微分方程公式运用表

微分方程公式运用表

一、 一阶微分方程 判断特征：

(,)dy f x y dx = 类型一：()()dy g x h y dx

=（可分离变量的方程） 解法（分离变量法）：

()()dy g x dx h y =，然后两边同时积分。 类型二：()()dy P x y Q x dx

+=（一阶线性方程） 解法（常数变易法）：()()(())P x dx P x dx y e C Q x e dx -⎰⎰=+⎰ 类型三：

(,)(,)dy f x y f tx ty dx

==（一阶齐次性方程） 解法（换元法）：y u x

=⇒令类型一 类型四：P()y=Q(x)y n dy x dx

+（伯努利方程） 解法（同除法）：1()()n n dy y P x y Q x dx --+=⇒类型二 二、 可降阶的高阶微分方程

类型一：()()n y f x = 解法（多次积分法）：(1)()()n du u y f x f x dx

-=⇒

=⇒令多次积分求 类型二：''(,')y f x y = 解法：'(,)dp p y f x p dx =⇒=⇒令一阶微分方程 类型三：''(,')y f y y = 解法：'(,)dp dp dy dp p y p f y p dx dy dx dy

=⇒==⇒⇒令类型二 三、线性微分方程

类型一：''()'()0y P x y Q x y ++=（二阶线性齐次微分方程） 解法：找出方程的两个任意线性不相关特解：12(),()y x y x

则：1122()()()y x c y x c y x =+

类型二：''()'()()y P x y Q x y f x ++=（二阶线性非齐次微分方程） 解法：先找出对应的齐次微分方程的通解：31122()()()y x c y x c y x =+ 再找出非齐次方程的任意特解()p y x ，则：1122()()()()p y x y x c y x c y x =++ 类型三：'''0y py q ++=（二阶线性常系数齐次微分方程）

解法（特征方程法）：2

1,20p q λλλ++=⇒= （一）122121240x x p q y c e c e λλλλ∆=->⇒≠⇒=+ （二）12120()x y c c x e λλλλ∆=⇒==⇒=+ （三）12120,(cos sin )x i i y e c x c x αλαβλαβββ∆<⇒=+=-⇒=+ 类型四：'''()y py q f x ++=(二阶线性常系数非齐次微分方程) 解法（待定系数法）：

（1）()()x m f x P x e α=型：先找出对应齐次微分方程的通解3()y x

0()()12k x p m k y x x e Q x k k αααα=⎧⎪⇒==⎨⎪=⎩

不是特征方程的根，是特征方程的单根，是特征方程的二重根，

其中令1()m m m Q x Ax Bx -=++

，将()p y x 带入方程求出A,B,C

3()()p y y x y x ⇒=+ （2）[]()()cos ()sin x m l f x e P x x P x x αββ=+型：先找出对应齐次微分方程的

通解3()y x

[]{}max ,()()()()cos ()sin 0

1k x n

n p n n n m l Q x R x y x x e Q x x R x x i k i k αββαβαβ=⎧⎪⎪⇒=+⎨±=⎪⎪±=⎩

与是待定的n 次多项式若不是特征方程的根，若是特征方程的根, 利用待定系数求出()p y x ，则：3()()p y y x y x =+