,3,2,2)可以图化
(3,2,2,2,1)可以图化
图论的介绍ppt课件
chedules
工程项目的任务安排，如何满足限制条件，并在最短时 间内完成？
Program structure
大型软件系统，函数（模块）之间调用关系。编译器分 析调用关系图确定如何最好分配资源才能使程序更有效 率。
Graph Applications
Graph Problems and Algorithms
图论的介绍ppt课件
欧拉路径 解決哥尼斯保七桥问題
原來是一笔画问题啊！
数学家欧拉(Euler, 1707-1783) 于1736年严格的证明了上述哥尼斯堡 七桥问题无解，并且由此开创了图论的典型思维方式及论证方式
实际生活中的图论 Graph Model
电路模拟
例：Pspice、Cadence、ADS…..
哈密頓（Hamilton） 周遊世界问題
正十二面体有二十个顶点 表示世界上20个城市 各经每个城市一次 最后返回原地
投影至平面
哈密頓路径至今尚无有效方法來解決！
最短路径问題
(Shortest Path Problem)
最快的routing
最快航線
B 2
1
E
3
A
C 1
3 2F
1
3
D
3 3
G
最短路径算法Dijkstra算 法
二分图（偶图） Bipartite graphs
A graph that can be decomposed into two partite sets but not fewer is bipartite
It is a complete bipartite if its vertices can be divided into two non-empty groups, A and B. Each vertex in A is connected to B, and viceversa
工程项目的任务安排，如何满足限制条件，并在最短时 间内完成？
Program structure
大型软件系统，函数（模块）之间调用关系。编译器分 析调用关系图确定如何最好分配资源才能使程序更有效 率。
Graph Applications
Graph Problems and Algorithms
图论的介绍ppt课件
欧拉路径 解決哥尼斯保七桥问題
原來是一笔画问题啊！
数学家欧拉(Euler, 1707-1783) 于1736年严格的证明了上述哥尼斯堡 七桥问题无解，并且由此开创了图论的典型思维方式及论证方式
实际生活中的图论 Graph Model
电路模拟
例：Pspice、Cadence、ADS…..
哈密頓（Hamilton） 周遊世界问題
正十二面体有二十个顶点 表示世界上20个城市 各经每个城市一次 最后返回原地
投影至平面
哈密頓路径至今尚无有效方法來解決！
最短路径问題
(Shortest Path Problem)
最快的routing
最快航線
B 2
1
E
3
A
C 1
3 2F
1
3
D
3 3
G
最短路径算法Dijkstra算 法
二分图（偶图） Bipartite graphs
A graph that can be decomposed into two partite sets but not fewer is bipartite
It is a complete bipartite if its vertices can be divided into two non-empty groups, A and B. Each vertex in A is connected to B, and viceversa
图论课件有向图32页PPT
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
•
Байду номын сангаас
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
图论课件有向图
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
•
Байду номын сангаас
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
图论课件有向图
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
图论讲义第8章-有向图
3
公共边的路 P 1 , Q1 ，它们的一端是 v1 ，另一端在 G1 上。给 P 1 定向为指向 v1 ， Q1 定向为指向
G1 ，令 G2 = G1 ∪ P 1 ∪ Q1 ，则 G2 是强连通的。
若 G2 仍不是生成子图，则存在 v2 ∈V (G ) − V (G2 ) ，同理，存在无公共边的路 P2 , Q2 ， 其 一 端 在 v2 处 ， 另 一 端 在 G2 中 。 给 P2 定 向 为 指 向 v2 ， Q2 定 向 为 指 向 G2 ， 令
+
S′
§8.3 有向图的连通性
定义 8.3.1 设 G 是一个有向图， (1) 若 G 的底图 G 是连通图，则称 G 是弱连通的。 (2) 若对 G 的任二顶点 u, v，要么存在有向路 P(u, v)，要么存在有向路 P(v, u)，则称 G 是单 连通的。 (3) 若对 G 的任二顶点 u, v，既存在有向路 P(u, v)，又存在有向路 P(v, u)，则称 G 是强连通 的（或称双向连通的） 。 注：易见，强连通 ⇒ 单连通 ⇒ 弱连通。 例：
ν =1 时定理显然成立。
假设对顶点数少于 ν 的所有有向图 G ，结论成立。考虑顶点数为 ν 的有向图 G 。
2
任取 v ∈V (G ) , 令 G ′ = G − ({v} ∪ N + ( v )) 。由归纳假设，存在 G ′ 的一个独立集 S ′ ，对
V (G ′) − S ′ 中任何顶点，可从 S ′ 中的某顶点出发，经过长度 ≤ 2 的有向路到达它。
4
+ −
定理 8.4.2 非平凡弱连通有向图 G 是 Euler 有向图的充分必要条件是 G 可分解为有向圈的并， 即： G = 正整数。 定理 8.4.3 非平凡弱连通有向图 G 有 Euler 有向迹的充分必要条件是 G 中存在两个顶点 u 和 w 满足 d (u ) = d (u ) +1， d ( w) = d ( w) −1，而其它顶点都有 d ( v ) = d ( v ) 。 定理 8.4.4 设 G 是弱连通有向图，如果 G 中存在两个顶点 u 和 w 满足 d (u ) = d (u ) +k，
图论第2章 基本概念ppt课件
列 S=(a1,a2,…,an,…)，即存在一个正整数，使
对任何正整数 n，都有an+= an。S 的一个 k 阶
子式 Si 定义为k 元组 Si = (ai, ai+1,…, ai+k1)。
具有最大的周期 使得 S1, S2, … , S 各不一样的
S 序列称为 k 阶 De Bruijn 序列。
关系 A 的关系图就是图 G 的图解。 [自环] A 中的自反性图解为环形，称为自环。 [多重边] 在表达实践问题的图解中能够出现反复的
关系定义，称为多重边。
1
2.1 图的概念
[简单图]不出现自环或多重边图解外形的图称为简单 图.
未加特别声明时，只讨论简单图。 [完全图]任何两个顶点之间都有弧相连的图称为完全
为奇数，k 1。那么 G 的边可划分成 k 条简单道 路。 ➢ [证明]〔构造法〕
25
2.5 Euler 回路
[有向图的 Euler 回路] 假设有向连通图 G=(V, A) 中存 在一条有向闭迹经过 G 的一切弧，那么称该闭迹 为 G中的一条 Euler 回路，称该图为 Euler 有向图。
[定理2-6-2] 设连通有向图 G=(V, A), 那么下述命题等 价: (1) G 是一个 Euler 有向图； (2) G 的每一个顶点的入度等于出度； (3) G 的弧集能被划分成假设干有向回路。
[闭迹]简单封锁有向道路称为闭迹。[circuit] [回路/圈]封锁有向路称为回路/圈/初级回路 。[cycle]
16
2.4 道路与回路
➢ 两个顶点之间假设有道路存在那么必有路存在。 ➢ 无向图具有完全类似的定义。
17
2.4 道路与回路
[定理2-2] 无向图 G=(V, E)，u, v V 且 u v。假设 u, v 之间存在两条不同的路，那么 G 中存在一条回 路。
(图论)图的基本概念(课堂PPT)
15
图的度数的相关概念
在无向图G中， 最大度 △(G)＝max{d(v)|v∈V(G)} 最小度 δ(G)＝min{d(v)|v∈V(G)}
称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬挂边。 度为偶数(奇数)的顶点称为偶度(奇度)顶点。
在有向图D中， 最大出度 △+(D)＝max{d+(v)|v∈V(D)} 最小出度 δ+(D)＝min{d+(v)|v∈V(D)} 最大入度 △-(D)＝max{d-(v)|v∈V(D)} 最小入度 δ-(D)＝min{d-(v)|v∈V(D)}
元素可以重复出现的集合称为多重集合或者多重集，某元 素重复出现的次数称为该元素的重复度。 例如 在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中， a,b,c,d的重复度分别为2,3,1,1。
4
笛卡尔积
设A，B为任意的两个集合，称{<a,b>|a∈A∧b∈B}为A与B 的笛卡尔积，记作AXB。 笛卡尔积中的是有序对<a,b>。只有a,b相等的时候才有 (a,b)＝(b,a). 也只有A=B时才有AXB＝BXA。
16
图的度数举例
d(v1)＝4(注意，环提供2度)， △＝4，δ＝1， v4是悬挂顶点，e7是悬挂边。
d+(a)＝4，d-(a)＝1 (环e1提供出度1，提供入度1)，
d(a)＝4+1＝5。△＝5，δ＝3，
△+＝4 (在a点达到)
δ+＝0(在b点达到)
△-＝3(在b点达到)
δ-＝1(在a和c点达到)
例如：在图1.1中， (a)中e5与e6是平行边， (b)中e2与e3是平行边，但e6与e7不是平行边。 (a)和(b)两个图都不是简单图。
图的度数的相关概念
在无向图G中， 最大度 △(G)＝max{d(v)|v∈V(G)} 最小度 δ(G)＝min{d(v)|v∈V(G)}
称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬挂边。 度为偶数(奇数)的顶点称为偶度(奇度)顶点。
在有向图D中， 最大出度 △+(D)＝max{d+(v)|v∈V(D)} 最小出度 δ+(D)＝min{d+(v)|v∈V(D)} 最大入度 △-(D)＝max{d-(v)|v∈V(D)} 最小入度 δ-(D)＝min{d-(v)|v∈V(D)}
元素可以重复出现的集合称为多重集合或者多重集，某元 素重复出现的次数称为该元素的重复度。 例如 在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中， a,b,c,d的重复度分别为2,3,1,1。
4
笛卡尔积
设A，B为任意的两个集合，称{<a,b>|a∈A∧b∈B}为A与B 的笛卡尔积，记作AXB。 笛卡尔积中的是有序对<a,b>。只有a,b相等的时候才有 (a,b)＝(b,a). 也只有A=B时才有AXB＝BXA。
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图的度数举例
d(v1)＝4(注意，环提供2度)， △＝4，δ＝1， v4是悬挂顶点，e7是悬挂边。
d+(a)＝4，d-(a)＝1 (环e1提供出度1，提供入度1)，
d(a)＝4+1＝5。△＝5，δ＝3，
△+＝4 (在a点达到)
δ+＝0(在b点达到)
△-＝3(在b点达到)
δ-＝1(在a和c点达到)
例如：在图1.1中， (a)中e5与e6是平行边， (b)中e2与e3是平行边，但e6与e7不是平行边。 (a)和(b)两个图都不是简单图。
第8章 有向图
有向图 D
D 的双向分支
图论及其应用 4
8.1 有向图
− 入度（indegree）d D (v ) 。 入度 d+ 出度（outdegree） D (v ) 。 出度 记号 δ+，δ− ：最小出、入度； ∆+ ， ∆- ：最大出、入度。 称有向图D为严格的 严格的（strict） 严格的 ⇔ 无环、且不存在两弧其端点及方向相同。
定理10.1 (Roy,1967; Gallai,1968) 有向图 包含一 有向图D包含一 定理 长为 χ - 1 的有向路。 的有向路
证明：令D’ 为D的极大 极大无有向圈、有向生成子图（注：D’ 可由空生成子 极大 图作为开始，在保持无有向圈的条件下，通过逐步加弧而得） 。令k为D’ 中最长有向路的长。今用色1，2，……，k+1对D’ 进行顶点着色如下： 将v着以色i ⇔ D’ 中以v为起点的最长有向路的长为i 1。 来证这是D的正常(k+1)-顶点着色： 先证，D’ 中任一有向(u,v)-路P的起、终点u与v一定不同色：设v被着以色 i 。则由着色法知，在 D’ 中以v为起点的一最长有向路，设为，Q的长为i - 1 。由于D’ 中无有向圈，PQ为一有向路，起点为u，长 ≥ i 。从而u上的 色j > i。 只要再证，D中任一弧(u,v)的两端一定不同色：当 (u,v)为D’ 中的弧时， 它就是D’ 中的一有向(u,v)-路，从而u与v不同色。 9 图论及其应用
10.2 有向路
当 (u,v)不是D’ 中的弧时，由D′ 之极大性知 D’ + (u,v) 包含一有向圈C。于是， C - (u,v) 是 D’ 中的有向(v,u)-路，从而u与v也不同色。 由上述知，D为(k+1)-可着色的，因此 χ ≤ k+1 ，得k ≥ χ - 1 ， 故D中有长为χ - 1 的有向路。 #
有向图简介
第7章：有向图很多应用问题涉及有向图。
有向图除了有与（无向）图类似的性质之外，还有一些在图中所不具备的特殊性质。
本章除介绍有向图的基本概念外，着重介绍有向树、有向网络及其应用等问题。
§7.1有向图概述1. 基本概念定义7.1 一个有向图D 是指一个序偶><E V ，，其中V 是一个非空集合，称为D 的点集，其中的元称为D 的顶点。
E 是笛卡儿集V V ⨯的某个多重子集，称为D 的边集，其中的每一个元素均是序偶><v u ，，称为有向边，而u 称为边的始点，v 称为边的终点。
通常记>=<E V D ，，)(D V V =，)(D E E =。
从有向图的定义来看，它与上一章定义的（无向）图是相似的，最关键的区别在于有向边是有方向的，而（无向）边是无方向的。
在（无向）图中， )(v u ，和)(u v ，表示同一条边（不考虑多重边情况），但在有向图中，><v u ，和><u v ，表示的却是两个不同的边，称为对称边，虽然这两条边的端点一样。
对无向图G 的每条无向边指定一个方向，由此得到的有向图D ，称为G 的定向图。
反之，如果把一个有向图D 的每条有向边的方向去掉，由此而得到的无向图G ，称为D 的底图。
把一个有向图D 的每一条有向边反向，由此而得到的有向图称为D 的逆图，记为D ~在有向图中，两个顶点之间若有两条或两条以上的边，并且方向相同，则称为平行边，它强调了边的方向性。
有向图中的其它一些概念，像重数、圈、带圈图、无圈图、多重图、简单图、)(q p ，图、图的阶、平凡图、零图、有限图、无限图、赋权图、邻接、关联、孤立点、孤立边等等，都与（无向）图中相应概念的定义一样，这里不再重复。
在有向图中有如下的度数定义。
定义7.2 设>=<E V D ，是有向图， V v ∈，E 中以v 为起始点的有向边的个数称为v 的出度，记作)(v d +；E 忠以v 为终点的有向边的个数称为v 的入度，记作)(v d -。
图论：有向图和无向图，有环和无环
图论：有向图和⽆向图，有环和⽆环
有向⽆环图：为什么不能有环，有环会导致死循环。
检查⼀个有向图是否存在环要⽐⽆向图复杂。
(有向图为什么⽐⽆向图检查环复杂呢？)
现实中管⽹会存在环吗？管⽹是有⽅向的，理论上也是⽆环的。
arcgis有向⽆环图最短路径。
有向⽆环图和⼆叉树的关系：如何确定⽗节点和⼦节点[没有⽗节点的就是⽗节点，没有⼦节点的就是叶⼦节点] 有向⽆环图并不⼀定能转化成树【那能不能把有向⽆环图劈开成多棵树】
⼀个⽆环的有向图称做有向⽆环图（Directed Acyclic Graph）。
简称DAG 图。
DAG 图是⼀类较有向树更⼀般的特殊有向图，如图给出了有向树、DAG 图和有向图的例⼦。
虽然DAG图是更⼀般的有向图，但是依然可以使⽤树的判断公式来判断复杂度。
判断是否有环：
1. 起点编码和终点编码是否相等
从OBJECTID为1的开始遍历：下⼀个点是否与OBJECTID为1的相等。
如果相等，则回到起点，为环。
>>性质：有向⽆环图的⽣成树个数等于⼊度⾮零的节点的⼊度积。
有向⽆环图⽣成树：
（百度百科上不是说有向⽆环图不⼀定能转换成树吗？严格意义上，树的叶⼦节点只有⼀个⽗节点）
DAG(有向⽆环图）能否转化为树？：
如果说⼀个叶⼦节点有两个⽗节点，会怎么样
有向⽆环图不⼀定能只⽣成⼀棵树，但是可以⽣成多棵树。
但是这样就破坏了什么信息呢？。
《图及有向图的应用》课件
《图及有向图的应用》ppt课 件
目
CONTENCT
录
• 图论简介 • 有向图简介 • 图论在计算机科学中的应用 • 有向图在计算机科学中的应用 • 图论与有向图的算法与问题 • 图论与有向图的应用案例分析
01
图论简介
图论的发展历史
古代图论萌芽
古希腊数学家欧拉研究“哥尼斯堡七桥问题”，标 志着图论的起源。
依存关系分析是自然语言处理中的一 项重要任务，利用有向图表示句子中 词语之间的依存关系。
依存关系分析可以帮助我们理解句子 的语法结构、提取关键词、进行语义 角色标注等，为机器翻译、文本摘要 、信息抽取等领域提供技术支持。
05
图论与有向图的算法与问题
图的遍历算法
深度优先搜索（DFS）
按照一定的顺序访问图中的节点，尽可能深地搜索图的分枝，直到达到目标节点。
路径规划概述
路径规划是人工智能中用于确定从起点到终点的 最佳路径的问题。路径规划算法广泛应用于机器 人、自动驾驶等领域。
Dijkstra算法
Dijkstra算法是一种用于在图中找到从起点到所有 其他节点的最短路径的算法。它使用贪心策略来 逐步构建最短路径。
A*搜索算法
A*搜索算法是一种启发式搜索算法，它使用一个 估计函数来评估节点的重要性，从而优先搜索最 有可能产生最佳结果的节点。A*搜索算法在许多 路径规划问题中表现出色。
02
有向图简介
有向图的基本概念
总结词
有向图的基本概念
详细描述
有向图是一种由节点和有向边组成的图形结构，其中每个边都有明确的起点和 终点。与无向图相比，有向图的边具有方向性，表示了元素之间的有序关系。
有向图的性质
总结词
有向图的性质
目
CONTENCT
录
• 图论简介 • 有向图简介 • 图论在计算机科学中的应用 • 有向图在计算机科学中的应用 • 图论与有向图的算法与问题 • 图论与有向图的应用案例分析
01
图论简介
图论的发展历史
古代图论萌芽
古希腊数学家欧拉研究“哥尼斯堡七桥问题”，标 志着图论的起源。
依存关系分析是自然语言处理中的一 项重要任务，利用有向图表示句子中 词语之间的依存关系。
依存关系分析可以帮助我们理解句子 的语法结构、提取关键词、进行语义 角色标注等，为机器翻译、文本摘要 、信息抽取等领域提供技术支持。
05
图论与有向图的算法与问题
图的遍历算法
深度优先搜索（DFS）
按照一定的顺序访问图中的节点，尽可能深地搜索图的分枝，直到达到目标节点。
路径规划概述
路径规划是人工智能中用于确定从起点到终点的 最佳路径的问题。路径规划算法广泛应用于机器 人、自动驾驶等领域。
Dijkstra算法
Dijkstra算法是一种用于在图中找到从起点到所有 其他节点的最短路径的算法。它使用贪心策略来 逐步构建最短路径。
A*搜索算法
A*搜索算法是一种启发式搜索算法，它使用一个 估计函数来评估节点的重要性，从而优先搜索最 有可能产生最佳结果的节点。A*搜索算法在许多 路径规划问题中表现出色。
02
有向图简介
有向图的基本概念
总结词
有向图的基本概念
详细描述
有向图是一种由节点和有向边组成的图形结构，其中每个边都有明确的起点和 终点。与无向图相比，有向图的边具有方向性，表示了元素之间的有序关系。
有向图的性质
总结词
有向图的性质
CHAP12 有向图.ppt
证明：设AA(D)，且令
A = min{A | 使得D – A中不含有向回路}
即A是使D不含有向回路所需删去的最小边集。 令D=D – A，设D中最长有向通路的长度为k 。 对D进行如下点着色 ：若D中以v为起点的最 长有向通路之长为i – 1，令(v)=i。这样就得到 一个 (k+1)着色。下证是G的正常(k+1)着色。
2020/4/24
离散数学
9
强连通分支
强连通分支：有向图D的极大强连通子图.
该图有三个 强连通分支, 如图所示。
2020/4/24
离散数学
10
§12.2 有向通路与有向回路
2020/4/24
离散数学
11
有向通路不短于色数减一
定有理向1图2.2的.1 有：有向向通图路D之中长包含与长其度基至础少图为中(G的) –1 通的有路向没通有路必。然其联中，系G，为却D的与基图础的图色。数有关 .
定理12.2.3 (Moon, 1966)：顶点数p 3的强连通 竞赛图D的每个顶点都包含在一条有向k回路中， 其中3 k p .
证明：设D是p 3的强连通竞赛图，设u是D中 任意一个顶点，u∈V(D)。令
S = N+(u)，
T = N–(u) ={w | (w,u) ∈A(D) }。
我们先证u在D的一条有向3––回路中。
离散数学
30
根树
定义12.3.2：设T是一个有向树，如果T中恰有 一个顶点的入度为0，其它顶点的入度均为1， 则称T为根树。根树T中入度为0的顶点称为T的 根，记为vr或v0；根树中出度为0的顶点称树是一种特殊的有向树，并非所有的 有向树都是根树。《图论》中“树”的概念要 比《数据结构》中的“树”的概念广泛的多。 《数据结构》中的“树”仅仅是这里的根树。
A = min{A | 使得D – A中不含有向回路}
即A是使D不含有向回路所需删去的最小边集。 令D=D – A，设D中最长有向通路的长度为k 。 对D进行如下点着色 ：若D中以v为起点的最 长有向通路之长为i – 1，令(v)=i。这样就得到 一个 (k+1)着色。下证是G的正常(k+1)着色。
2020/4/24
离散数学
9
强连通分支
强连通分支：有向图D的极大强连通子图.
该图有三个 强连通分支, 如图所示。
2020/4/24
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§12.2 有向通路与有向回路
2020/4/24
离散数学
11
有向通路不短于色数减一
定有理向1图2.2的.1 有：有向向通图路D之中长包含与长其度基至础少图为中(G的) –1 通的有路向没通有路必。然其联中，系G，为却D的与基图础的图色。数有关 .
定理12.2.3 (Moon, 1966)：顶点数p 3的强连通 竞赛图D的每个顶点都包含在一条有向k回路中， 其中3 k p .
证明：设D是p 3的强连通竞赛图，设u是D中 任意一个顶点，u∈V(D)。令
S = N+(u)，
T = N–(u) ={w | (w,u) ∈A(D) }。
我们先证u在D的一条有向3––回路中。
离散数学
30
根树
定义12.3.2：设T是一个有向树，如果T中恰有 一个顶点的入度为0，其它顶点的入度均为1， 则称T为根树。根树T中入度为0的顶点称为T的 根，记为vr或v0；根树中出度为0的顶点称树是一种特殊的有向树，并非所有的 有向树都是根树。《图论》中“树”的概念要 比《数据结构》中的“树”的概念广泛的多。 《数据结构》中的“树”仅仅是这里的根树。
关于图的基本概念无向图及有向图课件
32
握手定理（图论基本定理）
定理7.1 设图G=<V,E>为无向图或有向图，
V = {v1, v2,…, vn},,|E|=m，则
n
d vi 2m
i 1
说明 任何无向图中，各顶点度数之和等于边数的
两倍。
证明 G中每条边(包括环)均有两个端点，所以在 计算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，当然 ，m条边，共提供2m度。
→/wiki/File:K
图论的起源
欧拉最后给出任意一种河──桥图能否全 部走一次的判定法则。如果通奇数座桥的 地方不止两个，那么满足要求的路线便不 存在了。如果只有两个地方通奇数座桥， 则可从其中任何一地出发找到所要求的路 线。若没有一个地方通奇数座桥，则从任 何一地出发，所求的路线都能实现，他还 说明了怎样快速找到所要求的路线。
第7章 图的概念
本章学习： 1. 无向图及有向图 2. 通路、回路、图的连通性 3. 图的矩阵表示 4. 最短路径及关键路径
14
今日内容
无向图及有向图 图的一些相关概念 度 握手定理 子图相关概念 图同构
15
预备知识
有序积: A×B={ <x,y> |x∈A∧y∈B} 有序对: <x,y>≠<y,x> 无序积: A&B={ (x,y) |x∈A∧y∈B} 无序对: (x,y)=(y,x) 多重集: {a,a,a,b,b,c}≠{a,b,c} 重复度: a的重复度为3, b的为2, c的为1
关联与关联次数、环、孤立点
设D＝<V,E>为有向图，ek＝<vi,vj>∈E， 称vi,vj为ek的端点。
若vi＝vj，则称ek为D中的环。 无论在无向图中还是在有向图中，无边关
握手定理（图论基本定理）
定理7.1 设图G=<V,E>为无向图或有向图，
V = {v1, v2,…, vn},,|E|=m，则
n
d vi 2m
i 1
说明 任何无向图中，各顶点度数之和等于边数的
两倍。
证明 G中每条边(包括环)均有两个端点，所以在 计算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，当然 ，m条边，共提供2m度。
→/wiki/File:K
图论的起源
欧拉最后给出任意一种河──桥图能否全 部走一次的判定法则。如果通奇数座桥的 地方不止两个，那么满足要求的路线便不 存在了。如果只有两个地方通奇数座桥， 则可从其中任何一地出发找到所要求的路 线。若没有一个地方通奇数座桥，则从任 何一地出发，所求的路线都能实现，他还 说明了怎样快速找到所要求的路线。
第7章 图的概念
本章学习： 1. 无向图及有向图 2. 通路、回路、图的连通性 3. 图的矩阵表示 4. 最短路径及关键路径
14
今日内容
无向图及有向图 图的一些相关概念 度 握手定理 子图相关概念 图同构
15
预备知识
有序积: A×B={ <x,y> |x∈A∧y∈B} 有序对: <x,y>≠<y,x> 无序积: A&B={ (x,y) |x∈A∧y∈B} 无序对: (x,y)=(y,x) 多重集: {a,a,a,b,b,c}≠{a,b,c} 重复度: a的重复度为3, b的为2, c的为1
关联与关联次数、环、孤立点
设D＝<V,E>为有向图，ek＝<vi,vj>∈E， 称vi,vj为ek的端点。
若vi＝vj，则称ek为D中的环。 无论在无向图中还是在有向图中，无边关
图论课件-有向图
例3 求下图D的强连通分支、单向连通分支。
2
3
4
5
1
9
8
7
6
D
14
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(1) D的强连通分支
2
3
4
5
｛1｝ ｛2, 3, 9, 8, 4, 7｝ ｛5｝ ｛6｝
1
9
8
7
6
D
上面点集导出的子图是 D的强 连通分支。
2
证明：“必要性”
设V(D)=｛v1,v2,…,vn｝。由于D是强连通图，所以，对任 意两点vi与vj, 都存在(vi, vj)路，同时也存在(vj ,vi)路。所以 存在如下闭途径：v1→v2→…→vn→v1。这是一条包含D的 所有顶点的回路。
12
1
0.5 n 0
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1 2 1.5 t1
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1
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1 2 1.5 t1
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1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(2) 在L中取v7, U中取点v6 , 作边<v7, v6>。令l (v6)=l (v7)+1=3, L =｛v1,v7,v6｝, U=｛v2,v3,…,v5｝, A=｛ <v1, v7>, <v7, v6> ｝
6
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0.5 n 0
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0.6 0.4 x 0.2
对 v V (D) ，有
d (v) d (v) 1
chap14有向图讲述
2018/10/11 离散数学 18
独立集相距其它点不超过二
证明：由归纳假设，在 D = D – ({v} ∪N+(v)) 中，存在一个独立集S，使 得对D 结论成立。 若v∈N+(u)，u∈S， 则对N+(v)中的任何点w，从 u出发，经长度为2的有向通 路可到达w。于是，只要令 S= S，即可使结论成立。
向图D不记弧的方向所得的图。
无向图的定向图：对应于无向图的有向图，即给
无向图G的每条边规定一个方向所得的图。
2018/10/11 离散数学 5
有向图中的弧（边）
弧的头和尾：如果是有向图
D的一条弧，且() =uv , 则 u 称u是的尾，v是的头。
环：有向图中头尾相同的弧。 多重弧：两条或两条以上的
v0
C
vi
v
2018/10/11
离散数学
24
强连通竞赛图的回路性质
证明：⑴若v与C的某条边的头尾形成同向通
路，则u在有向(n+1)––回路中。 ⑵若V(D)–V(C)中仅含顶点v，即n=p–1， 则由D的强连通性可知 v使⑴成立。 从而uv 在有 ∵ D 强连通，∴ C必含vi有出边到 向 (n+1) ––回路中。 v到v v v。若 ⑶若 V(D) – V(C) 中含多个顶点且不存在顶 i+1是 i+1的入边，则⑴ ？ 成立。若 vi+1也是出边到vD ，则考 点v能使⑴成立。于是令 –V(C)为D，令： vi-1 vi 察vi+2 。依次考察下去，注意到 S= {x | x∈D, (v, x)∈A(D), C v∈V(C)} vi-2 ， vi+1 是回路，必有顶点 vi和 v 使⑴成 i+1 T= {y | y∈D, (y, v) ∈ A(D), v∈V(C)}。 C 立。否则与D的强连通性矛盾。
独立集相距其它点不超过二
证明：由归纳假设，在 D = D – ({v} ∪N+(v)) 中，存在一个独立集S，使 得对D 结论成立。 若v∈N+(u)，u∈S， 则对N+(v)中的任何点w，从 u出发，经长度为2的有向通 路可到达w。于是，只要令 S= S，即可使结论成立。
向图D不记弧的方向所得的图。
无向图的定向图：对应于无向图的有向图，即给
无向图G的每条边规定一个方向所得的图。
2018/10/11 离散数学 5
有向图中的弧（边）
弧的头和尾：如果是有向图
D的一条弧，且() =uv , 则 u 称u是的尾，v是的头。
环：有向图中头尾相同的弧。 多重弧：两条或两条以上的
v0
C
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2018/10/11
离散数学
24
强连通竞赛图的回路性质
证明：⑴若v与C的某条边的头尾形成同向通
路，则u在有向(n+1)––回路中。 ⑵若V(D)–V(C)中仅含顶点v，即n=p–1， 则由D的强连通性可知 v使⑴成立。 从而uv 在有 ∵ D 强连通，∴ C必含vi有出边到 向 (n+1) ––回路中。 v到v v v。若 ⑶若 V(D) – V(C) 中含多个顶点且不存在顶 i+1是 i+1的入边，则⑴ ？ 成立。若 vi+1也是出边到vD ，则考 点v能使⑴成立。于是令 –V(C)为D，令： vi-1 vi 察vi+2 。依次考察下去，注意到 S= {x | x∈D, (v, x)∈A(D), C v∈V(C)} vi-2 ， vi+1 是回路，必有顶点 vi和 v 使⑴成 i+1 T= {y | y∈D, (y, v) ∈ A(D), v∈V(C)}。 C 立。否则与D的强连通性矛盾。
相关主题
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2、强连通定向算法
该算法采用顶点标号方法给边标上方向。设G=(V, E)是2 边连通图。
(1) 在G中任取顶点w, 令l (w)=1, L=｛w｝,U=V-｛w｝,A=Φ;
(2) 在L中求点v, 使得l (v)最大且满足在U中存在其邻点u。然 后作有向边<v, u>。令l (u)=l (v)+1 , L = L∪｛u｝,U=U-｛u｝ 且A=A∪｛ <v, u> ｝;
证明：“必要性”
设V(D)=｛v1,v2,…,vn｝。由于D是强连通图，所以，对任 意两点vi与vj, 都存在(vi, vj)路，同时也存在(vj ,vi)路。所以 存在如下闭途径：v1→v2→…→vn→v1。这是一条包含D的 所有顶点的回路。
12
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
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21
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0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
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0.6 0.4 x 0.2
(2) 在L中取v4, U中取点v2 , 作边<v4, v2>。令l (v2)=l (v4)+1=5,
L =｛v1,v7,v6,v5,v2｝, U=｛v3, v4｝, A=｛ <v1, v7>, <v7, v6> , <v6, v5> , <v4, v2> ｝
v1(1)
v2
v3
v1(1)
v2
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v5(4)
v7(2)
V6(3)
v4
v7(2)
V6(3)
v4
G
G
(2) 在L中取v6, U中取点v5 , 作边<v6, v5>。令l (v5)=l (v6)+1=4,
L =｛v1,v7,v6,v5｝, U=｛v2,v3, v4｝, A=｛ <v1, v7>, <v7, v6> , <v6, v5> ｝
v6 G
v3 v4
解: (1) 取点v1, 令l (v1)=1, L=｛v1｝, U=｛v2,v3,…,v7｝,A=Φ; (2) 在U中取点v7 , 作边<v1, v7>。令l (v7)=l (v1)+1=2, L =｛v1,v7｝, U=｛v2,v3,…,v6｝, A=｛ <v1, v7> ｝
20
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
“充分性”
不失一般性，设C= v1→v2→…→vn→v1是包含D的所有顶 点的一条回路。对于D的任意两点vi与vj(i<j) ,一方面，由C 可得到vi到vj的途径vi →vi+1 →… →vj。另一方面，由C又可 得到vj到vi的途径vj →vj+1 →…vi-1 →vi。所以D中任意两点是 强连通的，即D是强连通图。
1
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
本次课主要内容 有向图
(一)、有向图的概念与性质 (二)、有向图的连通性 (三)、图的定向问题 (四)、有向路与有向圈
1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(一)、有向图的概念与性质
6
1
0.5 n 0
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对 v V (D) ，有
d (v) d (v) 1
2、性质
定理1 设D=(V, E)是有向图，则：
d (v) d (v) m(D)
vV (D)
vV (D)
证明：由出度与入度的定义立即可得上面等式。
上面两个问题都已经得到解决。
1、存在性问题 定理3( 罗宾斯，1939) 非平凡连通图G具有强连通定向当 且仅当G是2边连通的。 罗宾斯(1915---2001), 美国拓扑学家，数理统计学家。
2、强连通定向算法
18
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
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0.6 0.4 x 0.2
3) 若D的中任意两点是双向连通的，称D是强连通图；
D1
D2
D3
11
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0.5 n 0
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在上面三图中，D1是强连通的，D2是单向连通的，而D3 仅为弱连通图。
关于强连通图，我们有如下结论： 定理1： 有向图D=(V,E)是强连通的，当且仅当D中存在 包含D中所有顶点的回路。
0.6 0.4 x 0.2
但是，对于单向连通分支来说，D的某个顶点，可能会分 属于D的若干个单向连通分支。原因是单向连通关系不是等 价关系。
(三)、图的定向问题
图的定向问题是有向图中的一个典型问题之一，具有广 泛的应用背景。
城市交通网设计问题: 一座城市为某种需要，要把所有街 道改为单行道，使得人们在任意两个位置都可以相互到达。 如何设计单行道方向？
3、有向图的矩阵表示
7
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
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00
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0.6 0.4 x 0.2
定义6 设D=(V,E)是有向图，其中V=｛v1,v2,…,vn｝
E=｛e1,e2,…,em｝
(1) 称A(D)=(aij) n×n是D的邻接矩阵，其中aij是vi为始点， vj为终点的边的条数，1≦i≦n,1≦j≦n。
v1(1) v2(5)
v3
v1(1) v2(5)
v3(6)
v5(4)
v5(4)
v7(2)
V6(3)
v4
G
v7(2)
V6(3)
v4
G
(2) 在L中取v2, U中取点v3 , 作边<v2, v3>。令l (v3)=l (v2)+1=6, L =｛v1,v7,v6,v5,v2,v3｝, U=｛v4｝, A=｛ <v1, v7>, <v7, v6> , <v6, v5> , <v4, v2>, <v2, v3> ｝
注：有向图可以简单地理解为“边有方向的图”。
2
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0.6 0.4 x 0.2
例如：
v1 e4
e7 e6
v2
v4
e5
e3
e1
e2
v3
有向图D
e1 v3, v2
v3与v2分别是e1 的起点与终点。 定义2 在一个有向图D中，具有相同起点和终点的边 称为平行边。两点间平行边的条数称为该两点间的重数。
点v的出度与入度之和称为点v的度，记为d(v)。
d (v4 ) 2 d (v4 ) 2 d (v4 ) 4
v1
e4 v4
e7 e6
e5
v2 e1
e2
v3
有向图D
5
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例1 一个简单图有多少个定向图？ 答：因为每条边有2种定向方式，所以共有2 m(G)种定向。 例2 求证：G存在一个定向图D，使得对 v V (D) ，有
d (v) d (v) 1
证明：不失一般性，设G是连通图。G中奇度顶点个数必 然为偶数个，将偶数个奇数度顶点配对，然后在每一对配对 顶点间连一条边得到欧拉图G1。在G1中用Fluery算法求出G 的一欧拉环游C,然后顺次地在C上标上方向，由此得到C的 定向图C1。
在C1中，去掉添加的边后，得到G的定向图D.显然：
例2 说明下图D是强连通图。
v1
v2
v6
v3
v5
v4
D
解：v1v5v6v2v4v3v2v4v5v6v2v1是含D所有顶点的一条回路。
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1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
定义9 设D`是有向图D=(V, E)的一个子图。如果D`是 强连通的(单向连通的、弱连通的),且D中不存在真包含D` 的子图是强连通的(单向连通的、弱连通的),则称D`是D的 一个强连通分支(单向连通分支、弱连通分支)。
(二)、有向图的连通性
1、相关概念
(1) 有向途径(闭途径)、迹(闭迹)和路(圈) 上面概念与无向图中相关概念类似。
(2) 有向图中顶点间的连通性
定义7 设D=(V, E)是有向图，u与v是D中两个顶点。
1) 若D中存在一条(u，v)路，则称u可达v,记为u→v。 规定u →u。
2) 若D中存在一条(u，v)路或(v, u)路，则称u与v是单 向连通的。
(2) 若D无环。称矩阵M=(mij)n×m是D的关联矩阵，其中
1,
vi是e
的始点，
j
mij -1，vi是边ej的终点，(1 i n,1 j m),
0, 其它.
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1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例1 写出下面有向图D1的邻接阵和D2的关联阵。
图论建模：街道交叉口模型为图的顶点，两点连线当且 仅当该两点是某街道的端点。
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1